垂径定理视频课例

人教版数学九年级上册24.1.2《垂径定理》教学设计2一. 教材分析《垂径定理》是人教版数学九年级上册第24章第1节的内容，本节课主要介绍圆中的垂径定理。

垂径定理是指：圆中，如果一条直线垂直于直径，那么这条直线平分这条直径，并且平分直径所对的圆周角。

教材通过生活中的实例引入垂径定理的概念，然后通过证明和应用来巩固这个定理。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本概念和性质，如圆的周长、直径、半径等。

同时，学生也掌握了平行线和相交线的性质。

但是，学生对于圆中的垂径定理可能比较难以理解和证明，因此需要通过生活中的实例和图形的直观展示，帮助学生理解和掌握这个定理。

三. 教学目标1.知识与技能：让学生理解和掌握圆中的垂径定理，能够运用垂径定理解决相关问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、证明等过程，培养学生的几何思维和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识。

四. 教学重难点1.教学重点：理解和掌握垂径定理，能够运用垂径定理解决相关问题。

2.教学难点：垂径定理的证明和运用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实例引入垂径定理，激发学生的学习兴趣。

2.演示法：通过图形的直观展示，帮助学生理解和证明垂径定理。

3.问题驱动法：通过提出问题和解决问题，引导学生主动探索和学习。

4.小组合作学习：鼓励学生分组讨论和合作，培养学生的团队合作意识。

六. 教学准备1.教具准备：多媒体教学设备、圆规、直尺、黑板等。

2.教学素材：教材、课件、练习题等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示生活中的实例，如自行车轮子、时钟等，引导学生观察和思考圆中的垂径定理。

让学生感受到数学与生活的紧密联系，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）展示垂径定理的定义和性质，通过图形的直观展示，让学生理解和掌握垂径定理。

同时，引导学生思考如何证明这个定理。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论和合作，尝试证明垂径定理。

