一次函数错题笔记

八年级数学下册第十九章一次函数考点大全笔记单选题1、在平面直角坐标系中，一次函数y＝x＋1的图象是( )A．B．C．D．答案：C分析：观察一次函数解析式，确定出k与b的符号，利用一次函数图象及性质判断即可．解：∵一次函数y=x+1，其中k=1>0，b=1>0，∴图象过一、二、三象限，故选C．小提示：此题主要考查一次函数图象的性质，熟练掌握一次函数图象的性质是解题的关键．2、若y=(2m+6)x|m|−2+9是一次函数，则（）A．m=1B．m=±3C．m=3D．m=−3答案：C分析：先根据一次函数的定义列出关于m的不等式组，求出m的值即可．解：∵函数y=(2m+6)x|m|−2+9是一次函数，∴|m|−2=1，且(2m+6)≠0．解得m=3．故选C ．小提示：本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y =kx +b 的定义条件是：k 、b 为常数，k ≠0，自变量次数为1．3、下列函数①y =−5x ；②y =−2x +1；③y =3x ；④y =12x −1；⑤y =x 2−1中，是一次函数的有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案：C分析：利用一次函数的定义进行判断即可选择．解：①是一次函数；②是一次函数；③是反比例函数；④是一次函数；⑤是二次函数，所以一次函数有3个．故选：C ．小提示：本题考查一次函数的定义，理解一次函数的定义是解题关键．4、已知关于x 的一次函数y ＝3x +n 的图象如图，则关于x 的一次方程3x +n ＝0的解是 （ ）A ．x =−2B ．x =−3C ．x =−32D ．x =−23 答案：D分析：根据函数的图象得出一次函数y =3x +n 与y 轴的交点坐标是（0，2），把坐标代入函数解析式，求出n ，再求出方程的解即可．从图象可知：一次函数y =3x +n 与y 轴的交点坐标是（0，2），代入函数解析式得：2=0+n ，解得：n =2，即y =3x +2，当y =0时，3x +2=0，解得：x =−23， 即关于x 的一次方程3x +n =0的解是x =−23， 故选：D ．小提示：本题考查了一次函数与一元一次方程，能求出一次函数的解析式是解此题的关键．5、若一次函数y =(k +3)x −1的函数值y 随x 的增大而减小，则k 值可能是（ ）A ．2B ．32C ．−12D ．−4 答案：D分析：根据一次函数的性质可得k +3<0，即可求解．解：∵一次函数y =(k +3)x −1的函数值y 随x 的增大而减小，∴k +3<0．解得k <−3．观察各选项，只有D 选项的数字符合故选D ．小提示：本题考查了一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解题的关键．6、已知点(−2,y 1)，(0,y 2)，(4,y 3)是直线y =−5x +b 上的三个点，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ）．A ．y 1>y 2>y 3B ．y 1<y 2<y 3C ．y 1>y 3>y 2D ．y 1<y 3<y 2答案：A分析：结合题意，根据一次函数图像的性质分析，即可得到答案．∵直线y =−5x +b 上，y 随着x 的增加而减小，且−2<0<4∴y 1>y 2>y 3故选：A ．小提示：本题考查了一次函数的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数图像的性质，从而完成求解．7、若x =2是关于x 的方程mx +n =0(m ≠0,n >0)的解，则一次函数y =−m (x −1)−n 的图象与x 轴的交点坐标是（ ）A ．(2,0)B ．(3,0)C ．(0,2)D ．(0,3)答案：B分析：直线y=mx+n与x轴的交点的横坐标就是函数值为0时的方程的解，根据题意得到一次函数y=mx+n的图象与x轴的交点为（2，0），进而得到一次函数y=-mx-n的图象与x轴的交点为（2，0），由于一次函数y=-mx-n的图象向右平移一个单位得到y=-m（x-1）-n，即可求得一次函数y=-m（x-1）-n的图象与x轴的交点坐标．解：∵方程的解为x=2，∴当x=2时mx+n=0；∴一次函数y=mx+n的图象与x轴的交点为（2，0），∴一次函数y=-mx-n的图象与x轴的交点为（2，0），∵一次函数y=-mx-n的图象向右平移一个单位得到y=-m（x-1）-n，∴一次函数y=-m（x-1）-n的图象与x轴的交点坐标是（3，0），故选：B．小提示：本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0 （a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值．8、一个正比例函数的图象经过点(−2,4)，它的表达式为（）A．y=−2x B．y=2x C．y=−12x D．y=12x答案：A分析：设该正比例函数的解析式为y＝kx（k≠0），再把点（−2，4）代入求出k的值即可．解：设正比例函数解析式为y=kx(k≠0),因为函数的图象经过点(−2,4)，所以4=−2k,k=−2，所以解析式为y=−2x故选A．小提示：本题考查的是待定系数法求正比例函数的解析式，熟知正比例函数图象上点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．9、已知一次函数y =x +b ，过点(−1,−2)，那么这个函数的表达式为（ ）A ．y =x −1B ．y =x +1C ．y =x −2D ．y =x +2答案：A分析：把已知点坐标代入一次函数解析式求出b 的值，即可确定出一次函数解析式．解：把（-1，-2）代入y =x +b 得：-2=-1+b ，解得：b =-1，则一次函数解析式为y =x -1，故选：A ．小提示：本题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．10、如图，在平面直角坐标系中，直线y =2x +b 与直线y =−3x +6相交于点A ，则关于x ，y 的二元一次方程组{y =2x +b y =−3x +6的解是（ ）A ．{x =2y =0B ．{x =1y =3C ．{x =−1y =9D ．{x =3y =1答案：B分析：由图象交点坐标可得方程组的解．解：由图象可得直线y =2x +b 与直线y =−3x +6相交于点A （1，3），∴关于x ，y 的二元一次方程组{y =2x +b y =−3x +6的解是{x =1y =3 ． 故选：B ．小提示：本题考查一次函数与二元一次方程的关系，解题关键是理解直线交点坐标中x 与y 的值为方程组的解．填空题11、对于关系式y=3x+5，下列说法：①x是自变量，y是因变量；②x的数值可以任意选择；③y是变量，它的值与x无关；④这个关系式表示的变量之间的关系不能用图象表示；⑤y与x的关系还可以用表格和图象表示，其中正确的是____________．（只需填写序号）答案：①②⑤分析：根据一次函数的定义可知，x为自变量，y为函数，也叫因变量；x取全体实数；y随x的变化而变化；可以用三种形式来表示函数：解析法、列表法和图象法．解：①x是自变量，y是因变量；故正确；②x的数值可以任意选择；故正确；③y是变量，它的值与x有关；y随x的变化而变化，故错误；④用关系式表示的可以用图象表示，故错误；⑤y与x的关系还可以表格和图象表示，故正确.所以答案是：①②⑤.小提示：本题考查了一次函数的定义，是基础知识，比较简单．12、如图，点B的坐标是（0，3），将△OAB沿x轴向右平移至△CDE，点B的对应点E恰好落在直线y=2x−3上，则点A移动的距离是______．答案：3分析：将y＝3代入一次函数解析式求出x值，由此即可得出点E的坐标为（3，3），进而可得出△OAB沿x轴向右平移3个单位得到△CDE，根据平移的性质即可得出点A与其对应点间的距离．解：当y=2x−3=3时，x=3，∴点E 的坐标为(3,3)，∴△OAB 沿x 轴向右平移3个单位得到△CDE ，∴点A 与其对应点间的距离为3，即点A 移动的距离是3．所以答案是：3．小提示：本题考查了一次函数图像上点的坐标特征以及坐标与图形变换中的平移，将y ＝3代入一次函数解析式中求出点E 的横坐标是解题的关键．13、写出一个图象位于第二、四象限的正比例函数的解析式是______．答案：y =-x分析：先设出此正比例函数的解析式，再根据正比例函数的图象经过二、四象限确定出k 的符号，再写出符合条件的正比例函数即可．解：设此正比例函数的解析式为y =kx （k ≠0），∵此正比例函数的图象经过二、四象限，∴k ＜0，∴符合条件的正比例函数解析式可以为：y =-x （答案不唯一）．所以答案是：y =-x （答案不唯一）．小提示：本题考查的是正比例函数的性质，即正比例函数y =kx （k ≠0）中，当k ＜0时函数的图象经过二、四象限．14、已知一次函数y =3x -1与y =kx （k 是常数，k ≠0）的图象的交点坐标是（1，2），则方程组{3x −y =1kx −y =0的解是_________．答案：{x =1y =2分析：根据一次函数的交点坐标即可确定以两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解．解：∵一次函数y =3x -1与y =kx （k 是常数，k ≠0）的图象的交点坐标是（1，2），∴联立y =3x -1与y =kx 的方程组{y =3x −1y =kx的解为：{x =1y =2 ，即{3x −y =1kx −y =0的解为：{x =1y =2 ， 所以答案是：{x =1y =2． 小提示：本题考查了一次函数与二元一次方程组，熟练掌握一次函数的交点坐标与二元一次方程组的解的关系是解题的关键．15、如图，A (−2,1),B (2,3)是平面直角坐标系中的两点，若一次函数y =kx −1的图象与线段AB 有交点，则k 的取值范围是_______．答案：k <-1或k >2分析：将A 、B 点坐标分别代入计算出对应的k 值，然后利用一次函数图象与系数的关系确定k 的范围． 解：当直线y =kx -1过点A 时，得-2k -1=1，解得k =-1，当直线y =kx -1过点B 时，得2k -1=3，解得k =2，∵一次函数y =kx −1的图象与线段AB 有交点，∴k <-1或k >2，所以答案是：k <-1或k >2．小提示：此题考查了一次函数图象与系数的关系：当k >0时，图象过第一、三象限，y 随x 的增大而增大，越靠近y 轴正半轴k 值越大；当k <0时，图象过二、四象限， y 随x 的增大而减小越靠近y 轴正半轴k 值越小． 解答题16、在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定、在其下端悬挂物体，下面是测得的弹簧的长度y 与所挂物体质量x 的一组对应值．②当所挂物体重量为3千克时，弹簧多长？不挂重物时呢？③若所挂重物为7千克时（在允许范围内），你能说出此时的弹簧长度吗？答案：①上表反映了弹簧长度与所挂物体质量之间的关系；其中所挂物体质量是自变量，弹簧长度是因变量；②当所挂物体重量为3千克时，弹簧长24厘米；当不挂重物时，弹簧长18厘米；③32厘米．（1）上表反映了弹簧长度与所挂物体质量之间的关系；其中所挂物体质量是自变量；弹簧长度是因变量；（2）当所挂物体重量为3千克时，弹簧长24厘米；当不挂重物时，弹簧长18厘米；（3）根据上表可知,每挂1kg重物，弹簧增加2cm,所挂重物为7千克时（在允许范围内）时的弹簧长度=18+2×7=32（cm）．17、根据心理学家研究发现，学生对一个新概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（分钟）之间有如表所示的关系：（2）根据表格中的数据，提出概念所用时间是多少分钟时，学生的接受能力最强？（3）学生对一个新概念的接受能力从什么时间开始逐渐减弱？答案：（1）“提出概念所用时间”是自变量，“对概念的接受能力”为因变量；（2）13分钟；（3）从第13分钟以后开始逐渐减弱分析：（1）根据表格中提供的数量的变化关系，得出答案；（2）根据表格中两个变量变化数据得出答案；（3）提供变化情况得出结论．解：（1）表格中反映的是：提出概念所用时间与对概念的接受能力这两个变量，其中“提出概念所用时间”是自变量，“对概念的接受能力”为因变量；（2）根据表格中的数据，提出概念所用时间是13分钟时，学生的接受能力最强达到59.9；（3）根据表格中的数据，学生对一个新概念的接受能力从第13分钟以后开始逐渐减弱．小提示：本题考查用表格表示变量之间的关系，理解自变量、因变量的意义以及变化关系是解决问题的关键．18、如图，在直角坐标系xOy中，直线l过(1，3)和(3，1)两点，且分别与x轴，y轴交于A，B两点．(1)求直线l的函数解析式．(2)若点C在x轴上，且△BOC的面积为6，求点C的坐标．答案：(1)y=−x+4(2)(3，0)或(−3，0)分析：（1）直接利用待定系数法求解；（2）表示出点C的坐标，根据△BOC的面积为6，求出线段OC的长，分类讨论即可得出结果．（1）解：设直线l的函数解析式为y=kx+b．∵直线l过(1，3)和(3，1)两点，∴{k+b=3,3k+b=1,解得{k=−1,b=4.∴直线l的函数解析式为y=−x+4；（2）∵点C在x轴上，∴设C(x，0)，当x=0时，y=−x+4=4，∴B(0，4)，∴OB=4∵△BOC的面积为6，∴12×4⋅OC=6∴OC=3，∴点C的坐标为(3，0)或(−3，0)．小提示：本题考查一次函数，点坐标的求法，熟练掌握待定系数法，灵活运用直角坐标系中的面积计算是解题的关键，分类讨论C点的坐标是易错点．。

一次函数错题笔记由于对一次函数概念或图象与性质理解不深，在解题时难免犯如下错误，希望同学们引以为戒，少犯错误，提高解题能力．例1:k 为何值时，函数2)1(k x k y -=是正比例函数？错解：由112±==k k 得时，所以1±=k 时，2)1(k x k y -=是正比例函数．点击：错解中忽略了正比例函数)0(≠=k kx y 中的隐含条件“0≠k ”，这里应有01≠-k ． 正解：由题意得：⎩⎨⎧≠-=,01,12k k 即⎩⎨⎧≠=,1,12k k 所以1-=k ．例2:k 为何值时，函数1)1(2++-=k x k y k 是一次函数？错解：由由112±==k k 得时，所以1±=k 时函数1)1(2++-=k x k y k 是一次函数． 点击：错解中忽略了（一次函数）)0(≠+=k b kx y 中的隐含条件“0≠k ”，故这里应01≠-k ．正解：由题意有：⎩⎨⎧≠-=,01,12k k 所以1-=k ．即1-=k 时，函数1)1(2++-=k x k y k 是一次函数．例3:已知1-x y 与成正比例，且当53-==x y 与，求x y 与的函数关系式． 错解 1：2121+-=k y ． 错解 2：x y 53-=． 点击：错解1误将“x ”写成“k ”，错解2认为x y 与成正比例．正解：设)1(-=x k y ，把3=y 时，5-=x 代入有：)15(3--=k ，解得.21-=k 所以x y 与的函数关系式为：)1(21--=x y ，即2121+-=x y ． 例4:已知一次函数4+=kx y 的图象与两坐标轴围成的三角形面积为16，求此一次函数的解析式．错解：一次函数4+=kx y 与y 轴、x 轴的交点分别为（0，4），（k4-，0）∵图象与两坐标轴围成的三角形面积为16． ∴16)4(421=-⨯⨯k． 解得21-=k ． ∴此一次函数解析式为421+-=x y ． 点击：由于4+=kx y 与x 轴的交点的位置不确定（可能在正半轴上，也可能在负半轴上），所以4+=kx y 与坐标轴围成的直角三角形的底边（在x 轴上的边）的长度就是k 4-，否则容易造成丢解的现象．正解：一次函数4+=kx y 与y 轴、x 轴的交点分别为（0，4），（k4-，0），图象与两坐标轴围成的面积是164421=-⨯⨯k． 解得 21±=k ． ∴一次函数解析式为421+=x y 或421+-=x y ．。

一次函数易错题压轴题题型归纳及方法一次函数易错题压轴题题型归纳及方法一、基础概念梳理1.1 一次函数的定义和性质一次函数是指函数 f(x) = ax + b，其中 a 不等于 0。

其图像为一条直线，斜率为 a，截距为 b。

在直角坐标系中，表现为直线过原点或不过原点。

一次函数的性质包括斜率和截距等。

1.2 一次函数的图像和特征一次函数的图像呈线性关系，表现为直线。

斜率决定了直线的斜率和方向，截距决定了直线和 y 轴的交点。

掌握一次函数的图像和特征是解题的关键。

二、易错题分析2.1 斜率与线性关系易错点：部分学生对斜率的计算和理解存在困难，无法准确求解斜率或理解斜率的意义。

解决方法：要重点训练学生如何计算斜率，以及斜率对线性关系的影响。

可以通过练习题和实例来加深理解。

2.2 截距的求解易错点：学生在求解截距时常常出错，或者无法正确理解截距的含义。

解决方法：通过大量的实例练习，加深学生对截距的理解和运用能力。

可以设计一些生活中的例子来帮助学生理解截距的含义。

2.3 点斜式方程易错点：学生在转化为一般式方程时，容易出错或混淆概念。

解决方法：通过举例和练习，让学生掌握点斜式方程和一般式方程之间的转化，加深对一次函数的理解和掌握能力。

三、高级拓展题3.1 一次函数的应用在生活中，一次函数的应用非常广泛，包括经济学、物理学和工程学等领域。

这些应用题往往涉及到实际问题的建模和解决，需要学生有较强的数学建模和解题能力。

3.2 特殊题型及解法除了基本的一次函数题，还有一些特殊的题型需要引起重视，包括两条直线的关系、两个一次函数的综合运用等。

这些题型需要学生拓展思维，掌握各种解题方法。

四、总结回顾在学习一次函数这一题型时，学生需要注重基本概念的理解和掌握，加强实例练习，培养解题思维，拓展应用能力。

重点关注易错点，并采取有效的方法加以解决，提高学生对一次函数的理解和应用能力。

个人观点及理解对于一次函数的学习和掌握，我认为重在理解和应用。

(每日一练)人教版初中数学一次函数易错知识点总结单选题1、已知(k,b)为第四象限内的点，则一次函数y=kx−b的图象大致是（）A．B．C．D．答案：A解析：根据(k,b)为第四象限内的点，可得k>0,b<0，从而得到−b>0，进而得到一次函数y=kx−b的图象经过第一、二、三象限，即可求解．解：∵(k,b)为第四象限内的点，∴k>0,b<0，∴−b>0，∴一次函数y=kx−b的图象经过第一、二、三象限．故选：A小提示：本题主要考查了坐标与图形，一次函数的图象，熟练掌握一次函数y=kx+b(k≠0)，当k>0,b>0时，一次函数图象经过第一、二、三象限；当k>0,b<0时，一次函数图象经过第一、三、四象限；当k<0,b>0时，一次函数图象经过第一、二、四象限；当k<0,b<0时，一次函数图象经过第二、三、四象限是解题的关键．2、一次函数y＝ax＋b交x轴于点(－5，0)，则关于x的方程ax＋b＝0的解是( )A．x＝5B．x＝－5C．x＝0D．无法求解答案：B解析：∵一次函数y＝ax＋b交x轴于点(－5，0)，∴关于x的方程ax＋b＝0的解是x＝－5.故选B.3、下列函数关系不是一次函数的是（）A．汽车以120km/ℎ的速度匀速行驶，行驶路程y(km)与时间t(ℎ)之间的关系B．等腰三角形顶角y与底角x间的关系C．高为4cm的圆锥体积y(cm3)与底面半径x(cm)的关系D．一棵树现在高50cm，每月长高3cm，x个月后这棵树的高度y(cm)与生长月数x（月）之间的关系答案：C解析：根据一次函数的定义，可得答案．解：A. 汽车以120km/ℎ的速度匀速行驶，行驶路程y(km)与时间t(ℎ)之间的关系为y=120t，是一次函数；B. 等腰三角形顶角y与底角x间的关系为y=180°-2x,是一次函数；πx2，不是一次函数；C. 高为4cm的圆锥体积y(cm3)与底面半径x(cm)的关系y=43D.一棵树现在高50cm，每月长高3cm，x个月后这棵树的高度y(cm)与生长月数x（月）之间的关系为y=50+3x,是一次函数；故选C．小提示：此题主要考查一次函数的应用与一次函数的定义，解题的关键是根据题意写出函数关系式．填空题4、如图，正方形ABCD的边长为4，A为坐标原点，AB和AD分别在x轴、y轴上，点E是BC边的中点，过点A的直线y=kx交线段DC于点F，连接EF，若AF平分∠DFE，则k的值为_________．答案：1或3．解析：分两种情况：①当点F在DC之间时，作出辅助线，求出点F的坐标即可求出k的值；②当点F与点C重合时求出点F的坐标即可求出k的值．解：①如图，作AG⊥EF交EF于点G，连接AE，∵AF平分∠DFE，∴DA=AG=4，在RT△ADF和RT△AGF中，{AD=AGAF=AF，∴RT△ADF≌RT△AGF（HL），∴DF=FG，∵点E是BC边的中点，∴BE=CE=2，∴AE=√AB2+BE2=2√5，∴GE=√AE2−AG2=2，∴在Rt△FCE中，EF2=FC2+CE2，即（DF+2）2=（4-DF）2+22，解得DF=4，3∴点F（4，4），3k，解得k=3；把点F的坐标代入y=kx得：4=43②当点F与点C重合时，∵四边形ABCD是正方形，∴AF平分∠DFE，∴F（4，4），把点F的坐标代入y=kx得：4=4k，解得k=1．所以答案是：1或3．小提示：本题主要考查了一次函数综合题，涉及角平分线的性质，三角形全等的判定及性质，正方形的性质理，及勾股定解题的关键是分两种情况求出k．5、在平面直角坐标系xOy 中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点，已知点A(0,4)，点B 是x 轴正半轴上的点，记△AOB 内部(不包括边界)的整点个数为m ，当m =3时，点B 的横坐标a 的取值范围是____．答案：83<a ≤4 解析：画出示意图，分别求出当直线AB 过点(2，1) 时和当直线AB′过点(4，0) 时，a 的值，进而即可求解． 如图所示：当直线AB 过点(2，1) 时，△AOB 内部有2个整数点，设直线AB 的解析式为y=kx+b ，把A(0,4)，(2，1)代入上式，得：{b =42k +b =1，解得：{b =4k =−32， ∴直线AB 解析式为：y=−32x+4， 把y=0代入y=−32x+4，得：0=−32x+4，解得：x=83；当直线AB′过点(4，0) 时，△AOB 内部有3个整数点，∴△AOB 内部(不包括边界)的整点个数为m ，当m =3时，点B 的横坐标a 的取值范围是：83<a ≤4． 故答案是：83<a ≤4．小提示：本题主要考查一次函数的应用，掌握待定系数法以及数形结合的思想方法，是解题的关键．。

《一次函数》易错题集一次函数的应用选择题1．（2005•荆门）参加保险公司的医疗保险，住院治疗的病人享受分段报销，保险公司制定的报销细则如下表．某人住院治疗后得到保险公司报销金额是1000元，那么此人住院的医疗费大约是（）A．2879元B．2889元C．2899元D．2909元2．（2004•荆门）如图，是甲、乙两家商店销售同一种产品的销售价y（元）与销售量x（件）之间的函数图象．下列说法：①售2件时甲、乙两家售价一样；②买1件时买乙家的合算；③买3件时买甲家的合算；④买乙家的1件售价约为3元，其中正确的说法是（）A．①②B．②③④C．②③D．①②③3．巫溪某中学组织初一初二学生举行“四城同创”宣传活动，从学校坐车出发，先上坡到达A地后，宣传8分钟；然后下坡到B地宣传8分钟返回，行程情况如图．若返回时，上、下坡速度仍保持不变，在A地仍要宣传8分钟，那么他们从B地返回学校用的时间是（）A．45.2分钟B．48分钟C．46分钟D．33分钟4．（2001•苏州）如图，L甲、L乙分别是甲、乙两弹簧的长ycm与所挂物体质量xkg之间函数关系的图象，设甲弹簧每挂1kg物体伸长的长度为k甲cm，乙弹簧每挂1kg物体伸长的长度为k乙cm，则k甲与k乙的关系是（）A．k甲＞k乙B．k甲=k乙C．k甲＜k乙D．不能确定填空题5．（2008•株洲）利民商店中有3种糖果，单价及重量如下表，若商店将以上糖果配成什锦糖，则这种什锦糖果的6．直线y=x﹣2与坐标轴交于A、B两点，点C在坐标轴上，△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C最多有_________个．7．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于A点，交y轴于B点，点C是线段AB的中点，连接OC，然后将直线OC绕点C顺时针旋转30°交x轴于点D，再过D点作直线DC1∥OC，交AB与点C1，然后过C1点继续作直线D1C1∥OC，交x轴于点D1，并不断重复以上步骤，记△OCD的面积为S1，△DC1D1的面积为S2，依次类推，后面的三角形面积分别是S3，S4…，那么S1=_________，若S=S1+S2+S3+…+S n，当n无限大时，S 的值无限接近于_________．《一次函数》易错题集一次函数的应用参考答案与试题解析选择题1．（2005•荆门）参加保险公司的医疗保险，住院治疗的病人享受分段报销，保险公司制定的报销细则如下表．某人住院治疗后得到保险公司报销金额是1000元，那么此人住院的医疗费大约是（）A．2879元B．2889元C．2899元D．2909元考点：一次函数的应用。

专题22 一次函数中的常见易错题（解析版）第一部分专题典例剖析类型一忽视定义的限制条件（隐含条件）1．（2022•南京模拟）已知关于x的函数y＝（m﹣2）x m2―1+m+1是一次函数，则m＝ ．思路引领：由此函数的定义可知：m﹣2≠0，且m2﹣1＝1，然后解得m的值即可．解：∵y＝（m﹣2）x m2―1+m+1是一次函数，∴m﹣2≠0，且m2﹣1＝1，解得：m=±故答案为：总结提升：本题主要考查的是一次函数的定义，根据一次函数的定义列出关于m的不等式组是解题的关键．2．已知正比例函数y＝（k﹣1）x k2―k―1的图象经过第二、第四象限，则k的值是 ．思路引领：根据正比例函数图象的性质，得k﹣1＜0，k2﹣k﹣1＝1．解：∵函数图象经过第二、四象限，∴k﹣1＜0，k2﹣k﹣1＝1．解得：k＝﹣1，k＝2（舍去）故答案为：﹣1总结提升：掌握正比例函数图象的性质：k＜0，图象经过二、四象限．若一点在图象上，则其坐标满足直线解析式．类型二已知距离，已知面积求系数或解析式时忽视分类讨论3．若直线y＝ax+b与x轴的交点到y轴的距离为1，则关于x的一元一次方程ax+b＝0的解为 ．思路引领：根据直线与x轴的交点的求法得出交点坐标（―ba，0），根据题意得出―ba=±1，从而得出答案．解：∵直线与x轴的交点的求法得出交点坐标（―ba，0），且交点到y轴的距离为1，∴―ba=±1∴关于x的一元一次方程ax+b＝0的解为x＝±1，故答案为±1．总结提升：本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数的性质是解题的关键．4．已知一次函数y＝kx+b的图象与正比例函数y＝﹣3x的图象平行，与两坐标轴围成的三角形的面积为2．求这个一次函数的解析式．思路引领：根据两条直线平行k相同，得到k＝﹣3，然后求出函数图象与两坐标轴的交点坐标，再根据三角形的面积公式求解即可．解：∵一次函数y＝kx+b的图象与正比例函数y＝﹣3x的图象平行，∴k＝﹣3，当x＝0时，y＝b，当y＝0时，x=b 3，∴直线y＝﹣3x+b与坐标轴的交点为（0，b）、（b3，0），∵直线y＝﹣3x+b与坐标轴围成的三角形的面积为2，∴12⋅|b|⋅|b3|=2，∴b＝±∴一次函数为y＝﹣3X Y＝﹣3X﹣总结提升：本题考查了待定系数法求函数的解析式、两条直线平行k相同等知识，正确利用点的坐标表示三角形的面积是关键．5．（2021春•爱辉区期末）已知一次函数y＝kx+4的图象与坐标轴围成的三角形的面积为8，求此函数表达式．思路引领：分别求出直线与坐标轴交点A，B，通过直角三角形面积求k．解：设直线y＝kx+4与x、y轴相交于A（a，0）B（0，b）把B点代入y＝kx+4得b＝4，把A点代入y＝kx+4得a=―4 k ．∵图象与坐标轴围成三角形的面积为8，∴12OA⋅OB=12×4|―4k|＝8，解得k＝±1∴此函数表达式为y＝﹣x+4或y＝x+4．总结提升：本题考查一次函数与三角形的结合问题，通过直线与坐标轴交点坐标及三角形面积公式求解，解题关键是注意k有正负两种情况．类型三在k的正负不明确时，忽视分类讨论6．已知一次函数y＝kx+b，当﹣3≤x≤1时，对应y的值为1≤y≤9，则k+b的值为 ．思路引领：本题分情况讨论：①x＝﹣3时对应y＝1，x＝1时对应y＝9；②x＝﹣3时对应y＝9，x＝1时对应y＝1；将每种情况的两组数代入即可得出答案．解：①当x＝﹣3时，y＝1；当x＝1时，y＝9，则1=―3k+b 9=k+b解得：k=2 b=7所以k+b＝9；②当x＝﹣3时，y＝9；当x＝1时，y＝1，则―3k+b=9 k+b=1解得：k=―2 b=3，所以k+b＝1．故答案为9或1．总结提升：本题考查待定系数法求函数解析式，注意本题需分两种情况，不要漏解．类型四搞不清一次函数的性质与图像分布7．已知一次函数y＝kx+b的图象不经过第三象限，也不经过原点，则下列结论正确的是（ ）A．k＞0，b＞0B．k＞0，b＜0C．k＜0，b＞0D．k＜0，b＜0思路引领：直接根据一次函数的图象与系数的关系进行解答即可．解：∵一次函数y＝kx+b的图象不经过第三象限，也不经过原点，∴k＜0，b＞0．故选：C．总结提升：本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当k＜0，b ＞0时，函数图象经过一、二、四象限是解答此题的关键．8．（2021秋•海曙区期末）一次函数y＝mx+n与正比例函数y＝mnx（m，n为常数，且mn≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A．B．C．D．思路引领：根据“两数相乘，同号得正，异号得负”分两种情况讨论mn的符号，然后根据m、n同正时，同负时，一正一负或一负一正时，利用一次函数的性质进行判断．解：①当mn＞0，m，n同号，同正时y＝mx+n过第一，二，三象限，同负时过二，三，四象限，y＝mnx 过原点，一、三象限；②当mn＜0时，m，n异号，则y＝mx+n过一，三，四象限或一，二，四象限，y＝mnx过原点，二、四象限．解法二：本题还可用矛盾分析法来解决A、一次函数m＞0，n＞0；正比例mn＜0，与一次矛盾．B、一次m＞0，n＜O；正比例mn＞0，与一次矛盾．C、一次m＞0，n＜0，正比例mn＜0，成立．D、一次m＜0，n＞0，正比例mn＞0，矛盾．故选：C．总结提升：此题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．一次函数y＝kx+b的图象有四种情况：①当k＞0，b＞0，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限；②当k＞0，b＜0，函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限；③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限；④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限．9．（2022春•静安区校级期中）已知直线y＝（1﹣3m）x+（2m﹣1）经过第二、三、四象限，则m的取值范围为　．思路引领：由直线y＝（1﹣3m）x+（2m﹣1）经过第二、三、四象限，可得出1―3m＜02m―1＜0，解之可得出结论．解：∵直线y＝（1﹣3m）x+（2m﹣1）经过第二、三、四象限，∴1―3m ＜02m ―1＜0，解得：13＜m ＜12．故答案为：13＜m ＜12．总结提升：本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“k ＜0，b ＜0⇔y ＝kx +b 的图象在二、三、四象限”是解题的关键．类型五 不能准确获取函数图象的信息10．（2018•镇江）甲、乙两地相距80km ，一辆汽车上午9：00从甲地出发驶往乙地，匀速行驶了一半的路程后将速度提高了20km /h ，并继续匀速行驶至乙地，汽车行驶的路程y （km ）与时间x （h ）之间的函数关系如图所示，该车到达乙地的时间是当天上午（ ）A ．10：35B ．10：40C ．10：45D ．10：50思路引领：根据速度之间的关系和函数图象解答即可．解：因为匀速行驶了一半的路程后将速度提高了20km /h ，所以1小时后的路程为40km ，速度为40km /h ，所以以后的速度为20+40＝60km /h ，时间为4060×60=40分钟，故该车到达乙地的时间是当天上午10：40；故选：B ．总结提升：此题主要考查了函数的图象值，根据速度之间的关系和函数图象解答是解题关键．第二部分 专题提优训练一．试题（共10小题）1．若关于x 的函数y ＝（n +1）x m ﹣1是一次函数，则m ＝ ，n ．思路引领：一次函数的系数n +1≠0，自变量x 的次数m ﹣1＝1，据此解答m 、n 的值．解：一次函数y ＝kx +b 的定义条件是：k 、b 为常数，k ≠0，自变量次数为1，∴根据题意，知n+1≠0 m―1=1，解得，n≠―1 m=2，故答案是2、≠﹣1．总结提升：本题主要考查了一次函数的定义：一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．2．（上海期中）函数y＝（k2﹣4）x2+（k+1）x是正比例函数，且y随x的增大而减小．则k＝ ．思路引领：根据正比例函数的定义和函数的性质可得出关于k的方程，解出即可．解：根据题意得：k2﹣4＝0且k+1＜0，解得：k＝±2且k＜﹣1，∴k＝﹣2．故填﹣2．总结提升：本题主要考查正比例函数的定义和性质，熟练记忆定义和性质是解本题的关键．3．（2012•大丰市模拟）如图，已知直线y＝ax﹣b，则关于x的方程ax﹣1＝b的解x＝ ．思路引领：观察图形可直接得出答案．解：根据图形知，当y＝1时，x＝4，即ax﹣b＝1时，x＝4．故方程ax﹣1＝b的解x＝4．故答案为：4．总结提升：此题考查一次函数与一元一次方程的联系，渗透数形结合的解题思想方法．4．（2016秋•雁塔区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线l1：y=12x与直线l2：y＝﹣x+6交于点A，l2与x轴交于B，与y轴交于点C．（1）求△OAC的面积；（2）如点M在直线l2上，且使得△OAM的面积是△OAC面积的34，求点M的坐标．思路引领：（1）先根据直线解析式，求得C（0，6），再根据方程组的解，得出A（4，2），进而得到△OAC的面积；（2）分两种情况进行讨论：①点M1在射线AC上，②点M2在射线AB上，分别根据点M的横坐标，求得其纵坐标即可．解：（1）在y＝﹣x+6中，令x＝0，解得y＝6，∴C（0，6），即CO＝6，解方程组y=12xy=―x+6，可得x=4y=2，∴A（4，2），∴S△OAC =12×6×4＝12；（2）分两种情况：①如图所示，当点M1在射线AC上时，过M1作M1D⊥CO于D，∵△OAM的面积是△OAC面积的3 4，∴△OCM的面积是△OAC面积的14，即12×OC×|x M|=14×12，∴12×6×|x M|=14×12，解得x M＝1，即点M1的横坐标为1，在直线y＝﹣x+6中，当x＝1时，y＝5，∴M1（1，5）；②如图所示，当点M2在射线AB上时，过M2作M2E⊥CO于E，∵△OAM的面积是△OAC面积的3 4，∴△OCM的面积是△OAC面积的74，即12×OC×|x M|=74×12，∴12×6×|x M|=74×12，解得x M＝7，即点M2的横坐标为7，在直线y＝﹣x+6中，当x＝7时，y＝﹣1，∴M2（7，﹣1）．综上所述，点M的坐标为（1，5）或（7，﹣1）．总结提升：本题主要考查了两直线相交的问题，解决问题的关键是掌握两直线交点的坐标的计算方法，解题时注意：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点分别为O（0，0），A（0，6），B（4，6），C （4，4），D（6，4），E（6，0）．已知直线l经过点M，分别与OA、DE相交，且将多边形OABCDE分成面积相等的两部分．（1）若点M（72，52），求直线l的函数表达式；（2）若点M（3，83），试说明有无数条直线l将多边形OABCDE分成面积相等的两部分．思路引领：（1）延长BC，交x轴于点F，连接OB、AF交于点P，连接CE、DF交于点Q．由B（4，6），D（6，4）可得P（2，3），Q（5，2）分别为矩形OFBA、矩形FEDC的中心，用待定系数法求得直线PQ的解析式，再根据矩形的性质进行分析即可．（2）另取过点M （3，83）的直线分别与OA 、DE 相交于点G '、H '，则S △MGG '＝S △MHH '⇒S 四边形OG 'H 'E ＝S 多边形AG 'H 'DCB ，由直线G 'H '的任意性可得答案．解：（1）如图，延长BC ，交x 轴于点F ，连接OB 、AF 交于点P ，连接CE 、DF 交于点Q ．∵B （4，6），D （6，4），∴P （2，3），Q （5，2）分别为矩形OFBA 、矩形FEDC 的中心，故过点P 的直线将矩形OFBA 分成面积相等的两部分，过点Q 的直线将矩形FEDC 的面积分成相等的两部分．设PQ 分别与OA 、DE 相交于点G 、H ，于是直线PQ 将多边形OABCDE 分成面积相等的两部分．设PQ 解析式为y ＝kx +b ，将P （2，3），Q （5，2）代入得：3=2k +b 2=5k +b ，解得：k =―13b =113∴直线PQ 的函数表达式为y =―13x +113，经验证，点M （72，52）在y =―13x +113上．∴直线l 的函数表达式为y =―13x +113．（2）另取过点M （3，83）的直线分别与OA 、DE 相交于点G '、H '，注意到，直线G 'H '的中点为M （3，83）．则S △MGG '＝S △MHH '⇒S 四边形OG 'H 'E ＝S 多边形AG 'H 'DCB故直线G 'H '也是满足条件的直线．由直线G 'H '的任意性知，满足条件的直线有无数条．总结提升：本题考查了待定系数法求一次函数的解析式及矩形的性质在面积等分问题中的应用，数形结合并明确矩形的相关性质是解题的关键．6．（2020•浙江自主招生）对于一次函数y ＝kx +b ，当1≤x ≤4时，3≤y ≤6，则一次函数的解析式为 ．思路引领：由一次函数的单调性即可得知点（1，3）、（4，6）在一次函数y ＝kx +b 的图象上或点（1，6）、（4，3）在一次函数y ＝kx +b 的图象上，根据点的坐标利用待定系数法即可求出一次函数的解析式，此题得解．解：∵对于一次函数y ＝kx +b ，当1≤x ≤4时，3≤y ≤6，∴点（1，3）、（4，6）在一次函数y ＝kx +b 的图象上或点（1，6）、（4，3）在一次函数y ＝kx +b 的图象上．当点（1，3）、（4，6）在一次函数y ＝kx +b 的图象上时，k +b =34k +b =6，解得：k =1b =2，∴此时一次函数的解析式为y ＝x +2；当（1，6）、（4，3）在一次函数y ＝kx +b 的图象上时，k +b =64k +b =3，解得：k =―1b =7，此时一次函数的解析式为y ＝﹣x +7．故答案为：y ＝x +2或y ＝﹣x +7．总结提升：本题考查了一次函数的性质以及待定系数法求一次函数解析式，根据点的坐标利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键．7．（2020秋•瑶海区校级期中）在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，已知直线y ＝tx +2t +2（t ＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则t 的取值范围是（ ）A ．12＜t ≤1B ．1＜t ≤2C ．12≤t ≤2D ．12≤t ≤2且t ≠1思路引领：由y ＝tx +2t +2＝t （x +2）+2（t ＞0），得出直线y ＝tx +2t +2（t ＞0）经过点（﹣2，2），如图，当直线经过（0，3）或（0，6）时，直线y ＝tx +2t +2（t ＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，当直线经过（0，4）时，直线y ＝tx +2t +2（t ＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有三个整点，分别求得这三种情况下的t的值，结合图象即可得到结论．解：∵y＝tx+2t+2＝t（x+2）+2（t＞0），∴直线y＝tx+2t+2（t＞0）经过点（﹣2，2），如图，当直线经过（0，3）时，直线y＝tx+2t+2（t＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则3＝2t+2，解得t=1 2；当直线经过（0，6）时，直线y＝tx+2t+2（t＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则6＝2t+2，解得t＝2；当直线经过（0，4）时，直线y＝tx+2t+2（t＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有三个整点，则4＝2t+2，解得t＝1；∴直线y＝tx+2t+2（t＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则t的取值范围是12≤t≤2且t≠1，故选：D．总结提升：本题考查一次函数图象和性质，区域整数点；能够根据函数解析式求得直线恒经过的点，并能画出图象，结合图象解题是关键．8．（2020秋•西城区校级月考）下列图形能表示一次函数y＝nx+m与正比例函数y＝mnx（m，n为常数，且mn≠0）图象的是（ ）A．B．C．D．思路引领：根据“两数相乘，同号得正，异号得负”分两种情况讨论mn的符号，然后根据m、n同正时，同负时，一正一负或一负一正时，利用一次函数的性质进行判断．解：①当mn＞0，m，n同号，正比例函数y＝mnx过一、三象限，同正时一次函数y＝nx+m过一，二，三象限，同负时一次函数y＝nx+m过二，三，四象限；②当mn＜0时，m，n异号，则正比例函数y＝mnx过二、四象限，一次函数＝nx+m过一，三，四象限或一、二、四象限．故选：A．总结提升：主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．一次函数y＝kx+b的图象有四种情况：①当k＞0，b＞0，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限；②当k＞0，b＜0，函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限；③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限；④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限．9．（2021春•曹县期末）若一次函数y＝（2m+1）x+3﹣m的图象不经过第三象限，则m的取值范围是 ．思路引领：根据一次函数y＝（2m+1）x+3﹣m的图象不经过第三象限，可知2m+1＜03―m≥0，然后求解即可．解：∵一次函数y＝（2m+1）x+3﹣m的图象不经过第三象限，∴2m+1＜0 3―m≥0，解得m＜―1 2，故答案为：m＜―1 2．总结提升：本题考查一次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确一次函数的性质，列出相应的不等式组，求出m的取值范围．10．（2022•治多县模拟）2022年2月15日电影“长津湖”在青海大剧院演出，小锋从家出发驾车前往观看，离开家后不久便发现把票遗忘在家里了，于是以相同的速度返回去取，到家几分钟后才找到票，为了准时进场观看、他加快速度驾车前往．则小锋离青海大剧院的距离y与时间t之间的函数关系的大致图象（ ）A．B．C．D．思路引领：根据已知条件，确定出每一步的函数图形，再把图象结合起来即可求出结果．解：∵小锋从家出发驾车前往观看，∴随着时间的增加离剧院的距离越来越近，∵离开家后不久便发现把票遗忘在家里了，于是以相同的速度返回去取，∴随着时间的增加离剧院的距离越来越远，又∵到家几分钟后才找到票，∴他离剧院的距离不变，∵为了准时进场观看，他加快速度驾车前往．∴他离剧院的越来越小，∴小锋离青海大剧院的距离y与时间t之间的函数关系的大致图象是B．故选：B．总结提升：本题主要考查了函数的图象问题，在解题时要根据实际情况确定出函数的图象是解题的关键．。

