上海市实验学校2015学年度第一学期高一数学学科期中考试试卷

2014-2015学年上海市实验学校高一第二学期期中数学试卷一、填空题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．若α∈（0，π），且角α的终边与角5α的终边相同，则α＝ ． 2．化简：cos(2π−α)⋅tan(π2+α)⋅tan(α−π)cos(3π2+α)⋅cot(3π−α)= ．3．一个半径为2的扇形，若它的周长等于所在的圆的周长，则该扇形的圆心角是 ． 4．已知cos （α﹣β）cos α+sin （α﹣β）sin α=−45，且β是第三象限的角，则sin β＝ ．5．已知△ABC 中，a ＝7，b ＝8，A ＝60°，则边c ＝ ． 6．若1+tanα1−tanα=3+2√2，则sin2α＝ ．7．已知1−cos2αsinαcosα=1，tan （β﹣α）=−13，则tan （β﹣2α）＝ ．8．若2sin θ+3cos θ＝2，则sin θ+cos θ＝ ．9．某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，则该八边形的面积的最大值为 ．10．已知函数f （x ）＝x 2+bx +c ，对于任意α，β∈R 都有f （sin α）≥0，f （2+cos β）≤0，若f （sin α）的最大值为10，则f （x ）＝ ． 二、选择题（本大题共4小题，每小题4分，满16分） 11．在△ABC 中，sin A ＞sin B 是A ＞B 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件12．设集合A ＝{x |x ＝π+2kπ3，k ∈z }，B ＝{x |x ＝k π+π3，k ∈z }，C ＝{x |x ＝k π+2π3，k ∈z }，则A ∩（B ∪C ）＝（ ） A ．{x|x =kπ+π3，k ∈z} B ．{x|x =kπ−π3，k ∈z}C ．{x|x =2kπ±π3，k ∈z}D ．{x|x =kπ±π3，k ∈z}13．已知α∈(0，π4)，则下列不等式中正确的是 （ ）A ．sin （sin α）＜sin （tan α）＜sin αB ．sin （sin α）＜sin α＜sin （tan α）C ．sin （tan α）＜sin α＜sin （sin α）D ．sin α＜sin （sin α）＜sin （tan α）14．已知△ABC 中，AB ＝2，AC =√2BC ，则△ABC 的面积的最大值为 （ ） A ．2√2B ．2√5C ．2D ．23√3三、解答题（本大题共4小题，满分44分） 15．在△ABC 中，√3tanC −1=tanB+tanC tanA，（1）求角B 的值；（2）若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求边长a 、c 的值． 16．已知函数f （x ）＝2sin （13x −π6），x ∈R（1）求f(5π4)的值；（2）设0≤β≤π2≤α≤π，f(3α+π2)=1013，f （3β+2π）=65，求cos （α+β）的值．17．在平面直角坐标系xOy 中，钝角α+π4的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合．若α+π4的终边与单位元圆交于点(−35，t)．（1）求t 的值；（2）求cos α和sin α的值；（3）设f(x)=cos(πx2+α)，求f （1）+f （2）+…+f （2015）的值． 18．已知A ＝{α|2cos 2α﹣3cos α+1≤0，α∈R }，B ＝{α|2sin α＞1，α∈R }， （1）求集合A ∩B ；（2）若对任意x ∈A ∩B ，都有cos2x −4sin(π4+x2)sin(π4−x2)+m ＞0恒成立，求m 的取值范围．四、附加题（本大题共2小题，满分20分） 19．已知△ABC 三个内角A 、B 、C 满足A +C ＝2B ，1cosA +1cosC =−√2cosB ，求cos A−C 2的值．20．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若满足tan B =cos(C−B)sinA+sin(C−B)，（1）判断△ABC的形状，并加以证明；y＝f（x）的形式，并求此函数的定义域，（2）当a＝2，∠B＝x时，将y=b+c+1bc表示成当x为何值时，y＝f（x）有最值？并求出最值．2014-2015学年上海市实验学校高一第二学期期中数学试卷参考答案一、填空题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1．若α∈（0，π），且角α的终边与角5α的终边相同，则α＝ π2．【分析】写出与α终边相同的角的集合，列出方程求解即可．解：∵与α终边相同的角的集合为{β|β＝α+2k π，k ∈Z }．角α的终边与角5α的终边相同，∴5α＝α+2k π，α∈（0，π），∴α=kπ2，可得k ＝1，α=π2．故答案为：π2．【点评】本题考查了终边相同的角的集合的写法，是基础的会考题型． 2．化简：cos(2π−α)⋅tan(π2+α)⋅tan(α−π)cos(3π2+α)⋅cot(3π−α)= 1 ．【分析】直接利用诱导公式化简求解即可． 解：cos(2π−α)⋅tan(π2+α)⋅tan(α−π)cos(3π2+α)⋅cot(3π−α)=−−cosα⋅cotα⋅tanαsinα⋅cotα=1．故答案为：1．【点评】本题考查诱导公式的应用，三角函数的化简求值，考查计算能力．3．一个半径为2的扇形，若它的周长等于所在的圆的周长，则该扇形的圆心角是 2π﹣2 ． 【分析】设圆心角为θ，弧长为l ，建立方程，求得弧长，再求扇形的圆心角即可． 解：设圆心角为θ，弧长为l ， 由题意得4+l ＝4π，解得l ＝4π﹣4 ∴圆心角θ=l r=2π﹣2 故答案为：2π﹣2．