全国初中数学竞赛《圆》历届真题

全国初中数学竞赛试题【试题一】：代数基础1. 已知 \( a, b, c \) 是一个三角形的三边长，且满足 \( a^2 + b^2 = c^2 \)，求证 \( a + b \geq c \)。

【试题二】：几何问题2. 给定一个圆，圆心为 \( O \)，半径为 \( r \)。

在圆上任取两点\( A \) 和 \( B \)，连接 \( OA \) 和 \( OB \)。

求证 \( \angle AOB \) 的度数小于 \( 180^\circ \)。

【试题三】：数列与级数3. 一个等差数列的首项是 \( a_1 = 3 \)，公差 \( d = 2 \)。

求这个数列的第 \( n \) 项 \( a_n \) 的表达式，并计算前 \( n \) 项的和 \( S_n \)。

【试题四】：函数与方程4. 已知函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 4 \)，求该函数的最小值。

【试题五】：概率统计5. 一个袋子里有 \( 5 \) 个红球和 \( 3 \) 个蓝球。

随机抽取两个球，求两个球颜色相同的概率。

【试题六】：组合数学6. 有 \( 8 \) 个不同的球，需要将它们放入 \( 3 \) 个不同的盒子中，每个盒子至少有一个球。

求不同的放法有多少种。

【试题七】：逻辑推理7. 在一个逻辑推理题中，有三个人分别说了以下的话：- 甲说：“乙是说谎者。

”- 乙说：“丙是说谎者。

”- 丙说：“甲和乙都是说谎者。

”如果三个人中只有一个人说谎，那么谁说的是真话？【试题八】：创新问题8. 一个正方体的体积是 \( 8 \) 立方厘米，求这个正方体的表面积。

【试题九】：应用题9. 一个水池可以以恒定的速率 \( r \) 进水，同时也以另一个恒定的速率 \( s \) 出水。

如果水池开始时是空的，求水池被填满的时间\( t \)。

【试题十】：综合题10. 一个圆的半径是 \( 5 \) 厘米，圆内接一个等边三角形。

2019-2020 北京初中数学竞赛 九年级 圆的专题（含答案）1. 求证：若半径为R 的圆内接四边形对角线垂直，则以对角线交点到四边射影为顶点的四边形有内切圆，且此圆半径不大于2R．解析 如图，已知圆内接四边形ABCD ，AC BD ⊥，垂足为P ，P 在AB 、BC 、CD 、DA 上的射影分别为E 、F 、G 、H ，则由几组四点共圆易知sin sin sin 2AC BDEH FG AP BAD CP BCD AC BAD R⋅+=∠+⋅∠=∠∠=，同理EF HG +也是此值，因此四边形EFGH 有内切圆．CFGPH DBEA由于FEP CBD CAD HEP ∠=∠=∠=∠，故EP 平分FEH ∠，同理HP 、GP 、FP 平分另外3个角，P 为四边形EFGH 的内心．于是内切圆半径sin sin sin 2ADr PF PFG PF ACD PF PC ACB R=⋅∠=⋅∠=⋅=⋅∠⋅2224222AD PC AB AD PC PA R RR R R R ⋅⋅⋅==≤=．取到等号仅当P 为圆心时．2. 如图(a)，已知O e 的直径为AB ，1O e 过点O ，且与O e 内切于点B ．C 为O e 上的点，OC 与1O e 交于点D ，且满足OD CD >，点E 在线段OD 上，使得D 为线段CE 的中点，连结BE 并延长，与1O e 交于点F ，求证：BOC △∽1DO F △．(b)(a)O 1AOBM E CD F O 1OB E CD F解析 如图(b)，连结BD ，因为OB 为1O e 的直径，所以90ODB ∠=︒，结合DC DE =，可得BDE △≌BDC △．设BC 与1O e 交于点M ，连结OM ，则90OMB ∠=︒，于是OM 平分COB ∠，从而有 122222BOC DOM DBM DBC DBE DBF DO F ∠=∠=∠=∠=∠=∠=∠．又因为BOC ∠，1DO F ∠分别是等腰BOC △，1DO F △的顶角，所以BOC △∽1DO F △．3. I 是ABC △的内心，线段AI 延长交ABC △的外接圆于D ，若3AB =，4AC =，且IBC DBC S S =△△，求BC ．解析 如图，设BC 与AD 交于E ，则IE ED x ==，2BD CD ID x ===，又设AE y =，由于在等腰三角形BCD 中，有熟知的结论22BD DE BE CE AE ED -=⋅=⋅，此即23x yx =，3y x =，故2AB AC AI BC IE +==，72BC =．lE DCBA4. 在平面上给定等腰三角形ABC ，其中AB AC =，试在平面上找到所有符合要求的点M ，使ABM △、ACM △都是等腰三角形．解析 要使ABM △为等腰三角形，M 必定在AB 的垂直平分线上，或在以A 、B 为圆心、AB 为半径的圆上．ACM △亦然．这样得到3个圆A e 、B e 、C e ．M 6M 5M 4M3M 2M 1B'C'CB A在A e 上除了B 、C 及其对径点B '、C '，其余的点都符合要求．此外，还有6个点，即AB 中垂线与Ce 的两个交点1M 、2M ，AC 的中垂线与B e 的两个交点3M 、4M ，B e 与C e 的另一个交点6M （不是A ），两条中垂线的交点5M （即ABC △之外心），如图．何时1M 在直线AB 上或A 、C 、2M 共线，此时A ∠是三边长分别为1:2:2的等腰三角形的底角，此时1M 、2M 、3M 、4M 均不符合要求；又120A ∠=︒时，六点变一点，且在A e 上，120A ∠>︒时，只有5M 与6M 两点．评注 读者可考虑ABC △为不等边三角形时的情形．5. 已知：ABC △中，AB AC =，AD 是高，P 为AC 上任一点，PC 的中垂线RQ 交AD 于R ，求证：RPB DAC ∠=∠．解析 如图，易知RP RC RB ==，R 为PBC △外心，2180BRP C BAC ∠=∠=︒-∠，故A 、B 、R 、P 共圆，于是RPB BAD DAC ∠=∠=∠．P QRCDBA6. D 、E 、F 分别在ABC △的边BC 、CA 、AB 上，则AEF △、BFD △、CDE △的外接圆共点． 解析 如图，设AEF △、BFD △的外接圆除F 之外，还交于P ，连结PD 、PE 、PF ，则PEC AFP BDP ∠=∠=∠，故E 、P 、D 、C 共圆，证毕．题12.2.2CDBPEFA7. 平面上有一条光线穿过该平面上的一圆，打在一条直径上并发生反射，最后穿出圆去，求证：这条光线与圆的两个交点、与直径的接触点以及圆心，该四点共圆．解析 如图，设这条光线为APB ，EOF 是题设中的直径，延长AP 至O e 于C ，则BPF APE CPF ∠=∠=∠，B 与C 关于EF 对称．于是BPO △≌CPO △．这样一来，便有OBP OCP OAP ∠=∠=∠，于是A 、O 、P 、B 四点共圆．题12.2.3POCFB EA评注 本题亦可利用圆心角证．8. 已知P 为ABC △外接圆的»BC上一点，则P 在直线AB 、BC 、CA 的射影L 、M 、N 共线． 解析 如图，连结LM 、MN ，BP ，CP ，则由L 、M 、P 、B 共圆，M 、P 、N 、C 共圆及A 、B 、P 、C 共圆，得9090180LMP NMP LMB PCN LPB ABP ∠+∠=∠+︒+∠=∠+∠+︒=︒，故L 、M 、N 共线．P NM L CBA评注 此线称为西摩松线．反之，若三垂足共线，则P 在ABC △外接圆上．9. 四边形ABCD 对角线交于O ，AO CO BO DO ⋅=⋅，O 在AB 、BC 、CD 、DA 上的垂足分别是E 、F 、G 、H ，求证：EF GH EH FG +=+． 解析 如图，易知A 、B 、C 、D 共圆．CGFODBHEA由A 、E 、O 、H 共圆，得sin EH AO A =（A ∠即BAD ∠，余同），同理sin FG CO C == sin(180)sin CO A CO A ︒-=⋅，故sin EH FG AC A +=，同理sin EF GH BD B +=．而sin sin AC BDB A=，于是上述结论成立． 评注 读者不妨研究由EF GH EH FG +=+能否得出A 、B 、C 、D 共圆． 10. 已知凸四边形ABCD ，2BAC BDC ∠=∠，2CAD CBD ∠=∠，求证： AB AC AD ==．解析 如图，1180()1802BCD CBD CDB BAD ∠=︒-∠+∠=︒-∠，故180BCD BAD ∠+∠>︒，作BCD △外接圆，A 在圆内、延长CA 至圆于P ．连结PB 、PD ，则P 、B 、C 、D 四点共圆． DCBAP于是12APD CBD CAD ∠=∠=∠，故APD ADP ∠=∠，PA AD =，同理PA AB =．A 为PBD △外心，也即BCD △之外心，于是AB AC AD ==．11. 设圆内接ABC △的垂心为H ，P 为圆周上任一点，求证：PH 被P 关于该三角形的西摩松线平分．解析 如图，不妨设P 在»BC上．P 在直线AB 、BC 上的射影分别是M 、N ，MN 即为西摩松线．AL 是高，延长后交圆于D ，PN 延长后交圆于Q ，连结PD 、QA 、CD 、BP ．则HCB BAD DCB ∠=∠=∠，得HL LD =． ①CEDP LNH R M BAQ又易知M 、N 、P 、B 共圆，因此ENP ABP AQP ∠=∠=∠，故MN AQ ∥．又作HR AQ ∥，于是由四边形AQPD 为等腰梯形，知四边形HRPD 也是等腰梯形，于是由①知BC 垂直平分HD ，从而BC 垂直平分RP ．由PN NR =及MNE RH ∥，知MN 必将PH 平分．12. 已知MON 为O e 直径，S 在ON 上，弦ASB MN ⊥，P 在¼BM上，PS 延长后交圆于Q ，PN 交AB 于R ，求证：QS RN <．解析 如图，连结MP 、MR ，知M 、S 、R 、P 共圆，于是RN SN QSMR SP MS==，于是1RN MR QS MS =>．NB13. 已知锐角三角形ABC 中，AB AC >，AD BC ⊥于D ，G 、F 分别在AB 、AC 上，GC 、BF 、AD交于H ，若G 、B 、C 、F 共圆，则H 为ABC △之垂心．