高一数学上学期期中试题7

2024-2025学年度第一学期期中学业水平诊断高一数学（答案在最后）注意事项：1.本试题满分150分，考试时间为120分钟.2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上.3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合{0,1,2,3}A =，{22}B x x =∈-<<Z ，则A B = （）A.{0}B.{1}C.{0,1}D.{0,1,2}2.命题“1x ∃>，20x x ->”的否定为（）A.1x ∃>，20x x -≤B.1x ∀>，20x x -≤C.1x ∃≤，20x x -> D.1x ∀≤，20x x ->3.函数()f x =）A.(1,2]- B.[1,2]- C.[2,1)(1,2]--- D.[2,)+∞4.下列各组函数中是同一个函数的是（）A.()f x =与()g x x= B.()f x x =与2()x g x x =C.()1f x x =+与1,1()1,1x x g x x x +≥-⎧=⎨--<-⎩ D.()f x =()g x =5.已知1x >，则141x x +-的最小值为（）A.2B.4C.6D.86.已知函数a y x=与y bx c =+在同一坐标系下的大致图象如图所示，则函数2y ax bx c =++的图象可能为（）A. B. C. D.7.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，(1)1f =-，且对1212,[0,)()x x x x ∀∈+∞≠，都有1212()(()()0)x x f x f x -->，则不等式(1)10f x -+>的解集为（）A.(0,2)B.(,0)(2,)-∞+∞C.(2,0)- D.(,2)(0,)-∞-+∞ 8.若集合U 的三个子集A 、B 、C 满足A B C 揶，则称(,,)A B C 为集合U 的一组“亲密子集”.已知集合{1,2,3}U =，则U 的所有“亲密子集”的组数为（）A.9B.12C.15D.18二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知a ，b ，c ，d 均为实数，下列命题正确的有（）A.若a b >，c d >则a d b c->- B.若a b >，c d >则ac bd >C.若22ac bc >，则a b > D.若0a b c >>>，则b b c a a c+<+10.已知函数21()1x f x x -=-，则（）A.()f x 在(,1)(1,)-∞+∞ 上单调递减B.()f x 的值域为(,2)(2,)-∞+∞ C.()f x 的图象关于直线1x =对称D.()f x 的图象关于点(1,2)对称11.已知函数()y f x =的定义域为D ，区间I D ⊆，若存在非零常数t ，使得对任意x I ∈，x t D +∈，都有()()f x t f x +<，则称函数()f x 是区间I 上的“t -衰减函数”.下列说法正确的有（）A.函数1()f x x=是(2,1)--上的“1-衰减函数”B.若函数2()f x x =是(2,1)--上的“t -衰减函数”，则t 的最大值为1C.已知函数()f x 为偶函数，且当0x ≥时，()(0)f x x a a a =-->，若()f x 是(2,1)--上的“1-衰减函数”，则a 的最大值为12D.已知函数()f x 为奇函数，且当0x ≥时，()(0)f x x a a a =-->，若()f x 是(2,1)--上的“1-衰减函数”，则a 的最小值为32三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若函数2()()f x x x a =-为奇函数，则实数a 的值为________.13.若函数21,0()1,0x mx x f x x m x x ⎧++≤⎪=⎨++>⎪⎩的最小值为(0)f ，则实数m 的取值范围为________.14.已知函数2()22(0)f x ax ax a =-+>在[]0,3上的最大值为5，则a 的值为________；令00x =，43x =，若用i x （1,2,3i =且11i i i x x x -+<<）将区间[]0,3分成4个小区间，且01122334()()()()(()))(()f x f x f x f x f x f x f x f x M -+-+-+-≤恒成立，则实数M 的最小值为________.（本题第一空2分，第二空3分）四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）设集合{31}A x x =-≤，{}22230,0B x x ax a a =--≤>.（1）若1a =，求()R A B ð；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.16.（15分）已知函数221,1,()43, 1.x x f x x ax a x -<⎧=⎨-+≥⎩（1）若函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）求函数()f x 在区间[1,)+∞上的最小值.17.（15分）已知某工厂生产一种电子元件，每年需投入固定成本5万元，当年产量为x （单位：万件）时，需额外投入可变成本()C x （单位：万元）.根据市场调研，每个元件售价为7元；在年产量x 不超过8万件时，21()2C x x x =+；在年产量x 超过8万件时，300155()102C x x x =+-.假设该元件的年销量等于年产量.（注：年利润=年销售收入-固定成本-可变成本）（1）求年利润()f x 关于年产量x 的函数解析式；（2）当x 为何值时，年利润()f x 最大？最大年利润是多少？18.（17分）若定义在R 上的函数()f x 满足32()2()9f x f x x x +-=+.（1）求函数()f x 的解析式；（2）用定义法证明：()f x 在区间(2,)+∞上单调递减；（3）已知函数()y g x =的图象关于点(,)P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()y g x a b =+-为奇函数.利用上述结论，求函数()y f x =图象的对称中心.（注：3322()()a b a b a ab b -=-++）19.（17分）已知函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，且对定义域内任意x ，y 都有()f xy =2222()()2y f x x f y x y ++.（1）设2()()f x g x x =，证明：函数()g x 为偶函数；（2）若()f x 满足：当1x >时，2()20f x x +<.（i ）求不等式22(1)(1)(1)0f x x f x ---+>的解集；（ii ）若(2,2)m ∃∈-，使得对[1,)s ∀∈+∞，都有222()(27)f s s t mt s ≤-+，求实数t 的取值范围.2024-2025学年度第一学期期中学业水平诊断高一数学参考答案一、选择题：1.C2.B3.A4.C5.D6.D7.B8.D 二、选择题9.ACD 10.BD 11.ACD三、填空题12.013.[]1,0-14.1，5四、解答题15.解：（1）由31x -≤得，24x ≤≤，所以{24}A x x =≤≤.当1a =时，{13}B x x =-≤≤，{14}A B x x =-≤≤ ，所以R (){1A B x x =<- ð或4}x >.（2）因为“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，所以A B Þ，令22230x ax a --≤，得(3)()0x a x a -+≤，因为0a >，解得3a x a -≤≤，所以{3}B x a x a =-≤≤.所以2a -≤，且34a ≥，解得43a ≥.16.解：（1）当1x ≤时，()1f x x =-单调递增；当1x >时，22()43f x x ax a =-+在[2,)a +∞上单调递增，若函数()f x 为R 上的增函数，只需21114321a a a ⎧-≤-+⎨≤⎩解得13a ≤.（2）当1x ≥时，函数22()43f x x ax a =-+，对称轴为2x a =.所以，当21a ≤，即12a ≤时，函数()f x 在[1,)+∞上单调递增，所以2min ()(1)341f x f a a ==-+；当21a >，即12a >时，函数()f x 在[]1,2a 上单调递减，在[2,)a +∞上单调递增，所以2222min ()(2)483f x f a a a a a ==-+=-综上，当12a ≤时，()f x 的最小值为2341a a -+；当12a >时，()f x 的最小值为2a -.17.解：（1）当08x <≤时，2211()75()6522f x x x x x x =--+=-+-；当8x >时，300155145100()75(10)3(22f x x x x x x=--+-=-+；所以2165,08,2()1451003(),8.2x x x f x x x x ⎧-+-<≤⎪⎪=⎨⎪-+>⎪⎩（2）当08x <≤时，2211()65(6)1322f x x x x =-+-=--+，当(0,6)x ∈时，()f x 单调递增，当(6,8)x ∈时，()f x 单调递减.所以，()(6)13f x f ≤=；当8x >时，14510014525()3()3222f x x x =-+≤-⨯，当且仅当100x x=，即10x =时取“=”.因为25132>，当该电子元件的年产量为6万件时，最大年利润为13万元.18.解：（1）因为32()2()9f x f x x x +-=+，①将上式中的x 用x -替代，得32()2()9f x f x x x -+=-+，②②2⨯-①得：323()39f x x x =-+，所以32()3f x x x=-+（2）证明：任取12,(2,)x x ∈+∞且122x x <<，则3232121122()(()3)3f x f x x x x x -=-+--+33222112()()33x x x x =-+-2221121212123()()()()x x x x x x x x x x =-+++-+2221121212(33)()x x x x x x x x =-++--222112121212()()44x x x x x x x x x x =-++--++2221121212()2(2)44()x x x x x x x x ⎡⎤=--+-+-++-⎣⎦因为122x x <<，所以21(2)0x ->，22(2)0x ->，1240x x +->，210x x ->，所以12()()f x f x >，所以函数()f x 在区间(2,)+∞上单调递减.（3）设函数()y f x =图象的对称中心为(,)a b ，则函数()()g x f x a b =+-为奇函数，32232()(33)(63)3g x x a x a a x a a b =-+-+--+-，因为()()0g x g x -+=，代入整理得232(33)30a x a a b --+-=，对任意x ∈R 恒成立.所以330a -=，且3230a a b -+=，解得1a =，2b =.所以，函数()y f x =图象的对称中心为(1,2).19.解：（1）由2222()()()2f xy y f x x f y x y =++，得2222()()()()2()()2f xy f x f y g xy g x g y x y x y==++=++，令1x y ==，得(1)2(1)2g g =+，所以(1)2g =-.令1x y ==-，得(1)2(1)2g g =-+，所以(1)2g -=-令1y =-，得()()(1)2()g x g x g g x -=+-+=又()g x 的定义域(,0)(0,)-∞+∞ 关于原点对称，所以()g x 是(,0)(0,)-∞+∞ 上的偶函数.（2）由（1）知，()()()2g xy g x g y =++.12,(0,)x x ∀∈+∞且210x x ->，()222211111111()()()22(x x x g x g x g x g x g g x g x g x x x -=⋅-=++-=+，因为，当1x >时，2()20f x x +<，所以()20g x +<，又211x x >，所以21()20x g x +<，21(0))(g x g x -<.所以，()g x 在(0,)+∞上单调递减.（i ）因为22(1)(1)(1)0f x x f x ---+>，所以2222(1)(1)(1)(1)f x f x x x -+>-+，即2(1)(1)g x g x ->+因为()g x 为偶函数，在(0,)+∞上单调递减，且0x ≠，所以211x x -<+，又210x -≠，解得01x <<或12x <<.所以，不等式()221(1)(1)0f x x f x ---+>的解集为(0,1)(1,2) .（ii ）由222()(27)f s s t mt s ≤-+，得22()27f s t mt s ≤--，即2()27g s t mt ≤--，对[1,)s ∀∈+∞恒成立，所以2max ()27g s t mt ≤--.因为()g x 在[1,)+∞上单调递减，(1)(1)2g f ==-，所以max ()2g s =-.所以(2,2)m ∃∈-，使得2227t mt -≤--成立，即2250t mt --≥成立.令2()25h m tm t =-+-，(2,2)m ∈-，则(2)0h >或(2)0h ->.即2450t t -+->，解得5t >或1t <-；由2450t t +->，解得1t >或5t <-.所以1t <-或1t >，即t 的取值范围是(,1)(1,)-∞-+∞ .。

树德中学高2023级高一上学期半期数学试题命题人：常勇审题人：邓连康、韦莉、梁刚一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.集合{}22,a a 中实数a 的取值范围是()。

A ．{}0,2a a a ==或B ．{}0,2a a a ==且C ．{}0,2a a a ≠≠或D ．{}0,2a a a ≠≠且2.下列四组函数中，表示相同函数的一组是（）。

A ．()11f x x x +⋅-=，()21g x x =-B ．()2f x x =，()()2g x x=C ．10()1,0x f x x ≥⎧=⎨-<⎩，，,0()1,0xx x g x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩D ．()1f x =，()0g x x=3.荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.“这句来自先秦时期的名言.此名言中的“积跬步”是“至千里”的（）。

A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.树德中学2023年秋季运会亮点之一----师生火炬传递，火炬如图（1）所示，数学建模活动时将其抽象为图（2）所示的几何体.假设火炬装满燃料，燃烧时燃料以均匀的速度消耗，记剩余燃料的高度为h ，则h 关于时间t 的函数的大致图象可能是（）。

A ．B ．C ．D ．5.满足{}1A ⊆ {}1,2,3,4的集合A 的个数为（）。

A ．7B ．8C ．15D ．166.已知函数321x y x +=-，(],x m n ∈的最小值为8，则实数m 的取值范围是（）。

A ．()0,1B ．()1,2C ．(]1,2D ．[)1,27.定义在R 上函数()y f x =满足以下条件：①函数()1y f x =+是偶函数；②对任意12,(,1]x x ∈-∞，当12x x ≠时都有()()2211)(0()x x f x f x -->，则()0f ，32f ⎛⎫⎪⎝⎭，()3f -的大小关系为（）。

