2019-2020学年北京初中数学竞赛 九年级 圆的专题

【例题求解】【例1】如图，直线AB和AC与⊙O分别相切于B、C，P为圆上一点，P到AB、AC的距离分别为4cm、6cm，那么P到BC的距离为．(全国初中数学联赛题)思路点拨连DF，EF，寻找PD、PE、PF之间的关系，证明△PDF∽△PFE，而发现P、D、B、F与P、E、C、F分别共圆，突破角是解题的关键．注：圆具有丰富的性质：(1)圆的对称性；(2)等圆或同圆中不同名称量的转化；(3)与圆相关的角；(4)圆中比例线段．适当发现并添出辅助圆，就为圆的丰富性质的运用创造了条件，由于图形的复杂性，有时在图中并不需画出圆，可谓“图中无圆，心中有圆”．【例2】如图，若PA=PB，∠APB=2∠ACB，AC与PB交于点P，且PB=4，PD=3，则AD·DC等于( ) A．6 B．7 C．12 D．16(“TI”杯全国初中数学竞赛题)思路点拨作出以P点为圆心、PA长为半径的圆，为相交弦定理的应用创设了条件．注：到一个定点等距离的几个点在同一个圆上，这是利用圆的定义添辅助圆的最基本方法．【例3】 如图，在△ABC 中，AB=AC ，任意延长CA 到P ，再延长AB 到Q ，使AP=BQ ，求证：△ABC 的外心O 与A ，P ，Q 四点共圆．思路点拨 先作出△ABC 的外心O ，连PO 、OQ ，将问题转化为证明角相等．【例4】 如图，P 是⊙O 外一点，PA 切⊙O 于A ，PBC 是⊙O 的割线，AD ⊥PO 于D ．求证：CDPCPD PB．思路点拨 因所证比例线段不是对应边，故不能通过判定△PBD 与△PCD 相似证明．PA 2=PD ·PO=PB ·PC ，B 、C 、O 、D 共圆，这样连OB ，就得多对相似三角形，以此达到证明的目的．注：四点共圆既是一类问题，又是平面几何中一个重要的证明方法，它和证明三角形全等和相似三角形有着同等重要的地位，这是因为，某四点共圆，不但与这四点相联系的条件集中或转移，而且可直接运．用圆的性质为解题服务．【例5】如图，在△ABC 中，高BE 、CF 相交于H ，且∠BHC=135°，G 为△ABC 内的一点，且GB=GC ，∠BGC ＝3∠A ，连结HG ，求证：HG 平分∠BHF ．思路点拨 经计算可得∠A=45°，△ABE ，△BFH 皆为等腰直角三角形，只需证∠GHB=∠GHF=22.5°． 由∠BGC=3∠A=135°=∠GHC ，得B 、G 、H 、C 四点共圆，运用圆中角转化灵活的特点证明．注：许多直线形问题借助辅助圆，常能降低问题的难度，使问题获得简解、巧解或新解．学力训练1．如图，正方形ABCD 的中心为O ，面积为1989cm 2，P 为正方形内一点，且∠OPB=45°，PA ：PB=5：14，则PB 的长为 ．(北京市竞赛题)2．如图，在△ABC 中，AB=AC=2，BC 边上有100个不同的点P l 、P 2，…P 100，记C P BP AP m i i i i ⋅+=2（i=1，2，…100），则10021m m m +++ = ．3．设△ABC 三边上的高分别为AD 、BE 、CF ，且其垂心H 不与任一顶点重合，则由点A 、B 、C 、D 、E 、F 、H 中某四点可以确定的圆共有( ) A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个(2000年太原市竞赛题)4．如图，已知OA=OB=OC ，且∠AOB=k ∠BOC ，则∠ACB 是∠BAC 的( ) A ．k 21倍 B ．是k 倍 C ．k 2 D ．k15．如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=998，CD=1001，AD=1999，点P 在线段AD 上，满足条件的∠BPC=90°的点P 的个数为( )A ．0B ．1C ．2 1D ．不小于3的整数(全国初中数学联赛题)6．如图，AD 、BE 是锐角三角形的两条高，S △ABC = 18，S △DEC =2，则COSC 等于( ) A ．3 B ．31 C ． 32D ．437．如图；已知H 是△ABC 三条高的交点，连结DF ，DE ，EF ，求证：H 是△DEF 的内心． 8．如图，已知△ABC 中，AH 是高，AT 是角平分线，且TD ⊥AB ，TE ⊥AC ． 求证：(1)∠AHD=∠AHE ；(2)CECHBD BH =(陕西省竞赛题)9．如图，已知在凸四边形ABCDE 中，∠BAE=3α，BC=CD=DE ，且∠BCD=∠CDE=α2180- ．求证：∠BAC=∠CAD=∠DAK ，(全国初中数学联赛题)10．如图，P 是⊙O 外一点，PA 和PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，P O 与AB 交于点M ，过M 任作⊙O 的弦CD ．求证：∠CPO=∠DPO ．11．如图，已知点P 是⊙O 外一点，PS 、PT 是⊙O 的两条切线，过点P 作⊙O 的割线PAB ，交⊙O A 、B 两点，与ST 交于点C ．求证：)11(211PBPA PC += (国家理科实验班招生试题)参考答案。

北师大版2019-2020九年级数学下册圆综合练习题3（培优 含答案）1．如图，在Rt 中，，，，点在边上,,⊙的半径长为3，⊙与⊙相交，且点在⊙外，那么⊙的半径长的取值范围是（ ）A. B. C. D.2．如图，在扇形AOB 中∠AOB =90°，正方形CDEF 的顶点C 是AB 的中点，点D 在OB 上，点E 在OB 的延长线上，当正方形CDEF 的边长为时，则阴影部分的面积为（ ）A.2π﹣8B.4π﹣8C.2π﹣4D.4π﹣43．把一个边长为1的正方形如图所示放在数轴上，以正方形的对角线为半径画弧交数轴于点A ，则点A 对应的数是（ ）A ．1BCD ．24．如图，点A ，B ，C ，P 在⊙O 上，CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，∠DCE =36°，则∠P 的度数为（ ）A ．144°B ．72°C ．60°D ．36°5．O 的半径5r cm =，圆心到直线l 的距离4OM cm =，在直线l 上有一点P ，且3PM cm =，则点(P )A.在O 内B.在O 上C.在O 外D.可能在O 上或在O 内6．如图，∠A 是⊙O 的圆周角，∠A=40°，则∠BOC=( )A.140°B.40°C.80°D.60°7．如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，∠ACB ＝30°，则sin ∠AOB 的值是（ ）A.12 B.28．正多边形的中心角与该正多边形一个内角的关系是（ ）A ．互余B ．互补C ．互余或互补D ．不能确定 9．如图，⊙O 的半径为1，圆心O 到直线AB 的距离为2，M 是直线AB 上的一个动点，MN 与⊙O 相切于N 点，则MN 的最小值是_____________.10．一个扇形的圆心角为，面积为，则此扇形的半径长为______.11．如图，矩形纸片ABCD 中，AD= 1,AB 一2.将纸片折叠，使顶点A 与边CD 上的点E 重合，折痕FG 分别与AB 、CD 交于点G 、F,AE 与FG 交于点仪当触ED 的外接圆与BC 相切于BC 的中点N.则折痕FG 的长为________12．如图，已知AB是⊙O的直径，C、D、E、F、G是AB上的点，且有=====，则∠OCG=___．AC CD DE EF FG BG13．圆内接四边形ABCD中，已知∠A=70°，则∠C=______14．如图是一个装有两个大小相同的球形礼品的包装盒，其中两个小球之间有个等腰三角形隔板，已知矩形长为45cm，宽为20cm，两圆与矩形的边以及等腰△ABC的腰都相切，则所需的三角形隔板的底边AB长为___________15．如图，在⊙O中，△ABC是等边三角形，AD是直径，则∠ADB=________°,∠ABD=________°16．如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为25cm，贴纸部分的宽BD为15 cm．若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为____．17．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点O在AC上，OA=2，以OA为半径的⊙O交AB于点D，AC于G，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，（1）求证：直线DE是⊙O的切线；（2）求线段DE的长；（3）求线段AD的长.18．如图，已知⊙O的半径为5，PA是⊙O的一条切线，切点为A，连接PO并延长，交⊙O于点B，过点A作AC⊥PB交⊙O于点C、交PB于点D，连接BC，当∠P=30°时，（1）求弦AC的长；（2）求证：BC∥PA．19．一个圆锥形小麦堆，底面周长为18.84米，高1.5米。

九年级数学竞赛圆的基本性质优化教案【例题求解】【例1】在半径为1的⊙O中，弦AB、AC的长分别为和，则∠BAC度数为．作出辅助线，解直角三角形，注意AB与AC有不同的位置关系．注：由圆的对称性可引出许多重要定理，垂径定理是其中比较重要的一个，它沟通了线段、角与圆弧的关系，应用的一般方法是构造直角三角形，常与勾股定理和解直角三角形知识结合起来．圆是一个对称图形，注意圆的对称性，可提高解与圆相关问题周密性．【例2】如图，用3个边长为1的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径为( )A． B． C． D．思路点拨所作最小圆圆心应在对称轴上，且最小圆应尽可能通过圆形的某些顶点，通过设未知数求解．【例3】如图，已知点A、B、C、D顺次在⊙O上，AB=BD，BM⊥AC于M，求证：AM=DC+CM．思路点拨用截长(截AM)或补短(延长DC)证明，将问题转化为线段相等的证明，证题的关键是促使不同量的相互转换并突破它．【例4】如图甲，⊙O的直径为AB，过半径OA的中点G作弦C E⊥AB，在CB上取一点D，分别作直线CD、ED，交直线AB于点F，M．(1)求∠COA和∠FDM的度数；(2)求证：△FDM∽△COM；(3)如图乙，若将垂足G改取为半径OB上任意一点，点D改取在EB上，仍作直线CD、ED，分别交直线AB于点F、M，试判断：此时是否有△FDM∽△COM? 证明你的结论．思路点拨 (1)在Rt△COG中，利用OG= OA= OC；(2)证明∠COM=∠FDM，∠CMO=∠FMD；(3)利用图甲的启示思考．注：善于促成同圆或等圆中不同名称的相互转化是解决圆的问题的重要技巧，此处，要努力把圆与直线形相合起来，认识到圆可为解与直线形问题提供新的解题思路，而在解与圆相关问题时常用到直线形的知识与方法(主要是指全等与相似)．【例5】已知：在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，以C为圆心，CD为半径的半圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B=∠CAE，EF：FD＝4：3．(1)求证：AF＝DF；(2)求∠AED的余弦值；(3)如果BD＝10，求△ABC的面积．思路点拨 (1)证明∠ADE＝∠DAE；(2)作AN⊥BE于N，cos∠AED＝，设FE=4x，FD＝3x，利用有关知识把相关线段用x的代数式表示；(3)寻找相似三角形，运用比例线段求出x的值．注：本例的解答，需运用相似三角形、等腰三角形的判定、面积方法、代数化等知识方法思想，综合运用直线形相关知识方法思想是解与圆相关问题的关键．学历训练1．D是半径为5cm的⊙O内一点，且OD＝3cm，则过点D的所有弦中，最小弦AB= ．2．阅读下面材料：对于平面图形A，如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这个圆所覆盖．对于平面图形A，如果存在两个或两个以上的圆，使图形A上的任意一点到其中某个圆的圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这些圆所覆盖．例如：图甲中的三角形被一个圆所覆盖，图乙中的四边形被两个圆所覆盖．回答下列问题：(1)边长为lcm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是 cm；(2)边长为lcm的等边三角形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是cm；(3)长为2cm，宽为lcm的矩形被两个半径都为r的圆所覆盖，r的最小值是 cm．(2003年南京市中考题)3．世界上因为有了圆的.图案，万物才显得富有生机，以下来自现实生活的图形中都有圆：它们看上去多么美丽与和谐，这正是因为圆具有轴对称和中心对称性．(1)请问以下三个图形中是轴对称图形的有，是中心对称图形的有(分别用下面三个图的代号a，b，c填空)．(2)请你在下面的两个圆中，按要求分别画出与上面图案不重复的图案(草图) (用尺规画或徒手画均可，但要尽可能准确些，美观些)．a．是轴对称图形但不是中心对称图形．b．既是轴对称图形又是中心对称图形．4．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，若AB=10cm，CD＝8cm，那么A、B 两点到直线CD的距离之和为( )A．12cm B．10cm C． 8cm D．6cm5．一种花边是由如图的弓形组成的，ACB的半径为5，弦AB＝8，则弓形的高CD为( )A．2 B． C．3 D．6．如图，在三个等圆上各自有一条劣弧AB、CD、EF，如果AB+CD=EF，那么AB+CD与E的大小关系是（）A．AB+CD＝EF B．AB+CD=F C． AB+CD<EF D．不能确定7．电脑CPU芯片由一种叫“单晶硅”的材料制成，未切割前的单晶硅材料是一种薄形圆片，叫“晶圆片”．现为了生产某种CPU芯片，需要长、宽都是1cm的正方形小硅片若干．如果晶圆片的直径为10．05cm，问：一张这种晶圆片能否切割出所需尺寸的小硅片66张?请说明你的方法和理由(不计切割损耗)．8．如图，已知⊙O的两条半径OA与OB互相垂直，C为AmB上的一点，且AB2+OB2=BC2，求∠OAC的度数．9．不过圆心的直线交⊙O于C、D两点，AB是⊙O的直径，AE⊥ ，垂足为E，BF⊥ ，垂足为F．(1)在下面三个圆中分别补画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形；(2)请你观察(1)中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论(不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程)；(3)请你选择(1)中的一个图形，证明(2)所得出的结论．10．以AB为直径作一个半圆，圆心为O，C是半圆上一点，且OC2＝AC×BC，则∠CAB= ．11．如图，把正三角形ABC的外接圆对折，使点A落在BC的中点A′上，若BC=5，则折痕在△ABC内的部分DE长为．12．如图，已知AB为⊙O的弦，直径MN与AB相交于⊙O内，MC⊥AB于C，ND⊥AB于D，若MN=20，AB= ，则MC―ND= ．13．如图，已知⊙O的半径为R，C、D是直径AB同侧圆周上的两点，AC 的度数为96°，BD的度数为36°，动点P在AB上，则CP+PD的最小值为．14．如图1，在平面上，给定了半径为r的圆O，对于任意点P，在射线OP上取一点P′，使得OP×OP′=r2，这种把点P变为点P ′的变换叫作反演变换，点P与点P′叫做互为反演点．(1)如图2，⊙O内外各有一点A和B，它们的反演点分别为A′和B′，求证：∠A′=∠B；(2)如果一个图形上各点经过反演变换得到的反演点组成另一个图形，那么这两个图形叫做互为反演图形．①选择：如果不经过点O的直线与⊙O相交，那么它关于⊙O的反演图形是( )A．一个圆 B．一条直线 C．一条线段 D．两条射线②填空：如果直线与⊙O相切，那么它关于⊙O的反演图形是，该图形与圆O的位置关系是．15．如图，已知四边形ABCD内接于直径为3的圆O，对角线AC是直径，对角线AC和BD的交点为P，AB=BD，且PC=0．6，求四边形ABCD的周长．16．如图，已知圆内接△ABC中，AB>AC，D为BAC的中点，DE⊥AB于E，求证：BD2-AD2=AB×AC．17．将三块边长均为l0cm的正方形煎饼不重叠地平放在圆碟内，则圆碟的直径至少是多少?(不考虑其他因素，精确到0．1cm)18．如图，直径为13的⊙O′，经过原点O，并且与轴、轴分别交于A、B两点，线段OA、OB(OA>OB)的长分别是方程的两根．(1)求线段OA、OB的长；(2)已知点C在劣弧OA上，连结BC交OA于D，当OC2=CD×CB时，求C 点坐标；(3)在⊙O，上是否存在点P，使S△POD=S△ABD?若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．。

