[精品]2017-2018年四川省成都外国语学校高一(上)数学期中试卷与答案

高一（上）期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={1,2，4}，B={x|x2−4x+m=0}，若A∩B={1}，则B=()A. {1,−3}B. {1,0}C. {1,3}D. {1,5}2.函数f(x)=log121x+1的图象大致是()A. B.C. D.3.函数f(x)=lnx+13x−2的零点所在区间为()A. (2,e)B. (3,4)C. (e,3)D. (1,2)4.一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲．乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)，给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则一定能确定正确的论断是()A. ①B. ①②C. ①③D. ①②③5.已知x=1og35,y=1og52,z=3−12，则下列关系正确的是()A. x>y>zB. y>x>zC. z>y>xD. x>z>y6. 函数f(x)=x 2−(32)x 的零点的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 47. 方程4x 2+(m −2)x +m −5=0的一根在区间(−1,0)内，另一根在区间(0,2)内，则m 的取值范围是( )A. (53,5)B. (−73,5) C. (−∞,53)∪(5,+∞)D. (−∞,53)8. 若数f(x)=ln(√1+4x 2+2x)+3，且f(log a 2019)=5，则f(log a 12019)=( )A. −5B. 4C. 3D. 19. 已知函数f(x)=|log 2x|，(x ≤2)，若a ