九年级复习专题(四)旋转

《图形的旋转》复习知识回顾1、概念：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角．旋转三要素：旋转中心、旋转方面、旋转角2、旋转的性质：(1)旋转前后的两个图形是全等形；(2)两个对应点到旋转中心的距离相等(3)两个对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角3、中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．4、中心对称的性质：（1）关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分．（2）关于中心对称的两个图形是全等图形．5、中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．6、坐标系中的中心对称基础练习一、选择题1、（泸州）如图1，P是正△ABC内的一点，若将△PBC绕点B旋转到△P’BA，则∠PBP′的度数是( ）A．45° B．60°C．90° D．120°2、(陕西省) 如图2，∠AOB＝90°，∠B＝30°，△A′OB′可以看作是由△AOB绕点O顺时针旋转α角度得到的，若点A′在AB上，则旋转角α的大小可以是（）A．30°B．45°C．60°D．90°3、（桂林市、百色市）如图3所示，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将△ABO绕点O 按顺时针方向旋转90°，得△A′B′O，则点A′的坐标为（）．A．（3，1） B．（3，2） C．（2，3） D．（1，3）4、、（甘肃白银）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．等腰梯形B．平行四边形C．正三角形D．矩形5、（台州市）单词NAME的四个字母中，是中心对称图形的是（）A．N B．A Ｃ．M D．E6、（2009年广西钦州）某校计划修建一座既是中心对称图形又是轴对称图形的花坛，从学生中征集到的设计方案有等腰三角形、正三角形、等腰梯形、菱形等四种方案，你认为符合条件的是（）A．等腰三角形B．正三角形C．等腰梯形D．菱形7、（锦州）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 ( )A B C D8、 (四川省内江市)已知如图4所示的四张牌，若将其中一张牌旋转180O后得到图5，则旋转的牌是（）9、(成都)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2，3)，若将OA绕原点O逆时针旋转180°得到0A′，则点A′在平面直角坐标系中的位置是在（）(A)第一象限 (B)第二象限 (c)第三象限 (D)第四象限10、（崇左）已知点A的坐标为()a b，，O为坐标原点，连结OA，将线段OA绕点O按逆时针方向旋转90°得OA1，则点A1的坐标为（）．A．()a b-， B．()a b-， C．()b a-， D．()b a-，11、（河南）如图6所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣2，0）和（2，0）.图6xy1243-11-22-33123AB图3图2图4图5 A．B．C．D．月牙①绕点B 顺时针旋转900得到月牙②，则点A 的对应点A ’的坐标为（ ） A.（2，2） B.（2，4） C.（4，2） D.（1，2）12、（新疆）下列各组图中，图形甲变成图形乙，既能用平移，又能用旋转的是（ ）13、（淄博市）如图7，点A ，B ，C 的坐标分别为(01)(02)(30)-，，，，，．从下面四个点M(3,3)，N(3,-3)，P(-3,0), Q(-3,1)中选择一个点，以A ，B ，C 与该点为顶点的四边形不是中心对称图形，则该点是（ ） A ．M B ．N C ．P D ．Q二、填空题1、（肇庆）在平面直角坐标系中，点P(2,-3)关于原点对称点P ′的坐标是 ．2、（湖北十堰市）如图8，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(1，4)，将线段OA 绕点O 顺时针旋转90°得到线段OA′，则点A′的坐标是 ．3、(梅州市)如图10所示，五角星的顶点是一个正五边形的五个顶点．这个五角星可以由一个基本图形（图中的阴影部分）绕中心O 至少经过________次旋转而得到， 每一次旋转_______度．4、（衡阳市）点A 的坐标为（2，0），把点A 绕着坐标原点顺时针旋转135º到点B ，那么点B 的坐标是 _________ ．5、（枣庄市）如图11，直线443y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，把AO B△绕点A 顺时针旋转90°后得到AO B ''△，则点B '的坐标是 ．三、解答题1、（娄底）如图13所示，每个小方格都是边长为1的正方形，以O 点为坐标原点建立平面直角坐标系.（1）画出四边形OABC 关于y 轴对称的四边形OA 1B 1C 1，并写出点B 1的坐标是 . （2）画出四边形OABC 绕点O 顺时针方向旋转180°后得到的四边形OA 2B 2C 2.2、(潍坊)在如图14所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，A B C △的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）．画出A B C △绕点O 逆时针旋转90°后的A B C '''△． 4、（长春）图①、图②均为76⨯的正方形网格，点A B C 、、在格点上． （1）在图①中确定格点D ，并画出以A B C D 、、、为顶点的四边形， 使其为轴对称图形．（画一个即可）（3分）（2）在图②中确定格点E ，并画出以A B C E 、、、为顶点的四边形，使其为中心对称图形． （画一个即可）（3分）3、（株洲市）如图15，在Rt OAB ∆中，90O A B ∠=︒，6O A A B ==，将OAB ∆绕点O 沿逆时针方向旋转90︒得到11O A B ∆． （1）线段1O A 的长是 ，1A O B ∠的度数是 ； （2）连结1A A ，求证：四边形11O A A B 是平行四边形； （3）求四边形11O A A B 的面积．甲乙甲乙A B C D 甲乙甲乙图14图13图10图11图9 图8 图7图①图②图15。

九年级旋转专题复习1．下列图案既是中心对称，又是轴对称的是（ ）A B C D2．已知点A 的坐标为()a b ，，O 为坐标原点，连结OA ，将线段OA 绕点O 按逆时针方向旋转90得1OA ，则点1A 的坐标为（ ） A ．()a b -，B ．()a b -，C ．()b a -，D ．()b a -，3．下面图形：四边形，三角形，正方形，梯形，平行四边形，圆，从中任取一个图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为 ．4．如图，把面积为1的正方形纸片ABCD 放在平面直角坐标系中， 点B 、C 在x 轴上，A 、D 关于y 轴对称，将C 点折叠到y 轴上的C′，折痕BP ，则经过P 点反比例函数的解析式为 ．5．（1）点（2，4）绕点（0，2）顺时针旋转90°得到的点的坐标是 . （2）直线y=2x 绕点（0，2）顺时针旋转90°得到的直线解析式是 . (3) 求直线y=2x+2绕点（0，2）顺时针旋转90°得到的直线的解析式是 . 6．如图，已知ABC △: （1）AC 的长等于_______．（2）若将ABC △向右平移2个单位得到A B C '''△， 则A 点的对应点A '的坐标是_____；（3）若将ABC △绕点C 按顺时针方向旋转90后得到∆A 1B 1C 1，则A 点对应点A 1的坐标是_________．7. 正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于O ，Q 为CD 上任意一点， AQ 交BD 于M ，过M 作MN ⊥AM 交BC 于N ，连AN 、QN. 下列结论：①MA ＝MN ；②∠AQD ＝∠AQN ； ③ABNQD AQN S S 五边形21=∆； ④AQ.MN=QN.CD 。

其中正确的结论有（ ） （A ）①②③④. （B ）只有①③④. （C ）只有②③④. （D ）只有①②.8．如图，在Rt △ABC 中，AB AC =，D 、E 是斜边BC 上两点，且∠DAE =45°，将△ADC 绕点A 顺时针旋转90︒后，得到△AFB ，连接EF ，下列结论： ①△AED ≌△AEF ；②△ABE ≌△ACD ； ③BE DC DE +=； ④222BE DC DE += 其中正确的是 【 】(第8题图）A BCD EF12题Q N M DOCBAA ．②④；B ．①④；C ．②③；D ．①③．图 (一)在△OAB , △OCD 中，OA =OB ,OC =OD ,∠AOB =∠COD =90°，连AC ,BD . (1)①若O 、C 、A 在一条直线上，连AD 、BC ，取BC 的中点M （如图1），则OM 、AD 之间有何确定的关系？②若将△OCD 绕O 旋转（如图1-1、1-2、1-3），则①的结论是否变化，加以证明.图1 图1-1 图1-2 图1-3(2)①若O 、C 、A 在一条直线上,连AD 、BC ，AC 取BC 、AD 的中点M 、N （如图2），则MN 、AC 之间有何确定的关系？②若将△OCD 绕O 旋转（如图2-1、2-2），则①的结论是否变化，加以证明.图2 图2-1 图2-2O C B A M O D C B A M O DC B AM O D B A MO ND C B AMO ND CBA M O N DC B A(3) ①若O 、C 、A 在一条直线上,连AC 、BD ，取CD 、AB 的中点M 、N （如图3），则MN 、AC 之间有何确定的关系？②若将△OCD 绕O 旋转（如图3-1、3-2），则①的结论是否变化，加以证明.图3 图3-1 图3-2(4)①如图4，若D 、O 、B 在一条直线上,连AD 、BC ，取AD 、BC 的中点M 、N ，MP ⊥AD ,N P ⊥BC 相交于P ,则PM+PN 与AD+BC 之间有何确定的关系？ ②将△OCD 绕O 旋转（如图4-1、4-2），则①的结论是否变化，加以证明.图4 图4-1 图4-2M O N D CBAM O N D C B A MO N DC B A MO ND CBA P MO N D C BA P MO N D C B A P图 (二)在△CAB , △DEB 中，CA =CB ,DE =DB ,∠ACB =∠EDB =90°，连AE .①若A 、D 、B 在一条直线上，取AE 的中点M （如图5）,连CM 、DB ，则CM 、DM 之间有何确定的关系？②若将△DEB 绕B 旋转（如图5-1、5-2、5-3），则①的结论是否变化，加以证明.图5 图5-1 图5-2 图5-3图 (三)在△CAB , △DBE 中，CA =DB ,BE =BD ,∠ACB =∠EBD =90° ①若E 、C 重合，连AD （如图6），则CM 、AE 之间有何确定数量的关系？ ②若E 沿射线CA 运动, （如图6-1、6-2），则①的结论是否变化，加以证明.图6 图6-1 图6-2M E D C B A M ED C B A MED C B A ME D C BA M DC (E )B A MEDC B AM E DCB A在△CAB , △DEF 中，CA =CB ,DE =DF ,∠ACB =∠EDF =90°. 若把△DEF 的顶点E 放在AB 的中点处并绕E 旋转,交直线CA 、CB 于M 、N 连CE 、MN ①若△DEF 绕E 旋转到（如图7），则CN 、CM 、MN 、CE 之间有何确定数量的关系？ ②若△DEF 绕E 旋转到（如图7-1），①的结论又如何，加以证明.图7 图7-1图 (五)在△CAB 中，CA =CB , ∠ACB = 90°. ①把△ABC 绕B 顺时针旋转a =135°(如图8），将线段AE 射线ED 的方向平移至DF ,连CD 、CF ，则CF 、CD 之间有何确定的关系？②若△ABC 绕B 顺时针旋转a ≠135°(如图8-1），其它条件不变，①的结论是否变化，加以证明. 图8 图8-1MN FED CB A MN F E DC BA F E DC BAF E DC B A(1)△ABC 中，CA =CB ，点D 为AB 的中点，∠A =30°，M 、N 分别为AC 、BC 上的点.且∠MDN ＋∠ACN =180°①如图9，当CM =CN 时， DM 与DN 的数量关系为___________；∠MDN =__________；CM +CN 与AB 的数量关系为________________________. ②如图9-1，当CM ≠CN 时，①的结论是否成立？ ③如图9-2，若点M 在AC 的延长线上，点N 在BC 上， 其它条件不变，CM 、CN 、AB 有何数量关系？ ④在图9-1中，若∠A =a ，则DM 和DN 的数量关系为____________,∠MDN =______________.图9 图9-1 图9-2(2)如图10，点I 是Rt △ABC （∠ACB =90°）的内角平分线交点，在CI 的延长线上取点D ，使DA ⊥DB .①判断线段DA 与DB 有何种数量关系？②如图10-1，过点C 作IC 的垂线，在垂线上取点D 使DA ⊥DB ，则线段DA 与DB 有何种数量关系？③如图10-2，在②的条件下，过点D 作DE ⊥AC 于E ，过I 作IF ⊥AB 于点F ，判断AF －BF 与DE图10 图10-1 图10-2A M N D CB A M N DCB A M ND C B。

浙教版2019-2020学年初中数学九年级上学期期末复习专题4 旋转一、单选题1.下图是几种汽车轮毂的图案，图案绕中心旋转90°后能与原来的图案重合的是（）A. B. C. D.2.如图，将△ABC绕顶点C旋转得到△A′B′C，且点B刚好落在A′B′上，若∠A=35°，∠BCA'=40°，则∠A′BA 等于（）A. 30°B. 35°C. 40°D. 45°3.把一副三角板如图（1）放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜边AB＝4，CD＝5．把三角板DCE绕着点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图2），此时AB与CD1交于点O，则线段AD1的长度为（）A. B. C. D. 44.如图，点P为正△ABC内一点，∠APC=150°，AP=3,CP=1，则BP长为（）A. B. C. D.5.如图，将△ABC绕点A旋转后得到△ADE，则旋转方式是（）A. 逆时针旋转90°B. 顺时针旋转90°C. 顺时针旋转45°D. 逆吋针旋转45°6.如图，教室里有一只倒地的装垃圾的灰斗，BC与地面的夹角为50°，∠C=25°，小贤同学将它绕点C旋转一定角度，扶起平放在地面上(如图)，则灰斗柄AB绕点C转动的角度为（）A. 75°B. 25°C. 115°D. 105°7.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，4），将OA绕坐标原点O逆时针旋转90°至OA′，则点A′的坐标是（）．A. （-4，3）B. （-3，4）C. （3，-4）D. （4，-3）8.在平面直角坐标系中，先将抛物线关于轴作轴对称变换，再将所得的抛物线，绕它的顶点旋转180°，那么经两次变换后所得的新抛物线的函数表达式为（）A. B. C. D.9.已知正方形MNKO和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形外边，使OK边与AB边重合，如图所示．按下列步骤操作：将正方形在正六边形外绕点B顺时针旋转，使KN边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使NM边与CD边重合，完成第二次旋转；……在这样连续6次旋转的过程中，点M在图中直角坐标系中的纵坐标可能是（）A. 2.2B. -2.2C. 2.3D. -2.310.如图，在平面直角坐标系xOy中，有一个等腰直角三角形AOB，∠OAB＝90°，直角边AO在x轴上，且AO＝1.将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A1OB1，且A1O＝2AO，再将Rt△A1OB1绕原点O顺时针旋转90°得到等腰三角形A2OB2，且A2O＝2A1O……依此规律，得到等腰直角三角形A2 017OB2 017.则点B2 017的坐标（）A. （22 017，－22 017）B. （22 016，－22 016）C. （22 017，22 017）D. （22 016，22 016）二、填空题11.如图，在△ABC中，AB＝6，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，则阴影部分的面积为________.12.如图，三角形ABC绕点A逆时针旋转90°到三角形AB'C'的位置．已知∠BAC=36°，则∠B'AC=________ 度。

