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2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程：随堂巩固训练27

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随堂巩固训练(27)1. 函数f(x)＝sin2x －cos2x 的最小正周期是__π__．解析：f(x)＝sin2x －cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4，所以T ＝2π2＝π. 2. 已知函数f(x)＝Acos(ωx ＋φ)，A>0，ω>0，若函数f(x)是奇函数，则φ＝__kπ＋π2，k ∈Z __．解析：因为f(x)是奇函数，所以f(0)＝0，即cosφ＝0，所以φ＝kπ＋π2，k ∈Z .3. 函数f(x)＝sinx －3cosx ，x ∈[－π，0]的单调增区间是__⎣⎡⎦⎤－π6，0__． 解析：f(x)＝sinx －3cosx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3，由2kπ－π2≤x －π3≤2kπ＋π2，k ∈Z ，得2kπ－π6≤x ≤2kπ＋5π6，k ∈Z .又x ∈[－π，0]，所以单调增区间为⎣⎡⎦⎤－π6，0. 4. 如果直线y ＝a 与曲线y ＝sinx ，x ∈[0，2π]有且仅有一个交点，那么实数a ＝__±1__． 解析：因为函数y ＝sinx ，x ∈[0，2π]的值域为[－1，1]，所以若直线y ＝a 与曲线y ＝sin x 有且仅有一个交点，则a ＝±1.5. 函数y ＝2cosx(sinx ＋cosx)图象的对称中心是__⎛⎭⎫kπ2－π8，1(k ∈Z )__，对称轴方程是__x ＝kπ2＋π8(k ∈Z )__．解析：y ＝2sinxcosx ＋2cos 2x ＝sin2x ＋cos2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1.由2x ＋π4＝kπ(k ∈Z )，得x ＝kπ2－π8(k ∈Z )，所以对称中心为⎝⎛⎭⎫kπ2－π8，1(k ∈Z )．由2x ＋π4＝kπ＋π2(k ∈Z )，得x ＝kπ2＋π8(k ∈Z )，所以对称轴方程为x ＝kπ2＋π8(k ∈Z ). 6. 函数y ＝1－2cosx ＋lg(2sinx －1)的定义域为__[2kπ＋π3，2kπ＋5π6)(k ∈Z )__．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－2cosx ≥0，2sinx －1>0，即⎩⎨⎧cosx ≤12，sinx>12，解得⎩⎨⎧2kπ＋π3≤x ≤2kπ＋5π3，k ∈Z ，2kπ＋π6<x<2kπ＋5π6，k ∈Z ，即2kπ＋π3≤x<2kπ＋5π6，k ∈Z ，所以函数y 的定义域为[2kπ＋π3，2kπ＋5π6)(k ∈Z )．7. 已知函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，其中x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，a ，当a ＝π3时，f(x)的值域是__[－12，1]__；若f(x)的值域为⎣⎡⎦⎤－12，1，则实数a 的取值范围是__⎣⎡⎦⎤π6，π2__． 解析：当a ＝π3时，由－π6≤x ≤π3得－π6≤2x ＋π6≤5π6，所以f(x)的值域为[－12，1]．若－π6≤x ≤a ，则－π6≤2x ＋π6≤2a ＋π6.因为当2x ＋π6＝－π6或7π6时，f(x)＝－12，所以要使f(x)的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1，则有π2≤2a ＋π6≤7π6，即实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤π6，π2. 8. 已知函数f(x)＝sinx ＋λcosx 的图象的一个对称中心是点⎝⎛⎭⎫π3，0，则函数g(x)＝λsinxcosx ＋sin 2x 图象的一条对称轴方程为__x ＝－π3(答案不唯一)__．解析：因为函数f(x)＝sinx ＋λcosx 图象的一个对称中心是点⎝⎛⎭⎫π3，0，所以f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin π3＋λcos π3＝0，解得λ＝－3，所以函数g(x)＝λsinxcosx ＋sin 2x ＝－32sin2x －12cos2x ＋12＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋12.由2x ＋π6＝kπ＋π2，k ∈Z ，得x ＝kπ2＋π6，k ∈Z ，所以函数g(x)图象的对称轴方程为x ＝kπ2＋π6，k ∈Z .9. 设函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0，|φ|<π)，f ⎝⎛⎭⎫5π8＝2，f ⎝⎛⎭⎫11π8＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，则ω＝__23__，φ＝__π12__．解析：因为f ⎝⎛⎭⎫5π8＝2，f ⎝⎛⎭⎫11π8＝0，所以11π8－5π8＝T 4(2m ＋1)，m ∈N ，所以T ＝3π2m ＋1，m ∈N .因为f(x)的最小正周期大于2π，所以T ＝3π，所以ω＝2π3π＝23，所以f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x 3＋φ.