第二轮复习利用化归与类比的数学思想解题

数学：第二轮复习一 化归思想Ⅰ、专题精讲：数学思想是数学内容的进一步提炼和概括，是对数学内容的种本质认识，数学方法是实施有关数学思想的一种方式、途径、手段，数学思想方法是数学发现、发明的关键和动力．抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识．初中数学的主要数学思想是化归思想、分类讨论思想、数形结合思想等．本专题专门复习化归思想．所谓化归思想就是化未知为已知、化繁为简、化难为易．如将分式方程化为整式方程，将代数问题化为几何问题，将四边形问题转化为三角形问题等．实现这种转化的方法有：待定系数法、配方法、整体代人法以及化动为静、由抽象到具体等．Ⅱ、典型例题剖析【例1】如图3－1－1，反比例函数y=－8x与一次函数y=－x+2的图象交于A 、B 两点． （1）求 A 、B 两点的坐标；（2）求△AOB 的面积．解：⑴解方程组82y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=-+⎩ 得121242;24x x y y ==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩ 所以A 、B 两点的坐标分别为A （－2，4）B(4，－2（2）因为直线y=－x+2与y 轴交点D 坐标是(0， 2）， 所以11222,24422AOD BOD S S ∆∆=⨯⨯==⨯⨯= 所以246AOB S ∆=+=点拨：两个函数的图象相交，说明交点处的横坐标和纵坐标，既适合于第一个函数，又适合于第二个函数，所以根据题意可以将函数问题转化为方程组的问题，从而求出交点坐标．【例2】解方程：22(1)5(1)20x x ---+=解：令y= x —1，则2 y 2—5 y +2=0．所以y 1=2或y 2=12 ，即x —1＝2或x —1=12． 所以x ＝3或x=32 故原方程的解为x ＝3或x=32点拨：很显然，此为解关于x －1的一元二次方程．如果把方程展开化简后再求解会非常麻烦，所以可根据方程的特点，含未·知项的都是含有（x —1）所以可将设为y ，这样原方程就可以利用换元法转化为含有y 的一元二次方程，问题就简单化了．【例3】如图 3－1－2，梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD ，对角线AC 、BD 相交于O 点，且AC ⊥BD ，AD=3,BC=5，求AC 的长．解：过 D 作DE ⊥AC 交BC 的延长线于E ，则得AD=CE 、AC=DE ．所以BE=BC+CE=8．因为 AC ⊥BD ，所以BD ⊥DE ．因为 AB=CD ， 所以AC ＝BD ．所以GD=DE ．在Rt △BDE 中，BD 2＋DE 2=BE 2所以BD ＝22BE=4 2 ，即AC=4 2 . 点拨：此题是根据梯形对角线互相垂直的特点通过平移对角线将等腰梯形转化为直角三角形和平行四边形，使问题得以解决．【例4】已知△ABC 的三边为a ，b ，c ，且222a b c ab ac bc ++=++，试判断△ABC 的形状．解：因为222a b c ab ac bc ++=++，所以222222222a b c ab ac bc ++=++，即：222()()()0a b b c a c -+-+-=所以a=b ，a=c ， b=c所以△ABC 为等边三角形．点拨：此题将几何问题转化为代数问题，利用凑完全平方式解决问题．【例5】△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ．若90C ∠=︒，如图l ，根据勾股定理，则222a b c +=。

2024年中考数学二轮复习模块专练—化归思想（含答案）在于将未知的，陌生的，复杂的问题通过演绎归纳转化为已知的，熟悉的，简单的问题．三角函数，几何变换，因式分解，乃至古代数学的尺规作图等数学理论无不渗透着转化的思想．常见的转化方式有：一般特殊转化，等价转化，复杂简单转化，数形转化，构造转化，联想转化，类比转化等．转化思想亦可在狭义上称为化归思想．化归思想就是将待解决的或者难以解决的问题A 经过某种转化手段，转化为有固定解决模式的或者容易解决的问题B ，通过解决问题B 来解决问题A 的方法．考点解读：有理数减法转化为有理数的加减，有理数的除法转化为有理数的乘法；多项式乘以多项式转化为单项式乘以单项式，异分母的分式相加减转化为同分母的分式相加减；数式的化归，递进式变化，构建起数式知识与方法的脉络．【例1】（2023·广东江门·统考一模）1．在《九章算术》“割圆术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种由有限到无限的转化思想．比如在求234111112222+++++⋅⋅⋅的和中，“…”代表按此规律无限个数相加不断求和．我们可设234111112222x =+++++⋅⋅⋅．则有234111*********x ⎛⎫=++++++⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，即112x x =+，解得2x =，故2341111122222+++++⋅⋅⋅=．类似地，请你计算：2468111113333+++++⋅⋅⋅=．（直接填计算结果即可）【变1】考点解读：从一般的三角形到等腰三角形、等边三角形，从平行四边形到矩形、菱形，试卷第2页，共14页A ．BEA ∠B ．DEB ∠C ．ECA ∠D ．ADO∠【变1】（2023·浙江·统考中考真题）4．小贺在复习浙教版教材九上第81页第5题后，进行变式、探究与思考：如图1，O 的直径CD 垂直弦AB 于点E ，且8CE =，2DE =．(1)复习回顾：求AB 的长．(2)探究拓展：如图2，连接AC ，点G 是 BC上一动点，连接AG ，延长CG 交AB 的延长线于点F ．①当点G 是 BC的中点时，求证：GAF F ∠=∠；②设CG x =，CF y =，请写出y 关于x 的函数关系式，并说明理由；③如图3，连接DF BG ，，当CDF 为等腰三角形时，请计算BG 的长．考点解读：三元一次方程转化为二元一次方程，分式方程转化为整式方程，一元二次方程转化为一元一次方程．方程化归，构成了方程知识和方法体系．【例1】（2019·浙江台州·统考中考真题）考点解读：由正比例函数图像的平移来研究一次函数图像及性质，试卷第4页，共14页(1)求点C，D的坐标；(2)当13a=时，如图1，该抛物线与x轴交于A，B直线AD上方抛物线上一点，将直线PD沿直线AD 2试卷第6页，共14页三、解答题（2023·山西忻州·校联考模拟预测）16．下面是小彬同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．用上面方法所作出的正方形，有一个顶点恰好是直角三角形的直角顶点．△的内接正方形的一边恰好在斜边AB上，我就可用如下方法，如图2，如果Rt ABC⊥，垂足为D；第一步：过直角顶点C作CD AB第二步，延长AB到M，使得BM AD=，连接CM；试卷第8页，共14页试卷第10页，共14页试卷第12页，共14页(1)求EPF ∠的度数；(2)设PE x =，PF y =，随着点P 的运动，32x y +的值是否会发生变化？若变化，请求出它的变化范围；若不变，请求出它的值；(3)求EF 的取值范围（可直接写出最后结果）．试卷第14页，共14页参考答案：答案第2页，共31页∵O 的直径CD 垂直弦∴10CD CE DE =+=，∴152OA OD CD ===在Rt OAE △中，AE =∵点G 是 BC的中点，∴»»CGBG =，∴GAF D ∠=∠，答案第4页，共31页∵O 的直径CD 垂直弦AB 于点∴ AC BC=，∴CAF CGA ∠=∠，在Rt CEF △中，2EF CF CE =-在Rt DEF △中，2EF DF DE =-在Rt CEF △中，2CF CE EF =+∴464BF EF BE =-=-，同理FGB FAC ∽△△，答案第6页，共31页次方程转化为二元一次方程组是解题关键．7．D【分析】利用“倍值点”的定义得到方程()210t x tx s +++=，则方程的0∆>，可得2440t ts s -->，利用对于任意的实数s 总成立，可得不等式的判别式小于0，解不等式可得出s 的取值范围．【详解】解：由“倍值点”的定义可得：()()2212x t x t x s =++++，整理得，()210t x tx s +++=∵关于x 的二次函数()()212y t x t x s =++++（,s t 为常数，1t ≠-）总有两个不同的倍值点，∴()22=41440,t t s t ts s ∆-+=-->∵对于任意实数s 总成立，∴()()24440,s s --⨯-<整理得，216160,s s +<∴20,s s +<∴()10s s +<，∴010s s <⎧⎨+>⎩，或010s s >⎧⎨+<⎩，当010s s <⎧⎨+>⎩时，解得10s -<<，当010s s >⎧⎨+<⎩时，此不等式组无解，∴10s -<<，故选：D ．【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式以及二次函数与不等式的关系，理解新定义并能熟练运用是解答本题的关键．答案第8页，共31页答案第10页，共31页（3）解：①当1a =时，抛物线解析式为∴4EH EF FG ===，∴()16H ，，()56G ，，②如图3-1所示，当抛物线与∵当正方形EFGH 的边与该抛物线有且仅有两个交点，∴点T 的纵坐标为2+151 4.5a -++=如图3-2所示，当抛物线与∵当正方形EFGH的边与该抛物线有且仅有两个交点，∴15 2.5a-=，解得0.4a=（舍去，因为此时点如图3-3所示，当抛物线与∵当正方形EFGH的边与该抛物线有且仅有两个交点，∴21152 a aa a⎛⎫-⋅+⋅+⎪⎝⎭17 3.5aa=．