数学品质平台高一数学(下)第九讲平面向量(1)

1 数学品质平台高一数学（下）同步辅导讲义

第九讲 平面向量（1）

一、基本概念与公式：

向量的概念：

向量的表示方法：

相等向量：

共线向量（平行向量）：

零向量：

向量的加法：

向量的减法：

实数与向量的积：

向量共线定理：

平面向量基本定理：

向量a的坐标表示与坐标运算：

平面向量的坐标运算法则：

平行向量的坐标运算：

垂直向量的坐标运算：

向量的模：

向量的数量积：

向量的射影：

2 二、回归基础：

1、|a+b| > |a| + |b|成立吗?

[变式]：已知向量a和b反向，则下列等式成立的是：

A.|a| -|b|=|ba| B.||||baba C. ba|ba| D.||||||baba

[变式]：下列四个命题正确的是 ：

A．两个单位向量一定相等 B．若a与b不共线，则a与b都是非零向量

C．共线的单位向量必相等 D．两个相等的向量起点、方向、长度必须都相同

2、已知向量a=(-1,3)，b=(x,-1)，且a∥b，求x。

[变式]：设(4,),(3,6)ayb，若ab=0，则y= 。

[变式]：已知向量(2,4)a，(1,1)b．若向量()bab，则实数的值是 ．

3、1kg的重物在两根细绳的支持下，处于平衡状态（如图），已知两细绳与水平线分别成30, 60角，问两细绳各受到多大的力？

4、已知向量(2,2),(5,)abk，若ab不超过5，则k的取值范围是 ：

A．[-4，6] B. [-6，4] C. [-6，2] D. [-2，6]

[变式]：已知向量a = (sin,cos), b = (3,-1)，则2ab的最大值是 ．

5、在△ABC中，AB=(2, 3)，AC=(1, k)，且△ABC的一个内角为直角，求k值。

6、已知.ab为任意非零向量，有以下条件：

①ab，②22()()ab，③22()()ab 。其中可以作为ab的必要充分条件的是：

A．① B.①② C.②③ D.①②③ P1

P P2 30 60 3 [变式]：有下列命题：①两个相等的向量，若起点相同，则终点一定相同；②若a=b,b=c，则a=c ③若a∥b,b∥c，则a∥c；④若DCAB，则四边形ABCD是平行四边形．

以上命题中，真命题有 。（填上所有真命题的序号）

7、给出下列命题：

①若,ab共线，且ab，则()()abab=0；②已知2,3aebe，则32ab。

③若1212,33aeebee，且12ee，则3ab。④在ABC中，AD是中线，则2ABACAD. 其中正确命题的序号是 。

8、已知若),5,3(),2,(baa和b夹角为钝角,则的取值范围是（ ）

A.＞310 B.≥310 ＜310 ≤310

9、平面上有四个互异的点A、B、C、D,已知,0)()2(ACABDADCDB则ABC的形状是( ).

A. 直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形

10、在湖面上高h处，测得云彩仰角为，而湖中云彩影的俯角为，

求云彩的高。

略解：如图，C、C’ ，设云高CE = x，

则CD = ，C’D = ，

在Rt△ACD中， AD=

在Rt△AC’D中，AD=

即有： ，解得x= 。

A

B

C' E D C



 4 三、创新训练：

1、下列物理量中， 不能称为向量的是 （ ）

A．距离 B．加速度 C．力 D．位移

2、已知平面上不共线的四点满足CBAD，则以下四个命题：

（1）ABCD是平行四边形；（2）ACBD是平行四边形；

（3）ADBC是平行四边形；（4）ACDB是平行四边形。

则所有正确命题的序号是___ ___。

3、已知向量)8,(),,2(xbxa，若||||baba，则x的值是：

A.4； B. 4； C.0； D.16。

4、已知向量a与b的夹角为120，且5||,3||ba，则b在a方向上的投影是________ 。

[变式]：设(4,3),aa在b上的投影为522，b在x轴上的投影为2，且||b14，则b为 ．

5、设集合{D平面向量}，定义在D上的映射f，满足对任意Dx，均有Rxxf(,)(且)0。

①若||||ba，且ba,不共线，试证明：)()]()([babfaf。

②若)8,4(),6,3(),2,1(CBA，且ABBCf)(，求ABACf)(。

5 6、（06安徽卷）在四面体OABC中，OAOBOCD，，，abc为BC的中点，E为AD的中点，则OE （用，，abc表示）。

7、（07湖南）若OEF，，是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是 ：

A．EFOFOE ； B．EFOFOE ； C．EFOFOE ； D．EFOFOE 。

8、（07辽宁）若向量a与b不共线，0ab，且aac=a-bab，则向量a与c的夹角为：

A．0 ； B．π6 ； C．π3 ； D．π2 。

9、在平面上有一个四边形ABCD，E、F、G、H分别

是AB、BC、CD、DA中点，求证：HGEF。

10、（07福建）对于向量，，abc和实数，下列命题中真命题是 ：

A．若0ab，则0a=或0b= B．若0a=，则0或0a

C．若22ab，则ab或a=b D．若ab=ac，则b=c

11、设12,ee的两个单位向量，若1e与2e的夹角为060，试求向量122aee与1232bee的夹角。

6 12、ba,是不共线的两个向量,已知,2,,2baCDbaBCbkaAB若DBA,,三点共线,求k值.

13、若对n个向量,,21aa„na存在n个不全为零的实数 ,,21kk„，nk，使得2211akak„，+oaknn成立，则称向量,,21aa„na为“线性相关”.依此规定，能说明)2,2(),1,1(),0,1(321aaa“线性相关”的实数321,,kkk依 .（写出一组数值即可，不必考虑所有情况）

14、已知,sin,cos,sin,cosba且a与b之间满足关系:,3bkabak其中k＞0.

⑴用k表示;ba

⑵求ba的最小值,并求此时a与b夹角的大小.

7 15、已知△ABC的面积为3，且满足06ABAC．设AB和AC的夹角为θ．

⑴求θ的取值范围；

⑵求函数2()2sin()3cos24f的最大值与最小值．

16、设平面内两个向量(cos,sin),(cos,sin)ab ，且0．

（1）求证：()()abab；

（2）若两个向量abk与abk的模相等．求的值(0,)kkR．

课后反馈：