解析 如图，易知BD CD >，今在BD 上找一点E ，使ED CD =，连结AE 、HE ，则E 与C 关于AD 对称．于是由对称及G 、B 、C 、F 共圆，得ABH ACH AEH ∠=∠=∠，于是A 、B 、E 、H 共圆，故BAD HEC HCE ∠=∠=∠，于是90AGH HDC ∠=∠=︒，H 为垂心．HCDEBF GA14. 已知ABC △与ACD △均为正三角形，过D 任作一直线，分别交BA 、BC 延长线于E 、F ，CE 与AF 交于G ，求证：GB 平分AGC ∠．FCBGDAE解析 设AB BC AC a ===，AE x =，CF y =，由AD BF ∥，CD BE ∥，则x y x a y a+=++ 1ED DF EF EF +=，去分母整理得2xy a =．此即AE ACAC CF=，又120EAC ACF ∠=︒=∠，故EAC △∽ACF △，60AGE GAC ACG GAC AFC ∠=∠+∠=∠+∠=︒，故A 、B 、C 、G 共圆，60AGB ACB BAC ∠=∠=︒=∠= CGB ∠．15. 设圆内接四边形ABCD ，AB 、DC 延长交于E ，AD 、BC 延长交于F ，EF 中点为G ，AG 与圆又交于K ，求证：C 、E 、F 、K 四点共圆．解析 如图，延长AG 一倍至J ，作平行四边形AEJF ．连结CK ，则CEJ ADE AKC ∠=∠=∠，于是E 、C 、K 、J 共圆，或K 在CEJ △的外接圆上．FG EKCDB又180180EJF EAF BCD ECF ∠=∠=︒-∠=︒-∠，故E 、C 、F 、J 共圆，或F 亦在CEJ △的外接圆上．于是C 、E 、J 、F 、K 五点共圆，结论成立．16. AD 、BE 是锐角三角形ABC 的高，D 、E 是垂足，D 在AB 、AC 上的射影分别是M 、N ，E 在BC 、AB 上的射影分别是P 、Q ，求证：QN PM =．解析 如图，连结ED 、PN ，则易知NPC DEC ABC ∠=∠=∠，故NP AB ∥．P D CNE B MQ A欲证四边形MPNQ 为等腰梯形，只需证MN PQ =即可． 由于A 、M 、D 、N 共圆，AD 为直径，故sin 2ABCS AD BC MN AD A R R⋅=⋅==△，R 为ABC △外接圆半径，同理PQ 也是此值，因此结论成立．17. 过两定点A 、B 的圆与定圆交于P 、Q ，求证：AP AQBP BQ⋅⋅为定值．解析 如图，延长（或不延长）AP 、BQ ，可与定圆再分别交于M 、N 两点，则由四点共圆知180BAP PQN M ∠=∠=︒-∠，故AB MN ∥．NQB MP A于是四边形ABNM 为梯形，sin sin AM A BN B =（A ∠即BAP ∠，余类似）；又由定圆性质知AP AM ⋅为定值，BQ BN ⋅亦为定值，故AP AM BQ BN ⋅⋅为定值，此即sin sin AP B BQ A ⋅⋅为定值．但由正弦定理，sin sin B AQA BP=，于是AP AQ BP BQ⋅⋅为定值．18. 直角三角形ABC 中，E 、F 分别是直角边AB 、AC 上的任意点，自A 向BC 、CE 、EF 、FB 引垂线，垂足分别是M 、N 、P 、Q ．证明：M 、N 、P 、Q 四点共圆． 解析 因A 、E 、N 、P 共圆，故CNP EAP AFP ∠=∠=∠，因A 、N 、M 、C 共圆，故CNM CAM ∠=∠，又A 、B 、M 、Q 共圆，故MQB MAB ∠=∠，由A 、P 、Q 、F 共圆，得PQB FAP ∠=∠．所以()()()()MNP MQP CNM CNP MQB PQB CAM AFP MAB FAP ∠+∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠=()()9090180CAM MAB AFP FAP ∠+∠+∠+∠=︒+︒=︒．故M 、N 、P 、Q 共圆．PQ NCMBFEA19. ABCD 是圆内接四边形，AC 是圆的直径，BD AC ⊥，AC 与BD 的交点为E ，F 在DA 的延长线上，连结BF ，G 在BA 的延长线上，使得DG BF ∥，H 在GF 的延长线上，CH GF ⊥．证明：B 、E 、F 、H 四点共圆．解析 如图，连结BH 、EF 、CG ．因为BAF △∽GAD △，所以FA DAAB AG=， DEA BH FG又因为ABE △∽ACD △，所以 AB ACEA DA =， 从而得 FA ACEA AG=． 因为FAE CAG ∠=∠，所以FAE △∽CAG △，于是FEA CGA ∠=∠．由题设知，90CBG CHG ∠=∠=︒，所以B 、C 、G 、H 四点共圆，得BHC BGC ∠=∠．于是 90BHF BEF BHC BEF ∠+∠=∠+︒+∠ 90BGC BEF =∠+︒+∠ 90FEA BEF =∠+︒+∠ 180=︒，所以，B 、E 、F 、H 四点共圆．20. 四边形ABCD 内接于圆，P 是AB 的中点，PE AD ⊥，PF BC ⊥，PG CD ⊥，E ，F ，G 为垂足，M 是线段PG 和EF 的交点，求证：ME MF =．解析 如图，作1AF BC ⊥，1BE AD ⊥（1E 、1F 为垂足），则1112PE AB PF ==．设PG 与11E F 交于K ，因A 、B 、1F 、1E 共圆，所以11180CF E A C ∠=∠=︒-∠，因此11E F CD ∥，11PK E F ⊥，K 是11E F 的中点（因11PE F △为等腰三角形），故PEKF 为平行四边形（因P 、E 、K 、F 为四边形11ABF E 各边中点），因此ME MF =．F 1E 1F M E KC GD评注 本题亦可用面积法快速解决．21. ABC △中，AD 、AE 分别是高和中线，且都在三角形内部，求证：若DAB CAE ∠=∠，则ABC△或者是等腰三角形，或者是直角三角形．解析 如图，D 与E 无非是三种位置关系，由对称性，可归结为两种：D 与E 重合，或D 位于E 的左侧．D FA若D 与E 重合时，ABC △显然为等腰三角形．若D 在E 的左侧，设AB 中点为F ，连接FD 、FE .则EF 为中位线，由条件，知 AEF CAE DAB ADF ∠=∠=∠=∠，故A 、F 、D 、E 共圆，于是 90BAC BAE EAC FDB ADF ∠=∠+∠=∠+∠=︒．22. 设A 、B 、C 、D 、E 是单位半圆上依次五点，AE 是直径，且AB a =，BC b =，CD c =，DE d =，证明：22224a b c d abc bcd +++++<．解析 如图，连接CA 、CE ，则AC CE ⊥，设CAE α∠=，CEA β∠=，则由四点共圆及余弦定理，有：βαAEDCB2224AE AC CE ==+22222cos 2cos a b ab c d cd βα=+++++2222a b c d ab CE cd AC =++++⋅+⋅，由于ABC ∠，90CDE ∠>︒，故CE CE c >=，AC BC b >=，代入，即得 22224a b c d abc bcd >+++++．23. 已知四边形ABCD 内接于圆，点E 、F 分别为AB 、CD 上的动点，且满足AE CFEB FD=，又点P 在EF 上且满足PE ABPF CD=，证明：APD △与BPC △的面积之比与点E 、F 无关． 解析 如图，不妨设AD 、BC 延长后交于S ，由四点共圆知ABS CSF △∽△，又E 、F 分别是对应点，故ASE CSF △∽△．于是ES AS AB PEFS CS CD PF===，于是SP 平分ESF ∠进而平分ASB ∠，于是P 至AD 、BC 距离相等，APD BPC S ADS BC=△△，与E 、F 无关．（图中SE 、SF 、SP 未画出．）PSCF D BE AAD BC ∥时，结论不变．24. AB 是圆O 的直径，C 为AB 延长线上的一点，过点C 作圆O 的割线，与圆O 交于D 、E 两点，OF是BOD △的外接圆1O 的直径，连接CF 并延长交圆1O 于点G .求证：O 、A 、E 、G 四点共圆． 解析 如图，连接AD 、DG 、GA 、GO 、DB 、EA 、EO ．A因为OF 是等腰DOB △的外接圆的直径，所以OF 平分DOB ∠，即2DOB DOF ∠=∠．又12DAB DOB ∠=∠，所以DAB DOF ∠=∠．又DGF DOF ∠=∠，所以DAB DGF ∠=∠，因此，G 、A 、C 、D 四点共圆．所以AGC ADC ∠=∠．而90AGC AGO OGF AGO ∠=∠+∠=∠+︒，90ADC ADB BDC BDC ∠=∠+∠=︒+∠，因此AGO BDC ∠=∠．因为B 、D 、E 、A 四点共圆，所以BDC EAO ∠=，又OA OE =，所以EAO AEO ∠=∠．从而AGO AEO ∠=∠，所以，O 、A 、E 、G 四点共圆．25. 已知ABC △中，AD BC ⊥于D ，DM AC ⊥于M ，DB AB ⊥于N ，NM 与BC 延长线交于E ，求证：111CD BD DE-=． 解析 如图，延长DM ，作EF DM ⊥于F ，由FDE CAD ∠=∠，知AMD DFE ADC △∽△∽△，所以DM EF AD DE =，DF ADEF CD=，又由A 、N 、D 、M 四点共圆，得NAD NMD ∠=∠，从而MEF ABD △∽△，从而MF AD EF BD =，因此AD AD DF MF DM AD CD BD EF EF EF DE -=-==，于是111CD BD DE-=． NMBDCEFA26. 凸四边形ABCD 中，ABD α∠=，CBD β∠=，若sin sin sin()AB BC BD βααβ+=+，则A 、B 、C 、D 共圆．解析 如图，不妨设ABC △外接圆交直线BD 于D '．βαD'CBDA由托勒密定理得AB CD BC AD AC BD '''⋅+⋅=⋅两边同除以外接圆直径，得sin sin sin()AB BC BD βααβ'+=+，于是由条件BD BD '=（因为sin()0αβ+≠），故D 与D '重合，即A 、B 、C 、D 共圆．。

