七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第十二讲全等三角形(含答案)

2024-2025学年年七年级数学人教版下册专题整合复习卷13.2.3 三角形全等的条件ASA(含答案)-§13．2.3 三角形全等的条件（第三课时）一、选择题1．已知AB=A ′B ′，∠A=∠A ′，∠B=∠B ′，则△ABC ≌△A ′B ′C ′的根据是（ ） A ．SAS B ．SSA C ．ASA D ．AAS2．△ABC 和△DEF 中，AB=DE ，∠B=∠E ，要使△ABC ≌△DEF ，则下列补充的条件中错误的是（ ） A ．AC=DF B ．BC=EF C ．∠A=∠D D ．∠C=∠F 3．如图1，AD 平分∠BAC ，AB=AC ，则图中全等三角形的对数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5EDCBAOD C BAEDCB A12(1) (2) (3)二、填空题4．如图2，已知AB ∥CD ，欲证明△AOB ≌△COD ，••可补充条件________．（填写一个适合的条件即可）5．如图3，AB ⊥AC ，BD ⊥CD ，∠1=∠2，欲得到BE=CE ，•可先利用_______，证明△ABC ≌△DCB ，得到______=______，再根据___________•证明________•≌________，即可得到BE=CE ． 6．如图4，AC 平分∠DAB 和∠DCB ，欲证明∠AEB=∠AED ，•可先利用___________，证明△ABC ≌△ADC ，得到______=_______，再根据________•证明______≌________，即可得到∠AEB=∠AED ．ED CA21E DCBA(4) (5) 三、解题题7．如图5，AC=AE ，∠C=∠E ，∠1=∠2，求证△ABC ≌△ADE ．8．已知△ABC ≌△A ′B ′C ′，AD 和A ′D ′分别是BC 和B ′C ′边上的高，AD•和A ′D ′相等吗？为什么？9．如图，已知BD=CE ，∠1=∠2，那么AB=AC ，你知道这是为什么吗？21E DCBA10．已知如图，CE ⊥AB 于点E ，BD ⊥AC 于点D ，BD 、CE 交于点O ，且AO 平分∠BAC ， （1）图中有多少对全等的三角形？请你一一列举出来（不要求说明理由）（2）小明说：欲证BE=CD ，可先证明△AOE ≌△AOD 得到AE=AD ，再证明△ADB•≌△AEC 得到AB=AC ，然后利用等式的性质即可得到BE=CD ，请问他的说法正确吗？•如果不正确，请说明理由；如果正确，请按他的思路写出推导过程．（3）要得到BE=CD ，你还有其他的思路吗？若有，请仿照小明的说法具体说一说你的想法．AE DOBC答案:1．C 2．A 3．B 4．AB=CD或OA=0C或OB=OD5．AAS；AB DC；AAS；△ABE；△DCE6．ASA；AB；AD；SAS；△ABE；△ADE7．∵∠1=∠2，∴∠BAC=∠DAE，又∵AC=AE，∠C=∠E，∴△ABC≌△ADE8．相等，证△ABD≌△A′B′D′9．由∠1=∠2得∠ADB=∠AEC，再用AAS证△ABD≌△ACE10．①△AOE≌△AOD，△BOE≌△COD，△AOB≌△AOC，△ABD≌△ACE；②正确；③比如：可先证明△AOE≌△AOD得到OE=OD，再证明△BOE≌△COD得到BE=CD第11章 全等三角形（11.1～11.2）水平测试题一、选一选，看完四个选项后再做决定呀！（每小题3分，共24分） 1．下列说法正确的是 [ ]A ．全等三角形是指形状相同的两个三角形;B ．全等三角形是指面积相等的两个三角形C ．全等三角形的周长和面积相等D ．所有等边三角形是全等三角形 2．△MNP ≌△NMQ ，且MN=8厘米，NP=7 厘米，PM=6 厘米．则MQ 的长为 [ ]A ．8厘米B ．7厘米C ．6厘米D ．5厘米 3．如图1，△ABC ≌△CDA ，并且AB=CD ，那么下列结论错误的是 [ ]A ．∠1=∠2B ．AC=CAC ．∠B=∠D D ．AC=BC21DCBADFEC BAED CBA图1 图2 图34．