【点评】本题考查弧长公式，解题的关键是熟练掌握弧长公式，属基础题．4．已知cos （α﹣β）cos α+sin （α﹣β）sin α=−45，且β是第三象限的角，则sin β＝ −35 ．【分析】由两角差的余弦公式可得cos β，进而由同角三角函数的基本关系可得． 解：∵cos （α﹣β）cos α+sin （α﹣β）sin α=−45，∴cos[（α﹣β）﹣α]=−45，即cos β=−45， ∵β是第三象限的角， ∴sin β=−√1−cos 2β=−35， 故答案为：−35．【点评】本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及同角三角函数的基本关系，属基础题． 5．已知△ABC 中，a ＝7，b ＝8，A ＝60°，则边c ＝ 3或5． ．【分析】利用余弦定理得出a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，把已知a ，b 及A 的度数代入，利用特殊角的三角函数值化简，得出关于c 的一元二次方程，求出方程的解即可得到c 的值． 解：∵在△ABC ，a ＝7，b ＝8，A ＝60°，∴根据余弦定理a 2＝b 2+c 2﹣2bc •cos A 得：72＝82+c 2﹣16c •cos60°， 整理得：c 2﹣8c +15＝0， 解得：c ＝3或c ＝5， 则c 的值为3或5． 故答案为：3或5．【点评】此题考查了余弦定理，一元二次方程的解法，以及特殊角的三角函数值，余弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键． 6．若1+tanα1−tanα=3+2√2sin2α＝√23． 【分析】根据已知等式可求tan α，由万能公式即可求值． 解：∵1+tanα1−tanα=3+2√2∴整理可得：1+tan α＝3﹣3tan α+2√2−2√2tan α，可得：tan α=√22+2=√22， ∴sin2α=2tanα1+tan 2α=2×√221+12=2√23． 故答案为：2√23． 【点评】本题主要考查了万能公式和三角函数求值，属于基本知识的考查． 7．已知1−cos2αsinαcosα=1，tan （β﹣α）=−13，则tan （β﹣2α）＝ ﹣1 ．【分析】把已知条件1−cos2αsinαcosα=1利用二倍角的余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简后，即可求出tan α的值，然后把所求式子中的角β﹣2α变为（β﹣α）﹣α，利用两角差的正切函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值．解：由1−cos2αsinαcosα=1−(1−2sin2α)sinαcosα=2tanα＝1，得到tanα=12，又tan(β−α)=−13，则tan（β﹣2α）＝tan[（β﹣α）﹣α]=tan(β−α)−tanα1+tan(β−α)tanα=−13−121−16=−1．故答案为：﹣1【点评】此题考查学生灵活运用二倍角的余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，灵活运用两角和与差的正切函数公式化简求值，是一道基础题．8．若2sinθ+3cosθ＝2，则sinθ+cosθ＝713或1．【分析】将已知等式两边平方整理可得（12sinθ+5cosθ）cosθ＝0，从而解得cosθ＝0，或者12sinθ+5cosθ＝0，分别解得sinθ，cosθ的值，即可求和得解．解：∵2sinθ+3cosθ＝2，∴两边平方有：4sin2θ+12sinθcosθ+9cos2θ＝4，（12sinθ+5cosθ）cosθ＝0，所以有：cosθ＝0，代入原式，得sinθ＝1，或者12sinθ+5cosθ＝0，解得：sinθ=−512cosθ，代入原式，有：sinθ=−513，cosθ=1213．所以可得：sinθ+cosθ＝1，或者sinθ+cosθ=7 13．故答案为：713或1．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用，属于基本知识的考查．9．某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，则该八边形的面积的最大值为2√2+2．【分析】根据正弦定理可先求出4个三角形的面积，再由三角面积公式可求出正方形的边长进而得到面积，最后得到答案．解：由正弦定理可得4个等腰三角形的面积和为：4×12×1×1×sinα＝2sinα，由余弦定理可得正方形边长为：√1+1−2×1×1×cosα=√2−2cosα，故正方形面积为：2﹣2cos α，所以所求八边形的面积为：2sin α﹣2cos α+2＝2√2sin （α−π4）+2， 所以该八边形的面积的最大值为2√2+2． 故答案为：2√2+2．【点评】本题考查了三角面积公式的应用和余弦定理的应用．正、余弦定理是考查解三角形的重点，是必考内容．10．已知函数f （x ）＝x 2+bx +c ，对于任意α，β∈R 都有f （sin α）≥0，f （2+cos β）≤0，若f （sin α）的最大值为10，则f （x ）＝ x 2﹣5x +4 ．【分析】由f （sin α）≥0知，x ∈[﹣1，1]时，f （x ）≥0，同样可得x ∈[1，3]时，f （x ）≤0，从而得到f （1）＝0，从而可得到f （x ）在[﹣1，1]上单调递减，从而便可得到f （﹣1）＝10，这样便可得到不等式组{1+b +c =01−b +c =10，解出b ，c 即可得出f （x ）．解：由已知条件知，x ∈[﹣1，1]时，f （x ）≥0，x ∈[1，3]时，f （x ）≤0； ∴f （1）＝0，f （x ）在[﹣1，1]上单调递减； f （sin α）的最大值为10； ∴f （﹣1）＝10；∴解{1+b +c =01−b +c =10得，{b =−5c =4；∴f （x ）＝x 2﹣5x +4． 故答案为：x 2﹣5x +4．【点评】考查正余弦函数的值域，根据条件可画出函数f （x ）的草图求解，函数单调性定义的运用，要熟悉二次函数的图象．二、选择题（本大题共4小题，每小题4分，满16分） 11．在△ABC 中，sin A ＞sin B 是A ＞B 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【分析】由正弦定理知 a sinA=b sinB，由sin A ＞sin B ，知a ＞b ，所以A ＞B ，反之亦然，故可得结论．解：若sin A ＞sin B 成立， 由正弦定理a sinA=b sinB=2R ，所以a ＞b ， 所以A ＞B ．反之，若A ＞B 成立， 所以a ＞b ，因为a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ， 所以sin A ＞sin B ，所以sin A ＞sin B 是A ＞B 的充要条件． 故选：C ．【点评】本题以三角形为载体，考查四种条件，解题的关键是正确运用正弦定理及变形．属于基础题．12．设集合A ＝{x |x ＝π+2kπ3，k ∈z }，B ＝{x |x ＝k π+π3，k ∈z }，C ＝{x |x ＝k π+2π3，k ∈z }，则A ∩（B ∪C ）＝（ ） A ．{x|x =kπ+π3，k ∈z} B ．{x|x =kπ−π3，k ∈z}C ．{x|x =2kπ±π3，k ∈z}D ．{x|x =kπ±π3，k ∈z}【分析】求出B 与C 的并集，找出A 与并集的交集即可． 解：∵A ＝{x |x ＝π+2kπ3，k ∈Z }，B ＝{x |x ＝k π+π3，k ∈Z }，C ＝{x |x ＝k π+2π3，k ∈Z }，∴A ∩（B ∪C ）＝{x |x ＝2k π±π3，k ∈Z }， 故选：C ．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 13．已知α∈(0，π4)，则下列不等式中正确的是 （ ） A ．sin （sin α）＜sin （tan α）＜sin α B ．sin （sin α）＜sin α＜sin （tan α） C ．sin （tan α）＜sin α＜sin （sin α）D ．sin α＜sin （sin α）＜sin （tan α）【分析】由α∈(0，π4)，得到0＜sin α＜α＜tan α＜1，利用三角函数的单调性解答． 解：因为α∈(0，π4)，所以0＜sin α＜α＜tan α＜1，所以sin （sin α）＜sin α＜sin （tan α）； 故选：B ．【点评】本题考查了三角函数的单调性；注意角度范围以及对应函数的单调性． 14．已知△ABC 中，AB ＝2，AC =√2BC ，则△ABC 的面积的最大值为 （ ） A ．2√2B ．2√5C ．2D ．23√3【分析】设BC ＝a ，则AC =√2a ，利用余弦定理可求得cos 2B =1a 2+a 216−12，再利用三角形的面积公式可求得S △ABC ＝a sin B ，继而可求S △ABC 2=−116（a 2﹣12）2+8，从而可得△ABC 面积的最大值．解：依题意，设BC ＝a ，则AC =√2a ，又AB ＝2， 由余弦定理得：（√2a ）2＝a 2+AB 2﹣2a •AB cos B ， 即a 2+4a cos B ﹣4＝0， ∴cos B =4−a 24a=1a−a 4，∴cos 2B =12+a 216−12，∴sin 2B ＝1﹣cos 2B =32−a 216−1a2．∵S △ABC =12AB •BC sin B =12×2a sin B ＝a sin B ，∴S 2△ABC ＝a 2sin 2B ＝a 2（32−a 216−1a2）=−a 416+32a 2﹣1=−116（a 4﹣24a 2）﹣1=−116（a 2﹣12）2+8，当a 2＝12，即a ＝2√3时，2、2√3、2√6能组成三角形， ∴S 2max ＝8， ∴S max ＝2√2． 故选：A ．【点评】本题考查余弦定理与正弦定理的应用，着重考查转化思想与二次函数的配方法，求得S 2△ABC =−116（a 2﹣12）2+8是关键，也是难点，属于难题． 三、解答题（本大题共4小题，满分44分） 15．在△ABC 中，√3tanC −1=tanB+tanCtanA，（1）求角B 的值；（2）若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求边长a 、c 的值．【分析】（1）由已知式子和两角和的正切公式变形可得tan B ，可得B 值；（2）由正弦定理和已知可得c＝2a，再由余弦定理可得a值，可得c值．解：（1）∵在△ABC中，√3tanC−1=tanB+tanCtanA，∴tan B+tan C＝tan A（√3tan C﹣1），∴tan B=√3tan A tan C﹣（tan A+tan C）=√3tan A tan C﹣tan（A+C）（1﹣tan A tan C），∴tan B=√3tan A tan C+tan B（1﹣tan A tan C），∴tan B﹣tan B（1﹣tan A tan C）=√3tan A tan C，∴tan B tan A tan C=√3tan A tan C，∴tan B=√3，∴B=π3，（2）∵sin C＝2sin A，∴由正弦定理得c＝2a，由余弦定理b2＝a2+c2﹣2ac cos B，代入数据可得9=a2+4a2−2a⋅2acos π3，解得a=√3，∴c=2a=2√3．【点评】本题考查解三角形，涉及正余弦定理的综合应用以及两角和与差的正切函数的变形应用，属中档题．16．已知函数f（x）＝2sin（13x−π6），x∈R（1）求f(5π4)的值；（2）设0≤β≤π2≤α≤π，f(3α+π2)=1013，f（3β+2π）=65，求cos（α+β）的值．【分析】（1）代值计算可得答案；（2）由题意和同角三角函数的基本关系可得sinα和cosβ的值，进而由两角和的余弦公式可得．