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离散数学课件 第四章 二元关系习题

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《离散数学》课件-第4章二元关系

《离散数学》课件-第4章二元关系

例1 设A＝{a,b,c,d}，R＝ {<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>}，求Rn。(用关系矩阵 求)。 解：
由于M4=M2，故R的所有自然数次幂的集合为： Rn{R0，R1，R2，R3}。
例2 设A＝{a,b,c,d,e,f},定义在A上的关系 R＝{<a,a>,<a,b>,<b,c>,<c,d>,<d,e>,<e,f>}， S＝{<a,b>,<b,c>,<c,d>,<d,e>,<e,f>},求Rn和Sn。
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(3)合成关系的性质 ① 合成运算对∪,∩的分配律 定理 设R是从集合A到B的关系，S和T均为B到C 的关系。U是C到D的关系，则有
(1). R•(S∪T)=R • S∪R • T； (2). R•(S∩T) R • S∩R • T； (3). (S∪T) • U=S • U∪T • U； (4). (S∩T) • U S • U∩T • U；
＝R5，R7＝R6•R＝R5，…，Rn＝R5 (n＞5) 故Rn{R0,R1,R2,R3,R4,R5}。
S0=IA,S1＝S,
S2＝S•S＝{<a,c>,<b,d>,<c,e>,<d,f>}， S3＝S•S•S＝S2•S＝{<a,d>,<b,e>,<c,f>}， S4＝S3•S＝{<a,e>,<b,f>}， S5＝S4•S＝{<a,f>}， S6＝S5•S＝Φ， S7＝Φ， …， 故，Sn{S0,S1,S2,S3,S4,S5,S6}

4-6 二元关系与函数 离散数学 教学课件

4-6 二元关系与函数 离散数学 教学课件
问如何安排任务的加工次序，使截止时间D最 小？——最优调度问题
单机调度----拓扑排序
拓扑排序
构造一个包含某个给定部分序的全序的过程 。
拓扑排序算法----
1
对有限集T上给定的部分序R，产生一个全序S
Step1: (初始化)
2
3
令 k=1， T‘=T
Step2: (取下一个元素)
While T’ ≠
机器j的停止时间 Dj=max {sj(tk) | tk ∈Tj} + L(tk)
所有任务的截止时间
D=max{ Dj | j=1,2,…,m}
R={<ti,tj>|t1, tj∈T,i=j 或ti完成后tj才可开始加工} 一个可行调度是T的划分{T1,T2,…Tm},
Ti≠,由安排在机器cj上加工的所有任务组成，
多机调度
对任务集Tj,j=1,2,…,m,存在调度函数 sj: TjN，且满足下 述条件 (1)i, 0≤i<D, |{tk |tk∈T, sj(tk) ≤ i < sj(tk)+L(tk)}| ≤ 1 j=1,2,…,m 表示D之前的每个时刻 i，每台机器cj上至多只有一个任 务正在加工 (2) tk∈Ti, tj∈Tj, <tj, tj>∈R si(tk)+L(tk)≤sj(tL) i, j=1,2,…,m, i ≠ j 表示若任务tk与tj有偏序约束，则tk完成后tj才能开始加工
第4章 二元关系与函数
4.1 集合的笛卡儿积与二元关系 4.2 关系的运算 4.3 关系的性质 4.4 关系的闭包 4.5 等价关系和偏序关系 4.6 函数的定义和性质 4.7 函数的复合和反函数
集合论在计算机科学中的应用

4-5 二元关系与函数 离散数学 教学课件

4-5 二元关系与函数 离散数学 教学课件
f ：R→Z, f (x)= x 满射, 但不单射, 例如 f (1.5)=f (1.2)=1.
f ：R→R, f (x)=2x+1 满射、单射、双射, 因为它是单调并且ranf =R.
f ：R+→R +, f (x)=x /(x2+1) 有极大值f (1)=1/2. 该函数既不单射也不满射.
当A1=A时，称f (A1)=f (A)=ran f 是函数的像。
注意：函数值 f(x)∈B, 而像 f [A1]B. 例：设f：{1,2,3}→{a,b}，
f={1,a,2,a,3,b}，A1={1,2}， 试求A1在f 下的像f (A1)和函数f 的像f (A)。 解：
f (A1)={f (x) |xA1} ={f (1), f (2)}
f (A)={f (x) |xA}
={f (1), f (2), f (3)}
={a}
={a,b}
函数的性质——满射
定义 设 f ：X→Y, （1）若ranf = Y, 则称 f ：X→Y是满射的.
X
Y
x1
y1
x2
x3
y2
满射(到上映射)
X
Y
x1
y1
x2
y2
x3
y3
到内法：直线方程
解1： 令 f：[0,1]→[1/4,1/2]
f (x)=-x/4+1/4
解2： 令 f ：[1, 0]→[1/4,1/2]
f (x)=-x/4+1/2=-(x-2)/4
构造从A到B的双射函数（续）
三、A 与自然数集合之间构造双射
方法：将A中元素排成有序图形，然后从第一个元素开始 按照次序与自然数对应
f(x)