如图2，已知∠A=∠D ，∠EFD=∠ACB ，那么要得到△ABC ≌△DEF ，还应给出的条件是 [ ]A ．∠E=∠B B ．ED=BC C ．AB=EFD ．AF=CD5．已知：△ABC 和△C B A '''中，AB=B A ''，∠A=∠A '，∠B=∠B '，则△ABC ≌△C B A '''的根据是 [ ]A ．SASB ．SSAC ．ASAD ．AAS6．如图3，D 在AB 上，E 在AC 上，且∠B=∠C ，那么补充下列一个条件后，仍无法判定△ABE ≌△ACD 的是［ ］A ．AD=AEB ．∠AEB=∠ADC C ．BE=CD D ．AB=AC 7．下列条件中，能判定△ABC ≌△DEF 的是[ ]A ．AB=DE ，BC=EF ，∠A=∠EB ．∠A=∠E ，AB=EF ，∠B=∠DC ．∠A=∠D ，∠B=∠F ，∠C=∠F D ．∠A=∠D ，∠B=∠E ，AC=DF 8．下列说法中正确的是 [ ]①有两角及一边对应相等的两个三角形全等；②三个角对应相等的两个三角形全等； ③两边及一角对应相等的两个三角形全等； ④一腰及顶角对应相等的两等腰三角形全等． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个二、填一填，要相信自己的能力！（每小题3分，共24分） 1．全等三角形的对应边________，对应角________．2．如图4，△ABC ≌△EFC ，且CF=3厘米，∠EFC= 64，则BC= ______厘米，∠B=_____．F ECBADCBAD ECBA21F EDCBA图4 图5 图6 图7 3．如图5，△ABD ≌△CDB ，则AB 与CD 的位置关系是________．4．如图6，AB=AC ，若要使△ABE ≌△ACD ，根据SAS ，则还需要 ______．5．如图7，∠1=∠2，BC=EF ，那么需要补充一个条件________（写出一个即可），才能使△ABC ≌△DEF ．6．如图8，AD ∥BC ，AB ∥CD ，则△____≌△______时，根据是________．DCBAE DCBADBA图8 图9 图107．如图9，已知∠C=∠B=︒50，∠A=︒60，则∠AEC=_______，若AE=AD ，AB=7，则AC=_______． 8．如图10，AB=DC ，∠ABC=∠DCB ，那么△ABC ≌△______，根据是______． 三、做一做，要注意认真审题呀！（本大题共30分）1．（10分）已知△ABC ≌△C B A '''，且∠A=︒48，∠B=︒33，B A ''=5cm ，求∠C '的度数与AB 的长．2．如图11，已知AB=AC ，D 为BC 边中点，你能说出AD 与BC 的位置关系吗？请说明理由．D CB A图113．如图12，已知，∠BAC=∠DAE ，∠ABD=∠ACE ，BD=CE ，你能说明AB=AC ，AD=AE 吗？说明你的理由．E D CBA图12四、拓广探索！（本大题共22分）1．（10分）三月三，放风筝，如图13是小明制作的风筝，他经过测量知DE=DF ，EH=FH ，不用度量，小明就知道∠DEH=∠DFH ，请你用所学的知识给予说明．HD EF图132．（1）如图14，A ，B ，C ，D 在同一直线上，AB=CD ，DE ∥AF ，且DE=AF ．说明：△AFC ≌△DEB ．（2）如果将BD 沿AD 边的方向平行移动，如图（2）、（3），其余条件不变，结论是否成立，如果成立，请予以说明；如不成立，请说明理由．FECDBAFECDBA（1） （2）FECDBA（3）图14提升能力 超越自我1．如图1，△ABC ≌△ADE ，B 点的对应顶点是D 点，若∠BAD=︒100，∠CAE=︒40，求∠BAC 的度数．DE CBA图1 2．如图2，已知：∠1=∠2，AD=AE ．BD 与CE 相等吗？为什么？21AE D CB图2参考答案跟踪反馈 挑战自我 一、1~8 C B D D C B D B二、1．相等，相等 2．3厘米，︒64 3．AB ∥CD 4．AE=AD 5．∠B=∠E （∠A=∠D 或AC=DF 均可） 6．ABD ，CDB ，ASA 7．︒70，7 8．DCB ，SAS三、1．∠C '=∠C=︒99，AB=B A ''=5厘米．