综上所述，0.5【点睛】本题主要考查了二次函数综合，勾股定理，轴对称的性质，正方形的性质等等，利用分类讨论和数形结合的思想求解是解题的关键．9．C答案第12页，共31页答案第14页，共31页抛物线223y x x =+-交于C 、D 两点，∵0m n >>，关于x 的方程2230x x m +--=的解为()1212,x x x x <，关于x 的方程2230x x n +--=的解为3434,()x x x x <，∴1234，，，x x x x 分别是A 、B 、C 、D 的横坐标，∴1342x x x x <<<，故选B ．【点睛】本题主要考查了抛物线与一元二次方程的关系，正确把一元二次方程的解转换成直线与抛物线交点的横坐标是解题的关键．13．12x y =⎧⎨=⎩【分析】根据一次函数的交点坐标即可确定以两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解．【详解】解：∵一次函数y =3x -1与y =kx （k 是常数，k ≠0）的图象的交点坐标是（1，2），∴联立y =3x -1与y =kx 的方程组31y x y kx =-⎧⎨=⎩的解为：12x y =⎧⎨=⎩，即310x y kx y -=⎧⎨-=⎩的解为：12x y =⎧⎨=⎩，答案第16页，共31页答案第18页，共31页证明：FD AB ⊥ ，FE AC ⊥，90AEG GDF ∴∠=∠=︒，AGE FGD ∠=∠ ，180BAC ∠=BAC DFE ∴∠=∠；（2）解：BC CD ⊥ ，90BCD ∴∠=︒，在Rt BCD 中，tan BC CD BDC =∠在Rt BCE 中，BC CE =答案第20页，共31页解得：9m BC =，9 1.610.6m AB BC AC ∴=+=+=，答：大树的高度AB 为10.6m ．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．19．(1)当Δ0=时，方程有两个相等的实数根，∴二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像与一次函数()0y sx t s =+≠的图像有一个交点；当Δ0<时，方程没有实数根，∴二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像与一次函数()0y sx t s =+≠的图像没有交点；(2)16t =；(3)y x =-，答案不唯一，合理即可．【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式说明根的情况和函数图像交点的情况即可；（2）联立方程组，化简成一元二次方程的一般形式，用根的判别式Δ0=，代入求解；（3）函数图像有两个交点，保证根的判别式0∆>即可．【详解】（1）解：根据一元二次方程根的判别式可得：当Δ0=时，方程有两个相等的实数根，∴二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像与一次函数()0y sx t s =+≠的图像有一个交点；当Δ0<时，方程没有实数根，∴二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像与一次函数()0y sx t s =+≠的图像没有交点；（2）联立函数表达式：253y x x y x t ⎧=-+⎨=-+⎩，可得：253x x x t -+=-+，答案第22页，共31页由旋转的性质，可证明△BPP ′是等边三角形，再证明C 、P 、A ′、P ′四点共线，最后由勾股定理解答．【详解】（1）解：∵ACP ABP ' ≌，∴AP ′＝AP ＝3、CP ′＝BP ＝4，∠AP ′C ＝∠APB ，由题意知旋转角∠PAP ′＝60°，∴△APP ′为等边三角形，PP ′＝AP ＝3，∠AP ′P ＝60°，由旋转的性质可得：AP ′＝AP ＝PP ′=3，CP ′＝4，PC=5，∵32+42=52∴△PP ′C 为直角三角形，且∠PP ′C ＝90°，∴∠APB ＝∠AP ′C ＝∠AP ′P ＋∠PP ′C ＝60°＋90°＝150°；故答案为：150°；（2）证明：∵点P 为△ABC 的费马点，∴120APB ∠=︒，∴60APD ∠=︒，又∵AD AP =，∴APD 为等边三角形∴AP PD AD ==，60PAD ADP ∠=∠=︒，∴120ADE ∠=︒，∴ADE APC ∠=∠，在△APC 和△ADE 中，PAC DAE AP AD APC ADE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、旋转的性质、费马点等知识，是重要考点，有难度，掌握相关知识，正确做出辅助线是解题关键．21．(1)120︒(2)不会；9(3)9219 7EF≤<【分析】（1）延长EP交BC于点G，根据平行线的性质得出答案第24页，共31页，∵PE CD∠=∠，∴PGB DCB∥，∵PF AB∠=∠，∴PFC ABC答案第26页，共31页则90EHP ∠=︒，∵120EPF ∠=︒，∴18012060EPH ∠=︒-︒=︒，∴906030PEH ∠=︒-︒=︒，22．（1）60︒；（2）①丙；②10【分析】（1）连接BC '，则A BC ''△为等边三角形，即可求得既不相交也不平行的两条直线BA '与AC 所成角的大小；（2）①根据正方体侧面展开图判断即可；②根据对称关系作辅助线即可求得PM PN +的最小值．【详解】解：（1）连接BC '，∵//AC A C ''，BA '与A C ''相交与点A '，即既不相交也不平行的两条直线BA '与AC 所成角为BA C ''∠，根据正方体性质可得：A B BC A C ''''==，∴A BC ''△为等边三角形，∴=60BA C ''∠︒，即既不相交也不平行的两条直线BA '与AC 所成角为60︒；（2）①根据正方体展开图可以判断，甲中与原图形中对应点位置不符，乙图形不能拼成正方体，故答案为丙；②如图：作M 关于直线AB 的对称点M '，答案第28页，共31页∵90ABC ∠=︒，DQ ∴四边形DBNQ 是矩形，∴90DQN ∠=︒，QN答案第30页，共31页∵A ABN BNQ AQN ∠+∠+∠+∠∴180ABN AQN ∠+∠=︒，∴AQN PBN ∠=∠．。

