高三复习--错位相减法求和教案对应课件

(1-x)Sn =1 + x + x2+ …… + xn-1 - nxn
这时等式的右边是一个等 n项
比数列的前n项和与一个式 子的和，这样我们就可以 化简求值。
解：∵ Sn =1 + 2x +3x2 + …… +nxn-1 … ……. ①
∴xSn = x + 2x2 + … … + (n-1)xn-1 + nxn ……②
…...①
…... ②
①-②，得
.
.
.
方法总结
(1)若一个数列是由一个等差数列与一个等比数列 的对应项相乘所得数列，求和问题适用错位相减法 。
（2)在写出“ Sn”与“ q”S的n 表达式时应特别
注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出 “ Sn - q”Sn的表达式．
(3)如果出现 q为参数时，一定要讨论 q和=0 的q情=1
数列求和的方法之 ——错位相减法
错位相减法：
设数列 {是an公} 差为d的等差数列（d不等于
零），数列{bn是} 公比为q的等比数列(q不等于
1），数列{cn满} 足： cn ，anb则n 的前{cnn}项和为： Sn c1 c2 c3 cn
a1b1 a2b2 a3b3 anbn
况。
类似于这样形式的数列，求前n项和，可以用错 位相减法求和。
例:求和 Sn =1 + 2x + 3x2 + …… + nxn-1 (x≠0,1)
[分析] 这是一个等差数列{n}与一个等比数列{xn-1}的对应
相乘构成的新数列，这样的数列求和该如何求呢？
Sn =1 + 2x +3x2 + …… +nxn-1 ① xSn = x + 2x2 +……+ (n-1)xn-1 + nxn ②

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第七部分 数列
变式 2、已知数列{ an }满足： an ＝ (2n 1) qn (q 0) ，
n∈N* .求数列{ an }的前 n 项和 Tn.
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解：当q 1时，Tn a1 a2 a3 ...... an 1 q 3 q2 5 q3 ...... (2n 1) qn ①
④
1 n＋
n＋1＝_____n_＋__1_－___n____.
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第七部分 数列
例 2、已知数列{ an }满足：an＝2n , n∈N* .且数列{bn}满足 bn＝log2an，求 Tn＝b11b2＋b21b3＋…＋bnb1n＋1的表达式(用含 n 的代 数式表示)
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第七部分 数列
问题：等比数列的前n项和公式是怎么推导的？
解：设等比数列的通项公式为an a1qn1(q 1),
则Tn a1 a2 a3 ... an
a1 a1q1 a3q2 ... anqn1 ①
qTn a1q1 a3q2 a3q3 ... anqn ②
(1 n 1

1) n 1

(1 n

n
1
2 )
1（1 1 1 1 ） 3 2n 3 2 2 n 1 n 2 4 2(n 1)(n 2)
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2019/4/26
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,q 1

① ①
书 书写写规规范范、、计计算算3细细.心心看；；结构，想方法.
① 书写规范、计算细心；
课后作业
1. 教材 P70.例3 2. 年全国新课标 P72 3. P206.6、8
在数列求和的问题中，什么样的结构选择“错位相减法”？
① 书写规范、计算①细心书； 写规范、计算细心；
在数列求和的问题中，什么样的结构选择“错位相减法”？
在数列求和的问题中②，什关么注样的字结母构选，择弄“错清位分相减类法讨”？论的依据.
① 书写规范、计算细心；
在数列求和的问题中，什么样的结构选择“错位相减法”？
高中数学错位相减法求和
基础检测
知识要点
一般地，对于等比数列
根据等比数列的通项公式，上式可写成
①②的右边有很多相同的项. 用①的两边分别减去②的两边，就可以消去 这些相同的项，得
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基础检测
① 书写规范、计算细心； ①②的右边有很多相同的项. 一般地，对于等比数列 ② 关注字母，弄清分类讨论的依据. ① 书写规范、计算细心； ① 书写规范、计算细心； 根据等比数列的通项公式，上式可写成 高中数学错位相减法求和 一般地，对于等比数列 一般地，对于等比数列 ② 关注字母，弄清分类讨论的依据. ① 书写规范、计算细心； 在数列求和的问题中，什么样的结构选择“错位相减法”？ ① 书写规范、计算细心； 根据等比数列的通项公式，上式可写成 ①②的右边有很多相同的项. 在数列求和的问题中，什么样的结构选择“错位相减法”？ 在数列求和的问题中，什么样的结构选择“错位相减法”？
课堂小结
1. 在数列求和的问题中，什么样的结构选择“错位相减法”？

错位相减得：（1-q）Sn=a1-a1qn
相 减
法
总结：用“错位相减法”求和的数列特征：
可以求形如
的数列的和，其中
为等差数列, 为等比数列.
即如果一个数列的各项是由一个等差 数列和一个等比数列的对应项乘积构 成的，那么这个数列的前n项和则采 用“错位相减法” 求和.
方法探究 例：数列{an}的通项公式an n，数列{bn}的通项公式bn 2n
求数列{anbn}的前n项和
解：anbn n 2n
Sn a1b1 a2b2 a3b3 an-1bn-1 anbn
即Sn 1 2 2 22 3 23 (n 1) 2n1 n 2n
2Sn 1 22 2 23 2 24
(n-1) 2n n 2n1
①-②得
Sn 1 2 1 22 1 23 1 2n n 2n1
即
Sn
2 22 23 2n n 2n1
2 2n 2 n 2n1 (1 n)2n1 2
1 2
错位相减法：
故Sn 2 (1 n)2n1 展开，乘公比，错位，相减
方法探究 例：数列{an}的通项公式an n，数列{bn}的通项公式bn 2n
n1
故Tn
2 ( 1 )n1 2
n ( 1 )n =22
2+n 2
( 1 )n1 2
练一练
求和：1 3 3 32 (2n 1) 3n
解：
记Sn 1 3 3 32 (2n 3) 3n1 (2n 1) 3n
3Sn 1 32 3 33 (2n 3) 3n (2n 1) 3n1
2.5.2 错位相减法 求数列前n项和
课前小测 求和：
11 3 5 2n 3 2n 1