专题11垂径定理考点一利用垂径定理求值考点二利用垂径定理求平行弦问题考点三利用垂径定理求同心圆问题考点四利用垂径定理求解其他问题考点五垂径定理的推论考点六垂径定理的实际应用考点一利用垂径定理求值例题：（2022·江苏·盐城市第四中学（盐城市艺术高级中学、盐城市逸夫中学）三模）如图，⊙O的直径CD=20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC=3：5，则AB的长为（）A．8B．12C．16D．【答案】C【解析】【分析】连接OA，先计算OM=3310655OC=´=，根据垂径定理，得到直角三角形AOM，利用勾股定理计算AM，根据垂径定理，得到AB=2AM，判断选择即可．【详解】连接OA，∵⊙O的直径CD=20，AB⊥CD，OM：OC=3：5，∴AO =OC =10，OM =3310655OC =´=，AM =MB ，∴AM =8，∴AB =2AM =16，故选C ．【点睛】本题考查了圆的垂径定理，勾股定理，熟练掌握两个定理是解题的关键．【变式训练】1．（2022·浙江宁波·三模）已知O e 的直径10cm CD =，AB 是O e 的弦，AB CD ^，垂足为M ，且8cm AB =，则AC 的长为（ ）A ．B ．C ．或D ．或【答案】C【解析】【分析】先画好一个圆，标上直径CD ，已知AB 的长为8cm ，可知分为两种情况，第一种情况AB 与OD 相交，第二种情况AB 与OC 相交，利用勾股定理即可求出两种情况下的AC 的长；【详解】连接AC ，AO ，∵圆O 的直径CD =10cm ，AB ⊥CD ，AB =8cm ，∴AM=12AB=12×8=4cm，OD=OC=5cm，当C点位置如图1所示时，∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，∴OM==3cm，∴CM=OC+OM=5+3=8cm，∴AC==；当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，∵OC=5cm，∴MC=5−3=2cm，在Rt△AMC中，AC==cm．故选C．【点睛】本题考查垂径定理和勾股定理，根据题意正确画出图形进行分类讨论，熟练运用垂径定理是解决本题的关键．2．（2022·湖南长沙·一模）如图，在直径为10cm的⊙O中，AB=8cm，弦OC⊥AB于点C，则OC等于________cm．【答案】3【解析】【分析】根据垂径定理可将AC的长求出，再根据勾股定理可将OC求出．【详解】解：如图，连结OA，则由垂径定理可得：OC⊥AB，且AC=BC=12AB=4cm，在Rt△ACO中，AC=4，OA=5，由勾股定理可得OC3cm，故答案为3．【点睛】本题综合考查了圆的垂径定理与勾股定理．考点二利用垂径定理求平行弦问题【变式训练】【答案】3 2【分析】连接OF，过点O作OH⊥EF，垂足为【详解】如图，连接OF，过点O作OH则EH=FH=12EF=2，∵GB=5，∵AB∥CD，OE⊥CD，∴OF⊥AB，由垂径定理可知AF=12AB=12×24=12，CE=12CD=在Rt△CEO中，OE=2222135OC CE-=-=12；故答案为：17或7．【点睛】本题考查的是垂径定理，勾股定理，解答此题时要注意分类讨论，不要漏解．考点三利用垂径定理求同心圆问题A．6B．【答案】C【分析】作OD⊥AB于C，交小圆于用勾股定理即可求得AC的长，即可求得∵OA=OD=4，CD=2，∴OC=2，∴AC=2223-=，OA OC∴AB=2AC=43.【变式训练】1．（2019秋·浙江台州·九年级统考期末）如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，AC =BD =40cm ，则弧AB 所在的圆的半径为_______________cm【答案】134【分析】由于所有的环形是同心圆，画出同心圆圆心，设弧AB 所在的圆的半径为r ，利用勾股定理列出方程即可解答．【详解】解：设弧AB 所在的圆的半径为r ，如图．作OE ⊥AB 于E ，连接OA ，OC ，则OA =r ，OC =r +32，∵OE ⊥AB ，∴AE =EB =100cm ，在RT △OAE 中22222100OE OA AE r =-=-，在RT △OCE 中，()2222232140OE OC CE r =-=+-，则()222210032140r r -=+-解得：r =134．故答案为：134．【点睛】本题考查垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．2．（2022秋·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，在两个同心圆O e 中，大圆的弦AB 与小圆相交于C ，D 两点．(1)求证：AC BD =．(2)若2,4AC BC ==，大圆的半径5R =，求小圆的半径r ．由垂径定理可得AE ∴AE CE BE DE -=-∴.AC BD =（2）解：连接,OC OA ∵2,4AC BC ==，∴246AB =+=，∴3AE =，∴1CE AE AC =-=，考点四利用垂径定理求解其他问题(1)用直尺画出该圆弧所在圆的圆心(2)求圆M半径的长度；7,0，请通过计算说明点(3)若点D的坐标为()M【答案】(1)作图见解析，(2,0（3）解：∵圆心()2,0M ，D (7,0∴275DM =-=，∵圆M 半径的长度25，又∵525＞，∴点D 在圆M 外．【变式训练】1．（2022春·上海金山·九年级校考阶段练习）已知：O e 的半径为5，点C 在直径AB 上，过点C 作O e 的弦DE AB ^，过点D 作直线EB 的垂线DF ，垂足为点F ．(1)如图1，当2AC =时，求线段EB 的长；(2)当点F 是线段EB 的中点时，求DF 的长；(3)如果3EF BF =，求线段AC 的长．∵O e 的半径为5，∴5OE OA ==，10AB =，∴3OC OA AC =-=，BC =∵DE AB ^，∵点F 是线段EB 的中点时，设AC x =，则5OC x =-，∴(2225CE OE OC =-=-设AC x =，则5OC x =-，BC ∴(22255CE OE OC x =-=--∴2210010BE BC CE x =+=-∵3EF BF =，33考点五垂径定理的推论例题：（2022·上海嘉定·二模）下列命题中假命题是（）A．平分弦的半径垂直于弦B．垂直平分弦的直线必经过圆心C．垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧D．平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦【答案】A【解析】【分析】根据垂径定理及其推论分别进行判断．【详解】A、平分弦（非直径）的半径垂直于弦，所以A为假命题；B、垂直平分弦的直线必经过圆心，所以B选项为真命题；C、垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧，所以C选项为真命题；D、平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦，所以D选项为真命题．故选：A．【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理，也考查了垂径定理的性质．【变式训练】1．（2021·云南省个旧市第二中学九年级期中）下列语句中不正确的有（　）①长度相等的弧是等弧；②垂直于弦的直径平分弦；③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；④平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧；⑤半圆是圆中最长的弧；⑥不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆.A．5个B．4个C．3个D．