离散数学第4章-二元关系

离散数学第4章-二元关系
第二十二页，共45页。
• 例4.29
• 例4.30
4.7 次序关系
第二十三页，共45页。
4.7 次序关系
• 二 拟序关系
• 定义4.21（拟序关系） A上的二元关系 R是反自反的和传递的，称R为A上的拟序
关系。称(A, R)为拟序集，或记为(A, <)。（不意味着小于）
• 定理4.22
A上的二元关系 R是拟序的，则R必为反对称的。
4.1 二元关系
• 一 定义4.1（二元关系）
设A和B是任意两个集合，AB的子集R称为从A到B的
二元关系。当A=B时，称R为A上的二元关系。若(a, b)R，则 称a与b有关系R，记为aRb。
(a, b)R：a与b没有关系R R=：空关系 R=AB：全关系
第一页，共45页。
4.1 二元关系
• 二 定义4.2（定义域，值域）
第五页，共45页。
4.2 关系的性质
• 三 关系图
设A={a1, ……, an}，R是A上的二元关系。A中每个元素 ai用一个点表示，称该点为顶点ai 。
如果ai R aj，则从顶点ai到顶点aj存在一条弧。 如果ai R ai，则从顶点ai到顶点ai存在一条封闭弧。 这样表示R中关系的图形，称为R的关系图。
个元素a, bA，必有a b或b a，则称 是A上的全序关系
（或线性次序关系）。
• 定义4.23（全序集） 若集合A具有全序关系 或R），则称A为全序集或线
性次序集，记为(A, )或(A, R) 。
第二十六页，共45页。
4.7 次序关系
• 四 最大元、最小元、极大元、极小元
• 定义4.22（最大元、最小元、极大元、极小元）
第二十七页，共45页。

离散数学课件第四章 关系

离散数学课件第四章 关系
Discrete Mathematics
关系的性质
例 2 (1) A上的全域关系EA,恒等关系IA及空关系都是A 上的对称关系;IA和 同时也是A上的反对称关系. (2)设A={1,2,3},则 R1={<1,1>,<2,2>}既是A上的对称关系,也是A上 的反对称关系; R2= {<1,1>,<1,2>,<2,1>}是对称的,但不是反对 称的; R3 ={<1,2>,<1,3>}是反对称的,但不是对称的; R4= {<1,2>,<2,1>,<1,3>}既不是对称的也不是 反对称的.
❖ 二、关系的表达方式 1. 集合表达式：列出关系中的所有有序对。 例 1 设A={1,2,3,4},试列出下列关系R的元素。 (1) R={<x,y> | x是y的倍数} (2) R={<x,y> | (x-y)2 A } (3) R={<x,y> | x/y是素数}
Discrete Mathematics
关系
第四章 二元关系
第一节 有序对与笛卡尔积
❖ 定义 1 由两个元素x和y（允许x＝y）按顺序排列成 的二元组叫做一个有序对，记为<x, y>。
❖ 有序对的性质： 1.当 x ≠ y时，<x, y> ≠ <y, x>。 2.<x, y>＝<u, v>的充分必要条件是 x=u且y=v。
Discrete Mathematics
笛卡尔积
❖ 定义 2 设A, B是集合。由A中元素作为第一元素，B 中元素作为第二元素组成的所有有序对的集合，称 为集合A与B的笛卡尔积（或直积），记为A×B。 即 A×B={<x,y>|x A y B}

离散数学第四章-二元关系和函数

离散数学第四章-二元关系和函数
注意：(1) 若 A 是 m元集，B是 n 元集， 则 A B为 mn 元集。
(2) 笛卡儿积是集合，有关集合的运算都适合。
(3) 一般，A B B A 。
5
3、笛卡儿积运算对 或 满足分配律
(1) A(B C) (A B) (AC) (2) (B C) A (B A) (C A) (3) A(B C) (A B) (AC) (4) (B C) A (B A) (C A)
解： (A) ,{a},{b}, A ，
R , , ,{a} , ,{b} ,
, A , {a},{a} , {a}, A ,
{b},{b} , {b}, A , A, A
14
4、A 上二元关系的表示法。
集合表示法 有三种 矩阵表示法
图形表示法
15
一般：设 A {x1, x2, , xn}
1、定义：
(1) 若集合R为空集或它的元素都是有序对， 则称 R 为二元关系。 若 x, y R ，则记作 xRy ，
否则，记作 xRy 。 (2) A B的任何一个子集都称作从A到B的一个二元关系。
特别地，当 A B 时，称作 A上的二元关系。
例、 A {a,b} ，B {0,1, 2}
设 R1 a, 0 , b, 0 , b, 2 R2 R3 A B
传递的。
26
例6、判断下图中的关系分别具有哪些性质。
解：R5 既不是自反也不是反自反的，
反对称的，传递的。
27
例6、判断下图中的关系分别具有哪些性质。
解：R6 是反自反的，既不是对称
又不是反对称，不是传递的。
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例7：设 R1, R2 为 A上的对称关系， 证明R1 R2 也是 A上的对称关系。 证明：对任意 x, y

