2018-2019学年江苏省南京市六校联合体高一下学期期末考试数学试题★祝考试顺利★ 注意事项：1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共 2小题，每题 5 分，共 60 分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1.已知圆()()221 221:C x y ++-=，圆 ()()222 2516:C x y -+-= ，则圆1C 与圆2 C 的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相交C. 外切D. 内切【答案】C 【解析】1(2,2)C -，11r =，2(2,5)C ，24r =，12125C C r r ===+，即两圆外切，故选C ．点睛：判断圆与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用圆心距与两半径和与差的关系． (2)切线法：根据公切线条数确定． （3）数形结合法：直接根据图形确定2.计算22cossin 1212ππ-的值为（ ）A. 12-B.12C. 【答案】D 【解析】 【分析】直接由二倍角的余弦公式，即可得解.【详解】由二倍角公式得：2212126cos sin cosπππ-==， 故选D.【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式，属于基础题.3.在空间直角坐标系中，点(3,4,5)P 关于z 轴对称的点的坐标为（ ） A. (3,4,5)-- B. (3,4,5)-C. (3,4,5)--D. (3,4,5)-【答案】A 【解析】 【分析】在空间直角坐标系中，点(,,)a b c 关于z 轴对称的点的坐标为(,,)a b c --. 【详解】根据对称性，点()3,4,5P 关于z 轴对称的点的坐标为(3,4,5)--. 故选A.【点睛】本题考查空间直角坐标系和点的对称，属于基础题.4.产能利用率是指实际产出与生产能力的比率，工业产能利用率是衡量工业生产经营状况 的重要指标．下图为国家统计局发布的 2015 年至 2018 年第 2 季度我国工业产能利用率的折线图．在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如 2016 年第二季度与 2015 年第二季度相比较；环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如 2015年第二季度与 2015 年第一季度相比较．据上述信息，下列结论中正确的是（）A. 2015年第三季度环比有所提高B. 2016年第一季度同比有所提高C. 2017年第三季度同比有所提高D. 2018年第一季度环比有所提高【答案】C【解析】【分析】根据同比和环比的定义比较两期数据得出结论．【详解】解：2015年第二季度利用率为74.3%，第三季度利用率为74.0%，故2015年第三季度环比有所下降，故A错误；2015年第一季度利用率为74.2%，2016年第一季度利用率为72.9%，故2016年第一季度同比有所下降，故B错误；2016年底三季度利用率率为73.2%，2017年第三季度利用率为76.8%，故2017年第三季度同比有所提高，故C正确；2017年第四季度利用率为78%，2018年第一季度利用率为765%，故2018年第一季度环比有所下降，故D错误．故选：C．【点睛】本题考查了新定义的理解，图表认知，考查分析问题解决问题的能力，属于基础题．5.同时抛掷三枚硬币，则抛掷一次时出现两枚正面一枚反面的概率为（）A.18B. 38C.14D.12【答案】B 【解析】 【分析】根据二项分布的概率公式()()1n kk kn P X k C p p -==-求解.【详解】每枚硬币正面向上的概率都等于12， 故恰好有两枚正面向上的概率为：223113·228C ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 故选B.【点睛】本题考查二项分布.本题也可根据古典概型概率计算公式求解.6.直线()2140x m y +++=与直线 320mx y +-=平行，则m =（ ） A. 2 B. 2或3- C. 3- D. 2-或3-【答案】B 【解析】 【分析】两直线平行，斜率相等；按10m +=，0m =和10,0m m +≠≠三类求解. 【详解】当10m +=即1m =-时， 两直线为240x +=，320x y -+-=， 两直线不平行，不符合题意； 当0m =时，两直线为240x y ++= ，320y -= 两直线不平行，不符合题意；当10,0m m +≠≠即1,0m m ≠-≠时， 直线2(1)40x m y +++=的斜率为21m -+ ， 直线320mx y +-=的斜率为3m -，因为两直线平行，所以213mm -=-+， 解得2m =或3-， 故选B.