由2sin(23×5π8＋φ)＝2，得φ＝2kπ＋π12，k ∈Z .又因为|φ|<π，所以φ＝π12.10. 若动直线x ＝a 与函数f(x)＝sinxcosx ，g(x)＝cos 2x 的图象分别交于M ，N 两点，则线段MN 长的最大值为2．解析：f(x)＝sinxcosx ＝12sin2x ，g(x)＝cos 2x ＝12cos2x ＋12，所以MN ＝|f(x)－g(x)|＝⎪⎪⎪⎪12sin2x －12cos2x －12＝|22sin(2x －π4)－12|，则当sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＝－1时，线段MN 的长取最大值2＋12.11. 已知函数f(x)＝2cosxsin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3sin 2x ＋sinxcosx. (1) 求函数f(x)的最小正周期； (2) 求函数f(x)的单调增区间；(3) 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4时，求函数f(x)的值域． 解析：(1) f(x)＝2cosx ⎝⎛⎭⎫12sinx ＋32cosx ＋12sin2x －3sin 2x＝12sin2x ＋3(cos 2x －sin 2x)＋12sin2x ＝sin2x ＋3cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 所以函数f(x)的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2) 由－π2＋2kπ≤2x ＋π3≤π2＋2kπ，k ∈Z ，解得－5π12＋kπ≤x ≤π12＋kπ，k ∈Z ，所以函数f(x)的单调增区间为[－5π12＋kπ，π12＋kπ]，k ∈Z .(3) 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，所以2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，5π6， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤12，1，所以函数f(x)的值域为[1，2]．12. 已知函数f(x)＝cos 2x 2－sin 2x2＋sinx.(1) 求函数f(x)的最小正周期；(2) 当x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π4，且f(x 0)＝425时，求f ⎝⎛⎭⎫x 0＋π6的值． 解析：(1) f(x)＝cosx ＋sinx ＝2sin(x ＋π4)，所以函数f(x)的最小正周期是T ＝2π.(2) 由f(x 0)＝425，得 2sin ⎝⎛⎭⎫x 0＋π4＝425， 即sin(x 0＋π4)＝45.因为x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π4，所以x 0＋π4∈⎝⎛⎭⎫π4，π2， 所以cos ⎝⎛⎭⎫x 0＋π4＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫x 0＋π4＝1－⎝⎛⎭⎫452＝35， 所以f ⎝⎛⎭⎫x 0＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 0＋π6＋π4 ＝2sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x 0＋π4＋π6 ＝2⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫x 0＋π4cos π6＋cos ⎝⎛⎭⎫x 0＋π4sin π6 ＝2×⎝⎛⎭⎫45×32＋35×12＝46＋3210.13. 已知f(x)＝sinx ，π2<α<π，0<β<π2，f ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，f ⎝⎛⎭⎫α－β2＋π2＝－19. (1) 求cos α＋β2的值；(2) 求g(x)＝2f ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－f(2x)的值域． 解析：(1) 因为f ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，f ⎝⎛⎭⎫α－β2＋π2＝－19， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＋π2＝cos(α－β2)＝－19. 因为π2<α<π，0<β<π2，所以π4<α2<π2，－π4<－β2<0，所以－π4<α2－β<π2，π4<α－β2<π.又f ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23>0，f ⎝⎛⎭⎫α－β2＋π2＝－19<0， 所以0<α2－β<π2，π2<α－β2<π，所以cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α2－β＝53， sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－β2＝459，所以cos α＋β2＝cos[⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β]＝cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＋sin(α－β2)·sin ⎝⎛⎭⎫α2－β ＝－19×53＋459×23＝7527.(2) 依题意得g(x)＝2f ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－f(2x) ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－sin2x ＝sinx ＋cosx －2sinxcosx.令t ＝sinx ＋cosx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4∈[－2，2]， 则t 2＝(sinx ＋cosx)2＝sin 2x ＋cos 2x ＋2sinxcosx ＝1＋2sinxcosx ， 所以2sinxcosx ＝t 2－1，所以g(x)＝h(t)＝－t 2＋t ＋1＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋54，所以当t ∈[－2，2]时，h(t)∈[－1－2，54]，所以函数g(x)的值域为[－1－2，54].。

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【精选】2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程：随堂巩固训练50含解析

【精选】2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程：随堂巩固训练50含解析

随堂巩固训练(50)1. 抛物线y ＝12x 2的焦点坐标为 ⎝⎛⎭⎫0，12 . 解析：将抛物线y ＝12x 2化为x 2＝2y ，所以p ＝1，p 2＝12，则焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，12. 2. 在给定的椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为2. 解析：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，则有2b 2a ＝2且a 2c －c ＝1，解得e ＝22.3. 两条对称轴与坐标轴重合，离心率e ＝0.8，焦点与相应准线的距离等于94的椭圆的方程是 x 225＋y 29＝1或y 225＋x 29＝1 .解析：因为e ＝0.8，所以c a ＝45.又焦点到相应准线的距离为a 2c －c ＝94，所以⎝⎛⎭⎫54c 2c －c ＝94，解得c ＝4，则a ＝54c ＝5，b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9，所以所求椭圆方程为x 225＋y 29＝1或y 225＋x 29＝1.4. 已知双曲线C ：x 216－y 2b 2＝1(b>0)的渐近线方程为3x±4y ＝0，则双曲线C 的准线方程为 x ＝±165.解析：由题意可知b 4＝34，解得b ＝3，则c 2＝a 2＋b 2＝25，c ＝5，故双曲线C 的准线方程为x ＝±165.5. 已知椭圆x 25＋y 24＝1的中心为A ，右准线为l ，则以A 为顶点，l 为准线的抛物线方程为 y 2＝－20x .解析：椭圆的中心为原点，右准线方程为x ＝5，从而p2＝5，p ＝10.由题意可知，抛物线开口向左，故抛物线的标准方程为y 2＝－20x.6. 已知F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A 到其准线的距离为5，则直线AF 的斜率为43. 解析：设点A(x A ，y A )，由题意得x A ＋p2＝5，所以x A ＝4，所以y A ＝4，即点A(4，4)，所以直线AF 的斜率为4－04－1＝43.7. 若双曲线x 2m －y 2＝1上的点到左准线的距离是到左焦点距离的13，则m ＝ 18.解析：由题意可得e ＝m ＋1m ，由双曲线的第二定义知，e ＝m ＋1m ＝3，解得m ＝18. 8. 若双曲线mx 2－2my 2＝4的一条准线是y ＝1，则实数m ＝ －23.解析：由题意得双曲线的实轴在y 轴上，则m<0，所以－2m－6m ＝1，解得m ＝－23.9. 平面内有一长度为4的线段AB ，动点P 满足PA ＋PB ＝6，则PA 的取值范围是 [1，5] .解析：由题意得，动点P 在以A ，B 为焦点，长轴长为6的椭圆上，所以a ＝3，c ＝2，所以PA 的最小值为a －c ＝1，最大值为a ＋c ＝5，所以PA 的取值范围是[1，5].10. 已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，右准线为l ，点A 在直线l 上，线段AF 与椭圆C 交于点B.若|FA →|＝3|FB →|，求|AF →|的值.解析：由题设知F(1，0)，直线l 的方程为x ＝2，离心率e ＝22. 设点B 到直线l 的距离为d ，则FB ＝22d ，所以AF ＝322d. 由三角形相似得d 1＝23，即d ＝23，所以|AF →|＝ 2.11. 已知P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)上的点，点P 与两焦点F 1，F 2的连线互相垂直，且点P 到两准线的距离分别为d 1＝6，d 2＝12，求椭圆的方程.解析：由圆锥曲线的定义知PF 1＝ed 1，PF 2＝ed 2.因为PF 21＋PF 22＝F 1F 22，所以e 2d 21＋e 2d 22＝(2c)2，所以c 2a2(62＋122)＝4c 2，即a 2＝45.