滨城高中联盟2024-2025学年度上学期高一期中考试数学试卷（答案在最后）命题人：考试时间：120分钟满分：150分一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.1.命题1x ∃>，21x m ->的否定是（）A.1x ∃>，21x m -≤B.1x ∃≤，21x m -≤C.1x ∀>，21x m -≤D.1x ∀≤，21x m -≤【答案】C 【解析】【分析】根据特称量词命题的否定形式，直接求解.【详解】特称量词命题的否定是全称量词命题，并且否定结论，所以命题1x ∃>，21x m ->的否定是1x ∀>，21x m -≤.故选：C.2.“3x >”是“31x<”成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】利用充分条件、必要条件的定义直接判断即可.【详解】当3x >时，31x <；而当31x<时，0x <或3x >，所以“3x >”是“31x<”成立的充分不必要条件.故选：A3.已知0.60.80.41.05,0.6,0.6a b c ===，则a b c 、、的大小关系是（）A.a b c >>B.a c b>> C.b c a>> D.c b a>>【答案】B【解析】【分析】利用指数函数的单调性比较大小.【详解】依题意，0.6011.05 1.05a >==，0.80.40.60.6b c =<=，又0.4010.60.6c <==，所以a b c 、、的大小关系是a c b >>.故选：B4.已知函数()f x 的定义域为[)0,+∞，则函数()25f x y x -=-的定义域为（）A.()()2,55,-+∞B.[)()2,55,-+∞C.()()2,55,⋃+∞ D.[)()2,55,+∞ 【答案】D 【解析】【分析】应用求解抽象函数的定义域的方法即可.【详解】函数()f x 的定义域为[)0,+∞，则2050x x -≥⎧⎨-≠⎩，则2x ≥且5x ≠，则函数()25f x y x -=-的定义域为[)()2,55,+∞ .故选：D.5.若正实数a ，b 满足21a b +=，则11a b+有（）A.最小值，且最小值为1B.最小值，且最小值为3+C.最大值，且最大值为1D.最大值，且最大值为3+【答案】B 【解析】【分析】将代数式2+a b 与11a b +相乘，展开后利用基本不等式可求得11a b+的最值，进而可得出合适的选项.【详解】已知0a >，0b >，且满足21a b +=，()111122333b a a b a b a b a b ⎛⎫∴+=++=++≥=+ ⎪⎝⎭当且仅当21,2a b -==时，等号成立，因此，11a b+的最小值为3+.故选：B.6.根据表格中的数据，可以判断方程e 20x x --=的一个根所在的区间是（）x-10123e x0.371 2.727.3920.092x +12345A.(1,0)-B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)【答案】C 【解析】【分析】根据零点概念及零点存在定理判断即可.【详解】设()e 2xf x x =--，由表格中的数据得，()10.630f -=-<，()010f =-<，()10.280f =-<，()2 3.390f =>，()315.090f =>，所以()()120f f <，又()f x 的图象是连续不断的，所以()f x 在(1,2)内有零点．故选：C .7.已知定义在上函数()f x 的图象是连续不断地，且满足以下条件：①x ∀∈R ，−=；②()12,0,x x ∞∀∈+，当12x x ≠时，都有()()21210f x f x x x ->-；③()10f -=.则下列选项不成立的是（）A.()()34f f <-B.若()()12f m f -<，则m 的取值范围是(),3∞-C.若()0f x x>，则()()1,01,x ∞∈-⋃+ D.函数()f x 有最小值【答案】B 【解析】【分析】A 选项，由条件得到()f x 是偶函数，在0,+∞上单调递增，故()()34f f <-；B 选项，由单调性和奇偶性得到不等式，求出13m -<<；C 选项，由()10f -=，单调性和奇偶性得到当()(),11,x ∞∞∈--⋃+时，()0f x >，当∈−1,1时，()0f x <，得到不等式解集；D 选项，由单调性和奇偶性得到()()min 0f x f =.【详解】A 选项，由条件①得()f x 是偶函数，条件②得()f x 在0,+∞上单调递增，所以()()()344f f f <=-，故A 正确；B 选项，若()()12f m f -<，则12m -<，得13m -<<，故B 错误；C 选项，()f x 是偶函数，且()10f -=，故1=0，()f x 在0,+∞上单调递增，故()f x 在(),0∞-上单调递减，故当()(),11,x ∞∞∈--⋃+时，()0f x >，当∈−1,1时，()0f x <，若()0f x x>，则()00x f x >⎧⎨>⎩或()0x f x <⎧⎨<⎩，所以1x >或10x -<<，故C 正确；D 选项，因为定义在上函数()f x 的图象是连续不断地，()f x 在0,+∞上单调递增，故()f x 在(),0∞-上单调递减，所以()()min 0f x f =，故D 正确.故选：B8.已知函数()22f x x x =-，()()20g x ax a =+>，若[]11,2x ∀∈-，[]21,2x ∃∈-，使得()()12f x g x =，则实数a 的取值范围是（）A.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B.[3,)+∞ C.(]0,3 D.1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】求出每个函数的值域，将原问题转化为子集问题，列出不等式组求解即可.【详解】易知()f x 对称轴为1x =，故()11f =-，易知()13f -=，()20f =，可得()[]11,3f x ∈-，而()()20g x ax a =+>，故()g x 在R 上单调递增，且()12g a -=-+，()222g a =+，故()[]22,22g x a a ∈-++，故[]1,3-是[]2,22a a -++的子集，可得212230a a a -+≤-⎧⎪+≥⎨⎪>⎩，解得[3,)a ∈+∞，故B 正确.故选：B二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.已知R a b c ∈,,，则下列结论中正确的有（）A.若0ab ≠且a b <，则11a b>B.若22ac bc >，则a b >C.若0a b >>，则11a b a b->-D.()221222a b a b ++≥--【答案】BCD 【解析】【分析】举反例即可说明A ；由不等式的性质，即可说明B ；利用作差法即可判断C ；根据配方法即可判断D ．【详解】对A ：当0a b <<时，结论不成立，故A 错误；对于B ：因为22ac b >，所以20c >，所以,a b >故B 正确；对于C ：()1111a b a b a b b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为0a b >>，所以1111,0b a b a >->，所以()110a b b a ⎛⎫-+-> ⎪⎝⎭，即11a b a b ->-，故C 正确；对于D ：()221222a b a b ++≥--等价于22(1)(2)0a b -++≥，成立，故D 正确；故选：BCD ．10.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[]3.54-=-，[]2.12=.已知函数()[]f x x x =-，则关于函数()f x 的结论中正确的是（）A.()2.30.7f -= B.()f x 是奇函数C.()f x 在[)1,0-上是单调递增函数 D.()f x 的值域是[)0,1【答案】ACD 【解析】【分析】A 选项，由定义计算；B 选项，取特殊值可判断，C 选项，利用解析式判断单调性；D 选项，结合函数新定义判断.【详解】[]x 表示不超过x 的最大整数，则有[]1x x x -<≤，其中Z x ∈时[]=x x ，()[]()2.3 2.3 2.3 2.330.7f -=---=---=，A 选项正确；()[]1.1 1.1 1.1 1.110.1f =-=-=，()[]()1.1 1.1 1.1 1.120.9f -=---=---=，()()1.1 1.1f f -≠-，()f x 不是奇函数，B 选项错误；[)1,0x ∈-时，[]1x =-，()[]1f x x x x =-=+，则()f x 在[)1,0-上是单调递增函数，C 选项正确；[]1x x x -<≤，[]1x x x -≤-<-，[]01x x ≤-<，即()f x 的值域是[)0,1，D 选项正确.故选：ACD.11.下列命题中正确的是（）A.已知函数()24312ax x f x -+⎛⎫=⎪⎝⎭，若函数()f x 在区间(),2-∞上是增函数，则a 的取值范围是(]0,1B.函数()1114242x xf x -⎛⎫⎛⎫=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在[]0,3上的值域为[]1,2C.若关于x 的方程21xm -=的两根分别为a ，b ，且a b <，则有222a b +=D.函数()2221xf x x =-++，则不等式()()2232f t f t +->的解集为()(),31,-∞-+∞ 【答案】BCD 【解析】【分析】A 选项，利用复合函数的单调性求a 的取值范围；B 选项，利用函数定义域结合解析式求值域；C 选项，解含绝对值的方程；D 选项，构造函数()()1g x f x =-，利用()g x 为奇函数，且在R 上单调递增，解不等式.【详解】对于A ，函数()24312ax x f x -+⎛⎫=⎪⎝⎭在区间(),2-∞上是增函数，由函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是R 上的减函数，有函数243y ax x =-+在(),2-∞上单调递减，0a =时符合题意，A 选项错误；对于B ，()2211111114244241422222x xxx x f x -⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅+=-⋅+=+- ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，[]0,3x ∈时，11,182x⎡⎤⎛⎫∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，有1311,2822x⎡⎤⎛⎫-∈- ⎪⎢⎝⎭⎣⎦，得21110,422x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫∈-⎢ ⎪⎢⎣⎦⎝⎭⎣⎦，所以函数()1114242x xf x -⎛⎫⎛⎫=-⋅+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭在[]0,3上的值域为[]1,2，B 选项正确；对于C ，若关于x 的方程21xm -=的两根分别为a ，b ，且a b <，则有21a m =-，21b m =+，所以222a b +=，C 选项正确；对于D ，设()()21121xg x f x x =-=-++，x ∈R ，()()2221112121xx x g x f x x x -⋅-=--=--+=--+++，()()2221102121xx x g x g x x x ⎛⎫⋅+-=-++--= ⎪++⎝⎭，即()()g x g x -=-，设12x x >，()()12121222112121x x g x g x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+--+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()()()()12212112122222221212121x x x x x x x x x x -⎛⎫=-+-=-+ ⎪++++⎝⎭，由于12x x >，故120x x ->，12220x x ->，故()()()()12211222202121x x x x x x --+>++，则()()12g x g x >，故()g x 为奇函数，且在R 上单调递增，则()()()()()()22223212310230f t f t f t f t g t g t +->⇒-+-->⇒+->，即()()()22332g tg t g t >--=-，故232t t >-，解得()(),31,t ∈-∞-⋃+∞，D 选项正确.故选：BCD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.若()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()21-=+xf x ，则()1f =___________.【答案】3-【解析】【分析】函数()f x 为奇函数，有()()11f f =--，代入解析式计算即可.【详解】()f x 是定义在上的奇函数，当0x <时，()21x f x -=+，则()()()11213f f =--=-+=-.故答案为：3-13.若函数37x y a -=+（0a >且1a ≠）经过的定点是P ，则P 点的坐标是________．【答案】()3,8【解析】【分析】根据x y a =的图象过0,1点可得答案.【详解】x y a =的图象过0,1点，370x y a -=+=图象由x y a =的图象右移3个单位、上移7个单位得到，故过定点()3,8．故答案为：()3,8．14.定义{},min ,,a a b a b b a b≤⎧=⎨>⎩若函数(){}2min 33,33f x x x x =-+--+，则()f x 的最大值为______；若()f x 在区间[],m n 上的值域为3,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则n m -的最大值为______．【答案】①.3②.34+【解析】【分析】先表示出()f x 的解析式，然后作出()f x 的图象，根据图象求解出最大值；结合图象分析值域为3,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦时定义域的情况，由此确定出,m n 的取值情况，即可求n m -的最大值.【详解】当23333x x x -+=--+时，解得1x =或3x =，所以()(][)()233,,13,33,1,3x x f x x x x ∞∞⎧--+∈-⋃+⎪=⎨-+∈⎪⎩，作出()f x 的图象如下图所示：由图象可知：当3x =时，()f x 有最大值，所以()()max 33f x f ==；当()34f x =时，解得34x =或32或214；当()2f x =时，352x +=或4x =，由图象可知：当33,42m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，32n +=时，()f x 的值域为3,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦，此时n m -的最大值为333244++-=；当214,4m n ==时，()f x 的值域为3,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦，此时532544n m +-=<，由上可知，n m -的最大值为34+，故答案为：3；34+.【点睛】思路点睛：本题考查取最小值函数的应用，处理这一类函数时，图象法是首选方法，通过数形结合的思想能高效的将问题简化.常见的图象应用的命题角度有：（1）确定方程根的数目；（2）求参数范围；（3）解不等式；（4）研究函数性质.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知全集U =R 集合2(430}A x x x =-+≤∣，{||31}B x x =-<∣，{22,}C x a x a a ≤=≤+∈R ∣．（1）求()U A B ð；（2）若B C B ⋃=，求a 的取值范围．【答案】（1）()U {34}A B xx x =≤≥ ∣或ð（2）(1,2)(2,)⋃+∞【解析】【分析】（1）化简集合,A B ，由集合的并、补运算求解即可；（2）通过讨论C =∅和C ≠∅即可求解.【小问1详解】集合2{430}{13}A x x x x x =-+≤=≤≤∣∣，{||31}{24}B x x x x =-<=<<∣∣，()U {34}A B x x x ∴=≤≥ ∣或ð；【小问2详解】B C B ⋃= ，C B ∴⊆，①当C =∅时，22a a >+，2a ∴>，②当C ≠∅时，则222224a a a a ≤+⎧⎪>⎨⎪+<⎩，解得12a <<，综上所述，a 的取值范围为(1,2)(2,)⋃+∞；16.计算下列各式的值.（11132081(πe)274-⎛⎫⎛⎫--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）已知11223x x-+=，求22122x x x x --+-+-的值.【答案】（1）2（2）9【解析】【分析】（1）利用指数幂数的运算法则即可得解；（2）由已知分别求得1x x -+和22x x -+的值，代入即可得解.【小问1详解】1132081(πe)274-⎛⎫⎛⎫--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1313225214122333⨯⎛⎫=-+=--+= ⎪⎝⎭.【小问2详解】因为11223x x-+=，所以21112222327x x x x --⎛⎫+=+-=-= ⎪⎝⎭，()2221227247x x x x --+=+-=-=，所以22124729272x x x x --+--==+--.17.若函数()f x 的定义域是R ，且对任意的,x y ∈R ，都有()()()f x y f x f y +=+成立，且当0x <时，()0f x <.（1）求()0f ，判断并证明函数()f x 的奇偶性；（2）判断并证明函数()f x 的单调性；（3）解不等式()()2220f x f x x -+->.【答案】（1）()00f =，奇函数，证明见解析（2）单调递增，证明见解析（3）()(),12,-∞-+∞【解析】【分析】（1）令0x y ==，得()00f =，即可由()()()f x x f x f x -=+-求解，（2）根据单调性的定义即可求解，（3）根据奇偶性以及单调即可求解.【小问1详解】函数()f x 对任意的,x y ∈R ，都有()()()f x y f x f y +=+，令0x y ==，得()()()000f f f =+，()00f =，()f x 是奇函数，证明如下：用x -代替y ，得()()()f x x f x f x -=+-，则−=−，所以()f x 是奇函数.【小问2详解】在R 上单调递增，证明：任取12x x >，则()()()()()2121121f x f x x x f x f x x =+-=+-，由于210x x -<，所以()210f x x -<，所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，所以()f x 在(),∞∞-+上单调递增.【小问3详解】由()()2220f x f x x -+->可得()()222f x x f x ->-，由于()f x 在(),∞∞-+上单调递增，所以222x x x ->-，解得2x >或1x <-，所以不等式的解集是()(),12,∞∞--⋃+.18.已知()22x xa f x b+=+是定义在R 上的奇函数.（1）求实数a ，b 的值.（2）试判断并证明函数()f x 的单调性；（3）已知()()()11f x g x f x +=-，若对任意R x ∈且0x ≠，不等式()()()()112182g x m g x g x g x ⎛⎫+≥+- ⎪ ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）11a b =-⎧⎨=⎩（2）增函数，证明见解析（3）8m ≤【解析】【分析】（1）由()f x 是奇函数，可得()()0f x f x +-=对任意的x 成立，可得实数a ，b 的值，代入验证后即可求解；（2）根据题意设任意的12,R x x ∈，()12x x <，由单调函数定义即可判断；（3）利用换元法令22xxt -=+，若不等式()()()()112182g x m g x g x g x ⎛⎫+≥+- ⎪ ⎪⎝⎭恒成立，再根据基本不等式性质即可求解.【小问1详解】因为()f x 是奇函数，则()()22022x x x x a af x f x b b--+++-=+=++，整理得：()()22220xxa b ab -++++=，要使上式对任意的x 成立，则0220a b ab +=⎧⎨+=⎩，解得11a b =⎧⎨=-⎩或11a b =-⎧⎨=⎩，当11a b =⎧⎨=-⎩时，()2121x x f x +=-的定义域为{}|0x x ≠，不合题意，当11a b =-⎧⎨=⎩时，()2121x x f x -=+的定义域为R ，符合题意，所以11a b =-⎧⎨=⎩【小问2详解】任意的12,R x x ∈，()12x x <有()()()()()12121212122222121021212121x x x x xx x x f x f x ----=-=<++++，所以()()12f x f x <，故函数()f x 是R 上的增函数；【小问3详解】()()()121x f x g x f x +==-，因为()()()()112182g x m g x g x g x ⎛⎫+≥+- ⎪ ⎪⎝⎭恒成立，等价于()()22222218x xx x m --+-≥+-恒成立，令22x x t -=+，0x ≠，则222x x t -=+>=，则2218t mt -≥-，可得16m t t≤+在2t >时恒成立，由基本不等式168t t+≥，当且仅当4t =时，等号成立，故8m ≤.19.已知二次函数()f x 满足()()2f x f x -=，且该函数的图象经过点()2,3-，在x 轴上截得的线段长为4，设=−B .（1）求()f x 的解析式；（2）求函数()g x 在区间0,2上的最小值；（3）设函数()1932xx h x +=--，若对于任意[]10,2x ∈，总存在[]20,2x ∈，使得()()12h x g x ≥成立，求a 的取值范围.【答案】（1）()223f x x x =--（2）答案见解析（3）)2,∞-+【解析】【分析】（1）根据二次函数的对称性及过的点列式求解即可；（2）根据2a <-，22a -≤≤，2a >分类讨论求解即可；（3）由题意()()min min h x g x ≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，利用换元法求解函数()h x 的最小值，结合（2）中()g x 的最小值列不等式求解即可.【小问1详解】因为()()2=f x f x -，则()f x 的图象关于直线1x =对称且在x 轴上截得的线段长为4，()f x 的图象与x 轴的交点分别为()1,0-，()3,0，所以设()()()()130f x a x x a =+-≠.该函数的图象经过点()2,3-，解得1a =，所以()223f x x x =--.【小问2详解】因为()()223g x x a x =-+-，其对称轴方程为22a x +=，当202a +<，即2a <-时，()min 03y g ==-.当2022a +≤≤，即22a -≤≤时，()2min 22324a a y g ++⎛⎫==- ⎪⎝⎭当222a +>，即2a >时，()min 223y g a ==--综上所述，当2a <-时，min 3y =-，当22a -≤≤时，()2min234a y +=--，当2a >时，min 23y a =--.【小问3详解】若对于任意[]10,2x ∈，总存在[]20,2x ∈，使得()()12h x g x ≥成立，等价于()()min min h x g x ≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦函数()()2213179323332324x x xx x h x +⎛⎫=--=-⋅-=-- ⎪⎝⎭，因为[]0,2x ∈，所以139x ≤≤，所以当332x=时，()h x 取得最小值174-当2a <-时，()()minminh x g x ≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以1734-≥-，不成立当22a -≤≤时，()()min minh x g x ≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以()2217344a +-≥--，解得2a ≤--2a ≥-22a ≤≤当2a >时，()()min min h x g x ≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以17234a -≥--，解得58a ≥，所以2a >综上所述，a 的取值范围是)2,∞-+.【点睛】方法点睛：双变量的任意、存在性问题应转化成函数最值的大小比较问题.。

