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垂径定理 优质课

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01977_《垂径定理》公开课一等奖课件

01977_《垂径定理》公开课一等奖课件

教师点评与总结
在学生的分享和交流过程中，教师进 行适时的点评和总结，强调垂径定理 的重要性和应用价值，并引导学生对 探究过程进行反思和总结。
2024/1/28
18
05
课堂互动环节展示
Chapter
2024/1/28
19
提问环节
提出问题
什么是垂径定理？它的定义和性 质是什么？
2024/1/28
引导思考
Chapter
2024/1/28
23
重点内容回顾总结
2024/1/28
垂径定理的定义和性质
垂径定理指出，对于任意圆和经过圆心的直径，若该直径垂直于 某条弦，则该直径平分该弦，并且平分该弦所对的两条弧。
垂径定理的证明方法
通过构造直角三角形和运用勾股定理等方法，可以证明垂径定理的 正确性。
垂径定理的应用场景
02
推论1
平分弦（不是直径） 的直径垂直于弦，并 且平分弦所对的两条 弧。
03
推论2
弦的垂直平分线经过 圆心，并且平分弦所 对的两条弧。
04
推论3
平分弦所对的一条弧 的直径，垂直平分弦 ，并且平分弦所对的 另一条弧。
2024/1/28
8
垂径定理证明过程
要点一
已知
在⊙O中，DC为直径，AB是弦， AB⊥DC于点E，AB被DC平分于点E 。
值。
2024/1/28
21
练习环节
2024/1/28
基础练习
01
提供一些基础题目，让学生运用垂径定理进行求解，巩固所学
知识。
拓展练习
02
设计一些难度较大的题目，引导学生进一步探索垂径定理的应
用和拓展。
互动答疑

垂径定理优秀课件

垂径定理优秀课件
思考：当非直径的弦AB与直径CD有什么位置关系 时，弦AB有可能被直径CD平分？
（（对C如D2称1⊥））图轴A你这，B垂 平是，能个A什B垂分径发图是么足弦定现形⊙？为所图是O理的E对中轴：一.有对的条垂哪称两弦直些图条，于相形弧作等吗弦直．的？的径线如直C段果D径，和是使平，分它弦的，并
弧？为什么？
A.1个 B.2个
C.3个
D.4个
双基训练
4. 如图,将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧 恰好经过圆心，则折痕AB的长为( C )
A.2cm B. 3cm C. 2 3cm D. 2 5cm
5.已知点P是半径为5的⊙O内
O
的一定点，且OP=4，则过P
点的所有弦中，弦长可能取 A
B
的整数值为（ C ）
(4)平分弦所对的优弧
D
(5)平分弦所对的劣弧
注意:当具备了(2）(3)时,应对另一
条弦增加”不是直径”的限制.
垂径定理的几个基本图形：
C
O
A
A
E
B
D
A
O
D
B
C
D
B
O
A
C
O
C
B
判断下列图形，能否使用垂径定理？
C
A
O E
B
D C
A
O E
B
( )(1)垂直于弦的直线平分这条弦, 并且平分
弦所对的两条弧.
∴四边形ADOE为矩形，
AE
1 2
AC，AD
1 2
AB
又 ∵AC=AB
C
∴ AE=AD
E
·O
∴ 四边形ADOE为正方形.
A
D
B
在直径是20cm的⊙O中，A⌒B的度数是60˙，