又PF 1＋PF 2＝2a ，所以PF 21＋PF 22＋2PF 1·PF 2＝4a 2， 即4c 2＋2e 2d 1d 2＝4a 2，即4c 2＋144c 2a2＝4a 2＝4×45，解得c 2＝45281＝25，b 2＝a 2－c 2＝20，所以椭圆方程为x 245＋y 220＝1.12. 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心离为12，右焦点为F ，且椭圆E 上的点到点F距离的最小值为2.(1) 求椭圆E 的方程；(2) 设椭圆E 的左、右顶点分别为A ，B ，过点A 的直线l 与直线x ＝8交于点N ，当过A ，F ，N 三点的圆半径最小时，求这个圆的方程.解析：(1) 由题意知c a ＝12，a －c ＝2，所以a ＝4，c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝12，所以椭圆E 的方程为x 216＋y 212＝1.(2) 设点N(8，t)，圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. 因为圆过点A(－4，0)，F(2，0)，N(8，t)，所以联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧（－4）2－4D ＋F ＝0，22＋2D ＋F ＝0，82＋t 2＋8D ＋tE ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝－72＋t 2t，F ＝－8，所以圆的方程为x 2＋y 2＋2x －(t ＋72t )y －8＝0，即(x ＋1)2＋[y －12(t ＋72t )]2＝9＋14⎝⎛⎭⎫t ＋72t 2.因为⎝⎛⎭⎫t ＋72t 2≥(272)2，当且仅当t ＝72t ，即t ＝±62时取等号，圆的半径最小， 故所求圆的方程为x 2＋y 2＋2x±122y －8＝0.。

2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程：随堂巩固训练20含解析

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随堂巩固训练(20)1. 函数f(x)＝＋cosx ，x ∈的单调减区间是____．x 2(0，π2)(π6，π2)解析：f′(x)＝－sinx ，令f′(x)<0得sinx>.因为x ∈，所以<x<，所以函数f(x)在1212(0，π2)π6π2区间上的单调减区间为.(0，π2)(π6，π2)2. 若直线y ＝kx 是曲线y ＝lnx 的切线，则k 的值为____．1e解析：设切点为(x 0，y 0)．因为y′＝，所以＝k ，即x 0＝，y 0＝kx 0＝1，所以1＝ln ，1x 1x 01k 1k解得k ＝.1e3. 若a>2，则关于x 的方程x 3－ax 2＋1＝0在区间(0，2)上恰好有__1__个根．13解析：设f(x)＝x 3－ax 2＋1，则f ′(x)＝x 2－2ax ＝x(x －2a)．当x ∈(0，2)时，因为a>2，13所以x －2a<0，即f′(x)<0，所以f(x)在区间(0，2)上为减函数．又f(0)·f(2)＝1×＝(83－4a ＋1)－4a<0，所以f(x)＝0在区间(0，2)上恰好有1个根．113 4. 已知函数f(x)＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是__(－∞，－1)∪(2，＋∞)__．解析：f′(x)＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)．因为f(x)既有极大值又有极小值，所以方程f′(x)＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝36a 2－36(a ＋2)>0，即a 2－a －2>0，解得a>2或a<－1，即实数a 的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．5. 设x ＝－2与x ＝4是f(x)＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点，则a ＝__－3__，b ＝__－24__．解析：因为f′(x)＝3x 2＋2ax ＋b ，所以3x 2＋2ax ＋b ＝0的两根为x ＝－2和x ＝4，所以解得{－2＋4＝－2a 3，－2×4＝b 3，){a ＝－3，b ＝－24.)6. 设f(x)是定义在R 上的函数，f(x ＋6)＝f(x)，且当x ∈(0，3)时，f′(x)<0，y ＝f(x)的图象关于直线x ＝3对称，则f(1.5)，f(3.5)，f(6.5)的大小关系是__f(6.5)>f(1.5)>f(3.5)__．解析：f(6.5)＝f(0.5＋6)＝f(0.5)，f(3.5)＝f(3＋0.5)＝f(3－0.5)＝f(2.5)．又函数f(x)在区间(0，3)上单调递减，所以f(2.5)<f(1.5)<f(0.5)，即f(3.5)<f(1.5)<f(6.5)．7. 设函数f(x)＝x 2－9lnx 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是__(1，122]__．解析：因为f(x)＝x 2－9ln x ，所以f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x －.因为x>0，所129x以f′(x)＝x －<0，解得0<x<3.因为函数f(x)在[a －1，a ＋1]上单调递减，所以a －1>0且a ＋9x1≤3，解得1<a ≤2.8. 