第11讲圆一、模空题I.(2022·福建·九年级统考竞赛〉如1蜀，ABCD为圆。

的内按四边形，且AC..LBD，若AB=IO,CD=8，则阁。

的面积为一一一··B2.(2022·广东·九年级统考竞赛）古希腊数学家希波克拉底曾研究过如图所示的几何图形，此图｜如三个半圆构成，三个半圆的直径分别为Rt-ABC的斜边βC，］豆角边AB,AC.若以AB,AC为直径的两个半阁的弧长总长度为2π，则以斜边BC为直径的半圆顶积的；最小值为·3.(2018·全国九年级竞赛〉已知D是..ABC内一点，E是AC的中点，AB=6,BC=IO，ζBAD＝ζBCD, LEDC=LABD，则DE＝－A5、』ε豆、C4.(2022谷·湖南长沙·八年级校联考竞赛）如图1～4，在旦角边分别为3和4ti甘直角三角形中，每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆，依此类推，因10中有10个直角三角形的内切圆，它们的面积分别记为S1，缸，缸，....S10，则S1+S2+S3+... +S10＝一一.,因l国2图3国45.216秋山东泰安·九年级党赛〉如图是“横店影视城”的困弧形门，妙可同学到影视城游玩，很想知边这扇门的相关数据．于是她从景点管理人员处打听到：这个圆弧形门所在的因与水平地丽是相切的，，！也＂＇，（＇�＂＇咀f)cm,BD = 200 c m，且AB,CD与水平地商都是垂直，的根据以上数据，你帮助妙可同学计算这个回弧形门的最高点离地丽的高度是一一一一一6.215秋，山东ilfliifr·九年级党和已知正六边形的边心距为占，ljjl］它的周长是一一一·7.215:f)、山东临沂·九年级党赛〉如果圆锥的底面周长是20π，侧面展开后所得的扇形的因心角为120。

