2020版江苏高考数学一轮复习教程：随堂巩固训练36含答案解析

随堂巩固训练(10)1. 已知n ∈{－1，0，1，2，3}，若⎝⎛⎭⎫－12n >⎝⎛⎭⎫－15n，则n ＝__－1或2__. 解析：根据幂函数的性质知y ＝x－1或y ＝x 2在区间(－∞，0)上是减函数，故满足⎝⎛⎭⎫－12n>⎝⎛⎭⎫－15n的值只有－1和2. 2. 已知幂函数f(x)＝k·x α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则f(x)＝__x 12__．解析：由幂函数的定义得k ＝1，再将点⎝⎛⎭⎫12，22代入f(x)＝x α，得⎝⎛⎭⎫12α＝22，解得α＝12，故f(x)＝x 12.3. 已知幂函数f(x)＝k·x α满足f （9）f （3）＝3，则f(x)＝__x 12__．解析：由幂函数的定义得k ＝1.因为f （9）f （3）＝3，所以9α3α＝3，解得α＝12，故f(x)＝x 12.4. 若点(a ，9)在函数y ＝3x 的图象上，则tan aπ6的值为．解析：由题意，得3a ＝9，解得a ＝2，所以tan aπ6＝tan π3＝ 3.5. 已知点⎝⎛⎭⎫12，2在幂函数y ＝f(x)的图象上，点⎝⎛⎭⎫－2，14在幂函数y ＝g(x)的图象上，则f(2)＋g(－1)＝__32__．6. 已知函数f(x)＝x α(0<α<1)，对于下列命题：①若x>1，则f(x)>1；②若0<x<1，则0<f(x)<1；③当x>0时，若f(x 1)>f(x 2)，则x 1>x 2；④若0<x 1<x 2，则f （x 1）x 1<f （x 2）x 2.其中正确的命题有__①②③__．(填序号)7. 已知幂函数y ＝x n m，其中m ，n 是取自集合{1，2，3}中的两个不同值，则该函数为偶函数的概率为__13__．解析：由题意得n m 所有值的集合为{12，13，2，23，3，32}，当n m 为2或23时，函数y ＝x nm为偶函数，所以该函数为偶函数的概率为13.8. 已知函数：①y ＝x 43；②y ＝x 32；③y ＝x －2；④y ＝x －14，其中既是偶函数又在区间(－∞，0)上为增函数的是__③__．(填序号)解析：①y ＝x 43＝3x 4在区间(－∞，0)上是减函数；②y ＝x 32＝x 3的定义域为[0，＋∞)，既不是奇函数也不是偶函数；③y ＝x －2＝1x 2的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在区间(－∞，0)上为增函数且为偶函数；④y ＝x －14＝14x的定义域为(0，＋∞)，既不是奇函数也不是偶函数，故选③.9. 如图所示的是幂函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c ，y ＝x d ，y ＝x 的图象，则实数a ，b ，c ，d 的大小关系为__c>a>b>d__．解析：根据幂函数y ＝x n的性质，在第一象限内的图象，当n>0时，n 越大，y 递增速度越快，所以c>a>b>0，d<0，故c>a>b>d.10. 已知f(x)＝x 1－n 2＋2n ＋3(n ＝2k ，k ∈Z )的图象在区间[0，＋∞)上单调递增，解不等式f(x 2－x)>f(x ＋3)．解析：由题意知1－n 2＋2n ＋3>0，即－n 2＋2n ＋3>0， 解得－1<n<3.又n ＝2k ，k ∈Z ，所以n ＝0，2.当n ＝0或2时，f(x)＝x 13，所以函数f(x)在R 上单调递增，所以由f(x 2－x)>f(x ＋3)得x 2－x>x ＋3， 解得x<－1或x>3，所以原不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．11. 已知一个幂函数y ＝f(x)的图象过点(3，427)，另一个幂函数y ＝g(x)的图象过点(－8，－2)．(1) 求这两个幂函数的解析式； (2) 判断这两个函数的奇偶性；(3) 作出这两个函数的图象，观察图象直接写出f(x)<g(x)的解集． 解析：(1) 设幂函数f(x)＝x a ，g(x)＝x b .因为幂函数f(x)与g(x)的图象分别过点(3，427)，(－8，－2)， 所以427＝3a ，－2＝(－8)b ，解得a ＝34，b ＝13，所以两个函数的解析式为f(x)＝x 34与g(x)＝x 13. (2) 因为函数f(x)＝x 34的定义域是[0，＋∞)，所以函数f(x)是非奇非偶函数．因为函数g(x)＝x 13的定义域为R ，g(－x)＝(－x)13＝－x 13＝－g(x)， 所以函数g(x)是奇函数．(3) 作出这两个函数的图象如下，由图象可知，f(x)<g(x)的解集为{x|0<x<1}．12. 已知函数f(x)＝x －k 2＋k ＋2(k ∈Z )满足f(2)<f(3)． (1) 求k 的值并求出相应的f(x)的解析式；(2) 对于(1)中得到的函数f(x)，试判断是否存在q>0，使得函数g(x)＝1－qf(x)＋(2q －1)x 在区间[－1，2]上的值域为⎣⎡⎦⎤－4，178？若存在，求出实数q 的值；若不存在，请说明理由．解析：(1) 因为f(2)<f(3)，所以2－k 2＋k ＋2<3－k 2＋k ＋2，所以lg 2－k 2＋k ＋2<lg 3－k 2＋k ＋2， 即(－k 2＋k ＋2)(lg 2－lg 3)<0. 因为lg 2<lg 3，所以－k 2＋k ＋2>0，解得－1<k<2. 又因为k ∈Z ，所以k ＝0或k ＝1. 当k ＝0或k ＝1时，－k 2＋k ＋2＝2， 所以f(x)＝x 2.(2) 假设存在q>0满足题意，则由(1)知g(x)＝－qx 2＋(2q －1)x ＋1，x ∈[－1，2]． 因为g(2)＝－1，所以两个最值点只能在端点(－1，g(－1))和顶点⎝⎛⎭⎫2q －12q ，4q 2＋14q 处取得．又4q 2＋14q －g(－1)＝4q 2＋14q －(2－3q)＝（4q －1）24q≥0，所以g(x)max ＝4q 2＋14q ＝178，g(x)min ＝g(－1)＝2－3q ＝－4，解得q ＝2.所以存在q ＝2满足题意．。

随堂巩固训练(20)1. 函数f(x)＝x 2＋cosx ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2的单调减区间是__⎝⎛⎭⎫π6，π2__． 解析：f′(x)＝12－sinx ，令f′(x)<0得sinx>12.因为x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以π6<x<π2，所以函数f(x)在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上的单调减区间为⎝⎛⎭⎫π6，π2. 2. 若直线y ＝kx 是曲线y ＝lnx 的切线，则k 的值为__1e__． 解析：设切点为(x 0，y 0)．因为y′＝1x ，所以1x 0＝k ，即x 0＝1k ，y 0＝kx 0＝1，所以1＝ln 1k，解得k ＝1e. 3. 若a>2，则关于x 的方程13x 3－ax 2＋1＝0在区间(0，2)上恰好有__1__个根． 解析：设f(x)＝13x 3－ax 2＋1，则f ′(x)＝x 2－2ax ＝x(x －2a)．当x ∈(0，2)时，因为a>2，所以x －2a<0，即f′(x)<0，所以f(x)在区间(0，2)上为减函数．又f(0)·f(2)＝1×⎝⎛⎭⎫83－4a ＋1＝113－4a<0，所以f(x)＝0在区间(0，2)上恰好有1个根． 4. 已知函数f(x)＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是__(－∞，－1)∪(2，＋∞)__．解析：f′(x)＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)．因为f(x)既有极大值又有极小值，所以方程f′(x)＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝36a 2－36(a ＋2)>0，即a 2－a －2>0，解得a>2或a<－1，即实数a 的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．5. 设x ＝－2与x ＝4是f(x)＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点，则a ＝__－3__，b ＝__－24__． 解析：因为f′(x)＝3x 2＋2ax ＋b ，所以3x 2＋2ax ＋b ＝0的两根为x ＝－2和x ＝4，所以⎩⎨⎧－2＋4＝－2a 3，－2×4＝b 3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－24. 6. 设f(x)是定义在R 上的函数，f(x ＋6)＝f(x)，且当x ∈(0，3)时，f′(x)<0，y ＝f(x)的图象关于直线x ＝3对称，则f(1.5)，f(3.5)，f(6.5)的大小关系是__f(6.5)>f(1.5)>f(3.5)__．解析：f(6.5)＝f(0.5＋6)＝f(0.5)，f(3.5)＝f(3＋0.5)＝f(3－0.5)＝f(2.5)．