青岛2024—2025学年第一学期期中考试高一数学试题时间：120分钟满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“，”的否定是（）A.，B.，C.，D.，2.若，，，则，，的大小关系是（）A. B. C. D.3.我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数的图象特征.函数的图象大致为（）A. B. C. D.4.已知函数，集合，，若，则（）A.1B.0C.4D.5.“”是函数“在区间上单调递增”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件6.已知函整的定义域为，则函数的定义域为（）A. B. C. D.x∃∈R3||20x x+->x∃∉R3||20x x+-≤x∃∈R3||20x x+-≤x∀∈R3||20x x+-≤x∀∉R3||20x x+-≤2313a⎛⎫= ⎪⎝⎭2315b⎛⎫= ⎪⎝⎭1349c⎛⎫= ⎪⎝⎭a b ca b c<<c a b<<b c a<<b a c<<21()2xf xx-=21,1(),12x xf xx x+≤-⎧=⎨-<≤⎩{0,}A a=-{1,2,22}B a a=--A B⊆()f a=493a≤()f x=[2,)+∞()f x(4,28)-2()g x=(4,28)(6,3)(3,6)--⋃(3,6)(3,3)(2,3)--⋃7.已知函数，函数是定义在上的奇函数，若与的图象的交点分别为，……，，则（ ）A. B. C.0D.28.定义在上的偶函数满足，且对于任意，有，若函数，则下列说法正确的是（ ）A.在上单调递减 B.为偶函数C. D.在上单调递增二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，，下列说法正确的是（ ）A. B.C.D.10.定义在实数集上的函数称为狄利克雷函数.该函数由19世纪德国数学家狄利克雷提出，在高等数学的研究中应用广泛.下列有关狄利克雷函数的说法中正确的是（ ）A.的值域为B.对任意，都有C.存在无理数，对任意，都有D.若，，则有11.已知的解集是，则下列说法正确的是（ ）A.B.不等式的解集为21()x x f x x++=()1y g x =-R ()f x ()g x ()11,x y ()88,x y ()()1818x x y y ++-++= 8-4-R ()f x (2)2f =120x x >>()()21122122x f x x f x x x ->-()2()f x g x x-=()g x (0,)+∞()g x (4)(3)g g <-()f x (2,)+∞0a b <<c d >a c b d-<-a b c d<11a b>552332a b a b a b +<+1,Q()0,Qx D x x ∈⎧=⎨∉⎩()D x ()D x []0,1x ∈R ()()D x D x =-0t x ∈R ()0()D x t D x +=0a <1b >{|()}{|()}x D x a x D x b >=<20ax bx c ++>(2,3)-30b c +>20cx bx a -+<11,32⎛⎫- ⎪⎝⎭C.的最小值是D.当时，若，的值域是，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知幂函数的图象关于轴对称，且，则________.13.已知函数，，记，若与的图象恰有两个不同的交点，则实数的取值范围是________.14.已知函数满足：对任意非零实数，均有，则在上的最小值为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知函数的定义域为，集合.（1）求；（2）集合，若，求实数的取值范围.16.（15分）已知函数，.（1）若，且，求出的解析式；（2）解关于的不等式.17.（15分）已知函数是定义在上的奇函数.（1）求实数的值；（2）判断在上的单调性，并用单调性定义证明；（3）设，解不等式.18.（17分）萝卜快跑，作为全球领先的自动驾驶出行服务平台，是百度Apollo 的重要落地应用，它在无人驾驶领域扮演着先行者和创新者的角色，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并集合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车.若将报警时间划分为四段，分別为准备时间：人的反应时间、系统反应时间、制动时间，相应的距离分别为，，，，如下图所示.当车速为（米/秒），且时，通过大数据统12334a cb +++42c =2()36f x ax bx =+[]12,x n n ∈[3,1]-21[2,4]n n -∈24()()n n f x xn Z -=∈y (1)(3)f f -<n =()1f x x =-2()g x x =,max{,},a a b a b b a b≥⎧=⎨<⎩y m =max{(),()}y f x g x =(0)x ≠m ()f x x (2)()(1)2f f x f x x=⋅+-()f x (0,)+∞()f x =A {}|321B x x =->A B ⋃{|1}C x a x a =-<<R C C B ⊆a 22()23f x x ax a =--R a ∈0a =2(3)()()g x g x f x --=()g x x ()0f x <2()4x af x x +=-[1,1]-a ()f x [1,1]-()|()|g x f x =(21)(1)g t g t ->-0t 1t 2t 3t 0d 1d 2d 3d v (]0,33.3v ∈计分析得到下表给出的数据（其中系数随地面湿滑程度等路面情况而变化，）阶段①准备②人的反应③系统反应④制动时间秒秒距离米米（1）请写出报警距离（米）与车速（米/秒）之间的函数关系式；并求当，在汽车达到报警距离时，若人和系统均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间；（2）若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于50米，则汽车的行驶速度应限制在多少米/秒？19.（17分）对于区间，若函数同时满足：①在上是单调函数，②函数在的值域是，则称区间为函数的“保值”区间.（1）求函数的所有“保值”区间；（2）判断函数是否存在“保值”区间，并说明理由；（3）已知函数有“保值”区间，当取得最大值时求的值.k [1,2]k ∈0t 10.8t =20.2t =3t 010d =1d 2d 2320v d k=d v ()d v 2k =[,]()a b a b <()y f x =[],a b ()y f x =[],a b [],a b [],a b 2()f x x =1()1g x x =-()221()(,0)a a x h x a a a x+-=∈≠R [],m n n m -a。

人教版高一数学上学期期中考试数学试题（满分150分时间120分钟）一、单选题（12小题，每题5分）。

1.已知集合(){}{}0222>==-==x ,y x B ,x x lg y x A x,是实数集，则（）A.B.C.D.以上都不对2.下列函数中，是偶函数且在上为减函数的是（）A.2xy = B.xy -=2C.2-=x y D.3xy -=3.下列各组函数中，表示同一函数的是（）A.2xy =和()2x y =B.()12-=x lg y 和()()11-++=x lg x lg y C.2x log y a =和xlog y a 2= D.x y =和xa alog y =4.已知3110220230...c ,b ,.log a ===，则c ,b ,a 的大小关系是（）A.cb a << B.b ac << C.bc a << D.ac b <<5.在同一直角坐标系中，函数()()()x log x g ,x x x f a a=≥=0的图像可能是（）A. B. C. D.6.若132=log x ，则x x 93+的值为（）A.3B.C.6D.7.函数()x x x f 31+-=的单调递增区间是（）A.B.C.D.8.某同学求函数()62-+=x x ln x f 零点时，用计算器算得部分函数值如下表所示：则方程062=-+x x ln 的近似解（精确度0.1）可取为（）A.2.52B.2.625C.2.66D.2.759.函数()xx lg x f 1-=的零点所在的区间是()A.(0,1)B.(1,10)C.(10,100)D.(100，＋∞)10.已知函数()2211xxx f -+=，则有()A.()x f 是奇函数，且()x f x f -=⎪⎭⎫⎝⎛1 B.()x f 是奇函数，且()x f x f =⎪⎭⎫⎝⎛1C.()x f 是偶函数，且()x f x f -=⎪⎭⎫⎝⎛1 D.()x f 是偶函数，且()x f x f =⎪⎭⎫⎝⎛111.如图，向放在水槽底部的烧杯注水（流量一定），注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度h 与注水时间t 之间的函数关系，大致是（）A. B. C. D.12.已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<=0621100x ,x x x ,x lg x f ，若a ，b ，c 均不相等，且()()()c f b f a f ==，则abc的取值范围是A.（1，10）B.(5，6)C.(10，12)D.(20，24)二、填空题（4小题，每题5分）13.若对数函数()x f 与幂函数()x g 的图象相交于一点（2，4）,则()()=+44g f ________.14.对于函数f (x )的定义域中任意的x 1，x 2(x 1≠x 2)，有如下结论：①f (x 1＋x 2)＝f (x 1)f (x 2)；②f (x 1x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)；③()()02121>--x x x f x f .当f (x )＝e x 时，上述结论中正确结论的序号是______.15.已知3102==b,lg a ，用a,b 表示=306log _____________.16.设全集{}654321,,,,,U =,用U 的子集可表示由10,组成的6位字符串,如：{}42表示的是第2个字符为1，第4个字符为1，其余均为0的6位字符串010100，并规定空集表示的字符串为000000．（1）若，则M C U 表示6位字符串为_____________．（2）若,集合表示的字符串为101001，则满足条件的集合的个数为____个．三、解答题。

2023—2024学年第一学期高一年级期中考试卷数学本试卷共4页，22小题，全卷满分150分．考试时间120分钟．注意事项:1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动佣橡皮擦干净后。

再选涂其它答案，不能答在试题卷上。

3．考试结束，监考员将答题卡收回。

第I 卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。

每小题只有一项符合题目要求）1.命题“m R ∀∈，都有2230m m -+>”的否定是()A.m R ∀∈，都有2230m m -+ B.m R ∃∈，使得2230m m -+ C.m R ∃∈，使得2230m m -+< D.m R ∃∈，使得2230m m -+>2.集合{}2|6,y N y x x N ∈=-+∈的真子集的个数是()A.9B.8C.7D.63.若a ，b R ∈，则0a b >>是22a b >的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知0.23a =，30.2b =，30.3c =，则下列关于a ，b ，c 大小关系正确的是()A.a c b >>B.a b c >>C.b c a >>D.c a b>>5.函数22()2x xf x --=是()A.偶函数，在(0,)+∞是增函数B.奇函数，在(0,)+∞是增函数C.偶函数，在(0,)+∞是减函数D.奇函数，在(0,)+∞是减函数2023.11.176.奇函数()f x 在R 上单调递增，若正数m ，n 满足1(2)(1)0f m f n +-=，则1n m+的最小值为()A.3B.C.2+D.3+7.已知函数2()()f x x a b x ab =-++满足(1)0(f <其中0)a b <<，则函数()1x g x a b =+-的图像可能为()A.B.C.D.8.已知函数(2)3,1()1a x a x f x x -+<⎧⎪= 的值域为R ，那么实数a 的取值范围是()A.(,1]-∞- B.[1,2)- C.(0,2) D.(2,1]-二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。