解：（1）由题意可得f(5π4)=2sin（13×5π4−π6）＝2sinπ4=√2；（2）∵0≤β≤π2≤α≤π，f(3α+π2)=1013，f（3β+2π）=65，∴f（3α+π2）＝2sin（α+π6−π6）＝2sinα=1013，∴sinα=513，f（3β+2π）＝2sin（β+2π3−π6）＝2cosβ=65，∴cosβ=35，∴cosα=−√1−sin2α=−1213，sinβ=45，∴cos （α+β）＝cos αcos β﹣sin αsin β =−1213×35−513×45=−5665．【点评】本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及同角三角函数的基本关系，属基础题． 17．在平面直角坐标系xOy 中，钝角α+π4的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合．若α+π4的终边与单位元圆交于点(−35，t)．（1）求t 的值；（2）求cos α和sin α的值；（3）设f(x)=cos(πx2+α)，求f （1）+f （2）+…+f （2015）的值．【分析】（1）根据题意和三角函数的定义求出cos （α+π4）的值，再由平方关系求出t 的值； （2）根据两角和的正弦、余弦公式列出方程组，求出cos α和sin α的值；（3）根据三角函数的周期公式求出f （x ）的周期，再求出一个周期内的函数值，利用函数的周期性求出式子的值．解：（1）∵钝角α+π4的终边与单位元圆交于点(−35，t)，∴根据三角函数的定义，cos （α+π4）=−35，∴t ＝sin （α+π4）=√1−cos 2(α+π4)=45；（2）由sin （α+π4）=45、cos （α+π4）=−35得，√22（sin α+cos α）=45，① √22（cosα﹣sin α）=−35，②由①②解得，cos α=√210，sin α=7√210；（3）∵f （x ）＝cos （πx 2+α），∴函数f （x ）的周期T =2ππ2=4，∴f （1）＝cos （π2+α）＝﹣sin α=−7√210，f （2）＝cos （π+α）＝﹣cos α=−√210，f （3）＝cos （32π+α）＝sin α=7√210，f （4）＝cos （2π+α）＝cos α=√210，f （5）＝cos （5π2+α）＝﹣sin α，…，则f （1）+f （2）+f （3）+f （4）＝0；∴f （1）+f （2）+…+f （2015）＝f （1）+f （2）+f （3） =−7√210−√210+7√210=−√210．【点评】本题考查三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，两角和的正弦、余弦公式，以及三角函数的周期性，属于中档题．18．已知A ＝{α|2cos 2α﹣3cos α+1≤0，α∈R }，B ＝{α|2sin α＞1，α∈R }， （1）求集合A ∩B ；（2）若对任意x ∈A ∩B ，都有cos2x −4sin(π4+x2)sin(π4−x2)+m ＞0恒成立，求m 的取值范围．【分析】（1）分别求出关于A 、B 中的α的范围，从而求出A ∩B ，（2）问题转化为对任意x ∈A ∩B ，都有m ＞32−12（cos x −12）2恒成立，求出即可． 【解答】解（1）A ＝{α|2cos 2α﹣3cos α+1≤0，α∈R } ＝{α|（2cos α﹣1）（cos α﹣1）≤0，α∈R } ＝{α|12≤cos α≤1，α∈R }＝{α|2k π−π3≤α≤2k π+π3，α∈R }，B ＝{α|2sin α＞1，α∈R }＝{α|sin α＞0}＝{α|2k π＜α＜2k π+π}， ∴A ∩B ＝{α|2k π＜α≤2k π+π3，k ∈Z }， （2）由cos2x −4sin(π4+x2)sin(π4−x2)+m ＞0 ⇒cos2x ﹣4sin （π4+x2）cos （π4+x2）+m ＞0⇒cos2x ﹣2sin （π2+x ）+m ＞0 ⇒cos2x ﹣2cos x +m ＞0 ⇒2cos 2x ﹣1﹣2cos x +m ＞0⇒m ＞32−2（cos x −12）2∴若对任意x ∈A ∩B ，都有cos2x −4sin(π4+x 2)sin(π4−x2)+m ＞0恒成立，即对任意x ∈A ∩B ，都有m ＞32−2（cos x −12）2恒成立，∵x ∈（2k π，2k π+π3]，∴cos x ∈[12，1），∴0≤2（cos x −12）2≤12，∴m ＞32．【点评】本题考查了集合的运算，考查三角函数的运算，考查函数恒成立问题，本题是一道中档题．四、附加题（本大题共2小题，满分20分） 19．已知△ABC 三个内角A 、B 、C 满足A +C ＝2B ，1cosA+1cosC=−√2cosB，求cos A−C 2的值．【分析】先根据A ，B ，C 的关系求出B 的值，再代入到1cosA +1cosC =−√2cosB中得到cos A ，cos C 的关系，根据和差化积及积化和差公式化简，再将cos A+C2，cos （A +C ）的值代入整理后因式分解，即可求出cos A−C2的值． 解：A +C ＝π﹣B ＝2B ， ∴B ＝60°，A +C ＝120°． ∵−√2cos60°=−2√2，∴1cosA+1cosC=−2√2将上式化为cosA +cosC =−2√2cosAcosC 利用和差化积及积化和差公式，上式可化为2cos A+C 2cos A−C2=−√2[cos(A +C)+cos(A −C)] 将cosA+C 2=cos60°=12，cos(A +C)=−12代入上式得cos(A−C 2)=√22−√2cos(A −C) 将cos(A −C)=2cos 2(A−C 2)−1代入上式并整理得4√2cos 2(A−C 2)+2cos(A−C2)−3√2=0(2cosA−C 2−√2)(2√2cos A−C2+3)=0， ∵2√2cos A−C2+3≠0， ∴2cos A−C2−√2=0． 