自主广场我夯基我达标1.刻画数据离散程度的统计量有( )A.极差B.方差与标准差C.极差、方差与标准差D.平均数与标准差思路解析:极差、方差与标准差均是刻画数据离散程度的统计量.答案:C2.如果数据x 1,x 2,…,x n 的平均数为x ,方差为s 2,则3x 1+5,3x 2+5,…,3x n +5的平均数和方差分别为…( ) A.x 和s2B.3x +5和9s2 C.3x +5和s2D.3x +5和9s 2+30s+25 思路解析:n 1(3x 1+5+3x 2+5+…+3x n +5)=3×n1(x 1+x 2+…+x n )+5=3x+5, n1［(3x 1+5-3x -5)2+(3x 2+5-3x -5)2+…+(3x n +5-3x -5)2］ =n9［(x 1-x )2+(x 2-x )2+…+(x n -x )2］=9s 2. 答案:B3.标准差的计算公式是( ) A.∑=ni i x n 11 B.∑=-n i i x x n 12)(1 C.∑=-n i i x x n 12)(1 D.∑=-ni i x x n 1||1 思路解析:s =∑=-=-+⋯+-+-n i i n x x n x x x x x x n 1222221)(1])()()[(1. 答案:C4.某班50名学生右眼视力的检查结果如下表所示.视力 0.10.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 1.0 1.2 1.5 人数 11 3 4 3 4 4 6 8 10 6 则该班学生右眼视力的众数为_______,中位数为_______.思路解析:最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)称为中位数,一组数据中,出现次数最多的数据叫众数.答案:1.2 0.85.已知两组数据:甲:9.9,10.3,9.8,10.1,10.4,10,9.8,9.7.乙:10.2,10,9.5,10.3,10.5,9.6,9.8,10.1.分别计算这两组数据的方差,并判断哪组数据波动大.思路分析:先用公式s 2=∑=-ni i x x n 12)(1计算出两组数据的方差,其中数值大的波动大. 解:s 甲2=0.055,s 乙2=0.105,乙组数据比甲组数据波动大.6.某单位为了寻找高产稳定的油菜品种,选了三个不同的油菜品种进行试验,每一品种在五块试验田上试种,每块试验田的面积为0.7公顷,产量情况如下表.品种 各试验田产量(kg) 1 2 3 4 51 21.5 20.4 22.0 21.2 19.9 2 21.3 23.6 18.9 21.4 19.8 3 17.8 23.3 21.4 19.1 20.9试评定哪一个品种既高产又稳定.思路解析:分别计算出三组数据的平均值,数据大的产量高,再计算出各组数据的方差,值小的为稳定的油菜品种.答案:第一个油菜品种既高产又稳定.我综合我发展7.下列数据是30个不同国家中每100 000名男性患某种疾病的死亡率:27.0 23.9 41.6 33.1 40.6 18.8 13.728.9 13.2 14.5 27.0 34.8 28.9 3.250.1 5.6 8.7 15.2 7.1 5.2 16.513.8 19.2 11.2 15.7 10.0 5.6 1.533.8 9.2(1)作出这些数据分布的频率分布直方图;(2)请由这些数据计算平均数、标准差等,并对它们的含义进行解释.思路分析:先作频率分布表,统计出数据的规律,再根据图示进行解释.解:(1)画频率分布直方图如下图.(2)平均数是19.3;标准差是12.5.说明30个国家中每十万名男性患某种疾病的平均死亡率为19.3%;但各个国家的差异较大.8.在一次人才招聘会上,有一家公司的招聘员告诉你,“我们公司的收入水平很高”“去年,在50名员工中,最高年收入达到了100万,他们年收入的平均数是3.5万”.(1)你是否能够判断自己可以成为此公司的一名高收入者?(2)如果招聘员继续告诉你,“员工收入的变化范围是从0.5万到100万”,这个信息是否足以使你作出自己是否受聘的决定?为什么?(3)如果招聘员继续给你提供如下信息,员工收入的中间50%(即去掉最少的25%和最多的25%后所剩下的)的变化范围是1万到3万,你又该如何使用这条信息来作出是否受聘的决定?(4)为什么平均数比中间50%高很多?你能估计出收入的中位数是多少吗?思路分析:中位数、众数、平均数可以从不同角度反映这组数据的特征.解:(1)不能判断一定能成为此公司的一名高收入者.(2)由此可知员工收入的变化范围及平均数.高收入者只是极少数,不能作为受聘的决定.(3)大部分员工的收入是1万到3万,这也是我们受聘该公司后最有可能的收入状况.(4)收入极高的少数人对平均数影响较大,他们的收入与平均数相差太多,可以估计收入的中位数大约是2万元.9.对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了6次测试,测得他们的最大速度(m/s)的数据如下表.甲273830373531乙332938342836(1)画出茎叶图,由茎叶图你能获得哪些信息?(2)分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度(m/s)数据的平均数、中位数、极差、标准差,并判断选谁参加比赛更合适.思路分析:(1)根据表中数据,可以将十位数字作为茎,个位数字作为叶,画出茎叶图.茎叶图可直观地反映各数据的分布情况.(2)平均数、中位数、极差、标准差这些基本特征量能从不同侧面刻画样本数据的数字信息,以帮助我们用于判断.解:(1)画茎叶图如下图所示,中间数为数据的十位数.从这个茎叶图上可以看出,甲、乙的得分情况都是分布均匀的,只是乙更好一些;乙的中位数是33.5,甲的中位数是33.因此乙发挥比较稳定,总体得分情况比甲好.(2)利用科学计算器:x甲=33,x乙=33;s甲=3.96,s乙=3.56;甲的中位数是33,极差11,乙的中位数是33.5,极差是10.综合比较以上数据可知,选乙参加比赛较为合适.。
