培优专题12-全等三角形及其应用(含答案)

2019-2020学年八上数学《12.全等三角形》状元培优单元测试题（人教版版附答案）一、选择题1、如图所示，△ABC与△DEF是全等三角形，即△ABC≌△DEF，那么图中相等的线段有( )．A．1组 B．2组 C．3组 D．4组2、如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下哪个条件仍不能判定△ABE ≌△ACD( )A．∠B＝∠C B．AD＝AE C．BD＝CE D．BE＝CD3、如图，OC平分∠MON，P为OC上一点，PA⊥OM，PB⊥ON，垂足分别为A、B，连接AB，得到以下结论：（1）PA=PB；（2）OA=OB；（3）OP与AB互相垂直平分；（4）OP平分∠APB，正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．44、如图所示，已知△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，下列不正确的等式是（）．A．AB=AC B．∠BAE=∠CAD C．BE=DC D．AD=DE5、下列说法正确的是（）A．全等三角形是指形状相同大小相等的三角形 B．全等三角形是指面积相等的三角形C．周长相等的三角形是全等三角形 D．所有的等边三角形都是全等三角形6、如图，已知,，与交于点，于点，于点，那么图中全等的三角形有（）A.5对B.6对C.7对D.8对7、如图，在下列条件中，不能判断△ABD≌△BAC的条件是（）A．∠BAD=∠ABC，∠ABD=∠BAC B．AD=BC，BD=ACC．BD=AC，∠BAD=∠ABC D．∠D=∠C，∠BAD=∠ABC8、小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（）A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D．以上均不正确9、如图是两个全等三角形，则∠1=（）A．62° B．72° C．76° D．66°10、如图，OA＝OB，OC＝OD，∠O＝50°，∠D＝35°，则∠OAC等于( )A．65° B．95° C．45° D．100°11、数学课上，小明进行了如下的尺规作图（如图所示）：（1）在△AOB（OA＜OB）边OA、OB上分别截取OD、OE，使得OD=OE；（2）分别以点D、E为圆心，以大于DE为半径作弧，两弧交于△AOB内的一点C；（3）作射线OC交AB边于点P．那么小明所求作的线段OP是△AOB的（）A．一条中线 B．一条高 C．一条角平分线D．不确定12、已知：如图，AB=AD，∠1=∠2，以下条件中，不能推出△ABC≌△ADE的是（）A．AE=AC B．∠B=∠D C．BC=DE D．∠C=∠E二、填空题13、如图，在等腰△ABC中，∠ABC=90°，D为底边AC中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F．若AE=12，FC=5，EF长为．14、如图，已知，，，则．15、如图,点P为△ABC三条角平分线的交点,PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC,则PD____________PF.16、如图，∠C=90°，∠1=∠2，若BC=10，BD=6，则点D到AB的距离为________ .17、如图所示，在平行四边形ABCD中，分别以AB.AD为边作等边△ABE和等边△ADF，分别连接CE.CF和EF，则下列结论中一定成立的是________ （把所有正确结论的序号都填在横线上）．①△CDF≌△EBC；②△CEF是等边三角形；③∠CDF=∠EAF；④EF⊥CD．三、简答题18、如图，在△ADF和△BCE中，AF=BE,AC=BD,∠A=∠B,∠B=32°，∠F=28°，BC=5cm，CD=1cm.求：（1）∠1的度数;（2）AC的长.19、如图，在平面直角坐标系中A.B坐标分别为（2，0），（－1，3），若△OAC与△OAB全等，（1）试尽可能多的写出点C的坐标；（2）在⑴的结果中请找出与（1，0）成中心对称的两个点。

2022-2023学年八年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）第十二章 全等三角形单元培优训练班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________考试范围：第12章 全等三角形，共23题； 考试时间：120分钟； 总分：120分一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．（2022·全国·八年级单元测试）已知图中的两个三角形全等，则∠a 等于（ ）A ．72oB ．60oC ．58oD ．50o 【答案】D 【分析】根据全等三角形的性质：全等三角形对应角相等，即可得到结论．【详解】Q 图中的两个三角形全等，a Ð 为a 和c 的夹角又Q 第一个三角形中a 和c 的夹角为50°\ 50a Ð=°故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，准确找到对应角是解题的关键．2．（2022·江苏·八年级单元测试）如图，14AB =，6AC =，AC AB ^，BD AB ^，垂足分别为A 、B ．点P 从点A 出发，以每秒2个单位的速度沿AB 向点B 运动；点Q 从点B 出发，以每秒a 个单位的速度沿射线BD 方向运动．点P 、点Q 同时出发，当以P 、B 、Q 为顶点的三角形与CAP V 全等时，a 的值为（ ）A ．2B ．3C ．2或3D ．2或127【答案】D3．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，AOB ADC △≌△，点B 和点C 是对应顶点，90O D Ð=Ð=°，记,,OAD ABO ABC ACB a b Ð=Ð=Ð=Ð，当//BC OA 时，a 与b 之间的数量关系为（ ）A ．a b=B ．2a b =C ．90a b +=°D ．2180a b +=°【答案】B 【分析】根据全等三角形对应边相等可得AB =AC ，全等三角形对应角相等可得∠BAO =∠CAD ，然后求出∠BAC =α，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC ，然后根据两直线平行，同旁内角互补表示出∠OBC ，整理即可．【详解】∵AOB ADC △≌△，∴BAO CAD Ð=Ð，4．（2022·全国·八年级单元测试）如图，△ABC≌△ADE，如果AB＝5cm，BC＝7cm，AC＝6cm，那么DE 的长是（ ）A．6cm B．5cm C．7cm D．无法确定【答案】C【分析】根据全等三角形的性质计算即可；【详解】∵△ABC≌△ADE，=，∴BC DE∵BC＝7cm，∴7=；DE cm故答案选C．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．∥，5．（2022·全国·八年级专题练习）如图，把△ABC沿线段DE折叠，使点B落在点F处；若AC DE∠A=70°，AB=AC，则∠CEF的度数为（）A ．55°B ．60°C ．65°D ．70°【答案】D 【分析】由于折叠，可得三角形全等，运用三角形全等得出55B C Ð=Ð=°，利用平行线的性质可得出55DEB C Ð=Ð=°，则CEF Ð即可求．【详解】解：ABC Q V 沿线段DE 折叠，使点B 落在点F 处，BDE FDE \@V V ，DEB DEF \Ð=Ð，70A AB AC Ð=°=，Q ，12180705)5(B C \Ð=Ð=´°-°=°，AC DE ∥Q ，55DEB C DEF \Ð=Ð=°=Ð，18070FEC DEB DEF \Ð=°-Ð-Ð=°，故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质及三角形内角和定理、平行线的性质；解题的关键是理解折叠就是得到全等的三角形，根据全等三角形的对应角相等就可以解决．6．（2022·全国·八年级专题练习）如图，已知△ABC ≌△DEF ，CD 平分∠BCA ，若∠A ＝30°，∠CGF ＝88°，则∠E 的度数是（ ）A ．50°B ．44°C ．34°D ．30°【答案】C二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，图中由实线围成的图形与①是全等形的有______．（填番号）【答案】②③【分析】根据全等图形的定义，两个图形必须能够完全重合才行．【详解】观察图形，发现②③图形可以和①图形完全重合故答案为：②③．【点睛】本题考查全等的概念，任何一组图形，要想全等，则这组图形必须能够完全重合．8．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，△ABC 中，∠A ：∠ABC ：∠ACB ＝3：5：10，又△A ′B ′C ≌△ABC ，则∠BCA ′：∠BCB ′的值为_____．9．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，,125,25,ABC ADE EAB CAD BAC Ð=°Ð=°ÐV V ≌的度数为___________．【答案】75°【分析】根据全等三角形的性质求出∠EAD ＝∠CAB ，求出∠DAB ＝∠EAC =50°，即可得到∠BAC 的度数．【详解】解：∵V ABC ≌V ADE ，10．（2022·全国·八年级专题练习）如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠P ＋∠Q ＝__________度．【答案】45【分析】如图，直接利用网格得出对应角P AQC ÐÐ=，进而得出答案．【详解】如图，易知ABP ACQ V V ≌，∴P AQC ÐÐ=，∵BQ 是正方形的对角线，∴45BQC BQA AQC P Q ÐÐ+Ð=Ð+Ð=°=，故答案为：45．【点睛】本题考查了全等三角形，正确借助网格分析是解题关键．11．（2022·全国·八年级课时练习）如图，已知△ABC ≌△ADE ，若AB=7，AC=3，则BE 的值为_________．【答案】4【分析】根据△ABC ≌△ADE ，得到AE=AC ，由AB=7，AC=3，根据BE=AB-AE 即可解答．【详解】解：∵△ABC ≌△ADE ，∴AE=AC ，∵AB=7，AC=3，∴BE=AB-AE=AB-AC=7-3=4．故答案为：4．【点睛】本题考查全等三角形的性质，解决本题的关键是熟记全等三角形的对应边相等．12．（2022·江西上饶·八年级期末）如图，在△ABC 中，90ACB Ð=°，AC ＝8cm ，BC ＝10cm ．点C 在直线l 上，动点P 从A 点出发沿A →C 的路径向终点C 运动；动点Q 从B 点出发沿B →C →A 路径向终点A 运动．点P 和点Q 分别以每秒1cm 和2cm 的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，分别过点P 和Q 作PM ⊥直线l 于M ，QN ⊥直线l 于N ．则点P 运动时间为____秒时，△PMC 与△QNC 全等．【答案】2或6##6或2【分析】设点P 运动时间为t 秒，根据题意化成两种情况，由全等三角形的性质得出CP CQ =，列出关于t 的方程，求解即可．【详解】解：设运动时间为t 秒时，△PMC ≌△CNQ ，∴斜边CP CQ =，分两种情况：①如图1，点P 在AC 上，点Q 在BC 上，图1∵AP t =，2BQ t =，∴8CP AC AP t =-=-，102CQ BC BQ t =-=-，∵CP CQ =，∴8102t t -=-，∴2t =；②如图2，点P 、Q 都在AC 上，此时点P 、Q 重合，图2∵8CP AC AP t =-=-，210CQ t =-，∴8210t t -=-，∴6t =；综上所述，点P 运动时间为2或6秒时，△PMC 与△QNC 全等，故答案为：2或6．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，根据题意判断两三角形全等的条件是解题关键，同时要注意分情况讨论，解题时避免遗漏答案．三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．（2022·全国·八年级课时练习）如图，△ABD ≌△ACE ，写出对应边和对应角，并证明∠1＝∠2．【答案】见解析，证明见解析Ð=Ð，根据等角的补角相等即可求【分析】根据全等三角形的性质写出对角与对应边，根据ADB AEC解．【详解】解：∵△ABD≌△ACE，\===，AB AC AD AE BD CE,,A ABC ADB AECÐ=ÐÐ=ÐÐ=Ð；,,Ð=Ð，证明：∵ADB AEC\°-Ð=°-Ð，ADB AEC180180即12Ð=Ð．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，等角的补角相等，掌握全等三角形的性质是解题的关键．14．（2022·全国·八年级专题练习）如图所示，A，C，E三点在同一直线上，且△ABC≌△DAE．(1)求证：BC＝DE＋CE；∥？(2)当△ABC满足什么条件时，BC DE【答案】(1)见解析∥(2)当∠ACB为直角时，BC DE【分析】(1)根据全等三角形的性质得出AE=BC，AC=DE，据此即可证得；(2)根据平行线的性质得出∠BCE=∠E，根据全等三角形的性质得出∠ACB=∠E，求出∠ACB=∠BCE，再求出答案即可．（1）证明：∵△ABC ≌△DAE ，∴AE ＝BC ，AC ＝DE ，又∵AE ＝AC +CE ，∴BC ＝DE +CE ；（2）解：∵BC DE ∥，∴∠BCE ＝∠E ，又∵△ABC ≌△DAE ，∴∠ACB ＝∠E ，∴∠ACB ＝∠BCE ，又∵∠ACB +∠BCE ＝180°，∴∠ACB ＝90°，即当△ABC 满足∠ACB 为直角时，BC DE ∥．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和平行线的性质，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．15．（2022·全国·八年级专题练习）如图，点A ，B ，C 在同一直线上，点E 在BD 上，且ABD EBC V V ≌，2cm AB =，3cm BC =．（1）求DE 的长；（2）判断AC 与BD 的位置关系，并说明理由．（3）判断直线AD 与直线CE 的位置关系，并说明理由．【答案】（1）1cm DE =；（2）AC BD ^．理由见解析；（3）直线AD 与直线CE 垂直．理由见解析【分析】（1）由题意根据全等三角形的对应边相等得到BD=BC=5cm ，BE=AB=2cm ，计算即可；（2）由题意直接根据全等三角形的对应角相等和平角的定义解答；（3）由题意延长CE 交AD 于F ，进而根据全等三角形的对应角相等和三角形内角和定理进行分析解答即可．【详解】解：（1）ABD EBC Q △≌△，3cm BD BC \==，2cm BE AB ==，1cm DE BD BE \=-=．（2）AC BD ^．理由：ABD EBC Q △≌△，ABD EBC Ð=Ð\．又A Q ，B ，C 在同一直线上，90EBC \=а．AC BD \^．（3）直线AD 与直线CE 垂直．理由：如图，延长CE 交AD 于F ．ABD EBC Q △≌△，D C \Ð=Ð．Q 在Rt ABD △中，90A D Ð+Ð=°，90A C +Ð=\а，90AFC \Ð=°，即直线AD 与直线CE 垂直．【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等以及全等三角形的对应角相等是解题的关键．16．（2022·全国·八年级专题练习）如图，A ，E ，C 三点在同一直线上，且△ABC ≌△DAE ．(1)线段DE ，CE ，BC 有怎样的数量关系？请说明理由．(2)请你猜想△ADE 满足什么条件时，DE ∥BC ，并证明．【答案】(1)DE ＝CE +BC ，理由见解析(2)当△ADE满足∠AED＝90°时，DE//BC．证明见详解【分析】（1）根据全等三角形的性质得出AE＝BC，DE＝AC，再求出答案即可；（2）根据全等三角形的性质得出∠AED＝∠C，根据两直线平行，内错角相等，得出∠C＝∠DEC，再根据邻补角互补得出∠AED+∠DEC＝180°，再求出∠AED＝90°即可．（1）解：DE＝CE+BC．理由：∵△ABC≌△DAE，∴AE＝BC，DE＝AC．∵A，E，C三点在同一直线上，∴AC＝AE+CE，∴DE＝CE+BC．（2）猜想：当△ADE满足∠AED＝90°时，DE//BC．证明：∵△ABC≌△DAE，∴∠AED＝∠C，又∵DE∥BC，∴∠C＝∠DEC，∴∠AED＝∠DEC．又∵∠AED+∠DEC＝180°，∴∠AED＝∠DEC＝90°，∴当△ADE满足∠AED＝90°时，DE∥BC．【点睛】本题考查了全等三角形的性质、等量代换、平行线的性质、邻补角互补，解本题的关键在熟练掌握相关性质．17．（2022·全国·八年级专题练习）如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，AC与BD交于点F，AB＝6，BC＝3，∠C＝55°，∠D＝25°．（1）求AE的长度；（2）求∠AED的度数．【答案】（1）3AE =；（2）80AED Ð=°．【分析】（1）先根据全等三角形的性质可得3BE BC ==，再根据线段的和差即可得；（2）先根据全等三角形的性质可得55DBE C Ð=Ð=°，再根据三角形的外角性质即可得．【详解】解：（1）∵,3ABC DEB BC @=V V ，∴3BE BC ==，∵6AB =，∴633AE AB BE =-=-=；（2）∵ABC DEB @△△，∴55DBE C Ð=Ð=°，∵25D Ð=°，∴552580AED DBE D Ð=Ð+Ð=°+°=°．【点睛】本题考查全等三角形的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的对应角和对应边相等是解题关键．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．（2021·全国·八年级专题练习）如图，ABC DEB V V ≌，点E 在AB 上，DE 与AC 相交于点F ，若7DE =，4BC =，35D Ð=°，60C Ð=°．（1）求线段AE 的长；（2）求DFA Ð的度数．【答案】（1）3AE =；（2）130DFA Ð=°【分析】（1）根据全等三角形的性质解答即可；（2）根据全等三角形的性质以及三角形的外角性质解答即可．【详解】（1）∵ABC DEB V V ≌，∴7AB DE ==，4BC BE ==，∵点E 在AB 上，∴AE BE AB +=，∴743AE AB BE =-=-=；（2）∵ABC DEB V V ≌，∴∠A=∠D=35°，60C DBE °Ð=Ð=，95AEF DBE D Ð=Ð+Ð=°，130DFA AEF A °Ð=Ð+Ð=．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形的外角性质，关键是根据全等三角形的对应角和对应边相等分析．19．（2022·全国·八年级专题练习）如图，,ABF CDE B ÐV V ≌和D Ð是对应角，AF 和CE 是对应边．（1）写出ABF V 和CDE △的其他对应角和对应边；（2）若30,40B DCF Ð=°Ð=°，求EFC Ð的度数；（3）若10,2BD EF ==，求BF 的长．【答案】（1）其他对应角为BAF Ð和DCE Ð，AFB Ð和CED Ð；其他对应边为AB 和,CD BF 和DE ；（2）70EFC Ð=°；（3）6BF =．【分析】（1）根据全等三角形的性质，对应角相等，对应边相等，解答即可；（2）根据全等三角形的性质可得30D B Ð=Ð=°，运用三角形外角的性质即可解答；（3）根据全等三角形的性质可得BF DE =，进一步证明DF BE =，然后可得426BF BE EF =+=+=．【详解】（1）其他对应角为：BAF Ð和DCE Ð，AFB Ð和CED Ð；其他对应边为：AB 和,CD BF 和DE ；（2）∵,30ABF CDE B Ð=°V V ≌，20．（2022·浙江·八年级专题练习）如图，ABC V ≌ADE V ，AC 和AE ，AB 和AD 是对应边，点E 在边BC 上，AB 与DE 交于点F ．（1）求证：CAE BAD Ð=Ð；（2）若35BAD Ð=°，求BED Ð的度数．【答案】（1）见解析；（2）35°【分析】（1）根据ABC V ≌ADE V ，可得∠BAC =∠DAE ，即可求证；（2）由（1）可得∠CAE =35°，再由ABC V ≌ADE V ，可得∠C =∠AED ，然后根据三角形外角的性质，可得∠BED =∠CAE ，即可求解．【详解】（1）证明：∵ABC V ≌ADE V ，∴∠BAC =∠DAE ，即∠CAE +∠BAE =∠BAD +∠BAE ，（2）∵35BAD Ð=°，CAE BAD Ð=Ð，∴∠CAE =35°，∵ABC V ≌ADE V ，∴∠C =∠AED ，∵∠AEB =∠C +∠CAE ，∠AEB =∠AED +∠BED ，∴∠BED =∠CAE =35°．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应角相等，对应边相等是解题的关键．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．（2022·全国·八年级课时练习）如图，已知△ABC ≌△DEF ，点B ，E ，C ，F 在同一直线上．(1)若∠BED ＝130°，∠D ＝70°，求∠ACB 的度数；(2)若2BE ＝EC ，EC ＝6，求BF 的长．【答案】(1)60°(2)12【分析】（1）根据三角形的外角的性质求出∠F ，再根据全等三角形的对应角相等解答；（2）根据题意求出BE 、BC ，再根据全等三角形的性质解答．（1）解：∵∠BED ＝130°，∠D ＝70°，∴∠F ＝∠BED －∠D ＝60°，∵V ABC ≌V DEF ，∴∠ACB ＝∠F ＝60°；（2）∵2BE ＝EC ，EC ＝6，∴BE ＝3，∴BC ＝BE ＋EC ＝9，∵V ABC ≌V DEF ，∴EF ＝BC ＝9，∴BF ＝EF ＋BE ＝12．【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．22．（2021·全国·八年级单元测试）如图△ADF ≌△BCE ，∠B ＝40°，∠F ＝22°，BC ＝2cm ，CD ＝1cm ．求：（1）∠1的度数；（2）AC 的长．【答案】（1）62°；（2）3cm【分析】（1）根据全等三角形的性质可得22E F Ð=Ð=°，由三角形外角的性质可得1B E Ð=Ð+Ð，即可求解；（2）由全等三角形的性质可得AD BC =，即可求解．【详解】解：（1）∵ADF BCEV V ≌∴22E F Ð=Ð=°由三角形外角的性质可得：162B E Ð=Ð+Ð=°∠1的度数为62°（2）∵ADF BCEV V ≌∴2AD BC cm==∴3AC AD CD cm=+=即AC 的长为3cm【点睛】此题考查了全等三角形的性质，涉及了三角形外角的性质，掌握全等三角形的有关性质是解题的关键．六、（本大题共12分）23．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在ABC V 中，4cm,,4cm BC AE BC AE ==∥，点N 从点C 出发，沿线段CB 以2cm/s 的速度连续做往返运动，点M 从点A 出发沿线段AE 以1cm/s 的速度运动至点E ．M 、N 两点同时出发，连结,MN MN 与AC 交于点D ，当点M 到达点E 时，M 、N 两点同时停止运动，设点M 的运动时间为(s)t ．(1)当3t =时，线段AM 的长度=___________cm ，线段BN 的长度=___________cm ．(2)当BN AM =时，求t 的值．(3)连接AN ，当ABN V 的面积等于ABC V 面积的一半时，直接写出所有满足条件的t 值．(4)当ADM CDN △≌△时，直接写出所有满足条件的t 值．。

一、选择题1．如图，,,AB AD CB CD AC BD ==、相交于点O ，则下列说法中正确的个数是（ ） ①OD OB =；②点O 到CB CD 、的距离相等；③BDA BDC ∠=∠；④BD AC ⊥A ．4B ．3C ．2D ．1B解析：B【分析】 先根据全等三角形的判定定理得出△ACD ≌△ACB ，△ABO ≌△ADO ，再根据全等三角形的性质即可得出结论．【详解】解：在△ABC 和△ADC 中，∵AB AD BC CD AC AC ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABC ≌△ADC （SSS ），∴∠BAC=∠DAC ， ∠DCA=∠BCA∴点O 到CB 、CD 的距离相等．故②正确在△ABO 与△ADO 中AB AD BAC DAC OA OA ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABO ≌△ADO （SAS ），∴BO=DO ，∠BOA=∠DOA∵∠BOA+∠DOA=180°∴∠BOA=∠DOA=90°，即BD AC ⊥故①④正确；∵AD≠CD∴BDA BDC ∠≠∠，故③错误所以，正确的结论是①②④，共3个，故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 2．如图所示，已知AB ∥CD ，BAC ∠与ACD ∠的平分线交于点O ，OE AC ⊥于点E ，且3OE cm ，则点O 到AB ，CD 的距离之和是（ ）A ．3cmB ．6cmC ．9cmD ．12cm B解析：B【分析】 过点O 作MN ，MN ⊥AB 于M ，证明MN ⊥CD ，则MN 的长度是AB 和CD 之间的距离；然后根据角平分线的性质，分别求出OM 、ON 的长度，再把它们求和即可．【详解】如图，过点O 作MN ，MN ⊥AB 于M ，交CD 于N ，∵AB ∥CD ，∴MN ⊥CD ，∵AO 是∠BAC 的平分线，OM ⊥AB ，OE ⊥AC ，OE ＝3cm ，∴OM ＝OE ＝3cm ，∵CO 是∠ACD 的平分线，OE ⊥AC ，ON ⊥CD ，∴ON ＝OE ＝3cm ，∴MN ＝OM ＋ON ＝6cm ，即AB 与CD 之间的距离是6cm ，故选B【点睛】此题主要考查角平分线的性质和平行线之间的距离，解答此题的关键是要明确：①角的平分线上的点到角的两边的距离相等，②从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，③平行线间的距离处处相等．3．工人师傅常用直角尺平分一个角，做法如下：如图所示，在∠AOB 的边OA ，OB 上分别取OM ＝ON ，移动直角尺，使直角尺两边相同的刻度分别与M ，N 重合（即CM ＝CN ）．此时过直角尺顶点C 的射线OC 即是∠AOB 的平分线．这种做法的道理是（ ）A ．HLB ．SASC ．SSSD ．ASA C解析：C【分析】 根据题中的已知条件确定有三组边对应相等，由此证明△OMC ≌△ONC(SSS)，即可得到结论.【详解】在△OMC 和△ONC 中，OM ON CM CN OC OC =⎧⎪=⎨⎪=⎩, ∴△OMC ≌△ONC(SSS)，∴∠MOC=∠NOC ，∴射线OC 即是∠AOB 的平分线，故选：C.【点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质，比较简单，注意利用了三边对应相等，熟记三角形全等的判定定理并解决问题是解题的关键.4．如图，ABC 的面积为26cm ，AP 垂直B 的平分线BP 于P ，则PBC 的面积为（ ）A ．21cmB ．22cmC ．23cmD ．24cm C解析：C【分析】 延长AP 交BC 于E ，根据AP 垂直∠B 的平分线BP 于P ，即可求出△ABP ≌△BEP ，又知△APC 和△CPE 等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可证明三角形PBC 的面积．【详解】解：延长AP 交BC 于E ，∵AP 垂直∠B 的平分线BP 于P ，∴∠ABP =∠EBP ，∠APB =∠BPE =90∘，在△APB 和△EPB 中∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩APB EPB BP BPABP EBP ∴△APB ≌△EPB (ASA )，∴APB EPB S S =△△，AP =PE ，∴△APC 和△CPE 等底同高，∴APC PCE S S =,∴PBC PCE PCE S S S =+△△△=12ABC S=1632⨯= 故选C ．【点睛】本题考查了三角形的面积和全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出PBC PCE PCE S S S =+△△△=12ABC S． 5．如图，∠ACB=90°，AC=BC ，AD ⊥CE ，BE ⊥CE ，垂足分别是点D 、E ，AD=3，BE=1，则DE 的长是（ ）A ．1.5B ．2C ．22D 10B解析：B【分析】 根据已知条件可以得出∠E=∠ADC=90︒，进而得出∆CEB ≅∆ADC ，就可以得出BE=DC ，进而求出DE 的值．【详解】∵BE ⊥CE ，AD ⊥CE ，∴∠E=∠ADC=90︒，∴∠EBC+∠BCE=90︒，∵∠BCE+∠ACD=90︒，∴∠EBC=∠DCA ，在∆CEB 和∆ADC 中，∠E=∠ADC ，∠EBC=∠DCA ，BC=AC ，∴∆CEB ≅∆ADC(AAS)，∴BE=DC=1，CE=AD=3，∴DE=EC-CD=3-1=2，故选：B ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．6．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，AD 是BAC ∠的角平分线，E 是边AB 上一点，若6CD =，则DE 的长可以是（ ）A ．1B ．3C ．5D ．7D解析：D【分析】 过点D 作DF AB ⊥于点F ，根据角平分线的性质定理得6CD DF ==，而DE 的长一定是大于等于点D 到AB 的距离也就是DF 的长，即可得出结果．【详解】解：如图，过点D 作DF AB ⊥于点F ，∵AD 平分BAC ∠，DF AB ⊥，90C ∠=︒，∴6CD DF ==，∵DE DF ≥，∴6DE ≥，则只有D 选项符合．故选：D ．【点睛】本题考查角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质定理．7．点Р在AOB ∠的角平分线上，点Р到OA 边的距离等于5，点Q 是OB 边上的任意一点，则下列选项正确的是（ ）A ．5PQ >B ．5PO ≥C ． 5PQ <D ．5PO ≤ B解析：B【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点P到OB的距离为5，再根据垂线段最短解答．【详解】∵点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于5，∴点P到OB的距离为5，∵点Q是OB边上的任意一点，∴PQ≥5．故选：B．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键．8．如图，AB与CD相交于点E，AD=CB，要使△ADE≌△CBE，需添加一个条件，则添加的条件以及相应的判定定理正确的是（）A．AE=CE；SAS B．DE=BE；SASC．∠D=∠B；AAS D．∠A=∠C；ASA C解析：C【分析】根据三角形全等的判定方法结合全等的判定方法逐一进行来判断．【详解】解：A.添加AE=CE后，根据已知两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等；故不符合题意；B.添加DE=BE后，根据已知两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等；故不符合题意；C.添加∠D=∠B，根据AAS可证明△ADE≌△CBE，故此选项符合题意；D.添加∠A=∠C，根据AAS可证明△ADE≌△CBE，故此选项不符合题意；故选：C【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA．关键在于应根据所给的条件判断应证明哪两个三角形全等．9．已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足，下列结论：①△ABD≌△EBC②∠BCE+∠BCD=180°③AD=AE=EC ④ BA+BC=2BF其中正确的是（）A ．①②③B ．①③④C ．①②④D ．①②③④D解析：D【分析】 易证ABD EBC ∆∆≌，可得BCE BDA ∠=∠，AD=EC 可得①②正确；再根据角平分线的性质可求得DAE DCE ∠=∠ ，即③正确，根据③可判断④正确；【详解】∵ BD 为∠ABC 的角平分线，∴ ∠ABD=∠CBD ，∴在△ABD 和△EBD 中，BD=BC ，∠ABD=∠CDB ，BE=BA ，∴△ABD EBC ∆∆≌(SAS)，故①正确；∵ BD 平分∠ABC ，BD=BC ，BE=BA ，∴ ∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA ，∵△ABD ≌△EBC ，∴∠BCE=∠BDA ，∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°，故②正确；∵∠BCE=∠BDA ，∠BCE=∠BCD+∠DCE ，∠BDA=∠DAE+∠BEA ，∠BCD=∠BEA ，∴∠DCE=∠DAE ，∴△ACE 是等腰三角形，∴AE=EC ，∵△ABD ≌△EBC ，∴AD=EC ，∴AD=AE=EC ，故③正确；作EG ⊥BC ，垂足为G ，如图所示：∵ E 是BD 上的点，∴EF=EG ，在△BEG 和△BEF 中BE BE EF EG=⎧⎨=⎩ ∴ △BEG ≌△BEF ，∴BG=BF ，在△CEG 和△AFE 中EF EG AE CE =⎧⎨=⎩∴△CEG ≌△AFE ，∴ AF=CG ，∴BA+BC=BF+FA+BG-CG=BF+BG=2BF ，故④正确；故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应边、对应角相等的性质是解题的关键； 10．如图，已知AE 平分∠BAC ，BE ⊥AE 于E ，ED ∥AC ，∠BAE ＝34°，那么∠BED ＝（ ）A ．134°B ．124°C ．114°D ．104°B解析：B【分析】 根据角平分线的性质和平行线的性质计算即可；【详解】∵AE 平分∠BAC ，∠BAE ＝34°，∴34EAC ∠=︒，∵ED ∥AC ，∴18034146AED ∠=︒-︒=︒，∵BE ⊥AE ，∴90AEB =︒∠，∴36090146124BED ∠=︒-︒-︒=︒；故答案选B ．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和平行线的性质，结合周角的定理计算是解题的关键 。

全等三角形知识点一：角平分线三角形的角平分线定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点间的线 段叫做三角形的角平分线 如下图，在 △ ABC 中，∠ABD =∠DBC , BD 是 △ ABC 的一条角平 分线．一个三角形有3条内角平分线，有6条外角平分线，在三角形内部到三边距离相等的点有1个，•而在三角形的外部到三条边所在直线距离相等的点共有3个． 角平分线的性质:在角平分线上的点到角的两边的距离相等（1）在所画的角平分线上任找一点，过这点分别向角的两边作垂线段. （2）你能得出什么猜想 判断：1、OP 为∠AOB 的角平分线，则PE=PF. ( )2、、OP 是∠AOB 角平分线，在OP 上任取一点M 到OA 的距离等于3cm,则M 到OB 的距离为3cm.( )3、如图，△ABC 的角平分线BM 、CN 相交于点P.求证：点P 到三边AB 、BC 、CA 的距离相等.4、如图，△ABC 的∠B 的平分线BD 与∠C 的外角平分线CE 相交于点P. 求证：点P 到三边AB 、BC 、CA 所在直线的距离相等.如图，直线a 、b 、c 表示互相交叉的公路，现建一个货物中转站，要求它到公路的距离相等，则可供选择的地址有NPABC MCB ADEP多少处？如图：在△ABC 中，∠C=90° AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上，BD=DF. 求证：CF=EBF EDCBA练一练：如图4，已知点P 到BE 、BD 、AC 的距离恰好相等，则点P 的位置：①在∠B 的平分线上；②在∠DAC 的平分线上；③在∠ECA 的平分线上；④恰是∠B ，∠DAC ，∠ECA 三条角平分线的交点，上述结论中，正确结论的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个如图所示，在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC ，AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB ，•垂足为E ，若AB=10cm ，求△ DBE 的周长．已知：如图所示，在△ABC 中，∠C=90°，∠BAC=2∠B ，点E 是BC 上一点，ED ⊥AB 于D ，并且ED=EC ，证：AE=BE ．如图，BD 平分∠ABC ，∠A+∠C=180°，求证：AD=CD ．知识点二：全等三角形的综合运用1、证明线段相等的方法：（1）中点定义；（2）等式的性质；（3）全等三角形的对应边相等；（4）借助中间线段（即要证a=b,只需证a=c,c=b即可）。

C D E B A 专题12.25 三角形全等几何模型-“一线三直角”模型（专项练习）（培优篇）知识储备：1、模型一： 三垂直全等模型图一如图一，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC 。

结论：Rt △BDC ≌Rt △CEA2、拓展：模型二： 三等角全等模型图二如图二，∠D=∠BCA=∠E ，BC=AC 。

结论：△BEC ≌△CDA一、单选题1．如图，Rt△ABC 中，△C=90°，BC=6，DE 是△ABC 的中位线，点D 在AB 上，把点B 绕点D 按顺时针方向旋转α（0°<α<180°）角得到点F ，连接AF ，BF ．下列结论：△△ABF 是直角三角形；△若△ABF 和△ABC 全等，则α=2△BAC 或2△ABC ；△若α=90°，连接EF ，则S△DEF=4.5；其中正确的结论是（ ）A ．△△B ．△△C ．△△△D ．△△二、填空题2．如图，点A 的坐标为()4,0，点B 的坐标为()0,1-，分别以OB ，AB 为直角边在第三、第四象限作等腰Rt OBF △，等腰Rt ABE △，连接EF 交y 轴于P 点，点P 的坐标是______．3．如图，AO△OM ，OA=7，点B 为射线OM 上的一个动点，分别以OB ，AB 为直角边，B 为直角顶点，在OM 两侧作等腰Rt△OBF 、等腰Rt△ABE ，连接EF 交OM 于P 点，当点B 在射线OM 上移动时，则PB 的长度____________．三、解答题4．在Rt AOB ∆中，AOB 90∠=．(1)如图△，以点A 为直角顶点，AB 为腰在AB 右侧作等腰Rt ABC ∆，过点C 作CD OA ⊥交OA 的延长线于点D ．求证：A AOB CD ∆∆≌．(2)如图△，以AB 为底边在AB 左侧作等腰Rt ABC ∆，连接OC ，求AOC ∠的度数．(3)如图△，Rt AOB ∆中，,OA OB OD AB =⊥,垂足为点D ，以OB 为边在OB 左侧作等边OBC ∆,连接AC 交OD 于E ，2OE =,求AC 的长．5．已知Rt△ABC 中，△BAC =90°，AB =AC ，点E 为△ABC 内一点，连接AE ，CE ，CE △AE ，过点B 作BD △AE ，交AE 的延长线于D ．（1）如图1，求证BD=AE ；（2）如图2，点H 为BC 中点，分别连接EH ，DH ，求△EDH 的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，点M 为CH 上的一点，连接EM ，点F 为EM 的中点，连接FH ，过点D 作DG △FH ，交FH 的延长线于点G ，若GH ：FH =6：5，△FHM 的面积为30，△EHB =△BHG ，求线段EH 的长．6．如图1，在Rt ACB ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，分别过B 、C 两点作过点A 的直线l 的垂线，垂足为D 、E ；（1）如图1，当D 、E 两点在直线BC 的同侧时，猜想，BD 、CE 、DE 三条线段有怎样的数量关系？并说明理由.（2）如图2，当D 、E 两点在直线BC 的两侧时，BD 、CE 、DE 三条线段有怎样的数量关系？并说明理由.（3）如图3，90BAC ∠=︒，22AB =，28AC =.点P 从B 点出发沿B A C →→路径向终点C 运动；点Q 从C 点出发沿C A B →→路径向终点B 运动.点P 和Q 分别以每秒2和3个单位的速度同时开始运动，只要有一点到达相应的终点时两点同时停止运动；在运动过程中，分别过P 和Q 作PF l ⊥于F ，QG l ⊥于G .问：点P 运动多少秒时，PFA ∆与QAG ∆全等？（直接写出结果即可）7．如图，在△ABC 中，△ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8．点P 从点A 出发，沿折线AC—CB以每秒1个单位长度的速度向终点B 运动，点Q 从点B 出发沿折线BC—CA 以每秒3个单位长度的速度向终点A 运动，P 、Q 两点同时出发．分别过P 、Q 两点作PE△l 于E ，QF△l 于F ．设点P 的运动时间为t （秒）：（1）当P 、Q 两点相遇时，求t 的值；（2）在整个运动过程中，求CP 的长（用含t 的代数式表示）；（3）当△PEC 与△QFC 全等时，直接写出所有满足条件的CQ 的长．8．（1）如图1，已知：在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线l 经过点A ，BD l ⊥，CE l ⊥垂足分别为点D 、E ．证明：△CAE ABD ∠=∠；△DE BD CE =+．（2）如图2，将（1）中的条件改为：在ABC ∆中，AB AC =，D 、A 、E 三点都在l 上，并且有BDA AEC BAC α∠=∠=∠=，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE BD CE =+是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）如图3，过ABC ∆的边AB 、AC 向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，AH 是BC 边上的高，延长HA 交EG 于点I ，求证：I 是EG 的中点．9．如图，A （-2，0），B （0，4）以B 点为直角顶点在第二象限作等腰直角△ABC （1）求C 点的坐标；（2）如图2点E 为y 轴正半轴上一动点，以E 为直角顶点作等腰直角△AEM ，过M 作MN△x 轴于N ，求OE -MN 的值．10．如图，OA OB =，OA OB ⊥，135ACO ∠=︒，求ACB ∠的度数.11．综合与实践．积累经验我们在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题．例如：我们在解决：“如图1，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，线段DE 经过点C ，且AD DE ⊥于点D ，BE DE ⊥于点E .求证：AD CE =，CD BE =”这个问题时，只要证明ADC CEB ∆∆≌，即可得到解决，（1）请写出证明过程；类比应用（2）如图2，在平面直角坐标系中，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点A 的坐标为()0,2，点C 的坐标为()1,0，求点B 的坐标．拓展提升（3）如图3，ABC ∆在平面直角坐标系中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点A 的坐标为()2,1，点C 的坐标为()4,2，则点B 的坐标为____________．12．问题背景：（1）如图1，已知△ABC 中，△BAC ＝90°，AB ＝AC ，直线m 经过点A ，BD△直线m ，CE△直线m ，垂足分别为点D 、E ．求证：DE ＝BD ＋CE ．拓展延伸：（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC 中，AB ＝AC ，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有△BDA ＝△AEC ＝△BAC ．请写出DE 、BD 、CE 三条线段的数量关系．（不需要证明）实际应用：（3）如图，在△ACB 中，△ACB ＝90°，AC ＝BC ，点C 的坐标为(－2，0)，点A 的坐标为(－6，3)，请直接写出B 点的坐标．13．如图，Rt ACB △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，E 点为射线CB 上一动点，连结AE ，作AF AE ⊥且AF AE =．（1）如图1，过F 点作FD AC ⊥交AC 于D 点，求证：FD BC =；（2）如图2，连结BF 交AC 于G 点，若3AG =，1CG =，求证：E 点为BC 中点． （3）当E 点在射线CB 上，连结BF 与直线AC 交于G 点，若4BC =，3BE =，则AG CG =______．（直接写出结果）14．如图，以ABC 的边AB 和AC ，向外作等腰直角三角形ABE △和ACF ，连接 EF ，AD 是ABC 的高，延长DA 交EF 于点G ，过点F 作DG 的垂线交DG 于点H ．（1）求证：FHA ADC ≌△△；（2）求证：点G 是EF 的中点．15．如图，等腰Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，AB BC =，点A ，B 分别在坐标轴上． （1）如图1，若点C 的横坐标为5，直接写出点B 的坐标_______；图1（2）如图2，若点A 的坐标为()6,0-，点B 在y 轴的正半轴上运动时，分别以OB ，AB 为边在第一、第二象限作等腰Rt OBF ，等腰Rt ABE △，连接EF 交y 轴于点P ，当点B 在y 轴的正半轴上移动时，PB 的长度是否发生改变？若不变，求出PB 的值；若变化，求PB 的取值范围．图216．提出问题：如图1，将三角板放在正方形ABCD 上，使三角板的直角顶点P 在对角线AC 上，一条直角边经过点B ，另一条直角边交边DC 与点E ，求证：PB=PE分析问题：学生甲：如图1，过点P 作PM△BC ，PN△CD ，垂足分别为M ，N 通过证明两三角形全等，进而证明两条线段相等．学生乙：连接DP ，如图2，很容易证明PD=PB ，然后再通过“等角对等边”证明PE=PD ，就可以证明PB=PE 了．解决问题：请你选择上述一种方法给予证明．问题延伸：如图3，移动三角板，使三角板的直角顶点P 在对角线AC 上，一条直角边经过点B ，另一条直角边交DC 的延长线于点E ，PB=PE 还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．17．（提出问题）如图1，在直角ABC 中，△BAC =90°，点A 正好落在直线l 上，则△1、△2的关系为（探究问题）如图2，在直角ABC 中，△BAC =90°，AB =AC ，点A 正好落在直线l 上，分别作BD △l 于点D ，CE △l 于点E ，试探究线段BD 、CE 、DE 之间的数量关系，并说明理由．（解决问题）如图3，在ABC 中，△CAB 、△CBA 均为锐角，点A 、B 正好落在直线l 上，分别以A 、B 为直角顶点，向ABC 外作等腰直角三角形ACE 和等腰直角三角形BCF ，分别过点E 、F 作直线l 的垂线，垂足为M 、N ．△试探究线段EM 、AB 、FN 之间的数量关系，并说明理由；△若AC =3，BC =4，五边形EMNFC 面积的最大值为18．如图，在平面直角坐标系中，点()()3,01,0B A --、分别是x 轴上两点，点()0,P h 是y 轴正半轴上的动点，过点P 作,DP PB CP PA ⊥⊥，且,PD PB PC AP ==．（1）如图1，连接AD BC 、相交于点E ，求证：PCB PAD ≌；（2）如图1，连接PE ，求证：PE 平分CED ∠；（3）如图2，连CD 与y 轴相交于点Q ，当动点P 在y 轴正半轴上运动时，线段PQ 的长度是否改变？如果不变，请求出其值；如果改变，请求出其变化范围．19．在Rt ABC △中，90CAB ∠=︒，AB AC =，点O 是BC 的中点，点P 是射线CB 上的一个动点（点P 不与点C 、O 、B 重合），过点C 作CE AP ⊥于点E ，过点B 作BF AP⊥于点F ，连接EO ，OF ．（问题探究）如图1，当P 点在线段CO 上运动时，延长EO 交BF 于点G ，（1）求证：AEC △BFA ；（2）BG 与AF 的数量关系为：______（直接写结论，不需说明理由）；（拓展延伸）（3）△如图2，当P 点在线段OB 上运动，EO 的延长线与BF 的延长线交于点G ，OFE ∠的大小是否变化？若不变，求出OFE ∠的度数；若变化，请说明理由；△当P 点在射线OB 上运动时，若2AE =，5CE =，直接写出OEF 的面积，不需证明． 20．如图，线段AB=4，射线BG△AB ，P 为射线BG 上一点，以AP 为边作正方形APCD ，且点C、D与点B在AP两侧，在线段DP上取一点E，使△EAP=△BAP，直线CE与线段AB相交于点F（点F与点A、B不重合）．（1）求证：AEP△CEP；（2）判断CF与AB的位置关系，并说明理由；（3）请直接写出AEF的周长．参考答案1．C【分析】△根据直角三角形斜边中线的性质和旋转的性质得出AD BD DF ==，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可判断；△分两种情况讨论：ABF ABC ∠=∠或ABF BAC ∠=∠，分别求α即可 ； △先根据题意画出图形，首先证明FDG ADE ≅ ，然后得出3FG DE ==，最后利用12DEF S DE FG =⋅即可求解． 【详解】△△DE 是△ABC 的中位线，AD DB ∴=．由旋转可知DF DB =，AD BD DF ∴==，,DAF AFD DBF DFB ∴∠=∠∠=∠ ．180DAF AFB ABF ∠+∠+∠=︒ ，90AFD DFB ∴∠+∠=︒ ，即90AFB ∠=︒ ，△△ABF 是直角三角形，故△正确；90C ∠=︒ ，90BAC ABC ∴∠+∠=︒ ．若△ABF 和△ABC 全等，当ABF ABC ∠=∠时，180218022(90)2ABF ABC ABC BAC α=︒-∠=︒-∠=︒-∠=∠ ；当ABF BAC ∠=∠时，180218022(90)2ABF BAC BAC ABC α=︒-∠=︒-∠=︒-∠=∠，综上所述，若△ABF 和△ABC 全等，则α=2△BAC 或2△ABC ，故△正确；过点F 作FG DE ⊥交ED 的延长线于点G ，△DE 是ABC 的中位线，//DE BC ∴ ，90AED ACB ∴∠=∠=︒ ．FG DE ⊥，90FGE ∴∠=︒．90FDB ∠=︒，90ADF ∴∠=︒，90FDG ADE ∴∠+∠=︒．90DAE ADE ∠+∠=︒ ，FDG DAE ∴∠=∠．90AFB ∠=︒，D 为AB 中点，FD AD ∴=．在FDG △和ADE 中，FGD AED FDG DAE FD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()FDG ADE AAS ∴≅3FG DE ∴==，1133 4.522DEF S DE FG ∴=⋅=⨯⨯=，故△正确； 所以正确的有：△△△．故选：C ．【点拨】本题主要考查三角形中位线的性质，直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定及性质，掌握三角形中位线的性质，直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键．2．()0,3-【分析】作EN y ⊥轴于N ，求出NBE BAO ∠=∠，证ABO BEN ≅△△，得BN =AO ，再由90OBF FBP BNE ∠=∠=∠=︒，证BFP NEP ≅△△，推出BP NP ==2，由点B 的坐标为()0,1-即可得出点P 的坐标为()0,3-．【详解】解：如图，作EN y ⊥轴于N ，90ENB BOA ABE ∠=∠=∠=︒，90OBA NBE ∴∠+∠=︒，90OBA OAB ∠+∠=︒，NBE BAO ∴∠=∠，在ABO 和BEN 中，AOB BNE BAO NBE AB BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABO BEN AAS ∴≅△△，OB NE BF ∴==，OA=BN90OBF FBP BNE ∠=∠=∠=︒，在BFP △和NEP △中，FPB EPN FBP ENP BF NE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BFP NEP AAS ∴≅△△，BP NP ∴=，又因为点A 的坐标为(4,0)，4OA BN ∴==，122BP NP BN ∴===， 又△点B 的坐标为()0,1-，△点P 的坐标为()0,3-．故答案为：()0,3-．【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定，坐标与图形性质等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，有一定的难度，注意：全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，全等三角形的对应角相等，对应边相等．3．72【分析】根据题意过点E 作EN△BM ，垂足为点N ，首先证明△ABO△△BEN ，得到BO=ME ；进而证明△BPF△△MPE 并分析即可得出答案．【详解】解：如图，过点E 作EN△BM ，垂足为点N ，△△AOB=△ABE=△BNE=90°，△△ABO+△BAO=△ABO+△NBE=90°，△△BAO=△NBE ，△△ABE 、△BFO 均为等腰直角三角形，△AB=BE ，BF=BO ；在△ABO 与△BEN 中，BAO NBE AOB BNE AB BE ∠⎪∠⎧⎩∠⎪∠⎨＝＝＝，△△ABO△△BEN （AAS ），△BO=NE ，BN=AO ；△BO=BF ，△BF=NE ，在△BPF 与△NPE 中，FBP ENP FPB EPN BF NE ∠⎪∠⎧⎩∠⎪∠⎨＝＝＝，△△BPF△△NPE （AAS ）， △BP=NP=12BN ，BN=AO ， △BP= 12AO= 12×7=72． 故答案为：72． 【点拨】本题考查三角形内角和定理以及全等三角形的性质和判定的应用，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形并灵活运用有关定理进行分析．4．（1）见解析；（2）135AOC ∴∠=；（3）【分析】（1）根据“一线三垂直”模型，可以证得A AOB CD ∆∆≌；（2）过点C 作CM△CO 交BO 于M ，AC 与BO 交于点N ，利用旋转模型证明BCM ∆△()ACO ASA ∆，由外角的性质计算即可；（3）在CE 上截取一点H ，使CH=AE ，连接OH ，利用等腰直角△AOB ，等边△BOC 证得OAE ∆△()OCH SAS ∆，通过等角代换证明HOE ∆为等边三角形，由线段和计算即可得到结果．【详解】（1）△△BAC=△AOB=90°，△△BAO+△DAC=△BAO+△ABO=90°，△△DAC=△ABO ，△△ABC 是等腰直角三角形，△AB=AC ，在△AOB 和△CDA 中，ABO DAC AOB CDA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△AOB△△CDA （AAS ）（2）如图△，过点C 作CM△CO 交BO 于M ，AC 与BO 交于点N ，90MCO ACB ∴∠=∠=，BCM ACO ∴∠=∠，90BCA AOB ∠=∠=，BNC ANO ∠=∠，CBM OAC ∴∠=∠，△AC=BC ，BCM ∴∆△()ACO ASA ∆，CM CO ∴=，45COM CMO ∴∠=∠=，9045135AOC ∴∠=+=，故答案为：135°．（3）如图△，在CE 上截取一点H ，使CH=AE ，连接OH ，△△AOB 是等腰直角三角形，△BOC 是等边三角形，所以AO BO CO ==，OAE OCH ∴∠=∠，OAE ∴∆△()OCH SAS ∆，OH OE ∴=，AE=CH=3，△AOE=△COH ，OD AB ⊥，△AOB=90°，45AOE BOE ∴∠=∠=，45COH ∴∠=，△BOH=△BOC -△COH=60°-45°=15°，154560HOE ∴∠=+=，HOE ∴∆为等边三角形，2HE EO ∴==，Rt△ADE 中，△DAE=45°-15°=30°，△AE=2DE ，设DE=x ，则AE=2x ，，△AD=OD ，，，，．故答案为：．【点拨】本题考查了“一线三垂直”模型，三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等角代换的应用，计算线段和的应用，掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．5．（1）见解析；（2）△EDH＝45°；（3）EH＝【分析】（1）根据全等三角形的判定得出△CAE△△ABD，进而利用全等三角形的性质得出AE＝BD 即可；（2）根据全等三角形的判定得出△AEH△△BDH，进而利用全等三角形的性质解答即可；（3）过点M作MS△FH于点S，过点E作ER△FH，交HF的延长线于点R，过点E作ET△BC，根据全等三角形判定和性质解答即可．【详解】证明：（1）△CE△AE，BD△AE，△△AEC＝△ADB＝90°，△△BAC＝90°，△△ACE+CAE＝△CAE+△BAD＝90°，△△ACE＝△BAD，在△CAE与△ABD中ACE BAD AEC ADB AC AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△CAE △△ABD （AAS ），△AE ＝BD ；（2）连接AH△AB ＝AC ，BH ＝CH ，△△BAH ＝11904522BAC ∠=⨯︒=︒，△AHB ＝90°， △△ABH ＝△BAH ＝45°，△AH ＝BH ，△△EAH ＝△BAH ﹣△BAD ＝45°﹣△BAD ，△DBH ＝180°﹣△ADB ﹣△BAD ﹣△ABH ＝45°﹣△BAD ，△△EAH ＝△DBH ，在△AEH 与△BDH 中AE BD EAH DBH AH BH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△AEH △△BDH （SAS ），△EH ＝DH ，△AHE ＝△BHD ，△△AHE +△EHB ＝△BHD +△EHB ＝90°即△EHD ＝90°，△△EDH ＝△DEH ＝18090452︒-︒=︒； （3）过点M 作MS △FH 于点S ，过点E 作ER △FH ，交HF 的延长线于点R ，过点E 作ET △BC ，交HR 的延长线于点T ．△DG △FH ，ER △FH ，△△DGH ＝△ERH ＝90°，△△HDG +△DHG ＝90°△△DHE ＝90°，△△EHR +△DHG ＝90°，△△HDG ＝△HER在△DHG 与△HER 中HDG HER DGH ERH DH EH ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△DHG △△HER （AAS ），△HG ＝ER ，△ET △BC ，△△ETF ＝△BHG ，△EHB ＝△HET ，△ETF ＝△FHM ，△△EHB ＝△BHG ，△△HET ＝△ETF ，△HE ＝HT ，在△EFT 与△MFH 中ETF FHM EFT MFH EF FM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△EFT △△MFH （AAS ），△HF ＝FT ， △22HF MS FT ER =， △ER ＝MS ，△HG ＝ER ＝MS ，设GH ＝6k ，FH ＝5k ，则HG ＝ER ＝MS ＝6k ， 563022HF MS k k ==， k△FH ＝△HE ＝HT ＝2HF ＝【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用数形结合的思想思考问题，属于压轴题．6．（1）+DE CE BD =（2）CE DE BD =+（3）当P 点运动6秒或10秒时PFA ∆与QAG ∆全等【分析】（1）根据题意首先证明()ABD ACE AAS ∆≅∆，在采用等量替换即可证明+DE CE BD =. （2）根据题意首先证明()ABD CAE AAS ∆≅∆，在采用等量替换即可证明CE BD DE =+.（3）根据PFA ∆与QAG ∆全等，列方程即可，注意要分类讨论.【详解】（1）+DE CE BD =.理由如下：△在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，△90BAD EAC ∠+∠=︒，又△90ADB AEC ∠=∠=︒，△90BAD ABD ∠+∠=︒，△EAC ABD ∠=∠，△AB AC =，△()ABD ACE AAS ∆≅∆，△AD CE =，BD AE =，△DE AD AE CE BD =+=+.（2）CE DE BD =+..理由如下：△BD AE ⊥，CE AE ⊥，△90ADB AEC ∠=∠=︒，△90ABD BAD ∠+∠=︒，△90BAC ∠=︒，△90BAD EAC ∠+∠=︒，△ABD EAC ∠=∠，在ABD ∆和CAE ∆中，△ABD CAE ∠=∠，ADB CEA ∠=∠，AB AC =，△()ABD CAE AAS ∆≅∆，△BD AE =，AD CE =，△AD AE DE =+，△AD BD DE =+，△CE BD DE =+；（3）解：△当点P 在AB 上，点Q 在AC 上时，222283t t -=-，解得6t =，△当点P 在AB 上，点Q 在AC 上时，222328t t -=-，解得10t =.△当点P 在AC 上，点Q 在AB 上时，（t>11）222328t t -=-解得：t=6(舍)△当点Q 运动到B 点，点P 在AC 上时，（11<t≤503） 22222t -=，解得22t =（舍）.所以当P 点运动6秒或10秒时PFA ∆与QAG ∆全等.【点拨】本题主要考查三角形的全等证明,关键在于第三问的分类讨论思想,这是数学的一个重要思想，应当熟练掌握.7．（1）t 的值为72秒；（2）CP 的长为6(6)6(614)t t t t -≤⎧⎨-<≤⎩；（3）当△PEC 与△QFC 全等时，满足条件的CQ的长为5或2.5或6【分析】（1）由题意得t+3t=6+8，即可求得P、Q两点相遇时，t的值；（2）根据题意即可得出CP的长为6(6)6(614)t tt t-≤⎧⎨-<≤⎩；（3）分两种情况讨论得出关于t的方程，解方程求得t的值，进而即可求得CQ的长．【详解】解：（1）由题意得t＋3t＝6＋8，解得：t＝72（秒），当P、Q两点相遇时，t的值为72秒；（2）由题意可知AP＝t，则CP的长为6(6)6(614)t tt t-≤⎧⎨-<≤⎩；（3）当P在AC上，Q在BC上时，△△ACB＝90，△△PCE＋△QCF＝90°，△PE△l于E，QF△l于F．△△EPC＋△PCE＝90°，△PEC＝△CFQ＝90°，△△EPC＝△QCF，△△PCE△△CQF，△PC＝CQ，△6﹣t＝8﹣3t，解得t＝1，△CQ＝8﹣3t＝5；当P在AC上，Q在AC上时，即P、Q重合时，则CQ＝PC，由题意得，6﹣t＝3t﹣8，解得：t＝3.5，△CQ＝3t﹣8＝2.5，当P在BC上，Q在AC上时，即A、Q重合时，则CQ＝AC＝6，综上，当△PEC与△QFC全等时，满足条件的CQ的长为5或2.5或6．【点拨】本题考查了三角形全等的判定和性质，线段的动点问题，根据题意得出关于t 的方程是解题的关键．8．（1）△见解析；△见解析；（2）成立：DE=BD+CE ；证明见解析；（3）见解析【分析】（1）△根据平行线的判定与性质即可求解；△由条件可证明△ABD△△CAE ，可得DA ＝CE ，AE ＝BD ，可得DE ＝BD ＋CE ；（2）由条件可知△BAD ＋△CAE ＝180°−α，且△DBA ＋△BAD ＝180°−α，可得△DBA ＝△CAE ，结合条件可证明△ABD△△CAE ，同（1）可得出结论；（3）由条件可知EM ＝AH ＝GN ，可得EM ＝GN ，结合条件可证明△EMI△△GNI ，可得出结论I 是EG 的中点．【详解】（1）△△BD△直线l ，CE△直线l△△BDA=△CEA=90°△△BAC=90°△△BAD+△CAE=90°△△BAD+△ABD=90°△△CAE=△ABD△在△ADB 和△CEA 中ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△ADB△△CEA （AAS ）△AE=BD ，AD=CE△DE=AE+AD=BD+CE ；（2）成立：DE=BD+CE 证明如下：△△BDA=△BAC=α△△DBA+△BAD=△BAD+△CAE=180°﹣α△△DBA=△CAE在△ADB 和△CEA 中ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△ADB△△CEA （AAS ）△AE=BD 、AD=CE△DE=AE+AD=BD+CE ；（3）如图过E 作EM△HI 于M ，GN△HI 的延长线于N△△EMI=GNI=90°由（1）和（2）的结论可知EM=AH=GN△EM=GN在△EMI 和△GNI 中GIH EIM EM GNGHI EMI ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩△△EMI△△GNI （AAS ）△EI=GI△I 是EG 的中点．【点拨】本题主要考查全等三角形的判定和性质，由条件证明三角形全等得到BD ＝AE 、CE ＝AD 是解题的关键．9．（1）C （-4，6）；（2）OE －MN=2．【分析】（1）作CE△y 轴于E ，易证△CBE△△BAO ，即可得点C 的坐标；（2）作MF△y 轴于F ，易证△AOE△△EFM ，可得OE －MN=EF=OA 即可求得答案．【详解】（1）作CE△y 轴于E ，如图1，△A （-2，0），B （0，4），△OA=2，OB=4，△△CBA=90°，△△CEB=△AOB=△CBA=90°，△△ECB+△EBC=90°，△CBE+△ABO=90°，△△ECB=△ABO ，在△CBE 和△BAO 中ECB ABO CEB AOB BC AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△CBE△△BAO ，△CE=BO=4，BE=AO=2，即OE=2+4=6，△C （-4，6）．（2）如图2，作MF△y 轴于F ，则△AEM=△EFM=△AOE=90°，△△AEO+△MEF=90°，△MEF+△EMF=90°，△△AEO=△EMF ，在△AOE 和△EMF 中，AOE EFM AEO EMF AE EM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△AEO△△EMF ，△EF=AO=2，MF=OE ，△MN△x 轴，MF△y 轴，△△MFO=△FON=△MNO=90°，△四边形FONM 是矩形，△MN=OF ，△OE -MN=OE -OF=EF=OA=2．考点：全等三角形的判定及性质．10．△ACB=90°.【分析】作AM△直线OC 于M ，BN△直线OC 于N ．通过AAS 证明△AOM△△OBN ，根据全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质即可求得答案.【详解】作AM△直线OC 于M ，BN△直线OC 于N ．△△ACO=135°，△△ACM=45°，△AM=CM ，在△AOM 与△OBN 中，90()AMO ONB AOM OBN BON OA OB ∠∠︒⎧⎪∠∠∠⎨⎪=⎩＝＝＝均为的余角，△△AOM△△OBN(AAS)，△OM=BN ，ON=AM=CM ，△NC=OM=BN ，又△BN△NS ．△△BCN=45°，△△ACB=△ACO -△BCN=90°.【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，有一定的综合性，难点是作出辅助线．11．（1）见解析；（2）B 的坐标（3，1）；（3）（3，4）【分析】（1）根据AD△DE 、BE△DE 得到△D=△E=90°再根据直角三角形的性质以及同角的余角相等，推出△DAC=△BCE ，进而证明ADC CEB ≅，最后再根据全等三角形对应边相等得出AD=CE ，CD=BE ；（2）如图4，过点B 作BE△x 轴于点E ，通过证明AOC CEB ≅，进而得出AO=CE ，CO=BE ，再根据点A 的坐标为（0，2），点C 的坐标（1，0），求得OE=3，最后得出B 的坐标（3，1）；（3）如图5，过点C 做CF△x 轴与点F ，再过点A 、B 分别做AE△CF ，BD△CF ，通过证明CDB AEC ≅，进而得出BD=CE=，AE=CD ，最后根据点A 的坐标为()2,1，点C 的坐标为()4,2，得出B 坐标（3，4）.【详解】（1）证明：△AD△DE ，BE△DE△△D=△E=90°△△DAC+△ACD=90°又△△ACB=90°△△ACD+△BCE=90°△△DAC=△BCE在△ADC 和△CEB 中D E DAC BCE AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△ADC△△CEB△AD=CE ，CD=BE（2）解：如图，过点B 作BE△x 轴于点E△△AOC=90°△△OAC+△ACO=90°又△△ACB=90°△△ACO+△BCE=90°△△OAC=△BCE在△AOC 和△CEB 中90AOC CEB OAC ECBAC BC ⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△AOC△△CEB△AO=CE ，CO=BE又△点A 的坐标为（0，2），点C 的坐标（1，0）△AO=2，CO=1△CE=2，BE=1△OE=3△B 的坐标（3，1）（3）（3，4）解：如图5，过点C 做CF△x 轴与点F ，再过点A 、B 分别做AE△CF ，BD△CF ， △AE△CF ，BD△CF△90AEC CDB ∠=∠=︒，△90ACE CAE ∠+∠=︒,又△90ACB ∠=︒，△90ACE BCD ∠+∠=︒，△CAE BCD ∠=∠,△在ACE △和BCD △中AEC CDB CAE BCD AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△ACE BCD ≅（AAS ）△BD=CE ，AE=CD ，又△A 的坐标为()2,1，点C 的坐标为()4,2，△CE=BD=2-1=1，CD=AE=4-2=2设B 点坐标为（a ，b ），则a =4-1=3，b =2+2=4，△B 坐标（3，4）.【点拨】本题综合考查了全等三角形的证明以及平面直角坐标系中求点坐标的综合应用问题；通过构建“一线三等角”模型，再利用直角三角形的性质以及同角的余角相等解决角关系是本题的关键.12．（1）证明见解析；（2）DE ＝BD ＋CE ；（3）B(1，4)【分析】（1）证明△ABD△△CAE ，根据全等三角形的性质得到AE=BD ，AD=CE ，结合图形解答即可；（2）根据三角形内角和定理、平角的定义证明△ABD=△CAE ，证明△ABD△△CAE ，根据全等三角形的性质得到AE=BD ，AD=CE ，结合图形解答即可；（3）根据△AEC△△CFB ，得到CF=AE=3，BF=CE=OE -OC=4，根据坐标与图形性质解答．【详解】（1）证明：△BD△直线m ，CE△直线m ，△△ADB ＝△CEA ＝90°△△BAC ＝90°△△BAD ＋△CAE ＝90°△△BAD ＋△ABD ＝90°△△CAE ＝△ABD△在△ADB 和△CEA 中ABD CAE ADB CEA AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△ADB△△CEA （AAS ）△AE ＝BD ，AD ＝CE△DE ＝AE ＋AD ＝BD ＋CE即：DE ＝BD ＋CE（2）解：数量关系：DE ＝BD ＋CE理由如下：在△ABD 中，△ABD=180°-△ADB -△BAD ，△△CAE=180°-△BAC -△BAD ，△BDA=△AEC ，△△ABD=△CAE ，在△ABD 和△CAE 中，ABD CAE BDA AEC AB CA ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝△△ABD△△CAE （AAS ）△AE=BD ，AD=CE ，△DE=AD+AE=BD+CE ；（3）解：如图，作AE△x 轴于E ，BF△x 轴于F ，由（1）可知，△AEC△△CFB ，△CF=AE=3，BF=CE=OE -OC=4，△OF=CF -OC=1，△点B 的坐标为B （1，4）．【点拨】本题考查的是全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．13．（1）见解析；（2）见解析；（3）113或53 【分析】（1）证明△AFD△△EAC ，根据全等三角形的性质得到DF=AC ，等量代换证明结论； （2）作FD△AC 于D ，证明△FDG△△BCG ，得到DG=CG ，求出CE ，CB 的长，得到答案；（3）过F 作FD△AG 的延长线交于点D ，根据全等三角形的性质得到CG=GD ，AD=CE=7，代入计算即可．【详解】解：（1）证明：△FD△AC ，△△FDA=90°，△△DFA+△DAF=90°，同理，△CAE+△DAF=90°，△△DFA=△CAE ，在△AFD 和△EAC 中， AFD EAC ADF ECA AF AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△AFD△△EAC （AAS ），△DF=AC ，△AC=BC ，△FD=BC ；（2）作FD△AC 于D ，由（1）得，FD=AC=BC，AD=CE，在△FDG和△BCG中，90 FDG BCG FGD BGCFD BC ︒⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△FDG△△BCG（AAS），△DG=CG=1，△AD=2，△CE=2，△BC=AC=AG+CG=4，△E点为BC中点；（3）当点E在CB的延长线上时，过F作FD△AG的延长线交于点D，BC=AC=4，CE=CB+BE=7，由（1）（2）知：△ADF△△ECA，△GDF△△GCB，△CG=GD，AD=CE=7，△CG=DG=1.5，△4 1.5111.53 AGCG+==，同理，当点E在线段BC上时，4 1.551.53 AGCG-==，故答案为：113或53.【点拨】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．14．（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）先利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，且AF AC =，利用AAS 得到AFH CAD ∆≅∆；（2）由（1）利用全等三角形对应边相等得到FH AD =，再EK AD ⊥，交DG 延长线于点K ，同理可得到AD EK =，等量代换得到FK EH =，再由一对直角相等且对顶角相等，利用AAS 得到FHG EKG ≅△△，利用全等三角形对应边相等即可得证．【详解】证明：（1） △FH AG ⊥，90AEH EAH ∴∠+∠=︒，90FAC ∠=︒，90FAH CAD ∴∠+∠=︒，AFH CAD ∴∠=∠，在AFH ∆和CAD ∆中，90AHF ADC AFH CADAF AC ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AFH CAD AAS ∴∆≅∆，（2）由（1）得AFH CAD ∆≅∆，FH AD ∴=，作FK AG ⊥，交AG 延长线于点K ，如图；同理得到AEK ABD ∆≅∆，EK AD ∴=，FH EK ∴=，在EKG ∆和FHG ∆中，90EKG FHG EGK FGHEK FH ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()EKG FHG AAS ∴∆≅∆，EG FG ∴=．即点G 是EF 的中点．【点拨】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握K 字形全等进行证明是解本题的关键．15．（1）()05，；（2）不变，PB 的值为3【分析】（1）作CD△BO ，可证△ABO 全等于△BCD ，根据全等三角形对应边相等的性质即可解题； （2）作EG△y 轴，可证△BAO 全等于△EBG 全等于△EGP 全等于△FBP ，可得BG=OA 和PB=PG,即可求得PB 是AO 的2倍，即可得到结论．【详解】（1）如图，作CD△BO 于D ，△△CBD+△ABO=90°，△ABO+△BAO=90°，△△CBD=△BAO,在△ABO 和△BCD 中，90BOA BDC CBD BAOAB BC ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△ABO△△BCD,△CD=BO=5,△B 点的坐标（0,5）故答案为：()05，． （2）不发生改变，理由如下：作EG y ⊥轴于G ，90BAO OBA ∠+∠=︒，90OBA EBG ∠+∠=︒，BAO EBG ∴∠=∠．在BAO ∆和EBG ∆中，90AOB BGE BAO EBGAB BE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BAO EBG AAS ∴∆≅∆AO BG ∴=，OB EG =OB BF =，BF EG ∴=在EGP ∆和FBP ∆中，90EPG FPB EGP FBP EG FB ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()EGP FBP AAS ∴∆≅∆PG PB ∴=．11322PB BG AO ∴===． △不变，PB 的值为3．【点拨】本题考查三角形全等、等腰直角三角形性质、勾股定理、角平分线性质，熟练掌握添加辅助线证明三角形全等是解题的关键．16．解决问题：证明见解析；问题延伸：成立，证明见解析.【分析】解决问题：对于图1，根据正方形的性质得△BCD=90°，AC 平分△BCD ，而PM△BC ，PN△CD ，则四边PMCN 为矩形，根据角平分线性质得PM=PN ，根据四边形内角和得到△PBC+△CEP=180°，再利用等角的补角相等得到△PBM=△PEN ，然后根据“AAS”证明△PBM△△PEN ，则PB=PE ；对于图2，连结PD ，根据正方形的性质得CB=CD ，CA 平分△BCD ，根据角平分线的性质得△BCP=△DCP ，再根据“SAS”证明△CBP△△CDP ，则PB=PD ，△CBP=△CDP ，根据四边形内角和得到△PBC+△CEP=180°，再利用等角的补角相等得到△PBC=△PED ，则△PED=△PDE ，所以PD=PE ，于是得到PB=PD ；问题延伸：对于图3，过点P 作PM△BC ，PN△CD ，垂足分别为M ，N ，根据正方形的性质得△BCD=90°，AC 平分△BCD ，而PM△BC ，PN△CD ，得到四边PMCN 为矩形，PM=PN ，则△MPN=90°，利用等角的余角相等得到△BPM=△EPN ，然后根据“AAS”证明△PBM△△PEN ，所以PB=PE ．【详解】解决问题：如图1，△四边形ABCD 为正方形，△△BCD=90°，AC 平分△BCD ，△PM△BC ，PN△CD ，△四边PMCN 为矩形，PM=PN ，△△BPE=90°，△BCD=90°，△△PBC+△CEP=180°，而△CEP+△PEN=180°，△△PBM=△PEN ，在△PBM 和△PEN 中PMB PNE PBM PEN PM PN ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩△△PBM△△PEN （AAS ），△PB=PE ；如图2，连结PD ，△四边形ABCD 为正方形，△CB=CD ，CA 平分△BCD ，△△BCP=△DCP ，在△CBP 和△CDP 中CB CD BCP DCP CP CP =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩，△△CBP△△CDP （SAS ），△PB=PD ，△CBP=△CDP ，△△BPE=90°，△BCD=90°，△△PBC+△CEP=180°，而△CEP+△PEN=180°，△△PBC=△PED ，△△PED=△PDE ，△PD=PE ，△PB=PD ；问题延伸：如图3，PB=PE 还成立．理由如下：过点P 作PM△BC ，PN△CD ，垂足分别为M ，N ，△四边形ABCD 为正方形，△△BCD=90°，AC 平分△BCD ，△PM△BC ，PN△CD ，△四边PMCN 为矩形，PM=PN ，△△MPN=90°，△△BPE=90°，△BCD=90°，△△BPM+△MPE=90°，而△MEP+△EPN=90°，△△BPM=△EPN ，在△PBM 和△PEN 中PMB PNE BPM EPN PM PN ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩，△△PBM△△PEN （AAS ），△PB=PE ．17．提出问题：1290∠+∠=︒；探究问题：BD CE DE +=，理由见解析；解决问题：△EM FN AB +=，理由见解析；△492． 【分析】 提出问题：根据平角的定义、角的和差即可得；探究问题：先根据垂直的定义可得90ADB CEA ∠=∠=︒，再根据直角三角形的两锐角互余、角的和差可得2ABD ∠=∠，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得,BD AE AD CE ==，最后根据线段的和差即可得；解决问题：△如图（见解析），同探究问题的方法可得,EM AD FN BD ==，再根据线段的和差即可得；△如图（见解析），同探究问题的方法可得,ACD EAM BCD FBN ≅≅，再根据三角形全等的性质可得,ACD EAM BCD FBN S S S S ==，然后利用三角形的面积公式将五边形EMNFC 面积表示出来，由此即可得出答案．【详解】提出问题：12180,90BAC BAC ∠+∠+∠=︒∠=︒，2190∴∠+∠=︒，故答案为：1290∠+∠=︒；探究问题：BD CE DE +=，理由如下：,BD l CE l ⊥⊥，90ADB CEA ∴∠=∠=︒，190ABD ∴∠+∠=︒，由提出问题可知，1290∠+∠=︒，2ABD ∴∠=∠，在ABD △和CAE 中，2ADB CEA ABD AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABD CAE AAS ∴≅，,BD AE AD CE ∴==，DE AE AD BD CE ∴=+=+，即BD CE DE +=；解决问题：△EM FN AB +=，理由如下：同探究问题的方法可证：,EM AD FN BD ==，AB AD BD EM FN ∴=+=+，即EM FN AB +=；△如图，过点C 作CD l ⊥于点D ，同探究问题的方法可证：,ACD EAM BCD FBN ≅≅，,ACD EAM BCD FBN S S S S ∴==， ACE 和BCF △都是等腰直角三角形，且3,4AC BC ==，3,4AE AC BF BC ∴====， 191,8222ACE BCF S AC AE S BC BF ∴=⋅==⋅=， ∴五边形EMNFC 面积为EAM ACE ACD BCD BCF FBN SS S S S S +++++， 982ACD ACD BCD BCDS S S S =+++++， ()2522ACD BCD SS =++， 2522ABC S =+， 则当ABC 面积取得最大值时，五边形EMNFC 面积最大， 设ABC 的BC 边上的高为h ，则122ABC S BC h h =⋅=， 在ABC 中，CAB ∠、CBA ∠均为锐角，∴当90ACB ∠=︒时，h 取得最大值，最大值为3AC =，ABC ∴面积的最大值为236ABC S =⨯=，则五边形EMNFC 面积的最大值为25492622⨯+=， 故答案为：492．【点拨】本题考查了垂直的定义、三角形全等的判定定理与性质、等腰直角三角形的定义等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题关键．18．（1）见解析；（2）见解析；（3）不变，1．【分析】（1）根据题意直接证明即可；（2）作PM D A ⊥，PN BC ⊥，运用角平分线的判定定理证明；（3）通过“一线三垂直”模型，证得SDQ CTQ △△≌，进而结合边长数量关系求解．【详解】（1）90DPB APC ∠=∠=︒，DPA BAC ∴∠=∠，在PCB 与PAD △中，PD PB DPA BAC PC AP =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩()PCB PAD SAS ∴△≌△（2）如图，作PM D A ⊥，PN BC ⊥，则90PMA PNC ∠=∠=︒，由PCB PAD ≌，得PCN PAM ∠=∠，在PMA △与PNC △中，PMA PNC PCN PAM PA PC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()PMA PNC AAS ∴△△≌，PM PN ∴=，PE ∴平分CED ∠（3）如图，作DS CT 、分别垂直于y 轴，垂足为S T 、，90APO TPC ∠+∠=︒，90TPC TCP ∠+∠=︒，APO PCT ∴∠=∠（余角的性质）在APO △与PCT △中，POA CTP APO PCT PA PC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()APO PCT AAS ∴△△≌，1OA TP ∴==，PO CT =，同理可证：PBO DPS △△≌，3OB SP ∴==，4ST SP PT =+=，∴ PO SD =，CT SD =，在SDQ △与CTQ △中，CQT SQD CTQ DSQ CT SD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SDQ CTQ AAS ∴△△≌122SQ TQ ST ∴===， 1PQ QT PT ∴=-=．。

全等三角形专题培优考试总分： 110 分考试时间： 120 分钟卷I（选择题）一、选择题（共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）1.如图为个边长相等的正方形的组合图形，则A. B.C. D.2.下列定理中逆定理不存在的是（）A.角平分线上的点到这个角的两边距离相等B.在一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角也相等C.同位角相等，两直线平行D.全等三角形的对应角相等3.已知：如图，，，，则不正确的结论是（）A.与互为余角B.C.D.4.如图，是的中位线，延长至使，连接，则的值为（）A. B. C. D.5.如图，在平面直角坐标系中，在轴、轴的正半轴上分别截取、，使；再分别以点、为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点．若点的坐标为，则与的关系为（）A. B.C. D.6.如图，是等边三角形，，于点，于点，，则下列结论：①点在的角平分线上；②；③；④．正确的有（）A.个B.个C.个D.个7.如图，直线、、″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）A.一处B.二处C.三处D.四处8.如图，是的角平分线，则等于（）A. B.C. D.9.已知是的中线，且比的周长大，则与的差为（）A. B.C. D.10.若一个三角形的两条边与高重合，那么它的三个内角中（）A.都是锐角B.有一个是直角C.有一个是钝角D.不能确定卷II（非选择题）二、填空题（共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）11.问题情境：在中，，，点为边上一点（不与点，重合），交直线于点，连接，将线段绕点顺时针方向旋转得第1页，共7页第2页，共7页………外………○……………………○……………………○※※请※※不※※答※※题※………内………○……………………○……………………○到线段（旋转角为），连接．特例分析：如图．若，则图中与全等的一个三角形是________，的度数为________．类比探究：请从下列，两题中任选一题作答，我选择________题． ：如图，当时，求的度数； ：如图，当时，①猜想的度数与的关系，用含的式子表示猜想的结果，并证明猜想；②在图中将“点为边上的一点”改为“点在线段的延长线上”，其余条件不变，请直接写出的度数（用含的式子表示，不必证明）12.如图，正方形纸片的边长为，点、分别在边、上，将、分别沿、折叠，点、恰好都落在点处，已知，则的长为________．13.在中，为的平分线，于，于，面积是，，，则的长为________．14.在中，，的垂直平分线与所在的直线相交所得到锐角为，则等于________．15.如图，平分，于，于，，则图中有________对全等三角形．16.如图，在中，，点从点出发沿射线方向，在射线上运动．在点运动的过程中，连结，并以为边在射线上方，作等边，连结． 当________时，；请添加一个条件：________，使得为等边三角形； ①如图，当为等边三角形时，求证：；②如图，当点运动到线段之外时，其它条件不变，①中结论还成立吗？请说明理由．17.如图，从圆外一点引圆的两条切线，，切点分别为，．如果，，那么弦的长是________．18.如图，在中，，，是的平分线，平分交于，则________．19.阅读下面材料：小聪遇到这样一个有关角平分线的问题：如图，在中，，平分，， 求的长．小聪思考：因为平分，所以可在边上取点，使，连接．这样很容易得到，经过推理能使问题得到解决（如图）． 请回答：是________三角形．的长为________．参考小聪思考问题的方法，解决问题： 如图，已知中，，，平分，，．求的长．20.如图，在和中，，，若要用“斜边直角边．．”直接证明，则还需补充条件：________．三、解答题（共 7 小题 ，每小题 10 分 ，共 70 分 ）21.如图，已知为等边三角形，为延长线上的一点，平分，，求证：为等边三角形．22.尺规作图（不要求写作法，保留作图痕迹）如图，作①的平分线；②边上的中线；22.一块三角形形状的玻璃破裂成如图所示的三块，请你用尺规作图作一个三角形，使所得的三角形和原来的三角形全等．（不要求写作法，保留作图痕迹．不能在原图上作三角形）22.如图：在正方形网格中有一个，按要求进行下列画图（只能借助于网格）：①画出中边上的高（需写出结论）．②画出先将向右平移格，再向上平移格后的．23.平行四边形中，，点为边上一点，连结，点在边所在直线上，过点作交于点．如图，若为边中点，交延长线于点，，，，求；如图，若点在边上，为中点，且平分，求证：；如图，若点在延长线上，为中点，且，问中结论还成立吗？若不成立，那么线段、、满足怎样的数量关系，请直接写出结论．24.如图，直线与轴、轴分别交于、两点，直线与直线关于轴对称，已知直线的解析式为，求直线的解析式；过点在的外部作一条直线，过点作于，过点作于，请画出图形并求证：；沿轴向下平移，边交轴于点，过点的直线与边的延长线相交于点，与轴相交于点，且，在平移的过程中，①为定值；②为定值．在这两个结论中，有且只有一个是正确的，请找出正确的结论，并求出其值．25.如图：，，过点，于，于，．求证：．第3页，共7页第4页，共7页26.如图，点，在上，，，，与交于点．求证：；试判断的形状，并说明理由．27.如图，已知点是平分线上一点，，，垂足为、吗？为什么？是的垂直平分线吗？为什么？ 答案 1.B 2.D 3.D 4.A 5.B 6.D 7.D 8.A 9.B 10.B11.[ “”, “” ][ “” ] 12.[ “” ] 13.[ “” ] 14.[ “或” ]15.[ “” ] 16.[ “；” ][ "添加一个条件，可得为等边三角形； 故答案为：；①∵与是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴；②成立，理由如下； ∵与是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴．" ] 17.[ “” ] 18.[ “” ]19.[ "解：是等腰三角形， 在与中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，∴是等腰三角形；" ][ "的长为， ∵中，，， ∴， ∵平分， ∴，在边上取点，使，连接， 则，∴， ∴， ∴，在边上取点，使，连接， 则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，∴．" ]\"go题库\"20.[ “” ]21.证明：∵为等边三角形，∴，，即，∵平分，∴，在和中，，∴，∴，，又，∴，∴为等边三角形．22.解：如图所示：；如图所示：即为所求；；①如图所示：即为所求；②如图所示：即为所求；．．23.解：如图，在平行四边形中，，∴，∵在中，为的中点，，∴，又∵，∴，故可设，，则中，，解得，∴，又∵，，∴为的中点，∴；如图，延长交的延长线于点，则，∵，∴，又∵平分，∴，∴是等腰直角三角形，∴，又∵，∴，∴，，又∵为的中点，∴，∴，∴，∵，∴；第5页，共7页第6页，共7页…○…………装订…………○…※※请※※不※※内※※答※※题※※…○…………装订…………○…若点在延长线上，为中点，且，则中的结论不成立，正确结论为：． 证明：如图，延长交的延长线于点，则，∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，，又∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴．24.解：∵直线与轴、轴分别交于、两点， ∴，，∵直线与直线关于轴对称， ∴∴直线的解析式为：；如图．．∵直线与直线关于轴对称， ∴，∵与为象限平分线的平行线， ∴与为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴，，∴；①对，过点作轴于，直线与直线关于轴对称∵，， 又∵， ∴， 则， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴．25.证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中，∴．26.证明：∵，∴，即．又∵，，∴，∴．解：为等腰三角形理由如下：∵，∴，∴，∴为等腰三角形．27.解：．理由：∵是的平分线，且，，∴，∴；是的垂直平分线．理由：∵，在和中，，∴，∴，由，，可知点、都是线段的垂直平分线上的点，从而是线段的垂直平分线．第7页，共7页。

《全等三角形》培优专题训练1 全等三角形的概念两个能够完全重合的三角形叫做全等三角形.把两个全等三角形重合在一起，重合的角叫做对应角，重合的边叫做对应边.全等三角形的对应角相等，对应边相等. 经典例题如图所示，ABC DEF ∆≅∆，30A ∠=︒，50B ∠=︒，2BF =.求DFE ∠的度数与EC 的长.解题策略在ABC ∆中，+180A B ACB ∠∠+∠=︒ (三角形内角和为180°).因为30A ∠=︒，50B ∠=︒(已知)，所以1803050100ACB ∠=︒-︒-︒=︒ 因为ABC DEF ∆≅∆ (已知)，所以ACB DFE ∠=∠(全等三角形对应角相等) BC EF =(全等三角形对应边相等)， 因此100DFE ∠=︒，所以2EC EF FC BC FC BF =-=-== 画龙点睛1. 在解答与全等三角形有关的问题时，要充分利用全等三角形的定义所得到的对应边相等、对应角相等的结论.2. 在本题中求EC 的长时，不能直接求，可将之转化为两条线段的差，这也是将来求线段长的一种常用的转化方法.举一反三1. 如图，若ABC ADE ∆≅∆，则这对全等三角形的对应边是 ;对应角是 .2. 如图，若ABD ACD ∆≅∆，试说明AD 与BC 的位置关系.3. 如图所示，斜折一页书的一角，使点A 落在同一页书内'A 处，DE 为折痕，作DF平分'A DB ∠，试猜想FDE ∠等于多少度，并说明理由.融会贯通4. 如图，ABE ∆和ACD ∆是ABC ∆分别沿着AB 、AC 边翻折180°形成的，若θ∠的度数50°，则BAC ∠的度数是 .2 三角形全等的判定判断两个三角形全等，并非需要证明两个三角形的三条边以及三个角均对应相等，而只需满足全等三角形的判定定理就可以了. 经典例题已知:如图，AO 平分EAD ∠和EOD ∠，求证:(1)AOE AOD ∆≅∆;(2) BOE COD ∆≅∆.解题策略证明:(1)因为AO 平分EAD ∠和EOD ∠，所以OAD OAE ∠=∠，AOE AOD ∠=∠，又因为AO AO =，所以AOE AOD ∆≅∆ ( ASA).(2)由AOE AOD ∆≅∆，得OE OD =，且AEO ADO ∠=∠.又180BEO AEO ∠=︒-∠，180CDO ADO ∠=︒-∠，所以B E O C D O ∠=∠.在AOE ∆和AOD ∆中，因为B E O C D O ∠=∠，OE OD =，BOE COD ∠=∠，所以B O E C O D ∆≅∆(ASA). 画龙点睛1. 判定两个三角形全等，往往需要三个条件，根据题目已知的条件可以得到两个条件(要注意公共角及公共边)，这时.设法证明所缺的条件也成立就是证题的关键了. 2. 要证明两条线段或者两个角相等，常用的方法是证明它们是一对全等三角形的对应边或者对应角.举一反三1. 如图，已知AB AD =，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABC ADC ∆≅∆的是( ).(A) CB CD = (B)BAC DAC ∠=∠ (C)BCA DCA ∠=∠ (D)90B D ∠=∠=︒2. 如图所示，点D 、C 在BF 上，//AB EF ，A E ∠=∠，BC DF =.求证AB EF =.3. 如图，AB 交CD 于点O ，AD 、CB 的延长线相交于点E ，且OA OC =，EA EC =，你能证明A C ∠=∠吗?点O 在AEC ∠的平分线上吗?融会贯通4. 如图所示，已知BD 、CE 分别是ABC ∆的边AC 和AB 上的高，点P 在BD 的延长线上，BP AC =，点Q 在CE 上，CQ AB =.求证:(1)AP AQ =;(2)AP AQ ⊥.3 全等三角形的应用全等三角形的判定和性质被广泛地应用于几何证明题中。

课时练：第十二章《全等三角形》（培优篇）一．选择题1．已知△ACB≌△A'CB'，∠CBA＝30°，则∠CB'A'的度数为（）A．20°B．30°C．35°D．40°2．在下列条件中，能判断两个直角三角形全等的是（）A．一个锐角对应相等B．两锐角对应相等C．一条边对应相等D．一条斜边和另外一条直角边对应相等3．如图，点B、F、C、E在同一直线上，BF＝CE，AB∥DE，添加下列条件，其中不能判定△ABC≌△DEF的是（）A．∠A＝∠D B．AC＝DF C．AB＝DE D．∠ACB＝∠DFE 4．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AC＝9cm，F是高AD和BE的交点，则BF的长是（）A．4cm B．6cm C．8cm D．9cm5．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝32，DE＝4，AB ＝6，则AC的长是（）A．8 B．9 C．10 D．116．如图，已知△ABC≌△DEF，CD平分∠BCA，若∠A＝28°，∠CGF＝85°，则∠E的度数是（）A．38°B．36°C．34°D．32°7．如图，方格纸中△DEF的三个顶点分别在小正方形的顶点上，像这样的三个顶点都在格点上的三角形叫格点三角形，则图中与△DEF全等的格点三角形有（）个．A．9 B．10 C．11 D．128．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△ABO≌△ADO．下列结论错误的是（）A．CB＝CD B．DA＝DC C．AB＝AD D．△ABC≌△ADC 9．如图，在△ABC中，∠B＝90°，点O是∠CAB、∠ACB平分线的交点，且BC＝4cm，AC＝5cm，则点O到边AB的距离为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm10．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD 延长线上的点，∠EAF＝∠BAD，若DF＝1，BE＝5，则线段EF的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6二．填空题11．如图，已知点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，且∠B＝∠E．则添加条件，可得△ABC≌△DEF．12．如图，四边形ABCD中，AC＝BC＝BD，且AC⊥BD，若AB＝a，则△ABD的面积为．（用含a的式子表示）13．如图，在四边形ABCD中，AC是四边形的对角线，∠CAD＝30°，过点C作CE⊥AB 于点E，∠B＝2∠BAC，∠ADC﹣∠BAC＝90°，若AB＝20，CD＝16，则BE的长为．14．如图，在△ABC中，CD是它的角平分线，DE⊥AC于点E．若BC＝8cm，DE＝3cm，则△BCD的面积为cm2．15．如图，△ABC中，∠C＝60°，取BC上一点D，连接AD，使AD＝BD，延长CA至E，连接ED，且∠DAE＝2∠AED，若BC＝4AE，AC＝3，则BC的长度为．三．解答题16．已知，如图，A、D、C、B在同一条直线上AD＝BC，AE＝BF，CE＝DF，求证：（1）DF∥CE；（2）DE＝CF．17．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段CA上由点C向A点运动．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由．（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？18．如图，已知∠ABC＝90°，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），分别以AB、AP为边在∠ABC的内部作等边△ABE和△APQ，连接QE并延长交BP于点F．试说明：（1）△ABP≌△AEQ；（2）EF＝BF．19．在∠MAN内有一点D，过点D分别作DB⊥AM，DC⊥AN，垂足分别为B，C．且BD ＝CD，点E，F分别在边AM和AN上．（1）如图1，若∠BED＝∠CFD，请说明DE＝DF；（2）如图2，若∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，猜想EF，BE，CF具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由．20．已知：直线m∥n，点A，B分别是直线m，n上任意两点，在直线n上取一点C，使BC＝AB，连接AC，在直线AC上任取一点E，作∠BEF＝∠ABC，EF交直线m于点F．（1）如图1，若点E是线段AC上任意一点，EF交AB于H，求证：EF＝BE；（2）如图2，点E在线段AC的延长线上时，∠ABE与∠AFE互为补角，若∠ABC＝90°，请判断线段EF与BE的数量关系，并说明理由．参考答案一．选择题1．解：∵△ACB≌△A'CB'，∠CBA＝30°，∴∠CB'A'＝∠CBA＝30°．故选：B．2．解：A、一个锐角对应相等，不能判定两直角三角形全等，故此选项不符合题意；B、两锐角对应相等，不能判定两直角三角形全等，故此选项不符合题意；C、一条边对应相等，不能判定两直角三角形全等，故此选项不符合题意；D、一条斜边和另外一条直角边对应相等能判定两直角三角形全等，故此选项符合题意；故选：D．3．解：∵BF＝CE，∴BC＝EF，∵AB∥DE∴∠B＝∠E，当∠A＝∠D时，且BC＝EF，∠B＝∠E，由“AAS”可证△ABC≌△DEF，当AC＝DF时，不能判定△ABC≌△DEF，当AB＝DE时，且BC＝EF，∠B＝∠E，由“SAS”可证△ABC≌△DEF，当∠ACB＝∠DFE时，且BC＝EF，∠B＝∠E，由“ASA”可证△ABC≌△DEF，故选：B．4．解：如图所示：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADC＝∠ADB＝90°，∠BEA＝90°，又∵∠FBD+∠BDF+∠BFD＝180°，∠FAE+∠FEA+∠AFE＝180°，∠BFD＝∠AFE，∴∠FBD＝∠FAE，又∵∠ABC＝45°，∠ABD+∠BAD＝90°，∴∠BAD＝45°，∴BD＝AD，在△FBD和△CAD中，，∴△FBD≌△CAD（AAS），∴BF＝AC，又∵AC＝9cm，∴BF＝9cm．故选：D．5．解：作DF⊥AC于F，如图，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF＝4，∵S△ADB+S△ADC＝S△ABC，∴×6×4+×AC×4＝32，∴AC＝10．故选：C．6．解：∵CD平分∠BCA，∴∠ACD＝∠BCD＝∠BCA，∵△ABC≌△DEF，∴∠D＝∠A＝28°，∵∠CGF＝∠D+∠BCD，∴∠BCD＝∠CGF﹣∠D＝57°，∴∠BCA＝114°，∴∠B＝180°﹣28°﹣114°＝38°，∵△ABC≌△DEF，∴∠E＝∠B＝38°，故选：A．7．解：如图示2×3排列的每6个小正方形上都可找出4个全等的三角形，所以共有12个全等三角形，除去△DEF外有11个与△DEF全等的三角形：△DAF，△BGQ，△CGQ，△NFH，△AFH，△WBI，△QBI，△CKR，△KRW，△CGR，△KIW．故选：C．8．解：∵△ABO≌△ADO．∴AB＝AD，选项C正确，∠BAC＝∠DAC，在△ABC与△ADC中，∴△ABC≌△ADC（SAS），选项D正确∴CB＝CD，选项A正确；故选：B．9．解：∵点O为∠CAB与∠ACB的平分线的交点，∴点O在∠ACB的角平分线上，∴点O为△ABC的内心，过O作OP⊥AB，连接OB，S＝＝OP•（AB+BC+AC），△ABC又∵AC＝5，BC＝4，△ABC为直角三角形，∠B＝90°∴AB＝3，∴×3×4＝•OP（3+4+5），解得：OP＝1．故选：A．10．解：在BE上截取BG＝DF，∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°，∴∠B＝∠ADF，在△ADF与△ABG中，∴△ADF≌△ABG（SAS），∴AG＝AF，∠FAD＝∠GAB，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠FAE＝∠GAE，在△AEG与△AEF中，∴△AEG≌△AEF（SAS）∴EF＝EG＝BE﹣BG＝BE﹣DF＝4．故选：B．二．填空题（共5小题）11．解：添加条件：BC＝EF；理由如下：在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）；故答案为：BC＝EF（答案不唯一）12．解：过D作DE⊥AB交BA的延长线于E，过C作CF⊥AB交AB于F，∵AC⊥BD，CF⊥AB，∴∠ACF+∠FAC＝90°，∠ABD+∠BAC＝90°，∴∠ACF＝∠ABD∵AC＝BC，CF⊥AB，∴AF＝BF＝，∠ACF＝∠BCF∴∠ABD＝∠BCF，∵∠DEB＝∠AFC＝90°，∠ABD＝∠BCF，BC＝BD∴△BDE≌△CBF（AAS）∴BF＝ED＝，∴△ABD的面积＝×AB×DE＝a2，故答案为a2．13．解：在EA上截取EF＝EB，连接CF，作FM⊥AC于M，作CN⊥AD于N，如图所示：∵CE⊥AB，∴CB＝CF，∴∠CFB＝∠B＝2∠BAC，∵∠CFB＝∠FCA+∠BAC，∴∠FCA＝∠BAC，∴AF＝CF，∵FM⊥AC，∴CM＝AM＝AC，∵CN⊥AD，∠CAD＝30°，∴CN＝AC，∴AM＝CN，∵∠ADC﹣∠BAC＝90°，∴∠ADC＝90°+∠BAC，∵∠ADC＝∠N+∠DCN＝90°+∠DCN，∴∠BAC＝∠DCN，在△AFM和△CDN中，，∴△AFM≌△CDN（ASA），∴AF＝CD＝16，∴BF＝AB﹣AF＝20﹣16＝4，∴BE＝BF＝2；故答案为：2．14．解：作DF⊥BC于F，∵CD是它的角平分线，DE⊥AC，DF⊥BC，∴DF＝DE＝3，∴△BCD的面积＝×BC×DF＝12（cm2），故答案为：12．15．解：延长CE至H，使CH＝CB，连接BH，作DG∥CH交BH于G，延长AC至F，使AF＝AD，连接DF、EG，如图所示：则∠ADF＝∠AFD，∠EDG＝∠AED，∠DGB＝∠H，设∠AED＝x，∵∠DAE＝2∠AED＝2x，∴∠ADF＝∠AFD＝∠DAE＝x＝∠AED＝∠DEG，∴DE＝DF，∵∠ACB＝60°，AH＝CB，∴△BCH是等边三角形，∴CB＝BH，∠CBH＝∠H＝60°，∴∠DGB＝∠CBH＝60°，∴△BDG是等边三角形，∴BD＝GD＝BG＝AD＝AF，∴GH＝BG＝，在△ADF和△GED中，，∴△ADF≌△GED（SAS），∴AF＝AD＝GE＝DG，∠ADF＝∠GED＝x，∴∠AEG＝2x＝∠EAD，∴∠GEH＝∠DAC，在△HEG和△CAD中，，∴△HEG≌△CAD（AAS），∴EH＝AC＝3，∵BC＝CH＝3+AE+3，BC＝4AE，∴6+AE＝4AE，解得：AE＝2，∴BC＝8；故答案为：8．三．解答题（共5小题）16．证明：（1）∵AD＝BC，∴AC＝BD，又AE＝BF，CE＝DF，∴△ACE≌△BDF（SSS）∴∠FDC＝∠ECD，∴DF∥CE；（2）由（1）可得∠A＝∠B，AD＝BC，AE＝BF，∴△ADE≌△BCF（SAS），∴DE＝CF17．解：（1）经过1秒后，PB＝3cm，PC＝5cm，CQ＝3cm，∵△ABC中，AB＝AC，∴在△BPD和△CQP中，，∴△BPD≌△CQP（SAS）．（2）设点Q的运动速度为x（x≠3）cm/s，经过ts△BPD与△CQP全等；则可知PB＝3tcm，PC＝8﹣3tcm，CQ＝xtcm，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，根据全等三角形的判定定理SAS可知，有两种情况：①当BD＝PC，BP＝CQ时，②当BD＝CQ，BP＝PC时，两三角形全等；①当BD＝PC且BP＝CQ时，8﹣3t＝5且3t＝xt，解得x＝3，∵x≠3，∴舍去此情况；②BD＝CQ，BP＝PC时，5＝xt且3t＝8﹣3t，解得：x＝；故若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为cm/s时，能够使△BPD与△CQP全等．18．解：（1）∵△ABE和△APQ是等边三角形，∴AB＝AE，AP＝AQ，∠BAE＝∠PAQ＝∠ABE＝∠AEB＝60°，∴∠BAE﹣∠PAE＝∠PAQ﹣∠PAE，∴∠BAP＝∠EAQ．在△ABP和△AEQ中，，∴△QAE≌△PAB（SAS）；（2）∵△QAE≌△PAB∴∠ABP＝∠AEQ＝90°．∴∠AEF＝90°，∴∠ABP＝∠AEF∴∠ABP﹣∠AEB＝∠AEF﹣∠ABE，∴∠BEF＝∠EBF，∴BF＝EF．19．解：（1）∵DB⊥AM，DC⊥AN，∴∠DBE＝∠DCF＝90°，在△BDE和△CDF中，∵∴△BDE≌△CDF（AAS）．∴DE＝DF；（2）EF＝FC+BE，理由：过点D作∠CDG＝∠BDE，交AN于点G，在△BDE和△CDG中，，∴△BDE≌△CDG（ASA），∴DE＝DG，BE＝CG．∵∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，∴∠BDE+∠CDF＝60°．∴∠FDG＝∠CDG+∠CDF＝60°，∴∠EDF＝∠GDF．在△EDF和△GDF中，，∴△EDF≌△GDF（SAS）．∴EF＝GF，∴EF＝FC+CG＝FC+BE．20．（1）证明：如图1，在直线m上，取点M，使ME＝EA，∴∠EMA＝∠EAM，∵BC＝AB，∴∠CAB＝∠ACB，∵m∥n，∴∠MAC＝∠ACB，∠FAB＝∠ABC，∴∠MAC＝∠CAB，∴∠CAB＝∠EMA，∵∠BEF＝∠ABC，∴∠FAB＝∠BEF，∵∠AHF＝∠EHB∴∠AFE＝∠EBA，∴△AEB≌△MEF（AAS），∴EF＝EB；（2）解：EF＝BE．理由如下：如图2，在直线m上截取AN＝AB，连接NE，∵∠ABC＝90°，∴∠CAB＝∠ACB＝45°，∵m∥n，∴∠NAE＝∠ACB＝∠CAB＝45°，∠FAB＝90°，∵AE＝AE∴△NAE≌△ABE（SAS），∴EN＝EB，∠ANE＝∠ABE，∵∠ABE+∠EFA＝180°，∠ANE+∠ENF＝180°∴∠ENF＝∠EFA，∴EN＝EF，∴EF＝BE．。