从而得cos A−C 2=√22．【点评】本小题考查三角函数基础知识，利用三角公式进行恒等变形和运算的能力．20．在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足tan B=cos(C−B) sinA+sin(C−B)，（1）判断△ABC的形状，并加以证明；（2）当a＝2，∠B＝x时，将y=b+c+1bc表示成y＝f（x）的形式，并求此函数的定义域，当x为何值时，y＝f（x）有最值？并求出最值．【分析】（1）切和弦共同存在的等式中，一般要切化弦，根据两外项之积等于两内项之积，把分式化为整式，移项，逆用两角和的余弦公式，把脚C化为A+B用两角和的余弦公式展开，合并同类项，得到两角余弦乘积为零，则两角中必有一个直角．（2）由题意及（1）可得：A=π2，由正弦定理可解得b＝2sin x，c＝2cos x，从而可得y=b+c+1bc=2(sinx+cosx)+14sinxcosx，(0＜x＜π2)．设sin x+cos x＝t，y=2t+12t2−2，设u＝2t+1，t=u−12，y=2uu2−2u−3=2u−3u−2，由x的范围，可求t，u的范围，利用基本不等式的解法即可得解．解：（1）△ABC是直角三角形．证明：由已知得：sinBcosB =cos(C−B) sinA+sin(C−B)，∴sin A sin B+sin B sin（C﹣B）＝cos B cos（C﹣B），移项，逆用两角和的余弦公式得：sin A sin B＝cos C，∵在△ABC中，cos C＝﹣cos（A+B），∴sin A sin B＝﹣cos（A+B），∴cos A cos B＝0，∴cos A＝0或cos B＝0（舍去），∴△ABC是直角三角形．（2）∵当a＝2，∠B＝x时，由（1）可得：A=π2，由正弦定理可得：2=bsinx=c sinC，sin C＝cos x．∴解得：b＝2sin x，c＝2cos x，∴y=b+c+1bc=2(sinx+cosx)+14sinxcosx，(0＜x＜π2)．设sin x+cos x＝t，y=2t+12t2−2，设u＝2t+1，t=u−12，y=2u2=2u−3u−2，∵x∈(0，π2)，t∈(1，√2]，u∈(3，1+2√2]，当u=1+2√2时，ymin=1+2√22．【点评】本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦定理的应用，函数的定义域及其求法，不等式的解法及应用，考查了换元法和转化思想，属于难题．。

上海市华师大二附中高一上学期期中考试试题数学一、填空题：（每空3分，共42分）1、已知集合{1,1,2,4},{1,0,2},A B =-=- 则B A =2、不等式032≥+-x x 的解集为_____________（用区间表示） 3、已知集合M={(x ，y )|4x ＋y =6}，P={(x ，y )|3x ＋2y =7}，则M ∩P ＝4、已知全集U=R ，集合}065|{2≥--=x x x P ，那么U C P =5、已知集合A={1，3，2m+3}，B={3, 2m }，若A B ⊆，则实数m=_____6、设全集{1,2,3,4,5},{2,4},U U M N M C N ===则N =7、满足{1，2}M ⊆{1，2，3，4，5，6}的集合M 的个数是8、已知R x ∈，命题“若52<<x ，则01072<+-x x ”的否命题是9、设0>x ，则13++x x 的最小值为 10、若关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为{x |－1＜x ＜2}，则关于x 的不等式02>++a bx cx 的解集是11、在R 上定义运算).1(:y x y x -=⊗⊗若不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x 成立，则实数a 的取值范围是12、若关于x 的不等式123222--≤+-a a x x 在R 上的解集为∅，则实数a 的取值范围是 。

13、设实数b a ,满足302=++b ab a ，且0,0>>b a ，那么ab1的最小值为 14．定义满足不等式(,0)x A B A R B -<∈>的实数x 的集合叫做A 的B 邻域。

若a b t +-（t 为正常数）的a b +邻域是一个关于原点对称的区间，则22a b +的最小值为二、选择题：（每题3分，共12分）15、设集合{}20M x x x =-<，{}2N x x =<，则( )（A ）M N =∅ （B ） M N M = （C ）M N M = （D ）M N R =16、下列命题中正确的是：（ ）（A ）若bc ac >，则b a >(B) 若a 2>b 2，则b a > （C ）若b a 11>，则b a < (D) 若b a <，则b a <17、设命题甲为“0<x<5”，命题乙为“|x-2|<3”，那么甲是乙的：（ ）（A ）充分非必要条件； （B ）必要非充分条件；（C ）充要条件； （D ）既非充分又非必要条件18、对于使22x x M -+≤成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值1叫做22x x -+的上确界,若,,1a b R a b +∈+=且，则122a b --的上确界为（ ） A ．92 B ．92- C ．41 D ．4- 三、解答题：（6＋6＋8＋6＋8＋12分，共46分）19、解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<--≤++0862132x x x x 20、记关于x 的不等式0111<++-x a 的解集为P ，不等式3|2|<+x 的解集为Q （1）若3a =，求P ；（2）若Q Q P = ，求正数a 的取值范围。