2．AD ⊥BC ．理由略3．易推出△ABD ≌△ACE （AAS ）→AB=AC ，AD=AE ． 四、1．说明：连结DH ．易推出△DEH ≌△DFH →∠DEH=∠DFH ． 2．（1）根据SAS 可得△AFC ≌△DEB ．（2）成立；（3）成立． 提升能力 超越自我1．由△ABC ≌△ADE ，易推出∠BAE=∠DAC=︒30．所以∠BAC=∠BAE+∠CAE=︒70． 2．BD=CE ．理由：由已知条件易推出△ADC ≌△AEB →AC=AB → BD=CE ．第11章 全等三角形(11.1-11.2)单元水平测试班级_____________ 姓名______________ 号次_____________ 成绩_____________一、选择题（每题5分，共30分）1．下列说法：①全等三角形的形状相同；②全等三角形的对应边相等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长、面积分别相等．其中正确的说法为（ ） A ．①②③④B ．①③④C ．①②④D ．②③④OEA B DC（第2题） 2.如图，OA OB =，OC OD =，50O ∠=，35D ∠=，则AEC ∠等于（ ） A ．60 B ．50C ．45D ．30（第4题） （第5题） 3. 下列判断中错误．．的是 （ ） A ．有两角和一边对应相等的两个三角形全等 B ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等C ．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D ．有一边对应相等的两个等边三角形全等4．如图，AB ＝DB ，BC ＝BE ，欲证△ABE ≌△DBC ，则需补充的条件是（ ） A ．∠A ＝∠D B ．∠E ＝∠C C ．∠A ＝∠C D ．∠1＝∠25.用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则说明A O B AOB '''=∠∠的依据是（ ）Ａ．()S S S ．．． Ｂ．()S A S ．．． Ｃ．()A S A ．．．Ｄ．()A A S ．．．6. 如图，DAC △和EBC △均是等边三角形，AE BD ，分别与CD CE ，交于点M N ，，有如下结论：①ACE DCB △≌△；②CM CN =；③AC DN =．其中，正确结论的个数是（ ） A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个二、填空题（每题5分，共30分）7．如图所示，△ACB ≌△DEF ，其中A 与D ，C 与E 是对应顶点，则CB 的对应边是 ，∠ABC 的对应角是 ．A OCBDA 'O 'C 'B ' D 'BEDANM（第7题）（第8题）（第9题）8. 如图，AC、BD相交于点O，∠A＝∠D，请你再补充一个条件，使得△AOB≌△DOC，你补充的条件是．9．如图所示，有一块三角形镜子，小明不小心摔破成Ⅰ、Ⅱ两块，现需配制同样大小的镜子．为了方便起见，需带上块即可，其理由是．10．如下图有6个条形方格图，图上由实线围成的图形是全等形的有 _____．11. 右图是用七巧板拼成的一艘帆船，其中全等的三角形共有对．12．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC和AC的垂线AX上移动，则当AP＝时，才能使△ABC和△APQ全等．三、解答题（共60分）13．（12分）(1)完成下面的证明：如图（1），AB＝AC，E、F分别是AC、AB的中点，那么△ABE≌△ACF．证明：∵E、F分别是AC、AB的中点，∴12AE AC=，12AF AB=．∵AB=AC，∴AE=AF．在△ABE 和△ACF 中，____________________________________.=⎧⎪=⎨⎪=⎩，，∴△ABE ≌△ACF （ ）． （2）根据（1）的证明，若连结BC ，如图（2）．请证明：△EBC ≌△FCB ．14．（10分）如图，AB 、CD 均被点O 平分，图中有很多信息，请写出其中正确的5个信息。