’则因锥的母线长是·8. 215秋·山东泰安·九年级竞赛〉如图，直线AB与半径为2的。

2020-2021初中数学圆的真题汇编附解析(1)一、选择题1．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，点D在BA的延长线上，CD与⊙O交于另一点E，DE=OB=2，∠D=20°，则弧BC的长度为（）A．23πB．13πC．43πD．49π【答案】A【解析】【分析】连接OE、OC，如图，根据等腰三角形的性质得到∠D=∠EOD=20°，根据外角的性质得到∠CEO=∠D+∠EOD=40°，根据等腰三角形的性质得到∠C=∠CEO=40°，根据外角的性质得到∠BOC=∠C+∠D=60°，根据求弧长的公式得到结论.【详解】解：连接OE、OC，如图，∵DE=OB=OE，∴∠D=∠EOD=20°，∴∠CEO=∠D+∠EOD=40°，∵OE=OC，∴∠C=∠CEO=40°，∴∠BOC=∠C+∠D=60°，∴»BC的长度=260?2360π⨯=23π，故选A.【点睛】本题考查了弧长公式：l=••180n Rπ（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R），还考查了圆的认识及等腰三角形的性质及三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形外角性质是关键．2．如图，在平行四边形ABCD 中，BD ⊥AD ，以BD 为直径作圆，交于AB 于E ，交CD 于F ，若BD=12，AD ：AB=1：2，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．123B ．1536π-πC ．30312π-D ．48336π-π【答案】C【解析】【分析】 易得AD 长，利用相应的三角函数可求得∠ABD 的度数，进而求得∠EOD 的度数，那么一个阴影部分的面积=S △ABD -S 扇形DOE -S △BOE ，算出后乘2即可．【详解】连接OE ，OF ．∵BD=12，AD ：AB=1：2，∴AD=43 ，AB=83，∠ABD=30°，∴S △ABD =×43×12=243,S 扇形=603616,633933602OEB S ππ⨯==⨯⨯=V ∵两个阴影的面积相等，∴阴影面积=()224369330312ππ⨯--=- .故选：C【点睛】本题主要是理解阴影面积等于三角形面积减扇形面积和三角形面积．3．在Rt △ABC 中，∠ACB=90°.AC=8，BC=3，点D 是BC 边上动点，连接AD 交以CD 为直径的圆于点E ，则线段BE 长度的最小值为( )A．1 B．32C．3D．52【答案】A【解析】【分析】根据直径所对的圆周角为直角可知∠CED=90°，则∠AEC=90°，设以AC为直径的圆的圆心为O，若BE最短，则OB最短，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OE=12AC=4，在Rt△OBC中，根据勾股定理可求得OB=5，即可得解.【详解】解：连接CE，∵E点在以CD为直径的圆上，∴∠CED=90°，∴∠AEC=180°-∠CED=90°，∴E点也在以AC为直径的圆上，设以AC为直径的圆的圆心为O，若BE最短，则OB最短，∵AC=8，∴OC=12AC=4，∵BC=3，∠ACB=90°，∴OB=22OC BC=5，∵OE=OC=4，∴BE=OB-OE=5-4=1.故选A.【点睛】本题考查了直径所对的圆周角为直角，直角三角形的性质和勾股定理.4．如图，△ABC的外接圆是⊙O，半径AO=5，sinB=25，则线段AC的长为（）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】C【解析】【分析】首先连接CO并延长交⊙O于点D，连接AD，由CD是⊙O的直径，可得∠CAD=90°，又由⊙O的半径是5，sinB=25，即可求得答案．【详解】解：连接CO并延长交⊙O于点D，连接AD，由CD是⊙O的直径，可得∠CAD=90°，∵∠B和∠D所对的弧都为弧AC，∴∠B=∠D，即sinB=sinD=25，∵半径AO=5，∴CD=10，∴2 sin105AC ACDCD===，∴AC=4，故选：C.【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，以及三角函数的内容，注意到直径所对的圆周角是直角是解题的关键.5．如图，在扇形OAB中，120AOB∠=︒，点P是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合），C、D分别是弦AP，BP的中点．若33CD=，则扇形AOB的面积为（）A．12πB．2πC．4πD．24π【答案】A【解析】【分析】如图，作OH⊥AB于H．利用三角形中位线定理求出AB的长，解直角三角形求出OB即可解决问题．【详解】解：如图作OH⊥AB于H．∵C、D分别是弦AP、BP的中点．∴CD是△APB的中位线，∴AB＝2CD＝63∵OH⊥AB，∴BH＝AH＝33∵OA＝OB，∠AOB＝120°，∴∠AOH＝∠BOH＝60°，在Rt△AOH中，sin∠AOH＝AHAO，∴AO＝336sin3AHAOH==∠，∴扇形AOB的面积为：2120612360ππ=g g，故选：A．【点睛】本题考查扇形面积公式，三角形的中位线定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．6．已知某圆锥的底面半径为3 cm，母线长5 cm，则它的侧面展开图的面积为（）A．30 cm2B．15 cm2C．30π cm2D．15π cm2【答案】D【解析】试题解析：根据圆锥的侧面展开图的面积计算公式得：π＝15πS＝RL故选D.7．已知锐角∠AOB如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作»PQ，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交»PQ于点M，N；（3）连接OM，MN．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．∠COM=∠COD B．若OM=MN，则∠AOB=20°C．MN∥CD D．MN=3CD【答案】D【解析】【分析】由作图知CM=CD=DN，再利用圆周角定理、圆心角定理逐一判断可得．【详解】解：由作图知CM=CD=DN，∴∠COM=∠COD，故A选项正确；∵OM=ON=MN ，∴△OMN 是等边三角形，∴∠MON=60°，∵CM=CD=DN ，∴∠MOA=∠AOB=∠BON=13∠MON=20°，故B 选项正确； ∵∠MOA=∠AOB=∠BON=20°， ∴∠OCD=∠OCM=80°，∴∠MCD=160°，又∠CMN=12∠AON=20°， ∴∠MCD+∠CMN=180°， ∴MN ∥CD ，故C 选项正确；∵MC+CD+DN ＞MN ，且CM=CD=DN ，∴3CD ＞MN ，故D 选项错误；故选：D ．【点睛】本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握圆心角定理和圆周角定理等知识点．8．如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转45°后得到正方形AB 1C 1D 1，边B 1C 1与CD 交于点O ，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．224π-- B ．224π- C ．142π+ D ．142π- 【答案】B【解析】【分析】先根据正方形的边长，求得CB 1=OB 1=AC-AB 1=2-1，进而得到211(21)2OB C S =-V ，再根据S △AB1C1=12，以及扇形的面积公式即可得出图中阴影部分的面积． 【详解】连结DC 1，∵∠CAC 1＝∠DCA ＝∠COB 1＝∠DOC 1＝45°，∴∠AC 1B 1＝45°，∵∠ADC ＝90°，∴A ，D ，C 1在一条直线上，∵四边形ABCD 是正方形，∴AC 2OCB 1＝45°，∴CB 1＝OB 1∵AB 1＝1，∴CB 1＝OB 1＝AC ﹣AB 12﹣1，∴211111(21)22OB C S OB CB ∆=⋅⋅=， ∵1111111111222AB C S AB B C =⋅=⨯⨯=V ， 2245(2)11(21)22224ππ⨯⨯--=-+ 故选B ．【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形性质、勾股定理以及扇形面积的计算等知识点的综合应用，主要考查学生运用性质进行计算的能力．解题时注意：旋转前、后的图形全等．9．木杆AB 斜靠在墙壁上，当木杆的上端A 沿墙壁NO 竖直下滑时，木杆的底端B 也随之沿着射线OM 方向滑动．下列图中用虚线画出木杆中点P 随之下落的路线，其中正确的是（ ）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：如右图，连接OP，由于OP是Rt△AOB斜边上的中线，所以OP=12AB，不管木杆如何滑动，它的长度不变，也就是OP是一个定值，点P就在以O为圆心的圆弧上，那么中点P下落的路线是一段弧线．故选D．10．如图，用半径为12cm，面积272cm的扇形无重叠地围成一个圆锥，则这个圆锥的高为（）A．12cm B．6cm C．6√2 cm D．3【答案】D【解析】【分析】先根据扇形的面积公式计算出扇形的圆心角，再利用周长公式计算出底面圆的周长，得出半径．再构建直角三角形，解直角三角形即可．【详解】 72π=212360n π⨯ 解得n=180°， ∴扇形的弧长=18012180π⨯=12πcm ． 围成一个圆锥后如图所示：因为扇形弧长=圆锥底面周长即12π=2πr解得r=6cm ，即OB=6cm根据勾股定理得OC=22126=63-cm ，故选D ．【点睛】本题综合考查了弧长公式，扇形弧长=用它围成的圆锥底面周长，及勾股定理等知识，所以学生学过的知识一定要结合起来．11．如图，⊙O 的直径CD ＝10cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，OM ：OC ＝3：5，则AB 的长为（ ）A 91B ．8cmC ．6cmD ．4cm【答案】B【解析】【分析】 由于⊙O 的直径CD ＝10cm ，则⊙O 的半径为5cm ，又已知OM ：OC ＝3：5，则可以求出OM ＝3，OC ＝5，连接OA ，根据勾股定理和垂径定理可求得AB ．【详解】解：如图所示，连接OA ．⊙O 的直径CD ＝10cm ，则⊙O 的半径为5cm ，即OA ＝OC ＝5，又∵OM ：OC ＝3：5，所以OM ＝3，∵AB ⊥CD ，垂足为M ，OC 过圆心∴AM ＝BM ，在Rt △AOM 中，22AM=5-3=4，∴AB ＝2AM ＝2×4＝8．故选：B ．【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，是解题的关键.12．在平面直角坐标系内，以原点O 为圆心，1为半径作圆，点P 在直线323y x =+上运动，过点P 作该圆的一条切线，切点为A ，则PA 的最小值为( )A ．3B ．2C 3D 2 【答案】D【解析】【分析】先根据题意，画出图形，令直线3x+ 23x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，作OH ⊥CD 于H ，作OH ⊥CD 于H ；然后根据坐标轴上点的坐标特点，由一次函数解析式，求得C 、D 两点的坐标值； 再在Rt △POC 中，利用勾股定理可计算出CD 的长，并利用面积法可计算出OH 的值； 最后连接OA ，利用切线的性质得OA ⊥PA ，在Rt △POH 中，利用勾股定理，得到21PA OP =-PA 的最小值即可.【详解】如图，令直线3x+23x轴交于点C，与y轴交于点D，作OH⊥CD于H，当x=0时，y=3D（0，3当y=033，解得x=-2，则C（-2，0），∴222(23)4CD=+=，∵12OH•CD=12OC•OD，∴OH=233 4⨯=连接OA，如图，∵PA为⊙O的切线，∴OA⊥PA，∴2221PA OP OA OP=-=-当OP的值最小时，PA的值最小，而OP的最小值为OH的长，∴PA22(3)12-=故选D.【点睛】本题考查了切线的性质，解题关键是熟记切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．13．已知圆锥的三视图如图所示，则这个圆锥的侧面展开图的面积为（）A ．60πcm 2B ．65πcm 2C ．120πcm 2D ．130πcm 2【答案】B【解析】【分析】 先利用三视图得到底面圆的半径为5cm ，圆锥的高为12cm ，再根据勾股定理计算出母线长为13cm ，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．【详解】根据三视图得到圆锥的底面圆的直径为10cm ，即底面圆的半径为5cm ，圆锥的高为12cm ，所以圆锥的母线长=225+12=13，所以这个圆锥的侧面积=12×2π×5×13=65π（cm 2）． 故选B ．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了三视图．14．如图，在ABC ∆中，5AB =，3AC =，4BC =，将ABC ∆绕一逆时针方向旋转40︒得到ADE ∆，点B 经过的路径为弧BD ，则图中阴影部分的面积为( )A ．1463π- B ．33π+ C ．3338π- D ．259π 【答案】D【解析】【分析】 由旋转的性质可得△ACB ≌△AED ，∠DAB=40°，可得AD=AB=5，S △ACB =S △AED ，根据图形可得S 阴影=S △AED +S 扇形ADB -S △ACB =S 扇形ADB ，再根据扇形面积公式可求阴影部分面积．【详解】∵将△ABC 绕A 逆时针方向旋转40°得到△ADE ，∴△ACB ≌△AED ，∠DAB=40°，∴AD=AB=5，S △ACB =S △AED ，∵S 阴影=S △AED +S 扇形ADB -S △ACB =S 扇形ADB ，∴S 阴影=4025360π⨯=259π， 故选D.【点睛】本题考查了旋转的性质，扇形面积公式，熟练掌握旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等.15．下列命题中哪一个是假命题（ ）A ．8的立方根是2B ．在函数y ＝3x 的图象中，y 随x 增大而增大C ．菱形的对角线相等且平分D ．在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等【答案】C【解析】【分析】利用立方根的定义、一次函数的性质、菱形的性质及圆周角定理分别判断后即可确定正确的选项．【详解】A 、8的立方根是2，正确，是真命题；B 、在函数3y x =的图象中，y 随x 增大而增大，正确，是真命题；C 、菱形的对角线垂直且平分，故错误，是假命题；D 、在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，正确，是真命题，故选C ．【点睛】考查了命题与定理的知识，能够了解立方根的定义、一次函数的性质、菱形的性质及圆周角定理等知识是解题关键．16．如图，抛物线y ＝ax 2﹣6ax+5a （a ＞0）与x 轴交于A 、B 两点，顶点为C 点．以C 点为圆心，半径为2画圆，点P 在⊙C 上，连接OP ，若OP 的最小值为3，则C 点坐标是（ ）A ．522(,22-B ．（4，﹣5）C ．（3，﹣5）D ．（3，﹣4）【答案】D【解析】【分析】首先根据二次函数的解析式求出点A 、B 、C 三点的坐标，再由当点O 、P 、C 三点共线时，OP 取最小值为3，列出关于a 的方程，即可求解．【详解】∵2650y ax ax a a +-=（＞） 与x 轴交于A 、B 两点， ∴A （1，0）、B （5，0），∵226534y ax ax a a x a =+=---（） ， ∴顶点34C a （，-）， 当点O 、P 、C 三点共线时，OP 取最小值为3，∴OC ＝OP+2＝5， 29165(0)a a +=> ，∴1a = ，∴C （3，﹣4），故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是明确圆外一点到圆上的最短距离即该点与圆心的距离减去半径长．17．若正六边形的半径长为4，则它的边长等于（ ）A ．4B ．2C ．23D ．43【答案】A【解析】试题分析：正六边形的中心角为360°÷6=60°，那么外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，故正六边形的半径等于4，则正六边形的边长是4．故选A ． 考点：正多边形和圆．18．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是¶CD上一点，且¶¶=，连接CF并延长交DF BCAD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（）A．45°B．50°C．55°D．60°【答案】B【解析】【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，再由圆周角定理得出∠DCE的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论．【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=105°，∴∠ADC=180°﹣∠ABC=180°﹣105°=75°．∵»»DF BC=，∠BAC=25°，∴∠DCE=∠BAC=25°，∴∠E=∠ADC﹣∠DCE=75°﹣25°=50°．【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理.圆内接四边形对角互补.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角相等，而同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，所以在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.19．如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰直角△ABC的内部，∠BAC＝90°，OA＝1，BC＝6，则⊙O的半径为（）A．23B．13C．4 D．32【答案】B【解析】【分析】如下图，作AD⊥BC，设半径为r，则在Rt△OBD中，OD=3－1，OB=r，BD=3，利用勾股定理可求得r.【详解】如图，过A作AD⊥BC，由题意可知AD必过点O，连接OB；∵△BAC是等腰直角三角形，AD⊥BC，∴BD=CD=AD=3；∴OD=AD-OA=2；Rt△OBD中，根据勾股定理，得：OB= 22+=BD OD13故答案为：B.【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质和勾股定理的应用，解题关键是利用等腰直角三角形ABC判定点O在AD上.20．如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O交BC于点D，连接AD，若∠DAC＝30°，DC＝1，则⊙O的半径为（）A．2 B3C．23D．1【答案】B【解析】【分析】先由圆周角定理知∠BDA=∠ADC=90°，结合∠DAC=30°，DC=1得AC=2DC=2，∠C=60°，再由3【详解】∵AB是⊙O的直径，∴∠BDA＝∠ADC＝90°，∵∠DAC＝30°，DC＝1，∴AC＝2DC＝2，∠C＝60°，则在Rt△ABC中，AB＝ACtanC＝，∴⊙O，故选：B．【点睛】本题主要考查圆周角定理，解题的关键是掌握半圆（或直径）所对的圆周角是直角和三角函数的应用．。