2010 届高考数学二轮复习系列课件06《利用化归与
类比的数学思想解
2010 届高考数学二轮
复习系列课件
06《利用化归与类比的数学思想解题》
把一个陌生的问题、复杂的数学问题化成熟知的、简单的数学问题，从而使问题得到解决，这就是化归与类比的数学思想，化归与转化思想有着广泛的应用。

实现转化的关键是要构造转化的方法。

下面介绍一些常用的转化方法，及化归与类比思想解题的应用。

一、新授
（一）正与反的转化：有些数学问题，如果直接从正面入手求解难度较大，致使思想受阻，我们可以从反面着手去解决。

如函数与反函数的有关问题，对立事件的概率、间接法求解排列组合问题、举不胜举。

例1：某射手射击1 次击中目标的概率是0.9 他连续射击4 次且他各次射击是否击中目标是相互独立的，则他至少击中目标1 次的概率为——
分析：至少击中目标一次的情况包括1 次、2 次、3 次、4 次击中目标共四种情况，可转化为其对立事件：一次都未中,来求解
（略解：）他四次射击未中1 次的概率P1=0.14=0.14
∴他至少射击击中目标1 次的概率为1－P1=1－0.14=0.9999
例2：求常数m 的范围，使曲线y=x2 的所有弦都不能被直线y=m(x－3)垂直平分.
（分析）：直接求解较为困难，事实上，问题可以转化为：在曲线y= x2 存在关于直线y=m(x－3)对称的两点，求m 的范围。

第1讲转化与化归思想在三角函数中的应用转化与化归思想:就是把待解决或难解决的问题通过数学方法、数学模型、数学思维、数学运算，使之转化为一类已解决或易解决的问题，最终使原问题获解。

使用化归与转化思想的原则是:化难为易、化异为同、化生为熟、化繁为简、化未知为已知。

在三角函数学习中，从三角函数的概念建立、推理证明、计算化简到实际问题的解决，始终贯穿着转化与化归思想的运用。

如利用三角函数定义可以实现边与角的转化，利用三角函数之间互余关系实现对“正余弦”进行转化，利用同角关系及“1”的妙用可以实现弦切互化。

在有关三角函数的最小正周期、三角函数求值、三角函数的图象及性质、三角函数的值域、三角函数的伸缩平移变换及三角恒等变换的问题中，经常涉及到代换思想、类比思想和转化思想等来解决问题，这些均体现了转化与化归思想在三角函数中的重要性及其重要应用。

在学习和使用转化与化归思想时，一定要明确转化目标，转化方向，有了转化目标和方向后，接下来的重点思想是如何向我们的目标和方向进行转化。

而本文会重点就转化与化归思想在三角函数中的5类应用展开详细讲解。

【应用一】转化与化归思想在三角函数求最小正周期中的应用我们在学习三角函数图象及性质及三角恒等变换时，会直接用公式ωπ2=T 求()hx A y ++=ϕωsin （()h x A y ++=ϕωcos ）的周期，但有时也会遇到这样一类题，给定的函数解析式包含正弦和余弦，或为高次式，此时则无法用周期公式直接求解；需要对函数解析式进行函数名的统一或降次化简，从而转化为()h x A y ++=ϕωsin （()h x A y ++=ϕωcos ）的形式，即可求解，变换过程的实质就是“化归”思想。