离散数学课件第四章(第1讲)

离散数学课件第四章(第1讲)

例：设A={ 1 }，B={1，2}，C={2，3},则 A（B ∪ C）= { 1 }{1，2，3} = {〈1,1〉,〈1,2〉,〈1,3〉}
（AB）∪（AC）= { 1 }{1，2} ∪ { 1 }{2，3} = {〈1,1〉,〈1,2〉,〈1,3〉}
例：设A={ 1 }，B={1，2}，C={2，3},则： A（B ∩ C）= { 1 }{2} = {〈1,2〉}
例：设A={a，b，c}， B={1，3，4}， R1 是A—>B上的 二元关系，给出R1的关系矩阵.
R1={<a,1> <a,4> <b,1> <b,3> <c,3> <c,4>}
1
MR1 = b
1
1
0
c
0
1
1
例：设X={a，b，c}， Y={1，2}， R2 是X—>Y上 的二元关系， 给出R2的关系矩阵.
向y。反之不画任何联线。
例：设X={1，2，3，4}， R1 是X 上的二元关系， 给出R1的关系图。
R1={<4,1> <4,2> <4,3> <3,1> <3,2> <2,1>}
３. 关系的前域和值域
《定义》设R是一个二元关系，由<x,y> R的所有序偶的 第一元素x组成的集合dom R称R的前域,即
证明:A(B ∩ C)=(AB) ∩ (AC) 证明：设<x,y>是A（B ∩ C）中的任一元素，则： <x,y> A（B ∩ C）
<x,y> {<x,y> |xA yB ∩ C} <x,y> {<x,y>|xA yB yC} <x,y> {<x,y>|(xA yB) (xA yC)} <x,y> (AB) ∩ (AC) 即 A(B ∩ C) = (AB) ∩ (AC)

离散数学第4章 集合与关系-二元关系 -4.1-4.2

离散数学第4章 集合与关系-二元关系 -4.1-4.2

证明：x,w(R∘S)∘T(z)(x,zR∘S∧z,wT)
(z)((y)(x,yR∧y,zS)∧z,wT)
(z)(y)((x,yR∧y,zS)∧z,wT)
(y)(z)(x,yR∧(y,zS∧z,wT))
(y)(x,yR∧(z)(y,zS∧z,wT))
(y)(x,yR∧y,wS∘T)x,wR∘(S∘T)
【例4.7】X=1,2,3,4,5，X上的二元关系R和S定义如下：
R=1,2,3,4,2,2
S=4,2,2,5,3,1,1,3
试求R∘S，S∘R，R∘(S∘R)，(R∘S)∘R，R∘R，S∘S，R∘R∘R
解：R∘S=1,5,3,2,2,5， S∘R=4,2,3,2,1,4
(R∘S)∘R=3,2，
R∘(S∘R)=3,2
都是用列举法表示的。 2.用描述法表示二元关系 设R是实数集，LR= x,y | xR∧yR∧x≤y， LR是
实数集R上的小于等于关系，是一个二元关系。
3.用矩阵表示二元关系 如果A，B是有限集，
A=a1, a2,„, am， B=b1, b2,„, bn，
R是A到B的二元关系，R的关系矩阵定义为： MR= rij mn
第4章 二元关系
4.2.2二元关系的复合运算（也叫合成运算）
定义4.2.2 （R与S的复合） 设X，Y，Z是集合，RX×Y，
SY×Z，则R与S的复合为：
R∘S = |<x, z> | y (<x,y>R<y,z>S) }
= x, zxX∧zZ∧(y)(yY∧x, yR∧y, zS)
[注]: R∘S 是从X到Z的二元关系，即R∘S X ×Z 。
<{a},{a,b}>,<{b},{b}>,<{b},{a,b}>,<{a,b},{a,b}>} 类似的还可以定义A上的大于等于关系, 小于关系, 大于关 系, 真包含关系等等.