若函数f(x)是定义在R 上的奇函数且f(1)＝0，当x>0时，>0，则不等xf ′（x ）－f （x ）x 2式xf(x)>0的解集是__(－∞，－1)∪(1，＋∞)__．解析：令g(x)＝(x ≠0)，则g′(x)＝.因为当x>0时，>0，即f （x ）x xf ′（x ）－f （x ）x 2xf ′（x ）－f （x ）x 2g′(x)>0，所以g(x)在区间(0，＋∞)上为增函数．又f(1)＝0，所以g(1)＝f(1)＝0，所以在区间(0，＋∞)上，g(x)>0的解集为(1，＋∞)．因为f(x)为奇函数，所以g(x)为偶函数，所以在区间(－∞，0)上，g(x)>0的解集为(－∞，－1)．由xf(x)>0得g(x)>0(x ≠0)，所以不等式xf(x)>0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．9. 已知曲线y ＝x ＋lnx 在点(1，1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则实数a 的值为__8__．解析：因为y′＝1＋，所以曲线y ＝x ＋ln x 在x ＝1处的切线斜率k ＝2，故切线方程为y ＝1x2x －1.由于切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，联立得ax 2＋ax ＋2{y ＝2x －1，y ＝ax 2＋（a ＋2）x ＋1，)＝0.又因为a ≠0，所以由Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8.10. 已知函数y ＝f(x)在定义域上可导，其图象如图所示，记(－32，3)函数y ＝f(x)的导函数为y ＝f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集为__[－13，1]∪[2，3)__．解析：由图象可知，函数f(x)在区间[－，1]与[2，3)上单调递减，所以f′(x)≤0的解集13为∪[2，3)．[－13，1]11. 已知函数f(x)＝x 2＋bsinx －2(b ∈R )，F(x)＝f(x)＋2，且对于任意实数x ，恒有F(x)－F(－x)＝0.(1) 求函数f(x)的解析式；(2) 已知函数g(x)＝f(x)＋2(x ＋1)＋alnx 在区间(0，1)上单调递减，求实数a 的取值范围．解析：(1) F(x)＝f(x)＋2＝x 2＋bsinx －2＋2＝x 2＋bsinx.依题意，对任意实数x ，恒有F(x)－F(－x)＝0.所以x 2＋bsinx －(－x)2－bsin(－x)＝0，即2bsinx ＝0，所以b ＝0，所以f(x)＝x 2－2.(2) 由(1)知g(x)＝x 2＋2x ＋alnx ，则g′(x)＝2x ＋2＋.a x因为函数g(x)在区间(0，1)上单调递减，所以g′(x)＝2x ＋2＋＝≤0在区间(0，1)上恒成立，a x 2x 2＋2x ＋a x所以a ≤－(2x 2＋2x)在区间(0，1)上恒成立．因为y ＝－(2x 2＋2x)在区间(0，1)上单调递减，所以a ≤－4，所以实数a 的取值范围是(－∞，4]．12. 设函数f(x)＝e x －ax 2－ex －2，其中e 为自然对数的底数．(1) 当a ＝1时，求曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2) 若函数h(x)是函数f(x)的导函数，求函数h(x)在区间[0，1]上的最小值．解析：(1) 当a ＝1时，f(x)＝e x －x 2－ex －2，f′(x)＝e x －2x －e ，所以f(1)＝e 1－12－e ×1－2＝－3，f′(1)＝－2，所以曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y ＋3＝－2(x －1)，即2x ＋y ＋1＝0.(2) 由题意得h(x)＝f′(x)＝e x －2ax －e ，所以h′(x)＝e x －2a.当a<时，因为x ∈[0，1]，1≤e x ≤e ，12所以2a<e x 恒成立，即h′(x)＝e x －2a>0，所以h(x)在区间[0，1]上单调递增，所以h(x)≥h(0)＝1－e ；当a>时，因为x ∈[0，1]，1≤e x ≤e ，e 2所以2a>e x 恒成立，即h′(x)＝e x －2a<0，所以h(x)在区间[0，1]上单调递减，所以h(x)≥h(1)＝－2a ；当≤a ≤时，由h′(x)＝e x －2a ＝0，得x ＝ln2a ，12e 2所以h(x)在区间[0，ln2a]上单调递减，在区间[ln2a ，1]上单调递增，所以h(x)≥h(ln2a)＝2a －2aln2a －e.综上所述，h(x)min ＝{1－e ， a <12，2a －2aln 2a －e ， 12≤a ≤e 2，－2a ， a >12.)13. 已知函数f(x)＝x 2＋alnx.(1) 当a ＝－2时，求函数f(x)的单调减区间；(2) 若g(x)＝f(x)＋在区间[1，＋∞)上为增函数，求实数a 的取值范围．2x解析：(1) 易知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，当a ＝－2时，f(x)＝x 2－2lnx ，所以f′(x)＝2x －＝，2x 2（x 2－1）x由f′(x)<0，得－1<x<1.又x>0，所以当a ＝－2时，函数f(x)的单调减区间为(0，1)．(2) 由题意知g(x)＝x 2＋alnx ＋，所以g′(x)＝2x ＋－.2x a x 2x 2因为函数g(x)在区间[1，＋∞)上为单调增函数，所以g′(x)＝2x ＋－≥0在区间[1，＋∞)a x 2x 2上恒成立，即a ≥－2x 2在区间[1，＋∞)上恒成立．2x令h(x)＝－2x 2，则h′(x)＝－－4x<0，2x 2x 2所以函数h(x)在区间[1，＋∞)上单调递减，所以h(x)max ＝h(1)＝0，所以a ≥0，所以实数a 的取值范围为[0，＋∞)．。

