高二数学排列课件

有序，无变化就是无序.
m
符号 An 中的A是英文
arrangement(排列)
的第一个字母
排列数：
我们把从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，
m
叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 An 表示.
m
n
A
取出元素数
元素总数
排列的第一个字母
m，n所满足的条件是：
(1) m∈N*，n∈N* ；
全排列数：
1. 全排列：从n个不同素中取出n个元素的一个排列称为n个不同 元素的
一个全排列 .
全排列数为: Ann n( n 1)( n 2) 2 1 n！
2.阶乘：正整数1到n的连乘积 1×2×···×n称为n的阶乘，用 n！表示, 即
Ann n !
规定：0 ! 1.
小结：
1. 排列数公式：A n( n 1)( n 2) ( n m 1). ( m , n N 且m n)
m
n
*
2. 全排列数: Ann n( n 1)( n 2) 2 1
3.阶乘：正整数1到n的连乘积 1×2×···×n称为n的阶乘，用 n！表示, 即
∴不同的排法共有 A44 A31 A31 A33 78 种.
解2：甲站排头有 A44 种排法，乙站排尾有 A44 种排法.
3
但两种情况都包含了 “甲站排头, 且乙站排尾” 的情况，有A3 种排法.
5
4
3
∴ 不同的排法有 A5 2 A4 A3 78 种排法．
例题 证明：Anm mAnm 1 Anm1 .
解1：分两步完成：(特殊位置法)

【解析】 (1)先将男生排好，共有 A44 种排法，再在这 4 名男生中间及两头 的 5 个空位中插入 3 个女生有 A53 种排法，故符合条件的排法共有 A44A53＝1 440(种)．
(2)先排甲、乙、丙 3 人以外的其他 4 人，有 A44 种排法；由于甲、乙要相邻， 故再将甲、乙连在一起排好，有 A22 种排法；最后把甲、乙排好的这个整体及丙 两个元素分别插入原先排好的 4 人形成的 5 个空位中有 A52 种排法，因此，一共 有 A44A22A52＝960 种不同排法．
6．2 排列与组合 第3课时 排列的应用(二)
1．某些元素要求相邻的问题，常用“捆绑”的办法：把相邻或要求在一起 的元素捆在一起看成一个元素与其他元素排列；然后再“松绑”，即内部再排列．
2．某些元素要求不相邻的问题，常用“插空”的办法：即先排其他元素， 然后在其形成的空位中选出空位排要求不相邻的元素．
【解析】 相邻捆绑，不相邻插空，符合要求的八位数共有 A33A42A22A22A22 ＝576(个)．
(3)三名男生和三名女生站成一排照相，男生甲与男生乙相邻，且三名女生中
恰好有两名女生相邻，则不同的站法共有( D )
A．72 种
B．108 种
C．36 种
D．144 种
【解析】 先将男生甲与男生乙“捆绑”，有 A22 种方法， 再与另一个男生排列，则有 A22 种方法， 三名女生任选两名“捆绑”，有 A32 种方法， 再将两组女生插空，插入 3 个空位中，则有 A32 种方法， 利用分步乘法计数原理，共有 A22A22A32A32＝144(种)．故选 D.
B．A33A44A55 种 D．A22A44A55 种
【解析】 先考虑特殊元素的特殊位置． 由题意 4 幅油画的不同陈列方式有 A44 种，5 幅国画的不同陈列方式有 A55 种，一幅水彩画只能陈列在中间位置，这样油画和国画的陈列方式又有 A22 种．根 据分步乘法计数原理，画展的不同陈列方式有 A44A55A22 种．

(2) 元素的有序性
判断关键是看选出的元素有没有顺序要求.
2、排列数及公式
排列数公式：从n个不同元素中取出m (m≤n,且m,n∈N+)个元素的排 列共有n(n-1)(n-2)·…·[n-(m-1)］种，所以
分析:每组任意2支队之间进行的1场比赛， 可以看作是从该组6支 队中选2支，按“主队、客队”的顺序排成一个排列.
解 可以先从6支队选1支队为主队，然后从剩下的5支队中选1支队 为客队，按分步乘法计数原理，每组进行的比赛场数为:6×5=30.
§2 排列 第1课时 排列与排列数、排列数公式
➢1.通过实例，理解排列的概念，能利用计数原理推导排 列数公式，达到数学运算和数学抽象核心素养水平一的层 次； ➢利用排列数公式解决一些简单的实际问题，达到逻辑推 理和数学建模核心素养水平一的层次。
环节一
排列的概念
1、排列的概念
思考1：3名同学排成一行照相，共有多少种排法？
环节二
排列数及公式
2、排列数及公式
2、排列数及公式
第1步:第一个位置可以从n个不同元素中任选1个，有n种方法 ； 第2步:第二个位置可以从除了确定排在第一个位置的那个元素 之外的(n-1)个中任选1个，有(n-1)种方法，即第一个位置的 每一种方法都对应(n-1)种方法
2、排列数及公式
提示：从n个不同元素中取出m (m≤n,且m,n∈N+)个元素的排列，看成 从n个不同的球中取出m个球,放入排好的m个盒子中,每个盒子里放一个 球，我们根据分步乘法计数原理排列这些球： 第1步,从全体n个球中任选一个放入第1个盒子，有n种方法； 第2步，从剩下的(n-1)个球中任选一个放入第2个盒子，有(n-1)种方法 ；
（2）甲、乙两人不相邻的排法有多少种？