2024-2025学年浙江省“浙南名校联盟”高一上期中联考数学试题❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.（答案在最后）1.已知集合{|31}A x x =-<<，2{|4}B x x =<，则A B = （）A.{}1,0- B.{}2,1,0,1--C.{|21}x x -<< D.{|32}x x -<<【答案】D 【解析】【分析】先化简集合B ，再求出两集合的并集即可．【详解】由2{|4}{|22}B x x x x =<=-<<，{|31}A x x =-<<，得{|32}A B x x =-<< .故选：D.2.要建造一个容积为31200m ，深为6m 的长方形无盖蓄水池，池壁的造价为95元2/m ，池底的造价为135元2/m ，问水池总造价最低时，水池的长a 与宽b 分别为（）A.a =，b = B.10a =，20b =C.20a =，10b = D.15a =，15b =【答案】A 【解析】【分析】设水池的长为a m ，宽为b m ，总造价为z 元；从而可得12002006ab ==，()95226135z a b ab =+⨯+⨯，结合基本不等式求最值即得.【详解】设水池的长为a m ，宽为b m ；总造价为z 元；则12002006ab ==，故200b a=；95(22)61351140()27000z a b ab a b =+⨯+⨯=++11402700027000≥⨯=+当且仅当a =b =.故选：A.3.若2313a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1313b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1323c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a 、b 、c 的大小关系是（）A.a b c >>B.b c a >>C.c b a >>D.c a b>>【答案】C 【解析】【分析】利用指数函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调性可得出a 、b 的大小关系，利用幂函数13y x =在 欧 ∞上的单调性可得出b 、c 的大小关系，由此可得出a 、b 、c 的大小关系.【详解】因为13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在 上为减函数，故21331133⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即a b <，又13y x =在 欧 ∞上为增函数，故11332133⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即c b >，故c b a >>.故选：C.4.已知函数()2f x 的定义域为[]0,4，则()31xf -的定义域为（）A.[]0,8 B.[]0,2C.[]0,80 D.80,31⎡⎤-⎣⎦【答案】B 【解析】【详解】先由题意求出()f x 的定义域，进而可求()31xf -的定义域.【解答】因为函数()2f x 的定义域为[]0,4，由[]0,4x ∈，可得[]20,8x ∈，即()f x 的定义域为[]0,8，对于函数()31xf -，需使0318x ≤-≤，解得[]0,2x ∈，故()31xf -的定义域为[]0,2.故选：B.5.“2R,10x ax ax ∃∈-+≤”是假命题，则实数a 的取值范围为（）A.()0,4 B.[)0,4 C.[]0,4 D.(]0,4【答案】B 【解析】【分析】利用特称命题及其否定形式的真假结合二次不等式恒成立问题计算即可.【详解】由特称命题的否定形式及真假可知：“2R,10x ax ax ∃∈-+≤”为假则其否定形式“2R,10x ax ax ∀∈-+>”为真命题，显然当0a =时符合题意，当0a ≠时，由一元二次不等式的恒成立问题得2Δ40a a a >⎧⎨=-<⎩，解之得()0,4a ∈，综上可得[)0,4a ∈.故选：B6.“幂函数()()211m f x m m x-=--在()0,∞+单调递减”是“1m =-”的（）A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据幂函数的定义求出m 的值，再根据充分必要条件的定义判断即可．【详解】若()f x 为幂函数，则211m m --=，解得1m =-或2m =，因当1m =-时，()2f x x -=在()0,∞+上单调递减，符合题意；当2m =时，()f x x =在()0,∞+上单调递增，不合题意.故由“幂函数()()211m f x m m x-=--在()0,∞+单调递减”当且仅当“1m =-”成立，即“幂函数()()211m f x m m x-=--在()0,∞+单调递减”是“1m =-”的充要条件．故选：B .7.已知()34122x xf x x m -=+-⋅，123f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则13f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.2-B.4- C.6- D.4【答案】C 【解析】【分析】由已知求得13313121432mm ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭⋅，代入计算，即可得13f ⎛⎫- ⎪⎝⎭.【详解】由题意，得13313114122332f m -⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⋅，则113333113314112143322m m m -⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⋅⋅，注意到11113333331133114122213322，m m m m m ----⎛⎫⎛⎫-=-=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⋅⋅则113333113311411212242633322f mm m ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-=--+-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⋅⋅.故选：C8.()2269,01,1(),1,2x x x x m x f x x -+⎧-+≤≤⎪=⎨>⎪⎩若()f x 的最大值为()3f ，则m 的取值范围为（）A.3,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.53,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.33,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.5,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】【分析】先求出()()max 31f x f ==，得当01x ≤≤时，21x x m -+≤恒成立，分离参数，利用二次函数的性质即可求解.【详解】当1x >时，()()2236911()22x xx f x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，因为12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数，()23y x =-在()1,3递减，在()3,+∞递增，则当1x >时，()f x 在()1,3递增，在()3,+∞递减，故当1x >时，()()max 31f x f ==，则当01x ≤≤时，21x x m -+≤恒成立，则当01x ≤≤时，2211x x m x x -+-≤≤-++恒成立，又当01x ≤≤时，2213124x x x ⎛⎫-+-=--- ⎪⎝⎭，则当12x =时，()2max314x x -+-=-；当01x ≤≤时，2215124x x x ⎛⎫-++=--+ ⎪⎝⎭，且当0x =时，211x x -++=；当1x =时，211x x -++=则当0x =时，()2min11x x -++=，故m 的取值范围为3,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故选：A二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列结论错误的是（）A.若()()12f f <，则()f x 在[]1,2上单调递增B.()223f x x x =+-在[)0,+∞上单调递增C.()1f x x=在定义域内单调递减D.若()224,1,3,1x ax x f x a x x ⎧---≤⎪=⎨+->⎪⎩在R 上单调递增，则a 的取值范围为(]3,1--【答案】ACD 【解析】【分析】由单调性的定义可得A 错误；由二次函数的性质可得B 正确；由单调函数的规定可得C 错误；由分段函数的单调性结合二次函数和分式型函数的性质可得D 错误；【详解】对于A 、不符合任意性，故A 错误；对于B 、()()222314f x x x x =+-=+-，在()1,-∞递增，故B 正确；对于C 、()1f x x=在(),0-∞和()0,∞+递减，不能说在定义域内单调递减，故C 错误；对于D 、由题意，得2130312141a a a a ⎧⎪-≥⎪+>⎨⎪+⎪--⨯-≤-⎩，解得21a -≤≤-，故D 错误；故选：ACD.10.已知,0a b >，22a b ab ++=，则下列结论正确的是（）A.ab的最大值为6- B.2a b +的最大值为4-C.1112+++a b 的最小值为1 D.411a b++的最小值为4【答案】AD 【解析】【分析】对于A ，B ，直接利用基本不等式即可求解；对于C ，由题设等式可得22ba b-=+，代入消元后根据对勾函数的性质可判断；对于D ，代入消元后根据基本不等式即可判断.【详解】对于A，由22a b ab ab =++≥，可得20ab +-≤，即得220-++≤，因,0a b >，解得02≤，故6ab ≤-2b a =时等号成立，由222a b a b ab =⎧⎨++=⎩，可得12a b ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，故当且仅当1a =-，2b =时，ab取得最大值为6-，故A 正确；对于B ，因122222a b ab a b +=-=-⋅⋅2122()22a b +≥-⋅，当且仅当2b a =时等号成立，令20t a b =+>，代入上式，可得21224t t ≥-⋅，即28160t t +-≥，解得4t ≥-，故当且仅当1a =-，2b =时，2a b +取得最小值为4-，故B 错误；对于C ，由22a b ab ++=，可得22ba b-=+，由0a >，可得02<<b ，故11112121224212b b a b b b b++=+=+-++++++.令()22,4m b =+∈，则得11114()1244m m a b m m+=+=+++，函数在()2,4上单调递增，故112111242a b +>+=++，即C 错误；对于D ，4141122112b b a b b b b+=+=++-+++24≥+=，当且仅当1b =，13a =时等号成立，故411a b++的最小值为4，故D 正确.故选：AD .11.存在函数()f x 满足对任意的x ∈R 都有（）A.()2222f x x x x -=+ B.()2212f x x x +=+-C.()2e e2x xf xx--=- D.()e23xxf =+【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ，令0x =与2x =即可判断；对于B ，配方、换元即可判断；对于C ，换元，根据函数的单调性及函数的定义即可判断；对于D ，换元即可判断.【详解】对于A ，令0x =，可得()00f =；令2x =，可得()08f =，矛盾，故A 错误；对于B ，()22221111x x x x +=+-=+-，所以()21112fx x +-=+-.令211t x =+-，则)11x t +=≥-，所以()()21f t t =≥-，所以()()21f x x =≥-，故B 正确；对于C ，设e e x x t -=-，e =x m ，则1=-t m m，e x m = 是增函数，x 与m 一一对应，又1(0)t m m m=->也是增函数，m 与t 也是一一对应，x ∴与t 为一一对应，同时22y x x =-符合函数定义，故C 正确；对于D ，令()e 0xt t =>，则ln x t =，所以()()ln 230t f t t =+>，所以()()ln 230x f x x =+>，故D 正确；故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.log 2lg 2lg2lg5lg52++⋅++的值为__________.【答案】3【解析】【分析】利用对数、指数运算性质即可求解.【详解】原式()2lg2lg2lg5lg5=+⋅++2lg 2lg5213=++=+=故答案为：313.()122f x x x =-+-，则不等式()32f x ≤的解集为__________.【答案】313,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】分类讨论去绝对值，求解即可.【详解】当1x <时，()()12253f x x x x =-+-=-，由()32f x ≤，可得3532x -≤，解得76x ≥，故x 不存在；当12x ≤≤时，()()1223f x x x x =-+-=-，由()32f x ≤，可得332x -≤，解得32x ≥，故322x ≤≤；当2x >时，()()12235f x x x x =-+-=-，由()32f x ≤，可得3352x -≤，解得136≤x ，故1326x <≤，综上，31326x ≤≤，故答案为：313,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦.14.已知a ，b ，0c >，1b c +=，则4b ca abc bc+++的最小值为__________.【答案】5【解析】【分析】由基本不等式得41b c a abc bc ++≥-+，再结合已知利用基本不等式求出4b c bc +的最小值可得解.【详解】()()4411111b c b ca a abc bc bc a +++=++-≥=++①，当且仅当24(1)b ca bc++=时取等号，()441414559b c b c b c bc c b c b c b +⎛⎫=+=++=++≥= ⎪⎝⎭，即49b c bc +≥②，当且仅当4b cc b=时，即13b =，23c =时取等号，将②式代入①式得412315b c a abc bc ++≥-=⨯-=+，当且仅当2a =，13b =，23c =时取等号.故答案为：5.四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知(]71,21,{|1}5A a aB x x =+-=≤--.（1）若3a =，{|25}U x x =-<≤，求()U A B ⋂ð；（2）设命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若命题q 是命题p 的必要不充分条件，求a 的取值范围.【答案】（1）(){|245}U A B x x x ⋂=-<≤=或ð（2）()2,3【解析】【分析】（1）根据不等式求出集合B ，然后依据集合的运算求出结果即可；（2）根据已知命题q 是命题p 的必要不充分条件可得集合关系，进而求出结果【小问1详解】2{|0}{|25}5x B x x x x +=≤=-≤<-；当3a =时，(]4,5{|45}A A B x x =∴=<< (){|245}U A B x x x ∴=-<≤= 或ð.【小问2详解】由题意得AB ,则121,215,12a a a a +<-⎧⎪-<⎨⎪+≥-⎩即233a a a >⎧⎪<⎨⎪≥-⎩,得23a <<.故a 的取值范围是()2,3.16.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()32xf x x =+.（1）求函数()f x 的解析式；（2）求不等式()3f x >的解集；（3）R a ∈，解关于x 的不等式()()2220f ax ax f x +++>.【答案】（1）332,0()0,0,2,0x x x x f x x x x -⎧+>⎪==⎨⎪-<⎩（2）()1,+∞（3）答案见解析【解析】【分析】（1）利用定义域为R 的奇函数()f x ，当0x >时，()32xf x x =+，可求0x <时的解析式；（2）结合函数单调性进行求解即可；（3）()()2220f ax ax f x +++>等价于()()222.f ax ax f x +>--又()f x 在R 上单调递增，所以222ax ax x +>--，即()2220ax a x +++>，然后解不等式即可.【小问1详解】当0x =时，()0f x =.当0x <时，0x ->，()33()22xx f x x x ---=-+=-+，所以()32x f x x -=-.332,0()0,0,2,0x x x x f x x x x -⎧+>⎪∴==⎨⎪-<⎩【小问2详解】由题意得当0x >时，()f x 单调递增且()1f x >，()00f =，在[)0,∞+上单调递增，又()f x 为奇函数， 在R 上单调递增，()()31f x f >= .1x ∴>即()3f x >的解集为 欧 ∞.【小问3详解】()()2220f ax ax f x +++>等价于()()222f ax ax f x +>--.又()f x 在R 上单调递增，222ax ax x ∴+>--，即()2220ax a x +++>.①当0a =时，220x +>，解得1x >-，∴原不等式解集为()1,∞-+；②当0a <时，原不等式可化为()210x x a ⎛⎫++< ⎪⎝⎭，解得21x a-<<-，∴原不等式解集为21,a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.③当0a >时，原不等式可化为()210x x a ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，()2i 1a-=-时，即2a =时，原不等式解集为()(),11,∞∞--⋃-+；()2ii 1a ->-时，即2a >时，原不等式解集为()2,1,a ∞∞⎛⎫--⋃-+ ⎪⎝⎭；()2iii 1a -<-时，即2a <时，原不等式解集为()2,1,a ∞∞⎛⎫--⋃-+ ⎪⎝⎭；17.温州市初中毕业生体育学业测试项目中，耐力类（男生1000米/女生800米）为必考项目.现一体重为50kg 的小明准备做四分钟的跑步训练，其分为两个阶段，第一阶段为前一分钟的稳定阶段，第二阶段为后三分钟的疲劳阶段.假设小明稳定阶段做速度为16m /v s =的匀速运动，该阶段每千克体重消耗体力111160Q t v =⨯△（1t 表示该阶段所用时间），疲劳阶段变为22630t v =-的减速运动（2t 表示该阶段所用时间），由于速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力222260t v Q t ⨯=+△.假定小明可用于跑步消耗的初始体力为0700kJ Q =，不考虑其他因素，所用时间为t （单位s ），请回答下列问题：（1）写出小明剩余体力Q 关于时间t 的函数()Q t ；（2）小明在四分钟内何时体力达到最低，最低值是多少；（3）小明在三分整时，恰好跑完840米，若此时他准备做匀速冲刺阶段，此阶段每千克体重消耗体力33333)11(400200Q v v t =+）△（（3t 表示该阶段所用时间），问在保证体力未消耗完的前提下，小明能否在3分40前跑完一千米？【答案】（1）()7005,060,48050100,6024030t t Q t t t t -≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫⋅+-<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）第120秒时，体力为最小值300kJ（3）不能【解析】【分析】（1）分类讨论当060t ≤≤时，当60240t <≤时，得到解析式；（2）当060t ≤≤时，()Q t 为一次函数且单调递减，当60240t <≤时，结合基本不等式求解；（3）当180t =时，此时()10003Q t =要使在三分四十前到达，需要34v ≥，求解即可.【小问1详解】当060t ≤≤时，()670050700560Q t t t =-⋅⋅=-.当60240t <≤时，()()60606480304005050100606030t t t Q t t t-⎛⎫-⋅- ⎪⎛⎫⎝⎭=-⋅=⋅- ⎪-+⎝⎭.综上()7005,060,48050100,6024030t t Q t t t t -≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫⋅+-<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩.【小问2详解】当060t ≤≤时，()Q t 为一次函数且单调递减，∴此过程()min ()60400Q t Q ==，当60240t <≤时，()480501005010030030t Q t t ⎛⎫=⋅+-≥⋅=⎪⎝⎭，当且仅当48030t t =，即120t =时取“=”.由于300400<，第120秒时，体力最小值为300kJ【小问3详解】当180t =时，此时()480180100050100180303Q t ⎛⎫=⋅+-=⎪⎝⎭.冲刺时，体力消耗量为33331150(()4002)00v v t ⋅+32333311160(()20()4084)v v v v =+⋅=+，要使在三分四十前到达，需要34v ≥，23100020()403603v ∴+≥>，所以小明不能在3分40前跑完一千米.18.已知()122x x a f x b++=+是奇函数.（1）求a ，b 的值；（2）若()f x 的定义域为R ，判断()f x 的单调性并证明；（3）在第二问的条件下，()22g x x mx =-，对任意的1R x ∈，存在[]20,4x ∈，使得()()12f x g x =，求m 的取值范围.【答案】（1）2a =-，1b =或2a =，1b =-（2）()f x 在R 上单调递增，证明见解析（3）74⎤⎥⎦【解析】【分析】（1）直接根据奇函数的定义求解即可；（2）利用作差法来证明函数的单调性；（3）先记1R x ∈时，()1f x 的值域为A ，[]20,4x ∈时，()2g x 的值域为B ，然后得出A B ⊆，再求出()2,2A =-，得到max ()2g x ≥，min ()2g x ≤-，对m 进行分类讨论即可求出m 的取值范围.【小问1详解】由题意得()00f =或()0f 不存在，①当()00f =时，()2001a f b +==+，2a =-，()1222x x f x b+-=+，又()()11f f =--，即4212122b b --=-++，1b ∴=，经检验()12221x x f x +-=+为奇函数，2a ∴=-，1b =满足条件；②当()0f 不存在时，1b =-，()1221x x f x a ++-=，又()()11f f =--，即1412211a a ++=---，2a ∴=，经检验()12221x x f x ++=-为奇函数，2a ∴=，1b =-满足条件；【小问2详解】()f x 定义域为R ，()12221x x f x +-∴=+，任取1x ，2R x ∈，12x x <，()()1212121112222222212121212121x x x x x x f x f x ++--⎛⎫⎛⎫-=-=⋅--- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭()()122112112244021212121x x x x x x -⎛⎫=-=⋅< ⎪++++⎝⎭，()()()12,f x f x f x ∴<∴在R 上单调递增；【小问3详解】记1R x ∈时，()1f x 的值域为A ，[]20,4x ∈时，()2g x 的值域为B ，由题意得A B ⊆，令21(1)xt t =+>，则()()()121222422,221x x t f x t t +---===-∈-+，()2,2A ∴=-，又A B ⊆，max ()2g x ∴≥，min () 2.g x ≤-①当2m ≥时，()()max 00g x g ==不符合题意，②当02m ≤<，()max ()41682g x g m ==-≥，()2min ()2g x g m m ==-≤-，即21682202m m m -≥⎧⎪-≤-⎨⎪≤<⎩，74m ≤≤，③当0m <时，()min ()002g x g ==≤-不成立，综上所述：m的取值范围为74⎤⎥⎦.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是由集合间的包含关系对m 进行分类讨论.19.设k 是正整数，A 是*N 的非空子集（至少有两个元素），如果对于A 中的任意两个元素x ，y ，都有x y k -≠，则称A 具有性质()P k .（1）试判断集合{}1,2,4,5B =，{}1,5,6C =是否具有性质()2P ？并说明理由；（2）若集合{}{}1211,,,1,2,,20A a a a =⊆ ，证明A 不可能具有性质()5P ；（3）若集合{}1,2,,1000A ⊆ 且具有性质()4P 和()7P ，求A 中元素个数的最大值.【答案】（1）{}1,2,4,5B =不具有性质()2P ，{}1,5,6C =具有性质()2P ，理由见解析（2）证明见解析（3）455个.【解析】【分析】（1）根据定义判断,B C 是否具有性质()2P 即可；（2）将集合{}1,2,,20 中的元素分为10个集合，进行求解即可；（3）先说明连续11项中集合A 中最多选取5项，然后求出集合A 中共有455个元素，即可.【小问1详解】422-= ，B ∴不具有性质()2P .512-≠ ，612-≠，652-≠，C ∴具有性质()2P ；【小问2详解】将集合{}1,2,,20 中的元素分为如下10个集合，{}1,6，{}2,7，{}3,8，{}4,9，{}5,10，{}11,16，{}12,17，{}13,18，{}14,19，{}15,20.所以从集合{}1,2,,20 中取11个元素，那么这10个集合至少有一个集合要选2个数，存在两个元素其差为5，A ∴不可能具有性质()5P ；【小问3详解】先说明连续11项中集合A 中最多选取5项，以1，2，3…，11为例.将这11个数分为{}1,8，{}2,9，{}3,10，{}4,11，{}5，{}6，{}77个集合，①5，6，7同时选，因为具有性质()4P 和()7P ，所以选5则不选1，9；选6则不选2，10；选7则不选3，11；则只剩4，8.故1，2，3…，11中属于集合A 的元素个数不超过5个.②5，6，7选2个，若只选5，6，则1，2，9，10，7不可选，又{}4,11只能选一个元素，3，8可以选，故1，2，3…，11中属于集合A 的元素个数不超过5个.若选5，7，则只能从2，4，8，10中选，但4，8不能同时选，故1，2，3…，11中属于集合A 的元素个数不超过5个.若选6，7，则2，3，10，11，5不可选，又{}1,8只能选一个元素，4，9可以选，故1，2，3…11中属于集合A 的元素个数不超过5个.③5，6，7中只选1个，又四个集合{}1,8，{}2,9，{}3,10，{}4,11每个集合至多选1个元素，故1，2，3…，11中属于集合A 的元素个数不超过5个.由上述①②③可知，连续11项自然数中属于集合A 的元素至多只有5个，如取1，4，6，7，9.因为1000901110=⨯+，则把每11个连续自然数分组，前90组每组至多选取5项；从991开始，最后10个数至多选取5项，故集合A 的元素最多有915455⨯=个.给出如下选取方法：从1，2，3…，11中选取1，4，6，7，9；然后在这5个数的基础上每次累加11，构造90次.此时集合A 的元素为：1，4，6，7，9；12，15，17，18，20；23，26，28，29，31； ；2014，2017，2019，2020，2022，991，994，996，997，999共455个元素.经检验可得该集合符合要求，故集合A 的元素最多有455个.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键点在于根据集合新定义对集合A的中元素进行分类，可先取其中连续11项进行讨论较为简单.。