试卷第1页，共3页 第十二章全等三角形12.1全等三角形课后练习题 一、单选题（共10小题） 1、下列各组的两个图形属于全等图形的是（ ）

A. B.

C. D. 2、下列四组三角形中，一定是全等三角形的是（ ） A. 周长相等的两个等边三角形 B. 三个内角分别相等的两个三角形 C. 两条边和其中一个角相等的两个三角形 D. 面积相等的两个等腰三角形 3、如图，△ACB△△A'C'B'，△ACB=70°，△ACB'=100°，则△BCA'的度数为（ ）

A. 30° B. 35° C. 40° D. 50° 4、下列语句：错误的个数是（ ） △面积相等的两个三角形全等； △两个等边三角形一定是全等图形； △如果两个三角形全等，它们的形状和大小一定都相同； △边数相等的两个多边形形全等 A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 5、如图，△ABO△△DCO，△D=80°，△DOC=70°，则△B=（ ）．

A. 35° B. 30° C. 25° D. 20° 6、如图，RtABC沿直角边BC所在直线向右平移到RtDEF，则下列结论中，错

误的是（ ） 试卷第2页，共3页

A. ABCDEF B. BECF C. ACDF D. BEEC 7、如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果△PQO△△NMO，

则只需测出其长度的线段是（ ）

A. PQ B. MO C. PA D. MQ 8、如图，△ABC△△ADE，若△BAC＝75°，△E＝40°，则△B的度数为（ ）

A. 75° B. 40° C. 65° D. 115° 9、下列说法中：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等；全等三角形的

周长相等；周长相等的两个三角形全等；全等三角形的面积相等；面积相等的两个三角形全等，正确说法有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 10、如图，△ABC△△ADE，如果AB=5cm，BC=7cm，AC=6cm，那么DE的长是（ ）

七年级数学全等三角形证明（下）基础练习一、单选题(共5道，每道20分)1.根据下列条件，能唯一画出△ABC的是（）A.AB=3，BC=4，AC=8B.AB=4，BC=3，∠A=30°C.∠C=60°，∠B=45°，AB=4D.∠C=90°，AB=6答案：C解题思路：根据三角形的三边关系可以得知A选项错误，由全等三角形的判定可以得知B 选项也错误，它属于两边及一条边的对角对应相等，这样的两个三角形是不全等的，D选项中只有一个角以及一条边对应相等，不能判断出这是唯一的。

试题难度：三颗星知识点：直角三角形全等的判定2.下列结论正确的是（）A.有两个锐角相等的两个直角三角形全等B.一条斜边对应相等的两个直角三角形全等C.顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等D.两个等边三角形全等答案：C解题思路：A选项中两锐角相等的两个直角三角形是不全等的，B选项一条斜边对应相等的两个直角三角形全等，仅有两个条件不能判断出两个三角形全等，D选项两个等边三角形内角相等，但是边长不一定相等，所以也不正确试题难度：三颗星知识点：直角三角形全等的判定3.如图1，∠1＝∠2，∠A＝∠D，AC、BD交于E点，下列不正确的是（）A.∠ABE＝∠DCEB.EA＝EDC.△ABE不全等于△DCED.△EBC是等腰三角形答案：C解题思路：在△ABE和△DCE中，∠1＝∠2，∠A＝∠D，BC=BC，则可知△ABC≌△DCB，那么由全等的性质可知∠ABC=∠DCB，则∠ABE＝∠DCE，AB=CD，AC=BD又因为∠1＝∠2，所以EB=EC，则△EBC是等腰三角形，且EA＝ED，由上述条件可知△ABE≌△DCE试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定4.如图2，已知点E在△ABC的外部，点D在BC边上，DE交AC于F，若∠1=∠2=∠3，AC=AE，则有( )A.△ABD≌△AFDB.△AFE≌△ADCC.△AEF≌△DFCD.△ABC≌△ADE答案：D解题思路：∠1=∠2=∠3，则可知∠EAD=∠CAB，∠C=∠E，又AC=AE，所以△ABC≌△ADE （ASA）试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定5.如图，△ABD和△ACE都是等边三角形，则△ADC≌△ABE的根据是（）A.SSSB.SASC.ASAD.AAS答案：B解题思路：△ABD和△ACE都是等边三角形，所以AD=AB，并且∠DAB=∠EAC=60°，所以∠DAC=∠BAE，又AE=AC，可得△ADC≌△ABE（SAS）试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定。