2023年九年级数学中考复习：旋转综合压轴题（角度问题）附答案1．在正方形ABCD 中，AB =4，O 为对角线AC 、BD 的交点．（1）如图1，延长OC ，使CE=OC ，作正方形OEFG ，使点G 落在OD 的延长线上，连接DE 、AG ．求证：DE=AG ；（2）如图2，将问题（1）中的正方形OEFG 绕点O 逆时针旋转α°（0<α<180），得到正方形OE F G '''，连接AE E G '''、．①当α=30时，求点A 到E G ''的距离；①在旋转过程中，直接写出AE G ∆''面积的最小值为 ，并写出此时的旋转角α= ．2．已知在矩形ABCD 中，①ADC 的平分线DE 与BC 交于点E ，点P 是线段DE 上一定点（其中EP ＜PD ）（1）如图1，若点F 在CD 边上（不与C ，D 重合），将①DPF 绕点P 逆时针旋转90°后，角的两边PD ，PF 分别交射线DA 于点H ，G ．①直接写出PG 与PF 之间的数量关系；①猜想DF ，DG ，DP 的数量关系，并证明你的结论．（2）如图2，若点F 在CD 的延长线上（不与D 重合），将PF 绕点P 逆时针旋转90°，交射线DA 于点G ，判断（1）①中DF ，DG ，DP 之间的数量关系是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请直接写出它们所满足的数量关系式．3．在平面直角坐标系中，直线l 与x 轴、y 轴分别交于A （a ，0）、B （0，b ）两点，且a ＋2b ﹣5）2＝0（1）求A 、B 两点坐标；（2）如图1，把线段BA 绕B 点顺时针旋转，点A 的对应点为C 点，使BC ①y 轴，E 为线段AC 上一点，EN ①AB 于N ，EM ①BC 于M ，求EM ＋EN 的值．（3）如图2，点D 为y 轴上点B 上方一点，DE ①AD 交直线CB 于点E ，①DEC 的平分线EF 与①DAO 的邻补角的平分线AF 交点F ，请问：D 点在运动的过程中①AFE 的大小是否变化，若不变，求出其值；若变化，请说明理由．4．（1）发现：如图1，点B 是线段AD 上的一点，分别以AB BD ，为边向外作等边三角形ABC 和等边三角形BDE ，连接AE ，CD ，相交于点O .①线段AE 与CD 的数量关系为：___________；AOC ∠的度数为__________.②CBD ∆可看作ABE ∆经过怎样的变换得到的？____________________________. （2）应用：如图2，若点A B D ，，不在一条直线上，（1）的结论①还成立吗？请说明理由；（3）拓展：在四边形ABCD 中，=AB AC ，=90BAC ∠︒，=45ADC ∠︒，若8AD ＝，6CD ＝，请直接写出B ，D 两点之间的距离.5．【问题解决】一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，点P是正方形ABCD内一点，P A=1，PB=2，PC=3．你能求出①APB的度数吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：将①BPC绕点B逆时针旋转90°，得到①BP′A，连接PP′，求出①APB的度数；思路二：将①APB绕点B顺时针旋转90°，得到①CP′B，连接PP′，求出①APB的度数．请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．【类比探究】如图2，若点P是正方形ABCD外一点，P A=3，PB=1，PC11①APB的度数．6．在学习了图形的旋转知识后，数学兴趣小组的同学们又进一步对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了探究．（一）尝试探究：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，①BAD＝60°，①ABC＝①ADC ＝90°，点E、F分别在线段BC、CD上，①EAF＝30°，连接EF．（1）如图2，将①ABE绕点A逆时针旋转60°后得到①A′B′E′（A′B′与AD重合），请直接写出①E′AF＝度，线段BE、EF、FD之间的数量关系为．（2）如图3，当但点E、F分别在线段BC、CD的延长线上时，其他条件不变，请探究线段BE、EF、FD之间的数量关系，并说明理由．（二）拓展延伸：如图4，在等边①ABC中，E、F是边BC上的两点，①EAF＝30°，BE ＝1，将①ABE绕点A逆时针旋转60°得到①A′B′E′（A′B′与AC重合），连接EE′，AF与EE′交于点N，过点A作AM①BC于点M，连接MN，求线段MN的长度．7．已知①AOB，将①AOB绕O点旋转到①COD位置，使C点落在OB边上，连接AC、BD．（1）若①AOB=90°（如图1），小亮发现①BAC=①BDC，请你证明这个结论；（2）若①AOB=60°（如图2），小亮发现的结论是否仍然成立？说明理由；（3）若①AOB为任意角α（如图3），小亮发现的结论还成立吗？说明理由；8．把边长分别为4和6的矩形ABCO如图放在平面直角坐标系中，将它绕点C顺时针旋转a角，旋转后的矩形记为矩形EDCF．在旋转过程中，（1）如图①，当点E在射线CB上时，E点坐标为；（2）当△CBD是等边三角形时，旋转角a的度数是（a为锐角时）；（3）如图①，设EF与BC交于点G，当EG=CG时，求点G的坐标；（4）如图①，当旋转角a=90°时，请判断矩形EDCF的对称中心H是否在以C为顶点，且经过点A的抛物线上．9．把一副三角板如图(1)放置，其中①ACB=①DEC=90°，①A=45°，①D=30°，斜边AB=12cm，DC=14cm，把三角板DCE绕点C逆时针旋转15°得到①（如图2）．这时AB与相交于点O，与相交于点F．（1）填空：①= °； （2）请求出①的内切圆半径； （3）把①绕着点C 逆时针再旋转度（）得①，若①为等腰三角形，求的度数（精确到0.1°）．10．“数学建模”是中学数学的核心素养，平时学习过程中能归纳一些几何模型，解决几何问题就能起到事半功倍的作用．（1）如图1，正方形ABCD 中，45EAF ∠=︒，且DE BF =，求证：EG AG =； （2）如图2，正方形ABCD 中，45EAF ∠=︒，延长EF 交AB 的延长线于点G ，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）如图3在（2）的条件下，作GQ AE ⊥，垂足为点Q ，交AF 于点N ，连结DN ，求证：45NDC ∠=︒．11．在学习利用旋转解决图形问题时，老师提出如下问题：（1）如图1，点P 是正方形ABCD 内一点，1PA =，2PB =，3PC =，你能求出APB ∠的度数吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：将PBC 绕点B 逆时针旋转90︒，得到P BA '△，连接PP '，可求出APB ∠的度数；思路二：将PAB △绕点B 顺时针旋转90︒，得到P CB '△，连接PP '，可求出APB ∠的度数；请参照小明的思路，任选一种写出完整的解答过程；（2）如图2，若点P 是等边三角形ABC 内一点，若150APB ∠=︒，则线段PA ，PB ，PC 满足怎样的等量关系？请参考小明上述解决问题的方法进行探究，直接写出线段PA ，PB ，PC 满足的等量关系．12．把两个等腰直角ABC 和ADE 按如图1所示的位置摆放，将ADE 绕点A 按逆时针方向旋转，如图2，连接BD ，EC ，设旋转角为α（0360α︒<<︒）．（1）如图1，BD 与EC 的数量关系是___________，BD 与EC 的位置关系是___________；（2）如图2，（1）中BD 和EC 的数量关系和位置关系是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立请说明理由．（3）如图3，当点D 在线段BE 上时，BEC ∠=___________．（4）当旋转角α=__________时，ABD △的面积最大．13．如图1，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，60A ∠=︒，直线MN 经过C 点垂直于AB ，垂足为D ．（1）求证：ADC BDC ∽△△； （2）若直线MN 从图1的位置绕M 点逆时针旋转，如图2，设旋转的角度为()0180αα<<，作AP MN ⊥，垂足为P ，BQ MN ⊥，垂足为Q ．①当α的度数为______时，点A ，P ，B ，Q 构成的四边形为平行四边形；①当α的度数为______时，点A ，P ，B ，Q 构成的四边形为矩形．14．已知①ABC 和①ADE 都是等腰三角形，AB ＝AC ，AD ＝AE ，①DAE ＝①BAC ．【初步感知】（1）特殊情形：如图①，若点D ，E 分别在边AB ，AC 上，则DB EC ．（填＞、＜或＝）（2）发现证明：如图①，将图①中①ADE 的绕点A 旋转，当点D 在①ABC 外部，点E 在①ABC 内部时，求证：DB ＝EC ．【深入研究】（3）如图①，①ABC 和①ADE 都是等边三角形，点C ，E ，D 在同一条直线上，则①CDB 的度数为 ；线段CE ，BD 之间的数量关系为 ．（4）如图①，①ABC 和①ADE 都是等腰直角三角形，①BAC ＝①DAE ＝90°，点C 、D 、E 在同一直线上，AM 为①ADE 中DE 边上的高，则①CDB 的度数为 ；线段AM ，BD ，CD 之间的数量关系为 ．15．把两个等腰直角①ABC 和①ADE 按如图1所示的位置摆放，将①ADE 绕点A 按逆时针方向旋转，如图2，连接BD ，EC ，设旋转角α（0°＜α＜360°）．（①）当DE ①AC 时，旋转角α＝ 度，AD 与BC 的位置关系是 ，AE 与BC 的位置关系是 ；（①）当点D 在线段BE 上时，求①BEC 的度数；（①）当旋转角α＝ 时，①ABD 的面积最大．16．如图①，在ABC 中，①ACB ＝90°，①ABC ＝30°，AC ＝1，D 为ABC 内部的一动点（不在边上），连接BD ，将线段BD 绕点D 逆时针旋转60°，使点B 到达点F 的位置；将线段AB 绕点B 顺时针旋转60°，使点A 到达点E 的位置，连接AD ，CD ，AE ，AF ，BF ，EF ．(1)求证：BDA ①BFE ；(2)当CD +DF +FE 取得最小值时，求证：AD ∥BF ．(3)如图①，M ，N ，P 分别是DF ，AF ，AE 的中点，连接MP ，NP ，在点D 运动的过程中，请判断①MPN 的大小是否为定值．若是，求出其度数；若不是，请说明理由．17．已知ABC 是等腰三角形，AB AC ＝，将ABC 绕点B 逆时针旋转得到''A BC ，(1)感知：如图①，当'BC 落在AB 边上时，'A AB ∠与'C CB ∠之间的数量关系是 _____（不需要证明）；(2)探究：如图①，当'BC 不落在AB 边上时，'A ∠AB 与'C CB ∠是否相等？如果相等；如果不相等，请说明理由；(3)应用：如图①，若90BAC ∠=︒，'AA 、'CC 交于点E ，则'A EC ∠=_____度．18．如图，已知正方形ABCD ，点E 为AB 上的一点，EF AB ⊥，交BD 于点F ．(1)如图1，直按写出DF AE的值_______； (2)将①EBF 绕点B 顺时针旋转到如图2所示的位置，连接AE 、DF ，猜想DF 与AE 的数量关系，并证明你的结论；(3)如图3，当BE =BA 时，其他条件不变，①EBF 绕点B 顺时针旋转，设旋转角为(0360)αα︒<<︒，当α为何值时EA =ED ?请在图3或备用图中画出图形并求出α的值．19．(1)观察猜想：如图①，在Rt △ABC 和Rt △BDE 中，①ABC ＝①EBD ＝90°，AB ＝BC ，BE ＝BD ，连接AE ，点F 是AE 的中点，连接CD 、BF ，当点D 、B 、C 三点共线时，线段CD 与线段BF 的数量关系是_____，位置关系是_____(2)探究证明：在（1）的条件下，将Rt △BDE 绕点B 顺时针旋转至图①位置时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请你就图①的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；(3)拓展延伸：如图①，在Rt△ABC和Rt△BDE中，①ABC＝①EBD＝90°，BC＝2AB＝8，BD＝2BE＝4，连接AE，点F是AE的中点，连结CD、BF，将△BDE绕点B在平面内自由旋转，请直接写出BF的取值范围，20．如图①，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，四边形EFGH是正方形，EH与BD重合，将图①中的正方形EFGH绕着点D逆时针旋转．(1)旋转至如图①位置，使点G落在BC的延长线上，DE交BC于点L．已知旋转开始时，即图①位置①CDG＝37°，求正方形EFGH从图①位置旋转至图①位置时，旋转角的度数．(2)旋转至如图①位置，DE交BC于点L．延长BC交FG于点M，延长DC交EF于点N．试判断DL、EN、GM之间满足的数量关系，并给予证明．参考答案：1．（2）①点A 到E G ''的距离为3①在旋转过程中，直接写出AE G ∆''面积的最小值为1682-α=135°．2．（1）①DG +DF 2；（2）不成立，数量关系式应为：DG -DF 2，3．（1）A （﹣3，0）、B （0，4）；（2）4；（3）不变，45° 4．（1）①AE CD =，60︒；（2）依然成立，（3）416．（一）（1）30，BE ＋DF ＝EF ；（2）BE ﹣DF ＝EF ；3 8．（1）E （4，13；（2）60°；（3）13(4,)3G ； （4）点H 不在此抛物线上．9．（1）120°；（2）2；（3）37.7°、50.6°10．（1）见解析；（2）结论依然成立11．（1）135,APB 证明见解析；（2）222PC PA PB =+， 12．（1）BD EC =，BD EC ⊥；（2）成立，（3）90︒；（4）90︒或270︒13．（2）①30°或90°；①90°．14．（1）=；（3）60︒，DB CE =；（4）90︒，2AM BD CD += 15．（①）45；垂直；平行；（①）90BEC ∠=︒；（①）90︒或270︒16． ①MPN 的值为定值，30°．17．(1)相等；(2)相等；(3)135︒．18．2(2)2DF =，(3)α的值为30°或150°，19．(1) CD =2BF BF ①CD(2)CD =2BF ， BF ①CD 成立，(3)13BF ≤≤20．(1)16°(2)DL ＝EN +GM ，。

九年级旋转知识点梳理在九年级的学习过程中，我们已经学习了许多不同的知识点。

为了更好地巩固所学的知识，并为即将到来的中考做好准备，我们有必要对这些知识点进行整理和梳理。

接下来，我将为大家梳理一些重要的旋转知识点。

一、坐标系和旋转我们先来回顾一下坐标系和旋转的基本概念。

在平面直角坐标系中，我们可以通过横坐标和纵坐标来表示一个点的位置。

而旋转是指将一个图形按照某个点为中心进行旋转，通常我们称这个点为旋转中心。

旋转可以按照顺时针或逆时针的方向进行，旋转角度可以是任意角度。

二、基本旋转公式在进行旋转的计算中，我们需要掌握一些基本的旋转公式。

其中，顺时针旋转公式和逆时针旋转公式分别为：1. 顺时针旋转公式：旋转后的横坐标 = 旋转中心横坐标 + (原点横坐标 - 旋转中心横坐标) * cosθ - (原点纵坐标 - 旋转中心纵坐标) * sinθ旋转后的纵坐标 = 旋转中心纵坐标 + (原点横坐标 - 旋转中心横坐标) * sinθ + (原点纵坐标 - 旋转中心纵坐标) * cosθ2. 逆时针旋转公式：旋转后的横坐标 = 旋转中心横坐标 + (原点横坐标 - 旋转中心横坐标) * cosθ + (原点纵坐标 - 旋转中心纵坐标) * sinθ旋转后的纵坐标 = 旋转中心纵坐标 - (原点横坐标 - 旋转中心横坐标) * sinθ + (原点纵坐标 - 旋转中心纵坐标) * cosθ这些公式可以帮助我们在旋转图形时计算出旋转后的坐标。

三、旋转的性质旋转具有一些特殊的性质，我们可以通过这些性质来解决与旋转相关的问题。

下面列举几个常见的旋转性质：1. 旋转180°：图形绕旋转中心旋转180°后，各点对应的坐标变为相反数。

2. 旋转90°或270°：图形绕旋转中心旋转90°或270°后，各点的横纵坐标交换，并且横坐标的符号取反。

3. 旋转60°或300°：图形绕旋转中心旋转60°或300°后，各点对应的坐标可以通过一定的规律得到。

九年级数学复习---图形的旋转专题练习题1．如图，如果把钟表的指针看做三角形OAB，它绕O点按顺时针方向旋转得到△OEF，在这个旋转过程中：（1）旋转中心是什么？旋转角是什么？（2）经过旋转，点A、B分别移动到什么位置？2．（学生活动）如图，四边形ABCD、四边形EFGH都是边长为1的正方形．（1）这个图案可以看做是哪个“基本图案”通过旋转得到的？（2）请画出旋转中心和旋转角．（3）指出，经过旋转，点A、B、C、D分别移到什么位置？3．如图，△ABC绕C点旋转后，顶点A的对应点为点D，试确定顶点B•对应点的位置，以及旋转后的三角形．4．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，且DE=14，△ABF是△ADE的旋转图形．（1）旋转中心是哪一点？（2）旋转了多少度？（3）AF的长度是多少？（4）如果连结EF，那么△AEF是怎样的三角形？5．如图，K是正方形ABCD内一点，以AK为一边作正方形AKLM，使L、M•在AK的同旁，连接BK和DM，试用旋转的思想说明线段BK与DM的关系．答案：1. 解：（1）旋转中心是O，∠AOE、∠BOF等都是旋转角．（2）经过旋转，点A和点B分别移动到点E和点F的位置．2. （1）可以看做是由正方形ABCD的基本图案通过旋转而得到的．（2）•画图略．（3）点A、点B、点C、点D移到的位置是点E、点F、点G、点H．（3）旋转前、后的图形全等．3.分析：绕C点旋转，A点的对应点是D点，那么旋转角就是∠ACD，根据对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即∠BCB′=ACD，•又由对应点到旋转中心的距离相等，即CB=CB′，就可确定B′的位置，如图所示．解：（1）连结CD（2）以CB为一边作∠BCE，使得∠BCE=∠ACD（3）在射线CE上截取CB′=CB则B′即为所求的B的对应点．（4）连结DB′则△DB′C就是△ABC绕C点旋转后的图形．4. 分析：由△ABF是△ADE的旋转图形，可直接得出旋转中心和旋转角，要求AF•的长度，根据旋转前后的对应线段相等，只要求AE的长度，由勾股定理很容易得到．•△ABF与△ADE 是完全重合的，所以它是直角三角形．解：（1）旋转中心是A 点．（2）∵△ABF 是由△ADE 旋转而成的∴B 是D 的对应点 ∴∠DAB=90°就是旋转角（3）∵AD=1，DE=14∴∵对应点到旋转中心的距离相等且F 是E 的对应点 ∴ （4）∵∠EAF=90°（与旋转角相等）且AF=AE ∴△EAF 是等腰直角三角形．5. 分析：要用旋转的思想说明就是要用旋转中心、旋转角、对应点的知识来说明． 解：∵四边形ABCD 、四边形AKLM 是正方形∴AB=AD ，AK=AM ，且∠BAD=∠KAM 为旋转角且为90°∴△ADM 是以A 为旋转中心，∠BAD 为旋转角由△ABK 旋转而成的∴BK=DM。

2020春人教版九级数学第23章《旋转》寒假复习知识点及复习题知识点一轴对称与轴对称图形1．轴对称：如果两个平面图形沿一条直线对折后能够_________，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫做这两个图形的对称轴．2．轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够 _________，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．3．轴对称的性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴_________，对应线段_______，对应角_______．4．简单的轴对称图形(1)线段是轴对称图形， _______________________是它的一条对称轴．(2)角是轴对称图形， ___________________是它的对称轴．(3)等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形_____________、底边上的中线、 ___________重合(也称“三线合一”)，它们所在的直线是等腰三角形的对称轴．知识点二图形的平移与旋转1．图形的平移(1)平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移．(2)平移的性质①平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小；②一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行(或在一条直线上)且_______；对应线段平行(或在一条直线上)且_______，对应角_______．2．图形的旋转(1)旋转：在平面内，将一个图形绕一个_______按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转．这个定点称为 _________，转动的角称为_________．(2)旋转的性质①旋转不改变图形的形状和大小；②对应点到旋转中心的距离_______；③任意一组对应点与 _________的连线所成的角都等于旋转角；④对应线段 _____，对应角_______．知识点三中心对称与中心对称图形1．中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转 ______，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做它们的对称中心．2．中心对称图形：把一个图形绕某个点旋转 ______，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心．复习练习题1.如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE.若AB的长为2，则FM的长为( )2．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′.若∠1＝25°，则∠BAA′的度数是( )A ．55° B．60° C ．65° D．70°3．如图，若将△ABC 绕点O 逆时针旋转90°，则顶点B 的对应点B 1的坐标为( )A ．(－4，2)B ．(－2，4)C ．(4，－2)D ．(2，－4)4.如图，直线y ＋2与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，把△AOB 沿直线AB 翻折后得到△AO ′B ，则点O ′的坐标是( )5．如图，直线y ＝23x ＋4与x 轴，y 轴分别交于点A 和点B ，点C ，D 分别为线段AB ，OB 的中点，点P 为OA 上一动点，当PC ＋PD 最小时，点P 的坐标为( )A ．(－3，0)B ．(－6，0)C ．(－32，0)D ．(－52，0)6．如图，把△ABC 沿着BC 的方向平移到△DEF 的位置，它们重叠部分的面积是△ABC 面积的一半，若BC ＝3，则△ABC 移动的距离是( )A.32B.33C.62D.3－627.中国古代建筑中的窗格图案实用大方，寓意吉祥．以下给出的图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )8．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，如果将△ABC 先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到△A 1B 1C 1，那么点A 的对应点A 1的坐标为( )A ．(4，3)B ．(2，4)C ．(3，1)D ．(2，5)9．(2017·潍坊)如图，将一张矩形纸片ABCD 的边BC 斜着向AD 边对折，使点B 落在AD 上，记为B′，折痕为CE ；再将CD 边斜向下对折，使点D 落在B′C 上，记为D′，折痕为CG ，B′D′＝2，BE ＝13BC ，则矩形纸片ABCD 的面积为________．10.如图，点P 在等边△ABC 的内部，且PC ＝6，PA ＝8，PB ＝10，将线段PC 绕点C 顺时针旋转60°得到P′C，连接AP′，则sin∠PAP′的值为___．。