一次函数错题笔记由于对一次函数概念或图象与性质理解不深，在解题时难免犯如下错误，希望同学们引以为戒，少犯错误，提高解题能力．例1:k 为何值时，函数2)1(k x k y -=是正比例函数？错解：由112±==k k 得时，所以1±=k 时，2)1(k x k y -=是正比例函数． 点击：错解中忽略了正比例函数)0(≠=k kx y 中的隐含条件“0≠k ”，这里应有01≠-k ．正解：由题意得：⎩⎨⎧≠-=,01,12k k 即⎩⎨⎧≠=,1,12k k 所以1-=k ． 例2:k 为何值时，函数1)1(2++-=k x k y k 是一次函数？错解：由由112±==k k 得时，所以1±=k 时函数1)1(2++-=k x k y k 是一次函数． 点击：错解中忽略了（一次函数）)0(≠+=k b kx y 中的隐含条件“0≠k ”，故这里应01≠-k ．正解：由题意有：⎩⎨⎧≠-=,01,12k k 所以1-=k ．即1-=k 时，函数1)1(2++-=k x k y k 是一次函数．例3:已知1-x y 与成正比例，且当53-==x y 与，求x y 与的函数关系式． 错解 1：2121+-=k y ． 错解 2：x y 53-=． 点击：错解1误将“x ”写成“k ”，错解2认为x y 与成正比例．正解：设)1(-=x k y ，把3=y 时，5-=x 代入有：)15(3--=k ，解得.21-=k 所以x y 与的函数关系式为：)1(21--=x y ，即2121+-=x y ． 例4:已知一次函数4+=kx y 的图象与两坐标轴围成的三角形面积为16，求此一次函数的解析式．错解：一次函数4+=kx y 与y 轴、x 轴的交点分别为（0，4），（k4-，0） ∵图象与两坐标轴围成的三角形面积为16． ∴16)4(421=-⨯⨯k． 解得21-=k ． ∴此一次函数解析式为421+-=x y ． 点击：由于4+=kx y 与x 轴的交点的位置不确定（可能在正半轴上，也可能在负半轴上），所以4+=kx y 与坐标轴围成的直角三角形的底边（在x 轴上的边）的长度就是k 4-，否则容易造成丢解的现象．正解：一次函数4+=kx y 与y 轴、x 轴的交点分别为（0，4），（k4-，0），图象与两坐标轴围成的面积是164421=-⨯⨯k． 解得 21±=k ． ∴一次函数解析式为421+=x y 或421+-=x y ．。