2个【答案】B【解析】【分析】根据垂径定理及圆的有关概念和对称性对每个语句分别进行判断即可.【详解】因为能够完全重合的弧是等弧,故①不正确；垂直于弦的直径平分弦说法正确；圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，故③说法不正确；平分弦(不是直径)的直线也必平分弦所对的两条弧，故④说法不正确；半圆的弧长是圆的弧长的一半，不是圆中最长的弧，故⑤说法不正确；不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，故⑥说法正确，∴不正确的语句有4个，故选：B【点睛】本题主要考查了圆的有关概念及垂径定理，正确理解题意是解题的关键.2．（2022·黑龙江·大庆市第三十六中学九年级期末）下列说法正确的是（）A．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧C．等弧所对的圆心角相等，所对的弦相等D．圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条直径【答案】C【解析】【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对AC 进行判断；根据垂径定理的推论对B 进行判断；根据对称轴的定义对D 进行判断．【详解】解：A 、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所以本选项错误；B 、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，所以本选项错误；C 、等弧所对的圆心角相等，所对的弦相等，所以本选项正确；D 、圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条直径所在的直线，所以本选项错误；故选：C ．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理．考点六 垂径定理的实际应用例题：（2022·广东广州·二模）往圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽48cm AB =，水的最大深度为16cm ，则圆柱形容器的截面直径为（ ）cm ．A ．10B ．14C ．26D ．52【答案】D【解析】【分析】如图，记圆柱形容器的截面圆心为O ，过O 作^OD AB 于D ，交圆于C ，设圆的半径为r ，而16,CD = ,16,OB r OD r ==-再利用勾股定理建立方程即可．【详解】解：如图，记圆柱形容器的截面圆心为O ，过O 作^OD AB 于D ，交圆于C ，则124,2AD BD AB===设圆的半径为r，而16,CD=,16,OB r OD r\==-()2221624,r r\=-+解得：26.r=圆柱形容器的截面直径为52cm．故选D【点睛】本题考查的是垂径定理的实际应用，作辅助线构建符合垂径定理的模型是解本题的关键．【变式训练】1．（2022·四川自贡·中考真题）一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦AB长20厘米，弓形高CD为2厘米，则镜面半径为____________厘米．【答案】26【解析】【分析】令圆O的半径为OB=r，则OC=r-2，根据勾股定理求出OC2+BC2=OB2，进而求出半径．【详解】解：如图，由题意，得OD垂直平分AB，∴BC=10cm，令圆O的半径为OB=r，则OC=r-2，在Rt△BOC中OC2+BC2=OB2，∴（r-2）2+102=r2，解得r=26．故答案为：26．【点睛】本题考查垂径定理和勾股定理求线段长，熟练地掌握圆的基本性质是解决问题的关键．2．（2022·浙江宁波·九年级期末）如图1，水车又称孔明车，是我国最古老的农业灌溉工具，是珍贵的历史e被水面截得的弦AB长为8米，半径为5米，则圆心O到水文化遗产．如图2，圆心O在水面上方，且O面AB的距离为_______米．【答案】3【解析】【分析】AB=4（米），然后在Rt△AOD中，由勾股定理求过O作OD⊥AB于D，连接OA，由垂径定理得AD=BD=12出OD的长即可．【详解】解：过O 作OD ⊥AB 于D ，连接OA ，如图所示：则AD =BD =12AB =4（米），在Rt △AOD 中，由勾股定理得：OD 3==（米），即圆心O 到水面AB 的距离为3米，故答案为：3．【点睛】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．一、选择题1．（2022秋·九年级统考期中）如图，O e 的弦8AB =，M 是AB 的中点，且3OM =，则O e 的半径等于（ ）A ．7B ．4C ．5D ．6【答案】CAB CD时在圆心两侧时，如图，当,=+=+=12517EF OE OF故选：D．【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理，正确掌握圆的垂径定理是解题的关键，解题中注意分类讨论．4．（2022秋·天津河西·九年级天津市海河中学校考期末）如图，OH=，则弦Ð=°，260AOC【答案】22【分析】连接OB，求解；【详解】解：连接∵半径OC过弦AB的中点∴OC AB=^，AE BE∴22=-=BE OB OE∴222==．AB BE【答案】10关键．三、解答题11．（2022秋·辽宁大连·九年级大连市第九中学统考期末）如图，两个圆都以点O 为圆心，大圆的弦AB 交小圆于C ，D 两点，2AC =．求BD 的长．【答案】2BD =【分析】过点O 作OE AB ^，由垂径定理可知AE BE =，CE DE =，故可得出结论．【详解】证明：过点O 作OE AB ^，OA OB =Q ，AE BE \=，又Q 在O e 中，CE DE \=，2AC BD \==【点睛】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，解题的关键是利用垂径定理求解．12．（2021秋·陕西渭南·九年级统考期末）已知：如图，30PAC Ð=° ，在射线AC 上顺次截取3AD =cm ，10DB =cm ，以DB 为直径作O e 交射线AP 于E 、F 两点．(1)OM CD ^于点M ，24CD =(2)点G 在BD 上，且AG BD ^【答案】(1)OM 的长为4(2)见解析【分析】（1）连接OD ，由垂径定理和勾股定理可得答案；（2）连接AC ，由垂直的定义及等腰三角形的性质可得结论．OM CD ^Q ，OM 过圆心，CD 1122DM CM CD OMD \===Ð，由勾股定理得，2O M O D D =-即OM 的长为4；（2）如图，连接AC ，AG BD ^Q ，90DGF \Ð=°，90D FG D \Ð+Ð=°，AB CD ^Q ，90CEA \Ð=°，90C E A C \Ð+Ð=°，(1)若82E G ，A C ==，求O e 半径；(2)求证： A E B F =；(3)若C ，D 分别为OA OB ，的中点，则 AE =【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，三角形全等的判断和性质，勾股定理的应用等，作出辅助性构建直角三角形是解题的关键．15．（2022春·九年级课时练习）一座桥如图，桥下水面宽度(1)如图，若把桥看做是抛物线的一部分，建立如图坐标系．①求圆的半径；②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米？【答案】(1)①抛物线解析式为：125 y=-(2)①圆的半径为14.5米；②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过∵222BW BC CW =+，∴()222410T r =-+，解得：14.5r =；即圆的半径为14.5米；②在Rt WGF △中，由题可知，14.5WF =，根据勾股定理知：222GF WF WG =-，。