2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程：随堂巩固训练26 Word版含解析

2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程：随堂巩固训练26 Word版含解析

随堂巩固训练(26)1. 计算：sin15°cos75°＋cos15°sin105°＝__1__．解析：原式＝sin15°cos(90°－15°)＋cos15°sin(90°＋15°)＝sin 215°＋cos 215°＝1. 2. 已知cos ＝，则cos2θ＝__－__．(π2＋θ)45725解析：因为cos ＝－sinθ＝，所以sinθ＝－，所以cos2θ＝1－2sin 2θ＝1－2×(π2＋θ)4545(－45)＝－.2 7253. 已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则tanαtanβ＝____．153512解析：因为cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝，cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝，所1535以cosαcosβ＝，sinαsinβ＝，所以tanαtanβ＝＝.2515sin αsin βcos αcos β124. 计算：sin40°(tan10°－)＝__－1__．3解析：原式＝sin40°＝sin40°·＝＝－(sin10°cos10°－3)2(12sin10°－32cos10°)cos10°2sin40°sin （－50°）cos10°＝－1.sin80°cos10°5. 函数f(x)＝sin(x ＋φ)－2sinφcosx 的最大值为__1__．解析：f(x)＝sin(x ＋φ)－2sinφcosx ＝sinxcosφ＋cosxsinφ－2sinφcosx ＝sinxcosφ－sinφcosx ＝sin(x －φ)≤1，所以函数f(x)的最大值为1.6. 已知<α<π，sinα＝，tanβ＝，则tan(α－β)＝__－2__．π23512解析：因为<α<π，sinα＝，所以cosα＝－，所以tanα＝－，所以tan(α－β)＝π2354534tan α－tan β1＋tan αtan β＝＝－2.－34－121＋(－34)×127. 已知tanα，tanβ是方程3x 2－7x ＋2＝0的两根，则的值为____．sin （α＋β）cos （α－β）75解析：由已知得tanα＋tanβ＝，tanαtanβ＝，所以＝＝7323sin （α＋β）cos （α－β）sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β＋sin αsin β＝.tan α＋tan β1＋tan αtan β758. 已知sinα＋2cosα＝，则tan2α＝__－__．10234解析：由题意得(sinα＋2cosα)2＝，即＋2sin2α＋2＋2cos2α＝，所以sin2α＝－521－cos2α252cos2α，所以tan2α＝－.34349. 已知sin ＝，则sin ＝____，sin ＝__±__．(α＋π6)13(π6－2α)79(π6－α2)33解析：sin ＝cos[－(－2α)]＝cos ＝1－2sin 2＝1－2×＝；sin(π6－2α)π2π6(2α＋π3)(α＋π6)(13)2 79＝cos ＝cos ＝1－2sin 2＝，所以sin ＝±.(α＋π6)[π2－(α＋π6)](π3－α)(π6－α2)13(π6－α2)3310. 已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tanβ＝－，则2α－β＝__－__．12173π4解析：因为tanα＝tan[(α－β)＋β]＝＝，所以tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋tan （α－β）＋tan β1－tan （α－β）tan β13α]＝＝1.因为tanα＝<，tanβ＝－>－，α，β∈(0，π)，所以0<α<，tan （α－β）＋tan α1－tan （α－β）tan α13331733π6<β<π，所以－π<2α－β<－，所以2α－β＝－.5π6π23π411. 已知α∈，sinα＝.(π2，π)55(1) 求sin的值；(π4＋α)(2) 求cos的值．(5π6－2α)解析：(1) 因为α∈，sinα＝，(π2，π)55所以cosα＝－＝－，1－sin 2α255所以sin ＝×＋×＝－.(π4＋α)22(－255)22551010(2) 由(1)得sin2α＝2sinαcosα＝2××＝－，55(－255)45cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×＝，(55)235所以cos ＝cos cos2α＋sin sin2α＝×＋×＝－.(5π6－2α)5π65π6(－32)3512(－45)4＋331012. 已知α，β∈(0，π)，且tanα＝2，cosβ＝－.7210(1) 求cos2α的值；(2) 求2α－β的值．