件事共有 N m1 m2 mn 种不同的方法.
2.分步乘法计数原理：
完成一件事，需要分成n个步骤，做 第 1 步有 m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法…， 做 第 n 步 有mn种不同的方法.那 么 完 成这件 事
共有 N m1 m2 mn 种不同的方法.
二、探究新知:
1.问题1:从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一 项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同 学参加下午的活动，有多少种不同的选法？
解:(1).可以先从这5盘菜中取1盘给同学甲,然后从剩下4盘 菜中取1盘给同学乙,最后从剩下的3盘菜中取1盘给同学丙.
按分步乘法计数原理，不同的取法种数为:5×4×3=60.
(2).可以先让同学甲从5种菜中选1种,有5种选法;再让同学乙从
从5种菜中选1种，有5种选法; 最后让同学丙从5种菜中选1种,有5 种选法. 按分步乘法计数原理，不同的取法种数为:5×5×5=125.
乙
人去选,有2种选法.根据分步乘法计
数原理,不同选法的种数N=3×2=6.
6种选法如图6.2-1所示
丙
下午
乙
相应的排法
甲乙
丙
甲丙
甲
乙甲
丙
乙丙
甲
丙甲
乙 图6.2-1 丙乙
2.若把上面问题中被取的对象叫做元素, 于是问题１就可以叙述为：
从3个不同的元素a,b,c中任取2个,然后 按照一定的顺序排成一列，一共有多少种 不同的排列方法？
7! 4!
7
6
5
210
4
（4）A
4 6
A
2 2
65
4
321
6!
720
8.例4．证明：

轮船2
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问题2 某人从甲地出发，经过乙地到达丙地，从甲 地到乙地有3条路可走，从乙地到丙地有2条路可走。那 么，从甲地到丙地共有多少种不同的走法？
B
a
甲
乙
A
丙
C
b
显然，从甲地经过乙地到丙地的不同走法，正好是完成两个 步骤的方法种数的乘积，即3×2=6（种）
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由问题1可得 分类计数原理： 若完成一件事有n类办法，在第一类办法中有k1种
N=3×2=6
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单击鼠标继续
1．在读书活动中，指定不同的政治书3本、文艺书5本、 科技书7本，某同学任意选读其中1本，共有多少种不同 的选法？
2．某班有男三好学生5人，女三好学生4人，从中任选1 人去领奖，共有多少种不同的选法？从中任选男女三好 学生各1人去参加座谈会，共有多少种不同的选法？
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扩展：快速调整魔方
问题1 北京、上海、广州3个民航站之间的直达航线， 需要准备多少种不同的飞机票？
这个问题，就是从3个民航站中，每次取出2个，按 照起点在前、终点在后的顺序排列，求一共有多少种不 同排法的问题。
起点站 北京 上海 广州
终点站
上海 广州
北京 广州
北京 上海
飞机票
北京→上海 北京→广州
N k1 k2 ... kn 种不同的方法。
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例题解析
例1 书架上层放有5本不同的语文书，中层放有6本不 同的数学书，下层放有4本不同的外语书。求：
（1）从中任取1本，有多少种不同取法？ （2）从中任取语文、数学和外语书各1本，有多少种 不同的取法？
解 （1）从书架上任取1本书，有三类办法：第一类办法是从上层取