离散数学第四章课件

离散数学第四章课件

无对称的偶对。
表示关系矩阵的主对角线两侧各有一个1且 对称，即有一个对称的偶对。
C1
n(n＋1) 2
n(n＋1) C 2 n(n＋1) 2
表示关系矩阵的主对角线两侧全为1，
C1 ＋ n(n＋ ＋…＋ 2
n(n＋1) C 2 n(n＋1) 2
于是
C0 n(n＋1) 2 ＝
2
n(n＋1) 2
四、反对称性 ⒈ 定义： 若xy(x∈A∧y∈A∧xRy∧yRx→x=y)， 称R是反对称的。 例：设A={ a , b , c , d } R={ < a , b > , < a , c > , < b , b > , <b,d>,<c,c>,<c,d>, < d , d >}
⒉自反关系的关系矩阵的特征
R的关系矩阵的主对角线上的元素均为
1 ，则该关系就不具有自反性；
主对角线上有一个元素不为1，则该关
系就不具有自反性。
⒊ 自反关系的图的特征 自反关系的关系图中，每个顶点都有 自回路，则该关系具有自反性。
二、反自反性 ⒈ 定义：若x（x∈A xRx）则该关系是 反自反的。 ⒉ 具有反自反性的关系的关系矩阵的主对角
2 t1× t2 × … ×tn
五、关系的表示法-----通常有三种表示方法
⒈ 集合表示法： 因为关系也是集合，所以也可以用集合 的表示方法
例：A={ 2, 3,4,6 ,9,12 }上的整除关系
用特征描述法表示为
R＝{ < x , y > | x∈A ∧ y∈A ∧ x|y }
用穷举法表示为
R={ < 2 , 2 > , < 2 , 4 > , < 2 , 6 > ,

离散数学(第二版)第4章二元关系和函数

离散数学(第二版)第4章二元关系和函数

第四章 二元关系和函数
定义4.2.3 设R是A到B的二元关系。 (1) 用xRy表示 <x，y>∈R，意为x，y有R关系(为使可读 性好，我们将分场合使用这两种表达方式中的某一种)。 xy 表示<x，y> R。 (2) 由<x,y>∈R的所有x组成的集合称为关系R的定义域 (domain),记作Dom R，即
显然A×B与 B×A所含元素的个数相同(A，B是有限集 合)，但A×B≠B×A。
定理4.1.1 若A，B是有穷集合，则有 |A×B|=|A|·|B|(·为数乘运算)
该定理由排列组合的知识不难证明。 定理4.1.2 对任意有限集合A1，A2，…，An，有 |A1×A2×…×An|＝|A1|·|A2|·… ·|An|(·为数乘运算)
第四章 二元关系和函数
本节主要介绍关系的基本概念以及关系的表示方法。 定义4.2.1 任何序偶的集合，确定了一个二元关系，并 称该集合为一个二元关系，记作R 。 二元关系也简称关系。 对于二元关系R，如果<x，y>∈R，也可记作xRy。 定义并不要求R中的元素<x，y> 中的x，y取自哪个个体 域。 因此，R={<2，a>，<u，狗>，<钱币，思想>}也是一 个二元关系。
若R={<x，y>|x∈A∧y∈B∧ x|y }，则称R为整除关系， 常记为|，其中x|y表示x整除y。
若A是任意集合，R是A上的二元关系，下面的关系也常 见：
若R={<x，y>|x∈P(A)∧y∈P(A)∧x y}，则称R为包含
若R={<x，y>|x∈P(A)∧y∈P(A)∧x y}，则称R为真包
第四章 二元关系和函数

离散数学二元关系习题讲解

离散数学二元关系习题讲解

极 大 元
极 小 元
作业
2.设集合X={x1,x2,x3,x4,x5}上的偏序关系如下图所示 最 最 极 极 上 下 ，求X的最大元、最小元、极大元、极小元。求子 集 上 下 大 小 大 小 确 确 集X1={x2,x3,x4}，X合 ={x ,x ,x } ， X ={x ,x ,x } 的上 界 界 2 3 4 5 3 1 3 5 元 元 元 元 界 界 界、下界、上确界、下确界、最大元、最小元、极 大元和极小元。 X1 无 x4 x2， x4 x1 x x1 x4
3
偏序关系
1.设集合A={a,b,c,d,e,f,g,h}，对应的哈斯图见下图令 B1={a,b}，B2={c,d,e}。求出B1，B2的最大元、最小 元、极大元、极小元、上界、下界、上确界、下确 界。 h
f d
c a
4
g e
集 合 B1
最 大 元 无
最 小 元 无
b
B2
无
c
上 下 下 上界 确 确 界 界 界 c,d,e,f a,b a,b ,g,h 无 c 无 a, b, h c d,e c h c
x1
x3 x3 x1 x1
4ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
X2
x2 x3
x3 x1 x1
无 x5 无
X3
x5 X
x4， x3， 无 x3 x5 x1 x x5 x1 x1
5
无 x5
x4
5
x4， x5
二元关系
二元关系基本概念(重点) 关系的运算 关系的性质(重点) 关系的闭包运算 等价关系与偏序关系(难点)
关系的性质
例5 判断下述关系所具备的性质。
(1)集合A上的恒等关系，全域关系。 (2)R1={<x,y>｜x≤y， x,y∈N}注：将≤改为＜? (3)R2={<x,y>｜x|y，x,y∈N-{0}} (4)R3={<S1,S2>｜S1S2，S1,S2∈P(S)}其中P(S)是 S的幂集。注：若改为? (5)R4={<x,y>｜x+y=偶数，x,y∈N}