2024年度数学公开课优质课件精选《垂径定理》

2024年度数学公开课优质课件精选《垂径定理》
解决与垂直相关的几何问题
利用垂径定理可以解决与垂直相关的各种问题，如求点到直线的距 离、证明三角形的直角等。
14
04 垂径定理在代数问题中应用
2024/3/24
15
解决方程根的问题
利用垂径定理求方程的根
通过构造合适的函数，将方程的求解问题转化为求函数与x轴交点的横坐标， 进而利用垂径定理求解。
判断方程根的存在性及根的个数
和可信度。
10
03 垂径定理在几何问题中应用
2024/3/24
11
解决线段中点问题
2024/3/24
利用垂径定理求线段中点
01
通过构造以线段为直径的圆，利用垂径定理可求得线段的中点
。
判定线段中点的性质
02
根据垂径定理，若一条线段是某圆的直径，则该线段的中点是
圆心，从而可判定线段中点的性质。
解决与线段中点相关的几何问题
根据垂径定理，CD平分AB，所以AD = a 。在直角三角形AOD中，利用勾股定理可 得OD的长度，进而求得CD的长度。
B
C
例题2
已知圆O的半径为5cm，弦AB的长度为 8cm，求AB的垂径CD的长度。
解析
同样应用垂径定理和勾股定理，先求出AD 的长度为4cm，然后在直角三角形AOD中 求出OD的长度为3cm，最后求得CD的长度
利用垂径定理研究函数的极值和最值
通过分析函数的一阶导数或二阶导数的零点及符号变化，结合垂径定理可以求出函数的极 值和最值及其对应的自变量取值范围。
利用垂径定理研究函数的图像特征
通过分析函数的单调性、极值、最值等性质，结合垂径定理可以描绘出函数的大致图像， 进一步了解函数的性质。
18
05 垂径定理拓展与延伸