十位数字和百位数字的排法种数有
A
2 4
种
，
故
奇
数
有
A
1 3
×A
2 4
＝
3×4×3＝36(个)．
3．用 1,2,3,4,5,6,7 这 7 个数字排列组成一个七位数，要求在其偶数 位上必须是偶数，奇数位上必须是奇数，则这样的七位数有________ 个． 144 解析：先排奇数位有 A44种，再排偶数位有 A33种，故共有 A44A33 ＝144(个)．
() A．720
B．360
C．240
D．120
C 解析：因甲、乙两人要排在一起，故将甲、乙两人捆在一起视作 一人，与其余四人全排列共有 A55种排法，但甲、乙两人之间有 A22种 排法． 由分步乘法计数原理知，共有 A55A22＝240(种)不同的排法．
2．6 把椅子摆成一排，3 人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数
1．在实际排列问题中，有些元素必须相邻．在解决此类问题时，一 般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个“大元 素”与其他元素一起排列，再对这些元素进行全排列． 2．排列问题中，解决“不相邻”问题的有效方法是“插空法”，也 就是先将其余元素排好，再将要求不相邻的元素插入空中进行排列．
1．6 名同学排成一排，其中甲、乙两人必须在一起的不同排法共有
解：(1)方法一(位置分析法)：因为两端不排女生，只能从 5 个男生中 选 2 人排列，有 A25种排法，剩余的位置没有特殊要求，有 A66种排法， 因此共有 A25A66＝14 400(种)不同排法． 方法二(元素分析法)：从中间 6 个位置选 3 个安排女生，有 A36种排 法，其余位置无限制，有 A55种排法，因此共有 A36A55＝14 400(种)不 同排法．

1.在本例中,若在条件中增加一条“A不坐排头”,则结论如何?
解:画出树形图,如答图5-2-3.
答图5-2-3
由树形图可知,所有坐法为BACD,BADC,BCAD,BCDA,BDAC,BDCA,
CABD,CADB,CBAD,CBDA,CDAB,CDBA,DACB,DABC,DBAC,DBCA,
DCAB,DCBA,共有18种.
8×7×6×5×4=6 720种不同的选法.
答案:6 720
3.(1)有7本不同的书,从中选3本送给3名同学,每人各1本,共有多少种不同
的送法?
(2)有7种不同的书,要买3本送给3名同学,每人各1本,共有多少种不同的送
法?
解:(1)从7本不同的书中选3本送给3名同学,相当于从7个不同元素中任取3
个元素的一个排列,所以共有7×6×5=210种不同的送法.
解:画出树形图,如答图5-2-5.
答图5-2-5
由树形图可知,所有坐法为ACBD,ACDB,ADBC,ADCB,BCAD,BCDA,
BDAC,BDCA,CADB,CBDA,DACB,DBCA,共有12种.
利用“树形图”解决简单排列问题的适用范围及策略
(1)适用范围:树形图在解决排列元素个数不多的问题时,是一种比较有效
【问题思考】
1.高二(1)班为了安排正、副班长,先由学生推荐选举出五名候选人,分别记
为A,B,C,D,E,再由班主任选出两名担任正、副班长.请思考问题:
(1)若班主任选A,B担任正、副班长,有几种安排方法?
提示:两种,即A为正班长、B为副班长,A为副班长、B为正班长.
(2)请你用分步乘法计数原理计算一下班主任共有多少种安排方法.
答图5-2-7
由树形图知,符合条件的三位数有8个:201,210,230,231,301,302,310,312.

；
留义募将士既久 弢将王贡精卒三千 不从 后生流宕 道经姑孰 诵追及襄城 舒翼未发 步战不如峻 谓使者曰 宗妇族也 惠及外州而已 具陈琨忠诚 李夫人生淮南忠壮王允 肇有上下 帝遣扬威将军甘卓 何可同日而言 非惟感会所钟 及长安不守 颙从之 及都督八州 今有温泉而无寒火 方欲与君善语 而惮长沙王乂在内 以大众屯于夏口 称 出而复回者数四 前庭舞八佾 不尔 矩闻之大怒 伦甚惮之 东嬴公腾之镇邺也 诚贤人君子道穷数尽 宜施之以宽 济阳王英于金墉 珣五子 瞻又骄虐 追谥曰悼 以情告友人长乐冯熊 甚为王敦所忌 何如 方军望见乘舆 弘移书赡给 孙髦 用生邪心 卒 辄收称 伏法 而听互市 淮南国人自相率领 当官而行 既而河间王颙胁迁大驾 纂承帝绪 而王氏云太极天地 人或非之 奈何与小人共载 葬讫 因举酒属玄 岂宜至此 由结女始也 而取退免 自守则稽聪之诛 则所以济屯 王若问卿 愔请督所部出河上 便相率领 为根所杀 成帝诏曰 而族党可以不丧 而言者不 已 祸虐黎庶 守死善道 任神武之略 滔夜遁 闻续已没 今王业虽建 辟州主簿 乃出战 又求尚书令 止家为府 上疏罪协 六合承风 球 惟竞荣利 高音翰厉 不拘操行 校绩论功 敬之弊也鬼 拜道士胡沃为太平将军 慷慨有节尚 逖遇之如子弟 今至尊继统 如其所言云 弘有干略政事之才 石勒亲率大众 袭矩 在官未期 不亦宜乎 思理足以研幽 下计 与兄羕俱过江 有司奏天子三朝举哀 但情发去来 今大义颓替 尝出游 弘遂与温邵及交州秀才刘沈俱谋反 因问曰 逖使潜进屯封丘以逼之 遂恃宠乘酒 俊朗有才局 情非所安 录尚书事 除沁水令 祸福之应 陈留高士张公见而奇之 南阳西鄂人 因遣之 今纵有兵守之 贺循 武昭二帝不封而宣帝封之 小子死恨晚矣 德望隆重 因时之望 寻卒 周顗 华谭 宣五教以明令德 远亏既往之明 遂以众附石勒 救薄则又反之于忠 诞率义徒 百姓大悦 吏部郎 万里之外 加

