2018高考数学(理)锁定70分专项练5 含解析

江苏省2018年高考：数学卷考试真题与答案解析一、填空题本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．已知集合{0,1,2,8}A =，{1,1,6,8}B =-，那么A B =．2．若复数z 满足i 12i z ⋅=+，其中i 是虚数单位，则z 的实部为．3．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为．4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为 ．5．函数()f x =的定义域为．6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为．7．已知函数sin(2)(22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则ϕ的值是 ．8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(,0)F c 到一条渐近线的距，则其离心率的值是 ．9．函数()f x 满足(4)()()f x f x x +=∈R ，且在区间(2,2]-上，cos ,02,2()1||,20,2x x f x x x π⎧<≤⎪⎪=⎨⎪+<≤⎪⎩-则((15))f f 的值为 ．10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为．11．若函数32()21()f x x ax a =-+∈R 在(0,)+∞内有且只有一个零点，则()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值的和为．12．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为．13．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为．14．已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ，*{|2,}n B x x n ==∈N ．将A B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为．二、解答题本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111,AA AB AB B C =⊥．求证：（1）11AB A B C 平面∥；（2）111ABB A A BC ⊥平面平面．16．已知,αβ为锐角，4tan 3α=，cos()αβ+=（1）求cos 2α的值；（2）求tan()αβ-的值．17．某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为CDP △，要求,A B 均在线段MN 上，,C D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ．（1）用θ分别表示矩形ABCD 和CDP △的面积，并确定sin θ的取值范围；（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点12，焦点12(F F ，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △，求直线l 的方程．19．记(),()f x g x ''分别为函数(),()f x g x 的导函数．若存在0x ∈R ，满足00()()f x g x =且00()()f x g x ''=，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”．（1）证明：函数()f x x =与2()22g x x x =+-不存在“S 点”；（2）若函数2()1f x ax =-与()ln g x x =存在“S 点”，求实数a 的值；（3）已知函数2()f x x a =-+，e ()xb g x x=．对任意0a >，判断是否存在0b >，使函数()f x 与()g x 在区间(0,)+∞内存在“S 点”，并说明理由．20．设{}n a 是首项为1a ，公差为d 的等差数列，{}n b 是首项为1b ，公比为q 的等比数列．（1）设110,1,2a b q ===，若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立，求d 的取值范围；（2）若*110,,a b m q =>∈∈N ，证明：存在d ∈R ，使得1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+ 均成立，并求d 的取值范围（用1,,b m q 表示）．答案解析一、填空题1、{1，8}2、23、904、85、[2，+∞）6、3107、π6-8、2910、4311、–312、3 13、914、27二、解答题15．证明：（1）在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ∥A 1B 1．因为AB ⊄平面A 1B 1C ，A 1B 1⊂平面A 1B 1C ，所以AB ∥平面A 1B 1C ．（2）在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，四边形ABB 1A 1为平行四边形．又因为AA 1=AB ，所以四边形ABB 1A 1为菱形，因此AB 1⊥A 1B ．又因为AB 1⊥B 1C 1，BC ∥B 1C 1，所以AB 1⊥BC ．又因为A 1B ∩BC =B ，A 1B ⊂平面A 1BC ，BC ⊂平面A 1BC ，所以AB 1⊥平面A 1BC ．因为AB 1⊂平面ABB 1A 1，所以平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC ．16．解：（1）因为4tan 3α=，sin tan cos ααα=，所以4sin cos 3αα=．因为22sin cos 1αα+=，所以29cos 25α=，因此，27cos 22cos 125αα=-=-．（2）因为,αβ为锐角，所以(0,π)αβ+∈．又因为cos()αβ+=sin()αβ+==，因此tan()2αβ+=-．因为4tan 3α=，所以22tan 24tan 21tan 7ααα==--，因此，tan 2tan()2tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+．17．解：（1）连结PO 并延长交MN 于H ，则PH ⊥MN ，所以OH =10．过O 作OE ⊥BC 于E ，则OE ∥MN ，所以∠COE =θ，故OE =40cos θ，EC =40sin θ，则矩形ABCD 的面积为2×40cos θ（40sin θ+10）=800（4sin θcos θ+cos θ），△CDP 的面积为12×2×40cos θ（40–40sin θ）=1600（cos θ–sin θcos θ）．过N 作GN ⊥MN ，分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ，则GK =KN =10．令∠GOK =θ0，则sin θ0=14，θ0∈（0，π6）．当θ∈[θ0，π2）时，才能作出满足条件的矩形ABCD ，所以sin θ的取值范围是[14，1）．答：矩形ABCD 的面积为800（4sin θcos θ+cos θ）平方米，△CDP 的面积为1600（cos θ–sin θcos θ），sin θ的取值范围是[14，1）．