解析：(1) 方法一：因为tanα＝2，所以＝2，即sinα＝2cosα.sin αcos α又sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin 2α＝，cos 2α＝，4515所以cos2α＝cos 2α－sin 2α＝－.35方法二：cos2α＝cos 2α－sin 2α＝＝＝＝－.cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α1－tan 2α1＋tan 2α1－221＋2235(2) 因为α∈(0，π)，且tanα＝2，所以α∈，tan2α＝＝－，(0，π2)2tan α1－tan 2α43所以2α∈.(π2，π)因为cosβ＝－，β∈(0，π)，所以sinβ＝，7210210所以β∈，所以tanβ＝－，(π2，π)17所以tan(2α－β)＝＝＝－1.tan2α－tan β1＋tan2αtan β－43＋171＋(－43)×(－17)又2α－β∈，所以2α－β＝－.(－π2，π2)π413. 已知函数f(x)＝sin ＋cosx.(x ＋π6)(1) 求函数f(x)的最大值，并写出当函数f(x)取得最大值时x 的取值集合；(2) 若α∈，f ＝，求f(2α)的值．(0，π2)(α＋π6)335解析：(1) f(x)＝sin ＋cosx ＝sinx ＋cosx ＋cosx ＝sin ，　(x ＋π6)32123(x ＋π3)所以当x ＋＝2kπ＋(k ∈Z )，即x ＝2kπ＋(k ∈Z )时，函数f(x)取得最大值，π3π2π63此时x 的取值集合为{x|x ＝2kπ＋，k ∈Z }．π6(2) 由(1)知f(x)＝sin ，3(x ＋π3)所以f ＝sin ＝cosα＝，　(α＋π6)3(α＋π6＋π3)3335所以cosα＝.35又因为α∈，所以sinα＝，(0，π2)45所以sin2α＝2sinαcosα＝2××＝，45352425所以cos2α＝2cos 2α－1＝－，725所以f(2α)＝sin ＝sin2α＋cos2α＝×－×＝.3(2α＋π3)323232242532725243－2150。

2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程：随堂巩固训练80

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随堂巩固训练(80)1. 一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1个球，然后放回袋中再取出1个球，则取出的2个球同色的概率为 12 . 解析：把红球标记为红1、红2，白球标记为白1、白2，本试验的基本事件共有16个，其中2个球同色的事件有8个：(红1，红1)，(红1，红2)，(红2，红1)，(红2，红2)，(白1，白1)，(白1，白2)，(白2，白1)，(白2，白2)，故所求概率为P ＝816＝12. 2. 在40根纤维中，有12根的长度超过30mm ，从中任取一根，取到长度超过30mm 的纤维的概率是 310 . 解析：由题意得基本事件总数为40，且它们是等可能发生的，所求事件包含12个基本事件，故所求事件的概率为310. 3. 一颗质地均匀的正方体骰子，其六个面上的点数分别为1、2、3、4、5、6，将这一颗骰子连续抛掷三次，观察向上的点数，则三次点数依次构成等差数列的概率为112 . 解析：基本事件总数为6×6×6，事件“三次点数依次成等差数列”包含的基本事件有(1，1，1)，(1，2，3)，(3，2，1)，(2，2，2)，(1，3，5)，(5，3，1)，(2，3，4)，(4，3，2)，(3，3，3)，(2，4，6)，(6，4，2)，(3，4，5)，(5，4，3)，(4，4，4)，(4，5，6)，(6，5，4)，(5，5，5)，(6，6，6)共18个，所求事件的概率P ＝186×6×6＝112. 4. 从分别写有0，1，2，3，4的五张卡片中取出一张卡片，记下数字后放回，再从中取出一张卡片，则两次取出的卡片上的数字之和恰好等于4的概率是 15 . 解析：从0，1，2，3，4五张卡片中取出两张卡片的结果有25种，数字之和恰好等于4的结果有(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)共5个，所以数字和恰好等于4的概率是P ＝525＝15. 5. 现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 35 . 解析：由题意得a n ＝(－3)n －1，易知前10项中奇数项为正，偶数项为负，所以小于8的项为第一项和偶数项，共6项，即6个数，所以P ＝610＝35. 6. 某种饮料每箱装6听，其中有4听合格，2听不合格，现质检人员从中随机抽取2听进行检测，则检测出至少有一听不合格饮料的概率是 35. 解析：从“6听饮料中任取2听饮料”这一随机试验中所有可能出现的基本事件共有15个，而“抽到不合格饮料”含有9个基本事件，所以检测到不合格饮料的概率为P ＝915＝35. 7. A ＝{1，2，3}，B ＝{x ∈R|x 2－ax ＋b ＝0}，a ∈A ，b ∈A ，则A ∩B ＝B 的概率是 89Ｗ. 解析：因为A ∩B ＝B ，所以B 可能为∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{2，3}，{1，3}.当B＝∅时，a 2－4b ＜0，满足条件的a ，b 为a ＝1，b ＝1，2，3；a ＝2，b ＝2，3；a ＝3，b ＝3.当B ＝{1}时，满足条件的a ，b 为a ＝2，b ＝1.当B ＝{2}，{3}时，没有满足条件的a ，b . 当B ＝{1，2}时，满足条件的a ，b 为a ＝3，b ＝2.当B ＝{2，3}，{1，3}时，没有满足条件的a ，b ，所以A ∩B ＝B 的概率为83×3＝89. 8. 