例如下面这道例题：在我们熟悉的求解最小正周期的问题中，经常遇见给定的函数解析式是可以直接用周期公式求解的，而本题无法直接通过周期公式求解，那该怎么转化呢？这就需要我们利用相关公式把函数解析式化解为一个函数名，要么是正弦、要么是余弦，首先我们要把24cos 1x -转化为12cos 2x +，则()()sin 12cos 2f x x x =⋅+()2sin 2sin cos 2sin cos 2sin 1cos 2sin cos 22sin cos sin cos 2cos sin 2sin 3x x x x x x x x x x x x x x x x =+=++=+=+=即可计算求解【应用二】转化与化归思想在三角函数给值求值及拼凑角中的应用我们在学习三角函数诱导公式及三角恒等变换时，常见的给值求值会比较好化简，常见的拼凑角可以转化成特殊角处理，但有时也会遇到这样一类题，给定的角为非特殊角，需要多次拼凑才能实现特殊转化，需结合诱导公式和恒等变换求解，这样把角通过拼凑来整体转化，其实质就是“化归”思想。

高考数学二轮复习专题9 思想方法专题第四讲化归与转变思想理第四讲化归与转变思想解决数学识题时，常碰到一些直接求解较为困难的问题，经过察看、剖析、类比、联想等思想过程，选择运用适合的数学方法进行变换，将原问题转变为一个新问题( 相对来说，是自己较熟习的问题) ，经过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“化归与转变的思想方法”．化归与转变思想的本质是揭露联系，实现转变．除极简单的数学识题外，每个数学识题的解决都是经过转变为已知的问题实现的．从这个意义上讲，解决数学识题就是从未知向已知转变的过程．化归与转变思想是解决数学识题的根本思想，解题的过程本质上就是一步步转变的过程．数学中的转变俯拾皆是，如未知向已知转变，复杂问题向简单问题转变，新知识向旧知识的转变，命题之间的转变，数与形的转变，空间向平面的转变，高维向低维的转化，多元向一元的转变，高次向低次的转变，超越式向代数式的转变，函数与方程的转变等，都是转变思想的表现．转变有等价转变和非等价转变之分．等价转变前后是充要条件，因此尽可能使转变拥有等价性；在不得已的状况下，进行不等价转变，应附带限制条件，以保持等价性，或对所得结论进行必需的考证．判断下边结论能否正确( 请在括号中打“√”或“×”) ．1(1) 函数y＝x＋的最小值是 2.( ×)x2a＋b(2)ab ≤建立的条件是ab>0.( ×)2(3) 函数f(x) ＝cos x ＋4cos x，x∈0，π2的最小值等于 4.( ×)(4) 目标函数z＝ax＋by(b ≠0) 中，z 的几何意义是直线ax＋by－z＝0 在y 轴上的截距．( ×)1．若动直线x＝a 与函数f(x) ＝sin x 和g(x) ＝cos x 的图象分别交于M，N两点，则|MN| 的最大值为( B)A．1 B. 2 C. 3 D．2π分析：|MN| ＝|sin x －cos x| ＝ 2 sin x－4，最大值为 2.2．以下图所示的韦恩图中，A，B 是非空会合，定义会合A#B为暗影部分表示的会合．若x，y∈R，A＝{x|y ＝2x－x2}，B＝{y|y ＝3x(x ＞0)} ，则A#B为( D)A．{x|0 ＜x＜2} B ．{x|1 ＜x≤2}C．{x|0 ≤x≤1 或x≥2} D．{x|0 ≤x≤1 或x＞2}分析：A＝{ x|y ＝2x－x }2 ＝{x|2x －x2≥0} ＝{x|0 ≤x≤2} ，B＝{y|y ＝3x(x ＞0)} ＝{y|y ＞1} ，则A∪B＝{x|x ≥0} ，A∩B＝{x|1 ＜x≤2} ．依据新运算，得A#B＝?A∪B(A∩B)＝{x|0 ≤x≤1或x＞2} ．3．定义一种运算a? b＝a，a≤b，b，a＞b，令f(x) ＝(cos52x＋sin x) ?，且x∈0，4π2，则函数f x－π2的最大值是( A)A. 54B ．1C ．－1D ．－54分析：设y＝cos2x＋sin x ＝－sin2x＋sin x ＝－sin 2x＋sin x ＋1＝－sin x －1252＋，4π∵x∈0，2 ，∴0≤sin x ≤1，∴1≤y≤54，即1≤cos2x ＋sin x ≤2x＋sin x ≤5 . 4依据新定义的运算可知f(x) ＝cos 2x＋sin x ，x∈0，π2，∴f x－π2＝－sinx－π2－12254＋＝－cosx＋1225＋，x∈4π，π.2 π∴函数 f x－2 的最大值是54.4．若f(x) ＝－12x2＋bln(x ＋2) 在( －1，＋∞) 上是减函数，则 b 的取值范围是( C) 2＋bln(x ＋2) 在( －1，＋∞) 上是减函数，则 b 的取值范围是( C)A．[ －1，＋∞) B．( －1，＋∞) C．( －∞，－1] D．( －∞，－1)分析：∵f(x) ＝－1 b x2＋bln(x ＋2) 在( －1，＋∞) 上是减函数，∴ f ′(x) ＝－x＋2＋bln(x ＋2) 在( －1，＋∞) 上是减函数，∴ f ′(x) ＝－x＋＜2 x＋2 0 在( －1，＋∞) 上恒建立，即b＜x(x ＋2) 在( －1，＋∞) 上恒建立．