第十二讲关于圆的基本知识趣题引路】20世纪40年代美国数学家冯•诺伊曼等人编写了一本研究取胜对策的书.在这本书中有一个有趣的问题: 一只鼠在圆形的湖边碰上了猫，鼠连忙纵身跳到水里，猫不会游水，于是紧紧地盯住鼠，在湖边跟着鼠跑动，打算在鼠爬上岸时抓住它•已知猫奔跑的速度是鼠游水速度的2. 5倍.聪明的读者，你知道鼠怎样才能逃脱猫的追捕？解析如图12-1,鼠在点A碰上了猫，若鼠跳到湖里后径宜游到对岸点C；则猫从A到C要跑半个圆周，由于半圆长是直径的-^1.58（倍）＜2.5（倍），因此猫还是能抓住鼠，所以，鼠若要逃脱猫的追捕，就必须（原文是经字，好像不通）利用猫环湖跑动这一特点，跳下水以后先游到圆心O,看准猫当时所在的位垃如立刻转身朝着B对岸的点£＞游去，这时鼠要游的距离是半径OD,猫要跑的距离是半圆BCD,也就是OD的兀倍，兀〜3. 14＞2.5,所以当猫到点D时，鼠已经逃之夭夭了.图12-1知识延伸】圆是初中数学中重要的内容，圆的基本性质虽然比较简单但具有较强的适用性•确定圆的条件就是通过三个点找到圆心和半径，然后画图.弧、弦和直径的关系（垂径左理）是研究有关圆的知识的基础，垂径左理指的是：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧，立理的题设和结论共涉及5条：（1）过圆心；（2）垂直弦：（3）平分弦：（4）平分劣弧：（5）平分优弧.在这5条中只要2条成立，那么剩下3条也是成立的.这样理解和记忆垂径左理即揭示了定理中的条件和结论的内在联系.圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，它具有旋转对称性，这是圆的最基本最重要的性质，是证明其他定理的工具.例两人轮流在一个圆桌上放同样大小的硬币.每人每次只能放一枚，且任何两枚硬币不能有重叠部分，谁先放完最后一枚使得对方再也找不到空地可以放下一枚硬币时，谁就获胜•问谁一左能获胜？他要想获胜，必须采取怎样的策略？解析先放的那个人一左能获胜，他首先在圆心放一枚硬币，然后不论对方怎样放一枚硬币，他都在对方放硬币的位宜关于圆心对称的位巻上再放一枚硬币，由于圆是关于圆心对称的图形，故只要对方有放硬币的地方，他就有放硬币的地方，可见最后胜利一左属于先放硬币的人.（下页提上来的，保持语段的完整性）点评几何中，（X，刃一（一X，—刃是以原点为对称中心的映射，这种映射叫做对称变换•圆是中心对称图形，先耙硬币放在圆桌的正中央，以后不管对方放在哪里，他下一步都把硬币放在对方硬币关于中心对称的地方，先放硬币的肯左获胜.例2 如图12-2, AABC中，周长AB+BC+AC=2・求证：ZEC —定能被一个直径为1的圆盖住.证明设A、D两点将zMBC周长分成相等的两部分，即AB+BD=AC+CD=\.似钢笔改动的录入）以AD的中点0为圆心，丄为半径画圆，它一立能盖住△ABC.这是因为在三角形中.一边上的中线小于2另两边和的一半，即OB<1（AB+BD）=1, OC<1（AC+CD）=1 ,2 2 2 2・・・B、C两点均在圆O内.而A2XAB+BD=1・：.OA<L，点 A 在<90 内，2即OO盖住了/XABC.点评这一问题典型地反映了覆盖问题的证明思路，第一部分是设计，第二部分是运用了一个熟知的结论证明（即三角形一边上的中线小于另两边和的一半）.从表面上看，是先设汁后证明，苴实，只有证明在胸, 才能得出设计.例3在美国的亚利桑那州，有一个巨大的右坑，它的直径1280m,深180m,据说它是在数千年以前, 一个巨大的陨石落到地上砸出来的•请你估算一下，这个巨大的陨石直径有多大？因此，(OC-DC)2+DB2=OB2.即（片180）2+（竺）2=妙2X2-360X+18024-6402=JI2,解得x= 1228m.