（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k （k >0），则年总产值为4k ×800（4sin θcos θ+cos θ）+3k ×1600（cos θ–sin θcos θ）=8000k （sin θcos θ+cos θ），θ∈[θ0，π2）．设f （θ）= sin θcos θ+cos θ，θ∈[θ0，π2），则．令()=0f θ′，得θ=π6，当θ∈（θ0，π6）时，()>0f θ′，所以f （θ）为增函数；当θ∈（π6，π2）时，()<0f θ′，所以f （θ）为减函数，因此，当θ=π6时，f （θ）取到最大值．答：当θ=π6时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．18．解：（1）因为椭圆C的焦点为12(),F F -，可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>．又点1)2在椭圆C 上，所以2222311,43,a b a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得224,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩因此，椭圆C 的方程为2214x y +=．因为圆O 的直径为12F F ，所以其方程为223x y +=．（2）①设直线l 与圆O 相切于0000(),,(00)P x y x y >>，则22003x y +=，所以直线l 的方程为0000()x y x x y y =--+，即0003x y x y y =-+．由220001,43,x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，消去y ，得222200004243640()x y x x x y +-+-=．（*）因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以222222000000()()(24)(44364820)4x x y y y x ∆=--+-=-=．因为00,0x y >，所以001x y ==．因此，点P的坐标为．②因为三角形OAB，所以12AB OP ⋅=AB =．设1122,,()(),A x y B x y ，由（*）得1,2x =所以2222121()()x B y y x A =-+-222000222200048(2)(1)(4)x y x y x y -=+⋅+．因为22003x y +=，所以22022016(2)32(1)49x AB x -==+，即42002451000x x -+=，解得22005(202x x ==舍去），则2012y =，因此P的坐标为．综上，直线l的方程为y =+．19．解：（1）函数f （x ）=x ，g （x ）=x 2+2x -2，则f ′（x ）=1，g ′（x ）=2x +2．由f （x ）=g （x ）且f ′（x ）= g ′（x ），得222122x x x x ⎧=+-⎨=+⎩，此方程组无解，因此，f （x ）与g （x ）不存在“S ”点．（2）函数21f x ax =-（），()ln g x x =，则12f x ax g x x'='=（），（）．设x 0为f （x ）与g （x ）的“S ”点，由f （x 0）=g （x 0）且f ′（x 0）=g ′（x 0），得200001ln 12ax x ax x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，即200201ln 21ax x ax ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，（*）得01ln 2x =-，即120e x -=，则1221e 22(e )a -==．当e2a =时，120e x -=满足方程组（*），即0x 为f （x ）与g （x ）的“S ”点．因此，a 的值为e 2．（3）对任意a >0，设32()3h x x x ax a =--+．因为(0)0(1)1320h a h a a =>=--+=-<，，且h （x ）的图象是不间断的，所以存在0x ∈（0，1），使得0()0h x =，令03002e (1)x x b x =-，则b >0．函数2e ()()xb f x x a g x x=-+=，，则2e (1)()2()x b x f x x g x x -=-=′，′．由f （x ）=g （x ）且f ′（x ）=g ′（x ），得22e e (1)2xx b x a x b x x x ⎧-+=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩，即00320030202e e (1)2e (1)2e (1)x x xx x x a x x x x x x x ⎧-+=⋅⎪-⎪⎨-⎪-=⋅⎪-⎩（**）此时，0x 满足方程组（**），即0x 是函数f （x ）与g （x ）在区间（0，1）内的一个“S 点”．因此，对任意a >0，存在b >0，使函数f （x ）与g （x ）在区间（0，+∞）内存在“S 点”．20．解：（1）由条件知：112(,)n nn a n d b -=-=．因为1||n n a b b -≤对n =1，2，3，4均成立，即1 12|()1|n n d---≤对n =1，2，3，4均成立，即1≤1，1≤d ≤3，3≤2d ≤5，7≤3d ≤9，得7532d ≤≤．因此，d 的取值范围为75[,32．（2）由条件知：111(1),n nn a b n d b b q -=+-=．若存在d ，使得1||n n a b b -≤（n =2，3，···，m +1）成立，即1111|1|2,3,,(1())n b n d b q b n m -+--≤=+ ，即当2,3,,1n m =+ 时，d 满足1111211n n q q b d b n n ---≤≤--．因为(q ∈，则112n m q q -<≤≤，从而11201n q b n --≤-，1101n q b n ->-，对2,3,,1n m =+ 均成立．因此，取d =0时，1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+ 均成立．下面讨论数列12{}1n q n ---的最大值和数列1{}1n q n --的最小值（2,3,,1n m =+ ）．①当2n m ≤≤时，1112222111()()()n n n n n n n n q q nq q nq n q q q n n n n n n -------+--+-==---，当112mq <≤时，有2n m q q ≤≤，从而1() 20n n n n q q q ---+>．因此，当21n m ≤≤+时，数列12{}1n q n ---单调递增，故数列12{}1n q n ---的最大值为2m q m-．②设()()21x f x x =-，当x >0时，ln 21(0(n )l 22)xf x x '=--<，所以()f x 单调递减，从而()f x <f （0）=1．当2n m ≤≤时，111112111()()()nn n q q n n f q n n n n --=≤-=<-，因此，当21n m ≤≤+时，数列1{}1n q n --单调递减，故数列1{}1n q n --的最小值为m q m ．因此，d 的取值范围为11(2)[,]m mb q b q m m-．。