又函数f(x)在区间(0，3)上单调递减，所以f(2.5)<f(1.5)<f(0.5)，即f(3.5)<f(1.5)<f(6.5)．7. 设函数f(x)＝12x 2－9lnx 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是__(1，2]__．解析：因为f(x)＝12x 2－9ln x ，所以f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x －9x.因为x>0，所以f′(x)＝x －9x<0，解得0<x<3.因为函数f(x)在[a －1，a ＋1]上单调递减，所以a －1>0且a ＋1≤3，解得1<a ≤2.8. 若函数f(x)是定义在R 上的奇函数且f(1)＝0，当x>0时，xf′（x ）－f （x ）x 2>0，则不等式xf(x)>0的解集是__(－∞，－1)∪(1，＋∞)__．解析：令g(x)＝f （x ）x (x ≠0)，则g′(x)＝xf′（x ）－f （x ）x 2.因为当x>0时，xf′（x ）－f （x ）x 2>0，即g′(x)>0，所以g(x)在区间(0，＋∞)上为增函数．又f(1)＝0，所以g(1)＝f(1)＝0，所以在区间(0，＋∞)上，g(x)>0的解集为(1，＋∞)．因为f(x)为奇函数，所以g(x)为偶函数，所以在区间(－∞，0)上，g(x)>0的解集为(－∞，－1)．由xf(x)>0得g(x)>0(x ≠0)，所以不等式xf(x)>0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．9. 已知曲线y ＝x ＋lnx 在点(1，1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则实数a 的值为__8__．解析：因为y′＝1＋1x，所以曲线y ＝x ＋ln x 在x ＝1处的切线斜率k ＝2，故切线方程为y ＝2x －1.由于切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋（a ＋2）x ＋1，得ax 2＋ax ＋2＝0.又因为a ≠0，所以由Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8.10. 已知函数y ＝f(x)在定义域⎝⎛⎭⎫－32，3上可导，其图象如图所示，记函数y ＝f(x)的导函数为y ＝f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集为__⎣⎡⎦⎤－13，1∪[2，3)__． 解析：由图象可知，函数f(x)在区间[－13，1]与[2，3)上单调递减，所以f′(x)≤0的解集为⎣⎡⎦⎤－13，1∪[2，3)． 11. 已知函数f(x)＝x 2＋bsinx －2(b ∈R )，F(x)＝f(x)＋2，且对于任意实数x ，恒有F(x)－F(－x)＝0.(1) 求函数f(x)的解析式；(2) 已知函数g(x)＝f(x)＋2(x ＋1)＋alnx 在区间(0，1)上单调递减，求实数a 的取值范围． 解析：(1) F(x)＝f(x)＋2＝x 2＋bsinx －2＋2＝x 2＋bsinx.依题意，对任意实数x ，恒有F(x)－F(－x)＝0.所以x 2＋bsinx －(－x)2－bsin(－x)＝0，即2bsinx ＝0，所以b ＝0，所以f(x)＝x 2－2.(2) 由(1)知g(x)＝x 2＋2x ＋alnx ，则g′(x)＝2x ＋2＋a x. 因为函数g(x)在区间(0，1)上单调递减，所以g′(x)＝2x ＋2＋a x ＝2x 2＋2x ＋a x≤0在区间(0，1)上恒成立， 所以a ≤－(2x 2＋2x)在区间(0，1)上恒成立．因为y ＝－(2x 2＋2x)在区间(0，1)上单调递减，所以a ≤－4，所以实数a 的取值范围是(－∞，4]．12. 设函数f(x)＝e x －ax 2－ex －2，其中e 为自然对数的底数．(1) 当a ＝1时，求曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2) 若函数h(x)是函数f(x)的导函数，求函数h(x)在区间[0，1]上的最小值．解析：(1) 当a ＝1时，f(x)＝e x －x 2－ex －2，f′(x)＝e x －2x －e ，所以f(1)＝e 1－12－e ×1－2＝－3，f′(1)＝－2，所以曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y ＋3＝－2(x －1)，即2x ＋y ＋1＝0.