专题23.9 《旋转》全章复习与巩固（巩固篇）（专项练习）一、单选题1．下列与杭州亚运会有关的图案中，中心对称图形是（ ）A ．B ．C ．D ．2．如图，将AOB 绕着点O 顺时针旋转，得到COD △（点C 落在AOB 外），若30AOB ∠=︒，10BOC ∠=︒，则最小旋转角度是（ ）A ．20°B ．30°C ．40°D ．50°3．如图，在正方形网格中，△ABC 绕某点旋转一定的角度得到A B C '''，则旋转中心是点（ ）A ．OB ．PC ．QD ．M4．如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 、BD 交于点 O ，将△BOC 绕着点 C 旋转 180°得到B O C ''，若AC ＝2，5AB '=，则菱形 ABCD 的边长是（ ）A ．3B ．4CD 5．如图，在钝角ABC 中，35BAC ∠=︒，将ABC 绕点A 顺时针旋转70︒得到ADE ，点B ，C 的对应点分别为D ，E ，连接BE ．则下列结论一定正确的是（ ）A ．ABC AED ∠=∠B ．AC DE = C ．AD BE AC += D ．AE 平分BED ∠6．如图，矩形ABCD 的顶点1,0A ，()0,2D ，()5,2B ，将矩形以原点为旋转中心，顺时针旋转75°之后点C 的坐标为（ ）A ．()4,2-B ．(-C ．()2-D ．(-7．如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，AB BC ==ABC 绕点A 逆时针转60°得到AB C ''△，则BC '的长是（ ）A 1B ．2C ．D ．8．如图，菱形ABCD 对角线交点与坐标原点O 重合，点()2,5A -，则点C 的坐标为（ ）A ．()5,2-B ．()2,5-C ．()2,5D ．()2,5--9．已知点()2,4P a a --关于原点对称的点在第三象限，则a 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．在如图所示的单位正方形网格中，ABC 经过平移后得到111A B C △，已知在AC 上一点()2.4,2P 平移后的对应点为1P ，点1P 绕点O 逆时针旋转180°，得到对应点2P ，则2P 点的坐标为（ ）A ．()1.6,1--B ．()1, 1.6--C ．()1.6,1D ．()1, 1.6-二、填空题11．若点P （a －1，5）与点Q （5，1－b ）关于原点成中心对称，则a ＋b ＝___． 12．如图，在ABC 中，△C ＝90°，点D 、E 分别在AC 、BC 上，△CDE ＝45°，ECD 绕点D 顺时针旋转x 度（45<x <180）到11E C D △，则1BEE ∠等于______度．（用含x 的代数式表示）13．如图，AB =BC =CD ，AB △BC ，△BCD =30°，则△BAD =________°．14．如图，ABC 中，AB =2AC =，30BAC ∠=︒．将ABC 绕点A 逆时针旋转60°，得到ADE ，连接BE ，则BE =______．15．如图，BD 为ABCD 的对角线，点P 为ABD △内一点，连接PA 、PB 、PC 、PD ，若ABP △和BCP 的面积分别为3和13，则BDP △的面积为_________．16．如图，在直角坐标平面内，△ABC 的顶点()1,0A -，点B 与点A 关于原点对称，AB ＝BC ，△CAB ＝30°，将△ABC 绕点C 旋转，使点A 落在x 轴上的点D 处，点B 落在点E 处，那么BE 所在直线的解析式为______．17．如图，在矩形ABCD 中，AB =6BC =，点E 是直线BC 上的一个动点，连接DE ，将线段DE 绕着点D 顺时针旋转120︒得到线段DG ，连接AG ，则线段AG 的最小值为_________．18．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为()1,0，(，将OAB 绕原点O 顺时针旋转60°再将其各边都扩大为原来的2倍，使得12OA OA =，12OB OB =，得到11OA B ．将11OA B 绕原点顺时针旋转60°再将其各边都扩大为原来的2倍，使得212OA OA =，212OB OB =，得到22OA B △，…，如此继续下去，得到20222022OA B △，则点2022A 的坐标是______．三、解答题19．已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A （－5，0）、B （－2，3）、C （－1，0）．(1)画出△ABC 关于坐标原点O 成中心对称的△A ′B ′C ′；(2)将△ABC 绕坐标原点O 顺时针旋转90°，画出对应的△A ′′B ′′C ′′；(3)若以A ′、B ′、C ′、D ′为顶点的四边形为平行四边形，则在第四象限中的点D ′坐标为 ．20．如图，点D 在等边三角形ABC 的边BC 上，将△ABD 绕点A 旋转，使得旋转后点B 的对应点为点C ．小明是这样做的：如图，过点C 画BA 的平行线l ，在l 上取CE BD =，连接AE ，则△ACE 即为旋转后的图形．你能说明小明这样做的道理吗？21．已知：如图，在△ABC中，△BAC=120°，以BC为边向形外作等边三角形BCD，把△ABD绕着点D按顺时针方向旋转60°后得到△ECD，且A、C、E三点共线，若AB=3，AC=2，求△BAD的度数与AD的长．22．如图，ABC为等边三角形，点P是线段AC上一动点（点P不与A，C重合），连接BP，过点A作直线BP的垂线段，垂足为点D，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接DE，CE(1) 求证：BD＝CE(2) 延长ED交BC于点F，△ 求△CED的度数；△ 求证：F为BC的中点23．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别相交于A（6，0）、B（0，2）两点．(1) 直接写出直线AB 的关系式为 ．(2) 点C 为y 轴上的一点，当BC ＝AC 时，求△ABC 的周长；(3) 点D 为x 轴上的一点，将线段DB 绕着点D 旋转90°得到DE ，若点E 恰好落在直线AB 上，求满足条件的其中一个点E 的坐标，并直接写出满足条件的其余点E 的坐标，24．【性质探究】（1）如图1，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，AB ＝AC ，点D 在斜边BC 上，将△ABD 绕点A 逆时针旋转90°得到△ACE ．△直线BD 与CE 的位置关系为______；△若点F 为BE 的中点，连接AF ，请探究线段AF 与CD 的数量关系，并给予证明．【拓展应用】（2）如图2，已知点E是正方形ABCD的边BC上任意一点，以AE为边作正方形AEFG，连接BG，点H为BG的中点，连接AH．若AB＝4，BE＝3，求AH的长．参考答案1．D【分析】根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．解：A，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B. 不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C. 不是中心对称图形，故此选项不符合题意；D.是中心对称图形，故选：D【点拨】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．2．C【分析】直接利用已知得出△AOC的度数，再利用旋转的性质得出对应边之间夹角，得出答案即可．解：△△AOB= 30°，△BOC = 10°，△△AOC=△AOB+△COB = 30°+ 10°= 40°△将△AOB绕着点O顺时针旋转，得到△COD，△最小旋转角为△AOC = 40°．故选：C．【点拨】此题主要考查了旋转的性质，正确得出△AOC的度数是解题关键．3．B【分析】根据旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，可得对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心．解：如图，连接BB'，AA'，可得其垂直平分线相交于点P，∴旋转中心是点P．故选：B ．【点拨】本题考查了旋转的性质，对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心，熟练掌握旋转中心的确定方法是解题的关键．4．D【分析】根据菱形的性质、旋转的性质，得到1OA OC O C '===、OB OC ⊥、O B O C '''⊥、BC B C '=，根据5AB '=，利用勾股定理计算O B ''，再次利用勾股定理计算B C '即可．解：△四边形ABCD 是菱形，且△BOC 绕着点C 旋转180°得到B O C ''，2AC =，△1OA OC O C '===，OB OC ⊥，BC B C '=，△O B O C '''⊥，213O A AC O C ''=+=+=，△5AB '=，△4O B ''==，△B C '==△BC B C '== ABCD故选：D ．【点拨】本题考查了菱形的性质、旋转的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的基本性质并灵活运用勾股定理是解题的关键．5．D【分析】根据旋转可知△CAB △△EAD ，△CAE =70°，结合△BAC =35°，可知△BAE =35°，则可证得△CAB △△EAB ，即可作答．解：根据旋转的性质可知△CAB △△EAD ，△CAE =70°，△△BAE =△CAE -△CAB =70°-35°=35°，AC =AE ，AB =AD ，BC =DE ，△ABC =△ADE ，故A 、B 错误，△△CAB =△EAB ，△AC =AE ，AB =AB ，△△CAB △△EAB ，△△EAB △△EAD△△BEA =△DEA ，△AE 平分△BED ，故D 正确，△AD +BE =AB +BE ＞AE =AC ，故C 错误，故选：D ．【点拨】本题考查了旋转的性质和全等三角形的判定与性质，求出△BAE =35°是解答本题的关键．6．D【分析】过点B 作BG △x 轴于G ，过点C 作CH △y 轴于H ，根据矩形的性质得到点C 的坐标，求出△COE =45°，OC C 作CE △x 轴于E ，过点C 1作C 1F △x 轴于F ，由旋转得△COC 1=75°，求出△C 1OF =30°，利用勾股定理求出OF ，即可得到答案．解：过点B 作BG △x 轴于G ，过点C 作CH △y 轴于H ，△四边形ABCD 是矩形，△AD =BC ，AB =CD ，AD ∥BC ，△CDA =△DAB =90°，△△HCD =△ADO =△BAG ，△△CHD =△BGA =90°，△△CHD △△AGB （AAS ），△1,0A ，()0,2D ，()5,2B ，△CH =AG =5-1=4，DH =BG =2，△OH =2+2=4，△C （4，4），△OE =CE =4，△△COE =45°，OC如图，过点C 作CE △x 轴于E ，过点C 1作C 1F △x 轴于F ，由旋转得△COC 1=75°，△△C 1OF =30°，△C 1F =12OC 1=12OC ，△OF =△点C 1的坐标为(-，故选：D ．【点拨】此题考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，直角三角形30度角的性质，熟记各知识点并综合应用是解题的关键．7．A【分析】设AC 与BC '的交点为点O ，连接CC '，先利用勾股定理、旋转的性质可得2,60AC AC CAC ''==∠=︒，再根据等边三角形的判定与性质可得AC CC ''=，然后根据垂直平分线的判定与性质可得12,2OA AC OA BC '==⊥，最后利用勾股定理分别可得2,OB OC '==解：如图，设AC 与BC '的交点为点O ，连接CC '，90,ABC AB BC ∠=︒==2AC ∴，由旋转的性质得：2,60AC AC CAC ''==∠=︒，ACC '∴是等边三角形，AC CC ''∴=，BC '∴是线段AC 的垂直平分线，11,2OA AC OA BC '∴==⊥，在Rt AOB 中，1OB ==，在Rt AOC '△中，OC '，则1BC OB OC ''=+=故选：A ．【点拨】本题考查了勾股定理、旋转的性质、等边三角形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质等知识点，通过作辅助线，构造等边三角形是解题关键．8．B【分析】根据菱形的中心对称性，A 、C 坐标关于原点对称，利用横反纵也反的口诀求解即可． 解：△菱形是中心对称图形，且对称中心为原点，△A 、C 坐标关于原点对称，△C 的坐标为()2,5-，故选C ． 【点拨】本题考查了菱形的中心对称性质，原点对称，熟练掌握菱形的性质，关于原点对称点的坐标特点是解题的关键．9．D【分析】根据点P(a−2,4−a)关于原点对称的点在第三象限，可得点P在第一象限，因此就可列出不等式，解不等式可得a的取值范围．解：△点P(a−2,4−a)关于原点对称的点在第三象限，△点P在第一象限，△20 40aa-⎧⎨-⎩＞＞，△24＜＜a，则a的取值范围在数轴上表示正确的是：故选：D．【点拨】本题主要考查不等式组的解法，根据不等式组的解集，在数轴上表示即可，关键在于点P的坐标所在的象限．10．C【分析】根据平移的性质得出，△ABC的平移方向以及平移距离，即可得出P1坐标，进而利用中心对称图形的性质得出P2点的坐标．解：△A点坐标为：（2，4），A1（﹣2，1），△点P（2.4，2）平移后的对应点P1为：（﹣1.6，﹣1），△点P1绕点O逆时针旋转180°，得到对应点P2，△P2点的坐标为：（1.6，1）．故选：C．【点拨】此题主要考查了旋转的性质以及平移的性质，根据已知得出平移距离是解题关键．11．2【分析】根据关于原点对称的性质得到a-1+5=0，5+1-b=0，求出a、b，问题得解．解：△点P （a －1，5）与点Q （5，1－b ）关于原点成中心对称，△a -1+5=0，5+1-b =0，△a =-4，b =6，△a +b =2．故答案为：2【点拨】本题考查了关于原点对称的点的坐标特点，熟知“两个点关于原点对称，则这两个点的横纵坐标都互为相反数”是解题关键．12．452x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 【分析】根据旋转的性质可得1DE DE =，1EDE x ∠=，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出1E ED ∠和△CED 即可解决问题．解：如图，由旋转的性质可得：1DE DE =，1EDE x ∠=， △11809022x x E ED ︒-∠==︒-， △△C ＝90°，△CDE ＝45°，△△CED ＝45°， △1118018090454522x x BEE E ED CED ⎛⎫⎛⎫∠=︒-∠-∠=︒-︒--︒=+︒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故答案为：452x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．【点拨】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，灵活运用各性质进行推理计算是解题的关键．13．15【分析】把CD 绕着点C 逆时针旋转60°到达CE 的位置，连接CE ，DE ，BE ，可得△CDE 是等边三角形，从而得到DE =CD =CE ，△DEC =60°，再由△BCD =30°，可得BC △DE ，然后根据AB =BC =CD ，可得BC =CE ，AB =DE ，从而得到()1180752BEC BCE ∠=︒-∠=︒，进而得到△BED =15°，再证得四边形ABED 是平行四边形，即可求解．解：如图，把CD 绕着点C 逆时针旋转60°到达CE 的位置，连接CE ，DE ，BE ，△△DCE =60°，CD =CE ，△△CDE 是等边三角形，△DE =CD =CE ，△DEC =60°，△△BCD =30°，△△BCE =30°，△△BCD =△BCE ，△BC △DE ，△AB =BC =CD ，△BC =CE ，AB =DE ， △()1180752BEC BCE ∠=︒-∠=︒， △△BED =△BEC -△DEC =15°，△AB △BC ，△AB △DE ，△四边形ABED 是平行四边形，△△BAD =△BED =15°．