垂径定理优秀教案

垂径定理优秀教案

垂径定理优秀教案一、创意教学目标1. 知识与技能目标-学生能够准确说出垂径定理的内容，并能用数学语言进行表述。

“同学们，咱得知道啥是垂径定理哈。

就是垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

这可重要啦，得牢牢记住！”-学会运用垂径定理进行简单的几何计算和证明。

“咱学这个定理可不是光嘴上说说，得会用它做题。

比如说，给你一条弦和一个圆的直径，让你求弦长啥的，咱得会算。

”-能够通过观察、分析图形，发现并运用垂径定理解决实际问题。

“生活中也有很多跟垂径定理有关的事儿呢，咱得有双善于发现的眼睛，用这个定理去解决实际问题。

”2. 过程与方法目标-经历垂径定理的探究过程，培养学生的观察、分析、归纳能力。

“咱一起好好观察这些图形，看看能发现啥规律。

然后分析分析，最后归纳出垂径定理。

这个过程很重要，能让咱的脑袋瓜越来越灵。

”-通过小组讨论、合作学习，提高学生的交流与合作能力。

“同学们分组讨论讨论，说说自己对垂径定理的理解。

大家一起商量商量怎么用这个定理做题，互相学习，共同进步。

”-运用数学实验法，让学生亲身体验垂径定理的应用，培养学生的实践操作能力和创新思维。

“咱来做个小实验，用圆规和直尺画个圆，再画一条弦，然后用直径去垂直这条弦，看看有啥发现。

这样能让咱更好地理解这个定理。

”3. 情感态度与价值观目标-激发学生对数学的兴趣和好奇心，培养学生勇于探索的精神。

“这个垂径定理可有意思啦！大家好好探索探索，说不定能发现一些新的东西呢。

要有勇于探索的精神，别怕犯错。

”-让学生体会数学的美和实用性，增强学生学习数学的信心。

“看看这些图形，多漂亮啊！而且这个定理在生活中也很有用呢。

学好了数学，咱以后干啥都有底气。

”-培养学生的团队合作意识和竞争意识，提高学生的综合素质。

“小组之间可以比一比，看哪个组对垂径定理理解得更透彻，做题做得又快又好。

这样能让大家更有动力，也能培养咱的团队合作意识和竞争意识。

”二、独特教学重点与难点1. 教学重点-垂径定理的内容及应用。

北师大版九年级数学下册第三章《垂径定理》优质课课件

北师大版九年级数学下册第三章《垂径定理》优质课课件

D B
.O
已知：⊙O中弦 AB∥CD。
求证：A⌒C＝B⌒D
N
证∴明MN：⊥作C直D径。M则NA⊥MA⌒＝BB。M∵⌒，ACBM∥＝C⌒DDM，（⌒垂 直平分弦的直径平分弦所对的弦）
AM⌒ －CM⌒
＝
⌒
BM
－D⌒M
∴A⌒C＝BD⌒ 圆的两条平行弦所夹的弧相等
注意
根据垂径定理与推论可知对于一个 圆和一条直线来说。如果具备
（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦（4） 平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧
上述五个条件中的任何两个条件都 可以推出其他三个结论
垂径定理的逆定理
如图,在下列五个条件中:
① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM,
④A⌒C = B⌒C,
⑤
⌒
AD
=
⌒
BD.
C
只要具备其中两个条件,
④⑤ ①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
1、如图4，在⊙O中，AB为⊙O的弦，C、D是 直线AB上两点，且AC＝BD求证：△OCD为等 腰三角形。
O
E
CA
BD
2、如图，两个圆都以点O为圆心，小圆的弦CD 与大圆的弦AB在同一条直线上。你认为AC与BD 的大小有什么关系？为什么？
垂径定理
定理: 垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧.
如图∵ CD是直径,
CLeabharlann CD⊥AB,A M└
B
●O
∴AM=BM,
A⌒C =B⌒C,
A⌒D=B⌒D.
D
垂径定理的逆定理
AB是⊙O的一条弦,且AM=BM.
n 过点M作直径CD.