(2) 由题意得h(x)＝f′(x)＝e x －2ax －e ，所以h′(x)＝e x －2a.当a<12时，因为x ∈[0，1]，1≤e x ≤e ， 所以2a<e x 恒成立，即h′(x)＝e x －2a>0，所以h(x)在区间[0，1]上单调递增，所以h(x)≥h(0)＝1－e ；当a>e 2时，因为x ∈[0，1]，1≤e x ≤e ， 所以2a>e x 恒成立，即h′(x)＝e x －2a<0，所以h(x)在区间[0，1]上单调递减，所以h(x)≥h(1)＝－2a ；当12≤a ≤e 2时，由h′(x)＝e x －2a ＝0，得x ＝ln2a ， 所以h(x)在区间[0，ln2a]上单调递减，在区间[ln2a ，1]上单调递增， 所以h(x)≥h(ln2a)＝2a －2aln2a －e.综上所述，h(x)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧1－e ， a<12，2a －2aln 2a －e ， 12≤a ≤e 2，－2a ， a>12.13. 已知函数f(x)＝x 2＋alnx.(1) 当a ＝－2时，求函数f(x)的单调减区间；(2) 若g(x)＝f(x)＋2x在区间[1，＋∞)上为增函数，求实数a 的取值范围． 解析：(1) 易知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，当a ＝－2时，f(x)＝x 2－2lnx ，所以f′(x)＝2x －2x ＝2（x 2－1）x， 由f′(x)<0，得－1<x<1.又x>0，所以当a ＝－2时，函数f(x)的单调减区间为(0，1)．(2) 由题意知g(x)＝x 2＋alnx ＋2x ，所以g′(x)＝2x ＋a x －2x 2. 因为函数g(x)在区间[1，＋∞)上为单调增函数，所以g′(x)＝2x ＋a x －2x 2≥0在区间[1，＋∞)上恒成立，即a ≥2x－2x 2在区间[1，＋∞)上恒成立． 令h(x)＝2x －2x 2，则h′(x)＝－2x 2－4x<0， 所以函数h(x)在区间[1，＋∞)上单调递减，所以h(x)max ＝h(1)＝0，所以a ≥0， 所以实数a 的取值范围为[0，＋∞)．。

随堂巩固训练(54)1. 已知向量a ＝(1，2)，b ＝(m ，4)，且a ∥(2a ＋b)，则实数m 的值为 2 .解析：由题意得2a ＋b ＝2(1，2)＋(m ，4)＝(2＋m ，8).因为a ∥(2a ＋b)，所以8－2(2＋m )＝0，解得m ＝2. 2. 在平行四边形ABCD 中，AD →＝(2，8)，AB →＝(－3，4)，则AC →＝ (－1，12) . 解析：AC →＝AB →＋AD →＝(－3，4)＋(2，8)＝(－1，12).3. 已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫1，1－x x ，b ＝(x －1，1)，则|a ＋b|解析：a ＋b ＝⎝⎛⎭⎫1＋x －1，1－x x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ，1x ，故|a ＋b|＝x 2＋1x2≥2，当且仅当x ＝±1时，等号成立，故|a ＋b|的最小值是 2.4. 设x ∈R ，向量a ＝(x ，1)，b ＝(2，y )，且a ＋2b ＝(5，－3)，则x ＋y ＝ －1 .解析：由题意得a ＋2b ＝(x ，1)＋2(2，y )＝(x ＋4，1＋2y )＝(5，－3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4＝5，1＋2y ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2，所以x＋y ＝－1.5. 已知a ＝(5，4)，b ＝(3，2)，则与2a －3b 平行的单位向量为 ⎝⎭5，5或⎝⎛⎭－5，－5 .解析：2a －3b ＝(1，2)，设与2a －3b 平行的单位向量为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，y ＝2x ，解得⎩⎨⎧x ＝55，y ＝255或⎩⎨⎧x ＝－55，y ＝－255，故单位向量为⎝⎛⎭⎫55，255或⎝⎛⎭⎫－55，－255. 6. 已知A(－3，0)，B(0，3)，O 为坐标原点，点C 在第二象限，∠AOC ＝60°，OC →＝λOA →＋OB →，则实数λ的值是 13.解析：因为OC →＝λOA →＋OB →，所以OC →＝(－3λ，0)＋(0，3)＝(－3λ，3).又因为∠AOC ＝60°，所以tan 60°＝33λ＝3，所以λ＝13.7. 