故答案为：15【点拨】本题主要考查了图形的旋转，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握图形的旋转，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质是解题的关键．14．3【分析】根据旋转的性质得出△CAE =60°，AC =AE =2，求出△BAE =90°，根据勾股定理求出即可．解：△将△ABC 绕点A 逆时针旋转60°得到△ADE ，AB =2AC = ，△60,CAE AC =AE =2，△△BAC =30°，△△BAE =30°+60°=90°，在Rt △BAE 中， 由勾股定理得：2222523,BEAB AE 故答案为：3．【点拨】本题考查了旋转的性质和勾股定理，能求出AE 的长度和求出△BAE 的度数是解此题的关键．15．10 【分析】由平行四边形和三角形的面积公式及平行四边形的性质可以得到BDP BCP ABP S S S =-,把已知ABP △和BCP 的面积分别为3和13代入计算即可得到答案． 解：由平行四边形和三角形的面积公式易得12ADP BCP ABCD SS S +=， 由平行四边形的性质可得12ABD ABCD SS =， △12ADP ABP BDP ABCD SS S S ++=， △BCP ABP BDP SS S =+， △13310BDP BCP ABP S S S =-=-=,故答案为10．【点拨】本题考查平行四边形的应用,熟练掌握平行四边形和三角形的面积公式及平行四边形的中心对称性是解题关键．16．y =【分析】如图，过点C 作CF △x 轴于点F ，根据关于原点对称的点的坐标特征可得点B 坐标，根据等腰三角形的性质可得AB ＝BC =2，利用外角性质可得△CBF =60°，利用含30°角的直角三角形的性质及勾股定理可得CF 、BF 的长，利用旋转的性质可得AB ＝CE ＝2，AC =CD ，△ECD =△ACB =30°，根据等腰三角形的性质可得△CDA =△CAD=30°，可得CE //AD ，可得点E 坐标，利用待定系数法即可得答案．解：如图，过点C 作CF △x 轴于点F ，△△ABC 的顶点()1,0A -，点B 与点A 关于原点对称，△()10B ,， △AB ＝BC =2．△△CAB ＝30°，△△ACB =△CAB =30°，△△CBF =△CAB +△ACB =60°，△BCF =30°，△BF =12BC =1，CF=△(C ．△将△ABC 绕点C 旋转，使点A 落在x 轴上的点D 处，点B 落在点E 处，△AB ＝CE ＝2，AC =CD ，△CDA =△CAD=30°，△ECD =△ACB =30°，△CE //AD ，△(E ．设直线BE 的解析式为()0y kx b k =+≠，△04k b k b +=⎧⎪⎨+⎪⎩解得：k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩△BE所在直线的解析式为：y ．故答案为：y =【点拨】本题考查关于原点对称的点的坐标特征，旋转的性质、等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理，30°角所对的直角边等于斜边的一半；图形旋转前后的对应边相等、对应角相等；熟练掌握相关性质及定理是解题关键．17【分析】将线段DC 绕点D 顺时针旋转120︒得到线段DC '，作直线GC '交AD 于K ，过点A 作AH GC '⊥于点H ．当点E 在直线BC 上运动时，G 在直线GC '上运动，即点G 的运动轨迹是直线GC '．当点G 运动到H 时，AG 最小，最小值即为AH 的长度，利用旋转的性质，根据“边角边”的判定方法可证明DCE DC G '≌△△，进而利用全等三角形的性质以及旋转性质可求出AG 的最小值．解：如图所示，将线段DC 绕点D 顺时针旋转120︒得到线段DC '，作直线GC '交AD 于K ，过点A 作AH GC '⊥于点H ．120,,,EDC EDC GDC CD C D DE DG '''∠=︒-∠=∠==DCE DC G '∴≌△△（SAS ）90,GC D C KC D ''∴∠=∠=︒=∠如图所示，当点E 在直线BC 上运动时，G 在直线GC '上运动，即点G 的运动轨迹是直线GC '．∴当点G 运动到H 时，AG 最小，最小值即为AH 的长度．120,90,CDC CDA '∠=︒∠=︒30,KDC '∴∠=︒1,602C K DK C KD AKH ''∴=∠=︒=∠C D CD AB '===2,4C K DK '∴==6AD BC ==2AK AD DK ∴=-=在Rt AKH 中，60AKH ∠=︒11,2KH AK AH ∴===则线段AG【点拨】本题主要考查了矩形中的旋转变换，能够掌握旋转的性质以及正确作出辅助线找到点G 的轨迹是解决本题的关键．18．（22022，0）【分析】根据图形可知：首先△OAB 绕原点O 顺时针方向旋转60°，旋转6次后，正好旋转一周，规律是6次一循环，其次根据将其各边都扩大为原来的2倍，依此类推，得到OAn ＝2n ，进而得出答案．解：如图，1,0，(，△点A，B的坐标分别为()△OAB=90°，△OA=1，AB△△OBA=30°，△△AOB＝60°，△每一次旋转角是60°，△旋转6次后，正好旋转一周，点A6在x轴的正半轴上，△2022÷6＝337，△点A2022在x轴的正半轴上；△每次旋转后OA1＝2OA，OB1＝2OB，OA2＝2OA1，OB2＝2OB1，…△OA1＝2＝2，OA2＝2OA1＝2×2＝22，OA3＝2OA2＝2×22＝23，…依此类推，OAn＝2n，当n＝2022时，OA2022＝22022，△点A2022在x轴的正半轴上，△点A2022的坐标是（22022，0）．故答案为：（22022，0）．【点拨】本题主要考查了旋转的性质、含30°锐角的直角三角形的性质、勾股定理、坐标与图形性质、规律型、点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考常考题型．19．(1)见分析(2)见分析(3)（6，－2）【分析】（1）根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答；（2）根据网格结构找出点A、B、C绕坐标原点O顺时针旋转90°的点A″、B″、C″的坐标，然后顺次连接即可；（3）根据平行四边形的对边平行且相等解答．(1)如图所示，△A′B′C′就是求作的图形；(2)如图所示，△A′′B′′C′′就是求作的三角形；(3)如图所示，点D′坐标为（6，－2）；【点拨】本题考查了利用旋转变换作图，平行四边形的性质，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．20．能，见分析【分析】直接利用等边三角形的性质结合全等三角形的判定方法进而得出答案．解：能．理由：△△ABC 为等边三角形，△60B BAC ∠=∠=，AC AB =．△//CE AB ，△60ACE BAC ∠=∠=，在△ABD 和△ACE 中，AB AC B ACE BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△()ABD ACE SAS ∆≅∆△AD AE =，BAD CAE ∠=∠，△60DAE BAC ∠=∠=，△△ACE 即为旋转后的图形．【点拨】本题主要考查了旋转变换以及全等三角形的判定，正确应用等边三角形的性质是解题关键．21．△BAD =60°，AD 的长为5．【分析】由旋转的性质可得出△ADE =60°、DA =DE ，进而可得出△ADE 为等边三角形以及△DAE =60°，由点A 、C 、E 在一条直线上可得出△BAD =△BAC -△DAE =60°；由点A 、C 、E 在一条直线上可得出AE =AC +CE ，根据旋转的性质可得出CE =AB ，结合AB =3、AC =2可得出AE 的长度，再根据等边三角形的性质即可得出AD 的长度．解：△△ABD 绕着点D 按顺时针方向旋转60°后得到△ECD ，△△ADE =60°，DA =DE ，△△ADE 为等边三角形，△△DAE =60°．△点A 、C 、E 在一条直线上，△△BAD =△BAC -△DAE =120°-60°=60°．△点A 、C 、E 在一条直线上，△AE =AC +CE ．△△ABD 绕着点D 按顺时针方向旋转60°后得到△ECD ，△CE =AB ，△AE =AC +AB =2+3=5．△△ADE 为等边三角形，△AD =AE =5．【点拨】本题考查了旋转的性质以及等边三角形的判定与性质，根据旋转的性质结合旋转角度为60°找出△ADE 为等边三角形是解题的关键．22．(1)见详解(2)△△DEC =30°；△见详解【分析】（1）由等边三角形的性质和旋转的性质可得△BAD =△CAE ，AB =AC ，AD =AE ，再利用SAS 可证△BAD △△CAE ，可得BD =CE ；（2）△根据AD △BD ，得出△ADB =90°，根据△BAD △△CAE ，得出△ADB =△AEC =90°，根据△AED =60°，利用图中角度计算即可；△过点C 作CG △BP ，交EF 的延长线于点G ，由等边三角形的性质和全等三角形的性质可得CG =BD ，△BDG =△G ，△BFD =△GFC ，可证△BFD △△CFG ，可得结论；(1)证明：△线段AD 绕点A 逆时针旋转60°得到线段AE ，△AD =AE ，△DAE =60°，△△ADE 是等边三角形，在等边△ABC 和等边△ADE 中，△ AB =AC ，AD =AE ，△BAD +△DAC =△CAE +△DAC =60°，△△BAD =△CAE ，在△BAD 和△CAE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， △△BAD △△CAE （SAS ），△BD =CE ；(2)解：△△AD △BD ，△△ADB =90°，△△BAD △△CAE△△ADB =△AEC =90°，△△AED =60°，△△DEC =△AEC -△AED =90°-60°=30°，△如图，过点C 作CG △BP 交DF 的延长线于点G ，△△G =△BDF ，由（1）可知，BD =CE ，△CEA =△BDA ，△AD △BP ，△△BDA =90°，△△CEA =90°，△△AED =60°，△△BDG =180°-△ADB -△ADE =30°，△△CED =△G =△BDG =30°，△CE =CG ，△BD =CG ，在△BDF 和△CGF 中，BDF G BFD CFG BD CG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△BDF △△CGF （AAS ），△BF =FC ，即F 为BC 的中点．【点拨】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．23．(1)123y x =-+(2)20(3)点E 的坐标为(6,4)-或(3,1)【分析】（1）用待定系数法即可得直线AB 解析式，（2）由(6,0)A 、(0,2)B ，得AB =，设(0,)C m ，由BC AC =，可得22(2)36m m -=+，解得8m =-，即可得10BC =，10AC =，从而可得ABC ∆的周长为20AB BC AC ++=；（3）当D 在B 左侧时，过E 作EH x ⊥轴于H ，设OD n =，根据将线段DB 绕着点D 旋转90︒得到DE ，可得()EDH DBO AAS ∆≅∆，从而可得(2,)E n n --，把(2,)E n n --代入123y x =-+即可得(6,4)E -，当D 在B 右侧时，同理可得(3,1)E '，即可得答案．(1)解：设直线AB 解析式为y kx b =+，把(6,0)A 、(0,2)B 代入得：602k b b +=⎧⎨=⎩， 解得132k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线AB 解析式为123y x =-+， 故答案为：123y x =-+； (2)解：(6,0)A 、(0,2)B ，AB ∴=设(0,)C m ，则22(2)BC m =-，2236AC m =+，BC AC =，22(2)36m m ∴-=+，解得8m =-，22(82)100BC ∴=--=，2236(8)100AC =+-=，10BC ∴=，10AC =，ABC ∴∆的周长为101020AB BC AC ++=+=；(3)解：当D 在B 左侧时，过E 作EH x ⊥轴于H ，如图：设OD n =，将线段DB 绕着点D 旋转90︒得到DE ，90EDB ∴∠=︒，ED BD =，90EDH BDO DBO ∴∠=︒-∠=∠，90EHD DOB ∠=︒=∠，EDH DBO ∴∆∆≌（AAS ），2HD OB ∴==，HE OD n ==，2OH n ∴=+，(2,)E n n ∴--，把(2,)E n n --代入123y x =-+得： 1(2)23n n =---+， 解得4n =，(6,4)E ∴-，当D 在B 右侧时，同理可得(3,1)E '，综上所述，E 的坐标为(6,4)-或(3,1)．【点拨】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形周长，全等三角形判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．24．（1）△BD BC ⊥；△12AF CD =，证明见分析；（2 【分析】（1）△先证明△BAD =△CAE ，△ABC =△ACB =45°， 再证明△BAD △△CAE ，利用全等三角形的性质可得结论；△ 延长BA 至点G ，使AG ＝AB ，连接GE ，证明△ADC △△AEG ，可得CD ＝GE ．延长F A 至点Q ，使AQ ＝AF ，连接GQ ，证明△ABF △△AGQ ，可得△BF A ＝△GQA ，BF ＝GQ ，证明四边形EFQG 是平行四边形，可得QF ＝GE ．从而可得结论；（2）如图，连接DE ､DG ，证明△BAE △△DAG ，△DAG 可以由△BAE 绕点A 逆时针旋转90°得到．可得CE ＝1，CD ＝4．17,DE 延长AB 至N ，使AN =AB ，连接NG ，延长HA 至Q ，使AQ =AH ，连接NQ ，同理：由（1）中△可知12AH DE =，从而可得答案． 解：（1）△△将△ABD 绕点A 逆时针旋转90°得到△ACE ，△△DAE ＝△BAC ＝90°，AE ＝AD ，AC ＝AB△△BAD =△CAE ，△ABC =△ACB =45°，在△BAD 和△CAE 中，BA CABADCAE AD AE ，△△BAD △△CAE ，△△ABC =△ACE =45°，△△BCE =45°+45°=90°， 即BD CE ⊥ △12AF CD =，理由如下： 延长BA 至点G ，使AG ＝AB ，连接GE ，△将△ABD 绕点A 逆时针旋转90°得到△ACE ，△△DAE ＝△BAC ＝90°，AE ＝AD ，AC ＝AB ＝AG ，又△DAC =90°－△CAE =△GAE ，△△ADC △△AEG ，△CD ＝GE ．延长F A 至点Q ，使AQ ＝AF ，连接GQ ，△AG ＝AB ，△BAF ＝△GAQ ，△△ABF △△AGQ ，△△BF A ＝△GQA ，BF ＝GQ ，△BE GQ ∥，即EF GQ ∥．△点F 为BE 的中点，△EF ＝BF ＝GQ ，△四边形EFQG 是平行四边形，△QF ＝GE ．△12AF QF =，CD ＝GE ， △12AF CD =． （2）如图，连接DE ､DG ，△四边形ABCD 和四边形AEFG 为正方形，△AB ＝AD=BC=CD ，AE ＝AG ，△BAD ＝△EAG ＝90°，又△BAE ＝90°－△EAD ＝△DAG ，△△BAE △△DAG ，△△DAG 可以由△BAE 绕点A 逆时针旋转90°得到．△AB ＝4，BE ＝3，△CE ＝1，CD ＝4． 221417,DE延长AB 至N ，使AN =AB ，连接NG ，延长HA 至Q ，使AQ =AH ，连接NQ ，同理：由（1）中△可知12AH DE =，△12AH DE ==． 【点拨】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理的应用，旋转的性质，作出合适的辅助线，构建全等三角形与平行四边形是解本题的关键．。