山东省2023~2024学年第一学期期中高一数学试题（答案在最后）2023.11说明：本试卷满分150分，分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷1为第1页至第2页，第II 卷为第3页至第4页.试题答案请用2B 铅笔或0.5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（共60分）一､单选题（本题包括8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合题意）1.集合{1,0,1,2,3}A =-，{0,2,4}B =，则图中阴影部分所表示的集合为（）A.{0,2}B.{1,1,3,4}-C.{1,0,2,4}- D.{1,0,1,2,3,4}-2.命题“x ∀∈R 都有210x x ++>”的否定是（）A.不存在2,10x R x x ∈++>B.存在2000,10x R x x ∈++≤C.存在2000,10x R x x ∈++>D.对任意的2,10x R x x ∈++≤3.下列图象中，以{}01M x x =≤≤为定义域，{}01N x x =≤≤为值域的函数是（）A. B.C. D.4.“12x >”是“12x<”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知函数()22132f x x +=+，则()3f 的值等于（）A.11B.2C.5D.1-6.函数()f x =的单调递增区间是（）A.(]-1∞， B.[)1+∞，C.[]1,3 D.[]1,1-7.已知实数0a ≠，函数()2,12,1x a x f x x a x +<⎧=⎨--≥⎩，若()()112f a f a -=+，则a 的值为（）A.1B.12-C.-1D.28.已知函数y =的定义域与值域均为[]0,1，则实数a 的取值为（）A.-4B.-2C.1D.1二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）9.若0a b c >>>则以下结论正确的是（）A.c c a b> B.22ac bc >C.a b b c->- D.b c ba c a+>+10.设正实数a 、b 满足1a b +=，则（）A.有最大值12B.1122a b a b +++有最小值3C.22a b +有最小值12D.有最大值11.若定义域为R 的函数()f x 满足()2f x +为奇函数，且对任意[)12,2,x x ∈+∞，12x x ≠，已知()()()1212[]0f x f x x x -->恒成立，则下列正确的是（）A.()f x 的图象关于点()2,0-对称B.()f x 在R 上是增函数C.()()44f x f x +-=D.关于x 的不等式()0f x <的解集为(),2-∞12.设函数()y f x =的定义域为R ，对于任意给定的正数p ，定义函数()()()(),,p f x f x p f x p f x p⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则称()p f x 为()f x 的“p 界函数”.若函数2()21f x x x =-+，则下列结论正确的是（）A.()424f = B.()4f x 的值域为[]0,4C.()4f x 在[]1,1-上单调递减D.函数()41y f x =+为偶函数第II 卷（非选择题，共90分）三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知集合{}21,2,4m M m +=+，且5M ∈，则m 的值为________．14.函数()f x =的定义域为______．15.函数2(5)2,2()2(1)3,2a x x f x x a x a x --≥⎧=⎨-++<⎩是R 上的单调减函数，则实数a 的取值范围为__________.16.设()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意的1x ，2(0,)x ∈+∞，12x x ≠，满足：()()1122120x f x x f x x x ->-，若()24f =，则不等式8()0f x x->的解集为___________.四､解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17.已知集合{}27,{121}A xx B x m x m =-≤≤=+<<-∣∣，（1）3m =时，求A B ⋂；（2）若A B B = ，求实数m 的取值范围.18.已知幂函数()()215m f x m m x+=--，且函数在()0,∞+上单增（1）函数()f x 的解析式；（2）若()()122f a f -<，求实数a 的取值范围.19.已知函数()2bf x ax x=-，且()11f -=-，()13f =（1）求()f x 解析式；（2）判断并证明函数()f x 在区间()1,+∞的单调性.20.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，其中左臂长和右臂长之比为λ，一位顾客到店里购买10克黄金，售货员先将5g 砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g 砝码放在天平右盘中，然后取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将两次称得的黄金交给顾客（1）试分析顾客购得的黄金是小于10g ，等于10g ，还是大于10g ？为什么？（2）如果售货员又将5g 的砝码放在天平左盘中，然后取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡，请问要使得三次黄金质量总和最小，商家应该将左臂长和右臂长之比λ，设置为多少？请说明理由.21.已知命题：“[]1,3x ∀∈-，都有不等式240x x m --<成立”是真命题.（1）求实数m 的取值集合A ；（2）设不等式()223200x ax a a ≥-+≠的解集为B ，若x A ∈是x B ∈的充分条件，求实数a 的取值范围.22.已知函数()f x 是定义域在R 上的奇函数，当0x ≥时，()2f x x ax =-+.（1）当1a =时，求函数()f x 的解析式；（2）若函数()f x 为R 上的单调函数.且对任意的[)1,m ∈+∞，()221240tf mt m f m m ⎛⎫-+-> ⎪⎝⎭恒成立，求实数t 的范围.山东省2023~2024学年第一学期期中高一数学试题2023.11说明：本试卷满分150分，分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷1为第1页至第2页，第II 卷为第3页至第4页.试题答案请用2B 铅笔或0.5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（共60分）一､单选题（本题包括8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合题意）1.集合{1,0,1,2,3}A =-，{0,2,4}B =，则图中阴影部分所表示的集合为（）A.{0,2}B.{1,1,3,4}-C.{1,0,2,4}-D.{1,0,1,2,3,4}-【答案】B 【解析】【分析】求()()A B A B ð得解.【详解】解：图中阴影部分所表示的集合为()(){1,1,3,4}A B A B =- ð.故选：B2.命题“x ∀∈R 都有210x x ++>”的否定是（）A.不存在2,10x R x x ∈++>B.存在2000,10x R x x ∈++≤C.存在2000,10x R x x ∈++>D.对任意的2,10x R x x ∈++≤【答案】B 【解析】【分析】由全称命题的否定：将任意改为存在并否定原结论，即可写出原命题的否定.【详解】由全称命题的否定为特称命题，∴原命题的否定为：存在2000,10x R x x ∈++≤.故选：B3.下列图象中，以{}01M x x =≤≤为定义域，{}01N x x =≤≤为值域的函数是（）A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】根据函数的定义，依次分析选项中的图象，结合定义域值域的范围即可得答案．【详解】对于A ，其对应函数的值域不是{}01N y y =≤≤，A 错误；对于B ，图象中存在一部分与x 轴垂直，即此时x 对应的y 值不唯一，该图象不是函数的图象，B 错误；对于C ，其对应函数的定义域为{|01}M x x = ，值域是{|01}N y y = ，C 正确；对于D ，图象不满足一个x 对应唯一的y ，该图象不是函数的图象，D 错误；故选：C ．4.“12x >”是“12x<”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分必要条件的定义判断．【详解】12x >时12x <成立，12x <时如112x =-<，则=1x -12<，因此只能是充分不必要条件，故选：A ．5.已知函数()22132f x x +=+，则()3f 的值等于（）A.11B.2C.5D.1-【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，令213x +=求出x 即可计算作答.【详解】函数()22132f x x +=+，令213x +=，得1x =，所以()233125f =⨯+=.故选：C6.函数()f x =的单调递增区间是（）A.(]-1∞， B.[)1+∞，C.[]1,3 D.[]1,1-【答案】D 【解析】【分析】先求出()f x 定义域，在利用二次函数单调性判断出结果.【详解】函数()f x =的定义域需要满足2320x x +-≥，解得()f x 定义域为[]13，-，因为232y x x =+-在[]11-，上单调递增，所以()f x =在[]11-，上单调递增，故选：D .7.已知实数0a ≠，函数()2,12,1x a x f x x a x +<⎧=⎨--≥⎩，若()()112f a f a -=+，则a 的值为（）A.1B.12-C.-1D.2【答案】B 【解析】【分析】对a 进行分类讨论，分别确定1a -与12a +的范围，代入相应的函数解析式，再利用()()112f a f a -=+即可求解.【详解】当0a >时，有11a -<，121a +>，又因为()()112f a f a -=+，所以()()21122a a a a -+=-+-，解得：1a =-，又0a >，所以1a =-舍去；当a<0时，有11a ->，121a +<，又因为()()112f a f a -=+，所以()()21212a a a a ++=---，解得：12a =-.故选：B.8.已知函数y =的定义域与值域均为[]0,1，则实数a 的取值为（）A.-4B.-2C.1D.1【答案】A 【解析】【分析】依题意知2y ax bx c =++的值域为[]0,1，则方程20ax bx c ++=的两根为0x =或1，可得0c =，a b =-，从而确定当12x =时，2124a y a x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭取得最大值为1，进而解得4a =-.【详解】依题意，2y ax bx c =++的值域为[]0,1，且20ax bx c ++≥的解集为[]0,1，故函数的开口向下，a<0，则方程20ax bx c ++=的两根为0x =或1，则0c =，0122b a +-=，即a b =-，则222124a y ax bx c ax ax a x ⎛⎫=++=-=-- ⎪⎝⎭，当12x =时，2124a y a x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭取得最大值为1，即14a-=，解得：4a =-.故选：A.二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）9.若0a b c >>>则以下结论正确的是（）A.c c a b> B.22ac bc >C.a b b c ->- D.b c ba c a+>+【答案】AB 【解析】【分析】对于AB ，可利用不等式的性质直接判断；对于CD ，可赋值判断.【详解】对于A ，因为0a b >>，所以11a b <，又因为0c >，所以c c a b>，故A 正确；对于B ，因为0a b c >>>，则有20c >，所以22ac bc >，故B 正确；对于C ，因为0a b c >>>，若2a =，1b =，1c =-，则211a b -=-=，()112b c -=--=，此时a b b c -<-，故C 错误；对于D ，因为0a b c >>>，若2a =，1b =，1c =-，则11021b c a c +-==+-，12b a =，此时b c b a c a +<+，故D 错误.故选：AB.10.设正实数a 、b 满足1a b +=，则（）A.有最大值12B.1122a b a b +++有最小值3C.22a b +有最小值12 D.有最大值【答案】ACD 【解析】【分析】利用基本不等式求出各选项中代数式的最值，由此可判断各选项的正误.【详解】设正实数a 、b 满足1a b +=.对于A 122a b +=，当且仅当12a b ==时，等号成立，A 选项正确；对于B 选项，由基本不等式可得()111113322322a b a b a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪++++⎝⎭()()111122=222322322a b a b a b a b a b a b a b a b ++⎛⎫⎛⎫++++=+⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦++++⎝⎭⎝⎭14233⎛≥+= ⎝，当且仅当12a b ==时，等号成立，B 选项错误；对于C 选项，()()()222222122222a b a b a b a b ab a b ++⎛⎫+=+-≥+-⨯== ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时，等号成立，C 选项正确；对于D 选项，()222a b a b =+++=≤，当且仅当22a b ==时，等号成立，D 选项正确.故选：ACD.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.11.若定义域为R 的函数()f x 满足()2f x +为奇函数，且对任意[)12,2,x x ∈+∞，12x x ≠，已知()()()1212[]0f x f x x x -->恒成立，则下列正确的是（）A.()f x 的图象关于点()2,0-对称B.()f x 在R 上是增函数C.()()44f x f x +-=D.关于x 的不等式()0f x <的解集为(),2-∞【答案】BD 【解析】【分析】根据给定条件，探讨函数的对称性及单调性，再逐项判断即得答案．【详解】由()2f x +为奇函数，得()2(2)f x f x -+=-+，即(4)()0f x f x -+=，因此()f x 的图象关于点()2,0对称，由任意[)12,2,x x ∈+∞，12x x ≠，()()()1212[]0f x f x x x -->恒成立，得函数()f x 在[)2,+∞上单调递增，于是()f x 在R 上单调递增，B 正确；显然(2)(2)0f f -<=，即()f x 的图象关于点()2,0-不对称，A 错误；对C ，由(4)()0f x f x -+=，得()()44f x f x +-≠，C 错误；对D ，由于()f x 在R 上单调递增，()()0(2)f x f x f <⇔<，则2x <，即不等式()0f x <的解集为(),2-∞，D 正确．故选：BD12.设函数()y f x =的定义域为R ，对于任意给定的正数p ，定义函数()()()(),,p f x f x p f x p f x p⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则称()p f x 为()f x 的“p 界函数”.若函数2()21f x x x =-+，则下列结论正确的是（）A.()424f = B.()4f x 的值域为[]0,4C.()4f x 在[]1,1-上单调递减 D.