离散数学 二元关系

离散数学 二元关系

例：R1={ <1,a>,<1,c>,<2,b>,<3,a>,<4,c>} R2={ <1,1>,<1,4>,<2,3>,<3,1>,<3,4>, <4,1>,<4,2>}
上例中
2019/3/20
1 MR1 = 2 3 4
abc
101 010 100 001
MR2=
4× 3
1 2 3 4
1234 1001 0010 1001 1100
2019/3/20
次序关系。
1
4-1
序偶与集合的笛卡尔积
一、序偶与有序n元组 1.定义:由两个对象x、y组成的序列称为有序二元 组，也称之为序偶，记作<x,y>；称x、y分别为 序偶<x,y>的第一，第二元素。 注意，序偶<x,y>与集合{x,y}不同：
–序偶<x,y>：元素x和y有次序； –集合{x,y}：元素x和y的次序无关紧要。
2019/3/20 10
6)约定 (…(A1A2)…An-1)An)=A1A2…An 特别 AA…A = An 设R是实数集合，则R2表示笛卡尔坐标平面， R3表示三维空间，Rn表示n维空间。
3. 应用
1)令A1={x|x是学号} A2={x|x是姓名} A3={男,女} A4={x|x是出生日期} A5={x|x是班级} A6 ={x|x是籍贯} 则A1A2A3 A4A5 A6中一个元素： <001，王强，男，1981:02:16，计2001-1，辽宁> 这就是学生档案数据库的一条信息，所以学生的档 案就是A1A2A3 A4A5 A6的一个子集。

离散数学第四章二元关系和函数

离散数学第四章二元关系和函数
③ F在A上的限制记作FA= {<x,y>|xFyxA}; ④ A在F下的象F[A]=ran(FA).
例题
1. 设F,G是N上的关系,其定义为 F={<x,y>|x,yNy=x2}; G={<x,y>| x,yNy=x+1}, 求G-1,FoG,F{1,2},F[{1,2}]
2. 解:
① G-1={<1,0>,<2,1>,<3,2>,...,<x+1,x>,...}; ② z((z=x+1)y=z2)
① <<x,y>,z>(AxB)xC, <x,<y,z>> Ax(BxC), <x,<y,z>> (AxB)xC.
笛卡儿积运算具有的性质(2)
1. 笛卡儿积运算对或运算满足分配律, Ax(BC)=(AxB)(AxC) (BC)xA=(BxA)(CxA) Ax(BC)=(AxB)(AxC) (BC)xA=(BxA)(CxA)
2. domR1=ranR1=Z. R={<0,1>,<0,-1>,<1,0>,<-1,0>} domR2=ramR2={0,1,-1}
3. 图解方法
1
0
-1
R2
domR2
1 0 -1
ranR2
逆、合成、限制和象
1. 定义4.9: 设F,G为任意的关系,A为集合,则
① F的逆记作F-1, F-1={<x,y>|yFx}; ② F与G的合成记作FoG={<x,y>|z（xGzzFy）};
0100 1010 . 0001 0000

离散数学课件第四章二元关系习题

离散数学课件第四章二元关系习题

闭包的定义基于关系的传递 性，即如果关系R满足传递性， 那么对于任何元素x，如果存 在元素y和z，使得xRy和yRz， 那么一定存在一个元素z'，使 得xRz'。闭包就是由给定关系 和所有满足闭包定义的新元 素构成的关系集合。
闭包具有一些重要的性质， 这些性质决定了闭包在数学 和计算机科学中的广泛应用 。
同余关系的应用
应用1
在密码学中，同余关系可用于生成加 密密钥。例如，通过选择两个同余的 数作为密钥，可以确保加密和解密操 作的一致性。
应用2
在计算机科学中，同余关系可用于实 现数据校验。例如，通过将数据与一 个已知的校验值进行同余运算，可以 检测数据是否在传输过程中被篡改。
THANKS
感谢观看
反对称性
如果对于关系中的每一对 元素，如果元素x与元素y 有关系，且元素y与元素x 也有关系，但元素x与元 素y的关系不等于元素y与 元素x的关系，则称该关 系具有反对称性。
习题解析
习题1
判断给定的关系是否具有自反性、反自反性、对称性和反对称性。通过举例和推理，分析 给定的关系是否满足这些性质。
习题2
表示方法
总结词
掌握二元关系的表示方法是解题的关键。
详细描述
在数学中，我们通常使用笛卡尔积来表示二元关系。例如，如果A和B是两个集合， 那么A和B的笛卡尔积可以表示为A×B，它包含了所有形如(a, b)的元素，其中a属于 A，b属于B。
习题解析
总结词
通过解析具体习题，可以加深对二元关系定义和表示方法的理解。
有着广泛的应用。
05
习题五：关系的同余
同余关系的定义与性质
定义
反身性
对称性
传递性
如果对于任意元素$x$， 都有$f(x) = g(x)$，则 称$f$和$g$是同余的。