数学初三圆的试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是圆的标准方程？A. (x-a)²+(y-b)²=r²B. x²+y²=rC. x²+y²=r²D. (x-a)²+(y-b)²=r答案：A2. 圆心为(2,3)，半径为5的圆的方程是什么？A. (x-2)²+(y-3)²=25B. (x-2)²+(y-3)²=5C. x²+y²=25D. x²+y²=5答案：A3. 已知圆C的圆心为(1,1)，半径为2，点P(4,3)在圆C上，那么点P 到圆心的距离是多少？A. 2B. 3C. 4D. 5答案：B4. 圆的直径是10，那么它的半径是多少？A. 5B. 10C. 20D. 15答案：A5. 圆心在原点，半径为3的圆的方程是？A. x²+y²=9B. (x-0)²+(y-0)²=3C. x²+y²=3D. (x-3)²+(y-3)²=9答案：A6. 圆的周长公式是？A. C=2πrB. C=πrC. C=2rD. C=r答案：A7. 圆的面积公式是？A. A=πr²B. A=2πrC. A=r²D. A=2r答案：A8. 圆的切线与半径垂直，那么切线与圆心的距离是多少？A. rB. 2rC. πrD. 0答案：A9. 圆的弧长公式是？A. L=rθB. L=2πrC. L=rθ/180D. L=2πrθ/360答案：D10. 圆的扇形面积公式是？A. S=1/2r²θB. S=1/2r²C. S=rθD. S=2πrθ/360答案：D二、填空题（每题4分，共20分）1. 圆心在(-2,4)，半径为3的圆的方程是：（x+2）²+（y-4）²=________。

初中数学竞赛《圆》历届考题1（04）．D 是△ABC 的边AB 上的一点，使得AB =3AD ，P 是△ABC 外接圆上一点，使得ACB ADP ∠=∠，求PD PB的值.解：连结AP ，则ADP ACB APB ∠=∠=∠，所以，△APB ∽△ADP ， …………………………（5分） ∴AD APAP AB =，所以223AD AD AB AP =∙=，∴AD AP 3=， …………………………（10分） 所以3==ADAPPD PB . …………………………（15分）2、（05）已知点I 是锐角三角形ABC 的内心，A1，B1，C1点I 关于边BC ，CA ，AB 的对称点。