函数()41y f x =+为偶函数【答案】BCD 【解析】【分析】令2214x x -+≤求出不等式的解，即可求出()4f x 的解析式，即可判断A 、B 、C ，再求出()41y f x =+的解析式，画出图象，即可判断D.【详解】根据题意，由2214x x -+≤，解得13x -≤≤，∴()2421,134,14,3x x x f x x x ⎧-+-≤≤⎪=<-⎨⎪>⎩，所以()24222211f =-⨯+=，故A 错误；当13x -≤≤时()()224211f x x x x =-+=-，且()4f x 在[]1,1-上单调递减，在[]1,3上单调递增，()401f =，()()44431f f -==，所以()404f x ≤≤，即()4f x 的值域为[]0,4，故B 、C 正确；因为()24,2214,24,2x x y f x x x ⎧-≤≤⎪=+=<-⎨⎪>⎩，则()41y f x =+的图象如下所示：由图可知()41y f x =+的图象关于y 轴对称，所以函数()41y f x =+为偶函数，故D 正确；故选：BCD第II 卷（非选择题，共90分）三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知集合{}21,2,4m M m +=+，且5M ∈，则m 的值为________．【答案】1或3##3或1【解析】【分析】根据题意得到25m +=，245m +=，解方程再验证得到答案.【详解】{}21,2,4m M m +=+，5M ∈，当25m +=时，3m =，此时{}1,9,13M =，满足条件；当245m +=时，1m =±，1m =-时，不满足互异性，排除；1m=时，{}1,3,5M =，满足条件.综上所述：1m =或3m =.故答案为：1或3.14.函数()f x =的定义域为______．【答案】1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦【解析】【分析】根据偶次方根的被开方数非负且分母不为零得到不等式组，解得即可.【详解】对于函数()f x =，则1021210xx x -⎧≥⎪+⎨⎪+≠⎩等价于()()1210210x x x ⎧-+≥⎨+≠⎩，解得112x -<≤，所以函数()f x =的定义域为1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦.故答案为：1,12⎛⎤-⎥⎝⎦15.函数2(5)2,2()2(1)3,2a x x f x x a x a x --≥⎧=⎨-++<⎩是R 上的单调减函数，则实数a 的取值范围为__________.【答案】[]1,4【解析】【分析】根据分段函数单调性的定义，解不等式求实数a 的取值范围.【详解】函数2(5)2,2()2(1)3,2a x x f x x a x a x --≥⎧=⎨-++<⎩是R 上的单调减函数，则44(1)32(5)21250a a a a a -++≥--⎧⎪+≥⎨⎪-<⎩，解得14a ≤≤，所以实数a 的取值范围为[]1,4.故答案为：[]1,4．16.设()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意的1x ，2(0,)x ∈+∞，12x x ≠，满足：()()1122120x f x x f x x x ->-，若()24f =，则不等式8()0f x x->的解集为___________.【答案】(2,0)(2,)-+∞ 【解析】【分析】令()()F x xf x =，可得函数利()F x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞ 上的偶函数且在(0,)+∞上单调递增，原不等式等价于()80F x x->，分析可得答案.【详解】令()()F x xf x =，由()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞ 上的奇函数，可得()F x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞ 上的偶函数，由对任意的1x ，2(0,)x ∈+∞，12x x ≠，满足：()()2211210x f x x f x x x ->-，可得()()F x xf x =在(0,)+∞上单调递增，由(2)4f =，可得(2)8F =，所以()F x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)8F -=，不等式8()0f x x ->，即为()80xf x x ->，即()80F x x->，可得0()8x F x >⎧⎨>⎩或0()8x F x <⎧⎨<⎩，即02x x >⎧⎨>⎩或020x x <⎧⎨-<<⎩解得2x >或20x -<<.故答案为：(2,0)(2,)-+∞ .四､解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17.已知集合{}27,{121}A xx B x m x m =-≤≤=+<<-∣∣，（1）3m =时，求A B ⋂；（2）若A B B = ，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{}|45A B x x =<<I （2）(]4∞-，【解析】【分析】（1）代入m 求集合B ，根据交集的定义即可得解；（2）A B B = ，即B A ⊆，分B =∅和B ≠∅两种情况讨论，从而可得出答案.【小问1详解】解：若3m =，则{}45B x x =<<，又{}27A xx =-≤≤∣，所以{}|45A B x x =<<I ；【小问2详解】解：因为A B B = ，所以B A ⊆，当B =∅时，则211m m -≤+，解得2m ≤，此时B A ⊆，符合题意，当B ≠∅时，则12112217m m m m +<-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，解得24m <≤，综上所述4m ≤，所以若A B B = ，m 的取值范围为(]4∞-，.18.已知幂函数()()215m f x m m x+=--，且函数在()0,∞+上单增（1）函数()f x 的解析式；（2）若()()122f a f -<，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()4f x x =（2）13,22⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）幂函数()()215m f x m m x+=--，有251m m --=，再由函数在()0,∞+上单调递增，解出m 的值，得函数()f x 的解析式；（2）由函数的奇偶性和单调性解不等式.【小问1详解】()()215m f x m m x +=--为幂函数，则有251m m --=，解得3m =或2m =-，3m =时，()4f x x =，在()0,∞+上单调递增，符合题意；2m =-时，()1f x x -=，在()0,∞+上单调递减，不合题意；所以()4f x x =.【小问2详解】()4f x x =，函数定义域为R ，()()()44f x x x f x -=-==，函数为偶函数，在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，若()()122f a f -<，有2122a -<-<，解得1322a -<<，所以实数a 的取值范围为13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭.19.已知函数()2bf x ax x=-，且()11f -=-，()13f =（1）求()f x 解析式；（2）判断并证明函数()f x 在区间()1,+∞的单调性.【答案】（1）()22f x x x=+（2）单调递增，证明见解析.【解析】【分析】（1）依题意可得1a b +=-，3a b -=，解方程即可得函数解析式；（2）利用函数单调性的定义法判断即可.【小问1详解】因为()11f -=-，()13f =，所以1a b +=-，3a b -=，解得：1a =，2b =-，所以函数()f x 解析式为：()22f x x x=+.【小问2详解】函数()f x 在区间()1,+∞上单调递增，证明如下：由（1）知()22f x x x=+，取任意1x 、()21,x ∈+∞，令12x x <，则()()()22121212121212222f x f x x x x x x x x x x x ⎛⎫-=+--=-+- ⎪⋅⎝⎭因为12x x <，所以120x x -<，又211x x >>，则122x x +>，121x x ⋅>，所以12101x x <<⋅，则12202x x <<⋅，所以1222x x ->-⋅，即121220x x x x +->⋅，所以()()120f x f x -<，即函数()f x 在区间()1,+∞上单调递增.20.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，其中左臂长和右臂长之比为λ，一位顾客到店里购买10克黄金，售货员先将5g 砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g 砝码放在天平右盘中，然后取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将两次称得的黄金交给顾客（1）试分析顾客购得的黄金是小于10g ，等于10g ，还是大于10g ？为什么？（2）如果售货员又将5g 的砝码放在天平左盘中，然后取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡，请问要使得三次黄金质量总和最小，商家应该将左臂长和右臂长之比λ，设置为多少？请说明理由.【答案】（1）顾客购得的黄金是大于10g ，理由见详解（2）三次黄金质量总和要最小，则左臂长和右臂长之比2λ=,理由见详解【解析】【分析】（1）设天平的左臂长为a ，右臂长b ，则a b ¹，售货员先将5g 的砝码放在左盘，将黄金x g 放在右盘使之平衡；然后又将5g 的砝码放入右盘，将另一黄金y g 放在左盘使之平衡，则顾客实际所得黄金为x y +（g）利用杠杆原理和基本不等式的性质即可得出结论.（2）再一次将5g 的砝码放在天平左盘，再取黄金m g 放在右盘使之平衡，加上前两次利用基本不等式进行分析即可.【小问1详解】由于天平两臂不等长，设天平左臂长为a ，右臂长为b ，且a b ¹，先称得黄金为x g，后称得黄金为y g，则5,5bx a ay b ==，则55,a b x y b a ==，所以555210a b x y b a +=+≥⨯=当且仅当a bb a=，即a b =时取等号，由a b ¹，所以10x y +>顾客购得的黄金是大于10g【小问2详解】由（1）再一次将5g 的砝码放在天平左盘，再取黄金m g 放在右盘使之平衡，则此时有5a bm =，此时有5am b=，所以三次黄金质量总和为：55525()52a b a a b x y m b a b b a ++=++=+≥⨯=当且仅当2a b b a =，即2a b b λ=⇒==所以三次黄金质量总和要最小，则左臂长和右臂长之比22λ=.21.已知命题：“[]1,3x ∀∈-，都有不等式240x x m --<成立”是真命题.（1）求实数m 的取值集合A ；（2）设不等式()223200x ax a a ≥-+≠的解集为B ，若x A ∈是x B ∈的充分条件，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}5A m m =>（2）5002a a a ⎧⎫<<≤⎨⎩⎭或【解析】【分析】（1）分析可知24m x x >-在[]13,x ∈-时恒成立，利用二次函数的基本性质可求得实数m 的取值集合A ；（2）分析可知A B ⊆，分a<0、0a >两种情况讨论，求出集合B ，结合A B ⊆可得出关于实数a 的不等式，综合可得出实数a 的取值范围.【小问1详解】解：由[]1,3x ∀∈-，都有不等式240x x m --<成立，得240x x m --<在[]13,x ∈-时恒成立，所以()2max4m x x>-，因为二次函数24y x x =-在[]1,2-上单调递减，在[]2,3上单调递增，且()21145x y=-=-+=，233433x y ==-⨯=-，所以，当[]13,x ∈-时，max 5y =，5m ∴>，所以，{}5A m m =>.【小问2详解】解：由22320x ax a -+≥可得()()20x a x a --≥.①当0a <时，可得{2B x x a =≤或}x a ≥，因为x A ∈是x B ∈的充分条件，则A B ⊆，则5a ≤，此时，0a <；②当0a >时，可得{B x x a =≤或}2x a ≥，因为x A ∈是x B ∈的充分条件，则A B ⊆，则25a ≤，解得52a ≤，此时502a <≤.综上所述，实数a 的取值范围是5002a a a ⎧⎫<<≤⎨⎩⎭或.22.已知函数()f x 是定义域在R 上的奇函数，当0x ≥时，()2f x x ax =-+.（1）当1a =时，求函数()f x 的解析式；（2）若函数()f x 为R 上的单调函数.且对任意的[)1,m ∈+∞，()221240tf mt m f m m ⎛⎫-+-> ⎪⎝⎭恒成立，求实数t 的范围.【答案】（1）22,(0)(),(0)x x x f x x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩（2）5,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据奇函数的定义和0x ≥时()f x 的解析式，即可得出0x <时的解析式，进而得出答案；（2）由()f x 的单调性和奇偶性解不等式，通过参变分离、换元法、构造函数求单调性，求得函数的最值，可求实数t 的范围．【小问1详解】函数()f x 是定义域在R 上的奇函数，1a =，当0x ≥时，2()f x x x =-+．当0x <时，有0x ->，22()()()f x f x x x x x =--=---=+．所以22,(0)(),(0)x x x f x x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩．【小问2详解】因奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，由2()f x x ax =-+在[)0,∞+上单调递减，故函数()f x 为单调递减函数，由()221240t f mt mf m m⎛⎫-+->⎪⎝⎭，可得()2221124t t f mt mf f m m m m ⎛⎫⎛⎫->--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故22124t mt m m m -<-，即221124m t m m m ⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭，又注意到22211424m m m m ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭，结合[)1,m ∈+∞，知120m m +>，得：14(21(2)t m m m m<+-+．令1()2=+g x x x，其中[)1,x ∞∈+，任取121x x ≤<，故2112121212121212111()()222()()2x x g x g x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫--=+--=-+=-- ⎪⎝⎭，因121x x ≤<，则120x x -<，121x x >，12120->x x ，故12121()20x x x x ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，即12()()<g x g x ，所以()g x 在[)1,+∞上单调递增，得()()13g x g ≥=．又令12m n m +=，则14(21(2)t m m m m <+-+转化为4t n n <-，其中3n ≥．要使式子成立，需t 小于4n n-的最小值．又注意到函数y x =与函数4y x=-均在[)3,+∞上单调递增，则函数4y x x=-在[)3,+∞上单调递增．故445333n n -≥-=，得53t <，则t 的范围为5,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．。