三角形培优练习题1已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD2已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠23已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC4已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C5已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE6如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。

求证：BC=AB+DC 。

已知：AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠B=∠C78.P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB<AC-ABCDBA BC DEF 2 1ADBCA B CD ABACDF2 1 E9已知，E 是AB 中点，AF=BD ，BD=5，AC=7，求DC10．如图，已知AD ∥BC ，∠P AB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ．11如图，△ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线，且AB =AC +CD ，求证：∠C =2∠B12如图：AE 、BC 交于点M ，F点在AM 上，BE∥CF ，BE=CF 。

求证：AM 是△ABC 的中线。

13已知：如图，AB =AC ，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，BD 、CE 相交于点F 。

求证：BE =CD ．14在△ABC 中，︒=∠90ACB ，BC AC =，直线MN 经过点C ，且MN AD ⊥于D ，MN BE ⊥于E .(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证： ①ADC ∆≌CEB ∆；②BE AD DE +=；(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.15如图所示，已知AE ⊥AB ，AF ⊥AC ，AE=AB ，AF=AC 。

建议收藏下载本文，以便随时学习！如图，四边形ABCD中，AB∥DC，建议收藏下载本文，以便随时学习！全等三角形证明经典（答案）1. 延长AD到E,使DE=AD,则三角形ADC全等于三角形EBD即BE=AC=2 在三角形ABE中,AB-BE<AE<AB+BE即:10-2<2AD<10+2 4<AD<6又AD是整数,则AD=52证明：连接BF和EF。

因为BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF。

所以三角形BCF全等于三角形EDF(边角边)。

所以BF=EF,∠CBF=∠DEF。

连接BE。

在三角形BEF中,BF=EF。

所以∠EBF=∠BEF。

又因为∠ABC=∠AED。

所以∠ABE=∠AEB。

所以AB=AE。

在三角形ABF和三角形AEF中，AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF。

所以三角形ABF和三角形AEF全等。

所以∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。

3 证明：过E点，作EG//AC，交AD延长线于G则∠DEG=∠DCA，∠DGE=∠2又∵CD=DE∴⊿ADC≌⊿GDE（AAS）∴EG=AC∵EF//AB∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE∴EF=EG∴EF=AC4证明：在AC上截取AE=AB，连接ED∵AD平分∠BAC∴∠EAD=∠BAD又∵AE=AB，AD=AD∴⊿AED≌⊿ABD（SAS）∴∠AED=∠B，DE=DB∵AC=AB+BDAC=AE+CE∴CE=DE∴∠C=∠EDC∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C∴∠B=2∠C5证明：在AE上取F，使EF＝EB，连接CF因为CE⊥AB所以∠CEB＝∠CEF＝90°因为EB＝EF，CE＝CE，所以△CEB≌△CEF所以∠B＝∠CFE因为∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180°所以∠D＝∠CFA因为AC平分∠BAD所以∠DAC＝∠FAC又因为AC＝AC所以△ADC≌△AFC（SAS）所以AD＝AF所以AE＝AF＋FE＝AD＋BE6证明:在BC上截取BF=BA,连接EF.∠ABE=∠FBE,BE=BE,则⊿ABE≌ΔFBE(SAS),∠EFB=∠A;AB平行于CD,则:∠A+∠D=180°;又∠EFB+∠EFC=180°,则∠EFC=∠D;又∠FCE=∠DCE,CE=CE,故⊿FCE≌ΔDCE(AAS),FC=CD.所以,BC=BF+FC=AB+CD.7证明：设线段AB,CD所在的直线交于E，（当AD<BC时，E点是射线BA,CD的交点，当AD>BC时，E点是射线AB,DC的交点）。

全等三角形及其应用【知识精读】1. 全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点。

互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。

2. 全等三角形的表示方法：若△ABC和△A′B′C′是全等的三角形，记作“△ABC≌△A′B′C′其中，“≌”读作“全等于”。

记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

3. 全等三角形的的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；4. 寻找对应元素的方法（1）根据对应顶点找：如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。

通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。

（2）根据已知的对应元素寻找：全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。

通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的。

翻折如图（1），BOC≌EOD，BOC可以看成是由EOD沿直线AO翻折180得到的；旋转如图（2），COD≌BOA，COD可以看成是由BOA绕着点O旋转180得到的；平移如图（3），DEF≌ACB，DEF可以看成是由ACB沿CB方向平行移动而得到的。

5. 判定三角形全等的方法：（1）边角边公理、角边角公理、边边边公理、斜边直角边公理（2）推论：角角边定理6. 注意问题：（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等；（2）不能证明两个三角形全等的是，a: 三个角对应相等，即AAA；b :有两边和其中一角对应相等，即SSA。

全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具，同时也是移动图形位置的工具。

在平面几何知识应用中，若证明线段相等或角相等，或需要移动图形或移动图形元素的位置，常常需要借助全等三角形的知识。

全等三角形经典培优题型(含答案)1.已知三角形ABC中，AB=4，AC=2，D是BC的中点，AD是整数，求AD的长度。

解：由题意可得AD=AB-DB，又BD=DC=AC/2=1，故AB=AD+DB=AD+1，代入AB=4得AD=3.2.已知四边形BCDE中，BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD的中点，证明∠1=∠2.解：由于BC=DE，且∠B=∠E，所以△BCE≌△EDC，从而∠1=∠BCE=∠EDC=∠2.3.已知四边形ABCD中，∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，证明EF=AC。

解：由于EF//AB，所以△EFC∼△ABC，从而EF/AC=FC/BC，而CD=DE，所以FC=CD，代入得EF/AC=CD/BC，又由于∠1=∠2，所以△BCD∼△ECD，从而CD/BC=ED/AC，代入得EF/AC=ED/AC，即EF=AC。

4.已知三角形ABC中，AD平分∠BAC，AC=AB+BD，证明∠B=2∠C。

解：由于AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD，从而∠B=∠BAD+∠ABD=∠CAD+∠ACD，又由于AC=AB+BD，所以BD=AC-AB，代入得∠B=∠CAD+∠ACD=∠CAD+∠ABC，又由于∠CAD=∠CAB，所以∠B=∠CAB+∠ABC=2∠C。

5.已知三角形ABC中，AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，证明AE=AD+BE。

解：由于AC平分∠BAD，所以∠CAD=∠CAB，从而△ABE∼△DCE，所以AE/AD=BE/CD，又由于∠B+∠D=180°，所以CD=AB，代入得AE/AD=BE/AB，即AE=AD·(BE/AB)，又由于CE⊥AB，所以△CEB为直角三角形，从而BE/AB=CE/AC，代入得AE=AD·(CE/AC)，又由于AC平分∠BAD，所以△ACD∼△ABC，从而CE/AC=CD/AB，代入得AE=AD·(CD/AB)，又由于CD=AB-BD，所以AE=AD·((AB-BD)/AB)，即AE=AD+BE·(AB/AD-1)，又由于AB>AD，所以AB/AD-1<AB/AD，从而AE<AD+BE·(AB/AD)，即AE<AD+BE。

人教版八年级数学第12章全等三角形培优训练一、选择题1. 如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等，所需的条件是()A．AC＝A′C′，BC＝B′C′B．∠A＝∠A′，AB＝A′B′C．AC＝A′C′，AB＝A′B′D．∠B＝∠B′，BC＝B′C′2. 用直尺和圆规作一个角的平分线，示意图如图，则能说明OC是∠AOB的平分线的依据是()A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA3. 如图,利用尺规作∠AOB的平分线OC,其作法如下:(1)以点O为圆心,适当长为半径画弧,与OA,OB分别交于点D,E;(2)分别以点D,E为圆心,大于DE的长为半径画弧,两弧在∠AOB的内部交于点C;(3)画射线OC,则射线OC就是∠AOB的平分线.这样作图的原理是三角形全等的一种判定方法,这种判定方法是()A.SSSB.SASC.ASAD.AAS4. 如图，OC平分∠AOB，P是射线OC上的一点，PD⊥OB于点D，且PD＝3，动点Q在射线OA上运动，则线段PQ的长度不可能是()A．2 B．3 C．4 D．55. 如图所示，P是∠BAC内一点，且点P到AB，AC的距离PE，PF相等，则△PEA≌△PF A的依据是()A．HL B．ASA C．SSS D．SAS6. 根据下列条件，能画出唯一的△ABC的是()A．AB＝3，BC＝4，AC＝8 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°C．AB＝5，AC＝6，∠A＝50°D．∠A＝30°，∠B＝70°，∠C＝80°7. 如图，点A，E，B，F在同一直线上，在△ABC和△FED中，AC＝FD，BC ＝ED，当利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下面的4个条件中：①AE ＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE，可利用的是()A．①或②B．②或③C．①或③D．①或④8. (2019•陕西)如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD平分∠BAC交BC 于点D，DE⊥AB，垂足为E．若DE=1，则BC的长为A．2+2B．23+C．32+D．39. 如图，AB⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为B，E，∠1=∠2，AD=AB，则下列结论正确的是()A.∠1=∠EFDB.BE=ECC.BF=CDD.FD∥BC10. 如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1＋∠2＋∠3等于()A．90°B．120 C．135°D．150°二、填空题11. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD.请添加一个适当的条件：______________，使得△ABD≌△CDB.(只需写出一个)12. 已知△ABC≌△DEF，若△ABC的周长为16，AB＝6，AC＝7，则EF＝________．13. 将两块完全相同的三角尺在∠AOB的内部如图摆放，两块三角尺较短的直角边分别与∠AOB的两边重合，且含30°角的顶点恰好也重合于点C，则射线OC 即为∠AOB的平分线，理由是______________________．14. 如图，P A⊥ON于点A，PB⊥OM于点B，且P A＝PB.若∠MON＝50°，∠OPC ＝30°，则∠PCA的大小为________．15. 如图，△ABC的两条外角平分线BP，CP相交于点P，PE⊥AC交AC的延长线于点E.若△ABC的周长为11，PE=2，S△BPC =2，则S△ABC=.16. 如图，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，AX⊥AC，点P和点Q是线段AC与射线AX上的两个动点，且AB＝PQ，当AP＝________时，△ABC与△APQ全等．三、作图题17. 如图，试沿着虚线把图形分成两个全等图形.18. 如图，要在河流的右侧、公路的左侧M区处建一个工厂，位置选在到河流和公路的距离相等，并且到河流与公路交叉点A处的距离为1 cm(指图上距离)的地方，则图中工厂的位置应选在哪里？作出图形(保留作图痕迹，不写作法)，并说明理由．四、解答题19. 如图，∠B＝∠D，请添加一个条件(不得添加辅助线)，使得△ABC≌△ADC，并证明．20. 如图，已知△ACF≌△DBE，且点A，B，C，D在同一条直线上.若AD=16，BC=10，求AB的长.21. 已知：点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB＝OC.(1)如图①，若点O在边BC上，求证：AB＝AC;(2)如图②，若点O在△ABC的内部，求证：AB＝AC；(3)若点O在△ABC的外部，AB＝AC成立吗？请画图表示．图①图②22. 如图，已知AP∥BC，∠P AB的平分线与∠CBA的平分线相交于点E，过点E 的直线分别交AP，BC于点D，C.求证：AD＋BC＝AB.23. 如图，A，B两点分别在射线OM，ON上，点C在∠MON的内部且CA＝CB，CD⊥OM，CE⊥ON，垂足分别为D，E，且AD＝BE.(1)求证：OC平分∠MON；(2)如果AO＝10，BO＝4，求OD的长．人教版八年级数学第12章全等三角形培优训练-答案一、选择题1. 【答案】C2. 【答案】A3. 【答案】A4. 【答案】A[解析] 如图，过点P作PE⊥OA于点E.∵OC平分∠AOB，PD⊥OB，∴PE＝PD＝3.∵动点Q在射线OA上运动，∴PQ≥3.∴线段PQ的长度不可能是2.5. 【答案】A6. 【答案】C[解析] 对于选项A来说，AB＋BC<AC，不能画出△ABC；对于选项B来说，可画出△ABC为锐角三角形或者钝角三角形；对于选项C来说，已知两边及其夹角，△ABC是唯一的；对于选项D来说，△ABC的形状可确定，但大小不确定．7. 【答案】A[解析] 由题意可得，要用“SSS”判定△ABC和△FED全等，需要AB＝FE，若添加①AE＝FB，则可得AE＋BE＝FB＋BE，即AB＝FE，故①可以；若添加AB＝FE，则可直接用“SSS”证明两三角形全等，故②可以；而③④都不可以．8. 【答案】A【解析】如图，过点D作DF⊥AC于F，∵AD为∠BAC的平分线，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DF=DE=1，在Rt△BED中，∠B=30°，∴BD=2DE=2，在Rt△CDF中，∠C=45°，∴△CDF为等腰直角三角形，∴CF=DF=1，∴CD=22+=2，DF CF∴BC=BD+CD=22+，故选A．9. 【答案】D[解析] 在△AFD和△AFB中，∴△AFD≌△AFB.∴∠ADF=∠ABF.∵AB⊥BC，BE⊥AC，∴∠BEC=∠ABC=90°.∴∠ABF+∠EBC=90°，∠C+∠EBC=90°. ∴∠ADF=∠ABF=∠C. ∴FD ∥BC.10. 【答案】C[解析] 在图中容易发现全等三角形，将∠3转化为与其相等的对应角后可以看出∠3与∠1互余．故∠1＋∠3＝90°.易得∠2＝45°，故∠1＋∠2＋∠3＝135°.二、填空题11. 【答案】答案不唯一，如AB ＝CD [解析] 由已知AB ∥CD 可以得到一对角相等，还有BD ＝DB ，根据全等三角形的判定，可添加夹这个角的另一边相等，或添加另一个角相等均可．12. 【答案】3[解析] ∵△ABC 的周长为16，AB ＝6，AC ＝7，∴BC ＝3.∵△ABC ≌△DEF ，∴EF ＝BC ＝3.13. 【答案】角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上14. 【答案】55°[解析] ∵PA ⊥ON ，PB ⊥OM ，∴∠PAO ＝∠PBO ＝90°.在Rt △AOP 和Rt △BOP 中，⎩⎨⎧PA ＝PB ，OP ＝OP ，∴Rt △AOP ≌Rt △BOP(HL)． ∴∠AOP ＝∠BOP ＝12∠MON ＝25°.∴∠PCA ＝∠AOP ＋∠OPC ＝25°＋30°＝55°.15. 【答案】7[解析] 过点P 作PF ⊥BC 于点F ，PG ⊥AB 于点G ，连接AP .∵△ABC 的两条外角平分线BP ，CP 相交于点P ，∴PF=PG=PE=2.∵S △BPC =2，∴BC ·2=2，解得BC=2.∵△ABC 的周长为11，∴AC+AB=11-2=9.∴S △ABC =S △ACP +S △ABP -S △BPC =AC ·PE+AB ·PG-S △BPC =×9×2-2=7.16. 【答案】5或10 [解析] ∵AX ⊥AC ，∴∠PAQ ＝90°.∴∠C ＝∠PAQ ＝90°.分两种情况：①当AP ＝BC ＝5时， 在Rt △ABC 和Rt △QPA 中，⎩⎨⎧AB ＝QP ，BC ＝PA ，∴Rt △ABC ≌Rt △QPA(HL)； ②当AP ＝CA ＝10时，在Rt △ABC 和Rt △PQA 中，⎩⎨⎧AB ＝PQ ，AC ＝PA ，∴Rt △ABC ≌Rt △PQA(HL)．综上所述，当AP ＝5或10时，△ABC 与△APQ 全等．三、作图题17. 【答案】解:如图所示.18. 【答案】解：工厂的位置应选在∠A 的平分线上，且距A 点1 cm 处．理由：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．作图略．四、解答题19. 【答案】解：答案不唯一，如：添加∠BAC ＝∠DAC. 证明：在△ABC 和△ADC 中，⎩⎨⎧∠B ＝∠D ，∠BAC ＝∠DAC ，AC ＝AC ，∴△ABC ≌△ADC(AAS)．20. 【答案】解:∵△ACF ≌△DBE ，∴AC=DB.∴AC-BC=DB-BC ，即AB=CD. ∵AD=16，BC=10，∴AB=CD=(AD-BC)=3.21. 【答案】(1)证明：如图①，过点O分别作OE⊥AB，OF⊥AC，E、F分别是垂足，由题意知，OE＝OF，OB＝OC，解图①∴Rt△OEB≌Rt△OFC，∴∠B＝∠C，从而AB＝AC.(2)证明：如图②，过点O分别作OE⊥AB，OF⊥AC，E、F分别是垂足，由题意知，OE＝OF.在Rt△OEB和Rt△OFC中，∵OE＝OF，OB＝OC，解图②∴Rt△OEB≌Rt△OFC.∴∠OBE＝∠OCF，又由OB＝OC知∠OBC＝∠OCB，∴∠ABC＝∠ACB.∴AB＝AC.(3)解：不一定成立．(注：当∠A的平分线所在直线与边BC的垂直平分线重合时，有AB＝AC；否则，AB≠AC，如示例图③)解图③22. 【答案】证明：如图，在AB上截取AF＝AD，连接EF.∵AE 平分∠PAB ，∴∠DAE ＝∠FAE.在△DAE 和△FAE 中，⎩⎨⎧AD ＝AF ，∠DAE ＝∠FAE ，AE ＝AE ，∴△DAE ≌△FAE(SAS)．∴∠AFE ＝∠ADE.∵AD ∥BC ，∴∠ADE ＋∠C ＝180°.又∵∠AFE ＋∠EFB ＝180°，∴∠EFB ＝∠C.∵BE 平分∠ABC ，∴∠EBF ＝∠EBC.在△BEF 和△BEC 中，⎩⎨⎧∠EFB ＝∠C ，∠EBF ＝∠EBC ，BE ＝BE ， ∴△BEF ≌△BEC(AAS)．∴BF ＝BC.∴AD ＋BC ＝AF ＋BF ＝AB.23. 【答案】解：(1)证明：∵CD ⊥OM ，CE ⊥ON ， ∴∠CDA ＝∠CEB ＝90°.在Rt △ACD 与Rt △BCE 中，⎩⎨⎧CA ＝CB ，AD ＝BE ，∴Rt △ACD ≌Rt △BCE(HL)．∴CD ＝CE.又∵CD ⊥OM ，CE ⊥ON ，∴OC 平分∠MON.(2)在Rt △ODC 与Rt △OEC 中，⎩⎨⎧CD ＝CE ，OC ＝OC ，∴Rt △ODC ≌Rt △OEC.∴OD ＝OE.设BE ＝x.∵BO ＝4，∴OE ＝OD ＝4＋x.∵AD ＝BE ＝x ，∴AO ＝OD ＋AD ＝4＋2x ＝10.∴x ＝3.∴OD ＝4＋3＝7.。