已知a ，b 是非零向量，且a ，b的夹角为60°，若p ＝a |a|＋b|b|，则|p|解析：因为p ＝a |a|＋b |b|，所以p 2＝1＋2×a·b |a||b|＋1.又因为a 与b 的夹角为60°，所以a·b |a||b|＝cos60°＝12，所以p 2＝1＋2×12＋1＝3，所以|p|＝ 3.8. 设i ，j 是x 轴、y 轴正方向上的单位向量，且AB →＝4i －2j ，AC →＝7i ＋4j ，AD →＝3i ＋6j ，则四边形ABCD 的面积是 30 .解析：因为AB →＋AD →＝7i ＋4j ＝AC →，所以四边形ABCD 是平行四边形，则AB →＝(4，－2)，AC →＝(7，4)，AD →＝(3，6)，则AB →·AD →＝(4，－2)·(3，6)＝0，即AB →⊥AD →，所以平行四边形ABCD 是矩形.|AB →|＝25，|AD →|＝35，四边形ABCD 的面积为25×35＝30.9. 已知a ＝(1－sin θ，1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，1＋sin θ，若a ∥b ，则锐角θ＝ π4. 解析：因为a ∥b ，所以(1－sin θ)×(1＋sin θ)－1×12＝0，整理得cos 2θ＝12，所以cos θ＝±22.又因为θ为锐角，所以θ＝π4.10. 已知O 是平面上的一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的 重心 .(填“重心”“垂心”“内心”或“外心”)解析：设D 为BC 的中点，则OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)＝OA →＋2λAD →，所以AP →＝2λAD →，所以点A ，P ，D 共线，即点P 的轨迹通过三角形ABC 的重心.11. 设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b ，0)，a>0，b>0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，求1a ＋2b的最小值. 解析：由题意得，AB →＝(a －1，1)，BC →＝(－b －a ，1). 因为A ，B ，C 三点共线，所以a －1＝－b －a ，即2a ＋b ＝1，所以1a ＋2b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋2b (2a ＋b)＝2＋b a ＋4a b ＋2＝4＋b a ＋4ab ≥4＋24＝8， 当且仅当b a ＝4a b ，即a ＝14，b ＝12时等号成立，所以1a ＋2b的最小值为8.12. 已知点A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b. (1) 求3a ＋b －3c 的值；(2) 求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n 的值； (3) 求点M ，N 的坐标及MN →的坐标.解析：由已知，得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1，8). (1) 3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(6，－42). (2) 因为a ＝m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，所以⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1. (3) 设O 为坐标原点， 因为CM →＝OM →－OC →＝3c ，所以OM →＝3c ＋OC →＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)，所以点M (0，20).又因为CN →＝ON →－OC →＝－2b ，所以ON →＝－2b ＋OC →＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)，所以点N (9，2)， 所以MN →＝(9，－18).13. 在△ABO 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 相交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b.(1) 试用a 和b 表示向量OM →.