2015-2016学年上海市闵行中学高一（上）期中数学试卷一、填空题：（每空4分，共45分）1．（4分）用列举法表示集合=．2．（4分）已知全集U=R，集合，则集合∁U A=．3．（4分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2＜0，x∈R}，集合B={x||x﹣2|≥1，x∈R}，则A∩B=．4．（4分）已知x，y∈R*，且2x+3y=4，则xy的最大值为．5．（4分）已知函数在x=2时取得最小值，则实数a=．6．（4分）若集合A={x|x2﹣mx+3=0，x∈R}，B={x|x2﹣x+n=0，x∈R}，且A∪B={0，1，3}，则实数m，n的值分别是m=，n=．7．（4分）若x，y∈R，则“x＞y”是“x2＞y2”的条件．（从“充要、充分不必要不充分、必要不充分、既不充分也不必要”四种关系中选择一个填在横线上）8．（4分）命题“若实数a，b满足2a+b＞5，则a=2且b=3”的否命题是命题（填“真”或“假”）．9．（4分）若不等式|x﹣2|﹣|x+3|≤a对任意x∈R恒成立，则实数a的取值范围为．10．（4分）已知关于x的不等式的解集为P，若1∉P，则实数a的取值范围为．11．（4分）用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的（n∈N*）．已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的，请从这个实事中提炼出一个不等式组是．12．（4分）设0＜b＜1+a，若关于x的不等式（x﹣b）2＞（ax）2的解集中的整数解恰有4个，则实数a的取值范围是．二、选择题（每题4分，共16分）13．（4分）下列各组函数表示同一函数的是（）A．y=x与B．y=x+1与C．与y=0 D．y=x与14．（4分）若集合M⊆N，则以下集合中一定是空集的是（）A．M∩N B．M∩∁U N C．∁U M∩N D．M∪N15．（4分）若a＞b＞c，且a+b+c=0，则下列不等式中恒成立的是（）A．ab＞ac B．ac＞bc C．a+c=0 D．a2＞b2＞c216．（4分）已知函数y=f（x+1）定义域是[﹣2，3]，则y=f（2|x|﹣1）的定义域是（）A． B．[﹣1，4]C．D．三、解答题：在指定范围内写出必要的步骤（满分56分）17．（8分）已知的定义域为的定义域为B，求A∩B．18．（10分）设集合A={x|a﹣2≤x≤2a+3，x∈R}，B={x|x2﹣6x+5≤0}．（1）若A∩B=B，求实数a的取值范围；（2）若A∩∁U B=∅，求实数a的取值范围．19．（12分）已知命题甲：对任意实数x∈R，不等式恒成立；命题乙：已知x，y∈R*满足x+y=xy+3=0，且a≤xy恒成立．（1）分别求出甲、乙为真命题时，实数a的取值范围；（2）求实数a的取值范围，使命题甲、乙中有且只有一个真命题．20．（12分）如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx ﹣（1+k2）x2（k＞0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．21．（14分）定义：记min{x1，x2，…，x n}为x1，x2，…，x n这n个实数中的最小值，记max{x1，x2，…，x n}为x1，x2，…，x n这n个实数中的最大值，例如：min{3，﹣2，0}=﹣2．（1）求证：min{x2+y2，xy}=xy；（2）已知f（x）=max{|x|，2x+3}（x∈R），求f（x）的最小值；（3）若H=max{，，}（x，y∈R+），求H的最小值．2015-2016学年上海市闵行中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（每空4分，共45分）1．（4分）用列举法表示集合= {（3，1）} ．【解答】解：当x=1时，y=，舍去，当x=2时，y=，舍去，当x=3时，y=1，故A={（3，1）}，故答案为：{（3，1）}，2．（4分）已知全集U=R，集合，则集合∁U A={x|x≥0或x≤﹣2} ．【解答】解：={x|﹣2＜x＜0}，则∁U A={x|x≥0或x≤﹣2}，故答案为：{x|x≥0或x≤﹣2}3．（4分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2＜0，x∈R}，集合B={x||x﹣2|≥1，x∈R}，则A∩B={x|﹣1＜x≤1，x∈R} ．【解答】解：集合A={x|x2﹣x﹣2＜0，x∈R}={x|﹣1＜x＜2，x∈R}，集合B={x||x﹣2|≥1，x∈R}={x|x﹣2≥1或x﹣2≤﹣1，x∈R}={x|x≥3或x≤1，x∈R}，则A∩B={x|﹣1＜x≤1，x∈R}．故答案为：{x|﹣1＜x≤1，x∈R}．4．（4分）已知x，y∈R*，且2x+3y=4，则xy的最大值为．【解答】解：∵x，y∈R*，∴4=2x+3y≥，化为：xy≤，当且仅当2x=3y=2时取等号．则xy的最大值为．故答案为：．5．（4分）已知函数在x=2时取得最小值，则实数a=4．【解答】解：方法一：由题意可知：x＞0，a2＞0，∴f（x）=4x+≥2=4a，当且仅当4x=，即x=时取等号，又∵f（x）在x=2时取得最小值，∴=2，解得a=4，故答案为：4．方法二：由对勾函数f（x）=4x+，x＞0，a2＞0，当x=时，取最小值，则=2，∴a=4，故答案为：4．6．（4分）若集合A={x|x2﹣mx+3=0，x∈R}，B={x|x2﹣x+n=0，x∈R}，且A∪B={0，1，3}，则实数m，n的值分别是m=4，n=0．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣mx+3=0，x∈R}，B={x|x2﹣x+n=0，x∈R}，且A ∪B={0，1，3}，∴n=0，B={x|x2﹣x=0，x∈R}={0，1}，∴A={x|x2﹣mx+3=0，x∈R}={1，3}，∴1+3=m，即m=4，实数m，n的值分别是m=4，n=0．