2012年东北三省数学建模答案
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打孔机生产效能的提高摘要（黑体不加粗四号居中）（摘要正文小4号，写法如下）（第1段）首先简要叙述所给问题的意义和要求，并分别分析每个小问题的特点（以下以三个问题为例）。
根据这些特点我们对问题1用。
的方法解决；对问题2用。
的方法解决；对问题3用。
的方法解决。
（第2段）对于问题1我们用。
数学中的。
首先建立了。
模型I。
在对。
模型改进的基础上建立了。
模型II。
对模型进行了合理的理论证明和推导，所给出的理论证明结果大约为。
，然后借助于。
数学算法和。
软件，对附件中所提供的数据进行了筛选，去除异常数据,对残缺数据进行适当补充,并从中随机抽取了3组数据（每组8个采样）对理论结果进行了数据模拟，结果显示，理论结果与数据模拟结果吻合。
（方法、软件、结果都必须清晰描述，可以独立成段，不建议使用表格）。
（第3段）对于问题2我们用。
（第4段）对于问题3我们用。
如果题目单问题，则至少要给出2种模型，分别给出模型的名称、思想、软件、结果、亮点详细说明。
并且一定要在摘要对两个或两个以上模型进行比较，优势较大的放后面，这两个（模型）一定要有具体结果。
（第5段）如果在……条件下，模型可以进行适当修改，这种条件的改变可能来自你的一种猜想或建议。
要注意合理性。
此推广模型可以不深入研究，也可以没有具体结果。
关键词：本文使用到的模型名称、方法名称、特别是亮点一定要在关键字里出现，5~7一、问题重述（第二页起，黑体四号）现有某种钻头，上面装有8种刀具a ，b ，c ，… , h ，依次排列呈圆环状，如图1所示。
图1：某种钻头上8种刀具的分布情况而且8种刀具的顺序固定，不能调换。
在加工作业时，一种刀具使用完毕后，可以转换使用另一种刀具。
相邻两刀具的转换时间是18 s ，例如，由刀具a 转换到刀具b 所用的时间是18s ，其他情况以此类推。
作业时，可以采用顺时针旋转的方式转换刀具，例如，从刀具a 转换到刀具b ；也可以采用逆时针的方式转换刀具，例如，从刀具a 转换到刀具h 。
将任一刀具转换至其它刀具处，所需时间是相应转换时间的累加，例如，从刀具a 转换到刀具c ，所需的时间是36s （采用顺时针方式）。
为了简化问题，假定钻头的行进速度是相同的，为180 mm/s ，行进成本为0.06元/mm ，刀具转换的时间成本为7元/min 。
刀具在行进过程中可以同时进行刀具转换，但相应费用不减。
不同的刀具加工不同的孔型，有的孔型只需一种刀具来完成，如孔型A 只用到刀具a 。
有的孔型需要多种刀具及规定的加工次序来完成，如孔型C 需要刀具a 和刀具c ，且加工次序为a ，c 。
表1列出了10种孔型所需加工刀具及加工次序（标*者表示该孔型对刀具加工次序没有限制）。
b c d e f gha表1：10种孔型所需加工刀具及加工次序孔型 A B C D E F G H I J 所需刀具 a b a, c d, e* c, f g, h* d, g, f h e, c f, c 一块线路板上的过孔全部加工完成后，再制作另一线路板。
但在同一线路板上的过孔不要求加工完毕一个孔，再加工另一个孔，即对于须用两种或两种以上刀具加工的过孔，只要保证所需刀具加工次序正确即可。
请建立相应的数学模型，并完成以下问题：（1）附件1提供了某块印刷线路板过孔中心坐标的数据，单位是密尔（mil）（也称为毫英寸，1 inch=1000 mil），请给出单钻头作业的最优作业线路（包括刀具转换方案）、行进时间和作业成本。
（2）为提高打孔机效能，现在设计一种双钻头的打孔机（每个钻头的形状与单钻头相同），两钻头可以同时作业，且作业是独立的，即可以两个钻头同时进行打孔，也可以一个钻头打孔，另一个钻头行进或转换刀具。
为避免钻头间的触碰和干扰，在过孔加工的任何时刻必须保持两钻头间距不小于3cm（称为两钻头合作间距）。
为使问题简化，可以将钻头看作质点。
（i）针对附件1的数据，给出双钻头作业时的最优作业线路、行进时间和作业成本，并与传统单钻头打孔机进行比较，其生产效能提高多少？（ii）研究打孔机的两钻头合作间距对作业路线和生产效能产生的影响。
1mil=1/1000inch=0.00254cm=0.0254mm二、问题分析（4号黑体）问题一要求我们设计最优作业线路，即最短路径问题，由于印刷线路板上共有十种不同的孔型，总数据达2124之多，且每种孔型都要用一种或多种刀具来完成，如果频繁进行刀具转换，刀具转换成本会非常大。
所以我们先从刀具转换上来节省时间，进而减小刀具转换的成本。
在刀具转换最优的先提下，我们寻求从一个过孔出发到下个过孔的最短路径，再从下个过孔向下继续寻找最短径，依次类推类推，求出打孔机的最优作业路线。
再利用打孔机的最优路线求出打孔机的行进成本。
问题二设计一种双钻头的打孔机（每个钻头的形状与单钻头相同），两钻头可以同时作业，且作业是独立的，我们再问题一思维基础上进行问题二的探究，对问题一中的模型进行改进？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？（假设有3个问题）（一）问题1的分析对问题1研究的意义的分析。
问题1属于。
数学问题，对于解决此类问题一般数学方法的分析。
对附件中所给数据特点的分析。
对问题1所要求的结果进行分析。
由于以上原因，我们可以将首先建立一个。
的数学模型I,然后将建立一个。