4-3 二元关系与函数 离散数学 教学课件

4-3 二元关系与函数 离散数学 教学课件
闭包 Nhomakorabea构造方法举例
设A={1,2,3}，定义A上的二元关系R为： R={1,2,2,3,3,1}
试求：r(R)，s(R)，t(R) 解：继续这个运算，则有
R = R4= R7= … =R3n+1= … ={1,2,2,3,3,1} R2= R5= R8= … =R3n+2= … ={1,3,2,1,3,2} R3= R6= R9= … =R3n+3= … ={1,1,2,2,3,3}=IA 其中：n是任意的自然数。 t(R)=R∪R2∪R3∪…
= R∪R2∪R3 ={1,1, 1,2, 1,3, 2,1>, 2,2, 2,3,
3,1,3,2,3,3}
闭包的构造方法（矩阵法）
设关系R, r(R), s(R), t(R)的关系矩阵分别为M, Mr , Ms 和 Mt , 则
Mr = M + E Ms = M + M’ Mt = M + M2 + M3 + … 说明:E 是和 M 同阶的单位矩阵, M’是 M 的转置矩阵. 注意:在上述等式中矩阵的元素相加时使用逻辑加.
传递闭包t(R)的矩阵构造方法举例
0 1 00 1 0 0 0 1
M R2M RM R0 0 10 0 11 0 0
1 0 01 0 0 0 1 0
0 010 1 0 1 0 0
M R3M R2M R1 0 00 0 10 1 0
0 1 0 1 0 0 0 0 1
1 1 1
Mt(R) MR MR2 MR3 1 1 1
第4章 二元关系与函数
4.1 集合的笛卡儿积与二元关系 4.2 关系的运算 4.3 关系的性质 4.4 关系的闭包 4.5 等价关系和偏序关系 4.6 函数的定义和性质 4.7 函数的复合和反函数

离散左孝凌第4章二元关系

离散左孝凌第4章二元关系

【例4.8】A=1,2,3,4,5，A上的二元关系R和S定义如下： R=1,2,2,2,3,4 S=1,3,2,5,3,1,4,2 试求MR ∘ S和MR ∘ MS，它们是否相等 ? 解：按照R 和S的定义，求出 R∘S=1,5,3,2,2,5 写出R 、S和R ∘ S关系矩阵如下：
0 0 MR= 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 MS = 1 0 0
0 0 0 1 0
1 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 MR ∘ S = 0 0 0
1 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 = 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
1 1 0 0 0
所以MR ∘ S=MR ∘ MS 4.2.3二元关系的求逆运算 定义4.2.4 设X，Y是集合，RX×Y，集合 y,xx,yR 叫做R的逆关系。记为RC，RCY×X，RC是Y到X的二元关系。 容易证明，RC的关系矩阵 M R C 是R的关系矩阵MR的转置矩 阵，即 M R C =MRT 可以验证，将R关系图中的弧线的箭头反置，就可以得到 RC关系图。
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定义4.2.1设A，B是集合，RA×B。 dom R=x|x,yR 叫做R的定义域。 ran R=y| x,yR 叫做R的值域。 FLD R= dom R∪ran R叫做R的域。 A叫做R的前域；B叫做R的陪域。 4.2.1二元关系的交、并、补、对称差运算 定理 4.2.1 设 R ， S 是 X 到 Y 的二元关系，则 R∪S ， R∩S ， R-S，~R，R S也是X到Y的二元关系。 证明：因为R，S是X到Y的二元关系，所以， RX×Y且SX×Y。显然， R∪SX×Y，即R∪S是X到Y的二元关系。 R∩SX×Y，即R∩S是X到Y的二元关系。 R-SX×Y，即R-S是X到Y的二元关系。

离散数学 第四章 二元关系和函数

离散数学 第四章 二元关系和函数
类似的还可以定义大于等于关系, 小于关系, 大于关系, 真 包含关系等等.
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实例
例如 A = {1, 2, 3}, B ={a, b}, 则 LA={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<2,3>,<3,3>} DA={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<3,3>}
笛卡儿积
定义 设A,B为集合，A与B 的笛卡儿积记作AB， 即 AB ={ <x,y> | xA yB }
例2 A={1,2,3}, B={a,b,c} AB ={<1,a>,<1,b>,<1,c>,<2,a>,<2,b>,<2,c>,
<3,a>,<3,b>,<3,c>} BA ={<a,1>,<b,1>,<c,1>,<a,2>,<b,2>,<c,2>,
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关系基本运算的性质（续）
(2) 任取<x,y>, <x,y>∈(F∘G)1
<y,x>∈F∘G t (<y,t>∈F∧(t,x)∈G) t (<x,t>∈G1∧(t,y)∈F1) <x,y>∈G1∘F1 所以 (F∘G)1 = G1∘F1
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A上关系的幂运算
实例 R={<1,2>, <2,3>, <1,4>, <2,2>} R↾{1}={<1,2>,<1,4>} R[{1}]={2,4} R↾= R[{1,2}]={2,3,4}