若点B 在△A1B1C1圆上，则∠ABC 等于（ ）A 、30°B 、45°C 、60°D 、90° 答：C解：因为IA1＝IB1＝IC1＝2r （r 为△ABC 的内切圆半径），所以 点I 同时是△A1B1C1的外接圆的圆心，设IA1与BC 的交点为D ，则IB ＝IA1＝2ID ，所以∠IBD ＝30°，同理，∠IBA ＝30°，于是，∠ABC ＝60°3．（06）正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在劣弧AB 上，连结DP ，交AC 于点Q ．若QP=QO ，则QAQC的值为（ ） （A ）132-（B ）32 （C ）23+（D ）23+答：D ．解：如图，设⊙O 的半径为r ，QO=m ，则QP=m ，QC=r ＋m ， QA=r －m ．在⊙O 中，根据相交弦定理，得QA ·QC=QP ·QD ．即 (r －m )(r ＋m )=m ·QD ，所以 QD=mm r 22-．连结DO ，由勾股定理，得QD 2=DO 2B 1C 1 （第3题图）＋QO 2，即22222m r mm r +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-，解得r m 33=所以， 231313+=-+=-+=m r m r QA QC 4．（06）如图，点P 为⊙O 外一点，过点P 作⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B ．过点A 作PB 的平行线，交⊙O 于点C ．连结PC ，交⊙O 于点E ；连结AE ，并延长AE 交PB 于点K ．求证：PE ·AC=CE ·KB ．证明：因为AC ∥PB ，所以∠KPE=∠ACE ．又P A 是⊙O所以∠KAP=∠ACE ，故∠KPE=∠KAP ，于是△KPE ∽△KAP ，所以 KPKE KA KP =， 即 KA KE KP ⋅=2． 由切割线定理得 KA KE KB ⋅=2所以 KB KP =． …………………………10分因为AC ∥PB ，△KPE ∽△ACE ，于是AC KP CE PE = 故 ACKBCE PE =， 即 PE ·AC=CE ·KB ． ………………………………15分5（07）已知△ABC 为锐角三角形，⊙O 经过点B ，C ，且与边AB ，AC 分别相交于点D ，E ．若⊙O 的半径与△ADE 的外接圆的半径相等，则⊙O 一定经过△ABC 的（ ）．（A ）内心 （B ）外心 （C ）重心 （D ）垂心 答：（B ）．解： 如图，连接BE ，因为△ABC 为锐角三角形，所以BAC ∠，ABE ∠均为锐角．又因为⊙O 的半径与△ADE 的外接圆的半径相等，且DE 为两圆的公共弦，所以BAC ABE ∠=∠． 于是，2BEC BAC ABE BAC ∠=∠+∠=∠．若△ABC 的外心为1O ，则12B O C B A C ∠=∠，所以，⊙O 一定过△ABC的外心．故选（B ）．6．已知AB 为半圆O 的直径，点P 为直径AB 上的任意一点．以点A 为圆心，AP 为半径作⊙A ，⊙A 与半圆O 相交于点C ；以点B 为圆心，BP 为半径作⊙B ，⊙B 与半圆O 相交于点D ，且线段（第4题）C（第3题答案图）CD 的中点为M ．求证：MP 分别与⊙A 和⊙B 相切．证明：如图，连接AC ，AD ，BC ，BD ，并且分别过点C ，D 作AB为,EF ，则CE ∥DF ．因为AB是⊙O 的直径，所以90ACB ADB ∠=∠=和Rt △ABD中，由射影定理得22PA AC AE AB==⋅，22PB BD BF AB ==⋅． ……………5分两式相减可得()22PA PB AB AE BF -=-，又 ()22()()PA PB PA PB PA PB AB PA PB -=+-=-， 于是有 AE BF PA PB -=-，即PA AE PB BF -=-，所以PE PF =，也就是说，点P 是线段EF 的中点．因此，MP 是直角梯形CDFE 的中位线，于是有MP AB ⊥，从而可得MP 分别与⊙A 和⊙B 相切．7．如图，点E ，F 分别在四边形ABCD 的边AD ，BC 的延长线上，且满足DE ADCF BC=．若CD ，FE 的延长线相交于点G ，△DEG 的外接圆与△CFG 的外接圆的另一个交点为点P ，连接P A ，PB ，PC ，PD ．求证：（1）AD PDBC PC=； （2）△PAB ∽△PDC ．证明：（1）连接PE ，PF ，PG ，因为PDG PEG ∠=∠， 所以PDC PEF ∠=∠．又因为PCG PFG ∠=∠，所以△PDC ∽△PEF ，于是有,PD PECPD FPE PC PF=∠=∠，从而△PDE ∽△PCF ，所以PD DE PC CF =．又已知DE AD CF BC =，所以，AD PDBC PC=． ………………10分 （2）由于PDA PGE PCB ∠=∠=∠，结合（1）知，△PDA ∽△PCB ，从而有,PA PDPB PC= DPA CPB ∠=∠，所以A P B D P ∠=∠，因此△PAB ∽△PDC ． ………………15分8、△ABC 中，AB ＝7，BC ＝8，CA ＝9，过△ABC 的内切圆圆心l 作DE ∥BC ，分别与AB 、AC 相交于点D ，E ，则DE 解：如图，设△ABC 的三边长为,,a b c ， 内切圆l 的半径为r ，BC 边上的高为a h ，则C（第8题）11()22a ABC ah S a b c r ∆==++，所以a r a h a b c=++， 因为△ADE ∽△ABC ，所以它们对应线段成比例，因此,a a h r DEh BC-= 所以DE ＝()(1)(1)a a a h r r a a b c a a a h h a b c a b c-+⋅=-=-=++++ 故 DE ＝8(79)168796⨯+=++。

历届初中数学竞赛试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B2. 如果一个数的平方等于16，那么这个数是多少？A. 4B. -4C. 4 或 -4D. 16答案：C3. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，斜边的长度是多少？A. 5B. 6C. 7D. 8答案：A4. 一个数列1, 1, 2, 3, 5, ...，每个数都是前两个数的和，这个数列的第6个数是多少？A. 8B. 13C. 21D. 34答案：B5. 如果一个圆的半径是5，那么它的面积是多少？A. 25πB. 50πC. 100πD. 125π答案：B二、填空题（每题2分，共10分）6. 一个数的绝对值是它本身，这个数是________。

答案：非负数7. 一个长方体的长、宽、高分别是2cm、3cm和4cm，它的体积是________。

答案：24立方厘米8. 一个分数的分子和分母同时乘以一个相同的数，这个分数的值________。

答案：不变9. 如果一个数的立方等于它本身，那么这个数是________。

答案：1，-1，010. 一个圆的周长是2πr，其中r是圆的半径，π是圆周率，π的值约等于________。

答案：3.14三、解答题（每题5分，共20分）11. 一个班级有50名学生，其中30名学生参加了数学竞赛，20名学生参加了英语竞赛，并且有5名学生同时参加了数学和英语竞赛。

请问只参加数学竞赛的学生有多少人？答案：只参加数学竞赛的学生有30-5=25人。

12. 一个等差数列的前三项分别是2，5，8，求这个数列的第10项。

答案：等差数列的公差d=5-2=3，第10项a10=a1+(10-1)*d=2+9*3=29。

13. 一个直角三角形的斜边长为13，一条直角边长为5，求另一条直角边长。

答案：根据勾股定理，另一条直角边长b=√(13²-5²)=12。

全国初中数学竞赛试题及答案全国初中数学竞赛试题及答案一、选择题1、在一张纸上，我们画了一个圆和一条直径，直径与圆相交于A、B 两点。

如果我们在这张纸上连续地画了8个点，使得这些点都在圆上，那么这8个点的最密集分布是（）。

A. 像一个“十”字形，两边各4个点 B. 像一个“十”字形，两边各3个点 C. 像一个“米”字形，上面各4个点 D. 像一个“米”字形，上面各3个点答案：C 解析：根据圆的对称性，我们可以得知，直径两侧的点到圆心的距离相等，因此在一个“十”字形中，中间的交点是最密集的。