2020年北京市初三一模分类汇编（全）圆专项1、海淀0，24.如图，在R綐△Aଘଘ中，∠ଘAଘ矀密矀°，点D 为ଘଘ边的中点，以AD 为直径作Ⓢ分别与Aଘ，Aଘ交于点Eଘଘ，过点E作E G Tଘଘ于G.(1)求证:EG 是Ⓢ0 的切线;(2)若Aଘ矀⺁, Ⓢ0 的半径为5，求ଘE 的长2、丰台24.在Rt△ABC 中，∠A=90︒，∠B=22.5︒.点P 为线段BC 上一动点，当点P 运动到某一位置时，它到点A，B 的距离都等于a，到点P 的距离等于a 的所有点组成的图形为W，点D 为线段BC 延长线上一点，且点D 到点A 的距离也等于a．（1）求直线DA 与图形W 的公共点的个数；（2）过点A 作AE⊥BD 交图形W 于点E，EP 的延长线交AB 于点F，当a=2 时，求线段EF 的长.3、西城4、朝阳23.如图，在△ABC 中，AB=3，AC=4，BC=5．在同一平面内，△ABC 内部一点O 到AB，AC，BC的距离都等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G．（1）直接写出a 的值；（2）连接BO 并延长，交AC 于点M，过点M 作MN⊥BC 于点N．①求证：∠BMA=∠BMN；②求直线MN 与图形G 的公共点个数．5、房山24.如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，以AC 为直径作⊙O 交AB 于点D，线段BC 上有一点P．（1）当点P 在什么位置时，直线DP 与⊙O 有且只有一个公共点，补全图形并说明理由.（2）在（1）的条件下，当BP= 求⊙O 半径．6、密云10，AD=3 时，223．如图，AB 为⊙O 的直径，点C、点D 为⊙O 上异于A、B 的两点，连接CD，过点C 作CE⊥DB，交DB 的延长线于点E，连接AC、AD． (1)若∠ABD=2∠BDC，求证：CE 是⊙O 的切线．(2)若⊙O 的半径为，tan ∠BDC =1，求AC 的长．257、平谷8、顺义22．如图，在□ABCD 中，∠B=45°，点C 恰好在以AB 为直径的⊙O 上．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）连接BD，若AB=8，求BD 的长．9、延庆22.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上的一点，点D 是弧BC 的中点，连接AC，BD，过点D 作AC 的垂线EF，交AC 的延长线于点E，交AB 的延长线于点F.(1)依题意补全图形；(2)判断直线EF 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(3)若AB=5，BD=3，求线段BF 的长.10、燕山︵22.如图，A B为⊙O的直径，A C为弦，点D为B C中点，过点D作D E⊥直线A C，垂足为E，交AB的延长线于点F．(1)求证：EF 是⊙O 的切线；(2)若EF＝4，sin F ＝3 ，求⊙O的半径．511、通州12.东城13.石景山23. 如图，AB 是⊙O 的直径，直线PQ 与⊙O 相切于点C ，以OB ，BC 为边作□OBCD ， 连接AD 并延长交⊙O 于点E ，交直线PQ 于点F .（1）求证：AF CF ⊥；（2）连接OC ，BD 交于点H ，若tan 3OCB ∠=， ⊙O 的半径是5，求BD 的长.14.大兴23 .已知：如图，在△ABC 中，B C ∠=∠．以AB 为直径的 ⊙O 交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AC 于点E . (1)求证：DE 与⊙O 相切；(2)延长DE 交BA 的延长线于点F ，若8AB =，sin B，求线段FA 的长.15.门头沟22．如图，∠APB ，点C 在射线PB 上，PC 为⊙O 的直径，在∠APB 内部且到∠APB 两边距离都相等的所有的点组成图形M ，图形M 交⊙O 于D ，过点D 作直线DE ⊥PA ，分别交射线PA ，PB 于E ，F ． （1）根据题意补全图形； （2）求证：DE 是⊙O 的切线；（3）如果PC =2CF，且DF =PE 的长．A。