中考数学复习《旋转知识点梳理+过关练习》）专题复习讲义一．知识点回顾1.定义:在平面内,将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度,图形的这种变化称为旋转,这个定点称为旋转中心,转动的角度称为旋转角.2.性质:(1)旋转不改变图形的形状与大小,旋转前、后的图形全等.(2)一个图形和它经过旋转所得到的图形中,对应点到旋转中心的距离⑧,任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于⑨;对应线段相等,对应角相等.二．规律总结：(1)确定旋转中心的方法:旋转中心是对应点所连线段的垂直平分线的交点.(2)旋转作图的方法步骤:①连点:将原图中的一个关键点与旋转中心连接;②转角:将①中所连接的线段绕旋转中心按指定的方向旋转一个角度,得到这个关键点的对应点;③连接:重复①②,将原图中所有关键点的对应点找出来,再按原图中的顺序,依次连接成图.三．过关练习1.下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是()2.如图,在平面直角坐标系中,已知菱形OABC的顶点A(1,2),B(3,3).作菱形OABC 关于y轴的对称图形OA'B'C',再作图形OA'B'C'关于点O的中心对称图形OA″B″C″,则点C的对应点C″的坐标是()A.(2,-1)B.(1,-2)C.(-2,1)D.(-2,-1)3.把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合,则这个旋转角度至少为()A.30°B.90°C.120°D.180°4.如图,点E是正方形ABCD的边DC上一点,把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置.若四边形AECF的面积为20,DE=2,则AE的长为()A.4B.2√5C.6D.2√65.在平面直角坐标系中,点A的坐标为(1,√ 3 ),以原点为中心,将点A顺时针旋转30°得到点A',则点A'的坐标为()A.(√3,1)B.(√3,-1)C.(2,1)D.(0,2)6.如图,在平面直角坐标系中,点B在第一象限,点A在x轴的正半轴上,∠AOB=∠B=30°,OA=2,将△AOB绕点O逆时针旋转90°,点B的对应点B'的坐标是()A.(-1,2+√3)B.(-√3,3)C.(-√3,2+√3)D.(-3,√3)7. 如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，图中阴影部分的面积为（）A. B. C.1﹣ D.1﹣8.如图,P为等边三角形ABC内的一点,且点P到三个顶点A,B,C的距离分别为3,4,5,则△ABC的面积为 ()A.9+254√3 B.9+252√3 C.18+25√3 D.18+252√39.如图,直线a,b垂直相交于点O,曲线C关于点O成中心对称,点A的对称点是点A',AB⊥a于点B,A'D⊥b于点 D.若OB=3,AB=2,则阴影部分的面积之和为.10.在如图所示的方格纸(1格长为1个单位长度)中,△ABC的顶点都在格点上,将△ABC绕点O按顺时针方向旋转得到△A'B'C',使各顶点仍在格点上,则其旋转角的度数是.11.如图,Rt△OCB的斜边在y轴上,OC=√3,含30°角的顶点与原点重合,直角顶点C在第二象限,将Rt△OCB绕原点顺时针旋转120°后得到△OC'B',则B点的对应点B'的坐标是.x+4与x轴、y轴分别交于A,B两点,△AOB绕点A顺时针旋12. 如图,直线y=-43转90°后得到△AO′B′,则点B的对应点B′的坐标为 .13.如图,将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A'B'C,其中点A'与A是对应点,点B'与B是对应点,点B'落在边AC上,连接A'B,若∠ACB=45°,AC=3,BC=2,则A'B 的长为.14. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，△A′B′C可以由△ABC绕点C顺时针旋转得到，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点，连接AB′，且A、B′、A′在同一条直线上，则AA′的长为________．15. 如图，王虎使一长为4 cm，宽为3 cm的长方形木板，在桌面上做无滑动地翻滚（顺时针方向）,木板上点A位置变化为A→A1→A2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成30°角，则点A翻滚到A2位置时共走过的路径长为_______.16. 如图，在8×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在小正方形的顶点上．（1）在图1中画△ABD（点D在小正方形的顶点上），使△ABD的周长等于△ABC的周长，且以A、B、C、D为顶点的四边形是轴对称图形．（2）在图2中画△ABE（点E在小正方形的顶点上），使△ABE的周长等于△ABC的周长，且以A、B、C、E为顶点的四边形是中心对称图形，并直接写出该四边形的面积．17. 如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA=5，PB=12，PC=13，若将△PAC 绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，求点P与点P′之间的距离及∠APB的度数．18.如图,△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°.(1)如图1,连接BE,CD,BE的延长线交AC于点F,交CD于点P,求证:BP⊥CD;(2)如图2,把△ADE绕点A顺时针旋转,当点D落在AB上时,连接BE,CD,CD的延长线交BE于点P,若BC=6√ 2 ,AD=3,求△PDE的面积.19. 如图,△ABC和△CEF是两个大小不等的等边三角形,且有一个公共顶点C,连接AF和BE.(1)线段AF和BE有怎样的大小关系?请证明你的结论.(2)将图a中的△CEF绕点C旋转一定的角度,得到图b,(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由.(3)若将图a中的△ABC绕点C旋转一定的角度,请你画出一个变换后的图形(草图即可),(1)中的结论还成立吗?(作出判断不必说明理由)(4)根据以上证明、说理、画图,归纳你的发现.20. 如图①,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=60°,D为BC边上一点(不与点B,C重合),将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE,连接EC,则:(1)①∠ACE的度数是________;②线段AC,CD,CE之间的数量关系是________.(2)如图②,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D为BC边上一点(不与点B,C重合),将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE,连接EC,请判断线段AC,CD,CE之间的数量关系,并说明理由;(3)如图②,AC与DE交于点F,在(2)条件下,若AC=8,求AF的最小值.。