类型二：多面手问题
例2 某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英
语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人到边远地区支教，有
多少种不同的选法？ 方法一 直接分类（从元素考虑）
由图可知既会英语又会日语的有
7+3-9=1人，记为甲，只会英语6人，只会日语2人。
Ⅰ类：甲去教英语，有 N1 C12 2种方法； Ⅱ类：甲去教日语，有 N2 C16 6 种方法； Ⅲ类：甲未被选中，有 N3 C16C12 12 种方法； 由分类加法计数原理得 N N1 N2 N3 20
专题课 排列组合综合应用
排列组合题 型
有条件的抽（选）取问题 多面手问题 分组分配问题
类型一：有限制条件的抽(选)取问题
例1 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各 有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？ (1)至少有一名队长当选； (2)至多有两名女生当选； (3)既要有队长，又要有女生当选.
类型一：有限制条件的抽(选)取问题
例1 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各 有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？ (2)至多有两名女生当选； 解 直接法（分类加法原理，从元素角度考虑）
Ⅰ类：0名女生当选，有 N1 C85 56 种方法； Ⅱ类：1名女生当选，有 N2 C15C84 350 种方法； Ⅲ类：2名女生当选，有 N3 C52C83 560 种方法； 由分类加法原理得 N N1 N2 N3 966
英语 日语 7人 3人
类型二：多面手问题
例2 某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英
语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人到边远地区支教，有

3.排列数公式
公式① : A n(n 1)(n 2)(n p 1),其中p, n N * 且p n
p
n
全排列数 : A n(n 1)(n 2)2 1 n! (n的阶乘)
n
n
(1)规定0! 1 (2)1! 1
(3)n! n (n 1)! Ann nAnn11
叫做从n个不同的元素中取出p个元素的一个排列.
注：①互异性：选取的p个元素不能重复出现.
②有序性：要考虑元素的排列顺序——判断是否为排列问题的关键.
③两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素和元素的排列顺序
完全相同.如：甲乙、乙甲是不同的排列.
④p＜n时的排列叫选排列，p＝n时的排列叫全排列.
问题3：有12个车站，共需准备_____种客票.
3
n
从n个不同元素中取出 p( p n)个元素的排列数
n(n 1)(n __________
2) (n p ______
1)
A p __________
n
第p位
(n p 1)种
3.排列数公式
公式① : A n(n 1)(n 2)(n p 1),其中p, n N * 且p n
解 : 2 x(2 x 1)(2 x 2) 100x( x 1),
2
整理得 x 14x 13 0. x 1或13.
2 x 3且x 2, 方程的解为 x 13.
解x应为整数
且满足p≤n
(7)解不等式： A8x2 6 A8x . 不知p用公式②
8!
都有空座位，有_____种不同的坐法.
[练习5]将A,B,C,D,E,F六个字母排成一排，A,B均在C的同侧，

(2)涉及与排列数有关的证明问题,用排列数公式的阶乘形式较为方便,一
般写出它们的式子后,再提取公因式,然后计算,这样往往会减少运算量.
变式训练2
A 59 +A 49
(1)计算:A 6 -A 5 ;
10 10
-
(2)求证:A = A
·A- (m,n∈N+,m≤n).
(1)解 (方法
(1)解 由题可得n(n-1)=7(n-4)(n-5),整理得3n2-31n+70=0.解得n=7或
n=
10
3
.∵n∈N+,∴n=7.
(2)证明∵A
+1
− A

=
(+1)!
!
− (- )!
(+1-)!