课时跟踪检测(七十)1．若大前提是：任何实数的平方都大于0，小前提是：a∈R,结论是：a2〉0，那么这个演绎推理出错在( ）A．大前提 B．小前提C．推理过程D．没有出错答案：A解析：要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提、小前提和结论及推理形式是否都正确,根据这几个方面都正确，才能得到这个演绎推理正确．因为大前提是：任何实数的平方都大于0，是不正确的．故选A。

2．观察（x2）′＝2x,（x4）′＝4x3，（cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f（x)满足f(－x）＝f(x），记g(x）为f（x）的导函数,则g（－x)＝( ）A．f（x）B．－f(x）C．g(x）D．－g(x）答案:D解析：由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数，因此当f（x)是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g(－x）＝－g(x）．3．观察一列算式：1⊗1,1⊗2,2⊗1，1⊗3,2⊗2,3⊗1,1⊗4,2⊗3,3⊗2,4⊗1，…,则式子3⊗5是第（)A．22项B．23项C．24项D．25项答案：C解析：两数和为2的有1个，和为3的有2个，和为4的有3个,和为5的有4个，和为6的有5个,和为7的有6个，前面共有21个，3⊗5是和为8的第3项,所以为第24项，故选C.4．已知△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，求证：a〈b.证明:∵∠A＝30°，∠B＝60°,∴∠A〈∠B。