而在“米”字形中，上面的4个点距离交点的距离相等且最短，因此是最密集的。

2、在一个等边三角形ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点。

现在以D为圆心，DE为半径画圆弧，交AB于G。

则△DFE的面积是阴影部分面积的（）。

A. 2倍 B. 3倍 C. 4倍 D. 6倍答案：C 解析：由题意可知，DE是△ABC的中位线，因此DE=1/2AB。

而△DFE是直角三角形，斜边DE是直径，因此∠DFE=90°。

所以，△DFE的高是DE的一半，即1/4AB。

因此，△DFE的面积是1/2×1/2AB×1/4AB=1/8AB²。

而阴影部分的面积是△ABC面积的一半，即1/2×1/2AB×√3/2AB=√3/4AB²。

所以，△DFE的面积是阴影部分面积的4倍。

3、在一个等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC=1。

现在以这个三角形的顶点为圆心，1为半径画圆弧，则这三个圆弧的长度之和为（）。

A. 3π/2 B. π C. 2π D. 5π/2 答案：C 解析：根据题意，我们可以得到三个圆弧的半径都是1。

其中第一个圆弧的长度为1/4×2π×1=π/2，第二个圆弧的长度也为π/2，第三个圆弧的长度为1/4×2π×√2=π√2/2。

1991全国初中数学联合竞赛试卷一、选择题本题共有8个小题，每小题都给出了（A ）、（B ）（C ）、（D ）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内． １．设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立，其中a ，x ，y是两两不同的实数，则22223yxy x y xy x +--+的值是（ ） （A ）3 ； （B ）31； （C ）2； （D ）35． ２．如图，AB ‖EF ‖CD ，已知AB =20，CD =80，BC =100，那么EF 的值是（ ）（A ） 10； （B ）12； （C ） 16； （D ）18． ３．方程012=--x x 的解是（ ）（A ）251±； （B ）251±-； （C ）251±或251±-； （D ）251±-±．４．已知：)19911991(2111n nx --=（n 是自然数）．那么n x x )1(2+-，的值是（ ）（Ａ）11991-； （Ｂ）11991--； （Ｃ）1991)1(n -； （Ｄ）11991)1(--n ．５．若M n1210099321=⨯⨯⨯⨯⨯ ，其中Ｍ为自然数，n 为使得等式成立的最大的自然数，则Ｍ（ ）（Ａ）能被２整除，但不能被３整除；（Ｂ）能被３整除，但不能被２整除； （Ｃ）能被４整除，但不能被３整除；（Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除．６．若a ，c ，d 是整数，b 是正整数，且满足c b a =+，d c b =+，a d c =+，那么 d c b a +++的最大值是（ ） （Ａ）1-；（Ｂ）5-；（Ｃ）0；（Ｄ）１．７．如图，正方形OPQR 内接于△ABC ．已知△AOR 、△BOP 和△CRQ的面积分别是11=S ，32=S 和13=S ，那么，正方形OPQR 的边长是（ ）（Ａ）2；（Ｂ）3；（Ｃ）2 ；（Ｄ）3．11=S 3S =132=S８．在锐角△ABC 中，1=AC ，c AB =，60=∠A ，△ABC 的外接圆半径R ≤1，则（ ）（Ａ）21< c < 2 ； （Ｂ）0< c ≤21； （C ）c > 2； （ D ）c = 2．二、填空题１．Ｅ是平行四边形ABCD 中BC 边的中点，AE 交对角线BD 于G ，如果△BEG 的面积是１，则平行四边形ABCD 的面积是 ．２．已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么，=+acb 32 ． 3．设m ，n ，p ，q 为非负数，且对一切x >０，qpnm x x x x )1(1)1(+=-+恒成立，则=++q p n m 22)2( ．４．四边形ABCD 中，∠ ABC135=，∠BCD120=，AB 6=，BC 35-=，CD = 6，则AD = ．三、解答题一、实数x 与y ，使得x + y ， x － y ， x y ，yx 四个数中的三个有相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x , y ）．二、△ABC 中，AB ＜AC ＜BC ，D 点在BC 上，E 点在BA 的延长线上，且BD ＝BE ＝AC ，△BDE 的外接圆与△ABC 的外接圆交于F 点（如图）．求证：BF ＝AF ＋CF三、将正方形ABCD 分割为 2n 个相等的小方格（n 是自然数），把相对的顶点A ，C 染成红色，把B ，D 染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色．证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数．120135答案 1．（B ）据算术根性质，由右端知y <a <x ，又由左端知a ≥0且a ≤0，故a ＝0． 由此得x=－y ，代入所求式算得值为31２．（C ）由平行截割定理，有①②①+②，得∴３．（D ） 设0x 是方程的解，则—0x 也是方程的解，排除（A ）、（B ）；（D ）的两值必是方程的解，否则方程的解也不是（C ）． 将)51(21-代入方程，左边≠0，排除（C ）． ４．（D ）．（所以 原式， 112112221991)1()1991)19911991(21)199121991(4111-----=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+-+=+n n nn n n n x5．（A ）在1³2³3³…³100的质因数分解中，2的因子有所以，P P 21232100321484897⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯ ，其中2不整除P ，3不整除P ，因而M =2P ．６．（B ） (a +b )+(c +d )=c +a ， ∴b =-d ．代入 b +c =d 得c =2d ，a =c +d =3d ，故a +b +c +d =2d +3d =5d =-5b ≤-5 (∵b ≥1)． 故 a =-3，b =1，c =-2，d =-1． ７．（C ） 设正方形OPRQ 的边长为x ，即OP =PQ =QR =OR = x ．作△ABC 的高AD ，交OR 于F ，在△AOR 中，xOR S AF 221==．如图．８．（A ）作CD ⊥AB ，因△ABC 是锐角三角形，故D 在AB 内， 从而c = AB ＞AD = AC cos A = cos A =21． 又由正弦定理，得c = AB = 2R sin C ＜2R ≤2，所以21＜c ＜2． 二、填空题1．12 由△BEG ∽△DAG ，得DG ∶GB ＝AD ∶BE ＝２∶１， ∴ DB ＝３GB ．连接DE ，则２．６ 设甲将a 看为a ′，由韦达定理得．于是　．　， 438'6'-===-c b a ca b由于一次项系数b 的符号不改变判别式的值，因此，乙只能是看错a 或c 的符号．于是a ’ ．4=ac由①②得３．９．－，即，则有再取　．　为奇数，因此 由于．，则有恒成立，取对一切由于q n n q n m p p m qpn m x m p x x xx x x -==-===-≠=-=>+=-+2232112321,012,0221210)1(1)1(若n >q ，则上式左边为奇数，右边为偶数，矛盾．若n <q ，则上式左边为整数，右边为真分数，矛盾． 所以，只能是n =q =1．于是93)2(222==++qp n m ．４．192作AE ∥BC ，交CD 于E ，自B ，C 分别作AE 的垂直线BF 与CG ，F ，G 分别为垂足（如图）．BCGF 为矩形，△AFB 为等腰直角三角形，32===AB AF BF ．．，，所以 ．2165)1610(21542222321==+=+++=+++=x x x xx x S S S S S OPRQ ． ．所以6126323=+-=+-=ac b ba1234222=⨯=⨯==E E ABCD S S S S在Rt △CEG 中，三、解答题 一.由于yx有意义，所以y ≠0，从而x + y ≠x －y ． 因此x y =yx，即x (2y －1) = 0． 所以x = 0或y = ±1． （１）若x = 0，则由x y = x + y ，或x y = x －y ，得y = 0，这样yx无意义； （２）若y = 1，则由x y = x + y 得x = x +1， 或由x y = x －y 得x = x －1，都导致矛盾； （３）若y = -1，则由x y = x + y 得x =21， 由x y = x －y 得x =21-， 所以符合要求的数对只有 )121()121(---，　和 ，． 二、证法１ 延长AF 到M ，使FM =CF ．连CM 、DF ，在△EBD 与△FCM 中，由于BE =BD ，FM =CF ，因此△EBD 、△FCM 都是等腰三角形． ∵ ∠EBD =∠MFC ， ∴ ∠BED =∠CMF ， 又 ∠BED =∠BFD ， ∴ ∠CMF =∠BFD ， 在△BFD 与 △AMC 中，∠2=∠1，∠BFD =∠CMF ，BD =AC ， ∴ △BFD ≌△AMC ． ∴ BF =AM =AF +FM ． 