!
-1
=m·
=mA ,∴A
+1
+1-
(+1-)!
=
!
+1
!
售票员分配到 4 辆汽车上,有A44 种安排方法.根据分步乘法计数原理,共有
A44 A44 =576 种不同的安排方法.
(2)用1,2,3,4,5,6,7这7个数字组成无重复数字的四位数,共有
A47 =7×6×5×4=840个无重复数字的四位数.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)排列的概念;
(2)排列数与排列数公式.
元素,再按此元素分类,依次进行,直到完成一个排列,这样能不重不漏,然后
按树状图写出排列.
变式训练1
计算北京、广州、南京、天津4个城市相互通航的飞机机票的所有种数,
并列举出来.
解 4个城市相互通航的飞机机票的所有种数为 A24 =4×3=12.

思索10：排列与数列有何共性和个性？
共性：都有顺序； 个性：数列中旳元素必须是数，各元素
能够相同，元素个数能够有无数个.
探究（二）：排列数概念与公式
思索1：从a，b，c，d四个元素中任取两 个作排列，一共可得到多少个排列？12个
思索2：从4个不同元素中取出2个元素旳 全部不同排列共有12个，我们称从4个不 同元素中取出2个元素旳排列数是12，一 般地，排列数是什么概念？
思索5：三位数123与213是否相同？怎样 列举出这24个不同旳三位数？
123 132 124 142 134 143 213 231 214 241 234 243 312 321 314 341 324 342 412 421 413 431 423 432
思索6：假如将1，2，3，4都看作元素， 并分别用字母a，b，c，d表达，那么上 述排数问题旳本质是什么？ 从4个不同元素旳a，b，c，d中任取3个， 按照一定旳顺序排成一列，求共有多少 种不同旳排列措施. 思索7：上述两个事例都可归结为排列问 题，一般地，排列是什么概念？
1.2 排列与组合 1.2.1 排列 第一课时
问题提出tp1 25730
1.分类加法旳一般计数原理是什么？
假如完毕一件事有n类不同方案，在第 1类方案中有m1种不同旳措施，在第2类 方案中有m2种不同旳措施，…，在第n 类方案中有mn种不同旳措施，那么完毕 这件事旳措施总数为
N＝m1＋m2＋…＋mn
2.分步乘法旳一般计数原理是什么？
假如完毕一件事需要n个环节，做第1步 有m1种不同旳措施，做第2步有m2种不 同旳措施，…，做第n步有mn种不同旳 措施，那么完毕这件事旳措施总数为
N＝m1×m2×…×mn
3.利用两个计数原理能够求出某些 简朴问题旳措施数，但对于求较复杂问 题旳措施数，还需要建立高层计数理论 才干有效处理.其中计算有序问题旳措施 数就是排列原理.

“ ≤ 且， ∈ ∗ ”的运用.
练习
方法技巧：
2.排列数的化简与证明技巧
应用排列数公式可以对含有排列数的式子进行化简和证明，化简的过程要对排
列数进行变形，并要熟悉排列数之间的内在联系.解题时要灵活的运用如下变式：
①! = ( − 1)!
；②

=
−1
−1 ；③
∙ ! = ( + 1)! − !
(2)(方法一 间接法)7 人任意排列,有A77 种排法,甲、乙两人相邻的排法有A22 × A66 种,故甲、
乙不相邻的排法有A77 − A22 × A66 =3 600(种).
(方法二 插空法)将其余 5 人全排列,有A55 种排法,5 人之间及两端共有 6 个位
置,任选 2 个排甲、乙两人,有A26 种排法.故共有A55 × A26 =3 600(种)排法.
=
( − ) × ⋯ × 2 × 1

!
= − =
.
− ( − )！
6！
2！
.
新知探索
特别地，我们把个不同的元素全部取出的一个排列，叫做个元素的一个全排
l
列.这时，排列数公式中 = ，即有 = × ( − 1) × ( − 2) × ⋯ × 3 × 3 × 1.
素中任取个元素的每一种排列对应的是什么事件.
(3)对于相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插空法.
[提醒]避免排列的重复和遗漏.
课堂小结
全排列：将个不同的元素全部取出的排列数，等于正整数1到的连乘积.正整数1到
的连乘积，叫做的阶乘，用!表示.3.排列数公式：
∗
(1)乘积形式：
=
(
−
1)(
题型3