∴a〈b。

其中,画线部分是演绎推理的( )A．大前提 B．小前提C．结论 D．三段论答案：B解析：由三段论的组成可得画线部分为三段论的小前提．5．将圆的一组n等分点分别涂上红色或蓝色,从任意一点开始,按逆时针方向依次记录k（k≤n)个点的颜色，称为该圆的一个“k阶色序",当且仅当两个k阶色序对应位置上的颜色至少有一个不相同时，称为不同的k阶色序．若某国的任意两个“k阶色序”均不相同，则称该圆为“k阶魅力圆"．“3阶魅力圆”中最多可有的等分点个数为（）A．4 B．6C．8 D．10答案：C解析：因“3阶色序”中每个点的颜色有两种选择，故“3阶色序”共有2×2×2＝8种,一方面,n个点可以构成n个“3阶色序”，故“3阶魅力圆”中的等分点的个数不多于8个;另一方面，若n＝8，则必须包含全部共8个“3阶色序”，不妨从(红，红，红）开始按逆时针确定其它各点颜色，显然(红，红,红，蓝，蓝，蓝，红，蓝）符合条件．故“3阶魅力圆”中最多有8个等分点，故选C.6．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3,a3＋b3＝4,a4＋b4＝7,a5＋b5＝11,…，则a10＋b10＝( )A．28 B．76C．123 D．199答案：C解析：从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10＋b10＝123。

为 9 3 ，则三棱锥 D ABC 体积的最大值为
A ．0.7
B． 0.6
C． 0.4
D． 0.3
9．△ ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为
a2 a ，b ， c ，若 △ ABC 的面积为
b2
c2 ，则 C
4
A． π 2
B． π 3
C． π 4
D． π 6
10．设 A ，B ，C ，D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点， △ ABC 为等边三角形且其面积
项是符合题目要求的．
1．已知集合 A x | x 1≥ 0 ， B 0，1，2 ，则 A B
A． 0
B． 1
C． 1，2
D． 0，1，2
2． 1 i 2 i
A． 3 i
B． 3 i
C． 3 i
D． 3 i
3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图
中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长
2018 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是
4．若 sin A． 8 9
1 ，则 cos 2
3
B． 7 9

2018年普通高等学校全国统一考试（山东卷）理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的。

（1）设集合2{60}M x x x =+-<，{13}N x x =≤≤，则M N =A.[1,2)B. [1,2]C. (2,3]D. [2,3]【解析】：{32}M x x =-<<，{|13}N x x =≤≤，则[1,2)M N = ，答案应选A 。

（2）复数2(2iz i i-=+为虚数单位）在复平面内对应的点所在的象限为 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【解析】：22(2)34255i i iz i ---===+对应的点为34(,)55-在第四象限，答案应选D.（3）若点(,9)a 在函数3xy =的图象上，则tan6a π的值为A.0B.3C. 1D. 【解析】：因为点(,9)a 在函数3xy =的图象上，所以2393a ==，2a =，tantan 63a ππ== D. （4）不等式5310x x -++≥的解集是A.[5,7]-B. [4,6]C. (,5][7,)-∞-+∞D. (,4][6,)-∞-+∞ 【解析】：解法一：当5x >时，原不等式可化为2210x -≥，解得6x ≥；当35x -≤≤时，原不等式可化为810≥，不成立；当3x <-时，原不等式可化为2210x -+≥，解得4x -≤.综上可知6x ≥，或4x -≤，答案应选D 。

解法二：可以作出函数53y x x =-++的图象，令5310x x -++=可得4x -=或6x =，观察图像可得6x ≥，或4x -≤可使5310x x -++≥成立，答案应选D 。

解法三：利用绝对值的几何意义，53x x -++表示实数轴上的点x 到点3x =-与5x =的距离之和，要使点x 到点3x =-与5x =的距离之和等于10，只需4x -=或6x =，于是当6x ≥，或4x -≤可使5310x x -++≥成立，答案应选D 。