设g(x) ＝x(x ＋2) ＝(x＋1) 2 －1 在( －1，＋∞) 上单一递加，∴g(x) ＞－1，∴当b≤－1 时，b＜x(x ＋2) 在( －1，＋∞) 上恒建立，即f(x) ＝－122x ＋bln(x ＋2) 在( －1，＋∞) 上是减函数．一、选择题1．若会合M是函数y＝lg x 的定义域，N是函数y＝1－x的定义域，则M∩N等于( A) A．(0 ，1] B．(0 ，＋∞)C．? D ．[1 ，＋∞)2．在复平面内，复数11－i＋i 3 对应的点位于( D)A．第一象限 B ．第二象限C．第三象限 D ．第四象限3．以下命题正确的选项是( C)2A．? x0∈R，x0＋2x0＋3＝ 03 2B．? x∈N，x ＞xC．x＞1 是x2＞1 的充足不用要条件2＞ b2D．若a＞b，则a4．为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图) ，要测算A，B两点的距离，丈量人员在岸边定出基线BC，测得BC＝50 m，∠ABC＝105°，∠BCA＝45°，就能够计算出A，B两点的距离为( A)A．50 2 m B ．50 3 mC．25 2 m D. 25 22m15．已知等比数列{a n} 中，各项都是正数，且a1，a3，2a2 成等差数列，则2 a8＋a9a6＋a7等于( C)A．1＋ 2 B ．1－ 2C．3＋2 2 D ．3－2 2二、填空题6．已知函数f(x) ＝2x，等差数列{ax，等差数列{ax} 的公差为 2. 若f(a 2 ＋a4＋a6＋a8＋a10)＝4，则log 2[f(a 1)f(a 2)f(a 3) ⋯f(a 10)] ＝－6．分析：由f(x) ＝2x 和f(ax 和f(a2＋a4 ＋a6 ＋a8 ＋a10) ＝4 知a2 ＋a4 ＋a6 ＋a8 ＋a10＝2 ，log 2[f(a 1)f(a 2)f(a 3) ⋯f(a 10)] ＝log 2f(a 1) ＋log 2f(a 2) ＋⋯＋log 2f(a 10) ＝a1 ＋a2＋a3＋⋯＋a10＝2(a2＋a4＋a6＋a8＋a10) －5×2＝－6.7．已知f(3 x ) ＝4xlog23＋233，则f(2) ＋f(4) ＋f(8) ＋⋯＋f(2 8) 的值等于2_008．分析：∵f(3 x) ＝4xlog 23＋233＝4log 23x＋233，x＋233，∴f(t) ＝4log 2t ＋233，则f(2) ＋f(4) ＋f(8) ＋⋯＋f(2 22＋233) ＋(4log 24＋233) ＋(4log 28＋233)8) ＝(4log8) ＝(4log8＋⋯＋(4log 22 ＋233) ＝4(1 ＋2＋3＋⋯＋8) ＋8×233＝2 008.8．若数列{a n} 知足1－a n－11＝d(n∈Na n*，d 为常数) ，则称数列{a n }为调解数列．已知数列1x n为调解数列，且x1＋x2＋⋯＋x20＝200，则x5＋x16＝20．分析：依据调解数列的定义知：数列{a n} 为调解数列，则1－a n－11＝d(n ∈N*，d为常数) ，*，d 为常数) ，a n也就是数列1a n为等差数列．此刻数列1x n为调解数列，则数列{x n} 为等差数列，那么由x1＋x2＋⋯＋x20＝200，得x1＋x2＋⋯＋x20＝10(x 5＋x16) ＝200，x5＋x16＝20.9．如图，有一圆柱形的张口容器( 下表面密封) ，其轴截面是边长为 2 的正方形，P 是BC中点，现有一只蚂蚁位于外壁 A 处，内壁P 处有一米粒，则这只蚂蚁获得米粒所需经过的最短行程为π2＋9．分析：把圆柱侧面睁开，并把里面也睁开，如下图，则这只蚂蚁获得米粒所需经过的最短行程为睁开图中的线段AP，则AB＝π，BP＝3，AP＝π2＋9.三、解答题10．已知函数f(x) ＝x2e－x.(1) 求f(x) 的极小值和极大值；(2) 当曲线y＝f(x) 的切线l 的斜率为负数时，求l 在x 轴上截距的取值范围．分析：(1)f(x) 的定义域为( －∞，＋∞) ，f ′(x) ＝－e－x x(x －2) ．①当x∈( －∞，0) 或x∈(2 ，＋∞) 时， f ′(x) ＜0；当x∈(0 ，2) 时，f ′(x) ＞0.因此f(x) 在( －∞，0) ，(2 ，＋∞) 上单一递减，在(0 ，2) 上单一递加．故当x＝0 时，f(x) 获得极小值，极小值为f(0) ＝0；当x＝2 时，f(x) 获得极大值，极大值为f(2) ＝4e－2.(2) 设切点为(t ，f(t)) ，则l 的方程为y＝f ′(t)(x －t) ＋f(t) ．因此l 在x 轴上的截距为m(t) ＝t －f （t ）t＝t ＋＝t －2＋f ′（t ）t －22＋3.t －2由已知和①得t ∈( －∞，0) ∪(2 ，＋∞) ．令h(x) ＝x＋2x(x ≠0) ，则当x∈(0 ，＋∞) 时，h(x) 的取值范围为[2 2，＋∞) ；当x∈( －∞，－2) 时，h(x) 的取值范围是( －∞，－3) ．因此当t ∈( －∞，0) ∪(2 ，＋∞) 时，m(t) 的取值范围是( －∞，0) ∪[2 2＋3，＋∞) ．综上，l 在x 轴上的截距的取值范围是( －∞，0) ∪[2 2＋3，＋∞) ．。