(2) 在线段AC 上取一点E ，在线段BD 上取一点F ，使EF 过点M ，设OE →＝λOA →， OF →＝μOB →，当点E ，F 在线段AC ，BD 上运动时，求1λ＋3μ的值.解析：(1) 因为B ，M ，C 三点共线，所以∃x ∈R ，使OM →＝xOB →＋(1－x )OC →＝x b ＋(1－x )·14a ＝2x ·b 2＋1－x 4·a ＝2x ·OD →＋1－x 4·OA →.因为A ，M ，D 三点共线， 所以2x ＋1－x 4＝1，解得x ＝37，即OM →＝17a ＋37b.(2) 因为E ，M ，F 三点共线，所以∃n ∈R ，使OM →＝nOE →＋(1－n )OF →＝nλa ＋(1－n )μb ＝4nλ·a 4＋(1－n )μb ＝nλa ＋2(1－n )·μ·b 2.而B ，M ，C 三点共线，A ，M ，D 三点共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧4nλ＋（1－n ）μ＝1，nλ＋2（1－n ）μ＝1，解得⎩⎨⎧λ＝17n，u ＝37（1－n ），所以1λ＋3μ＝7.。

随堂巩固训练(65)1. 在等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于　4　.解析：由题意得a 4a 5＝2×5＝10，所以数列{lg a n }的前8项和S ＝lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a 8＝lg (a 1·a 2·…·a 8)＝lg (a 4a 5)4＝4lg (a 4a 5)＝4lg 10＝4.2. 数列1，1＋2，1＋2＋22，1＋2＋22＋23，…，1＋2＋22＋23＋…＋2n －1，…的前n 项和S n ＝　2n ＋1－n －2　.解析：所求数列的通项公式为a n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1＝＝2n －1，所以其前n 项1－2n1－2和为S n＝(2－1)＋(22－1)＋…＋(2n －1)＝－n ＝2n ＋1－n －2.2（1－2n ）1－23. 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝2 016，且a n ＋2a n ＋1＋a n ＋2＝0(n ∈N *)，则S 2 016＝　0　Ｗ.解析：设q 为等比数列{a n }的公比，则a n ＋2a n q ＋a n q 2＝0，即q 2＋2q ＋1＝0，所以q ＝－1，所以a n ＝(－1)n －1×2 016，所以S 2 016＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 2 015＋a 2 016)＝0.4. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，S 4＝10，则＝ .∑nk ＝11S k 2nn ＋1解析：设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则a 3＝a 1＋2d ＝3，S 4＝4a 1＋6d ＝10，解得a 1＝1，d＝1，则a n ＝n ，S n ＝， ＝＋＋…＋＋＝2[＋n （n ＋1）2∑n k ＝11S k21×222×32n （n －1）2n （n ＋1）(1－12)＋…＋＋]＝2＝. (12－13)(1n －1－1n )(1n －1n ＋1)(1－1n ＋1)2n n ＋15. 数列的前n 项和S n ＝　2－－　.{n ×12n }12n －1n2n解析：S n ＝1×＋2×＋3×＋…＋n ×①，S n ＝1×＋2×＋3×＋…＋(n －1)×12141812n 121418116＋n ×②，12n 12n ＋1①－②得S n ＝＋＋＋…＋－n ×＝－＝1－－，1212141812n 12n ＋112(1－12n )1－12n 2n ＋112n n2n ＋1所以S n ＝2＝2－－.(1－12n －n 2n ＋1)12n －1n2n6. 已知函数f(n)＝且a n ＝f(n)＋f(n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100{n 2，　当n 为奇数时，－n 2，当n 为偶数时，)＝　100　.解析：由题意得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)－(4＋3)＋…－(99＋100)＋(101＋100)＝－(1＋2＋…＋99＋100)＋(2＋3＋…＋100＋101)＝－50×101＋50×103＝100.7. 