课时练：第12章《全等三角形》（培优篇）一．选择题1．如果两个三角形全等，那么下列结论不正确的是（）A．这两个三角形的对应边相等B．这两个三角形都是锐角三角形C．这两个三角形的面积相等D．这两个三角形的周长相等2．如图，已知△ABE≌△ACD，∠1＝∠2，∠B＝∠C，不正确的等式是（）A．AB＝AC B．∠BAE＝∠CAD C．BE＝DC D．AD＝DE3．一块三角形玻璃样板不慎被小强同学碰破，成了四片完整四碎片（如图所示），聪明的小强经过仔细的考虑认为只要带其中的两块碎片去玻璃店就可以让师傅画一块与以前一样的玻璃样板．你认为下列四个答案中考虑最全面的是（）A．带其中的任意两块去都可以B．带1、2或2、3去就可以了C．带1、4或3、4去就可以了D．带1、4或2、4或3、4去均可4．如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，连接BF，CE、下列说法：①CE＝BF；②△ABD和△ACD面积相等；③BF∥CE；④△BDF≌△CDE．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（）A．线段CD的中点B．OA与OB的中垂线的交点C．OA与CD的中垂线的交点D．CD与∠AOB的平分线的交点6．已知△ABC≌△DEF，∠A＝80°，∠E＝50°，则∠F的度数为（）A．30°B．50°C．80°D．100°7．如图，已知AB＝CD，∠1＝∠2，AO＝3，则AC＝（）A．3 B．6 C．9 D．128．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，BC 恰好平分∠ABF，下列结论错误的是（）A．DE＝DF B．AC＝3BF C．BD＝DC D．AD⊥BC9．如图，∠A＝∠EGF，点F为BE、CG的中点，DB＝4，DE＝7，则EG长为（）A．1.5 B．2 C．3 D．5.510．如图，在△ABC中，AD是∠A的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，设PB＝m，PC＝n，AB＝c，AC＝b，则（m+n）与（b+c）的大小关系是（）A．m+n＞b+c B．m+n＜b+c C．m+n＝b+c D．无法确定二．填空题11．如图，B、C、E共线，AB⊥BE，DE⊥BE，AC⊥DC，AC＝DC，又AB＝2cm，DE＝1cm，则BE＝．12．如图，若△ABC≌△ADE，且∠B＝60°，∠C＝30°，则∠DAE＝．13．如图，AC＝AD，∠1＝∠2，只添加一个条件使△ABC≌△AED，你添加的条件是．14．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm．点P从A点出发沿A→C→B路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B→C→A路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以每秒1cm和3cm的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．设运动时间为t秒，则当t＝秒时，△PEC与△QFC全等．15．如图，△ABC的周长是12，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝3，则△ABC的面积是．＝36cm2，AB＝18cm，BC＝12cm，则DE 16．如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，S△ABC＝cm．17．如图所示的方格中，∠1+∠2+∠3＝度．三．解答题18．如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O．（1）求证：△AEC≌△BED；（2）若∠1＝48°，求∠BDE的度数．19．如图，在等腰三角形△ABC中，AC＝BC，D、E分别为AB、BC上一点，∠CDE＝∠A．（1）如图①，若BC＝BD，求证：CD＝DE；（2）如图②，过点C作CH⊥DE，垂足为H，若CD＝BD，EH＝，直接写出CE﹣BE的值为．20．（1）已知△ABC是等腰三角形，其底边是BC，点D在线段AB上，E是直线BC上一点，且∠DEC＝∠DCE，若∠A等于60°（如图①）．求证：EB＝AD；（2）若将（1）中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”，其他条件不变（如图②），（1）的结论是否成立，并说明理由．21．如图、在△ABC中，∠ABC＝60°，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于点D，延长DB点F，使BF＝BD，连接AF．（1）求证：AF＝CD；（2）若CE平分∠ACB交AB于点E，试猜想AC、AF、AE三条线段之间的数量关系，并证明你猜想的结论．22．如图1，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE 的延长线于F，且AF＝BD，连接BF．（1）求证：点D是线段BC的中点；（2）如图2，若AB＝AC＝13，AF＝BD＝5，求四边形AFBD的面积．23．已知∠MAN＝120°，AC平分∠MAN．（1）在图1中，若∠ABC＝∠ADC＝90°，求证：AB+AD＝AC；（2）在图2中，若∠ABC+∠ADC＝180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．参考答案一．选择题1．解：因为能够完全重合的两个三角形是全等三角形，所以：A、这两个三角形的对应边相等，正确；B、直角三角形，钝角三角形也能全等，所以全等三角形可以是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形，故本选项错误；C、能够完全重合，所以这两个三角形的面积相等，正确；D、能够完全重合，所以这两个三角形的周长相等，正确．故选：B．2．解：∵△ABE≌△ACD，∠1＝∠2，∠B＝∠C，∴AB＝AC，∠BAE＝∠CAD，BE＝DC，AD＝AE，故A、B、C正确；AD的对应边是AE而非DE，所以D错误．故选：D．3．解：带③、④可以用“角边角”确定三角形，带①、④可以用“角边角”确定三角形，带②④可以延长还原出原三角形，故选：D．4．解：∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，又∠CDE＝∠BDF，DE＝DF，∴△BDF≌△CDE，故④正确；由△BDF≌△CDE，可知CE＝BF，故①正确；∵AD是△ABC的中线，∴△ABD和△ACD等底等高，∴△ABD和△ACD面积相等，故②正确；由△BDF≌△CDE，可知∠FBD＝∠ECD∴BF∥CE，故③正确．故选：D．5．解：利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知CD与∠AOB的平分线的交于点P．故选：D．6．解：∵△ABC≌△DEF，∴∠D＝∠A＝80°∴∠F＝180﹣∠D﹣∠E＝50°故选：B．7．解：∵AB＝CD，∠1＝∠2，∠AOB＝∠COD，∴△AOB≌△COD（AAS）∴AO＝CO＝3，∴AC＝6故选：B．8．解：∵BF∥AC，∴∠C＝∠CBF，∵BC平分∠ABF，∴∠ABC＝∠CBF，∴∠C＝∠ABC，∴AB＝AC，∵AD是△ABC的角平分线，∴BD＝CD，AD⊥BC，故CD正确，在△CDE与△DBF中，，∴△CDE≌△DBF，∴DE＝DF，CE＝BF，故A正确；∵没有指明AE＝2BF，∴不能得出AC＝3BF，故B错误．故选：B．9．解：∵∠A＝∠EGF，∠AGD＝∠EGF，∴∠A＝∠AGD，∴AD＝DG，设AD＝x，则DG＝x，在△EGF和△BCF中，∵，∴△EGF≌△BCF（SAS），∴BC＝EG，∠E＝∠EBC，∴EG∥BC，∴∠AGD＝∠C＝∠A，∴BC＝AB＝x+4＝EG，∵DE＝7，∴x+x+4＝7，x＝，∴EG＝x+4＝＝5.5．故选：D．10．解：在BA的延长线上取点E，使AE＝AC，连接EP，∵AD是∠A的外角平分线，∴∠CAD＝∠EAD，在△ACP和△AEP中，，∴△ACP≌△AEP（SAS），∴PE＝PC，在△PBE中，PB+PE＞AB+AE，∵PB＝m，PC＝n，AB＝c，AC＝b，∴m+n＞b+c．故选：A．二．填空题（共7小题）11．解：∵AC⊥DC，∴∠ACB+∠ECD＝90°∵AB⊥BE，∴∠ACB+∠A＝90°，∴∠A＝∠ECD，在△ABC和△CED中，，∴△ABC≌△CED（AAS），∴AB＝CE＝2cm，BC＝DE＝1cm，∴BE＝BC+CE＝3cm．故答案为3cm．12．解：∵在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝30°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝90°，∵△ABC≌△ADE，∴∠DAE＝∠BAC＝90°，故答案为：90°．13．解：添加∠C＝∠D或∠B＝∠E或AB＝AE．（1）添加∠C＝∠D．∵∠1＝∠2，∴∠1+∠BAD＝∠2+∠BAD，∴∠CAB＝∠DAE，在△ABC与△AED中，，∴△ABC≌△AED（ASA）；（2）添加∠B＝∠E．∵∠1＝∠2，∴∠1+∠BAD＝∠2+∠BAD，∴∠CAB＝∠DAE，在△ABC与△AED中，，∴△ABC≌△AED（AAS）；（3）添加AB＝AE∵∠1＝∠2∴∠1+∠BAD＝∠2+∠BAD∴∠CAB＝∠DAE在△ABC与△AED中，，∴△ABC≌△AED（SAS）故填：∠C＝∠D或∠B＝∠E或AB＝AE．14．解：分为三种情况：①如图1，P在AC上，Q在BC上，∵PE⊥l，QF⊥l，∴∠PEC＝∠QFC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠EPC+∠PCE＝90°，∠PCE+∠QCF＝90°，∴∠EPC＝∠QCF，则△PCE≌△CQF，∴PC＝CQ，即6﹣t＝8﹣3t，t＝1；②如图2，P在BC上，Q在AC上，∵由①知：PC＝CQ，∴t﹣6＝3t﹣8，t＝1；t﹣6＜0，即此种情况不符合题意；③当P、Q都在AC上时，如图3，CP＝6﹣t＝3t﹣8，t＝；④当Q到A点停止，P在BC上时，AC＝PC，t﹣6＝6时，解得t＝12．P和Q都在BC上的情况不存在，∵P的速度是每秒1cm，Q的速度是每秒3cm；故答案为：1或或12．15．解：如图，过点O作OE⊥AB于E，作OF⊥AC于F，∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，∴OE＝OD＝OF＝3，∴△ABC的面积＝×12×3＝18．故答案为：18．16．解：过点D作DF⊥BC于点F，∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，∴DE＝DF，∵AB＝18cm，BC＝12cm，∴S△ABC ＝S△ABD+S△BCD＝AB•DE+BC•DF＝DE•（AB+BC）＝36cm2，∴DE＝2.4（cm）．故答案为：2.4．17．解：如图，根据网格结构可知，在△ABC与△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（SSS），∴∠1＝∠DAE，∴∠1+∠3＝∠DAE+∠3＝90°，又∵AD＝DF，AD⊥DF，∴△ADF是等腰直角三角形，∴∠2＝45°，∴∠1+∠2+∠3＝90°+45°＝135°．故答案为：135．三．解答题（共6小题）18．证明：（1）∵∠ADE＝∠1+∠C ∴∠2+∠BDE＝∠1+∠C，且∠1＝∠2，∴∠C＝∠BDE，且AE＝BE，∠A＝∠B，∴△AEC≌△BED（AAS）；（2）∵△AEC≌△BED，∴ED＝EC，∠BDE＝∠C，∴∠EDC＝∠C＝＝66°．19．（1）证明：∵AC＝BC，∠CDE＝∠A，∴∠A＝∠B＝∠CDE，∵∠CDB＝∠A+∠ACD＝∠CDE+∠BDE∴∠ACD＝∠BDE，又∵BC＝BD，∴BD＝AC，在△ADC和△BED中，，∴△ADC≌△BED（ASA），∴CD＝DE；（2）解：∵CD＝BD，∴∠B＝∠DCB，由（1）知：∠CDE＝∠B，∴∠DCB＝∠CDE，∴CE＝DE，如图②，在DE上取点F，使得FD＝BE，在△CDF和△DBE中，，∴△CDF≌△DBE（SAS），∴CF＝DE＝CE，又∵CH⊥EF，∴FH＝HE，∴CE﹣BE＝DE﹣DF＝EF＝2HE＝2×＝．20．证明：（1）作DF∥BC交AC于F，如图①所示：则∠ADF＝∠ABC，∠AFD＝∠ACB，∠FDC＝∠DCE，∵△ABC是等腰三角形，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠DBE＝120°，∠ADF＝∠AFD＝60°＝∠A，∴△ADF是等边三角形，∠DFC＝120°，∴AD＝DF，∵∠DEC＝∠DCE，∴∠FDC＝∠DEC，ED＝CD，在△DBE和△CFD中，，∴△DBE≌△CFD（AAS），∴EB＝DF，∴EB＝AD；（2）解：EB＝AD成立；理由如下：作DF∥BC交AC的延长线于F，如图②所示：同（1）得：AD＝DF，∠FDC＝∠ECD，∠FDC＝∠DEC，ED＝CD，又∵∠DBE＝∠DFC＝60°，∴在△DBE和△CFD中，，∴△DBE≌△CFD（AAS），∴EB＝DF，∴EB＝AD．21．（1）证明：如图1，取AC的中点G，连接DG，∴AC＝2AG＝2CG，∵AC＝2AB，∴AG＝AB＝CG，∵AD平分∠BAG，∴∠BAD＝∠GAD，在△ADB和△ADG中，∵，∴△ADB≌△ADG（SAS），∴BD＝DG，∠ABD＝∠AGD，∴∠DGC＝∠ABF，∵BD＝BF，∴BF＝DG，在△ABF和△CGD中，∵，∴△ABF≌△CGD（SAS），∴AF＝CD；（2）解：AC＝AE+AF，理由是：如图2，在AC上取一点H，使AH＝AE，连接OH，同理得△AOE≌△AOH（SAS），∴∠AOE＝∠AOH，∵∠ABO＝60°，∴∠BAC+∠ACB＝120°，∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，∴∠BAO＝∠OAC，∠ACE＝∠BCE，∴∠OAC+∠ACO＝∠AOE＝60°，∴∠AOH＝60°，∴∠COH＝∠COD＝60°，∵∠HCO＝∠DCO，OC＝OC，∴△HCO≌△DCO（ASA），∴CD＝CH，∴AC＝AH+CH＝AE+CD＝AE+AF．22．（1）证明：如图1，∵点E是AD的中点，∴AE＝DE，∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE．在△EAF和△EDC，∴△EAF≌△EDC，∴AF＝DC，∵AF＝BD，∴BD＝DC，即D是BC的中点；（2）解：如图2，∵AF∥BD，AF＝BD，∴四边形AFBD是平行四边形，∵AB＝AC，又由（1）可知D是BC的中点，∴AD⊥BC，在Rt△ABD中，AD＝＝12，∴矩形AFBD的面积＝BD•AD＝60．23．解：（1）在Rt△ACD中，∠DCA＝30°，Rt△ACB中，∠BCA＝30°∴AC＝2AD，AC＝2AB，∴2AD＝2AB∴AD＝AB∴AD+AB＝AC．（2）（1）中的结论AD+AB＝AC成立，理由如下：如图2，在AN上截取AE＝AC，连接CE，∵∠CAE＝60°，∴△ACE是等边三角形，∴∠DAC＝∠CEB＝60°，∵∠ADC+∠ABC＝180°，∠ABC+∠EBC＝180°，∴∠ADC＝∠EBC，∵在△ADC和△EBC中，，∴△ADC≌△EBC∴DA＝BE∵△CAE为等边三角形，∴AC＝AE，∴AD+AB＝AB+BE＝AE＝AC，∴AD+AB＝AC．。