§4数据的数字特征知识点一众数、中位数、平均数[填一填]1．众数(1)定义：一组数据中出现次数最多的数称为这组数据的众数．(2)特征：一组数据的众数可能多个，也可能没有，它反映了该组数据的频率分布．2．中位数(1)定义：一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排成一列，处于中间位置的数称为这组数据的中位数．(2)特征：一组数据中的中位数是唯一的，反映了该组数据的集中趋势．3．平均数(1)定义：一组数据的和与这组数据的个数的商叫作这组数据的平均数，数据x1，x2，…，x n的平均数为x＝x1＋x2＋…＋x nn.(2)特征：平均数对数据有“取齐”的作用，代表该组数据的平均水平．任何一个数据的改变都会引起平均数的变化，这是众数和中位数都不具有的性质．所以与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的平均水平，但平均数受数据中的每一个数据的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低．[答一答]1．一组数据的平均数是否一定能说明现实中的平均水平？提示：在用平均数估计总体时，样本中的每一个数据都会影响到平均数的大小，因此在实际操作中，一定要注意异常数据对平均数的影响，以便作出正确估计．比如：某地区的年平均家庭年收入是10万元，给人的印象是这个地区的家庭年收入普遍较高．但是，如果这个平均数是从200户贫困家庭和20户极富有的家庭年收入计算出来的，那么，它就既不能代表贫困家庭的年收入，也不能代表极富有家庭的年收入．知识点二标准差、方差、极差[填一填]4．标准差(1)定义：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示，通常用以下公式来计算s＝1n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(x n－x)2].可以用计算器或计算机计算标准差．(2)特征：标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小，反映了一组数据变化的幅度和离散程度的大小．标准差较大，数据的离散程度较大；标准差较小，数据的离散程度较小．5．方差(1)定义：标准差的平方，即s2＝1n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(x n－x)2]．(2)特征：与标准差的作用相同，描述一组数据围绕平均数波动的大小．(3)取值范围：s2≥0.6．极差(1)定义：一组数据的最大值和最小值的差称为这组数据的极差．(2)特征：表示该组数据之间的差异情况．[答一答]2．怎样正确理解标准差与方差．提示：①标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．②标准差、方差的取值范围：[0，＋∞)．标准差、方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性．③因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差．1．三种数字特征应注意以下四点(1)众数、中位数与平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量．(2)众数考查各个数据出现的频率，大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，其众数往往更能反映问题．(3)中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响，中位数可能在所给的数据中，也可能不在所给的数据中．当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述它的某种集中趋势．(4)实际问题中求得的平均数、众数和中位数应带上单位．2．关于方差、标准差应注意以下几点(1)样本标准差反映了各样本数据聚集于样本平均值周围的程度，标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；反之，表明各样本数据在样本平均数的两边越分散．(2)若样本数据都相等，则s＝0.(3)当样本的平均数相等或相差无几时，就要用样本数据的离散程度来估计总体的数字特征，而样本数据的离散程度，就由标准差来衡量．(4)因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差和标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般采用标准差．类型一平均数、中位数、众数【例1】据报道，某销售公司有33名职工，他们所在部门及相应每人所创年利润如下表所示(单位：万元)：部门 A B C D E F G人数11215320 每人所创年利润 5.55 3.53 2.52 1.5(2)假设部门A所创年利润从5.5万元提高到30万元，部门B所创年利润由5万元提高到20万元，那么新的平均数、中位数、众数、极差又是多少？(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司职工每人所创年利润的平均水平？【思路探究】(1)(2)根据表中数据及平均数、中位数、众数、极差的定义求解．(3)分析各统计量与公司职工每人所创年利润的关系→看其是否偏离一般情况【解】(1)x＝5.5＋5＋3.5×2＋3＋2.5×5＋2×3＋1.5×2033≈2.1(万元)，中位数为1.5万元，众数为1.5万元，极差为4万元．。