【点睛】本题考查直线平行的斜率关系，注意斜率不存在和斜率为零的情况.7.已知m ， n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A. 若 //m α， //n α则 //m nB. 若 m α⊥， m n ⊥则//n αC. 若 m α⊥， n α⊂则 m n ⊥D. 若 //m α， m n ⊥则 n α⊥【答案】C 【解析】试题分析：A 中，两直线,m n 可能平行也可能相交或异面，故A 错；B 中，直线与α可能平行也可能在平面α内，故B 错；C 中，由线面垂直的定义可知C 正确；D 中，直线n 可能与面α相交，也可能平行，还可能在面α内，故D 错，故选C ．考点：1、空间直线与直线的位置关系；2、空间直线与平面的位置关系．8.若圆222210x y ax by +-++=的圆心在第一象限，则直线0ax y b +-=一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】A 【解析】 【分析】由圆心位置确定a ，b 的正负，再结合一次函数图像即可判断出结果.【详解】因为圆222210x y ax by +-++=的圆心坐标为()a,b -，由圆心在第一象限可得a 0,b 0><，所以直线0ax y b +-=的斜率a 0-<，y 轴上的截距为0b <，所以直线不过第一象限.【点睛】本题主要考查一次函数的图像，属于基础题型.9.在空间四边形ABCD 中，2AD = ， BC =E ，F 分别是AB ， CD 的中点 ，EF =AD 与BC 所成角的大小为（ ）A. 150︒B. 60︒C. 120︒D. 30︒【答案】D 【解析】 【分析】平移两条异面直线到相交，根据余弦定理求解. 【详解】如图所示：设BD 的中点为O ，连接,EO FO ， 所以,EO AD FO BC ，则EOF ∠是,AD BC 所成的角或其补角，又111,22EO AD FO BC EF =====根据余弦定理得：cosEOF ∠==， 所以150EOF ∠=︒，异面直线AD 与BC 所成角的为30︒， 故选D.【点睛】本题考查异面直线所成的角和余弦定理.注意异面直线所成的角的取值范围是(]0,90︒︒.10.已知函数()sin f x x =和()g x =[],ππ-，则它们的图像围成的区域面积是（ ）A. πB.22π C.32πD. 3π【答案】C 【解析】 【分析】由()g x 222,(0)x y y π+=≥，所以()g x 的图像是以原点为圆心，π为半径的圆的上半部分；再结合图形求解.【详解】由()g x 222,(0)x y y π+=≥ ， 作出两个函数的图像如下：则区域①的面积等于区域②的面积，所以他们的图像围成的区域面积为半圆的面积，即32122S r ππ==.故选C.【点睛】本题考查函数图形的性质，关键在于()g x 的识别.11.在ABC ∆中，已知1tan 2A =，cos B =若ABC ∆（ ）D. 【答案】A 【解析】试题分析：由，，解得，同理，由cosB =，，解得，在三角形中，，由此可得，为最长边，为最短边，由正弦定理：，解得.考点：正弦定理.12.已知锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若()2b a ac =+，则()2sin sin AB A -的取值范围是（ ）A. 0,2⎛ ⎝⎭B. 1,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C. 1,22⎛ ⎝⎭D. 2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】由2()b a a c =+利用余弦定理，可得2cos a a B c +=，利用正弦定理边化角，消去C ，可得sin sin()A B A =-，利用三角形是锐角三角形，结合三角函数有界性，可得2sin 1sin (,sin()22A AB A =∈-【详解】因为2()b a a c =+，所以22b a ac =+， 由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-， 所以2222cos a c ac B a ac +-=+， 所以2cos a a B c +=，由正弦定理得sin 2sin cos sin A A B C +=，因为()C A B π=-+，所以sin 2sin cos sin()sin cos cos sin A A B A B A B A B +=+=+， 即sin sin()A B A =-，因为三角形是锐角三角形，所以(0,)2A π∈，所以02B A π<-<，所以A B A =-或A B A π+-=， 所以2B A =或B π=（不合题意）， 因为三角形是锐角三角形，所以0,02,03222A A A ππππ<<<<<-<，所以64A ππ<<，则2sin 1sin (,sin()22A AB A =∈-，故选C.