离散数学ch7[2]二元关系

离散数学a上的二元关系

嘿，朋友！咱今天来聊聊离散数学里那个有点神秘又有趣的“二元关系”。

你说啥是二元关系？这就好比在一个大派对上，每个人和其他人之间的某种特定联系。比如说，是好朋友，或者是竞争对手，又或者是师徒关系。这在离散数学的世界里，就是二元关系啦！

咱先看看二元关系的定义。它就像是一条无形的线，把两个元素给串起来，形成一种特定的关联。这关联可能简单直接，也可能复杂得让你挠头。就像有的人际关系，一眼能看穿，有的却让你琢磨半天还搞不明白。

二元关系有很多种类，比如自反关系、对称关系、传递关系等等。这自反关系呢，就好像自己对自己的认可，比如说“我喜欢我自己”，这在二元关系里就是自反的。对称关系呢，就像你和朋友之间的互相喜欢，你喜欢他，他也喜欢你，这多美好！传递关系呢，就像是朋友的朋友也可能成为你的朋友，是不是有点意思？

再说说怎么表示二元关系。可以用集合的方式，把那些有关系的元素对给列出来。这就像是给派对上的关系网做个详细的记录，谁和谁有关系，一目了然。 研究二元关系有啥用？这用处可大啦！就好比你要规划一个物流网络，或者设计一个计算机程序，搞清楚这些关系能让你的工作更顺利。不然，就像在黑夜里走路，摸不着方向。

比如说，在安排货物运输的时候，不同地点之间的运输关系就是一种二元关系。搞清楚哪个地方能运到哪个地方，运多少，这可关系到成本和效率呢！又比如在编程里，判断两个数据之间的关系，能让程序更聪明，更能满足我们的需求。

想想看，如果不懂得二元关系，那不是像在大海里没有指南针，只能瞎转悠吗？所以说，学好离散数学里的二元关系，那就是给自己的知识宝库添了一把利器，遇到问题就能迎刃而解啦！

总之，离散数学中的二元关系虽然有点抽象，但只要咱用心去理解，多琢磨琢磨，就一定能掌握它的奥秘，为我们的学习和工作助力！

∴早

艹

弟

关一

系

4。1内

容提要

1.有

序对与笛卡儿积

由两

个元素

,比如说J和

y,按照一

定次序构成的二

元组

称为一

个有序对

,记作〈

J,y〉,其

中J是

它的第△

元素,y是它的第二

元素。

设

A、B为

集合

,以4中

元素作为第一

元素,B中

元素作为第二

元素

做有序对

,所有

这样的有序对构成的集合称为A与B的

笛卡儿积

,记作A×

B。符号化表示

为

A×召=巛

J,y)|J∈A∧

y∈B)

由彳

个元

素Jl,J2,…

,J″按照一

定的顺序排列构成有序汔

元组

,记作〈

Jl∶,而

/・。

,

1ˉ【

;刀〉

,

设Al,A2,・・・

,A″为集合

,称

A1×A2×…・

×

A″=巛

助,J2,¨・

,J″〉

|Jj∈Aj,j=1,2,…

,m)

为】

阶笛卡儿

积。

笛卡儿积的运

算性质

(1)当A或

者B为

空集时

,A×B也

是空集。

(2)笛

卡儿积运

算不

适合交换律

,即A×B≠B×A,除

非A=B,A=￠

或者B=￠

。

(3)笛

卡儿积运

算不适

合结合律

,即(A×

B)×C≠A×(B×

C),除非A=￠

,B=￠

或者C=￠

。 ・

°

(压)笛

卡儿积运

算对并和交运

算适合分配律

,即

A×(B∪C)=(A×

B)∪(A×

C)

(B∪

C)×A=(B×

A)∪(C×A)

A×(B∩C)=(A×

B)∩(A×C) '∷

(B∩

C)×A=(B×A)∩(C×A)

2.二

元关系

如果一

个集合中的元素都是有序对

或者这个集

合是空

集

,则称这个集合是一

个

=元

倒纬

|0{∶¨

|∫∫冫

lⅡI丿

、忽纫

叱肛圃

炫

。

关系

,简称关系。

关

系的名

字一

般使

用大写

的英文

字母

,通常

记作

R。如

果有

序对《、

F。v〉∈

R,可

以

简单记

作JRy,杏

则记为

J忄

y.