又∵ FM =CF ， ∴ BF =AF +CF ． 证法2 如图，连EF 、DF ∵ ∠1=∠2， ∠2=∠3， ∴ ∠1=∠3， ∵ ∠4=∠5， ∠5=∠6， ∴ ∠4=∠6．∴ △AFC ∽△EFD ．．＝＝＝ ．＝＝ ＝＝所以 ．＝＝，＝，＝ 知＝，由＝ 426613533521330--+-++-︒∠CE CD ED GE FG AF AE BC FG CE GE CGGCE ．所以 ．中应用余弦定理，有又　1927676241636120cos 2120222===++=︒⋅-+=︒=∠=∠AD ED AE ED AE AD BCD AED ²于是k CFDFAC DE AF EF ===， 即EF =k ²AF ，DE =k ²AC ，DF =k ²CF ．由托勒密定理，知BF ²DE =BD ²EF +BE ²DF ， 即BF ²k ²AC =BD ²k ²AF +BE ²k ²CF ． 但是AC =BE =BD ≠0， 所以BF =AF +CF .一、证法１ 用数代表颜色，将红色记为０，蓝色记为１，再将小方格编号，记为1,2,3,…,2n .又记第i 个小方格四个顶点数字之和为i A ,若恰有三个顶点同色,则i A =1或3为奇数,否则i A 为偶数.在221n A A A +++ 中,有如下事实:对正方形内部的交点,各加了4次； 原正方形边上非端点的交点,各加了２次(含两个０,两个１).因此221n A A A +++ ＝４(内部交点相应的数之和)＋２³(边上非端点的交点相应的数之和)＋２必为偶数.于是，在2,,,21n A A A 中必有偶数个奇数，这就是说，恰有三个顶点同色的小方格必有偶数个．证法2 用数代表颜色，红色记为l ，蓝色记为－1，将小方格编号，记为l ，2，…，2n ． 记第 i 个小方格四顶点数字之乘积为i A ，若恰有三顶点同色，则1,1=-=i i A A 否则． 现在考虑乘积221n A A A ⨯⨯．对正方形内部交点，各点相应的数重复出现4次；A ，B ，C ，D 边上的不是端点的交点相应的数各出现2次；A ，B ，C ，D 四点相应的数的乘积为１³１³（－1）³（－1）＝１．于是 221n A A A ⨯⨯＝１．因此，221n A A A ⨯⨯中－１的个数必为偶数，即恰有三顶点同色的小方格必有偶数个． 证法3 考虑染了色之后，改变一个交点的染色方式，这时以此点为顶点的小方格，要么由三顶点同色变为非三顶点同色，要么由非三顶点同色变成三顶点同色．注意：除A ，B ，C ，D 之外，每一交点必是偶数个小方格的顶点，因此，改变一个交点的染色并不改变三顶点同色小方格数目的奇偶性． 当n ＝l 时，结论显然成立．当n ＞1时，每次改变一个交点的染色，最终总可以使B ，D 之外的点皆为红色，这时，三顶点同色的小方格只有两个，为偶数．因此，任意染色之下，三顶点同色的小方格有偶数个．1992年全国初中数学联赛试题一.选择题1.满足1=+-ab b a 的非负整数),(b a 的个数是（ ） (A)1; (B)2; (C)3; (D)4.2.若0x 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根,则判别式ac b 42-=∆与平方式20)2(b ax M +=的关系是（ ）(A)∆>M (B)∆=M (C)∆>M ; (D)不确定. 3.若01132=+-x x ,则44-+x x 的个位数字是（ ） (A)1; (B)3; (C)5; (D)7.4.在半径为1的圆中有一内接多边形,若它的边长皆大于1且小于2,则这个多边形的边数必为（ ）(A)7; (B)6; (C)5; (D)4.5.如图,正比例函数)0(>==a ax y x y 和的图像与反比例函数)0(>=k xky 的图像分别相交于A 点和C 点.若AOB Rt ∆和COD ∆的面积分别为S 1和S 2,则S 1与S 2的关系是（ ） (A)21S S > (B)21S S = (C)21S S < (D)不确定6.在一个由88⨯个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆,若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为1S ,把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为2S ,则21S S 的整数部分是（ ）(A)0; (B)1; (C)2; (D)3.7.如图,在等腰梯形ABCD 中, AB //CD , AB=2CD , ︒=∠60A ,又E 是底边AB 上一点,且FE=FB=AC , F A=AB .则AE :EB 等于（ ）(A)1:2 (B)1:3 (C)2:5 (D)3:108.设9321,,,,x x x x ⋅⋅⋅均为正整数,且921x x x <⋅⋅⋅<<,220921=+⋅⋅⋅++x x x , 则当54321x x x x x ++++的值最大时,19x x -的最小值是（ ） (A)8; (B)9; (C)10; (D)11. 二.填空题1.若一等腰三角形的底边上的高等于18cm ,腰上的中线等15cm ,则这个等腰三角形的面积等于________________.2.若0≠x ,则xx x x 44211+-++的最大值是__________.3.在ABC ∆中,B A C ∠∠=∠和,90 的平分线相交于P 点，又AB PE ⊥于E 点，若3,2==AC BC ，则=⋅EB AE .4.若b a ,都是正实数，且0111=+--b a b a ，则=+33)()(ba ab . 三.解答题一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程062=+-a x x 的两根，当这样的三角形只有一个时，求a 的取值范围.二、如图，在ABC ∆中，D AC AB ,=是底边BC 上一点，E 是线段AD 上一点，且A CED BED ∠=∠=∠2.求证：CD BD 2=.三、某个信封上的两个邮政编码M 和N 均由0，1，2，3，5，6这六个不同数字组成，现有四个编码如下：A ：320651B ：105263C ：612305D ：316250已知编码A 、B 、C 、D 各恰有两个数字的位置与M 和N 相同.D 恰有三个数字的位置与M 和N 相同.试求：M 和N.1.(C)由⎩⎨⎧==-01ab b a ⇒(1,0)(0,1). 又由⇒⎩⎨⎧==-1,0ab b a (1,1). ∴共有3对.2.(B)设0x 是方程的根,则0020=++c bx ax .所以202022044)2(b abx x a b ax ++=+ac b c bx ax a 4)(42020-+++=ac b 42-=.3.(D)由01132-+-x x 知0≠x .所以131=+-x x ,167213222=-=+-x x .2167244-=+-x x ,从而42-+x x 的个位数字为9-2=7.4.(C)若满足条件的多边形的边数大于或等于6,则至少有一边所对的圆心角不大于60°.由余弦定理知该边长必不大于1;同理,若存在满足条件的四边形,则它至少有一边长不小于2.5.(B)设A 点的坐标为(11,y x ),C 点的坐标为(22,y x ),则k y x y x ==2211. ∴22211121212121S CD OD y x y x AB OB S =⋅===⋅=. 6.(B)据正方形的对称性,只需考虑它的41部分即可.记圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和为1'S ，圆周经过的所有小方格的圆外部分的面积之和为2'S ，则841'-=πS ，π4152'-=S . ∴44.256.44158444212'1'≈--==ππS S S S .故21S S 的整数部分是1. 7.(B) 设1=CD ,则2==AB FA ,易证121==AB BC ,90=∠ABC ,3===AC FB FE .∴ FG是等腰三角形BFD顶角平分线，因而也是底边BD上的中线．即 BG=GD．所以BD=2BG=2DC．三、对于编码M，考虑编码A中恰有两个数位上的数字与M中相应数位上的数字相同．设这两位是x1，x2数位．由于B、C中该两数位上的数字均与A在这两数位上的数字不同，因此B，C中这两数位上的数字必与M中这两数位上的数字不同，于是B中与 M中数字相同的数位必异于x1，x2．不妨设为x3，x4；同理C中与 M中数字相同的数位只能是异于x1，x2，x3，x4的x5，x6两位．关于 N也有类似的结论．这就是说，在每个数位上，A，B，C分别在该数位上的数字中，必有一个与M在该数位上的数字相同；同样地，也必有一个与N在该数位上的数字相同．由此知，D中的6，0两数字必不是M，N在相应数位上的数字．于是D的3，1，2，5中只有一个数字与M在相应数位上的数字不同；与Ⅳ相比较也有类似的结果．(A)若3不对，则有610253，013256；(B)若1不对，则有360251，301256；(C)若2不对，则有312056，310652；(D)若5不对，则有310265，315206．经检验知：该信封上编码M，N或者同为610253，或者同为310265．或者一个是610253，另一个是310265．。