【点睛】这是一道解三角形的有关问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有余弦定理，正弦定理，诱导公式，正弦函数在某个区间上的值域问题，根据题中的条件，求角A 的范围是解题的关键.二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20 分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 13.若直线()4y k x =+与圆228x y +=有公共点，则实数k 的取值范围是__________．【答案】[]1,1- 【解析】 【分析】直线与圆有交点，则圆心到直线的距离小于或等于半径. 【详解】直线(4)y k x =+即40kx y k -+=， 圆228x y +=的圆心为(0,0)，半径为≤解得11k -≤≤,故实数k 的取值范围是[]1,1-.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，点到直线距离公式是常用方法.14.某公司调查了商品 A 的广告投入费用x （万元）与销售利润 y （万元）的统计数据，如下表：广告费用x （万元） 2 3 5 6 销售利润y （万元） 57911由表中的数据得线性回归方程为ˆˆˆy bx a =+，则当 7x =时，销售利润 y 的估值为___．（其中：()1221ˆni ii nii x y x ybxn x==-=-∑∑）【答案】12.2 【解析】 【分析】先求出x ，y 的平均数，再由题中所给公式计算出ˆb 和a ∧，进而得出线性回归方程，将7x =代入，即可求出结果.【详解】由题中数据可得：235644x +++==，5791184y +++==，所以()41422142537596114481.44925364164ˆi i i i i x y xybx x ==-⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯===+++-⨯-∑∑，所以8 1.44 2.4a y b x ∧∧=-=-⨯=，故回归直线方程为 1.4 2.4y x ∧=+， 所以当7x =时， 1.47 2.412.2y ∧=⨯+=【点睛】本题主要考查线性回归方程，需要考生掌握住最小二乘法求ˆb 与a∧，属于基础题型.15.古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点(,0)A a -，(,0)B a ，动点P 满足PA PBλ=（其中a 和λ是正常数，且1λ≠），则P的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”，该圆的半径为__________．【答案】221a λλ-【解析】 【分析】设(,)P x y ，由动点P 满足PA PBλ=（其中a 和λ是正常数，且1λ≠），可得=.【详解】设(,)P x y ，由动点P 满足PA PBλ=（其中a 和λ是正常数，且1λ≠），=化简得222222(1)01a x x a y λλ++++=-， 即22222222222(1)(1)1(1)a a x y a λλλλ⎡⎤++++=-⎢⎥--⎣⎦， 所以该圆半径221a r λλ==- 故该圆的半径为221a λλ-.【点睛】本题考查圆方程的标准形式和两点距离公式，难点主要在于计算.16.如图，正方体1111ABCDA B C D -的棱长为P 在对角线1BD 上，过点P 作垂直于1BD 的平面 ，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y ，设B P x =， 则当[] 1,5x ∈时，函数()y f x =的值域__________．【答案】⎡⎣【解析】分析】根据已知条件，所得截面可能是三角形，也可能是六边形，分别求出三角形与六边形周长的取值情况，即可得到函数的值域. 【详解】如图：∵正方体1111ABCD A B C D -的棱长为∴正方体的对角线长为6， ∵[]1,5x ∈（i ）当1x =或5时，三角形的周长最小. 设截面正三角形的边长为t ，由等体积法得：221111343222⎛⎫⨯⨯=⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭∴t∴miny =（ii ）2x =或4时，三角形的周长最大，截面正三角形的边长为， ∴y =（iii ）当24x <<时，截面六边形的周长都为∴maxy =∴当[]1,5x ∈时，函数()y f x =的值域为⎡⎣.【点睛】本题考查多面体表面的截面问题和线面垂直，关键在于结合图形分析截面的三种情况，进而得出BP 与截面边长的关系.三、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17.某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者。