一个只有有限项的等差数列，它的前5项和为34，最后5项和为146，所有项的和为234，则它的第7项为　18　.解析：据题意知a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，a n －4＋a n －3＋a n －2＋a n －1＋a n ＝146.又因为a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝a 4＋a n －3＝a 5＋a n －4，所以a 1＋a n ＝36.又S n ＝n(a 1＋a n )＝234，所以n ＝1213，所以a 1＋a 13＝2a 7＝36，所以a 7＝18.8. 设数列{a n }满足a 1＝1，(1－a n ＋1)(1＋a n)＝1(n ∈N *)，则a k a k ＋1的值为　　.∑100k ＝1100101解析：因为(1－a n ＋1)(1＋a n )＝1，所以a n －a n ＋1－a n a n ＋1＝0，从而－＝1，即数列1a n ＋11a n {1a n}是以1为首项，1为公差的等差数列，所以＝1＋n －1＝n ，所以a n ＝，故a n ＋1a n ＝＝1a n 1n1（n ＋1）n －，因此a k a k ＋1＝＋(－)＋…＋＝1－＝. 1n 1n ＋1∑100 k ＝1(1－12)1213(1100－1101)11011001019. 已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意n ∈N *，有2S n ＝a ＋a n .令b n＝2n ，设数列{b n }的前n 项和为T n ，则在T 1，T 2，T 3，…，T 100中有理数的个数1a n a n ＋1＋a n ＋1a n 为　9　.解析：因为2S n ＝a ＋a n ，2n 所以2S n ＋1＝a ＋a n ＋1，2n ＋1两式相减，得2a n ＋1＝a ＋a n ＋1－a －a n ，2n ＋12n 即a －a －a n ＋1－a n ＝0，2n ＋12n 即(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －1)＝0.又因为数列{a n }为正项数列，所以a n ＋1－a n －1＝0，即a n ＋1－a n ＝1.令n ＝1，可得a 1＝1，所以数列{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列，所以a n ＝n ，所以b n ＝1n n ＋1＋（n ＋1）n＝（n ＋1）n －n n ＋1[n n ＋1＋（n ＋1）n ][（n ＋1）n －n n ＋1]＝＝－，（n ＋1）n －n n ＋1n （n ＋1）1n 1n ＋1所以T n ＝1－，1n ＋1所以T 1，T 2，T 3，…，T 100中有理数的个数为9.10. 设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，a n >0，若S 6－2S 3＝5，则S 9－S 6的最小值为　20　.解析：当q ＝1时，S 6－2S 3＝0，不合题意，所以公比q ≠1，从而由S 6－2S 3＝5得a 1（1－q 6）1－q－＝5，从而得＝＝<0，2a 1（1－q 3）1－q a 11－q 5－q 6＋2q 3－15－（q 3－1）2故1－q<0，即q>1，故S 9－S 6＝－＝×(q 6－q 9)＝.a 1（1－q 9）1－q a 1（1－q 6）1－q 5－q 6＋2q 3－15q 6q 3－1令q 3－1＝t>0，则S 9－S 6＝＝5≥20，当且仅当t ＝1，即q 3＝2时等号成立.5（t ＋1）2t (t ＋1t＋2)11. 数列{a n }满足a n ＝2a n －1＋2n ＋1(n ∈N *，n ≥2)，a 3＝27.(1) 求a 1，a 2的值；(2) 是否存在一个实数t ，使得b n ＝(a n ＋t )(n ∈N *)，且数列{b n }为等差数列？若存在，12n 求出实数t ；若不存在，请说明理由；(3) 在(2)的条件下，求数列{a n }的前n 项和S n .解析：(1) 由a 3＝27，得27＝2a 2＋23＋1，所以a 2＝9.因为9＝2a 1＋22＋1，所以a 1＝2.