故答案为：4，0．7．（4分）若x，y∈R，则“x＞y”是“x2＞y2”的既不充分也不必要条件．（从“充要、充分不必要不充分、必要不充分、既不充分也不必要”四种关系中选择一个填在横线上）【解答】解：当x=1，y=﹣2时，满足x＞y，但x2＞y2不成立，即充分性不成立，当x=﹣2，y=1时，满足x2＞y2，但x＞y不成立，即必要性不成立，综上“x＞y”是“x2＞y2”的既不充分也不必要条件，故答案为：既不充分也不必要8．（4分）命题“若实数a，b满足2a+b＞5，则a=2且b=3”的否命题是真命题（填“真”或“假”）．【解答】解：命题若实数a，b满足2a+b＞5，则a=2且b=3的逆命题为若实数a，b满足a=2且b=3，则2a+b＞5，此时2a+b=2×2+3=4+3=7＞5成立，即逆命题成立，则由逆否命题的等价性得命题的否命题为真命题，故答案为：真9．（4分）若不等式|x﹣2|﹣|x+3|≤a对任意x∈R恒成立，则实数a的取值范围为a≥5．【解答】解：因为|x﹣2|﹣|x+3|≤|（x﹣2）+（﹣x﹣3）|=5，即（|x﹣2|﹣|x+3|）=5，max又不等式|x﹣2|﹣|x+3|≤a对于任意实数x恒成立，所以a≥（|x﹣2|﹣|x+3|）max=5，故答案为：a≥5．10．（4分）已知关于x的不等式的解集为P，若1∉P，则实数a的取值范围为（﹣，1] ．【解答】解：∵不等式的解集为p，且1∉P，∴＞2，即（a﹣1）（2a+1）＜0，解得﹣＜a＜1，x=1时，不等式的解集为（1，6]，∴实数a的取值范围是（﹣，1]．故答案为（﹣，1]．11．（4分）用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的（n∈N*）．已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的，请从这个实事中提炼出一个不等式组是．【解答】解：依题意＜1，且三次后全部进入，+≥1，n∈N*．因此不等式组为：，故答案为：．12．（4分）设0＜b＜1+a，若关于x的不等式（x﹣b）2＞（ax）2的解集中的整数解恰有4个，则实数a的取值范围是1＜a＜3．【解答】解：关于x 的不等式（x﹣b）2＞（ax）2 即（a2﹣1）x2+2bx﹣b2＜0，∵0＜b＜1+a，[（a+1）x﹣b]•[（a﹣1）x+b]＜0 的解集中的整数恰有4个，∴a＞1，∴不等式的解集为＜x＜＜1，所以解集里的整数是﹣3，﹣2，﹣1，0 三个∴﹣4≤＜﹣3，∴2a﹣2＜b≤4a﹣4，∵b＜1+a，∴2a﹣2＜1+a，∴a＜3，综上，1＜a＜3，故答案为1＜a＜3．二、选择题（每题4分，共16分）13．（4分）下列各组函数表示同一函数的是（）A．y=x与B．y=x+1与C．与y=0 D．y=x与【解答】解：y=x与=|x|的对应关系不一致，故不表示同一函数；y=x+1与=x+1（x≠1）的定义域不一致，故不表示同一函数；=0（x=±1）与y=0的定义域不一致，故不表示同一函数；y=x与=x的定义域和对应关系均相同，故可表示同一函数；故选：D．14．（4分）若集合M⊆N，则以下集合中一定是空集的是（）A．M∩N B．M∩∁U N C．∁U M∩N D．M∪N【解答】解：若集合M⊆N，则M∩N=M不一定是空集；M∩∁U N一定是空集；∁U M∩N不一定是空集；M∪N=N不一定是空集；故选：B．15．（4分）若a＞b＞c，且a+b+c=0，则下列不等式中恒成立的是（）A．ab＞ac B．ac＞bc C．a+c=0 D．a2＞b2＞c2【解答】解：∵a＞b＞c，且a+b+c=0，∴a＞0，c＜0，∴ab＞ac，故选：A．16．（4分）已知函数y=f（x+1）定义域是[﹣2，3]，则y=f（2|x|﹣1）的定义域是（）A． B．[﹣1，4]C．D．【解答】解：因为函数y=f（x+1）定义域是[﹣2，3]，所以﹣2≤x≤3，即﹣1≤x+1≤4．所以函数f（x）的定义域为[﹣1，4]．由﹣1≤2|x|﹣1≤4．得0≤2|x|≤5，解得﹣，即y=f（2|x|﹣1）的定义域为．故选：C．三、解答题：在指定范围内写出必要的步骤（满分56分）17．（8分）已知的定义域为的定义域为B，求A∩B．【解答】解：A={x|x2+x﹣2≥0}={x|x≥1或x≤﹣2}，B={x|≥0，且x+2≠0}={x|﹣3≤x＜3且x≠﹣2}，则A∩B={x|1≤x＜3或﹣3≤x＜﹣2}．18．（10分）设集合A={x|a﹣2≤x≤2a+3，x∈R}，B={x|x2﹣6x+5≤0}．（1）若A∩B=B，求实数a的取值范围；（2）若A∩∁U B=∅，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵集合A={x|a﹣2≤x≤2a+3，x∈R}，B={x|x2﹣6x+5≤0}={x|1≤x≤5}．若A∩B=B，则B⊆A，即a﹣2≤1，且2a+3≥5，解得：a∈[1，3]，（2）若A∩∁U B=∅，则A⊆B，当A=∅，即a﹣2＞2a+3时，满足条件，解得：a＜﹣5，当A≠∅，即a﹣2≤2a+3，a≥﹣5时，a﹣2≥1，且2a+3≤5，此时不存在满足条件的a值，综相可得：若A∩∁U B=∅，则a＜﹣5．19．（12分）已知命题甲：对任意实数x∈R，不等式恒成立；命题乙：已知x，y∈R*满足x+y=xy+3=0，且a≤xy恒成立．（1）分别求出甲、乙为真命题时，实数a的取值范围；（2）求实数a的取值范围，使命题甲、乙中有且只有一个真命题．【解答】解：（1）∵x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1＞0恒成立，∴命题甲：对任意实数x∈R，不等式恒成立⇔ax2﹣ax+3≥0恒成立，当a=0时，3＞0恒成立；当a≠0时，必有，解得：0＜a≤12，综上，甲为真命题时，实数a的取值范围为[0，12]；∵正数x，y，满足x+y≥2，xy=x+y+3，∴xy﹣2﹣3≥0，∴≥3或≤﹣1（舍去），∴xy≥9，要使xy≥a恒成立，则a≤9．