2017年江苏省苏锡常镇四市高三一模数学试卷

2017年江苏省苏锡常镇四市高三一模数学试卷

一、填空题（共14小题；共70分） 1. 已知集合 U ={1,2,3,4,5,6,7}，M ={x∣ x 2−6x +5≤0,x ∈Z }，则 ∁U M = ______． 2. 若复数 z 满足 z +i =

2+i i

，其中 i 为虚数单位，则 ∣z∣= ______．

3. 函数 f (x )=1

ln (4x−3) 的定义域为______．

4. 下面是给出的一种算法，则该算法输出的结果是______． t←1 i←2

While i≤4 t←t×i i←i+1 End While

Print t

5. 某高级中学共有 900 名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取 1 个容量为 45 的样本，其

中高一年级抽 20 人，高三年级抽 10 人，则该校高二年级学生人数为______． 6. 已知正四棱锥的底面边长是 2，侧棱长是 √3，则该正四棱锥的体积为______． 7. 从集合 {1,2,3,4} 中任取两个不同的数，则这两个数的和为 3 的倍数的概率为______．

8. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y 2=8x 的焦点恰好是双曲线 x 2

a 2−

y 23

=1 的右焦点，则

双曲线的离心率为______．

9. 设等比数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ，若 S 3，S 9，S 6 成等差数列．且 a 2+a 5=4，则 a 8 的值为 ______．

10. 在平面直角坐标系 xOy 中，过点 M (1,0) 的直线 l 与圆 x 2+y 2=5 交于 A ，B 两点，其中 A 点

在第一象限，且 BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MA

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则直线 l 的方程为______． 11. 在 △ABC 中，已知 AB =1，AC =2，∠A =60∘，若点 P 满足 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且 BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CP

⃗⃗⃗⃗⃗ =1，则实数 λ 的值为______．

12. 已知 sinα=3sin (α+π

6)，则 tan (α+π

12)= ______．

13. 若函数 f (x )={1

2x

−1,x <1lnx

x 2

,

x ≥1

，则函数 y =∣f (x )∣−1

8

的零点个数为______．

14. 若正数 x ，y 满足 15x −y =22，则 x 3+y 3−x 2−y 2 的最小值为______．

二、解答题（共12小题；共156分）

15. 在 △ABC 中，a ，b ，c 分别为角 A ，B ，C 的对边．若 acosB =3，bcosA =1，且 A −B =π

6．

（1）求边 c 的长； （2）求角 B 的大小．

16. 如图，在斜三梭柱 ABC −A 1B 1C 1 中，侧面 AA 1C 1C 是菱形，AC 1 与 A 1C 交于点 O ，E 是棱 AB

上一点，且 OE ∥平面BCC 1B 1．

（1）求证：E 是 AB 中点；

（2）若 AC 1⊥A 1B ，求证：AC 1⊥BC ．

17. 某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门 BADC （如图），设计要求彩

门的面积为 S （单位：m 2），高为 ℎ（单位：m ）（S ，ℎ 为常数），彩门的下底 BC 固定在广场地面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为 α，不锈钢支架的长度和记为 l ．

（1）请将 l 表示成关于 α 的函数 l =f (α)； （2）问当 α 为何值时 l 最小?并求最小值．

18. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 x 2

a 2+y 2

b 2=1(a >b >0) 的焦距为 2，离心率为 √2

2，椭圆的

右顶点为 A ．

（1）求该椭圆的方程：

（2）过点 D(√2,−√2) 直线 PQ 交椭圆于两个不同点 P ，Q ，求证：直线 AP ，AQ 的斜率之和为

定值．

19. 已知函数 f (x )=(x +1)lnx −ax +a （a 为正实数，且为常数）．

（1）若 f (x ) 在 (0,+∞) 上单调递增，求 a 的取值范围； （2）若不等式 (x −1)f (x )≥0 恒成立，求 a 的取值范围．

20. 已知 n 为正整数，数列 {a n } 满足 a n >0，4(n +1)a n 2

−na n+12=0，设数列 {b n } 满足 b n =

a n

2t n

．

（1）求证：数列 {n

√

n } 为等比数列；

（2）若数列 {b n } 是等差数列，求实数 t 的值；

（3）若数列 {b n } 是等差数列，前 n 项和为 S n ，对任意的 n ∈N ∗，均存在 m ∈N ∗，使得 8a 12S n −a 14n 2

=16b m 成立，求满足条件的所有整数 a 1 的值．

21. 如图，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线

AD，AD分别与直线l，圆交于点D，E．求∠DAC的度数与线段AE的长．

22. 已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量e1⃗⃗⃗ =[1

1

]，并且矩阵M对应的变换将点(−1,2)变换成(−2,4)．

（1）求矩阵M；

（2）求矩阵M的另一个特征值．

23. 已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2，ρ2−2√2ρcos(θ−π

4

)=2．（1）把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程．

24. 已知a，b，c为正数，且a+b+c=3，求√3a+1+√3b+1+√3c+1的最大值．

25. 如图，已知正四棱锥P−ABCD中，PA=AB=2，点M，N分别在PA，BD上，且PM

PA =BN

BD

=

1

3

．

（1）求异面直线MN与PC所成角的大小；（2）求二面角N−PC−B的余弦值．

26. 设∣θ∣<π

2，n为正整数，数列{a n}的通项公式a n=sin nπ

2

tan nθ，其前n项和为S n．

（1）求证：当n为偶函数时，a n=0；当n为奇函数时，a n=(−1)n−12tan nθ；（2）求证：对任何正整数n，S2n=1

2

sin2θ⋅[1+(−1)n+1tan2nθ]．