圆专题西城24．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD =90°，AC是对角线．点E在BC的延长线上，且∠CED =∠BAC．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）BA与CD的延长线交于点F，若DE∥AC，AB=4，AD =2，求AF的长．24．解：（1）相切．证明：连接BD，如图．∵四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD =90°，∴BD是⊙O的直径，即点O在BD上．∴∠BCD = 90°．∴∠CED +∠CDE = 90°．∵∠CED =∠BAC．又∵∠BAC =∠BDC，∴∠BDC +∠CDE = 90°，即∠BDE = 90°．∴DE⊥OD于点D．∴DE是⊙O的切线．（2）如图，BD与AC交于点H．∵DE∥AC，∴∠BHC =∠BDE= 90°．∴BD⊥AC．∴AH= CH．∴ BC = AB =4，CD = AD =2． ∵ ∠F AD =∠FCB = 90°，∠F =∠F ， ∴ △F AD ∽△FCB ． ∴AD AFCB CF=． ∴ CF =2AF ．设 AF = x ，则DF = CF -CD=2x -2． 在Rt △ADF 中，222DF AD AF =+， ∴ 222(22)2x x -=+．解得 183x =，20x =（舍去）． ∴ 83AF =． ····································································· 6分 海淀25．如图，AB 是O 的直径，直线MC 与O 相切于点C . 过点A 作MC 的垂线，垂足为D ，线段 AD 与O 相交于点E .（1）求证：AC 是∠DAB 的平分线； （2）若10,AB AC ==AE 的长.25．（1）证明：如图，连接OC .∵直线MC 与O 相切于点C ，∴∠OCM =90°.∵AD DM ⊥， ∴∠ADM =90°.∴∠OCM=∠ADM.∴OC∥AD.∴∠DAC=∠ACO.∵OA=OC，∴∠ACO=∠CAO .∴∠DAC=∠CAB.∴AC是∠DAB的平分线.（2）解：如图，连接BC，连接BE交OC于点F.∵AB 是O的直径，∴∠ACB=∠AEB=90°.∵AB=10，AC=∴BC=∵OC∥AD，∴∠BFO=∠AEB=90°.∴∠CFB=90°，F为线段BE中点.∵∠CBE=∠EAC=∠CAB，∠CFB=∠ACB，∴△CFB∽△BCA.∴CF BCBC AB=.∴CF=2.∵OC=12AB，∴OC=5.∴OF=OC-CF=3.∵O为直径AB中点，F为线段BE中点，A∴AE=2OF=6.东城18．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，∠A =30°，CD O的半径的长．朝阳21. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5 m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．石景山23. 如图，B 是⊙O 的半径OA 上的一点（不与端点重合），过点B 作OA 的垂线交⊙O 于点C ，D ，连接OD .E 是⊙O 上一点，CE CA =，过点C 作⊙O 的切线l ，连 接OE 并延长交直线l 于点F . （1）①依题意补全图形；②求证：OFC ODC ∠=∠； （2）连接FB ，若B 是OA 的中点， ⊙O 的半径是4，求FB 的长.图1图2A OBD E23．（1）①依题意补全图形． …………… 1分②证明：连接OC ，如图1． ∵半径OA CD ⊥，∴90OBD ∠=°，AD AC =． ∵EC AC =， ∴EC AD =． ∴12∠=∠．∵CF 是⊙O 的切线，OC 是半径， ∴90OCF ∠=°．∴OFC ODC ∠=∠． ………………………… 3分 （2）解法一：过点B 作BG OD ⊥于点G ，如图2． ∵B 是OA 的中点，4OA =， ∴2OB =．∴在BOD Rt △中，60DOB ∠=°．∵EC AC AD ==，∴60EOC AOC DOA ∠=∠=∠=°． ∴180EOD ∠=°．即点D ，O ，E 在同一条直线上． 在OCF Rt △中，4OC =，可得8OF =．在OGB Rt △中，2OB =，可得1OG =，BG =∴9FG OF OG =+=．在BGF Rt △中，由勾股定理可得FB = …………… 6分 解法二：过点F 作FM BO ⊥交BO 的延长线于点M ，如图3（略）．图1C图2AB 解法三：过点B 作BG FC ⊥于点G ，如图4（略）．解法四：过点F 作FM BC ⊥交BC 的延长线于点M ，如图5（略）．顺义23．如图，Rt △ABC 中，∠C =90°．BE 平分∠ABC 交AC 于点D ，交△ABC 的外接圆于点E ，过点E 作EF ⊥BC 交BC 的延长线于点F ．请补全图形后完成下面的问题： （1）求证：EF 是△ABC 外接圆的切线；（2）若BC =5，sin ∠ABC =1213，求EF 的长． 23．(1)证明：补全图形如图所示， ………………………………………… 1分 ∵△ABC 是直角三角形，∴△ABC 的外接圆圆心O 是斜边AB 连接OE ， ∴OE=OB ．∴∠2=∠3．………………… 2分 ∵BE 平分∠ABC ，∴∠1=∠2．………………… 3分 ∴∠1=∠3． ∴OE ∥BF ． ∵EF ⊥BF ， ∴EF ⊥OE ．∴EF 是△ABC 外接圆的切线． ……………………………… 4分ABCl图3 图4(2)解：在Rt △ABC 中，BC =5，sin ∠ABC =1213， ∴1213AC AB =． ∵222AC BC AB +=， ∴ AC =12．∵∠ACF=∠CFE=∠FEH=90°，∴四边形CFEH 是矩形． ∴EF=HC ，∠EHC=90°． ∴EF= HC=162AC =． …………………………………………… 6分大兴23．如图，AB 是⊙O 的直径， BC 交⊙O 于点D ，E AE 交BC 于点F ，∠ACB =2∠EAB ．（1）求证：AC 是⊙O 的切线； （2）若43cos =C ，8=AC ，求BF 的长． 23. （1）证明:如图①，连接AD ．∵ E…………………………1分∴ ∠DAE =∠EAB ． ∵ ∠C =2∠EAB ， ∴∠C =∠BAD ． ∵ AB 是⊙O 的直径，∴ ∠ADB =∠ADC =90°．………………2分∴ ∠C +∠CAD=90°． ∴ ∠BAD +∠CAD =90°． 即 BA ⊥AC ．∴ AC 是⊙O 的切线．…………………3分（2）解：如图②，过点F 做FH ⊥AB 于点H ．∵ AD ⊥BD ，∠DAE =∠EAB ， ∴ FH =FD ，且FH ∥AC ． 在Rt △ADC 中， ∵43cos =C ，8=AC ， ∴ CD =6．…………………………………………………4分 同理，在Rt △BAC 中，可求得332=BC ． ∴314=BD ． 设 DF =x ，则FH =x ，x BF -=314． ∵ FH ∥AC ， ∴ ∠BFH =∠C ． ∴43cos ==∠BF FH BFH ． 即43314=-x x ．………………………………………………5分 解得x =2． ∴38=BF ． …………………………………………………6分平谷25．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过点A作AD平分∠BAC，交⊙O 于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E．（1）依据题意，补全图形（尺规作图，保留痕迹）；（2）判断并证明：直线DE与⊙O的位置关系；（3）若AB=10，BC=8，求CE的长．25．（1）如图． (1)（2）判断：直线DE是⊙O的切线． (2)证明：连结OD，交BC于F．∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD． (3)∴CD BD．∴OD⊥BC于F．∵DE∥BC，∴OD⊥DE于D．∴直线DE是⊙O的切线． (4)（3）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．∵AB=10，BC=8，∴AC=6． (5)∵∠BOF=∠ACB=90°，∴OD∥AC．∵O是AB中点，∴OF=12AC=3．∵OD=12AB=5，AA∴DF=2．∵DE∥BC，OD∥AC，∴四边形CFDE是平行四边形．∵∠ODE=90°，∴平行四边形CFDE是矩形．∴CE=DF=2． (6)昌平24.如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，点D是半圆的中点，连接CD交OB于点E，点F是AB延长线上一点，CF＝EF．（1）求证：FC是⊙O的切线；（2）若CF＝5，1tan2A ，求⊙O半径的长．房山23.如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝60°，高AD的延长线交⊙O于点E，BC＝6，AD＝5．（1）求⊙O的半径；（2）求DE的长．23.（1）依题意补全图形，如图23-1 …………3分图23-1 图23-2（2）如图23-2，直线FC 与图形W 有一个公共点 …………4分证明：连接OC …………5分⸪射线AO 与射线AM 关于AC 对称 ⸪∠1=∠2 ⸪OC = OA ⸪∠1=∠3 ⸪∠3=∠2 ⸪OC ∥AE ⸪CF ⊥AM 于F⸪CF ⊥OC …………6分 ⸪图形W 即⊙O ，OC 为半径⸪FC 与⊙O 相切，即FC 与图形W 有一个公共点.密云24．已知：如图，⊙O 的直径AB 与弦CD 相交于点E ，且E 为CD 中点，过点B 作CD 的平行线交弦AD 的延长线于点F . （1）求证：BF 是⊙O 的切线；（2）连结BC ，若⊙O 的半径为2，tan ∠BCD= ，求线段AD 的长．4324．