百校联盟全国卷I高考最后一卷(押题卷)文科数学(第六模拟) Word版含解析
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百校联盟2016年全国卷I高考最后一卷（押题卷）文科数学（第六模拟）一、选择题：共12题1．已知复数z=(i为虚数单位),则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】本题考查复数的运算、复数的几何意义等知识,考查考生基本的运算能力.∵i2 015=i4×503+3=i3=-i,∴z=-i,∴+i,其在复平面内对应的点位于第一象限,故选A.2．设集合A={(x,y)|y=x+1,x∈R},B={(x,y)|x2+y2=1},则满足C⊆(A∩B)的集合C的个数为A.0B.1C.2D.4【答案】D【解析】本题考查集合的关系、集合的子集个数的求法.求解本题的关键是确定集合A∩B中元素的个数.通解解方程组得,,所以A∩B={(0,1),(-1,0)},即A∩B中有两个元素,因为C⊆(A∩B),所以集合C 的个数是4,故选D.优解在同一坐标系中作出直线y=x+1和圆x2+y2=1,由图可知,直线与圆有两个交点,即A∩B中有两个元素,因为C⊆(A∩B),所以集合C的个数是4.3．已知向量a=(9,m2),b=(1,-1),则“m=-3”是“a⊥b”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题主要考查向量垂直的条件及充要关系的判断,属于基础题.当m=-3时,a=(9,9),∴a·b=9×1+9×(-1)=0,所以a⊥b;当a⊥b时,由a·b=9-m2=0,得m=±3,故“m=-3”是“a⊥b”的充分不必要条件.4．为了丰富学生的课余生活,某校举办了“你来比划,我来猜”的猜成语活动,若甲、乙两个班级各10个小组参加了此项活动,对其猜对成语的个数进行统计,得到如茎叶图所示的两组数据,对这两个班级10个小组猜对成语的个数的平均数,和中位数y甲,y乙进行比较,正确的结论是A.,y甲>y乙B.,y甲>y乙C.,y甲<y乙D.,y甲<y乙【答案】D【解析】本题主要考查考生对统计数据的处理能力,解题时对茎叶图要能够正确读数,掌握中位数及平均数的计算方法.由茎叶图得=28,=35,y甲==27,y乙==35.5,∴,y甲<y乙,故选D.5．阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出S的值为A.15B.14C.7D.6【答案】A【解析】本题主要考查程序框图的知识,意在考查考生的运算求解能力.对于循环结构的程序框图,应特别注意循环结束时的条件.第一次循环,得a=2,S=1+2=3<10;第二次循环,得a=4,S=3+4=7<10;第三次循环,得a=8,S=7+8=15>10,输出S的值为15.故选A.6．已知双曲线-=1(a>0,b>0) 的一条渐近线的方程是y=x,且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x 的准线上,则双曲线的方程为A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【答案】B【解析】本题主要考查双曲线的几何性质以及考生分析问题、解决问题的能力.双曲线的渐近线方程是y=±x,所以,抛物线的准线方程为x=-,所以c=,由a2+b2=c2,可得a2=4,b2=3,故选B.7．设函数f(x)=sinωx+cosωx(ω>0)的最小正周期为π,将y=f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数y=g(x)的图象,则g(x)的一条对称轴为A.x=-B.x=C.x=D.x=【答案】C【解析】本题主要考查三角函数的图象和性质.解题时,先依据最小正周期得到函数f(x)的解析式,再利用平移法则得到g(x),即可求出g(x)的一条对称轴.f(x)=sinωx+cosωx=2sin(ωx+),由T=π,得ω=2,即f(x)=2sin(2x+),所以g(x)=2sin[2(x-)+]=2sin(2x-)=-2cos 2x,代入验证得g(x)的一条对称轴为x=,故选C.8．已知实数x,y满足不等式组,则z=的取值范围为A.[-2,3]B.[-,3]C.[-,]D.[,3]【答案】B【解析】本题主要考查不等式组所表示的平面区域的简单应用,考查考生的运算求解能力,属于中档题.作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示,由题意可知,z==2·,它表示平面区域内的点(x,y)与定点M(1,-)的连线的斜率的2倍.