这个巨大的陨石直径为2456m.点评有关弦、弦心距、半径、弓高的计算或涉及到弦、弦的中点的问题，通常是构造直角三角形或运用垂径立理.好题妙解】佳题新题品味例1已知如图12-4, AB为00的弦，OC丄于C,问O C+AC何时取最大值?S12-4解析连04、0B,过A作AD丄OB于D,设0A = OB=R, ZAOB=a,则AD=0A• sin a=R• sin a.S DAOB=—AD • OB2= -R• Rsin a= 1 /?2sin a,2 2（OC+ACgOG+AU+LAO OC=OA2^2S AAOH=/?2+/?2sin a.当“=90°时，sin 有最大值1,即（OC+AC）有最大值2疋，因而，当ZAOB=90° , OC+AC取得最大值R.点评一般地，最大、最小值常在某个特殊点取得，经试验后猜测，点A运动到和圆心的连线垂直于OB 时，OC+AC取得最大值.例2 一条60m宽的河上架有一座半径为55m的圆弧形拱桥，请问一顶部宽12m且高出水而8m的船能否通过此桥，请说明理由.E@12-5解析假左该船恰能通过桥时，桥的半径为/?，如图12-5, 表示水而宽，EF为船宽，MP为船顶到水面AB的距离，设O P=x(O为圆心)，依题意得，在RtZkOBP中，R2=302+F,①在RtAOEM中，用=(8+X)2+62,②①、②求得 /?= 10^34 >55,即船恰能通过时，桥的半径为10炉m,但现在桥的半径为55m,所以该船不能通过此桥.点评可先假定该船恰能通过桥，则12m宽的船顶为圆弧形拱桥的一弦，作出垂径和一条过该弦端点的半径，运用垂径左理及勾股立理求出这条半径/?，就能解决此问题.中考真题欣赏例1 (重庆市中考题)如图12-6, AM是00的直径，过00上一点B作BN丄AM,垂足为N,其延长线交OO于点C,弦CD交AM于点E(1)如果CD丄/W,求证：EN=NW(2)如果弦CD交AB于点F,且CD=AB,求证：C&=EF・ED；(3)如果弦CD、AB的延长线(根据网上2002年重庆中考数学试题添加，后而的解答也是这个意思)交于点F,且CD=AB.那么(2)的结论是否仍成立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由.图12』证明(1)连结BW 9：AM是直径，•••ZABM=90°・•: CD丄AB, :.BM〃CD A ZECN=ZMBN.9：AM丄BC,:・CN=BN.ARtACE/V^RtABM/V,:・EN=NM・(2)连结BD, BE、AC.•••点E是BC垂直平分线AM上一点,:.BE=EC.I CD=AB9 :. CD =AB , :. AD =BC , ••• ZACD=ZBDC.9：AB=AC, AE=AE. :.AABE^AACE,:・ZABE=ZACD=ZBDC, ZBED是公共角，•••△BEDs△FEB,—EF BE:.BE2=EF • ED. :.CE2=EF • ED.(3)结论成立证明如图12-7仿⑵可证ZBEQ'ACE、:・BE=CE, ZABE= ZACE.•••AB=CD, :. ZACB=ZDBC:.BD//AC. ZBDE+ZACE=180°=ZFBE+ZABE,:・ZBDE=ZFBE, ZBED是公共角，•••△BEDs&EB, A—=—EF EB:.BE^EF • ED、:.CE2=EF • ED.点评本题利用直径AM垂直BC和弦CD=AB这两个条件，得到弧相等，角相等，再利用三角形全等, 相似来解决问题.例2 (黄冈市中考题)已知，如图12-8, C为半圆上一点，AC =CE ,过点C作直径AB的垂线QP, P为垂足，弦AE分别交PC, CB于点D, F.