（1）证明：∵ ⊙O 的直径AB 与弦CD 相交于点E ，且E 为CD 中点∴ AB CD , ∠AED =90° ………………………………1分 ∵ CD // BF∴ ∠ABF =∠AED =90°∴ AB BF ………………………………2分∵ AB 是⊙O 的直径∴ BF 是⊙O 的切线 ………………………………3分（2）解：连接BD∴∠BCD =∠BAD ………………………………4分 ∵ AB 是⊙O 的直径 ∴∠ADB=90°∵ tan ∠BCD= tan ∠BAD= ∴∴设BD =3x ，AD =4x∴AB =5x ………………………………5分 ∵ ⊙O 的半径为2，AB =4∴5x =4，x =∴AD =4x = ………………………………6分燕山24．如图，Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，以AB 为直径作⊙O 交AC 于点D ，连接BD ．(1) 求证：∠A ＝∠CBD ．(2) 若AB ＝10，AD ＝6，M 为线段BC 上一点，请写出一个BM 的值，使得直线DM 与⊙O 相切，并说明理由．34BD AD =45165C ADBO⊥43⊥24．(1)证明：∵AB 为⊙O 直径，∴∠ADB ＝90°， ………………………1分 ∴∠A ＋∠ABD ＝90°．∵∠ABC ＝90°， ∴∠CBD ＋∠ABD ＝90°，∴∠A ＝∠CBD ． ………………………2分(2) BM ＝203． ………………………3分 理由如下：如图，连接OD ，DM ，∵∠ADB ＝90°，AB ＝10，AD ＝6，∴BD ＝8，OA ＝5． ………………………4分∵5153202043＝＝，6384＝， ∴OA ADBM BD＝． 又∵∠A ＝∠MBD ， ∴△OAD ∽△MBD ，∴∠1＝∠2． ………………………5分 ∵∠1＋∠3＝90°，∴∠2＋∠3＝90°，即∠ODM ＝90°． ∵OD 是⊙O 半径，DM ⊥OD 于点D ，∴DM 与⊙O 相切． ………………………6分平谷区 21．如图，O 是ABC ∆的外接圆，圆心O 在ABC ∆的外部，4AB AC ==，BC =，求O 的半径．21．解：连结AO ，交BC 于点D ，练结BO ．∵AB=AC ，∴AB AC =． ··············································· 1 又∵AO 是半径，∴AO ⊥BC ，BD=CD ． (2)∵BC =，∴BD =． ··············································· 3 在Rt ABD ∆中，90ADB ∠=︒ ， ∵222BD AD AB +=，AB =4，∴2AD =． ··················································· 4 设O 半径为r ．在 Rt BDO ∆中， ∵222BD DO BO +=，∴(()222+2r r -= ，∴4r = ． ··················································· 5 ∴O 的半径为4．。

九年级数学竞赛第十三讲圆的基本性质在课内同学们已学了圆的许多基本性质，在此基础上，我们再补充一些与圆有关的性质．§13．1圆内角与圆外角与圆有关的角我们学习过圆心角、圆周角、弦切角以及它们的大小与它们所对(或夹)的弧的度数之间的关系．如果角的顶点在圆内，则称这样的角为圆内角，如图3－28中的∠APB 即为圆内角．圆内角的大小究竟与弧有何关系呢？延长AP，BP分别交圆于C，D两点，再连结AD，则∠APB=∠A+∠D．因为所以即圆内角的度数等于它和它的对顶角所对的两弧度数和的一半，其中圆心角是特殊的圆内角．如果角的顶点在圆外，且角的两边都与同一个圆相交，则称这样的角为圆外角，如图3－29中的∠APB即为圆外角，圆外角的度数与它所夹两弧的度数有关．连结AD，则∠P=∠CAD-∠D．因为所以即圆外角的度数等于它所夹两弧度数差的一半．§13．2圆内接多边形1．圆内接三角形与正弦定理在前一讲中我们介绍了正弦定理，利用三角形的外接圆不但可以证明正弦定理，而且还能得出更完满的结果．如图3－30所示．设⊙O为△ABC的外接圆，⊙O的半径为R，连接BO并延长交⊙O于A′，连结A′C，则∠A=∠A′，且∠A′CB=90°，所以上面这个等式就是正弦定理，它说明任意一个三角形中，一边与其所对的角的正弦值之比都等于该三角形的外接圆的直径．2．圆内接四边形与四点共圆任意一个三角形都存在外接圆，但是任意一个四边形不一定存在外接圆．什么样的四边形外接于圆呢？我们知道，圆内接四边形对角互补，这个性质定理的逆命题就是圆内接四边形的判定定理，即对角互补的四边形是圆内接四边形．我们学过圆的这个性质：同弧所对的圆周角相等，如图3－31中A，B，C，A′在圆O上，则∠A=∠A′．这个性质的逆命题就是四点共圆的判定定理，即具有公共边的且同侧公共边所对的角相等的两个三角形共圆，如图3－32所示．△ABC与△A′BC中∠A=∠A′，则A，B，C，A′四点共圆．§13．3圆外切多边形的性质及判定1．三角形内切圆半径如图3－33所示，⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F为切点，设内切圆半径为r，连接AO，BO，CO，则有若△ABC为直角三角形，如图3－34所示，⊙I为其内切圆，D，E，F 为切点．由切线长定理知，AD=AF，BD=BE，CE=CF，所以有AC+BC-AB=CF+CE．又因为四边形IECF是边长为r的正方形，所以CF+CE=2r，即直角三角形内切圆半径等于两直角边之和与斜边差的一半．2．圆外切四边形根据切线长定理可推出，圆外切四边形两组对边和相等，即AD+BC=AB+CD(如图3－35所示)．若圆外切四边形是梯形，则圆外切梯形两底和等于两腰和．特别地，圆外切等腰梯形的腰长等于中位线的长(如图3－36所示)．我们知道，任意一个三角形既有外接圆也有内切圆，但是任意一个四边形不一定有外接圆，也不一定有内切圆，只有两组对边和相等的四边形才有内切圆．下面通过例题，进一步说明与圆有关的常见的一些问题的思路和解法．例1 已知⊙O的半径r=4，AB，CD为⊙O的两条弦，AB，CD的长分别是方程的两根，其中AB＞CD，且AB∥CD．求AB与CD间的距离．分析解一元二次方程求得方程两根，从而得出弦AB与CD的长，由弦长及半径可求出每条弦的弦心距．若AB，CD位于圆心同侧，则两弦间距离等于弦心距的差；若AB，CD位于圆心异侧，则两弦间距离等于弦心距之和．解由方程所以作OF⊥CD于F，因为AB∥CD，所以OF⊥AB，设垂足为E．(1)若AB，CD位于圆心O的同侧(图3－37(a))，则AB与CD间的(2)若AB，CD位于圆心O的异侧(图3－37(b))，则AB与CD间的距离说明 (1)垂径定理在与弦长有关的计算或证明中是经常使用的，应注意．(2)注意运用分类讨论的思想，将符合条件的图形间的不同位置关系逐一考查．例2 已知△ABC内接于⊙O，∠B=60°，AD是直径，过D点分析在△ABC中，只知道AB的长度及∠B的大小，是无法确定BC 的长的．因为AD是直径，DE是⊙O的切线，所以DE⊥AD．若连接DC，则∠ADC=∠B=60°，且∠DCE=90°，∠CDE=30°，这样△DCE可解，求出DE边以后可利用切割线定理求出AC的长，或者求出DC边后利用射影定理求出AC，这样由△ABC可解出BC的长．解连结DC．因为AD为⊙O的直径，DE切⊙O于D，所以AD⊥DE，∠ACD=90°．又因为∠ADC=∠B=60°，所以∠CDE=90°-60°=30°．因为DC2=AC×CE(射影定理)，在△ABC中，根据余弦定理有AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cosB．设BC=x，则22+x2-4x·cos60°=6，整理得x2-2x-2=0，说明本题已知条件中虽然给出了两条线段的长度及一个角的大小，但是这些已知量没有集中在同一个三角形中，所以图中各个三角形都无法求解，这时应通过作适当的辅助线，将这些已知量尽可能地转移到同一个三角形中．另外，在求出AC后，问题转化为在△ABC中已知两边及一对角求另一边，用余弦定理列出一元二次方程，BC的情况完全由方程确定，也可以通过A点向BC边作高线AF，转化为解直角三角形的问题．应注意，垂足F究竟落在BC上还是落在BC的延长线上，因此，应分类讨论．例3 如图3－39所示．已知⊙O的外切△ABC，AB，BC，AC边上的切点为M，D，N，MN与直线DO交于E，连接AE并延长交BC于F．求证：BF=CF．分析若证F是BC的中点，因为ED与BC垂直，因此考虑将MN绕E 点旋转到与BC平行的位置，即M′N′，这时只要E点是M′N′的中点，结论即可得出．证过E点作M′N′∥BC，交AB于M′，交AC于N′，连结OM，ON，OM′，ON′．因为⊙O是△ABC的内切圆，且D，M，N为切点，所以∠OMM′=∠ODB=90°．因为∠OEM′=∠ODB，所以∠OMM′=∠OEM′，所以O，E，M，M′四点共圆，所以∠OME=∠OM′E．同理，O，E，N′，N四点共圆，所以∠ONE=∠ON′E．因为OM=ON，所以∠OME=∠ONE，∠OM′E=∠ON′E，OM′=ON′，EM′=EN′．因为 M′N′∥BC，所以 BF=FC．例4 如图3－40所示．在半径为1的⊙O中，引两条互相垂直的直径AE和BF，在EF上取点C，弦AC交BF于P，弦CB交AE于Q．证明：四边形APQB的面积是1．正方形面积为2．而△ABD的面积为正方形面积的一半，所以，只需证明S△APQB=S△A BD，即证S△BPD=S△BPQ，即证DQ∥PB．因为BP⊥AE，所以，只需证DQ ⊥AE．证因为AE，BF为互相垂直的两条直径，垂足O为圆心，所以AE，BF互相平分、垂直且相等，所以四边形ABEF是正方形．所以∠ACB=∠AEF=45°，即∠DCQ=∠QED，所以D，Q，E，C四点共圆．连接CE，DQ，则∠DCE+∠DQE=180°．因为AE为⊙O的直径，所以∠DCE=90°，∠DQE=90°．因为∠FOE=90°，进而DQ∥BF，所以S△BPQ=S△BPD，所以S△ABP+S△BPQ=S△A BP+S△BPD，即S ABQP=S△ABD．说明当题目的结论直接证明较繁或无法证明时，可根据条件先证明某四点共圆，再利用圆的性质可使问题得以解决，这种方法常称之为“作辅助圆”方法．练习十三任一点，自M向弦BC引垂线，垂足为D．求证：AB+BD=DC．2．如图3－42所示．P是△ABC的外接圆上一点，由P向边BC，CA，AB引垂线，垂足分别是D，E，F．求证：D，E，F三点共线．3．如图3－43所示．AB为半圆O的直径，经过A，B引弦AC与BD，设两弦交于E，又过C，D分别引⊙O的切线交于点P，连接PE．求证：PE ⊥AB．。