2021年高考数学二轮复习上篇专题整合突破专题八数学思想方法第2讲分类讨论思想转化与化归思想练习理一、填空题1.等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项之和S 3＝21，则公比q 的值是________. 解析 当公比q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝7，S 3＝3a 1＝21，符合要求.当q ≠1时，a 1q 2＝7，a 1（1－q 3）1－q ＝21，解之得，q ＝－12或q ＝1(舍去).综上可知，q ＝1或－12. 答案 1或－122.过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上任意一点P ，引与实轴平行的直线，交两渐近线于R ，Q 两点，则PR →·PQ →的值为________.解析 当直线PQ 与x 轴重合时，|PR →|＝|PQ →|＝a .答案 a 23.方程sin 2x ＋cos x ＋k ＝0有解，则k 的取值范围是________.解析 求k ＝－sin 2x －cos x 的值域.k ＝cos 2x －cos x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －122－54. 当cos x ＝12时，k min ＝－54，当cos x ＝－1时，k max ＝1， ∴－54≤k ≤1.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1 4.若数列{a n }的前n 项和S n ＝3n－1，则它的通项公式a n ＝________.解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n －1－(3n －1－1)＝2×3n －1；当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，也满足式子a n ＝2×3n －1，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2×3n －1.答案 2×3n －1 5.已知a 为正常数，若不等式1＋x ≥1＋x 2－x 22a 对一切非负实数x 恒成立，则a 的最大值为________.解析 原不等式即x 22a ≥1＋x 2－1＋x (x ≥0)，(*) 令1＋x ＝t ，t ≥1，则x ＝t 2－1，所以(*)式可化为（t 2－1）22a ≥1＋t 2－12－t ＝t 2－2t ＋12＝（t －1）22对t ≥1恒成立， 所以（t ＋1）2a≥1对t ≥1恒成立， 又a 为正常数，所以a ≤[(t ＋1)2]min ＝4，故a 的最大值是4.答案 46.已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数k 使得CA →＋CB →＝kCM →成立，则k 等于________.解析 ∵MA →＋MB →＋MC →＝0，∴M 为已知△ABC 的重心，取AB 的中点D ，∴CA →＋CB →＝2CD →＝2×32CM →＝3CM →， ∵CA →＋CB →＝kCM →，∴k ＝3.答案 37.设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点.已知P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且PF 1＞PF 2，则PF 1PF 2的值为________. 解析 若∠PF 2F 1＝90°，则PF 21＝PF 22＋F 1F 22，∵PF 1＋PF 2＝6，F 1F 2＝25，解得PF 1＝143，PF 2＝43，∴PF 1PF 2＝72. 若∠F 2PF 1＝90°，则F 1F 22＝PF 21＋PF 22＝PF 21＋(6－PF 1)2， 解得PF 1＝4，PF 2＝2，∴PF 1PF 2＝2. 综上所述，PF 1PF 2＝2或72. 答案 2或728.已知函数f (x )＝ln x －14x ＋34x－1，g (x )＝－x 2＋2bx －4，若对任意的x 1∈(0，2)，任意的x 2∈[1，2]，不等式f (x 1)≥g (x 2)恒成立，则实数b 的取值范围是________. 解析 依题意，问题等价于f (x 1)min ≥g (x 2)max ，f (x )＝ln x －14x ＋34x－1(x ＞0)， 所以f ′(x )＝1x －14－34x 2＝4x －x 2－34x 2. 由f ′(x )＞0，解得1＜x ＜3，故函数f (x )单调递增区间是(1，3)，同理得f (x )的单调递减区间是(0，1)和(3，＋∞)，故在区间(0，2)上，x ＝1是函数f (x )的极小值点，这个极小值点是唯一的，所以f (x 1)min ＝f (1)＝－12. 函数g (x 2)＝－x 22＋2bx 2－4，x 2∈[1，2].当b ＜1时，g (x 2)max ＝g (1)＝2b －5；当1≤b ≤2时，g (x 2)max ＝g (b )＝b 2－4；当b ＞2时，g (x 2)max ＝g (2)＝4b －8.故问题等价于⎩⎪⎨⎪⎧b ＜1，－12≥2b －5或⎩⎪⎨⎪⎧1≤b ≤2，－12≥b 2－4或⎩⎪⎨⎪⎧b ＞2，－12≥4b －8. 解第一个不等式组得b ＜1，解第二个不等式组得1≤b ≤142， 第三个不等式组无解.综上所述，b 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，142. 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，142 二、解答题9.数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2，且满足a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0.(1)求数列的通项公式；(2)设S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求S n .解 (1)a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0，所以a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，所以{a n ＋1－a n }为常数列，所以{a n }是以a 1为首项的等差数列，设a n ＝a 1＋(n －1)d ，a 4＝a 1＋3d ，所以d ＝2－83＝－2， 所以a n ＝10－2n .(2)因为a n ＝10－2n ，令a n ＝0，得n ＝5.当n ＞5时，a n ＜0；当n ＝5时，a n ＝0；当n ＜5时，a n ＞0.S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 5－(a 6＋a 7＋…＋a n )＝T 5－(T n －T 5)＝2T 5－T n ＝n 2－9n ＋40，T n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，当n ≤5时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝T n ＝9n －n 2.所以S n ＝⎩⎨⎧9n －n 2 （n ≤5），n 2－9n ＋40 （n ＞5）. 10.已知函数g (x )＝ax x ＋1(a ∈R )，f (x )＝ln(x ＋1)＋g (x ). (1)若函数g (x )过点(1，1)，求函数f (x )的图象在x ＝0处的切线方程；(2)判断函数f (x )的单调性.解 (1)因为函数g (x )过点(1，1)，所以1＝a 1＋1，解得a ＝2，所以f (x )＝ln(x ＋1)＋2x x ＋1.由f ′(x )＝1x ＋1＋2（x ＋1）2＝x ＋3（x ＋1）2，则f ′(0)＝3，所以所求的切线的斜率为3.又f (0)＝0，所以切点为(0，0)，故所求的切线方程为y ＝3x .(2)因为f (x )＝ln(x ＋1)＋ax x ＋1(x ＞－1)， 所以f ′(x )＝1x ＋1＋a （x ＋1）－ax （x ＋1）2＝x ＋1＋a （x ＋1）2. ①当a ≥0时，因为x ＞－1，故f (x )在(－1，＋∞)上单调递增；②当a ＜0时，由⎩⎨⎧f ′（x ）＜0，x ＞－1，得－1＜x ＜－1－a ， 故f (x )在(－1，－1－a )上单调递减；由⎩⎨⎧f ′（x ）＞0，x ＞－1，得x ＞－1－a ， 故f (x )在(－1－a ，＋∞)上单调递增.综上，当a ≥0时，函数f (x )在(－1，＋∞)上单调递增；当a ＜0时，函数f (x )在(－1，－1－a )上单调递减，在(－1－a ，＋∞)上单调递增.11.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点与抛物线y 2＝43x 的焦点F 重合，且椭圆短轴的两个端点与点F 构成正三角形.(1)求椭圆的方程；(2)若过点(1，0)的直线l 与椭圆交于不同的两点P ，Q ，试问在x 轴上是否存在定点E (m ，0)，使PE →·QE →恒为定值？若存在，求出E 的坐标，并求出这个定值；若不存在，请说明理由.解 (1)由题意，知抛物线的焦点为F (3，0)，所以c ＝a 2－b 2＝ 3.因为椭圆短轴的两个端点与F 构成正三角形，所以b ＝3×33＝1. 可求得a ＝2，故椭圆的方程为x 24＋y 2＝1. (2)假设存在满足条件的点E ，当直线l 的斜率存在时设其斜率为k ，则l 的方程为y ＝k (x －1). 由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝k （x －1），得(4k 2＋1)x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，解上述方程后易得：x 1＋x 2＝8k 24k 2＋1，x 1x 2＝4k 2－44k 2＋1. 则PE →＝(m －x 1，－y 1)，QE →＝(m －x 2，－y 2)，所以PE →·QE →＝(m －x 1)(m －x 2)＋y 1y 2＝m 2－m (x 1＋x 2)＋x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－m (x 1＋x 2)＋x 1x 2＋k 2(x 1－1)(x 2－1)＝m 2－8k 2m 4k 2＋1＋4k 2－44k 2＋1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－44k 2＋1－8k 24k 2＋1＋1 ＝（4m 2－8m ＋1）k 2＋（m 2－4）4k 2＋1＝（4m 2－8m ＋1）⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋14＋（m 2－4）－14（4m 2－8m ＋1）4k 2＋1＝14(4m 2－8m ＋1)＋2m －1744k 2＋1. 要使PE →·QE →为定值，令2m －174＝0， 即m ＝178，此时PE →·QE →＝3364. 当直线l 的斜率不存在时，不妨取P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32， 由E ⎝ ⎛⎭⎪⎫178，0，可得PE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫98，－32，QE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫98，32， 所以PE →·QE →＝8164－34＝3364. 综上，存在点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫178，0，使PE →·QE →为定值3364.。