将一颗骰子投掷两次分别得到点数a 、b ，则直线ax －by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2相交的概率为 512. 解析：圆心(2，0)到直线ax －by ＝0的距离d ＝|2a|a 2＋b 2.当d ＜2时，直线与圆相交，则由d ＝|2a|a 2＋b 2＜2，解得b ＞a.满足题意的b ＞a ，共有15种情况，因此直线ax －by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2相交的概率为1536＝512. 9. 从x 2m －y 2n＝1(其中m ，n ∈{－1，2，3})所表示的圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)方程中任取一个，则此方程是焦点在x 轴上的双曲线方程的概率为 47. 解析：当方程x 2m －y 2n＝1表示椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线时，不能有m ＜0，n ＞0，所以方程x 2m －y 2n＝1表示椭圆双曲线、抛物线等圆锥曲线的(m ，n)有(2，－1)，(3，－1)，(2，2)，(3，2)，(2，3)，(3，3)，(－1，－1)共7种，其中表示焦点在x 轴上的双曲线时，则m＞0，n ＞0，有(2，2)，(3，2)，(2，3)，(3，3)共4种，所以所求概率P ＝47. 10. 设a ∈{1，2，3，4}，b ∈{2，4，8，12}，则函数f(x)＝x 3＋ax －b 在区间[1，2]上有零点的概率为 1116. 解析：因为f(x)＝x 3＋ax －b ，所以f′(x)＝3x 2＋a.因为a ∈{1，2，3，4}，因此f′(x)＞0，所以函数f(x)在区间[1，2]上为增函数. 若存在零点，则⎩⎪⎨⎪⎧f （1）≤0，f （2）≥0，解得a ＋1≤b ≤8＋2a.因此可使函数在区间[1，2]上有零点的有a ＝1，2≤b ≤10，故b ＝2，4，8；a ＝2，3≤b ≤12，故b ＝4，8，12；a ＝3，4≤b ≤14，故b ＝4，8，12；a ＝4，5≤b ≤16，故b ＝8，12.根据古典概型可得有零点的概率为1116. 11. 已知A 、B 、C 三个箱子中各装有2个完全相同的球，每个箱子里的球，有一个球标着号码1，另一个球标着号码2.现从A 、B 、C 三个箱子中各摸出1个球.(1) 若用数组(x ，y ，z)中的x ，y ，z 分别表示从A 、B 、C 三个箱子中摸出的球的号码，请写出数组(x ，y ，z)的所有情形，一共有多少种？(2) 如果请您猜测摸出的这三个球的号码之和，猜中有奖，那么猜什么数获奖的可能性最大？请说明理由.解析：(1) 数组(x ，y ，z)的所有情形为(1，1，1)，(1，1，2)，(1，2，1)，(1，2，2)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，2，1)，(2，2，2)，共8种.(2) 记“所摸出的三个球号码之和为i ”为事件A i (i ＝3，4，5，6)，易知，事件A 3包含1个基本事件，事件A 4包含3个基本事件，事件A 5包含3个基本事件，事件A 6包含1个基本事件，所以P(A 3)＝18，P(A 4)＝38，P(A 5)＝38，P(A 6)＝18，摸出的两球号码之和为4或5的概率相等且最大，故猜4或5获奖的可能性最大.12. 暑假期间，甲、乙两个学生准备以问卷的方式对某城市市民的出行方式进行调查. 如图是这个城市的地铁二号线路图(部分)，甲、乙分别从太平街站(用A 表示)、南市场站(用B 表示)、青年大街站(用C 表示)这三站中，随机选取一站作为调查的站点.(1) 求甲选取问卷调查的站点是太平街站的概率；(2) 求乙选取问卷调查的站点与甲选取问卷调查的站点相邻的概率.解析：(1) 由题知，所有的基本事件有3个，甲选取问卷调查的站点是太平街站的基本事件有1个，所以所求事件的概率P ＝13. (2) 由题知，甲、乙两人选取问卷调查的所有情况如下表：由表格可知，共有9种可能结果，其中甲、乙在相邻的两站进行问卷调查的结果有4种，分别为(A ，B)，(B ，A)，(B ，C)，(C ，B)，因此乙选取问卷调查的站点与甲选取问卷调查的站点相邻的概率为49. 13. 某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查.(1) 求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数量；(2) 若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析.①列出所有可能的抽取结果；②求抽取的2所学校均为小学的概率.解析：(1) 由分层抽样定义知，从小学中抽取的学校数量为6×2121＋14＋7＝3； 从中学中抽取的学校数量为6×1421＋14＋7＝2； 从大学中抽取的学校数量为6×721＋14＋7＝1. 因此，从小学、中学、大学中分别抽取的学校数量分别为3，2，1.(2) ①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A 1，A 2，A 3，2所中学分别记为A 4，A 5，大学记为A 6，则抽取2所学校的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}共15种.②“从6所学校中抽取的2所学校均为小学”记为事件B，所有可能的结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}共3种，所以P(B)＝315＝15.。

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