如图，△ABC 内接于⊙O ，过点C 作BC 的垂线交⊙O 于D ，点E 在BC 的延长线上，且∠DEC = ∠BAC（1）求证：DE 是 ⊙O 的切线（2）若AC ∥DE ，当AB = 8，CE = 2时，求⊙O 直径的长 2 丰台如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，连接AC . 过点B 作⊙O 的切线，交AC 的延长线于点D ，在AD 上取一点E ，使AE = AB ，连接BE ，交⊙O 于点F 请补全图形并解决下面的问题： （1）求证：∠BAE =2∠EBD （2）如果AB = 5，55sin =∠EBD ，求BD 的长 3 海淀如图，AB 是⊙O 的弦，半径OE AB ^，P 为AB 的延长线 上一点，PC 与⊙O 相切于点C ，CE 与AB 交于点F （1）求证：PC =PF（2）连接OB ，BC ，若//OB PC，BC =3tan 4P =，求FB 的长E如图，AB 是O e 的直径，过点B 作O e 的切线BM ，点 A ，C ，D 分别为O e 的三等分点，连接AC ，AD ，DC ， 延长AD 交BM 于点E ， CD 交AB 于点F. （1）求证：//CD BM（2） 连接OE ，若DE=m ，求△OBE 的周长 5 通州如图，AB 为⊙O 的直径，C 、D 为⊙O 上不同于A 、B 的 两点，∠ABD =2∠BAC ，连接CD ，过点C 作CE ⊥DB ，垂 足为E ，直径AB 与CE 的延长线相交于F 点 （1）求证：CF 是⊙O 的切线 （2）当185BD=，3sin 5F=时，求OF 的长 6 燕山如图，AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点P ，过点A 作AD ⊥PC 于点D ，AD 与⊙O 交于点E(1) 求证：AC 平分∠DAB (2) 若AB ＝10，sin ∠CAB ＝25，请写出求DE 长的思路BA如图，AB ，AC 是⊙O 的两条切线，B ，C 为切点，连接CO 并延长交AB 于点D ，交⊙O 于点E ，连接BE ，连接AO（1）求证：AO ∥BE（2）若2=DE ，tan ∠BEODO 的长8 门头沟如图，AB 是⊙O 的直径，过点B 作⊙O 切线BM ，弦CD ∥BM ， 交AB 于F ，»»AD DC =，连接AC 和AD ，延长AD 交BM 于点E （1）求证：△ACD 是等边三角形 （2）连接OE ，如果DE = 2，求OE 的长9 大兴如图，点C 是⊙O 直径AB 上一点，过C 作CD ⊥AB 交⊙O 于 点D ，连接DA ，延长BA 至点P ，连接DP ，使∠PDA=∠ADC (1) 求证：PD 是⊙O 的切线(2) 若AC =3，4tan 3PDC ∠=，求BC 的长ADBEM OFCA如图，点O 是Rt △ABC 的AB 边上一点，∠ACB =90°， ⊙O 与AC 相切于点D ，与边AB ，BC 分别相交于点E ，F（1）求证：DE=DF （2）当BC =3，sin A =35时，求AE 的长 11 朝阳如图，在ABE Rt ∆中，090=∠B ，以AB 为直径的⊙O 交 AE 于点C ，CE 的垂直平分线FD 交BE 于点D 连接CD （1）判断CD 与⊙O 的位置关系，并证明 （2）若12=⋅AE AC ，求⊙O 的半径CAE FOBD如图，AB 是⊙O 的直径，ABC ∆内接于⊙O ，点D 在⊙O 上，BD 平分ABC ∠交AC 于点E ，BC DF ⊥交BC 的延 长线于点F（1）求证：FD 是⊙O 的切线 （2）若BD=8，53sin =∠DBF 求DE 的长 13 顺义已知，如图，点C 是以AB 为直径的⊙O 上一点，直线AC 与过B 点的切线相交于D ，点E 是BD 的中点，直线CE 交 直线AB 于点F（1）求证：CF 是⊙O 的切线 （2）若ED=3，EF=5，求⊙O 的半径24. 如图，已知Rt △ABC 中，∠A CB ＝90°，E 为AB 上一点，以AE 为直径作⊙O 与BC 相切于点D ，连接ED 并延长交AC 的延长线于点F ． （1）求证：AE ＝AF ;（2）若AE ＝5，AC ＝4，求BE 的长．15 石景山如图，AB 是⊙O 的直径，C 为AB 延长线上一点，过点C 作⊙O 的切线CD ，D 为切点，点F 是»AD 的中点，连接OF 并延长交CD 于点E ，连接BD ，BF ． （1）求证：BD∥OE ； （2）若OE =3tan 4C =，求⊙O 的半径．EC1昌平 （1）连接BD∵DC ⊥BE ∴∠BCD =∠DCE =90° ∴BD 是⊙O 直径 ∴∠DEC +∠CDE =90°∵∠DEC =∠BAC ∴∠BAC +∠CDE =90° ∵»»BC BC = ∴∠BAC =∠BDC∴∠BDC +∠CDE =90° ∴DE 是⊙O 切线（2）∵AC ∥DE ，BD ⊥DE ∴BD ⊥AC ∵BD 是⊙O 直径 ∴AF =CF∴AB =BC =8 ∵BD ⊥DE ，DC ⊥BE ∴BD 2=BC ·BE =80 ∴BD= 2丰台 作图正确（1）证明：连接AF∵AB 是⊙O 的直径 ∴∠AFB =90° ∵AB = AE ∴∠BAE =2∠BAF ∵BD 是⊙O 的切线 ∴∠ABD =90° ∵∠BAF +∠ABF =90°，∠EBD +∠ABF =90° ∴∠BAF =∠EBD ∴∠BAE =2∠EBD （2）过点E 作EH ⊥BD 于H∵∠BAF =∠EBD ∴sin sin BAF EBD ∠=∠在Rt △ABF 中 ∵AB = 5∴BF =∴2BE BF == 在Rt △EBH 中 ∴sin 2EH BE EBH =⋅∠= ∴BH=4∵EH ∥AB ∴EH DH AB DB = ∴254DH DH =+，解得83DH =∴203BD BH HD =+=H3海淀（1）证明：如图，连接OC∵OE AB ⊥ ∴90EGF ∠=° ∵PC 与⊙O 相切于点C ∴=90OCP ∠° ∴90E EFG OCF PCF ∠+∠=∠+∠=° ∵OE OC = ∴E OCF ∠=∠ ∴EFG PCF ∠=∠ 又∵EFG PFC ∠=∠ ∴PCF PFC ∠=∠ ∴PC PF = （2）方法一：解：如图，过点B 作BH PC ⊥于点H∵OB PC ∥，90OCP ∠=︒ ∴90BOC ∠=︒ ∵OB OC = ∴45OBC OCB ∠=∠=° ∴45BCH OBC ∠=∠=° 在Rt BHC △中，BC =可得sin45BH BC =⋅°3=，cos45CH BC =⋅°3= 在Rt BHP △中，3tan 4P =可得4tan BHPH P==∴5BP == ∴7PC PH CH =+= ∴PF PC =∴2FB PF PB PC PB =-=-= 方法二：解：如图，过点C 作CH AP ⊥于点H∵OB PC ∥，90OCP ∠=︒ ∴90BOC ∠=° ∵OB OC = ∴45OBC OCB ∠=∠=° 在Rt OBC △中，BC = 可得sin45OB BC =⋅°3= ∴3OE OB ==∵GBO P ∠=∠，3tan 4P =∴3tan 4GBO ∠=在Rt GBO △中，tan OG GBO GB ∠=，3OB = ∴95OG =，125GB =∴65EG OE OG =-= 在Rt CHP △中，tan CHP PH=，222CH PH PC +=设3CH x =，则4PH x =，5PC x = ∵PC PF = ∴FH PF PH x =-= ∵EFG CFH ∠=∠，90EGF CHF ∠=∠=o ∴EGF △∽CHF △ ∴13FG FH EG CH == ∴1235FG EG ==∴2FB GB FG =-=PPP方法三：解：如图，过点C 作CH AP ⊥于点H ，连接AC ∵OB PC ∥，90OCP ∠=︒ ∴90BOC ∠=︒ ∴1452A BOC ∠=∠=° 在Rt CHP △中，3tan 4CH P PH == 设3CH x =，则4PH x =，5PC x =在Rt AHC △中，45A ∠=°，3CH x = ∴3AH CH x ==，32AC x = ∴7PA AH PH x =+= ∵P P ∠=∠，45PCB A ∠=∠=︒ ∴PCB PAC △∽△ ∴PB PC BC PC PA AC ==∵32BC = ∴75x =，7PC =，5PB = ∵PF PC = ∴7PF = ∴2FB PF PB =-=方法四：解：如图，延长CO 交AP 于点M∵OB PC ∥，90OCP ∠=︒ ∴90BOC ∠=︒ 在Rt OBC △中，32BC =，OB OC = 可得3OB =∵MBO P ∠=∠，3tan 4P =∴3tan 4MBO ∠=在Rt MBO △中，3tan 4OM MBO OB ∠== 可得94OM =，154BM = ∴214CM = 在Rt PCM △中，3tan 4CM P PC ==可得7PC =，354PM = ∴5PB PM BM =-=，7PF PC == ∴2FB PF PB =-=4怀柔(1)∵点A 、C 、D 为O e 的三等分点 ∴»»»AD DC AC == ∴AD=DC=AC ∵AB 是O e 的直径 ∴AB ⊥CD ∵过点B 作O e 的切线BM∴BE ⊥AB ∴//CD BM(2) 连接DB由双垂直图形容易得出∠DBE=30°，在Rt △DBE 中，由DE=m ，解G H F APCBE OABCDF M O得BE=2m ，m②在Rt △ADB 中利用30°角，解得AB=2m ，③在Rt △OBE 中，由勾股定理得出④计算出△OB E 周长为2m 5通州 （1）连接OC∵»»CB CB = ∴2BOC BAC ∠=∠∵∠ABD =2∠BAC ∴BOC ABD ∠=∠ ∴BD ∥OC ∵CE ⊥DB ∴CE ⊥OC ∴CF 是⊙O 的切线 （2）解：连接AD∵AB 为⊙O 的直径 ∴BD ⊥AD ∵CE ⊥DB ∴AD ∥CF ∴F BAD ∠=∠ 在Rt △ABD 中 ∴3sin sin 5BD F=BAD AB ∠==. ∴18355AB = ∴6AB = ∴3OC = 在Rt △COF 中 ∴3sin 5OC F OF == ∴335OF = ∴5OF = 另解：过点O 作OG ⊥DB 于点G 6燕山 (1)连接OC ，∵PD 切⊙O 于点C ∴OC ⊥PC ∵AD ⊥PC 于点D ∴OC ∥AD ∴∠1＝∠3 又∵OA ＝OC ∴∠2＝∠3 ∴∠1＝∠2 即AC 平分∠DAB(2) 思路一：连接CE 可证Rt △CDE ∽Rt △ACB ∴DE CEBC AB=在Rt △ABC 中，由AB ＝10，sin ∠CAB ＝25，可求BC ＝4由∠1＝∠2，得EC ⌒＝BC ⌒ ∴EC ＝BC ＝4 故BC CEDE AB=g 可求 思路二：过点B 作BF ⊥l 于点F ，连接BE ，可证四边形DEBF 是矩形 ∴DE ＝BF 由AB 为⊙O 的直径，∠ACB ＝90°，且OC ⊥PC 可证∠BCF ＝∠3＝∠2，在Rt △ABC 中，由AB ＝10，sin ∠2＝25，可求BC ＝4 在Rt △BCF 中，由BC ＝4，sin ∠BCF ＝sin ∠2＝25可求BF ＝85 ∴DE ＝BF ＝857房山）（1） 证明：连结BC∵AB ，AC 是⊙O 的两条切线，B ，C 为切点∴=AB AC ,平分∠OA BAC ∴OA ⊥BC ∵CE 是⊙O 的直径 ∴∠CBE =90° ∴ OA ∥BE (2)∵OA ∥BE ∴∠BEO =∠AOC ∵tan ∠BEO∴tan ∠AOC在Rt △AOC 中,设OC =r ,则AC, OA∴在Rt △CEB 中,EBr ∵BE ∥OA ∴△DBE ∽△DAO ∴DE EB DO OA =2DO =∴DO =3AA8门头沟（1）∵ AB 是⊙O 的直径，BM 是⊙O 的切线 ∴ AB ⊥BM∵ CD ∥BM ∴AB ⊥CD ∴»»AD AC = ∵»»AD DC = ∴ »»»AD AC DC== ∴ AD =AC =DC ∴△ACD 是等边三角形 （2）连接BD ，如图∵ AB 是⊙O 的直径 ∴∠ADB =90° ∵∠ABD =∠C =60°∴∠DBE =30° 在Rt △BDE 中，DE =2，可得BE =4，BD=在Rt △ADB 中，可得AB=∴ OB=在Rt △OBE 中，由勾股定理得OE=9大兴 （1）连接OD∵OD =OA ∴∠ODA=∠OAD ∵CD ⊥AB 于点C ∴∠OAD +∠ADC =90° ∴∠ODA +∠ADC = 90° ∵∠PDA =∠ADC ∴∠PDA +∠ODA =90° 即∠PDO =90° ∴PD ⊥OD ∵D 在⊙O 上 ∴PD 是⊙O 的切线（2） ∵∠PDO =90° ∴∠PDC +∠CDO =90° ∵CD ⊥AB 于点C∴∠DOC +∠CDO =90° ∴∠PDC =∠DOC 4tan 3PDC ∠=Q 4tan 3DOC ∴∠= 设DC = 4x ,CO = 3x ,则OD =5x ∵AC =3 ∴OA =3x+3 ∴3x+3=5x ∴x =32∴OC=3x=92, OD=OB=5x =152∴BC=1210（2019.1+++平谷+++初三上+++期末）无答案ABEM ABEMB11朝阳12西城。

