第三章 3.3-3.3.1-3.3.2 两点间的距离课件 新人教A版必修3

MN x 1x 22 y 1y 22
思考2:若直线P1P2垂直于xOy平面， 则点P1、P2之间的距离如何？
z
P2
O
P1
y
x
P1P2 z1z2
思考3:若直线P1P2平行于xOy平面， 则点P1、P2之间的距离如何？
z P1
O
xM
P2
y N
P 1 P 2 M N x 1 x 2 2 y 1 y 2 2
练1:已知三角形的三个顶点A(1,5,2)，
B(2,3,4)，C(3,1,5)，求:
(2)BC边上中线AM的长。
解:
x y z
23
2 31
2 45
2
5 2 2
9 2
M
5 2
,2,
9 2
例 2设 P 在 x 轴 上 ， 它 到 P 1 (0 , 2 ,3 )的 距 离 为 到 点 P 2(0 ,1 , 1 )的 距 离 的 两 倍 ， 求 点 P 的 坐 标 .
zy
42或z
y 3
0 2
C 0,4, 2 或 0,0,3 2
所以存在一点C，满足条件.
【总一总★成竹在胸】
一、空间两点间的距离公式：
d (x 2 x 1 )2 (y 2 y 1 )2 (z 2 z 1 )2
二、空间中点坐标公式：
x
x1 x2 2
y
y1 y2 2
z
z1 z2 2
M2M3 M3M1, 原结论成立.
练1:已知三角形的三个顶点A(1,5,2)， B(2,3,4)，C(3,1,5)，求: (1)三角形三边的边长；
解: A B 1 2 2 5 3 2 2 4 2 3
B C 2 3 2 3 1 2 4 5 26 A C 1 3 2 5 1 2 2 5 229

方法感悟 方法技巧 1．在求解与长度有关的几何概型时，首先找 ．在求解与长度有关的几何概型时， 到几何区域D，这时区域D可能是一条线段或 到几何区域 ，这时区域 可能是一条线段或 几条线段或曲线段，然后找到事件A发生对应 几条线段或曲线段，然后找到事件A发生对应 的区域d，在找d的过程中 的过程中， 的区域 ，在找 的过程中，确定边界点是问 题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A 题的关键，但边界点是否取到却不影响事件 的概率． 如例 如例1) 的概率．(如例 2．当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域 ．当涉及射线的转动， 问题时， 问题时，常以角度的大小作为区域度量来计 算概率． 如例 如例1) 算概率．(如例
失误防范 1．适当选择观察角度，注意区分几何量是长 ． 适当选择观察角度， 度还是角度或是面积、体积． 如例 如例1) 度还是角度或是面积、体积．(如例 2．几何概型，事件A发生在总区域内也是均 ．几何概型，事件 发生在总区域内也是均 匀的，即是等可能的． 匀的，即是等可能的．
3．如果试验的全部结果所构成的区域可用体 ． 积来度量，我们要结合问题的背景， 积来度量，我们要结合问题的背景，选择好 观察角度， 观察角度，准确找出基本事件所占的区域的 体积及事件A所分布的体积 所分布的体积． 体积及事件 所分布的体积．其概率的计算公 式为
构成事件A的区域体积 构成事件 的区域体积 P(A)＝ .(如 ＝ 如 试验的全部结果构成的区域体积 例 3)
【思路点拨】 先计算 思路点拨】 先计算AM＝AC时∠ACM的 ＝ 时 的 度数，再找出相应的区域角， 度数，再找出相应的区域角，利用几何概型 的概率公式求解即可． 的概率公式求解即可．
【解】 这是几何概型问题且射线 CM 在∠ ACB 内部， 内部， 在 AB 上 取 AC′ ＝ AC ， 则 ∠ ACC′ ＝ ′ ′ 180°－45° － ＝67.5°. 2