2024-2025学年辽宁省名校联盟高一上学期11月期中考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设全集U ={x ∈Z|−3<x <5}，A ={−2,2}，B ={−2,4}，则(∁U A)∪B =( )A. {4}B. {−1,0,4}C. {−2,0,3,4}D. {−2,−1,0,1,3,4}2.命题“∀x ∈R ，x 2+2x−3≤0”的否定是( )A. ∀x ∈R ，x 2+2x−3>0B. ∀x ∉R ，x 2+2x−3>0C. ∃x ∈R ，x 2+2x−3>0D. ∃x ∈R ，x 2+2x−3≥03.已知x >4，则函数y =1x−4+4x 的最小值是( )A. 8B. 12C. 16D. 204.函数y =x + 2−x +2的最大值是( )A. 14B. 174C. 4D. 2+ 25.设在二维平面上有两个点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，它们之间的距离有一个新的定义为D(A,B)=|x 1−x 2|+|y 1−y 2|，这样的距离在数学上称为曼哈顿距离或绝对值距离.已知A ，B 两个点的坐标为A(x,m)，B(−2,x)，如果它们之间的曼哈顿距离大于3恒成立，则实数m 的取值范围是( )A. (−∞,−5)∪(1,+∞)B. (−∞,−1)∪(5,+∞)C. [−5,1]D. [−1,5]6.关于x 的方程x +m x 2−4=1有唯一解，则m 的取值集合为( )A. {−174}B. {2,−2}C. {−2,2,174}D. {−2,2,−174}7.已知函数f(x)=x 2+2mx +2m +3有一个零点在区间(0,2)内，求实数m 的取值范围是( )A. m =−1B. m =−1或m =3C. m =−1或−32<m ≤−76D. m =−1或−32<m <−768.已知函数y =xf(x +2)定义域为R 的偶函数，且f(3−x)=f(x +5)，当x ∈[0,2]时，f(x)=8−4x ，则f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(2024)=( )A. −506B. 0C. 506D. 2024二、多选题：本题共3小题，共18分。