2019-2020 北京初中数学竞赛 九年级 比例与相似专题（含答案）1. 设梯形ABCD ，E 、F 分别在AB 、CD 上，且AD EF BC ∥∥，若3AD =，7BC =，5AB =，6CD =，梯形AEFD 和梯形EBCF 的周长相等，求EF ．解析 如图，作平行四边形DABH ，H 在BC 上，则5DH AB ==，4CH =．设DH 与EF 交于G ．易知梯形AEFD 的周长为DGF △的周长加上6，梯形EBCF 的周长为梯形FGHC 的周长加6，故DGF △的周长=梯形GHCF 的周长，也即DG DF DHC +=△周长的一半即152． 又56DG DH DF CD ==，故6154511211DF =⨯=．453046611DF GF CH CD =⋅=⨯=，306331111EF =+=． 2. 如图，已知ABC △中，AD 、CE 交于F ，BF 、ED 交于G ，过G 作GMN BC ∥，交CE 于M ，交AC 于N ，求证：GM MN =．解析 设AD 与GM 交于K ，AB 与直线NG 交于P ，则KN CD KMPK BD GK==． 于是1PK PG CD GM MN KN KM KM KM PG PG GM GK GK BD PG ⎛⎫=-=-=⋅=⋅=⋅= ⎪⎝⎭．3. 在ABC △中，角平分线AD 与BC 交于D ，AB c =，BC a =，CA b =，求BD 、CD之长度(用a 、b 、f 表示)． 解析 如图，易知有BD CD a +=，BD AB c CD AC b ==，故ac BD b c =+，abCD b c=+． ADEG FB HCAEP BDCG K MNF4. 已知：等腰梯形ABCD 中，M 、N 分别是腰AB 、CD 的中点，BD BC =，BD CA⊥且交于E ，求证：CE MN =． 解析 如图，不妨设1BE CE ==，则BC BD AC ===，1AE ED ==，故2AD =，()112MN AD BC CE =+==．5. 在ABC △中，2AC AB =，A ∠的平分线交BC 于D ，过D 分别作AB 、AC 的平行线交AC 、AB 于F 、E ，FE 和CB 的延长线交于G ，求证：EF EG =． 解析 如图，由ED AC ∥，及AD 平分BAC ∠，知12GE BE BE BD AB GF DF AE CD AC =====，故2GF GE =，因此EF EG =．6. 设D 为ABC △的边BC 的中点，过D 作一直线，交AB 、AC 或其延长线于E 、F ，又过A 作AG BC ∥，交FE 的延长线于G ，则EG FD GF DE ⋅=⋅．AB D CADEMN BCAEFGB解析 由平行知GE AG AG GFDE BD CD DF===． 于是由第一式与最后一式，转化为乘法，即可得结论．7. 已知O 是平行四边形ABCD 内的任意一点，过点O 作EF AB ∥，分别交AD 、BC 于E 、F ，又过O 作GH BC ∥，分别交AB 、CD 于G 、H ；连结BE ，交GH 于P ；连结DG ，交EF 于Q ．如果OP OQ =，求证：平行四边形ABCD 是菱形． 解析 如图，易知OP EO GA BF EF AB ==，OQ GO AEDH GH AD==． 由于AE BF =，GA DH =，故OP AB GA BF AE DH OQ AD ⋅=⋅=⋅=⋅，于是AB AD =，四边形ABCD 是菱形．8.ABC △中，AB AC >．AD 是BAC ∠的角平分线．G 是BC 的中点，过G 作直线平行于AD 交AB 、AC 或延长线于E 和F ．求证：2AB ACBE CF +==．解析 如图，易知G 比D 靠近B ，E 在AB 上，而F 在CA 延长线上．易知12BG BC =，而AB BC BD AB AC ⋅=+，故2BE BG AB ACAB BD AB+==，同理，CF 也是此值．评注 不用比例线段的方法是：延长EG 一倍至P ，则CP BE =，再证AEF △和FCP △均为等腰三角形．G AE BDCFA E DQGH POB F CF AEB G D C9. 凸四边形ABCD 中，ADC ∠，90BCD ∠>︒，BE 平行于AD 交AC 延长线于点E ，AF 平行于BC 交BD 延长线于点F ，连结E 、F ，证明：EF CD ∥． 解析 如图，设AC 、BD 交于O ，则由平行线性质，知FO AO BO CO =，AOFO BO CO=⋅，同理，BO EO AO DO =⋅，故FO DOEO CO=，故EF CD ∥．10. 如图，在ABC △中．AB AC =，BP 、BQ 为B ∠的三等分角线，交A ∠的平分线AD 于P 、Q ，连结CQ 并延长交AB 于R ，求证：PR QB ∥．解析 易知ABC △关于AD 对称．又设QBC QCB θ∠=∠=，则2ABQ RQB θ∠==∠，故RQ RB =，于是由角平分线之性质，知AR AR AC AB APBR RQ CQ BQ PQ====，于是PR QB ∥． 11. 梯形ABCD 中，AD BC ∥(AD BC <)，AC 和BD 交于M ，过M 作EF AD ∥，交AB 、CD 于E 、F ，EC 和FB 交于N ，过N 作GH AD ∥，交AB 、CD 于G 、H ．求证：1212AD BC EF GH+=+． AF DOB CEARP Q BDC解析11EM AM DM BM EM BC AC DB DB AD ===-=-，故111EM AD BC =+，同理111FM AD BC=+，故11112EF AD BC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，同理11112GH EF BC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，两式相加并整理即得结论．12. 设a 、b 、c 分别是ABC △的三边的长，且a a bb a b c+=++，求它的内角A ∠、B ∠． 解析 由条件，得22a ab ac ab b -+=+，即()2b a a c =+，所以b a ca b+=． 如图，延长CB 至D ，使BD AB =，于是CD a c =+．因此在ABC △与DAC △，AC DCBC AC=，且C ∠为公共角，所以ABC △∽DAC △，BAC D ∠=∠．而BAD D ∠=∠，故22ABC D BAD D BAC ∠=∠+∠=∠=∠．13. 设凸四边形ABCD ，对角线交于E ，过E 作直线与BC 平行，交AB 、CD 及DA 延长线于G 、H 、F ．若1GE =，2EH =，求EF ．A DE MF GNHBCCABbca DDA FGEHBC K解析 延长DF 与CB 延长线交于K ，则有FG GE KB FEBC EH==． 设EF x =，则1FG x =-，代人上式，便得12xx -=．故2EF x ==． 14. AP 为等腰三角形ABC 底边BC 上的高，CD 为ACB ∠的平分线，作DE BC ⊥于E ，又作DF DC ⊥与直线BC 交于F ，求证：4CFPE =． 解析 如图，设AB AC m ==，BC n =，则由角平分线性质知PE AD ACBP AB AC BC==+， 故()2mnPE m n =+．又取FC 中点G ，连结DG ，1902F C ∠=︒-∠，DG FG =，故1902FDG C ∠=︒-∠，DGF C ∠=∠，故DG AC ∥，从而DG BD BC AC AB AC BC ==+，故mnDG m n=+．于是224FC FG DG PE ===．15. 足球场四周有四盏很高的灯，在长方形的四角，且一样高，求某一运动员任何时刻的四个影子长之间的关系．跳起来呢?解析 设运动员P 在矩形球场ABCD 内，如图(a)，过P 作MPN BC ∥，M 在AB 上，N 在CD 上，则22222222AP BP AM BM DN CN PD PC -=-=-=-，或2222AP CP BP DP +=+．又设灯高为H ，运动员身高为h ，点A 处的灯造成的影子长为PA ′，如图(b)，则A P h AA H'='，得A P h PA H h '=-，同理B PC PD P hPB PC PD H h '''===-，故四个影子的关系是2222A P C P B P D P '+'='+'．ADF B EG P CA MBCND P图(a)跳起来时，不妨设脚底离地l ，此时点A 处的灯造成的影子长度为A ′A ″，如图(c)，则h l A P PA H h l +'=--，lA P PA H l"=-，于是A A A P A P '"='-"h ll PA H h l H l +⎛⎫=- ⎪---⎝⎭()()Hh PA H h l H l =---， 同理B BC CD D PB PC PD'"'"'"==()()Hh H h l H l =---，所以A ′2A "+2C C '"=22B B D D '"+'"仍旧成立．16. 求日高公式． 解析 如图所示，设太阳高度为RD x =，杆AB =A ′B =h 直立在地上，影子的长度分别为BC a =，B ′C ′b =，两杆距离为d ．所谓日高公式就是用a 、b 、d 、h 表示x ，这里假定大地为平面，且AB 、A ′B ′与R 在同一平面上．易知CB AB CD RD =，代入得a h a BD x =+，故1x BD a h ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；同理，B ′1x D b h ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．由BD B -′D B =B ′d =，代入得()1x a b d h ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，由此解得1d x h a b ⎛⎫=+⎪-⎝⎭．图(b)图(c)A'hHAP A'AA''P lh HRxDB'A A'hhCB。

A 圆中的选填题1.中国科学技术馆有“圆与非圆”展品，涉及了“等宽曲线”的知识。

因为圆的任何一对平行切线的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”。

除了例以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛只角形(图1)，它是分别以等边三角形的征个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧。

三段圆弧围成的曲边三角形。

图2是等宽的勒洛三角形和圆。

下列说法中错误的是（西城） A.勒洛三角形是轴对称图形 B.图1中，点A 到上任意一点的距离都相等C.图2中，勒洛三角形上任意一点到等边三角形DEF 的中心的距离都相等D.图2中，勒洛三角形的周长与圆的周长相等 答案：C2. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，如果AC CD =，则∠ACD 的度数是_________．（通州）答案：60︒3. 如图，点A B C ，，在⊙O 上，若40CBO =∠°， 则∠A 的度数为 . （房山） 答案：50︒4．如图，⊙O 的半径为2，点A 为⊙O 上一点，半径OD ⊥弦BC 于D ，如果 ∠BAC =60°，那么OD 的长是（门头沟）A ．2 BC ．1D答案：C5．如图，直径为单位1 的圆从数轴上的原点沿着数轴无滑动地顺时针滚动一周到达点A ，则点A 表示的数是（平谷）ACBA(A)2(C) π (D)4答案：C6．如图，点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，AC 是⊙O 的直径，∠BAC =40°，则∠D 的度数是（平谷）(A) 40° (B)50° (C)60° (D)90° 答案：B7.如图，AB 为⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上两点，AC=BC ，AD 与CB 交于点 E.25DAB ∠=︒，则E ∠=_______.（密云）答案：20︒8．下列图形中，21∠>∠的是（延庆）答案：C9．如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足是E ，已知22.5A ∠=︒，2OC =，则CD 的长为 ．（延庆） 答案：10. 如图，点 A ，B ，C ，D 在⊙O 上，且AD 为直径，如果∠BAD =70°，∠CDA=50°，BC =，那么AD =．（丰台） 答案：11．如图，AB 为⊙O 的直径，C ，D ，E 为⊙O 上的点，CD ︵＝DB ︵， ∠ABD ＝60°，则∠CEB ＝ °．（燕山） 答案：6012．如图，AB 是⊙O 的一条弦，P 是⊙O 上一动点（不与点A ，B 重合），C ，D 分别是AB ，BP 的中点．若AB = 4，∠APB = 45°，则CD 长的最大值为． 答案：13．如图，等边三角形ABC 内接于⊙O ，点D 在⊙O 上，25∠=︒ABD ,则AA ．B ．C ．D ．121212D∠=BAD ︒.（顺义）答案：9514．如图，AD 为△ABC 的外接圆⊙O 的直径，若∠BAD ＝50°， 则∠ACB ＝________°．（东城） 答案：4015．如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 为⊙O 上的点．若=20CAB а， 则D Ð= °．（海淀） 答案：11016．如图，过⊙O 外一点P 作⊙O 的两条切线P A ，PB ，切点分别为A ， B ，作直径BC ，连接AB ，AC ，若∠P =80°，则∠C =_____°．（朝阳） 答案：5017. 如图，△ABC 的内切圆⊙O 与AB ，BC ，CA 分别相切于点D ，E ，F ，且AD=2，△ABC 的周长为14，则BC 的长为（怀柔） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 答案：C18 将一块含30°角的三角板如图放置，三角板的一个顶点C 落在以AB 为直径的半圆上，斜边恰好经过点B ，一条直角边与半圆交于点D ，若AB = 2， 则BD 的长为__________（结果保留π）. （大兴）答案：3π圆综——教师版1、（东城）如图，AB与⊙O相切于点A，P为OB上一点，且BP＝BA，连接AP并延长交⊙O于点C，连接OC．（1）求证：OC⊥OB；（2）若⊙O的半径为4，AB＝3，求AP的长．解：（1）证明:∵AB＝BP，∴∠BAP＝∠BP A．…………………………………………………………………1分∵AB与⊙O相切于点A，∴OA⊥BA．∴∠BAO＝90°，即∠BAP＋∠P AO＝90°．…………………………………………………………2分又∵OA＝OC，∴∠P AO＝∠C．∵∠BP A＝∠CPO，∴∠C＋∠CPO＝90°．∴∠COP＝90°，即CO⊥OB．………………………………………………………………………3分（2）解：如图，作BD⊥AP于点DA在Rt△ABO中，AB＝3，OA＝4，则BO＝5，OP＝2．在Rt △CPO 中，PO ＝2，CO ＝4，则CP ＝………………………………………………………………………4分 ∵BA ＝BP ， ∴AD ＝PD ．由（1）知∠COP ＝90°．∵∠BDP ＝90°，∠BPD ＝∠CPO ，∴△BPD ∽△CPO ．………………………………………………………………5分 ∴=2PD．∴PD ＝5．∴AP ＝2PD ＝5．………………………………………………………………6分2、（西城）如图，AB是⊙O的直径，CB与⊙O相切于点B．点D在⊙O上，且BC=BD，连接CD交⊙O于点E．过点E作EF⊥AB于点H，交BD于点M，交⊙O于点F．（1）求证：∠MED=∠MDE；（2）连接BE，若ME=3，MB=2，求BE的长．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，CB与⊙O相切于点B，∴CB⊥AB．………………………………………………………………1分∴∠ABC=90°．∵EF⊥AB于点H，∴∠AHE=90°．∴∠ABC=∠AHE．∴CB∥EF．∴∠C=∠MED．……………………………………………………………2分∵BC=BD，∴∠C=∠MDE．∴∠MED=∠MDE．………………………………………………………3分（2）解：如图．∵AB是⊙O的直径，AB⊥EF，∴BE=BF．……………………………………………………………………4分∴∠BDE=∠BEF．∵∠DBE=∠EBM，∴△DBE ∽△EBM ． …………………………………………………………5分 ∴BD BEBE BM=． ∴2BE BD BM =⋅． ∵∠MED =∠MDE ， ∴ME =MD =3． ∵MB =2，∴BD = MB +MD =5． ∴210BE =．∴BE = ………………………………………………………………6分3、（海淀）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，在⊙O 的切线CM 上取一点P ，使得∠CPB =∠COA ．（1）求证：PB 是⊙O 的切线；（2）若AB =CD =6，求PB 的长．（1）证明：∵ PC 与⊙O 相切于点C ， ∴ OC ⊥PC ． ∴ ∠OCP =90°．∵ ∠AOC =∠CPB ，∠AOC +∠BOC =180°， ∴ ∠BOC +∠CPB =180°．在四边形PBOC 中，∠PBO =360°-∠CPB -∠BOC -∠PCO =90°． ∴ 半径OB ⊥PB ． ∴ PB 是⊙O 的切线．（2）解法1： 连接OP ，如图．∵ AB 是⊙O的直径，AB = ∴12OC OB AB === ∵弦CD ⊥AB 于点E ，CD =6，∴132CE CD ==．在Rt △CEO 中，sin CE COE CO ∠==． ∴∠COE =60°．∵ PB ，PC 都是⊙O 的切线， ∴∠CPO =∠BPO ，∠OCP =∠OBP ． ∴ ∠COP=∠BOP =60°． ∴PB = OB · tan60°= 6． 解法2：连接BC ，如图．∵ AB 是⊙O的直径，AB =∴12OC AB ==． ∵弦CD ⊥AB 于点E ，CD =6， ∴132CE CD ==．在Rt △CEO 中，sin CE COE CO ∠==． ∴∠COE =60°．∴∠CPB =∠COE =60°，1302ABC COE ∠=∠=︒．∴ BC =2CE = 6．∵ PB ，PC 都是⊙O 的切线， ∴ PB =PC ．∴△PBC 为等边三角形． ∴PB =BC = 6．4、（朝阳）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，点O 在AB 上，BC =CD ，过点C 作⊙O 的切线，分别交AB ，AD 的延长线于点E ，F ． （1）求证：AF ⊥EF ； （2）若cos A =45，BE =1，求AD 的长．解：（1）证明：如图1，连接OC ．图1∵EF 是⊙O 的切线， ∴∠OCE =90°． ……………………1分 ∵BC =CD ， ∴BC CD =．∴∠COB =∠DAB ．……………………2分 ∴AF ∥CO ．∴∠AFE =∠OCE =90°． 即AF ⊥EF ． ……………………3分（2）解：如图2，连接BD ，∴∠ADB =90°．由（1）可知cos ∠COE =cos A =45． 设⊙O 的半径为r ， ∵BE =1，∴415r r =+． 解得4r =．……………………4分∴AB =8．5、（丰台）如图，AB 是⊙O 的直径，AE 是弦，C 是AE 的中点，过点C 作⊙O 的切线交BA 的延长线于点G ，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，交AE 于点F ． （1）求证：GC ∥AE ； （2）若sin ∠EAB =53，ODAE 的长．图2（1）证明：连接OC ，交AE 于H.∵C 是弧AE 的中点，∴OC ⊥AE . ............ ......1分 ∵GC 是⊙O 的切线， ∴OC ⊥GC .∴∠OHA=∠OCG =90°.∴GC ∥AE . .............. .....2分 （2）解： ∵OC ⊥AE ,CD ⊥AB , ∴∠OCD =∠EAB . ∴3sin sin 5OCD EAB ∠=∠=.在Rt △CDO 中，OD∴OC =.∴AB 连接BE.∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠AEB =90°. 在Rt △A EB 中， ∵3sin 5BE EAB AB ∠==,∴BE =∴AE = ...................….........5分6、（石景山）如图，AB 是⊙O 的直径，过⊙O 上一点C 作⊙O 的切线CD ，过点B 作BE ⊥CD 于点E ，延长EB 交⊙O 于点F ，连接AC ，AF ． （1）求证：12CE AF =； （2）连接BC ，若⊙O 的半径为5，tan 2CAF ∠=，求BC 的长．（1）证明：连接CO 并延长交AF 于点G ．∵CD 是⊙O 的切线， ∴90ECO ∠=︒． ∵AB 是⊙O 的直径， ∴90AFB ∠=︒． ∵BE CD ⊥， ∴90CEF ∠=︒． ∴四边形CEFG 是矩形．∴GF CE =，90CGF ∠=︒． ∴CG AF ⊥． ∴12GF AF =． ………1分………………………………2分∴12CE AF =． （2）解：∵CG AF ⊥， ∴CF CA =．∴CBA CAF ∠=∠．∴tan tan 2CBA CAF ∠=∠=．∵AB 是⊙O 的直径，∴90ACB ∠=︒．在Rt △CBA 中，设BC x =，2AC x =，则=52AB =⨯．∴BC x ==7、（房山）如图，在△ABC 中，AB = AC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC ，BC 于点 D ，E ，过点B 作⊙O 的切线， 交AC 的延长线于点F ．(1) 求证：∠CBF =12∠CAB ； (2) 若CD = 2，1tan 2CBF ∠=，求FC 的长．（1）证明：∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠AEB =90°. ∴∠BAE +∠ABC =90°， ∵AB = AC ，………………………………3分………………………………4分………………………………5分∴∠BAE =∠EAC =12∠CAB . ∵BF 为⊙O 的切线， ∴∠ABC +∠CBF =90°. ∴∠BAE =∠CBF . ∴∠CBF =12∠CAB . ………………………………… 2分 （2）解：连接BD ，F∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB =90°.∵∠DBC =∠DAE ， ∴∠DBC =∠CBF .∵tan ∠CBF =12. ∴tan ∠DBC =12.∵CD =2，∴BD =4. ………………………………… 3分 设AB =x ，则AD =2x - ，在RtΔABD 中，∠ADB =90°，由勾股定理得x=5.∴AB =5，AD =3. ……………………………… 4分 ∵∠ABF =∠ADB =90°，∠BAF =∠BAF . ∴ΔABD ∽ΔAFB . ∴2AB AD AF =⋅. ∴AF =253.∴FC=AF-AC=103. ……………………………… 5分8、（门头沟）如图，点D在⊙O上，过点D的切线交直径AB的延长线于点P，DC⊥AB于点C．（1）求证：DB平分∠PDC；（2）如果DC = 6，3tan4P∠=，求BC的长．P A（1）证明：如图1，连接OD．A图1∵DP是⊙O的切线，∴OD⊥DP．∴90ODP∠=︒．……………………………………………………………………… 1分∴90.ODB BDP∠+∠=︒又∵DC⊥OB，∴90DCB∠=︒．……………………………………………………………………… 2分∴90BDC OBD∠+∠=︒．∵OD=OB，∴.ODB OBD∠=∠∴BDP BDC∠=∠．∴DB平分∠PDC ．……………………………………………………………………… 3分（2）解：如图2，过点B 作BE ⊥DP 于点E ．A图2∵,BDP BDC ∠=∠ BC ⊥DC ，∴BC =BE . ………………………………………………………………………………… 4分 ∵DC =6，3tan 4P ∠=， ∴DP =10，PC =8．………………………………… 5分 设CB = x , 则BE = x ，BP = 8 - x ． ∵ △PEB ∽△PCD ， ∴8610x x-=． ∴ 3=x ．∴ 3BC = …………………………………………………………………………… 6分9、（通州）如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，过点A 作⊙O 的切线交BC 的延长线于点E ，在弦BC 上取一点F ，使AF =AE ，连接AF 并延长交⊙O 于点D ． （1）求证：B CAD ∠=∠；（2）若CE ＝2，30B ∠=︒，求AD 的长．（1）证明：∵AE 是⊙O 的切线，AB 为⊙O 的直径，∴90BAE ∠=︒， 90ACB ∠=︒. ……………… 1分 ∴90BAC CAE ∠+∠=︒ . ∴90BAC B ∠+∠=︒.∴B CAE ∠=∠. ……………… 2分 ∵AF =AE ，90ACB ∠=︒，∴CAD CAE ∠=∠.∴B CAD ∠=∠. ……………… 3分 （2）解：连接CD .∵B CAD ∠=∠，∴AC CD =. ……………… 4分 ∴AC CD =.∵90ACE ∠=︒，CE ＝2，30CAE CAF B ∠=∠=∠=︒， ∴tan CECAE AC∠=. ∴tan 30︒=2AC. ∴AC = ……………… 5分 过点C 作CG ⊥AD 于点G . ∴cos AGCAFAC∠=. ∴cos 30︒. ∴3AG =. ∵AC ＝CD ，90ACB ∠=︒，∴ 26AD AG ==. ……………… 6分 另解一：连接BD . 先求AB 的长，再求AD . 另解二：连接CD . 先求AE 的长，再证FC =FD .10、（平谷）如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，连接BC交⊙O于点D，点E是BD 的中点，连接AE交BC于点F．（1）求证：AC=CF；（2）若AB=4，AC=3，求∠BAE的正切值．C（1）证明：∵AC切⊙O于点A，∴∠BAC=90°． (1)连接AD．∵点E是BD的中点，∴∠BAE=∠DAE．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°．∵∠CAD+∠DAB=∠DAB+∠B=90°，∴∠CAD=∠B．∵∠CAD+∠DAE =∠B+∠BAE，∴∠CAF=∠CFA． (2)∴AC=CF． (3)（2）解：∵AB=4，AC=3，∴BC=5． (4)CQ CP ⊥43tan CPB ∠=∵AC=CF =3， ∴BF =2． ∵4cos 5BD AB B AB BC ===， ∴BD =165． ············································································· 5 ∴AD=125，DF =65．∴tan ∠BAE = tan ∠DAE =12 (6)11、（延庆）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，点P 是AB 上一动点，且与点C 分别位于直径AB 的两侧， ，过点C 作 交PB 的延长线于点Q ； （1）当点P 运动到什么位置时，CQ 恰好是⊙O 的切线？（2）若点P 与点C 关于直径AB 对称，且AB =5，求此时CQ 的长．备用图解：（1）当点P 运动到直线OC 与的交点处． ……2分 （说明：用语言描述或是画出图形说明均可） （2）连接CB ，∵AB 是直径， ∴∠ACB=90°．∵∠P=∠A ， 43tan CPB tan A ∴∠== ∵AB=5，∴AC=3，BC=4．∵点P 与点C 关于直径AB 对称 ∴CP ⊥AB ．在Rt △ABC 中，∴CP=4.8，在Rt△PCQ中，43CQ tan CPB tan ACP ∠===∴CQ=6.4．……6分12、（密云）如图，AB为⊙O的直径，E为OB中点，过E作AB垂线与⊙O 交于C、D两点.过点C作⊙O的切线CF与DB延长线交于点F.（1）求证：CF⊥DF；（2）若，求OF长.F证明：连结OC.∵AB为⊙O直径,CD为弦，AB⊥CD于E ∴CE=ED又∵OE=EB，∠CEO=∠BED∴△OCE≌△BDE∴∠OCE=∠CDB∵CF切⊙O于点C∴∠OCF=90°∴∠ODB+∠OCF =90°∴∠CFD=90°即CF⊥FD.................................3分(2) ∵1,2OE OB OB OC ==∴12 OE OC=∵在Rt△OEC中，1 sin2OCE∠=∴∠OCE=30°∴∠CDF=30°∴12 FC CD=即在Rt△OEC中，2cosCEOCOCE===∠在Rt△OCF中，OF=.................................6分13、（燕山）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AC边上，以AD为直径作⊙O交BD 的延长线于点E，CE＝BC．(1) 求证：CE是⊙O的切线；(2) 若CD＝2，BD＝O的半径．(1)证明：如图，连接OE，A∵∠ACB＝90°，∴∠1＋∠5＝90°．………………………………1分∵CE＝BC，∴∠1＝∠2．∵OE＝OD，∴∠3＝∠4．又∵∠4＝∠5，∴∠3＝∠5，∴∠2＋∠3＝90°，即∠OEC＝90°，∴OE⊥CE．∵OE是⊙O的半径，∴CE是⊙O的切线．………………………………2分(2) 解法一：在Rt△BCD中，∠DCB＝90°，CD＝2，BD＝∴BC＝CE＝4．………………………………3分设⊙O的半径为r，则OD＝OE＝r，OC＝r＋2，在Rt△OEC中，∠OEC＝90°，∴OE2＋CE2＝OC2，∴r2＋42＝(r＋2)2，………………………………4分解得r＝3，∴⊙O的半径为3．………………………………5分解法二：如图，连接AE，A∵AD为⊙O直径，∴∠AED＝90°．………………………………3分∵∠AED＝∠ACB＝90°，∠4＝∠5，∴∠6＝∠1．∵∠1＝∠2，∴∠6＝∠2．又∵∠ACE＝∠ECD，∴△ACE∽△ECD，∴CD CECE AC=．………………………………4分在Rt△BCD中，∠DCB＝90°，CD＝2，BD＝∴BC＝CE＝4．∴2CEACCD=＝8，∴AD＝AC－CD＝6，∴⊙O的半径为3．………………………………5分14、（怀柔）如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且点C是BD的中点. 连接AC，过点C作⊙O的切线EF交射线AD于点E.（1）求证：AE⊥EF；（2）连接BC. 若165AE=，AB=5，求BC的长.F解：（1）证明：连接OC.F ∵OA OC=，∴∠1=∠2.∵点C是BD的中点.∴∠1=∠3.∴∠3=∠2.∴AE OC∥.∵EF是⊙O的切线，∴OC⊥EF.∴AE⊥EF. ………………………………… 2分（2）∵AB为O的直径，∴∠ACB=90°.∵AE EF⊥，∴∠AEC=90°.∴△AEC∽△ACB.又∵∠1=∠3，∴AE ACAC AB=,AC2=AE.AB=165165⨯=.∴AC=4.根据勾股定理，由AB=5, AC=4,求得BC=3. ………………………………… 5分15、（顺义）已知：如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，点P在AB的延长线上，且∠A=∠P=30O。