由图可知,当点(x,y)位于点C时,直线的斜率取得最小值-;当点(x,y)位于点A时,直线的斜率取得最大值.故z=的取值范围是[-,3],选B.9．在等差数列{a n}中,a1=-2 014,其前n项和为S n,若-=2 005,则S2 016的值等于A.2 015B.-2 016C.2 016D.-2 015【答案】C【解析】本题主要考查等差数列的通项公式与前n项和公式的运用,考查考生分析问题、解决问题的能力.通解设等差数列{a n}的公差为d,在等差数列{a n}中,因为S n=na1+d,=a1+(n-1),由-=2 005,得[-2 014+(2 015-1)]-[-2 014+(10-1)]=2 005,化简得d=2 005,所以d=2,所以S2 016=2 016×(-2 014)+×2=2 016,故选C.优解设等差数列{a n}的公差为d,在等差数列{a n}中,S n=na1+d,=a1+(n-1),即数列{}是首项为a1=-2 014,公差为的等差数列.因为-=2 005,所以(2 015-10)=2 005,=1,所以+(2 016-1)×1=-2 014+2 015=1,所以S2 016=2 016,故选C.10．一个三棱柱的直观图、正(主)视图、侧(左)视图、俯视图如图所示,若M,N分别为A1B,B1C1的中点,则下列选项中错误的是A.MN与A1C异面B.⊥C.MN∥平面ACC1A1D.三棱锥N-A1BC的体积为a3【答案】D【解析】本题主要考查三视图和简单几何体的结构特征,意在考查考生的空间想象能力和运算能力.取A1B1的中点D,连接DM、DN.由于M、N分别是A1B、B1C1的中点,所以可得DN∥A1C1,又DN⊄平面A1ACC1,A1C1⊂平面A1ACC1,所以DN∥平面A1ACC1.同理可证DM∥平面A1ACC1.又DM∩DN=D,所以平面DMN∥平面A1ACC1,所以MN∥平面ACC1A1,直线MN与A1C异面,A,C正确.由三视图可得A1C1⊥平面BCC1B1,所以DN⊥平面BCC1B1,所以DN⊥BC,又易知DM⊥BC,所以BC⊥平面DMN,所以BC⊥MN,B正确.因为(a2)a=a3,所以D错误.故选D.11．已知F1,F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,点P在椭圆C上,若·=0,且△F1PF2的三边|PF2|,|PF1|,|F1F2|依次成等差数列,则椭圆C的离心率为A. B. C. D.【答案】A【解析】本题主要考查椭圆的定义、几何性质及等差数列的应用,考查考生的运算能力和灵活运用知识的能力.不妨假设|PF1|>|PF2|,|PF1|=m,所以|PF2|=2a-m.因为|PF2|,|PF1|,|F1F2|成等差数列,所以2m=2a-m+2c,即m=.因为·=0,所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,所以m2+(2a-m)2=(2c)2,将m=代入化简得7c2+2ac-5a2=0,即7e2+2e-5=0,得e=,故选A.12．已知定义在R上的可导函数y=f(x)的导函数为f'(x),满足f'(x)-f(x)<0,且f(2-x)=f(2+x),f(4)=1,则不等式f(x)<e x的解集为A.(-∞,e4)B.(e4,+∞)C.(-∞,0)D.(0,+∞)【答案】D【解析】本题以导数为背景,考查函数的单调性以及不等式性质的应用,正确构造出新函数是解决本题的关键.构造函数g(x)=,则g'(x)=<0,∴g(x)是R上的减函数.∵f(2-x)=f(2+x),令x=2,得f(0)=f(4)=1,不等式f(x)<e x等价于<1等价于,∵g(x)在R上是减函数,∴x>0,∴不等式f(x)<e x的解集为(0,+∞),故选D.二、填空题：共4题13．已知函数f(x)=,则f(f())=.【答案】【解析】本题主要考查分段函数的运算,解题时由内到外计算即可得出结果.f()=ln=-1,所以f(f())=f(-1)=e-1=.14．若α是锐角,且cos(α+)=-,则sinα的值为.【答案】【解析】本题考查三角恒等变换、同角三角函数间的基本关系,考查转化与运算能力.通解由cos(α+)=-,得cosα-sinα=-,∴cosα=(sinα-),代入sin2α+cos2α=1,得4sin2α-sinα-=0,解得sinα=,∵α是锐角,∴sinα=.优解∵α是锐角,∴<α+,又cos(α+)=-,∴sin(α+)=,∴sinα=sin[(α+)-]=sin(α+)×cos-cos(α+)×sin-(-)×.15．已知边长为3的等边三角形ABC的三个顶点都在以O为球心的球面上,若三棱锥O-ABC 的体积为,则球的表面积为.【答案】16π【解析】本题考查球的相关知识,考查考生的空间想象能力.解题时,先根据正弦定理求出等边三角形外接圆的半径,再利用三棱锥O-ABC的体积求出球的半径,从而得出球的表面积.设三角形ABC的外接圆的半径为r,圆心为O1,由正弦定理得2r==2,r=.∵O1O⊥平面ABC,∴V O-ABC=×32|O1O|=,∴|O1O|=1,∴球O的半径R==2,∴S球=4πR2=16π.16．已知函数f(x)=[x]为取整函数,其中[x]表示不大于x的最大整数,例如[2.1]=2,[-1.3]=-2.若a n=,n∈N*,S n为数列{a n}的前n项和,则S100=.【答案】3 775【解析】本题主要考查数列的分组求和、新定义取整函数的应用,考查考生的审题能力、推理能力、归纳能力以及分析问题和解决问题的综合能力.n为奇数时,a1=f()=[]=0,a3=f()=[]=1,……a99=f()=[]=49,a101=f()=[]=50.n为偶数时,a2=2a3=2,a4=2a5=4,……a100=2a101=100.所以S100=a1+a2+…+a100=(a1+a3+…+a99)+(a2+a4+…+a100)=(0+1+...+49)+(2+4+ (100)=3 775.三、解答题：共8题17．已知在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(b-)sin B+(c-)sin C-a sin A=0.(1)求角A的大小;(2)若a=,求b+c的取值范围.【答案】(1)因为(b-)sin B+(c-)sin C-a sin A=0,由正弦定理得(b-)b+(c-)c-a2=0,化简得b2+c2-a2-bc=0,即cos A=,A=.(2)由正弦定理可得=2,所以b=2sin B,c=2sin C,b+c=2(sin B+sin C)=2[sin B+sin(-B)]=2(sin B+cos B+sin B)=3sin B+cos B=2sin(B+).因为0<B<,所以<B+,即<sin(B+)≤1,所以b+c∈(,2].【解析】本题主要考查三角恒等变换,正、余弦定理的应用.(1)先利用正弦定理将已知等式转化为三角形中三边之间的关系,再结合余弦定理求解;(2)先将b+c用关于B的正弦函数表示出来,再利用正弦函数的图象与性质求解.【备注】高考对三角函数与解三角形的考查主要以三角恒等变换,三角函数的图象和性质,利用正弦定理、余弦定理解三角形为主,难度中等,因此只要掌握基本的解题方法与技巧即可.在研究三角函数的图象和性质问题时,一般先用三角恒等变换将表达式转化为一个角的三角函数的形式求解.对于解三角形的题目,要注意通过正弦定理、余弦定理以及三角形的面积公式等实现边角互化,求出相关的边和角.18．某超市为了促销,举行了抽奖活动:在一个不透明的抽奖箱中装有四个形状、大小完全相同的球,球的编号分别为1,2,3,4.(1)顾客甲从抽奖箱中一次性随机取出两个球,求取出的球的编号之和不大于4的概率;(2)顾客甲从抽奖箱中随机取一个球,记下编号后放回,再从抽奖箱中随机取一个球,记下编号放回.设这两次取出的球的编号之和为M.超市奖项设置:若M=8,则为一等奖;若M=7,则为二等奖;若5≤M≤6,则为三等奖;其他情况无奖.求顾客甲中奖的概率.【答案】(1)从抽奖箱中一次性随机取出两个球,其基本事件有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6个.设“从抽奖箱中一次性随机取出两个球的编号之和不大于4”为事件A,则事件A包含的事件有(1,2),(1,3),共2个.因此P(A)=.(2)先从抽奖箱中随机取一个球,记下编号为a,放回后,再从抽奖箱中随机取一个球,记下编号为b,其所有可能的结果(a,b)有:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16个.设“顾客甲中奖”为事件B,则事件B包含的事件有(1,4),(2,3),(2,4),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共10个.所以P(B)=.【解析】本题主要考查古典概型概率的求解,考查考生分析问题、解决问题的能力.熟练掌握列举法和古典概型的概率计算公式是解题的关键.【备注】求解概率与统计解答题需要注意:(1)认真审题,理清已知条件中的信息,包括茎叶图、频率分布直方图、频数分布表、样本数据等,将其转化为解题的必备信息;(2)分清所求概率的类型,是古典概型还是其他类型;(3)将基本事件的可能结果列全,找准所求事件包含的基本事件的个数,避免由于思维不严谨造成不必要的失分.19．如图,已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是直角梯形,AB⊥BC,AB∥CD,E,F分别是棱BC,B1C1上的动点,且EF∥CC1,CD=DD1=1,AB=2,BC=3.(1)证明:无论点E怎样运动,四边形EFD1D都为矩形;(2)当EC=1时,求几何体A-EFD1D的体积.【答案】(1)在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,DD1∥CC1,∵EF∥CC1,∴EF∥DD1,又平面ABCD∥平面A1B1C1D1,平面ABCD∩平面EFD1D=ED,平面A1B1C1D1∩平面EFD1D=FD1,∴ED∥FD1,∴四边形EFD1D为平行四边形.∵侧棱DD1⊥底面ABCD,又DE⊂平面ABCD,∴DD1⊥DE,∴四边形EFD1D为矩形.(2)连接AE,∵四棱柱ABCD-A1B1C1D1为直四棱柱,∴侧棱DD1⊥底面ABCD,又AE⊂平面ABCD,∴DD1⊥AE,在Rt△ABE中,AB=2,BE=2,则AE=2,在Rt△CDE中,EC=1,CD=1,则DE=,在直角梯形ABCD中,AD=,∴AE2+DE2=AD2,即AE⊥ED,又ED∩DD1=D,∴AE⊥平面EFD1D.由(1)可知,四边形EFD1D为矩形,且DE=,DD1=1,∴矩形EFD1D的面积=DE·DD1=,∴几何体A-EFD1D的体积·AE=×2.【解析】本题考查考生的空间想象能力.(1)利用面面平行的性质定理以及空间线面位置关系证明;(2)利用四棱锥的体积公式求解.【备注】高考在考查立体几何问题时,往往分两步,一是证明线面位置关系,二是体积、距离的计算.第(1)问往往可以运用线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理、性质定理进行平行、垂直的转化;第(2)问往往在证明线面垂直的基础上求解几何体的体积或表面积.20．已知抛物线y2=2px(p>0),过点(4,0)作直线l交抛物线于A,B两点,且以AB为直径的圆过原点O.(1)求抛物线的方程;(2)过抛物线上的定点M(1,)作两条关于直线x=1对称的直线,分别交抛物线于C,D两点,连接CD,试问:直线CD的斜率是否为定值?请说明理由.【答案】(1)当直线l的斜率不存在时,2=4,p=2,y2=4x.当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-4)(k≠0),联立,消去y得k2x2-(8k2+2p)x+16k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=16,所以=4p2x1x2=64p2,y1y2=-8p,由·=0,得x1x2+y1y2=0,即16-8p=0,所以p=2,故抛物线的方程为y2=4x.综上,抛物线的方程为y2=4x.(2)由(1)知,M(1,2),设直线CD的方程是x=my+n,显然直线CD不过点M.联立,消去x得y2-4my-4n=0,设C(x3,y3),D(x4,y4),则,由题意MC,MD两直线关于直线x=1对称等价于直线MC,MD的倾斜角互补,即k MC+k MD=0,即+=0,整理得(y3-2)(x4-1)+(y4-2)(x3-1)=0,即x3y4+x4y3-2(x3+x4)-(y3+y4)+4=0,将和代入上式化简得(m+1)(n+2m-1)=0,要使上式恒成立,当且仅当m+1=0或n+2m-1=0.①当m+1=0,即m=-1时,直线CD的方程为x=-y+n,即直线CD的斜率为-1.②当n+2m-1=0时,将n=1-2m代入直线CD的方程得x=my+1-2m,即x-1=m(y-2),此时直线CD 过点M(1,2),与题意矛盾.所以直线CD的斜率恒为定值-1.【解析】本题主要考查直线与抛物线的位置关系,考查考生分析问题、解决问题的能力.求解此类试题通常是将直线与抛物线的方程联立,利用根与系数的关系求解.【备注】直线与圆的方程,圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质等内容是解析几何的基石,也是高考命题的重点和热点内容,此外直线与圆锥曲线的位置关系是高考命题的另一个重点,解题时,要注意应用根与系数的关系.求解与圆锥曲线有关的最值和取值范围问题时,常把所讨论的参数作为一个函数,选一个适当的自变量来表示这个函数,通过讨论函数的值域来求参数的取值范围.21．已知f n(x)=ax n-nbx+c,g(x)=ln x,h(x)=f n(x)+kg(x).(1)当n=2,k=1时,若h(x)的单调递减区间是(,1),求实数a+b的值;(2)当b=c=1时,若f3(x)≥0对于区间[-1,1]内的任意实数x恒成立,求实数a的值.【答案】(1)当n=2,k=1时,h(x)=ax2-2bx+ln x+c(x>0),则h'(x)=(x>0).要使h(x)的单调递减区间是(,1),则h'(1)=h'()=0,得,解之得.另一方面当a=1,b=时,h'(x)=(x>0),由h'(x)<0得x∈(,1),即h(x)的单调递减区间是(,1).所以a+b=.(2)由题意得f'3(x)=3ax2-3,当a≤0时,f'3(x)=3ax2-3<0,所以f3(x)在[-1,1]上为减函数,所以f3(x)min=f3(1)=a-2≥0,解得a≥2(与a≤0矛盾,舍去).当a>0时,令f'3(x)=0可得x=±,当x∈(-,)时,f'3(x)<0,f3(x)为减函数;当x∈(-∞,-)和(,+∞)时,f'3(x)>0,f3(x)为增函数.由f3(-1)=4-a≥0且f3(1)=a-2≥0,可得2≤a≤4,又由f3()=a×-+1=1-≥0,可得a≥4.综上可知a=4.另一方面,当a=4时,f3(x)=4x3-3x+1,f'3(x)=12x2-3,当x∈(-,)时,f'3(x)<0,f3(x)为减函数;当x∈(-1,-)和(,1)时,f'3(x)>0,f3(x)为增函数.所以f3(x)min=f3(-1)=f3()=0,所以f3(x)≥0对于[-1,1]内的任意实数x恒成立.所以a=4.【解析】本题考查不等式恒成立以及利用导数研究函数的单调性、极值、最值等,考查函数与方程思想、分类讨论思想、等价转化思想,考查考生综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力.对于(1),首先求出h'(x),由h(x)的单调递减区间是(,1)得,1是方程h'(x)=0的两根,从而确定实数a和b的值;(2)运用分类讨论的思想求解.【备注】导数作为解决函数问题的工具在每年的高考试题中从不缺席,运用导数可以研究函数的单调性、最值和极值,讨论函数的零点,证明不等式等,应用十分广泛.运用导数解决问题一定要有定义域优先的意识,在解决恒成立问题时,要先分离参变量,再转化为最值来处理或者用分类讨论的思想方法处理.22．如图,直线PQ与☉O相切于点A,AB是☉O的弦,∠PAB的平分线AC交☉O于点C,连接CB,并延长与直线PQ相交于点Q.(1)求证:QC·AC=QC2-QA2;(2)若AQ=6,AC=5,求弦AB的长.【答案】(1)∵PQ与☉O相切于点A,∴∠PAC=∠CBA,∵∠PAC=∠BAC,∴∠BAC=∠CBA,∴AC=B C.由切割线定理得,QA2=QB·QC=(QC-BC)QC,∴QC·BC=QC2-QA2,∴QC·AC=QC2-QA2.(2) 由AC=5,AQ=6 及(1), 知QC=9,由∠QAB=∠ACQ,∠AQB=∠CQA,知△QAB∽△QCA,∴,∴AB=.【解析】本题主要考查切割线定理、三角形的相似等知识,考查考生的推理能力、运算能力.灵活应用圆的有关性质是解题的关键.23．已知圆O:x2+y2=4上每一点的横坐标保持不变,将纵坐标变为原来的,得到曲线.(1)写出曲线C的参数方程;(2)设直线l:x-2y+2=0与曲线C相交于A,B两点,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线m过线段AB的中点,且倾斜角是直线l的倾斜角的2倍,求直线m的极坐标方程.【答案】(1)设曲线C上任意一点为M(x,y),则点P(x,2y)在圆O上,即x2+(2y)2=4,即+y2=1,所以曲线C的参数方程为(φ为参数).(2)联立,解得或,不妨设A(-2,0),B(0,1),则AB的中点为N(-1,),因为直线l的斜率为,设直线l的倾斜角为α,则tanα=,所以tan 2α=,所以直线m的方程为y-(x+1),即8x-6y+11=0,于是直线m的极坐标方程为8ρcosθ-6ρsinθ+11=0.【解析】本题考查直线的参数方程与普通方程的互化、圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线与圆的位置关系等,属于中档题.24．已知a是常数,对任意实数x,不等式|x+1|-|2-x|≤a≤|x+1|+|2-x|都成立.(1)求a的值;(2)设m>n>0,求证:2m+≥2n+a.【答案】(1)设f(x)=|x+1|-|2-x|,则f(x)=∴f(x)的最大值为3.∵对任意实数x,|x+1|-|2-x|≤a都成立,即f(x)≤a,∴a≥3.设h(x)=|x+1|+|2-x|=,则h(x)的最小值为3.∵对任意实数x,|x+1|+|2-x|≥a都成立,即h(x)≥a,∴a≤3.∴a=3.(2)由(1)知a=3.∵2m+-2n=(m-n)+(m-n)+,且m>n>0,∴(m-n)+(m-n)+≥3=3,∴2m+≥2n+a.【解析】本题考查绝对值函数以及绝对值不等式的解法,考查考生的运算能力.。