新人教版九年级上册初中数学重难点有效突破知识点梳理及重点题型巩固练习《旋转》全章复习与巩固（提高）知识讲解【学习目标】1、通过具体实例认识旋转，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质．2、通过具体实例认识中心对称，探索它的基本性质，理解对应点所连线段被对称中心平分的性质，了解平行四边形、圆是中心对称图形．3、能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形，欣赏旋转在现实生活中的应用．4、探索图形之间的变化关系（轴对称、平移、旋转及其组合），灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计．【知识网络】【要点梳理】要点一、旋转1.旋转的概念：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转..点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角(如∠AO A′),如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点.要点诠释：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.2.旋转的性质: (1)对应点到旋转中心的距离相等（OA= OA′）；(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；(3)旋转前、后的图形全等(△ABC≌△A B C''').要点诠释：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.3.旋转的作图:在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．要点诠释：作图的步骤：(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；(2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；(4)连接所得到的各对应点.要点二、特殊的旋转—中心对称1.中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．要点诠释：（1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；（2）位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合 (全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的) .2.中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．要点诠释：(1)中心对称图形指的是一个图形；（2）线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形.要点三、平移、轴对称、旋转平移、轴对称、旋转之间的对比平移轴对称旋转相同点都是全等变换（合同变换），即变换前后的图形全等．不同点定义把一个图形沿某一方向移动一定距离的图形变换．把一个图形沿着某一条直线折叠的图形变换．把一个图形绕着某一定点转动一个角度的图形变换．图形要素平移方向平移距离对称轴旋转中心、旋转方向、旋转角度性质连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．任意一对对应点所连线段被对称轴垂直平分．对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角．对应线段平行（或共线）且相等．任意一对对应点所连线段被对称轴垂直平分．*对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即：对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等．【典型例题】类型一、旋转1．如图1，ΔACB与ΔADE都是等腰直角三角形，∠ACB 和∠ADE都是直角，点C在AE上，如果ΔACB经逆时针旋转后能与ΔADE重合.①请指出其旋转中心与旋转角度；②用图1作为基本图形，经过怎样的旋转可以得到图2？【答案与解析】①旋转中心：点A；旋转角度：45°（逆时针旋转）②以点A为旋转中心，将图1顺时针（或逆时针）旋转90°三次得到图2.【总结升华】此类题型要把握好旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.举一反三：【变式】如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△DEF为等边三角形，AB=DE，点B、C、D在x轴上，点A、E、F在y轴上，下面判断正确的是（）A．△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转90°得到的.B．△DEF是△ABC绕点O逆时针旋转90°得到的.C．△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转60°得到的.D．△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转120°得到的.【答案】A.类型二、中心对称2. 如图，△ABC中A(-2，3)，B(-3，1)，C(-1，2)．⑴将△ABC向右平移4个单位长度，画出平移后的△A1B1C1；⑵画出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2；⑶画出△ABC关于原点O对称的△A3B3C3；⑷在△A1B1C1，△A2B2C2，△A3B3C3中，△______与△______成轴对称，对称轴是______；△______与△______成中心对称，对称中心的坐标是______．【答案与解析】⑷△A2B2C2与△A3B3C3成轴对称，对称轴是y轴．△A3B3C3与△A1B1C1成中心对称，对称中心的坐标是(2，0)．【总结升华】注意观察中心对称和旋转对称的关系.举一反三：【变式】如图是正方形网格，请在其中选取一个白色的单位正方形并涂黑，使图中黑色部分是一个中心对称图形．【答案】类型三、平移、轴对称、旋转【: 388636：经典例题2-3】3.（2015•北京校级模拟）如图所示，△ABC，△ADE为等腰直角三角形，∠ACB=∠AED=90°．（1）如图1，点E在AB上，点D与C重合，F为线段BD的中点．则线段EF与FC的数量关系是；∠EFD的度数为；（2）如图2，在图1的基础上，将△ADE绕A点顺时针旋转到如图2的位置，其中D、A、C在一条直线上，F为线段BD的中点．则线段EF与FC是否存在某种确定的数量关系和位置关系？证明你的结论；（3）若△ADE绕A点任意旋转一个角度到如图③的位置，F为线段BD的中点，连接EF、FC，请你完成图3，并直接写出线段EF与FC的关系（无需证明）．【思路点拨】（1）易得△EFC是等腰直角三角形，那么EF=FC，∠EFD=90°．（2）延长线段CF到M，使CF=FM，连接DM、ME、EC，易证△BFC≌△DFM，进而可以证明△MDE≌△CAE，即可证明EF=FC，EF⊥FC；（3）基本方法同（2）．【答案与解析】解：（1）EF=FC，90°．（2）延长CF到M，使CF=FM，连接DM、ME、EC，如下图2∵FC=FM，∠BFC=∠DFM，DF=FB，∴△BFC≌△DFM，∴DM=BC，∠MDB=∠FBC，∴MD=AC，MD∥BC，∵ED=EA，∠MDE=∠EAC=135°，∴△MDE≌△CAE，∴ME=EC，∠DEM=∠CEA，∴∠MEC=90°，∴EF=FC，EF⊥FC（3）图形如下，结论为：EF=FC，EF⊥FC．【总结升华】延长过三角形的中线构造全等三角形是常用的辅助线方法，证明线段相等的问题可以转化为证明三角形全等的问题解决．举一反三：【变式】如图，△ABC 中，∠BAC=90°，AC=2，AB=23，△ACD 是等边三角形． （1）求∠ABC 的度数．（2）以点A 为中心，把△ABD 顺时针旋转60°，画出旋转后的图形． （3）求BD 的长度．【答案】（1）Rt △ABC 中，AC=2，AB=23, ∴BC=4， ∴∠ABC=30° （2）如图所示：（3）连接BE ．由（2）知：△ACE ≌△ADB ， ∴AE=AB ，∠BAE=60°，BD=EC ， ∴BE=AE=AB=23，∠EBA=60°， ∴∠EBC=90°， 又BC=2AC=4，∴Rt △EBC 中，EC=2223+4=27（）4.（2015•东西湖区校级模拟）如图，Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点E在线段AB上，CF⊥CE，CE=CF，EF交AC于G，连接AF．（1）填空：线段BE、AF的数量关系为，位置关系为；（2）当=时，求证：=2；（3）若当=n时，=，请直接写出n的值．【思路点拨】（1）在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CF⊥CE，可推出∠ECB=∠ACF，且CE=CF，由此可得△ECB≌△FCA，即得BE=AF，∠CBE=∠CAF，且∠CBE+∠CAB=90°，故∠CAF+∠CAB=90°，即BE⊥AF；（2）作GM⊥AB于M，GN⊥AF于N，可得出GM=GN，从而有S△AEG=2S△AFG，即证=2；（3）根据（2）的推理过程，知S△AEG=nS△AFG，则，即可求得n的值．【答案与解析】（1）解：∵∠ACB=90°，CF⊥CE，∴∠ECB=∠ACF．又AC=BC，CE=CF，∴△ECB≌△FCA．∴BE=AF，∠CBE=∠CAF，又∠CBE+∠CAB=90°，∴∠CAF+∠CAB=90°，即BE=AF，BE⊥AF．（2）证明：作GM⊥AB于M，GN⊥AF于N，∵△ACF可由△BCE绕点C顺时针方向旋转90°而得到，∴AF=BE，∠CAF=∠CBE=45°．∴AE=2AF，∠CAF=∠CAB，∴GM=GN．∴S△AEG=2S△AFG，∴EG=2GF，∴=2．（3）解：由（2），得当=n时，S△AEG=nS△AFG，则， ∴当n=时，=．【总结升华】此题综合运用了全等三角形的判定和性质、旋转的性质，能够从特殊推广到一般发现规律． 【:388636：经典例题4-5】5.已知：点P 是正方形ABCD 内的一点，连结PA 、PB 、PC ，（1）若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC 的长.(2)若2222PB PC PA =+，请说明点P 必在对角线AC 上.【思路点拨】通过旋转，把PA 、PB 、PC 或关联的线段集中到同一个三角形，再根据两边的平方和等于第三边求证直角三角形，可以求解∠APD ． 【答案与解析】(1)∵AB=BC,∠ABC=90°，∴△CBP 绕点B 逆时针旋转90°，得到△ABE, ∵BC=BA,BP=BE,∠CBP=∠ABE ∴△CBP ≌△ABE ∴AE=PC∵BE=BP,∠PBE=90°，PB=4 ∴∠BPE=45°，PE=42 又∵∠APB=135° ∴∠APE=90° ∴222AE AP EP =+ 即AE=6, 所以PC=6.(2)由（1）证得：PE=2BP,PC=AE ∵2222PB PC PA =+ ∴222PA AE PE += ∴∠PAE=90° 即∠PAB+∠BAE=90°又∵由（1）证得∠BAE=∠BCP∴∠PAB+∠BCP=90又∵∠ABC=90°∴点A,P,C三点共线，即P必在对角线AC上.【总结升华】注意勾股定理及逆定理的灵活运用.举一反三：【变式】如图，在四边形ABCD中，AB=BC，，K为AB上一点，N为BC上一点.若的周长等于AB的2倍，求的度数.【答案】显然，绕点D顺时针方向旋转至6如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2），量得它们的斜边长为10cm，较小锐角为30°，再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，使点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合（在图3～图6中统一用F表示）小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决.⑴将图3中的△ABF沿BD向右平移到图4的位置，使点B与点F 重合，请你求出平移的距离；⑵将图3中的△ABF绕点F顺时针方向旋转30°到图5的位置，A1F交DE于点G，请你求出线段FG的长度；⑶将图3中的△ABF沿直线AF翻折到图6的位置，AB1交DE于点H，请证明：AH=DH.【答案与解析】⑴平移的距离为5cm（即）⑵⑶证明：在△AHE与△DHB1中∴△AHE≌△DHB1（AAS）∴AH=DH.【总结升华】注意平移和旋转综合运用时找出不变量是解题的关键.。