垂径定理公开课教案

垂径定理公开课教案

垂径定理公开课优秀教案第一章：导入教学目标：1. 引导学生回顾圆的相关知识，为新课的学习做好铺垫。

2. 激发学生对垂径定理的好奇心，提高学习兴趣。

教学内容：1. 回顾圆的定义、性质及圆的基本运算。

2. 提问：你们知道什么是垂径定理吗？它有什么作用？教学方法：1. 采用提问、讨论的方式，引导学生回顾圆的知识。

2. 利用多媒体展示圆的图片，引导学生观察和思考。

教学步骤：1. 复习圆的定义、性质及基本运算。

2. 提问：什么是垂径定理？它有什么作用？3. 引导学生讨论，总结垂径定理的含义。

4. 利用多媒体展示圆的图片，引导学生观察和思考。

教学评价：1. 检查学生对圆的知识的掌握情况。

2. 观察学生在讨论中的表现，了解他们对垂径定理的理解程度。

第二章：探究垂径定理教学目标：1. 让学生通过实验、观察和推理，探究并证明垂径定理。

2. 培养学生的观察能力、动手能力和逻辑思维能力。

教学内容：1. 实验：用圆规、直尺和铅笔在圆上作垂线。

2. 观察：观察垂线与圆的关系。

3. 推理：引导学生总结垂径定理的证明过程。

教学方法：1. 实验法：让学生亲自动手作垂线，观察垂线与圆的关系。

2. 引导法：引导学生通过观察、思考，总结垂径定理的证明过程。

教学步骤：1. 让学生用圆规、直尺和铅笔在圆上作垂线。

2. 观察垂线与圆的关系，引导学生发现垂径定理的规律。

3. 引导学生总结垂径定理的证明过程。

教学评价：1. 检查学生对垂径定理的理解程度。

2. 观察学生在实验和推理过程中的表现，了解他们的动手能力和逻辑思维能力。

第三章：应用垂径定理教学目标：1. 让学生学会运用垂径定理解决实际问题。

2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

教学内容：1. 运用垂径定理解决实际问题。

2. 练习题：巩固垂径定理的应用。

1. 引导法：引导学生运用垂径定理解决实际问题。

2. 练习法：让学生通过练习题，巩固垂径定理的应用。

教学步骤：1. 引导学生运用垂径定理解决实际问题。

《垂径定理》优秀ppt课件2024新版


判断四边形形状问题
判断平行四边形
利用垂径定理证明四边形两组对 边分别平行，从而判断四边形为
平行四边形。
判断矩形和正方形
在平行四边形基础上，利用垂径定 理证明两组对角相等或邻边相等， 进而判断四边形为矩形或正方形。
判断梯形
通过垂径定理证明四边形一组对边 平行且另一组对边不平行，从而判 断四边形为梯形。
利用垂径定理将方程转化为标准形式 判别式判断根的情况
求解根的具体数值
判断二次函数图像与x轴交点问题
利用垂径定理判断交点个数 确定交点的横坐标
结合图像分析交点性质
解决不等式组解集问题
利用垂径定理确定不 等式组的解集范围
结合图像直观展示解 集
分析解集的端点情况
05
垂径定理拓展与延伸
推广到三维空间中直线与平面关系
《垂径定理》优 秀ppt课件
目录
• 垂径定理基本概念与性质 • 垂径定理证明方法 • 垂径定理在几何问题中应用 • 垂径定理在代数问题中应用 • 垂径定理拓展与延伸 • 总结回顾与课堂互动环节
01
垂径定理基本概念与性质
垂径定义及性质
垂径定义
从圆上一点向直径作垂线，垂足 将直径分成的两条线段相等，且 垂线段等于半径与直径之差的平 方根。
在直角三角形中，利用勾 股定理和已知条件进行推 导和证明。
解析法证明
建立坐标系
以圆心为原点建立平面直角坐标系， 将圆的方程表示为$x^2+y^2=r^2$ 。
求解交点
联立垂径方程和圆的方程，求解交点 坐标，进而证明垂径定理。
垂径表示
设垂径的两个端点分别为$(x_1, y_1)$ 和$(x_2, y_2)$，则垂径的方程可表示 为$y-y_1=frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(xx_1)$。

初中数学冀教版九年级上册28.4垂径定理公开课优质课课件.ppt


求证：CD⊥AB，且⌒AD=B⌒D,
A⌒C
⌒ =BC
C
证明：连接OA，OB，则OA=OB
∵ AE=BE ∴ CD⊥AB，∠AOD=∠BOD.
∴ A⌒D=B⌒D, A⌒C =B⌒C
·O
AE
B
D
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对 的两条弧.
（2）“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举 出反例.
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦， OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证：四边形ADOE是正方形．
证明：OE AC OD AB AB AC
OEA 90 EAD 90 ODA 90
∴四边形ADOE为矩形，AE

1 2
AC，AD

1 2
AB
又 ∵AC=AB，
初中
数学优秀课件
二 垂径定理的推论
问题 命题：“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且
平分弦所对的两条弧。”是真命题吗?若是，请证明；若
不是请举出反例. C
∵ CD是直径， AE=BE
·O
∴ CD⊥AB,
⌒⌒
AC =BC,
⌒⌒
AD =BD.
AE
B
Байду номын сангаас
D
（1）如何证明？
已知：如图，CD是⊙O的直径，AB为弦，且AE=BE.
AB
C
在图中 AB=37.4 m，CD=7.2 m，
A
D
B
AD 1 AB 1 37.4 18.7
2
2
（m）, R O
OD=OC－CD=R－7.2
在Rt△OAD中，由勾股定理，得

2024年公开课大赛《垂径定理》一等奖教案


引导学生发现问题并思考
教师通过举例或提出实际问题，引导学生发现与垂径定理相关的数学问题或实际应 用场景。
鼓励学生提出自己的疑问或想法，激发他们的探究欲望。
教师可针对学生的问题或想法，给予适当的引导或提示，帮助学生明确探究方向。
分组讨论与交流心得
各组围绕垂径定理的应用、证明 方法、相关性质等展开讨论，分 享各自的理解和心得。
05
06
在讲解重点内容时适当放慢语速、增加示 范次数，确保学生能够充分理解和掌握。
不断完善教学方法和手段
引入更多实际案例和应用场景，帮助学 生更好地理解和应用垂径定理。
采用多媒体教学手段，如动画演示、视 频教程等，增加课堂趣味性和互动性。
鼓励学生进行小组讨论和合作学习，培 养他们的团队协作能力和自主学习能力
课堂练习（10分钟）
学生独立完成课堂练习，巩固所 学知识。
例题解析（15分钟）
通过具体例题解析垂径定理的应 用方法。
02
知识点梳理与讲解
垂径定理及其逆定理
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并 且平分弦所对的两条弧。
垂径定理的逆定理
平分弦（不是直径）的垂直平分 线必过圆心。
相关性质与推论
性质
圆的两条平行弦所夹的弧相等；弦心距相等则弦相等；弦相等则弦心距相等。
案。
提供一些开放性的问题和任务， 如设计一个与垂径定理相关的数 学实验或数学模型，培养学生的
创新思维和实践能力。
引导学生对解决问题的过程进行 反思和总结，帮助学生形成解决 问题的策略和方法论，提高学生
的元认知能力。
05
课堂小结与作业布置
总结本节课重点内容
1 2 3
垂径定理的定义和性质