高一上学期期中数学试题一、单选题（本大题共8小题）1. 已知集合{}2Z160U x x =∈-≤∣，集合{}2Z 340A x x x =∈--<∣，则UA =（ ）A ．{14xx ≤≤∣或4}x =- B ．{41xx -≤≤-∣或4}x = C ．{}4,3,2,1,4---- D ．{}4,3,2,1----2. 24x =是2x =-的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3. 若,,a b c R ∈，a b >则下列不等式成立的是（ ） A ．11a b<B ．22a b <C ．a c b c >D ．2211a bc c >++ 4. 设函数()21,01,0x x f x x x -+≤⎧=⎨->⎩，若()3f a =，则实数=a （ ）A ．2B ．2-或2C ．4-或2D ．4-5. 幂函数2225()(5)m m f x m m x +-=+-在区间(0,)+∞上单调递增，则(3)f =（ ）A ．27B ．9C ．19D ．1276. 下列函数中，既是其定义域上的单调函数，又是奇函数的是（ ） A ．4y x = B ．1y x=C ．y =D ．3y x =7. 若两个正实数,x y 满足141x y +=，且不等式234yx m m +<-有解，则实数m 的取值范围为（ ）A ．41,3⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．()4,1,3∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭C ．4,13⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()4,1,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭8. 已知函数()f x 的定义域是()0,∞+，且满足()()()1,12f xy f x f y f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，如果对于0x y <<，都有()()f x f y >，则不等式()()232f x f x +-≥-的解集为（ ） A ．[]1,2 B ．][(),12,-∞⋃+∞C ．()()0,12,3D ．][()0,12,3⋃二、多选题（本大题共4小题）9. 已知{}21|A y y x ==+，(){}21|,B x y y x ==+ ，下列关系正确的是（ ）A ．=AB B ．()1,2A ∈C ．1B ∉D ．2A ∈10. 已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为{}|23<<x x ，则下列说法正确的有（ ） A ．0a >B ．0a b c ++<C ．24c a b ++的最小值为6D ．不等式20cx bx a -+<的解集为1|32x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或11. 下列说法正确的是（ ）A ．偶函数()f x 的定义域为[]21,a a -，则1a =B ．若函数()21y f x =-的定义域是[]2,3-，则f x y =的定义域是(]3,5-C ．奇函数()f x 在[]2,4上单调递增，且最大值为8，最小值为1-，则()()24215f f -+-=-D ．若集合{}2|420A x ax x =-++=中至多有一个元素，则2a ≤-12. 已知定义在R 上的函数()f x 的图像是连续不断的，且满足以下条件：①()()R,x f x f x ∀∈-=；② ()12,0,x x ∀∈+∞，当12x x ≠时，()()21210f x f x x x ->-；③()10f -=.则下列选项成立的是（ ）A ．()f x 在(),0∞-上单调递减，B ．()()53f f -<C ．若()()12f m f -<，则3m <D ．若()0f x x>，则()()1,01,x ∈-⋃+∞三、填空题（本大题共3小题）13. 已知()y f x =为奇函数，当0x ≥时()()1f x x x =+，则()3f -= ． 14. 已知1x >，则1411y x x =++-的最小值是 ． 15. 已知()f x 是定义域为(),-∞+∞的偶函数，且满足()()()2,01f x f x f +=-=，则()()()()()12320212022f f f f f +++++= .四、双空题（本大题共1小题）16. 已知函数()22,31,3x x x c f x c x x ⎧+-≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩，若0c ，则()f x 的值域是 ；若()f x 的值域是[]1,3-，则实数c 的取值范围是 .五、解答题（本大题共6小题）17. （1）某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元.若按最低售价销售，每天能卖出30个；若一个削笔器的售价每提高1元，日销售量将减少2个.为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批削笔器的销售价格？（2）根据定义证明函数1y x x=+在区间()1,+∞上单调递增. 18. 已知命题2120p x x a ∀≤≤-≥：，，命题22R +2+2+=0q x x ax a a ∃∈：，. (1)若命题p 的否定为真命题，求实数a 的取值范围；(2)若命题p 为真命题，命题q 为假命题，求实数a 的取值范围.19. 已知函数()f x A ，集合={1<<1+}B x a x a -.(1)当=2a 时，求R A B ⋂（）；(2)若B A ⊆，求a 的取值范围.20. 已知幂函数()22()55m f x m m x -=-+的图象关于点(0,0)对称．(1)求该幂函数()f x 的解析式；(2)设函数()|()|g x f x =，在如图的坐标系中作出函数()g x 的图象； (3)直接写出函数()g x 的单调区间．21. 已知函数()223,R f x x bx b =-+∈. (1)求不等式()24f x b <-的解集；(2)当[]1,2x ∈-时，函数()y f x =的最小值为1，求当[]1,2x ∈-时，函数()y f x =的最大值.22. 设函数()()22,52(0)1x f x g x ax a a x ==+->+，(1)若对任意的[]10,1x ∈，存在[]20,1x ∈使得()()12f x g x ≥，求实数a 的取值范围； (2)若对任意的[]10,1x ∈，存在[]20,1x ∈使得()()12f x g x =，求实数a 的取值范围.参考答案1. 【答案】C【分析】解一元二次不等式求得集合U 和A ，根据补集的概念即可求得答案.【详解】解不等式2340x x --<得14,{Z 14}{0123}x A x x -<<∴=∈-<<=∣，，，, 由2160x -≤,可得44x -≤≤，{}Z 44{432101234}U x x ∴=∈-≤≤=----∣，，，，，，，，， {}4,3,2,1,4U A ∴=----故选：C. 2. 【答案】B【分析】先解方程24x =，进而判断出.24x =是2x =-的必要不充分条件. 【详解】①当24x =时，则2x =±，∴充分性不成立，②当2x =-时，则24x =，∴必要性成立，∴24x =是2x =-的必要不充分条件. 故选：B. 3. 【答案】D【分析】通过反例1a =，1b ，0c 可排除ABC ；利用不等式的性质可证得D 正确.【详解】若1a =，1b，则1111a b=>=-，221a b ==，则A 、B 错误； 若a b >，0c ，则0a c b c ==，则C 错误；211c +≥，21011c ∴<≤+，又a b >，2211a bc c ∴>++，则D 正确.故选：D. 4. 【答案】B【分析】根据()21,01,0x x f x x x -+≤⎧=⎨->⎩，分0a ≤和 0a >讨论求解. 【详解】解：()21,01,0x x f x x x -+≤⎧=⎨->⎩，当0a ≤时，13a -+=，则2a =-， 当0a >时，令24a =，则2a =， 故实数2a =-或2， 故选：B. 5. 【答案】A【分析】根据幂函数的概念及性质，求得实数m 的值，得到幂函数的解析式，即可求解.【详解】由题意，令251m m +-=，即260m m +-=，解得2m =或3m =-，当2m =时，可得函数3()f x x =，此时函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，符合题意； 当3m =-时，可得2()f x x -=，此时函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，不符合题意， 即幂函数3()f x x =，则(3)27f =. 故选：A. 6. 【答案】D【分析】根据幂函数的单调性与奇偶性分析判断.【详解】对于A ：∵()44x x -=，则4y x =是偶函数，故A 错误； 对于B ：∵11=--x x ，则1y x=为奇函数，在()(),0,0,-∞+∞单调递减，但在定义域上不单调，故B 错误；对于C :y =[)0,∞+，在定义域上单调递增，但定义域不关于原点对称，即y =C 错误；对于3D :y x =在定义域R 上单调递增，且33()x x -=-，即3y x =为奇函数，故D 正确； 故选：D. 7. 【答案】B【分析】根据基本不等式，结合不等式有解的性质进行求解即可. 【详解】不等式234y x m m +<-有解，2min 3,0,04y x m m x y <⎛⎫∴+->> ⎪⎝⎭，且141x y +=，144224444y y x y x x x y y x ⎛⎫⎛⎫∴+=++=++≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当44x y y x =，即2,8x y ==时取“="，min 44y x ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，故234m m ->，即()()1340m m +->，解得1m <-或4,3m >∴实数m 的取值范围是()4,1,3∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭. 故选：B. 8. 【答案】D【分析】由赋值法得()42f =-，由函数的单调性转化后求解，【详解】由于()()()f xy f x f y =+，令1x y ==得()()121f f =，即()10f =，则()()11122022f f f f ⎛⎫⎛⎫=⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()21f =-， 即有()()4222f f ==-，由于对于0x y <<，都有()()f x f y >，则()f x 在()0,∞+上递减， 不等式()()232f x f x +-≥-即为()()234f x x f ⎡⎤-≥⎣⎦.则20302(3)4x x x x >⎧⎪->⎨⎪-≤⎩，解得01x <≤或23x ≤<，即解集为][()0,12,3⋃. 故选：D9. 【答案】CD【分析】根据集合A 、B 的特征，结合元素与集合的关系进行判断．【详解】∵{}2|1{|1}A y y x y y ==+=是数集；{}2(,)|1B x y y x ==+为点集，∴2A ∈，2B ∉，1B ∉，故A 错误，C 、D 正确；由21y x =+知，=1x 时=2y ，∴(1,2)B ∈,(1,2)A ∉，故B 错误． 故选：CD ． 10. 【答案】BC【分析】由不等式与方程的关系得出02323a b a c a ⎧⎪<⎪⎪+=-⎨⎪⎪⨯=⎪⎩，从而得到：5b a =-，6c a =，且a<0，再依次对四个选项判断即可得出答案.【详解】不等式20ax bx c ++>的解集为{}|23<<x x ，02323a b a c a ⎧⎪<⎪⎪∴+=-⎨⎪⎪⨯=⎪⎩，解得：5b a =-，6c a =，且a<0，故选项A 错误；5620a b c a a a a ++=-+=<，故选项B 正确；()2243641964c a a a b a a ++⎛⎫==-+-≥ ⎪+-⎝⎭， 当且仅当13a =-时等号成立，故选项C 正确；20cx bx a -+<可化为：2650ax ax a ++<，即26510x x ++>，则解集为1123x x x ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭或，故选项D 错误；综上所述选项B 、C 正确， 故选：BC. 11. 【答案】BC【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称，可判断A 项错误；根据抽象函数定义域的求解法则，以及使得分式根式有意义，可列出不等式组，可判断B 项正确；根据条件可得()21f =-，()48f =，根据奇函数的性质可求得()2f -与()4f -的值，代入即可得出C 项正确；由题意可知，方程2420ax x -++=至多有一个解，对a 是否为0讨论，可得D 项错误.【详解】由偶函数()f x 的定义域为[]21,a a -，可得210a a -+=，解得13a =，A 错；因为函数()21y f x =-的定义域是[]2,3-，所以23x -≤≤，即5215x -≤-≤.所以函数()f x 的定义域为[]5,5-.要使f x y =5530x x -≤≤⎧⎨+>⎩，解得35x -<≤，即y =(]3,5-，B 对；因为，奇函数()f x 在[]2,4上单调递增，且最大值为8，最小值为-1， 则()21f =-，()48f =，根据奇函数的性质可得，()()221f f -=-=，()()448f f -=-=-， 则()()()24228115f f -+-=⨯-+=-，则C 项正确；因为集合{}2420A x ax x =-++=∣中至多有一个元素， 所以方程2420ax x -++=至多有一个解，当0a =时，方程420x +=只有一个解12x =-，符合题意；当0a ≠时，由方程2420ax x -++=至多有一个解，可得Δ1680a =+≤，解得2a ≤-. 所以，0a =或2a ≤-，则D 项错误. 故选：BC. 12. 【答案】AD【分析】由①可得，()f x 为偶函数.由②可得，()f x 在()0,∞+上单调递增.后分析选项可得答案.【详解】由()()()21121221,0,,,0f x f x x x x x x x ∞-∀∈+≠>-得：()f x 在()0,∞+上单调递增，由R x ∀∈，()()f x f x -=得：函数()f x 是R 上的偶函数.对于A 选项，因()f x 在()0,∞+上单调递增，且()f x 为偶函数，则()f x 在(),0∞-上单调递减，故A 正确.对于B ，C 选项，因()f x 为偶函数，则()()f x f x =.又()f x 在()0,∞+上单调递增，则()()()553,f f f -=>故B 错误；()()()()1212f m f f m f -<⇔-<，又函数()f x 的图像是连续不断的，则有12m -<，解得13,m -<<故C 错误；对于D 选项，由()0f x >及()10f -=得：()()11f x f x >⇔>，解得1x <-或1x >，由()0f x <得：()()11f x f x <⇔<，解得11x -<< 则()0f x x>可化为：()00f x x ⎧>⎨>⎩或()00f x x ⎧<⎨<⎩，解得1x >或10x -<<，即()()1,01,x ∈-⋃+∞，故D 正确.故选：AD13. 【答案】－12【分析】利用奇函数的性质()()f x f x -=-即可得到答案. 【详解】因为()y f x =为奇函数，所以()()f x f x -=-， 故()()()3331312f f -=-=-⨯+=-． 故答案为：－12. 14. 【答案】9【分析】将目标式变形，利用基本不等式即可得出其最值． 【详解】1x >，10x ->，()(11414152415911x x x x x ∴++=-++-=--， 当且仅当()1411x x -=-即3=2x 时取等号， 32x ∴=时， 1411y x x =++-取最小值9． 故答案为：9． 15. 【答案】1-【分析】由()()2f x f x +=-知函数是周期为4的周期函数，再结合偶函数可求()()()()1234f f f f ，，，的值，从而可求()()()()()12320212022f f f f f +++++的值.【详解】由()f x 满足()()2f x f x +=-，则()()()42f x f x f x +=-+=，即函数是周期为4的周期函数；根据题意，()f x 是定义域为(),-∞+∞的偶函数，则有()()11f f -=，又由()f x 满足()()2f x f x +=-，则()()()111f f f -=-=，所以()()110f f =-=，由()()2f x f x +=-，可得()()()()201,310f f f f =-=-=-=， 则()()()()12340f f f f +++=， 所以()()()()()12320212022f f f f f +++++()()()()()()5051234121f f f f f f ⎡⎤=+++++=-⎣⎦. 故答案为：1-.16. 【答案】 [1,)-+∞ 1[,1]3.【分析】作出函数()f x 的图象，根据二次函数与反比例函数的图象与性质，结合图象，即可求解.【详解】由0c 时，函数()22,301,03x x x f x x x⎧+-≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩，当[3,0]x ∈-时，函数()22f x x x =+，可得函数()f x 在[3,1]--上单调递减，在[1,0]-上单调递增， 且()()(3)3,11,00f f f -=-=-=，所以函数的值为[1,3]-； 当(0,3]x ∈时，函数()1f x x =为单调递减函数，其值域为1[,)3+∞， 综上可得，函数()f x 的值域为[1,)-+∞； 作出函数()f x 的图象，如图所示， 若函数()f x 的值域为[1,3]-，当1y =-时，即221x x +=-，解得=1x -， 当3y =时，即223x x +=，解得3x =-或1x =， 当13x=时，可得13x =，结合图象，可得实数c 的取值范围是1[,1]3.故答案为：[1,)-+∞；1[,1]3.17. 【答案】（1）应将这批削笔器的销售价格制定在每个15元到20元之间（包括15元但不包括20元）；（2）证明见解析.【分析】（1）设这批削笔器的销售价格定为()15x x 元/个，解不等式()30152400x x ⎡⎤--⨯⋅>⎣⎦即得解；（2）利用函数单调性的定义证明.【详解】（1）设这批削笔器的销售价格定为()15x x 元/个，由题意得()30152400x x ⎡⎤--⨯⋅>⎣⎦，即2302000,x x -+<方程230200x x -+=的两个实数根为1210,20x x ==，2302000x x ∴-+<解集为{1020}x x <<∣， 又15,1520x x ≥∴≤<，故应将这批削笔器的销售价格制定在每个15元到20元之间（包括15元但不包括20元），才能使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入.（2）证明：()12,1,x x ∀∈+∞，且12x x <，有()()()211212121212121212121211111x x x x y y x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=+-+=-+-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.由()12,1,x x ∈+∞，得121,1x x >>.所以12121,10x x x x >->. 又由12x x <，得120x x -<.于是()12121210x x x x x x --<，即12y y <. 所以，函数1y x x=+在区间()1,+∞上单调递增. 18. 【答案】(1)(1,)+∞ (2)(0,1]【分析】（1）先求出p ⌝，然后利用其为真命题，求出a 的取值范围即可； （2）由（1）可知，命题p 为真命题时a 的取值范围，然后再求解q 为真命题时a 的取值范围，从而得到q ⌝为真命题时a 的取值范围，即可得到答案． 【详解】（1）根据题意，当12x ≤≤时，214x ≤≤， p ⌝：存在12x ≤≤，20x a -<为真命题，则1a >， 所以实数a 的取值范围是(1,)+∞；（2）由（1）可知，命题p 为真命题时，1a ≤， 命题q 为真命题时，2244(2)0a a a ∆=-+≥，解得0a ≤， 所以q ⌝为真命题时，0a >，所以1>0a a ≤⎧⎨⎩，解得01a <≤，所以实数a 的取值范围为(0，1]． 19. 【答案】(1){3<1x x -≤-或}34x ≤≤(2){3}aa ≤｜【分析】（1）求出定义域，得到{-34}A xx =<≤｜，进而计算出RB 及()R A B ⋂；（2）分B =∅与B ≠∅，列出不等式，求出a 的取值范围. 【详解】（1）要使函数()f x 40+3>0x x -≥⎧⎨⎩，解得：34x -<≤， 所以集合{-34}A x x =<≤｜. 2a =，∴{}{}=1<<1+=1<<3B x a x a x x --， ∴{=1RB x x ≤-或}3x ≥，∴{=3<1RA B x x ⋂-≤-或}34x ≤≤；（2）B A ⊆，①当B =∅时，11a a -≥+，即0a ≤，满足题意；②当B ≠∅时，由B A ⊆，得1<1+131+4a a a a --≥-≤⎧⎪⎨⎪⎩，解得：03a <≤，综上所述：a 的取值范围为{}3a a ≤.20. 【答案】(1)1()f x x -=(2)作图见解析(3)递增区间是(,0)-∞，递减区间是(0,)+∞【分析】(1)利用幂函数的定义求出m 值，再结合其图象性质即可得解.(2)由(1)求出函数()g x ，再借助反比例函数、对称性作出()g x 的图象.(3)根据(2)中图象特征写出函数()g x 的单调区间.【详解】（1）因幂函数()22()55m f x m m x -=-+，则2551m m -+=，解得1m =或4m =，当1m =时，函数11()f x x x-==定义域是(,0)(0,)-∞+∞，()f x 是奇函数，图象关于原点对称，则1m =，当4m =时，函数2()f x x =是R 上的偶函数，其图象关于y 轴对称，关于原点不对称，所以幂函数()f x 的解析式是1()f x x -=（2）因函数()|()|g x f x =，由(1)知，1()||g x x =，显然()g x 是定义域(,0)(0,)-∞+∞上的偶函数，当0x >时，1()g x x =在(0,)+∞上单调递减，其图象是反比例函数1y x =在第一象限的图象，作出函数()g x 第一象限的图象，再将其关于y 翻折即可得()g x 在定义域上的图象，如图，（3）观察(2)中图象得，函数()g x 的递增区间是(,0)-∞，递减区间是(0,)+∞. 21. 【答案】(1){|11}x b x b -<<+(2)答案见解析【分析】（1）根据题意解一元二次不等式即可；（2）分类讨论函数单调区间，找到最小值点，由最小值为1，求出系数b ，再求函数在区间内的最大值.【详解】（1）若()24f x b <-，即22234x bx b -+<-，则()()110x b x b ⎡⎤⎡⎤---+<⎣⎦⎣⎦，∵11b b -<+，所以11b x b -<<+，故不等式()0f x <的解集为{|11}x b x b -<<+.（2）因为()223f x x bx =-+是开口向上，对称轴为x b =的二次函数，①若1b ≤-，则()f x 在[]1,2-上单调递增，∴函数()y f x =的最小值为()1421f b -=+=，解得32b =-， 故函数()y f x =的最大值为()27413f b =-=；②若2b ≥，则()f x 在[]1,2-上单调递减，∴函数()y f x =的最小值为()2741f b =-=，解得32b =（舍去）； ③若12b -<<，则()f x 在[]1,b -上单调递减，在(],2b 上是单调递增，∴函数()y f x =的最小值为()231f b b =-=，解得b =b =（舍去），故函数()y f x =的最大值为()1424f b -=+=+综上所述： 当32b =-时，()f x 的最大值为13；当b =()f x 最大值为4+22. 【答案】(1)5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭(2)5,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】(1)根据题意，分别求出两个函数的最小值，将问题等价转化为min min ()()g x f x ≤，解不等式即可求解；(2)根据题意，分别求出两个函数的值域，然后将问题等价转化为()f x 在[0,1]上值域是()g x 在[0,1]上值域的子集，结合集合的包含关系即可求解.【详解】（1）因为()()()2221221214111x x f x x x x x -+⎡⎤===++-⎢⎥+++⎣⎦，利用1y x x =+函数图像性质可知()f x 在[]0,1上单调递增，于是()f x 在0x =处取得最小值，即()min ()00f x f ==，因为()52g x x a α=+-，注意到0a >，则()g x 在[]0,1上单调递增，于是()g x 在0x =处取得最小值，即()min ()052g x g a ==-，由题意可得：520a -≤，即得5,2a ∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭，所以实数a 的取值范围为5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. （2）由(1)可知：()f x 在1x =处取得最大值，即()max ()11f x f ==于是当[]0,1x ∈时，()f x 的值域[]0,1A = ()g x 在1x =处取得最大值，即()max ()15g x g a ==- 于是当[]0,1x ∈时，()g x 的值域[]52,5B a a =-- 要使得对任意的[]10,1x ∈，存在[]20,1x ∈使得()()12f x g x = 根据()f x 与()g x 的连续性可知A B ⊆成立 则52051a a -≤⎧⎨-≥⎩，解得5,42a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以实数a 的取值范围为5,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦.。