(2) 假设存在实数t ，使得数列{b n }为等差数列，则2b n ＝b n －1＋b n ＋1，即2×(a n ＋t )＝(a n －1＋t )＋(a n ＋1＋t )，12n 12n －112n ＋1所以4a n ＝4a n －1＋a n ＋1＋t ，所以4a n ＝4×＋2a n ＋2n ＋1＋1＋t ，a n －2n －12解得t ＝1，即存在实数t ＝1，使得数列{b n }为等差数列. (3) 由(1)(2)得b 1＝，b 2＝，3252所以b n ＝n ＋，12所以a n ＝b n ·2n －1＝(2n ＋1)2n －1－1.S n ＝(3×20－1)＋(5×21－1)＋(7×22－1)＋…＋[(2n ＋1)×2n －1－1]＝3＋5×2＋7×22＋…＋(2n ＋1)×2n －1－n ，①所以2S n ＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n ＋1)×2n －2n .②由①－②得－S n ＝3＋2×2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n －1－(2n ＋1)×2n ＋n ＝1＋2×－(2n ＋1)×2n ＋n ＝(1－2n )×2n ＋n －1，1－2n1－2所以S n ＝(2n －1)×2n －n ＋1.12. 已知数列{a n }是等比数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，且－＝，S 6＝63.1a 11a 22a 3(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 若对任意的n ∈N *，b n 是log 2a n 和log 2a n ＋1的等差中项，求数列{(－1)n b }的前2n 项2n 和.解析：(1) 设数列{a n }的公比为q . 由已知得－＝，1a 11a 1q 2a 1q 2解得q ＝2或q ＝－1.又由S 6＝a 1·＝63，知q ≠－1，1－q 61－q 所以a 1×＝63，解得a 1＝1.1－261－2所以a n ＝2n －1.(2) 由题意得b n ＝(log 2a n ＋log 2a n ＋1)＝(log 22n －1＋log 22n )＝n －，121212即数列{b n }是首项为，公差为1的等差数列.12设数列{(－1)n b }的前n 项和为T n，则2n T 2n ＝(－b ＋b )＋(－b ＋b )＋…＋(－b ＋b )＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋…＋b 2n －1＋b 2n ＝212232422n －122n ＝2n 2.2n （b 1＋b 2n ）213. 已知数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且对任意n ∈N *，a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )恒成立.(1) 若A n ＝n 2，b 1＝2，求B n ；(2) 若对任意n ∈N *，都有a n ＝B n 及＋＋＋…＋<成立，求正实数b 1b 2a 1a 2b 3a 2a 3b 4a 3a 4b n ＋1a n a n ＋113的取值范围.解析：(1) 因为A n ＝n 2，所以a 1＝1.当n ≥2时，a n ＝A n －A n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1，当n ＝1时，上式也成立，所以a n ＝2n －1.因为对任意n ∈N *，a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )恒成立， 所以b n ＋1－b n ＝(a n ＋1－a n )＝1，12所以数列{b n }是等差数列，公差为1，首项为2，所以B n ＝2n ＋×1＝n 2＋n . n （n －1）21232(2) 由B n ＋1－B n ＝a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )＝b n ＋1，可得b n ＋1＝2b n ，所以数列{b n }是等比数列，且公比为2，所以b n ＝b 1·2n －1，a n ＝B n ＝＝b 1(2n －1)，b 1（2n －1）2－1所以＝＝，b n ＋1a n an ＋1b 1·2n b （2n －1）（2n ＋1－1）1b 1(12n －1－12n ＋1－1)所以＋＋＋…＋b 2a 1a 2b 3a 2a 3b 4a 3a 4b n ＋1a n an ＋1＝[＋(－)＋…＋(－)]1b 1(12－1－122－1)122－1123－112n －112n ＋1－1＝<成立，1b 1(1－12n ＋1－1)13所以b 1>3，所以b 1≥3.(1－12n ＋1－1)。