2019-2020 北京初中数学竞赛 九年级 圆的专题（含答案）1. 求证：若半径为R 的圆内接四边形对角线垂直，则以对角线交点到四边射影为顶点的四边形有内切圆，且此圆半径不大于2R．解析 如图，已知圆内接四边形ABCD ，AC BD ⊥，垂足为P ，P 在AB 、BC 、CD 、DA 上的射影分别为E 、F 、G 、H ，则由几组四点共圆易知sin sin sin 2AC BDEH FG AP BAD CP BCD AC BAD R⋅+=∠+⋅∠=∠∠=，同理EF HG +也是此值，因此四边形EFGH 有内切圆．CFGPH DBEA由于FEP CBD CAD HEP ∠=∠=∠=∠，故EP 平分FEH ∠，同理HP 、GP 、FP 平分另外3个角，P 为四边形EFGH 的内心．于是内切圆半径sin sin sin 2ADr PF PFG PF ACD PF PC ACB R=⋅∠=⋅∠=⋅=⋅∠⋅2224222AD PC AB AD PC PA R RR R R R ⋅⋅⋅==≤=．取到等号仅当P 为圆心时．2. 如图(a)，已知O e 的直径为AB ，1O e 过点O ，且与O e 内切于点B ．C 为O e 上的点，OC 与1O e 交于点D ，且满足OD CD >，点E 在线段OD 上，使得D 为线段CE 的中点，连结BE 并延长，与1O e 交于点F ，求证：BOC △∽1DO F △．(b)(a)O 1AOBM E CD F O 1OB E CD F解析 如图(b)，连结BD ，因为OB 为1O e 的直径，所以90ODB ∠=︒，结合DC DE =，可得BDE △≌BDC △．设BC 与1O e 交于点M ，连结OM ，则90OMB ∠=︒，于是OM 平分COB ∠，从而有 122222BOC DOM DBM DBC DBE DBF DO F ∠=∠=∠=∠=∠=∠=∠．又因为BOC ∠，1DO F ∠分别是等腰BOC △，1DO F △的顶角，所以BOC △∽1DO F △．3. I 是ABC △的内心，线段AI 延长交ABC △的外接圆于D ，若3AB =，4AC =，且IBC DBC S S =△△，求BC ．解析 如图，设BC 与AD 交于E ，则IE ED x ==，2BD CD ID x ===，又设AE y =，由于在等腰三角形BCD 中，有熟知的结论22BD DE BE CE AE ED -=⋅=⋅，此即23x yx =，3y x =，故2AB AC AI BC IE +==，72BC =．lE DCBA4. 在平面上给定等腰三角形ABC ，其中AB AC =，试在平面上找到所有符合要求的点M ，使ABM △、ACM △都是等腰三角形．解析 要使ABM △为等腰三角形，M 必定在AB 的垂直平分线上，或在以A 、B 为圆心、AB 为半径的圆上．ACM △亦然．这样得到3个圆A e 、B e 、C e ．M 6M 5M 4M3M 2M 1B'C'CB A在A e 上除了B 、C 及其对径点B '、C '，其余的点都符合要求．此外，还有6个点，即AB 中垂线与C e 的两个交点1M 、2M ，AC 的中垂线与B e 的两个交点3M 、4M ，B e 与C e 的另一个交点6M （不是A ），两条中垂线的交点5M （即ABC △之外心），如图．何时1M 在直线AB 上或A 、C 、2M 共线，此时A ∠是三边长分别为1:2:2的等腰三角形的底角，此时1M 、2M 、3M 、4M 均不符合要求；又120A ∠=︒时，六点变一点，且在A e 上，120A ∠>︒时，只有5M 与6M 两点．评注 读者可考虑ABC △为不等边三角形时的情形．5. 已知：ABC △中，AB AC =，AD 是高，P 为AC 上任一点，PC 的中垂线RQ 交AD 于R ，求证：RPB DAC ∠=∠．解析 如图，易知RP RC RB ==，R 为PBC △外心，2180BRP C BAC ∠=∠=︒-∠，故A 、B 、R 、P 共圆，于是RPB BAD DAC ∠=∠=∠．P QRCDBA6. D 、E 、F 分别在ABC △的边BC 、CA 、AB 上，则AEF △、BFD △、CDE △的外接圆共点． 解析 如图，设AEF △、BFD △的外接圆除F 之外，还交于P ，连结PD 、PE 、PF ，则PEC AFP BDP ∠=∠=∠，故E 、P 、D 、C 共圆，证毕．题12.2.2CDBPEFA7. 平面上有一条光线穿过该平面上的一圆，打在一条直径上并发生反射，最后穿出圆去，求证：这条光线与圆的两个交点、与直径的接触点以及圆心，该四点共圆．解析 如图，设这条光线为APB ，EOF 是题设中的直径，延长AP 至O e 于C ，则BPF APE CPF ∠=∠=∠，B 与C 关于EF 对称．于是BPO △≌CPO △．这样一来，便有OBP OCP OAP ∠=∠=∠，于是A 、O 、P 、B 四点共圆．题12.2.3POCFB EA评注 本题亦可利用圆心角证．8. 已知P 为ABC △外接圆的»BC上一点，则P 在直线AB 、BC 、CA 的射影L 、M 、N 共线． 解析 如图，连结LM 、MN ，BP ，CP ，则由L 、M 、P 、B 共圆，M 、P 、N 、C 共圆及A 、B 、P 、C 共圆，得9090180LMP NMP LMB PCN LPB ABP ∠+∠=∠+︒+∠=∠+∠+︒=︒，故L 、M 、N 共线．P NM L CBA评注 此线称为西摩松线．反之，若三垂足共线，则P 在ABC △外接圆上．9. 四边形ABCD 对角线交于O ，AO CO BO DO ⋅=⋅，O 在AB 、BC 、CD 、DA 上的垂足分别是E 、F 、G 、H ，求证：EF GH EH FG +=+． 解析 如图，易知A 、B 、C 、D 共圆．CGFODBHEA由A 、E 、O 、H 共圆，得sin EH AO A =（A ∠即BAD ∠，余同），同理sin FG CO C ==sin(180)sin CO A CO A ︒-=⋅，故sin EH FG AC A +=，同理sin EF GH BD B +=． 而sin sin AC BD B A=，于是上述结论成立． 评注 读者不妨研究由EF GH EH FG +=+能否得出A 、B 、C 、D 共圆． 10. 已知凸四边形ABCD ，2BAC BDC ∠=∠，2CAD CBD ∠=∠，求证： AB AC AD ==．解析 如图，1180()1802BCD CBD CDB BAD ∠=︒-∠+∠=︒-∠，故180BCD BAD ∠+∠>︒，作BCD △外接圆，A 在圆内、延长CA 至圆于P ．连结PB 、PD ，则P 、B 、C 、D 四点共圆．DCBAP于是12APD CBD CAD ∠=∠=∠，故APD ADP ∠=∠，PA AD =，同理PA AB =．A 为PBD △外心，也即BCD △之外心，于是AB AC AD ==．11. 设圆内接ABC △的垂心为H ，P 为圆周上任一点，求证：PH 被P 关于该三角形的西摩松线平分．解析 如图，不妨设P 在»BC上．P 在直线AB 、BC 上的射影分别是M 、N ，MN 即为西摩松线．AL 是高，延长后交圆于D ，PN 延长后交圆于Q ，连结PD 、QA 、CD 、BP ．则HCB BAD DCB ∠=∠=∠，得HL LD =． ①CEDP LNH R M BAQ又易知M 、N 、P 、B 共圆，因此ENP ABP AQP ∠=∠=∠，故MN AQ ∥．又作HR AQ ∥，于是由四边形AQPD 为等腰梯形，知四边形HRPD 也是等腰梯形，于是由①知BC 垂直平分HD ，从而BC 垂直平分RP ．由PN NR =及MNE RH ∥，知MN 必将PH 平分．12. 已知MON 为O e 直径，S 在ON 上，弦ASB MN ⊥，P 在¼BM上，PS 延长后交圆于Q ，PN 交AB 于R ，求证：QS RN <．解析 如图，连结MP 、MR ，知M 、S 、R 、P 共圆，于是RN SN QSMR SP MS==，于是1RN MR QS MS =>．NB13. 已知锐角三角形ABC 中，AB AC >，AD BC ⊥于D ，G 、F 分别在AB 、AC 上，GC 、BF 、AD交于H ，若G 、B 、C 、F 共圆，则H 为ABC △之垂心．解析 如图，易知BD CD >，今在BD 上找一点E ，使ED CD =，连结AE 、HE ，则E 与C 关于AD 对称．于是由对称及G 、B 、C 、F 共圆，得ABH ACH AEH ∠=∠=∠，于是A 、B 、E 、H 共圆，故BAD HEC HCE ∠=∠=∠，于是90AGH HDC ∠=∠=︒，H 为垂心．HCDEBF GA14. 已知ABC △与ACD △均为正三角形，过D 任作一直线，分别交BA 、BC 延长线于E 、F ，CE 与AF 交于G ，求证：GB 平分AGC ∠．FCBGDAE解析 设AB BC AC a ===，AE x =，CF y =，由AD BF ∥，CD BE ∥，则x y x a y a+=++ 1ED DF EF EF +=，去分母整理得2xy a =．此即AE ACAC CF=，又120EAC ACF ∠=︒=∠，故EAC △∽ACF △，60AGE GAC ACG GAC AFC ∠=∠+∠=∠+∠=︒，故A 、B 、C 、G 共圆，60AGB ACB BAC ∠=∠=︒=∠= CGB ∠．15. 设圆内接四边形ABCD ，AB 、DC 延长交于E ，AD 、BC 延长交于F ，EF 中点为G ，AG 与圆又交于K ，求证：C 、E 、F 、K 四点共圆．解析 如图，延长AG 一倍至J ，作平行四边形AEJF ．连结CK ，则CEJ ADE AKC ∠=∠=∠，于是E 、C 、K 、J 共圆，或K 在CEJ △的外接圆上．JFG EKCDB又180180EJF EAF BCD ECF ∠=∠=︒-∠=︒-∠，故E 、C 、F 、J 共圆，或F 亦在CEJ △的外接圆上．于是C 、E 、J 、F 、K 五点共圆，结论成立．16. AD 、BE 是锐角三角形ABC 的高，D 、E 是垂足，D 在AB 、AC 上的射影分别是M 、N ，E 在BC 、AB 上的射影分别是P 、Q ，求证：QN PM =．解析 如图，连结ED 、PN ，则易知NPC DEC ABC ∠=∠=∠，故NP AB ∥．P D CNE B MQ A欲证四边形MPNQ 为等腰梯形，只需证MN PQ =即可． 由于A 、M 、D 、N 共圆，AD 为直径，故sin 2ABCS AD BC MN AD A R R⋅=⋅==△，R 为ABC △外接圆半径，同理PQ 也是此值，因此结论成立．17. 过两定点A 、B 的圆与定圆交于P 、Q ，求证：AP AQBP BQ⋅⋅为定值．解析 如图，延长（或不延长）AP 、BQ ，可与定圆再分别交于M 、N 两点，则由四点共圆知180BAP PQN M ∠=∠=︒-∠，故AB MN ∥．NQB MP A于是四边形ABNM 为梯形，sin sin AM A BN B =（A ∠即BAP ∠，余类似）；又由定圆性质知AP AM ⋅为定值，BQ BN ⋅亦为定值，故AP AM BQ BN ⋅⋅为定值，此即sin sin AP B BQ A ⋅⋅为定值．但由正弦定理，sin sin B AQA BP=，于是AP AQ BP BQ⋅⋅为定值．18. 直角三角形ABC 中，E 、F 分别是直角边AB 、AC 上的任意点，自A 向BC 、CE 、EF 、FB 引垂线，垂足分别是M 、N 、P 、Q ．证明：M 、N 、P 、Q 四点共圆．解析 因A 、E 、N 、P 共圆，故CNP EAP AFP ∠=∠=∠，因A 、N 、M 、C 共圆，故CNM CAM ∠=∠，又A 、B 、M 、Q 共圆，故MQB MAB ∠=∠，由A 、P 、Q 、F 共圆，得PQB FAP ∠=∠．所以()()()()MNP MQP CNM CNP MQB PQB CAM AFP MAB FAP ∠+∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠=()()9090180CAM MAB AFP FAP ∠+∠+∠+∠=︒+︒=︒．故M 、N 、P 、Q 共圆．PQ NCMBFEA19. ABCD 是圆内接四边形，AC 是圆的直径，BD AC ⊥，AC 与BD 的交点为E ，F 在DA 的延长线上，连结BF ，G 在BA 的延长线上，使得DG BF ∥，H 在GF 的延长线上，CH GF ⊥．证明：B 、E 、F 、H 四点共圆．解析 如图，连结BH 、EF 、CG ．因为BAF △∽GAD △，所以FA DAAB AG=， DEA BH FG又因为ABE △∽ACD △，所以 AB ACEA DA =， 从而得 FA ACEA AG=． 因为FAE CAG ∠=∠，所以FAE △∽CAG △，于是FEA CGA ∠=∠．由题设知，90CBG CHG ∠=∠=︒，所以B 、C 、G 、H 四点共圆，得BHC BGC ∠=∠．于是 90BHF BEF BHC BEF ∠+∠=∠+︒+∠ 90BGC BEF =∠+︒+∠ 90FEA BEF =∠+︒+∠ 180=︒，所以，B 、E 、F 、H 四点共圆．20. 四边形ABCD 内接于圆，P 是AB 的中点，PE AD ⊥，PF BC ⊥，PG CD ⊥，E ，F ，G 为垂足，M 是线段PG 和EF 的交点，求证：ME MF =．解析 如图，作1AF BC ⊥，1BE AD ⊥（1E 、1F 为垂足），则1112PE AB PF ==．设PG 与11E F 交于K ，因A 、B 、1F 、1E 共圆，所以11180CF E A C ∠=∠=︒-∠，因此11E F CD ∥，11PK E F ⊥，K 是11E F 的中点（因11PE F △为等腰三角形），故PEKF 为平行四边形（因P 、E 、K 、F 为四边形11ABF E 各边中点），因此ME MF =．F 1E 1F M E KC GD评注 本题亦可用面积法快速解决．21. ABC △中，AD 、AE 分别是高和中线，且都在三角形内部，求证：若DAB CAE ∠=∠，则ABC△或者是等腰三角形，或者是直角三角形．解析 如图，D 与E 无非是三种位置关系，由对称性，可归结为两种：D 与E 重合，或D 位于E 的左侧．CD B FA若D 与E 重合时，ABC △显然为等腰三角形．若D 在E 的左侧，设AB 中点为F ，连接FD 、FE .则EF 为中位线，由条件，知 AEF CAE DAB ADF ∠=∠=∠=∠，故A 、F 、D 、E 共圆，于是 90BAC BAE EAC FDB ADF ∠=∠+∠=∠+∠=︒．22. 设A 、B 、C 、D 、E 是单位半圆上依次五点，AE 是直径，且AB a =，BC b =，CD c =，DE d =，证明：22224a b c d abc bcd +++++<．解析 如图，连接CA 、CE ，则AC CE ⊥，设CAE α∠=，CEA β∠=，则由四点共圆及余弦定理，有：βαAEDCB2224AE AC CE ==+22222cos 2cos a b ab c d cd βα=+++++2222a b c d ab CE cd AC =++++⋅+⋅，由于ABC ∠，90CDE ∠>︒，故CE CE c >=，AC BC b >=，代入，即得 22224a b c d abc bcd >+++++．23. 已知四边形ABCD 内接于圆，点E 、F 分别为AB 、CD 上的动点，且满足AE CFEB FD=，又点P 在EF 上且满足PE ABPF CD=，证明：APD △与BPC △的面积之比与点E 、F 无关． 解析 如图，不妨设AD 、BC 延长后交于S ，由四点共圆知ABS CSF △∽△，又E 、F 分别是对应点，故ASE CSF △∽△．于是ES AS AB PEFS CS CD PF===，于是SP 平分ESF ∠进而平分ASB ∠，于是P 至AD 、BC 距离相等，APD BPC S ADS BC=△△，与E 、F 无关．（图中SE 、SF 、SP 未画出．）PSCF D BE AAD BC ∥时，结论不变．24. AB 是圆O 的直径，C 为AB 延长线上的一点，过点C 作圆O 的割线，与圆O 交于D 、E 两点，OF是BOD △的外接圆1O 的直径，连接CF 并延长交圆1O 于点G .求证：O 、A 、E 、G 四点共圆． 解析 如图，连接AD 、DG 、GA 、GO 、DB 、EA 、EO ．A因为OF 是等腰DOB △的外接圆的直径，所以OF 平分DOB ∠，即2DOB DOF ∠=∠．又12DAB DOB ∠=∠，所以DAB DOF ∠=∠．又DGF DOF ∠=∠，所以DAB DGF ∠=∠，因此，G 、A 、C 、D 四点共圆．所以AGC ADC ∠=∠．而90AGC AGO OGF AGO ∠=∠+∠=∠+︒，90ADC ADB BDC BDC ∠=∠+∠=︒+∠，因此AGO BDC ∠=∠．因为B 、D 、E 、A 四点共圆，所以BDC EAO ∠=，又OA OE =，所以EAO AEO ∠=∠．从而AGO AEO ∠=∠，所以，O 、A 、E 、G 四点共圆．25. 已知ABC △中，AD BC ⊥于D ，DM AC ⊥于M ，DB AB ⊥于N ，NM 与BC 延长线交于E ，求证：111CD BD DE-=． 解析 如图，延长DM ，作EF DM ⊥于F ，由FDE CAD ∠=∠，知AMD DFE ADC △∽△∽△，所以DM EF AD DE =，DF ADEF CD=，又由A 、N 、D 、M 四点共圆，得NAD NMD ∠=∠，从而MEF ABD △∽△，从而MF AD EF BD =，因此AD AD DF MF DM AD CD BD EF EF EF DE -=-==，于是111CD BD DE-=． NMBDCEFA26. 凸四边形ABCD 中，ABD α∠=，CBD β∠=，若sin sin sin()AB BC BD βααβ+=+，则A 、B 、C 、D 共圆．解析 如图，不妨设ABC △外接圆交直线BD 于D '．βαD'CBDA由托勒密定理得AB CD BC AD AC BD '''⋅+⋅=⋅两边同除以外接圆直径，得sin sin sin()AB BC BD βααβ'+=+，于是由条件BD BD '=（因为sin()0αβ+≠），故D 与D '重合，即A 、B 、C 、D 共圆．。