(1)求证：AD=CD；气2(2)若DF=二，tanZ£C5=- > 求的长.4 4cE@12-7证明（1）连结人（7, V AC =CE , :.ZCEA = ZCAE.9：ZCEA=ZCBA, •••ZCBA=ZCAE・VAB是直径，A ZACB=90°・•:CP丄AB, :.ZCBA=ZACP・:.ZCAE= ZACP,:・AD=CD・⑵解析：ZACB=90° , ZCAE=ZACP.:.ZDCF=ZCFD. ：・AD=CD=DF=-・4••• ZECB= ZDAP. tanZEC5=-,4DP 3A tan ZDAP=一 =-PA 49：OP2+PA2=DA2, :.DP= - , PA=1, CP=2・4A ZAC5=90° , CP丄AB.:.'APCs'CPB, , APB=4.PC PB点评（1）利用AC =CE ,把圆周角，互余的角联系起来，从而解决问题.⑵利用RtAACF和ZACP=ZCAD这两个条件得到CD=DF,再转化ZECB为ZDAP,问题便迎刃而解.竞赛样题展示例(2000年“鲁中杯”绍兴四市、县初中数学联赛试题)已知如图12-9,在以O为圆心的圆中，弦CD 垂直于直径AB,垂足为H,弦BE与半径OC相交于点F,且OF=FC,弦DE与弦AC相交于点G.(1)求证：AG=GCx⑵若AG=* , AH:AB=\:3,求△CDG的面积与△BOF的而积.证明(1)连结AD. 9：AB是直径，AB丄CD••• BC =BD , ••• ZCAB=ZDAB. :. ZDAG=2ZCAB.V ZBOF= ZCAB+ZOCA,又9： ZCAB=ZOCA,:.ZB0F=2ZCAB, :. ZBOF= ZDAG.•••ZOBF=ZADG,:仏OBFs厶DAG,故竺=21r)A |•：0B=0C=20F, 9：AC=2AG,即AG=GC.(2)解析连结BC, A ZBCA=90° ,又••'CH丄AB, :.A^AH - AB・• •AH—— X AB= — X 6=2・3 3CH=J AC—AH丄=J(2®-22 = 2迈.:.S^ACD =丄CD • AH= - X4x/2 X2= 4迈.・・・AG=CG,：皿心沁=尹心= 由•: HBOF S HDAG点评由垂径左理处BC =BD ,从而得到孤所对的圆周角相等，将已始与未知之间的关系联系起来，再通过三角形相似、射影定理等解决问题.OF AGAG 2團12-9过关检测】4级1 •如图12-10, 00的直径AB 和弦CD 相交于点& 已知AE=\ cm. EB=5 cm, ZDEB=60c,,求仞 的长. 2•如图12-11,公园里大观览车半径为25m,已知观览车绕圆心O 顺时针匀速转动，旋转一周用12mim 某人从观览车的最低处（地面A 处）乘车，问经过4min 后，此人距地而CD 的髙度是多少米？（观览车最低 处距地而的髙度忽略不讣）4•已知AB 是00的直径，M 是OA 上的点，弦P0经过点M,且PM=M0•求证：3AP =B （）.3•如图12-12, AB 是OO 的直径，P 是OA 上一点,C 是00上一点，求证:D@12-115.如图12-13, 一根木棒(AB )长为么“斜靠在与地而(0M)垂直的墙壁(ON)上，与地而的倾角为60° , 若木棒A端沿NO下滑，B端沿OM向右滑行，于是木棒的中点P也随之运动.已知A端下滑到A'时，Af =(筋-血)心则中点P随之运动的路线有多长？6.当湖泊结冰时，有一只球浮在湖而上，将球取岀后在冰上留下一个球形凹洞，深8cm,洞口直径为24cm, 球的半径是多少厘米？B级1・已知点P到00的最小距藹为4cm,最大距离为8cm,求00的半径.2 •如图12-14,已知00的直径为4cm, M是劣弧AB的中点，从M作弦且MN=2苗cm, MN、AB交于点P,求ZAPM的度数.3•已知OO的半径为乩C、D是直径AB同侧圆周上的两点，AC的度数为96° , BD的度数为36。