离散数学第4章 集合与关系-二元关系 -4.5-4.7

离散数学第4章 集合与关系-二元关系 -4.5-4.7
即：A/R = { [a]R | a∈A } 实例：令A={1, 2, …, 8}，A关于模 3 同余等价关系为
R=x,yx,yI∧x≡y mod 3
则R的所有等价类分别为：
[1]R= 1，4，7 [2]R= 2，5，8 [3]R= 3，6 于是，A关于R 的商集为： A/R = { {1, 4,7}, {2, 5, 8}, {3, 6} } A关于恒等关系和全域关系的商集为：
第4章 二元关系
模k同余关系
设x和y是两个整数，k是一个正整数，若x，y用k除的 余数相等，就称x和y模k同余，也称x和y模k等价。 记为 x ≡ y mod k
设x(y)用k除的商为t1 ( t2 )，余数为a1 ( a2 )，数学上将 x(y)表示成为：
x= k×t1＋a1， t1I，a1I且0≤a1＜k。 y= k×t2＋a2， t2I，a2I且0≤a2＜k。 若x，y用k除的余数相等，x-y= k×(t1-t2)，t1-t2I。 即x-y可以被k整除。 所以，x和y模k同余还可以描述为：x-y可以被k整除。 可以证明： x和y模k同余关系是等价关系。
第4章 二元关系
(3) 假设[a]R∩[b]R≠, 则存在z∈[a]R∩[b]R, 从而有 z∈[a]R∧z∈[b]R, 即<a,z>∈R∧<b,z>∈R 成立. 根据R 的对称性和传递性必有<a,b>∈R, 与a b矛盾.
(4) 先证
[x] A. 任取y∈
xA R
[x]
xA R
,则
y∈
[x]
xA R
第4章 二元关系
等价类
定义4.5.2 设R是非空集合A上的等价关系，aA，集合 x xA∧aRx 即x xA∧< a,x > R
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• 对于任何x,y∈c1i则x,y∈c2j • 于是有<x,y>∈Ｒ1则<x,y>∈R2 • 即Ｒ1⊆R2充分性得证． • 再证必要性： • 设Ｒ1⊆R2，于是对任意<x,y>∈Ｒ1(等价于
x,y应属于Ｒ1造成的划分Ｃ1 的某一个类c1i 中,i=1,2,...n) • 则<x,y>∈R2，(等价于x,y一定属于Ｒ2造成 的划分Ｃ2 的某一个类c2j中,j=1,2,...m) • 必要性得证．
•
(i≠j)
•
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• 3.(85页第２题） • 把n个元素的集合划分为两个类，共有多
少种不同的分法？ • 解：２个元素的有１种分法： • 即Ｃ1＝{{a1}, {a2}},即2(2-1)-1 • 3个元素的有３种分法： • 即Ｃ1＝{{a1}, {a2 ,a3}} • Ｃ2＝{{a2}, {a1 ,a3}} • Ｃ3＝{{a3}, {a1 ,a2}}即2(３-1)-1
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• =(∀x)(¬x∈X∨<x,x>∈R1)∧ (∀x)(¬x∈X∨<x,x>∈R2)
• 证明：因为Ａ1⊆Ａ
•
Ａ2⊆Ａ
•
┄
4
•
• Ａn⊆Ａ
• 于是有Ａ1∩B⊆Ａ∩B
•
Ａ2 ∩B ⊆Ａ∩B
•
┄
•Hale Waihona Puke Ａn ∩B ⊆Ａ∩B• 并且Ａ1∩BＡ2∩B ┄ Ａn ∩B
• =(Ａ1 Ａ2 ┄ Ａn) ∩B
• = A∩B.
• 对任何(Ａi∩B) ∩(Ａj∩B)=(Ａi∩Ａj) ∩B=Φ∩B= Φ
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• 都不与其它结点相关联的正五角星构成一 个等价类；
• •
• 都不与其它结点相关联的正六角星构成一 个等价类；
•
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• 上述图例中，省略了各结点上的自环，用 一条无向边代替一对方向相反的有向边．
• 5.(85页第７题) • 设Ｒ是集合Ｘ中的关系，对于所有的xi,xj
和xk属于Ｘ，如果xiＲxj和xjＲxk就有xkＲxi • 则称Ｒ是循环关系，试证明当且仅当Ｒ是
2
• 证(3)t(R1R2)⊇t(R1) t(R2)
• t(R1R2)=(R1R2) (R1R2)2 ┄ (R1R2)n • 而(R1R2)2= (R1R2)o (R1R2)