A×

‘

的

任

何子

集所定义

的二

元

关系叫

做从A到

B的

二

元

关

系,当A=BH寸

贝

刂叫

做

A上

的二

元关系。

A上

的特殊

关系

:

空

关系

￠。

全域

关系 E^=巛

R・,y)|、

z、∈A∧

y∈A}=A×

A。

恒

等关系 FA=巛

Π、

,r)|J∈

A)。

小于

等于

关系 LA=巛

J,y)|J,y∈A∧

△

≤y),这

里A匚R,R为

实数

集合。

整除

关系 D^=巛

J,y〉

|J,y∈A∧J整

1 / 5 20XX年复习资料

大

学

复

习

资

料

专 业：

班 级：

科目老师：

日 期：

2 / 5 §3.2 二元关系及其运算

习题3.2

1. 设}}{{，A，求)(APA。

解 略

2. 设CBA，，是任意集合，若CABA，是否一定有CB成立？为什么？

解 当A时，若CABA，CB不一定成立；

当A时，若CABA，则CB一定成立，反证如下：

若CB不成立，则存在CxBy；又因为A，所以存在Ax，这样，序偶CAyxBAyx,,，与CABA矛盾。

3. 设DCBA，，，是任意集合，下列等式中哪些成立？哪些不成立？对于成立的给出证明，对于不成立的举一反例。

（1）)()()()(DBCADCBA

（2）)()()()(DBCADCBA

（3）)()()()(DBCADCBA

解 （1）成立，证明如下：

DCyBAxDCBAyx)()(,DyCyBxAx)()(DyBxCyAx

DByxCAyx,,)()(,DBCAyx

（2）不成立，例如取}{aA，}{bB，}{cC，}{dD，则左边},{},{dcba},,,,,,,{dbcbdaca，右边},,,{dbca。

（3）不成立，例如取},{baA，}{bB，},{dcC，}{dD，则左边}{}{ca},{ca，右边},{},,,,,,,{dbdbcbdaca

},,,,,{cbdaca。

4. 列出集合}432{，，A上的恒等关系AI，全域关系AE，小于或等于关系AL，整除关系AD所包含的序偶。

离散数学问题

1.离散数学学的什么？

集合论、代数系统、图论、数理逻辑等。

2.什么是集合？

由离散个体构成的整体的称为集合，称这些个体为集合的元素。

集合元素的性质：无序性、相异性、确定性、任意性

3.什么是幂集？

集合的全体子集构成的集合叫做幂集。∣P(A)=2n∣|P(A)=2^n|∣P(A)=2n∣

4.什么是笛卡尔乘积？

5.二元关系的定义

如果一个集合满足下列条件之一：

集合非空，且它的元素都是有序偶；

集合是空集；

则称该集合为一个二元关系，简称为关系，记作RRR.

6.等价关系和等价类的定义

等价关系：设RRR为非空集合AAA上的一个关系，如果RRR是自反的、对称的和传递的，则称RRR为AAA上的等价关系。

等价类：设RRR是集合AAA上的等价关系，与AAA中的一个元素aaa有关系的所有元素的集合叫做aaa的等价类。 7.偏序关系的定义

设 R R R 为非空集合 A A A 上的一个关系，如果 R R R 是自反的、反对称的和可传递的，则称 R R R 是集合 A A A 上的偏序关系，简称偏序，记作 “ ⩽ \leqslant ⩽”.

偏序关系 ⩽ \leqslant ⩽——自反性、反对称性、传递性

逆序关系<<<——反自反、反对称性、传递性

逆序关系的自反闭包是偏序关系。

8.空关系

空关系是一种特殊关系，指关系集 A × B A×B A×B 中的子集 ϕ

\phi ϕ。非空集合中的空关系是反自反的、对称的、反对称的和传递的，但不是自反的；空集合中的空关系则是自反的、反自反的、对称的、反对称的和传递的。

9.怎么判断两个无穷集合的大小？

对无限集，通过建立一一对应的方法可以比较它们元素个数的大小（在集合论中称为势），以整数集ZZZ和偶数集AAA为例，如果将ZZZ中的每一个元素都乘以222，则都可以在AAA中找到对应的偶数元素，即ZZZ和AAA中的元素是一一对应的，也就是说这两个集合是等势的。值得注意的是，偶数集合是整数集合的一部分，但它包含的元素个数却跟整数集合一样多。