∴a的取值范围为（﹣∞，9]．（2）若甲为真命题，则乙为假命题，则a∈[0，12]∩（9，+∞）=（9，12]；若甲为假命题，则乙为真命题，则a∈{a|a＜0或a＞12}∩{a|a≤9}=（﹣∞，9]．综上，使命题甲、乙中有且只有一个真命题的a的范围为（﹣∞，12]．20．（12分）如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx ﹣（1+k2）x2（k＞0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．【解答】解：（1）在y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）中，令y=0，得kx﹣（1+k2）x2=0．由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0．∴，当且仅当k=1时取等号．∴炮的最大射程是10千米．（2）∵a＞0，∴炮弹可以击中目标等价于存在k＞0，使ka﹣（1+k2）a2=3.2成立，即关于k的方程a2k2﹣20ak+a2+64=0有正根．由韦达定理满足两根之和大于0，两根之积大于0，故只需△=400a2﹣4a2（a2+64）≥0得a≤6．此时，k=＞0．∴当a不超过6千米时，炮弹可以击中目标．21．（14分）定义：记min{x1，x2，…，x n}为x1，x2，…，x n这n个实数中的最小值，记max{x1，x2，…，x n}为x1，x2，…，x n这n个实数中的最大值，例如：min{3，﹣2，0}=﹣2．（1）求证：min{x2+y2，xy}=xy；（2）已知f（x）=max{|x|，2x+3}（x∈R），求f（x）的最小值；（3）若H=max{，，}（x，y∈R+），求H的最小值．【解答】（1）证明：当xy≤0时，x2+y2≥xy，则min{x2+y2，xy}=xy，当xy＞0时，由x2+y2≥2|xy|＞xy，则min{x2+y2，xy}=xy，综上所述min{x2+y2，xy}=xy；（2）解：f（x）=max{|x|，2x+3}=，∴当x=﹣1时，f（x）的有最小值，即为1；（3）解：x=y=时，H=max {，，}={2}，H 的最小值为2．不失一般性，设x ＞y ＞0，当x ＞y ＞时， ∵x ，y ∈R +， ∴≥=2，当且仅当x=y 时取等号， ∵2＞＞， ∴H=max {，，}={2}，H 的最小值为2．当x ＞＞y 时，H=max {，，}={}，H 的最小值不存在．当＞x ＞y 时，H=max {，，}={}，H 的最小值不存在．综上所述，x=y=时，H 的最小值为2．。

上海市行知中学2014——2015学年度第一学期期中考试高一年级 数学试卷 命题人：高云 审核人：赵传义一、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分）12．不等式02x >-的解集是___ _3、设全集为U ，集合A U ⊆、B ⊆U ，下列关系中与A B ⊆等价的是 。

（写出你认为正确的所有序号） （1）A B A =；（2）A B B =；（3）U A C B =∅；（4）U B C A =∅ 。

4、命题“若x ＞2且y ＞3，则x +y ＞5”的否命题是______命题．（填入“真”或“假”） 5．已知()y f x =是奇函数，若()()1g x f x =+且(1)2g =，则(1)g -= 6．()()2122+-+=x a x x f 在(]4,∞-上是减函数，则a 的取值范围 7．已知x x x f 2)12(2-=+，则)3(f = 8、已知*),(,N b a b a ∈满足191=+ba ，则当b a +取最小值时，b a 、的值分别是 .9．函数()123+-=a ax x f 在[]1,1-上存在一个零点，则a 的取值范围是 . 10、设集合={0,1}A ，B ＝2{,2}a a ，定义：1212{|,,}A B x x x x x A x B ⨯==+∈∈，若集合A B ⨯ 中元素的最大值为21a +，则实数a 的取值范围是 。

11．若不等式210x kx k -+->对(12)x ∈，恒成立，则实数k 的取值范围是______. 12、设函数)(),(x g x f 的定义域分别为g f D D ,，且g f D D ⊂，若对于任意f D x ∈，都有)()(x f x g =，则称函数)(x g 为)(x f 在g D 上的一个延拓函数。

设]0,(,2)(2-∞∈+=x x x x f ，)(x g 为)(x f 在R 上的一个延拓函数，且)(x g 为偶函数，则=)(x g ______________________二、选择题（本大题共4题，每题4分，满分16分）13．已知集合{}022≤-=x x x M ，}013|{≤-+=xxx N ，R U =，则图中阴影部分表示的集合是………………………………………（ ）． A .)0,(-∞∪),1(+∞ .B ]3,(--∞∪),2(+∞C . )3,(--∞∪),2(+∞D . ]0,(-∞∪),2[+∞14．设()x f 是R 上的偶函数，且在()0，∞-上为减函数，若01<x ，021>+x x ，则（ ）A ．()()21x f x f >B ．()()21x f x f =C ． ()()21x f x f <D ．不能确定()1x f 与()2x f 的大小 15. 下列命题中，正确的是（ ） A . 4x x+的最小值是4C . 如果a ＞b ，c ＞d ，那么a ﹣c ＜b ﹣d 16、设函数)(x f y =与函数)(x g y =所示，则函数)()(x g x f y ⋅=的（ ）三.解答题（本大题共有5题，满分52分）, 17、（本小题满分8分）已知集合{}1|≤-=a x x A ,{}045|2>+-=x x x B ,且φ=B A ，求实数a 的取值范围。