• =((R1R2)oR1) ((R1R2)oR2)
• •
=
R12R2oR1┅ R1oR2R22⊇R12
练习
• １、(79页第３题)
• R1,R2是集合Ｘ中的关系，试证明： • (1)r(R1R2)=r(R1) r(R2) • (2)s(R1R2)=s(R1) s(R2) • (3)t(R1R2)⊇t(R1) t(R2)（书上是等号） • 证明(1)左边=r(R1R2)
•
=R1R2 Ix
一个等价关系，Ｒ才是自反的和循环的． • 证明：充分性设Ｒ是等价关系，来证明Ｒ
是循环的．(自反性是明显的)
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• 对任何xi,xj和xk属于Ｘ和xiＲxj ，xjＲxk有 • xiＲxk及xkＲxi(由Ｒ的可传递性和对称性得) • 即Ｒ是循环的．
• 必要性：设Ｒ是自反的和循环的来证Ｒ是 个等价关系．实际上只要证Ｒ是对称的和 可传递的即可．
• 对任何xi,xj和xk属于Ｘ和xiＲxj ，xjＲxk有 • xkＲxi及xiＲxi于是有xiＲxk即Ｒ是对称的和
可传递的．
• 综上问题得证．
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• 6.(86页第７题) • 设Ｒ1和R2是集合Ｘ中的等价关系，试证明：
当且仅当Ｃ1中的每一个等价类都包含于Ｃ 2中的某一个等价类中，才有R1⊆ R2 • 证明：设Ｒ1和R2造成的划分分别是 • Ｃ1={c11 ,c12,┅, c1n} • Ｃ2={c21 ,c22,┅, c2m} • 对任意的c1i∈Ｃ1(i=1,...,n),在Ｃ2中都存在 • 某一个c2j(j=1,2,...,m)并且c1i⊆c2j
有2(n-1)-1种
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• 4.(85页第６题) • 在等价关系图中，应如何识别等价类？ • 解：关系图中如果有孤立的结点，则它是
一个等价类；
• 都不与其它结点相关联的相互联结的两个 结点构成一个等价类；
• 都不与其它结点相关联的相互联结的三个 结点构成一个等价类；
• 都不与其它结点相关联对角线相关联的四 个结点构成一个等价类
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• 4个元素的有７种： • 即Ｃ1＝{{a1}, {a2 ,a3 ,a4}} • Ｃ2＝{{a2}, {a1 ,a3 ,a4}} • Ｃ3＝{{a3}, {a1 ,a2, a4}} • Ｃ4＝{{a4}, {a1 ,a2 ,a3 }} • Ｃ5＝{{a1,a2}, {a3 ,a4}} • Ｃ6＝{{a1,a3}, {a2, a4}} • Ｃ7＝{{a1,a4}, {a2 ,a3 }} 即2(4-1)-1 • 一般具有n个元素的集合分成两堆的分法
• 右边= r(R1) r(R2)
• =R1 Ix R2 Ix
• =R1R2 Ix • (1)式得证。
1
• 证(2)左边=s(R1R2) • =(R1R2) (R1 R2) 〜 • = R1R2 R1〜 R2〜 • = (R1 R1〜) (R2 R2〜) • =s(R1) s(R2) • (2)得证。
R22
• (R1R2)n ⊇R1n R2n • 于是有(R1R2) (R1R2)2 ┅ (R1R2)n ⊇
R1 R12┅ R1n R2 R22
3
• R22┅ R2n • 即t(R1R2)⊇t(R1) t(R2) • (3)得证．
• ２、(85页第１题)
• 设｛Ａ1,Ａ2, ┄,Ａn｝是集合Ａ的划分，试 证明：｛Ａ1∩Ｂ，Ａ2∩Ｂ, ┄,Ａn ∩Ｂ｝是 集合Ａ ∩Ｂ的划分．
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• ７.(86页第９题) • 设Ｒ1和R2是集合Ｘ中的等价关系，并分别
有秩r1和r2，试证明：Ｒ1∩R2也是集合X中 的等价关系，它的秩至多是r1r2。而 • Ｒ1R2不一定是集合X中的等价关系． • 证明：首先证明Ｒ1∩R2是等价关系 • 1)(∀x)(x∈X→ <x,x>∈R1∩R2) • =(∀x)(¬x∈X∨(<x,x>∈R1∧<x,x>∈R2)) • =(∀x)((¬x∈X∨<x,x>∈R1)∧(¬x∈X∨ <x,x>∈R2))