错位相减法求和专项
错位相减法求和适用于{a n'b n}型数列，其中{a n},{b n}分别是等差数列和等比数列，在应用过程中要注意：
项的对应需正确；
相减后应用等比数列求和部分的项数为(n-1)项；
若等比数列部分的公比为常数，要讨论是否为1
1.已知二次函数的图象经过坐标原点，其导函数/■］■:I “亠］,数列•的前
项和为，点均在函数：=y：/.：：的图象上•
(I)求数列的通项公式;
(n)设，,■是数列的前」项和，求・’•
［解析］考察专题：2.1 , 2.2 , 3.1 , 6.1 ;难度：一般
［答案］(I)由于二次函数-的图象经过坐标原点，
则设,
又点「均在函数的图象上，
二当心时,©、、= J ；：• ；•■■■ L］ 5 T
又忙：=.：「=乜，适合上式,
I ............................................... （7 分）
（n）由（i）知
- 2 - :' 2 - ：......................................... |；■：■: 2
• • ：' - 'I+（2«+ l）^"kl,上面两式相减得
=3 21 +2 （21 +23十…4『r）-（2打+ 】
卜2*
4屮一才丨, ,
: ■ .
1=2
整理得：，•.................
2.已知数列’的各项均为正数，是数列’
（14 分）的前n项和，且
（1）求数列’的通项公式；
（2）二知二一-
［答案］查看解析
解出a i = 3, ［解
析］
又4S n = a n? + 2a n —3 ①
2
当 -时4S n -1 = + 2a n-1 —3 ②
①—②他・％7^+ «叫-叫J,即丐~二・+ j)=o
... ■ - ■ :.
”■-■'"叫—2( 一)
二数列也“｝是以3为首项，2为公差的等差数列，6分
二心=3 + 2(n-1) = 2/? + !
T ti=3x2' +5x2?+L +(切1).『
又.：匚............... : -.:-
T a=-3x2l-2(22 +21+A +2*) + (2n+l)2"4-'
④一③
+(2卄】)・2曲
12分
3. (2013年四川成都市高新区高三4月月考，19,12分)设函数■' ：■ 1 1 1'，数列：前项和’，：；：「“二二；-匕斥.二’，数列
■，满足沢二U.
(I)求数列：，的通项公式•；
(n)设数列屮广的前项和为•，数列殖的前；项和为’：，证明：
［答案］(i 由■'，，得'
•■•kJ是以;为公比的等比数列，故叫=』芦|.
用错位相减法可求得
■. ■? •比丁■二.(注：此题用到了不等式：：I ，I …进行放大.)
4. 已知等差数列'中，；是与的等比中项.
fa 3
(I)求数列的通项公式：
(n)若' .求数列' 的前厂项和
［解析］(I)因为数列'是等差数列，是与的等比中项.所以 '
又因为，设公差为」，U ' ' '' ' 1 , 所以.门 "'1',解得，［或，
当宀2时，坷二2 , % =八(冲-1)，2 =加；
当d -0时，毎二4 .
所以’或. .(6分)
(n)因为' ，所以'，所以^
所以' •「——，
所以■二丁「1 - - I■:」-：■ 2 ' I
1 一？
-匕=2(2° + 2' + 2:+-+2ff'l-w2tt) = 2•—-n-2^'
两式相减得,
所以' .(13 分)
5. 已知数列：的前I：项和' ,' , 'J'■,等差数列：中
= S,且公差心2.
(I)求数列’、；的通项公式；
(n)是否存在正整数'，使得’'''：若存在，求出“的最小值，
若不存在，说明理由.
u. —L £?… . = 2S + L 当H工2 u 虬=25 . + I —亠/口
［解析］(I) 时，相减得：
%=她Z ") & 6 = 2坤 4 “ 二処二地
，人? ?
'数列：是以1为首项，3为公比的等比数列
令-处叮"存沁"¥宥“ 4［細一恥汀丄“：：.2：冷严」
37； =3x3*5x3J +7x31+L +(2ff-l)x3"-'+(2/1+1)^3*
-27； =3xl + 2p + 32+L +5fl -,)-(2» + 1)x3fl
二匚=^V ，一 o> 伽,即 3" >60 ,当 n<3，亍弋60 ,当/;>4。3" >60
的最小正整数为 4. (12分)
6. 数列•：满足77二Z 二’,等比数列：—满足"d 二込.
(I)求数列 「，‘的通项公式；
(n)设’ ’，求数列"'的前’*项和..
［解析］(I)由 ，所以数列 是等差数列，又 ，
所以： (2)
1;
■-)
—
比—R
由' 二“亞二込，所以 ,「，所以，，
,即卑斗，
打=¥
所以
^
(6分)
(n)因为 」，所以',
又 h 、= h 、碎 d =, 二勺二 m 二丿打=2M +
(6分)
①一②得:
