如何提高学生解决解析几何问题的能力

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３
．
（ ２ ） 求 △ ＡＢ Ｐ面 积 取 最 大 值 时 直 线 ｌ 的方程． 现从“ 量” 与“ 量” 的角度来分析 ： 第（ １ ） 问要 求 椭 圆 ｃ的 方 程， 即要 确 定 椭 圆方 程 中 “ ， ｂ这 两 个 量 ， 两个 未 知 “ 量” 就 要 有
．
．
一
存 在 某个 等 式 关 系 ； 因此 ， Ａ ＡＢ Ｐ面积只于直线 中一个“ 变量”
存 在 函 数关 系 ， 即通 过一 变元 的 函数问题 ， 求 出△ ＡＢ Ｐ 面 积
的最大值 ， 以及 此 时 直 线 中 “ 变 量” 的取值 ， 最 后 确 定 出直 线
的方程．
，
１
解析 ： （ １ ） 南题 ： ＝ ＝÷
因此 ， 在 编制 直 线 与椭 圆 的 位 置 关 系 问 题 时 ， 当 ｋ ， ｆ ， “ ， ｂ
Ｙ 『 ｊ ） ， Ｒ（ ， Ｙ Ｉ １ ） ， 其中Ｙ 一丑） ．
‘ ．
四个 量 都 已知 的 情 况 下 ， 直线 与椭 圆 的 位 置 关 系 也 就 定 了 ， 即
可 命 制 问题 ｌ ： 已知 ｋ ， ｔ ， ｎ ， ｂ这 四个 量 ， 判 断直线 ｌ 与 椭圆 Ｃ 的位 置 关 系 ． 逆向问题 ２ ： 若 已知直线 ｌ 与 椭 圆 Ｃ 的位 置 关 系 ， ｋ ， ｔ ， ａ ， ６ 这 四个 量 中 已知 三个 量 ， 则 可 求 出第 四 个 量 的 取 值 范 围． 问题 ３ ： 若已知直 线 ｆ 与椭 圆 Ｃ 的位 置关 系这 一条件 ， 但
解 决问题 ， 在教学实践 中， 本 人从 “ 量” 与“ 量” 角 度 出 发 编 制 解 析 几 何 问题 ， 通 过 编 题 更 好 地 透 彻 理 解 解 析 几 何 问 题 的 本 质 以及掌握解决此类问题 的思想方 法 ； 现 笔 者 叙 述 一 下 如 何 从
“ 量” 与“ 量” 角度 编制解析几何问题．
・ 点Ｐ （ ２ ， １ ） 到直线 ｚ 的距离 为 ： 一』
√ 十 号
‘
一
一
两 个 已知 “ 量” 才能确定． 因此 ， 题 目中一 定 给 出两 个 相 关 的 已
知“ 量” ， 从 题 目中不 难 可 找 出那 两 个 已 知 “ 量” —— “ 椭 圆 的 离
０ ）到 点 Ｐ （ ２ ，１ ）的 距 离 为 ： ｄ－ 二
￣ ／ （ ２ ＋ｃ ） 十 １ 。一 １ Ｏ （ ２ ） ． 由（ １ ） （ ２ ） 可解得 ： “ 一４ ， ｂ 。 一３ 。 一１ ．
２
。
椭 圆 也 是 南两 个 量 决 定 的 ， 如 椭 圆 标 准 状 态 下 的方 程 ｃ：
“
（ １ ） ．
条 直 线 是 由两 个 独 立 的 量 决 定 ， 如直 线 方 程 ｚ ： ｊ ， 一 ＋ 左焦 点 （ 一
ｔ ， （ ｋ ， ｆ ∈Ｒ） ， 直 线 是 由斜 率 ｋ和 ｙ轴 上 的 截 距 ｔ来 决 定 的 ； 两
个 量 定 了直 线 就 随着 确 定 了 ， 只 要 有 一 个 量 不 定 直 线 ｌ就 在 变动．
Ｌ
ｌ
１ ） 的 距 离 为 １ ０ ． 不 过 原 点
０ 的直 线 ｚ与 Ｃ 相 交 于 Ａ ， Ｂ 两点 ， 且 线 段 ＡＢ 被 直 线 ＯＰ 平分． （ １ ） 求 椭 圆 Ｃ 的方 程 ；
图 １
、 ，
由 上 又有 ： Ａ ＋Ｊ 、 Ｅ ＝ｍ， ｙ ａ ＋ 一— ｍ ２ －３
困 惑 的 问题 “问题 ” 是数学 的心脏 ， 数 学 教 学 的 核 心 就 是 提 出 问 题 与
“ 量” ——“ 斜 率 ｋ和截 距 的 值 ” ， 从方 程思想考 虑 ， 要 给 两 个 已 知“ 量” ， 但 问题 中 直 线 ｌ 是在变 动的 ， 斜 率 ｋ和 截 距 ｔ的 值 都在 变动 ， 不过在变动的过程中， 由题 中给 出 的 条 件 ： “ 不 过 原点 （ ）的 直 线 与 Ｃ 相 交 于 Ａ ， Ｂ两 点 ， 且 线 段 ＡＢ 被 直 线 ０ Ｐ平分． ” ， 南此 条 件 ， 我 们 不 难 得 到 直 线 的 斜 率 ｋ和 截 距 ，
２
一 ．
．
．
所 求 椭 圆 ｃ的 方 程 为 ： ＋ 一１ ．
０
２
＋告 一ｌ （ “ ＞６ ＞ｏ ） ， 当ｎ ， ｂ两个量 定 了椭 圆也就 随着确定
“ Ⅳ
（ ２ ） 易得直线 Ｏ Ｐ 的方 程 ： Ｙ 一÷ ， 设 Ａ（ ¨， Ｙ ＾） ， Ｂ（ Ｂ ，
－
了， 只要 有 一个 量 不 定 椭 圆 Ｃ就 在 变 动 ．
ｋ， ｔ ， “， ｂ这 四个 量 中 只 已 知 二 个 量 ， 则 由位 置 关 系 这 一 条 件 ， 确 定 出 未知 两 个 量 间 的等 式 关 系 ， 从 而 可 设 问直 线 系 过 定 点 ， 或 椭 圆 系过 定 点 的 问题 ． 例如： （ ２ ０ １ ２年 浙 江 省 理 科 ２ １题 ） 如 图 １ ， 椭 圆 Ｃ： ＋ 一 ｌ （ ＞ ６ ＞ｏ ） 的 离 心
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‘ Ａ， Ｂ在 椭 圆 上 ，
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设直线 Ａ Ｂ的方程为ｌ ： 一一÷（ ｍ ≠ｏ ） ，
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中学生数理他 ． 掌研版
解析几何 是一 门综合 性较 强 的学 科 ， 其题 型 多 ， 且 有 难 度 ， 经 常 由于 解 题 方 法 选 择 不 当 ， 导致计 算量 大 ， 运 算 过 程 烦 琐 ， 如何减少解几运算量 、 提 高 运 算 能力 一 直 是 广 大 学 生 感 到