第2讲分类讨论思想、转化与化归思想高考定位分类讨论思想，转化与化归思想近几年高考每年必考, 解析般体现在几何、函数与导数解答题中,难度较大.思忍II述〔应用点拔I詈■■■■■:■■■■■■■■■■■■■臆■題1.中学数学中可能引起分类讨论的因素(1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等.(2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，等比数列｛勺｝的前斤项和公式等.(3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性、基本不等式等.(4)由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等.(5)由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等.2.常见的转化与化归的方法转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决, 这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思维方式.常见的转化方法有：(1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题.(2)换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幕等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题.'(3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径.(4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的.(5)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题结论适合原问题.(6)构造法：“构造” 一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题.(7)坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题是转化方法的一个重要途径.(8)类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定.(9)参数法：引进参数，使原问题转化为熟悉的形式进行解决.(10)补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题的结果看作集合A,而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集通过解决全集C7及补集［泌获得原问题的解决，体现了正难则反的原则.热点一分类讨论思想的应用［应用1］由性质、定理、公式的限制引起的分类■ 【例1一1】(1)设数列｛如的前〃项和为S/已知2S 尸3+,则数列仏｝的通项热点聚焦丨分类突破♦•••••• • ••••• ♦•・••••••••♦••••■ •••••• •••••••••(2)已知实数aHO ，函数沧尸 2x~\~a, x<l,—x —2a ，％三若 则 的值为解析⑴由2S“ = 3" + 3得：当〃 =1 时，2S] = 3】+ 3 = 2°],解得％二 3 ；当心2时，a n= S n— S n-1- |[(3n+ 3) — (3n_ 1+ 3)] = 3n^1,由于”=1 时，如=3 不适合上式，〔3, n—\,•••数列｛给｝的通项公式为给=3 , n 刁2.(2)当a>0 时，1—a<l, l+a>l,这时/(I—a) = 2(1—a)~ha = 2—a,—(1 +a) —2a =—1 —3ci.3由得2 — a= — l—3a,解得ci=—Q,不合题意，舍去；当avO 时，1—a>l 91+G V1,这时—a)——(1—a) — 2a =— 1—a,夬1+a) = 2(l+d)+a = 2 + 3a.由f(l—a)=f(l3+a)得一1 —a = 2 +3a, 解得a——才3综上可知，a的值为一才⑶川=1, 3合木⑴3"匕心2⑵—习探究提高由性质、定理、公式的限制引起的分类整合法往往是因为有的数学定理、公式、性质是分类给出的,在不同的条件下结论不一致的情况下使用，如等比数列的前〃项和公式、函数的单调性等.［应用2］由数学运算要求引起的分类【例1-2】（1）不等式Ixl + I2x+3I$2的解集是（）A.（―°°, —|）U（1，+°°）（5 }B.（一_1）吨，+,(5C・一°°, —o U ［―1, +°°)f5 )D. (一®+°°J⑵已知mGR，则函数» = (4-3m)x2-2^ + m在区间［0,1］上的最大值为_3解析(1)原不等式可转化为f <_2， —x — (2x+3)三2, 解得兀£ —扌或一1 WxWO 或x>0, 故原不等式的解集为 .，-|]u[-l, +-).—寸 WxWO,—兀+ (2x+3)三2兀＞0, x+ (2兀+3)三2.4 4⑵①当4一3加=0,即加=3时，函数夕=一2兀+亍4它在［0, 1］±是减函数，所以y m ax=»=5-4②当4一3加即加Hg时，y是二次函数.4 — 1当4—3加>0,即加V3时，二次函数y的图象开口向上，对称轴方程x=4ZT3m>0,它在［0, 1］上的最大值只能在区间端点取得(由于此处不涉及最小值，故不需讨论区间与对称轴的关系).几0)=加，几1) = 2 —2加，、/4 2 4 当 — 又 m<^, 时，y max = /n.4 2当加V2 — 2m ，又 加Vj 即 加V3时，『max = 2(l —m).当4 — 3加V0,即加〉扌时，二次函数y 的图象开口向下，又它的对称轴方程兀=孑土所以函数y 在[0, 1]±是减函数，于是ymax=f(0)=加.2-2m, m<|,>2 m,<0, 由①、②可知，这个函数的最大值为VmaxT2—2m, m<|,答案(1)C (2)y maxm,探究提高由数学运算要求引起的分类整合法，常见的类型有除法运算中除数不为零，偶次方根的被开方数为非负，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数问题，含有绝对值的不等式求解, 三角函数的定义域等,根据相应问题中的条件对相应的参数、关系式等加以分类分析，进而分类求解与综合.［应用3］由参数变化引起的分类【例 1 — 3］已知函数/S) = lnx+a(l—A：).(1)讨论/匕)的单调性；r ,二.(2)当有最大值，且最大值大于2a—2时，求°的取值范围.解(iy(x)的定义域为(0, +oo), /(X)=；-6Z.若aWO,贝lJf(x)>0,所以兀x)在(0, +oo)上单调递增.(1) 仃) ( 1 若t/>0,则当o,—时,/(%)>0；当+oo 时,/(%)<0,所以沧)在0,-\ Clj \Cl丿\ CI 上单调递增，在上单调递减.综上，知当dWO时，幷X)在(0, +°°)上单调递增；(il 「1 )当°>0时，兀X)在0,-上单调递增，在-，上单调递减.< Ct_ _Cl )⑵由⑴知，当aWO时，几劝在(0, +°°)上无最大值；1 仃) 1 ( 1)当a>0时，几劝在x=-处取得最大值，最大值为/ - =ln -+J1—- =-\na-\-a—l. Cl\CIJ Cl \ Cl)⑴因此/ —>2a — 2 等价于In a~\~a—IVO.令g(a)=ln a~\~a—1,则g@)在(0, + °°)_Jb 丿单调递增，g(l) = O・于是，当0VaV 1 时，g(d)VO；当a>l 时，g(a)>0・因此，Q的取值范围是(0, 1).探究提高由参数的变化引起的分类整合法经常用于某些含有参数的问题, 如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法.热点二转化与化归思想［应用1］换元法【例2—1】已知实数°, b, c满足Q +Z?+ C =O,+ Z?2 + c2 = 1,贝【Jo的最大值是解析令b = x , c = y ,贝狀 + y = - a , x2 + y2 = 1 - a2.此时直线兀+y = —a与x2+y2— 1 ~a有交点,贝（J圆心到直线的距离寸1 解得/£彳，所以"的最大值为3.咎案坐探允提咼换兀法是一种变重代换,也是一种特殊的转化与化归方法,是用一种变数形式去取代另一种变数形式,是将生疏（或复杂）的式子（或数）,用熟悉（或简单）的式子（或字母）进行替换；化生疏为熟悉、复杂为简单、抽象为具体，使运算或推理可以顺利进行.［应用2］特殊与一般的转化【例2-2］过抛物线丁 =俶2@>0）的焦点尸作一直线交抛物线于p, Q两点，若线段PF与FQ的长度分别为°, q,贝寸+*等于（）1 4A. 2a B茲 C. 4a D.~解析抛物线y=ax\a>0）的标准方程为x2=^y（a>0）.（］\ 1 1 1焦点片6 詁取过焦点F的直线垂直于y轴，则PF\ = \QF\=^所以#+厂4仏答案C探究提高一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单.特殊问题一般化, 可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律,从而达到成批处理问题的效果.［应用3］常量与变量的转化【例2 —3】对任意的lmlC2,函数/（兀）=加齐一2%+ 1 —加恒为负,贝吹的取值范围为解析对任意的lmlC2 ,有加界・2x + 1 - m < Of旦成立,即I加IW2时,(%2 - l)m - 2% + 1 < 0恒成立・设gO) = (%2 - l)m・2x + 1 ,则原问题转化为gO) < 0恒成立(加丘[-2,2]).2x2+2x—3>0,VxV迥乂，即实数兀的取值范2x2—2x—探究提高在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的参数，将其看作是“主元”，而把其它变元看作是常量，从而达到减少变元简化运算的目的•［应用4］正与反的相互转化( \【例2-4】若对于任意圧［1, 2］,函数在区间(/, 3)上总不为单调函数，则实数m的取值范围是________ .解析gG) = 3” + (加+4)兀一2,若g(x)在区间(笃3)上总为单调函数，则①0(兀)20 在(f, 3)上恒成立，或②gG)W0在(/, 3)上恒成立.2 _ 2由①得3“ + (加+4)x—2三0，即加+4三—一3x在兀W⑺ 3)上怛成立，•：加+4三；一X T 3"亘成立，则771 + 4^-1,2 一即加三一5；由②得加+4W——3兀在兀丘(九3)上怛成立，X2 37则加+4W§—9，艮卩mW—了・37 •••函数g(x)在区间⑺3)上总不为单调函数的加的取值范围为一y</n<-5. - (37 )答案 [' _5探究提高否定性命题,常要利用正反的相互转化，先从正面求解,再取正面答案的补集即可,—般地,题目若出现多种成立的情形,则不成立的情形相对很少, 从反面考虑较简单,因此，间接法多用于含有“至多”、“至少”及否定性命题情形的问题中.曲纳总结思维升华 1•分类讨论思想的本质是“化整为零，积零为整”.用分类讨论的思维策略解数学 问题的操作过程：明确讨论的对象和动机f 确定分类的标准f 逐类进行讨论f 归 纳综合结论f 检验分类是否完备(即分类对象彼此交集为空集，并集为全集).做 到“确定对象的全体，明确分类的标准，分类不重复、不遗漏”的分析讨论. 常见的分类讨论问题有： ⑴集合：注意集合中空集讨论.--(2) 函数：对数函数或指数函数中的底数°, 一般应分°>1和OVaVl 的讨论；函数 y=ax 2-\~bx-\~c 有时候分a=O 和aHO 的讨论；对称轴位置的讨论；判别式的讨论. • •• ••••• •••••・• ・⑶数列：由S“求a“分”=1和斤＞1的讨论；等比数列中分公比g= 1和qHl的讨论.(4)三角函数：角的象限及函数值范围的讨论.(5)不等式：解不等式时含参数的讨论，基本不等式相等条件是否满足的讨论.(6)立体几何：点线面及图形位置关系的不确定性引起的讨论；(7)平面解析几何：直线点斜式中k分存在和不存在，直线截距式中分b = 0和bHO的讨论；轨迹方程中含参数时曲线类型及形状的讨论.(8)排列、组合、概率中的分类计数问题.(9)去绝对值时的讨论及分段函数的讨论等.2.转化与化归思想遵循的原则：(1)熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题转化为已知的问题，以便于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决. 总I(2)简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据.(3)和谐统一原则：转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式；或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律.(4)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，应想到问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获得解决.。