垂径定理公开课教案

垂径定理公开课优秀教案第一章：教学目标1.1 知识与技能：理解垂径定理的概念和含义。

学会运用垂径定理解决实际问题。

1.2 过程与方法：通过观察和实验，发现垂径定理的规律。

学会使用直尺和圆规进行几何图形的绘制。

1.3 情感态度价值观：培养学生的观察能力和思维能力。

培养学生的合作意识和解决问题的能力。

第二章：教学内容2.1 教材内容：介绍垂径定理的定义和公理。

解释垂径定理的证明过程。

2.2 教学重点与难点：垂径定理的理解和运用。

垂径定理的证明过程的理解。

第三章：教学过程3.1 导入：通过引入实际问题，引发学生对垂径定理的兴趣。

引导学生思考垂径定理的应用场景。

3.2 探究与发现：分组讨论和实验，让学生发现垂径定理的规律。

引导学生通过观察和实验，总结垂径定理的定义。

3.3 讲解与示范：讲解垂径定理的定义和证明过程。

示范如何运用垂径定理解决实际问题。

3.4 练习与巩固：提供一些练习题，让学生巩固对垂径定理的理解。

引导学生运用垂径定理解决实际问题。

第四章：教学评价4.1 评价标准：学生对垂径定理的理解程度。

学生运用垂径定理解决实际问题的能力。

4.2 评价方法：课堂提问和回答。

练习题的完成情况。

学生的小组讨论和实验报告。

第五章：教学资源5.1 教材：采用《几何》教材，提供垂径定理的相关内容。

5.2 教具：直尺、圆规、几何模型等。

5.3 教学多媒体：使用PPT或教学视频，展示垂径定理的证明过程和实际应用。

第六章：教学步骤6.1 步骤一：导入新课通过展示实际问题，引发学生对垂径定理的兴趣。

引导学生思考垂径定理的应用场景。

6.2 步骤二：探究与发现分组讨论和实验，让学生发现垂径定理的规律。

引导学生通过观察和实验，总结垂径定理的定义。

6.3 步骤三：讲解与示范讲解垂径定理的定义和证明过程。

示范如何运用垂径定理解决实际问题。

6.4 步骤四：练习与巩固提供一些练习题，让学生巩固对垂径定理的理解。

引导学生运用垂径定理解决实际问题。

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O
E A D B
24.1.2
垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。 思考： 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD， 使CD⊥AB，垂足为E。 （1）此图是轴对称图形吗？如果是， 它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些相等的线 段和弧？为什么？ C
O
E A D B
24.1.2
垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。 思考： 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD， 使CD⊥AB，垂足为E。 （1）此图是轴对称图形吗？如果是， 它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些相等的线 段和弧？为什么？ C
AB
D
24.1.2
垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。 思考： 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD， 使CD⊥AB，垂足为E。 （1）此图是轴对称图形吗？如果是， 它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些相等的线 段和弧？为什么？ C
O
E A D B （A）
C O E A D C
O
O B A C B A
O
B A D
C
D
B
请结合图形说出符合垂径定理的条件和结论。
探究：
如图，若直径CD平分弦AB交AB于E时， 你认为都有哪些结论成立？ C O E C C
E O
A B B A
E O
B
A
D
D
D
AB是弦，但不能是直径时，才有垂直AB，平分AB所 对的两条弧。
24.1.2
O
E
A D
B
24.1.2
垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。 思考： 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD， 使CD⊥AB，垂足为E。 （1）此图是轴对称图形吗？如果是， 它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些相等的线 段和弧？为什么？ C
E
A B
D
24.1.2
垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。 思考： 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD， 使CD⊥AB，垂足为E。 （1）此图是轴对称图形吗？如果是， 它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些相等的线 段和弧？为什么？ C
O
E
AB
D
24.1.2
垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。 思考： 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD， 使CD⊥AB，垂足为E。 （1）此图是轴对称图形吗？如果是， 它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些相等的线 段和弧？为什么？ C
O
E
O
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象： 你能得到什么结 论？
O
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。
24.1.2
垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。 思考： 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD， 使CD⊥AB，垂足为E。 （1）此图是轴对称图形吗？如果是， 它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些相等的线 段和弧？为什么？ C
O
E A D B
24.1.2
垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。 思考： 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD， 使CD⊥AB，垂足为E。 （1）此图是轴对称图形吗？如果是， 它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些相等的线 段和弧？为什么？ C
垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。 2.垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所 对的两条弧。 3.垂径定理的推论： 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧。 4.垂径定理应用举例： A D C
O
E B （A）
例1.如图所示，已知AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C，且 AB=8，OC=3，求⊙O的半径。
O
E A D B
24.1.2
垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。 思考： 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD， 使CD⊥AB，垂足为E。 （1）此图是轴对称图形吗？如果是， 它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些相等的线 段和直于弦的直径
1.圆的轴对称性： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。 思考： 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD， 使CD⊥AB，垂足为E。 （1）此图是轴对称图形吗？如果是， 它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些相等的线 段和弧？为什么？ C
1 解：∵OC⊥AB于C ∴AC=BC= AB=4 2
连接OA，在Rt△ACO中
O A
OA= AC2 + OC2 = 42 + 32 =5 所以⊙O的半径为5.
C
B
练习：1.如图⊙O的半径为8，OC ⊥弦AB于C，且OC=6， 求弦长AB。 2.如图⊙O的半径为6，弦AB=8，求圆心O到AB的距离。
E
A B
D
24.1.2
垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。 思考： 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD， 使CD⊥AB，垂足为E。 （1）此图是轴对称图形吗？如果是， 它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些相等的线 段和弧？为什么？ C
O
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧 所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m， 你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象：
O
E A D B
24.1.2
垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。 思考： 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD， 使CD⊥AB，垂足为E。 （1）此图是轴对称图形吗？如果是， 它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些相等的线 段和弧？为什么？ C
O
E
A
D
B
24.1.2
垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。 思考： 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD， 使CD⊥AB，垂足为E。 （1）此图是轴对称图形吗？如果是， 它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些相等的线 段和弧？为什么？ C
O
O
E A D B
24.1.2
垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。 思考： 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD， 使CD⊥AB，垂足为E。 （1）此图是轴对称图形吗？如果是， 它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些相等的线 段和弧？为什么？ C
课堂小结
1.圆的轴对称性： C
2.垂径定理：
3.垂径定理的推论： 4.垂径定理应用举例： 在弦长，半径，圆心到弦的距离， 拱高四个量中，知俩求俩。 作业布置：导航相应练习 O
E
A
B （A）
D
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗? 它的主桥 是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长) 为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离) 为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半 径吗？ C 解：用AB表示主拱桥，设AB所在圆的 A 圆心为O，过点O作AB的垂线交AB于C。 由垂径定理可知，D是AB的中点，C是AB 的中点，CD就是拱高。 AB=37.4，CD=7.2 ，∴AD=18.7，设OA=OC=R OD=OC-CD=R-7.2. 在Rt△AOD中，OA2 = AD2 + OD2 即 R2 = 18.72 + (R-7.2)2 解得 R≈27.9 因此，赵州桥的主桥拱的半径约为27.9米。 O D B
24.1.2
垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。 2.垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所 对的两条弧。 符号语言： ∵ CD经过圆心O ，CD⊥AB于E， E A D C
O
B （A）
∴AE=BE，AD=BD，AC=BC
应用垂径定理的几个基本图