为AC,另一条小路过点D,问：是否在BC上存在一点M,使得
两条小路AC与DM相互垂直?若存在，求出小路DM的长.
解：以B 为坐标原点，BC,BA 所在直线分别为 x 轴 、y 轴建立如图所示的 平面直角坐标系.
因为 |AD|=5 m,|AB|=3 m,所 以C(5,0),D(5,3),A(0,3). 设点M 的坐标为(x,0),
解得
5.光线从点A(-3,4)射到x轴上，经反射后经过点B(4,10),则反 射光线所在直线的方程为 2x-y+2=0 ,光线从A到B的路线长 度为7√5 解析：由题意知，反射光线过(-3,-4)和(4,10)两点，故斜率为
所以反射光线为 y+4=2(x+3),整理得2x-y+2=0,
光线从A到 B 的路线长度，即为(-3,-4)与(4,10)间的距离，所
[例2] 已知点A(3,6), 在x轴上的点P与点A的距离等于 10,则点P的坐标为(-5,0)或(11,0) 解析：设点P 的坐标为(x,0),
由 |PA|=10得
解得x=11 或x=-5. 所以点P 的坐标为(-5,0)或(11,0).
解 ：法一 因 为
所以|AB|=|AC|,且 |AB|²+|AC|²=|BC|²,所以△ABC是等腰直角三角形.
法二 因 为 所以kAc ·kAB=-1.所以AC⊥AB.
所以|AC|=|AB|.所以△ABC是等腰直角三角形.
方法 总 结
利用两点间距离公式判断三角形形状的方法 已知三个顶点的坐标判断三角形的形状时，利用两点间的距离公式 求三边长，从边长间的关系入手，如果边长相等，则可能是等腰或等 边三角形；如果满足勾股定理，则是直角三角形.
C.直角三角形 D.以上都不是

2．通过学习两点间的距离，培养逻辑推理和直观想象的数学素养.
必备知识•探新知
知识点 1 两条直线的交点
1．两直线的交点 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.点A(a，b)． (1)若点A在直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0上，则有_A__1a_＋__B_1_b_＋__C_1_＝__0____.
对点训练❷ (1)若不论m取何实数，直线l：mx＋y－1＋2m＝ 0恒过一定点，则该定点的坐标是_____(－__2_,_1_)_____.
(2)直线l过直线x＋y－2＝0和直线x－y＋4＝0的交点，且与直线3x－ 2y＋4＝0平行，求直线l的方程．
[解析] (1)直线 l：mx＋y－1＋2m＝0 可化为 m(x＋2)＋(y－1)＝0，
一组
无数组
直线 l1 与 l2 的公共点的个数 直线 l1 与 l2 的位置关系
一个 __相__交___
__无__数__个___ 重合
__无__解___
零个 __平__行___
做一做：直线x＋y＝5与直线x－y＝3交点坐标是( B )
A．(1,2)
B．(4,1)
C．(3,2)
D．(2,1)
[解析] 解方程组xx－＋yy＝＝35，， 得xy＝ ＝41， ， 因此交点坐标为(4,1)，故
两点间距离公式的应用
3．已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(－3,1)，B(3，－3)， C(1,7)，试判断△ABC的形状．
[分析] 可求出三条边的长，根据所求长度判断三角形的形状．
[解析] 方法一：∵|AB|＝ 3＋32＋－3－12＝ 52， |AC|＝ 1＋32＋7－12＝ 52， |BC|＝ 1－32＋7＋32＝ 104， ∴|AB|＝|AC|，且|AB|2＋|AC|2＝|BC|2. ∴△ABC 是等腰直角三角形． 方法二：∵kAC＝1－7－－13＝32，kAB＝3－－3－ －13＝－23，∴kAC·kAB＝－1. ∴AC⊥AB. 又|AC|＝ 1＋32＋7－12＝ 52， |AB|＝ 3＋32＋－3－12＝ 52， ∴|AC|＝|AB|.∴△ABC 是等腰直角三角形．