的模型II,。
对结果分别进行预测，并将结果进行比较。
（二）问题2的分析对问题2研究的意义的分析。
问题2属于。
数学问题，对于解决此类问题一般数学方法的分析。
对附件中所给数据特点的分析。
对问题2所要求的结果进行分析。
由于以上原因，我们可以将首先建立一个。
的数学模型I,然后将建立一个。
的模型II,。
对结果分别进行预测，并将结果进行比较。
三、模型假设（4号黑体）（以下小4号）1．假设题目所给的数据真实可靠。
2．没有外界因素的干扰，按计划进行，依次打孔。
3．4．5．6．。
注意：假设对整篇文章具有指导性，有时决定问题的难易。
一定要注意假设的某种角度上的合理性，不能乱编，完全偏离事实或与题目要求相抵触。
注意罗列要工整。
四、定义与符号说明（4号黑体）（对文章中所用到的主要数学符号进行解释，小4号）尽可能借鉴参考书上通常采用的符号，不宜自己乱定义符号，对于改进的一些模型，符号可以适当自己修正（下标、上标、参数等可以变，主符号最好与经典模型符号靠近）。
对文章自己创新的名词需要特别解释。
其他符号要进行说明，注意罗列要工整。
如“x～第i种疗法的第j项指标值”等，注意格式统一，不ij要出现零乱或前后不一致现象，关键是容易看懂。
五、（4号黑体）第一部分：准备工作（4号宋体）（一）数据的处理1．。
数据全部缺失，不予考虑。
2．对数据测试的特点，如，周期等进行分析。
3．。
数据残缺，根据数据挖掘等理论根据。
变化趋势进行补充。
4．对数据特点（后面将会用到的特征）进行提取。
（二）聚类分析（进行采样）用。
软件聚类分析和各个不同问题的需要，采得。
组采样，每组5-8个采样值。
将采样所对应的特征值进行列表或图示。
（三）预测的准备工作根据数据特点，对总体和个体的特点进行比较，以表格或图示方式显示。
第二部分：问题1的。
模型（4号宋体）（一）模型I（。
的模型）单钻头打孔机：由于印刷线路板上共有十种不同的孔型，总数据达2124之多，且每种孔型都要用一种或多种刀具来完成，如果频繁进行刀具转换，刀具转换成本会非常大。
所以我们先从刀具转换上来节省时间，进而减小刀具转换的成本。
表1：10种孔型所需加工刀具及加工次序孔型 A B C D E F G H I J 所需刀具 a b a, c d, e* c, f g, h* d, g, f h e, c f, c由表1中的数据可知，对于C、E、G、I、J孔，刀具的使用是要有先后顺序的，以G孔为例：不可以先用f刀具，再用d到。
所以我们对表中所给的8种刀具进行分层处理，总共分为层：第一层为可最先打孔对象即表一中仅位于各格中的第一项的刀具，如a 、b 、d 。
又因为D 、F 孔的刀具不分先后顺序，所以我们对其进行微调，把h,e 也划分到第一层刀具中。
再观察E 、J 孔，刀具次序呈对称式，我们把f 必须把分到两个层次。
第二层为次优先打孔对像。
第三层为最后打孔对象，分层结果如图所示：在分别对上图中的每一层的数据进行排序，排序原则：1、刀具的转换时间最短。
2、最后一个刀具衔接下一层的刀具所用时间最短。
得到最佳换刀次序以及每次所钻的孔依次为)()()()()()()()()(GE f GF g CJIE c B b AC a FH h J f ID e DG d →→→→→→→→ *在刀具转换最优的基础上我们从换刀点出发不重复又不遗漏地加工完所有孔,再回到换刀点,进行下一种孔径换刀和加工.从而在刀具转换时间最短的基础上来求钻头行进最佳路线，达到行进时间最短。
按照上式中的顺序我们对路线设计分为9部。
用d 刀打D 、G 孔，由题中所给数据可知DG 的分布如图所示：1、针对34个城市的地理位置建立最短路径模型在不考虑其它因素的情况下，我们只根据各过孔之间最短距离做决定因素。
从始点出发，走遍所有点。
我们用运筹学中的图论利用 Dijkstra 算法建立最短路模型。
1.1确定过孔位置我们吧过孔按照*式，分9次进行处理。
表1 各个过孔的坐标0u ()-17400,44100 1u ()-17400,54100 2u () 22400,440003u ()22400,54000 4u ()-27400,44100 5u ()-27400,54100 6u ()-2900,441007u ()-2900,54100 8u ()32400,44000 9u ()32400,54000 10u ()-41500,4410011u ()-41500,54100 12u ()-51500,44100 13u ()-51500,54100 14u ()-65600,44100 15u ()-65600,5410016u ()7100,44100 17u ()7100,54100 18u ()-75600,44100 19u ()-75600,54100 ()20-220525,556200u ()21227700,192751u 22u ()227700,200625 23u () 227700,20850024u ()-228400,556200()25237000,192751u 26u ()237000,2006251.2 Dijkstra 算法的最短路模型我们利用Dijkstra 算法的基本思想从0u 出发，逐步地向外探寻最短路。
我从n 个点分别出发，探寻向外n-1个过孔的最短路径。
并且到达路程最短的城市i u 后，从到达的过孔i u 再出发探寻向外的n-2个过孔，逐步后推是形成最短径且没有重复路线。
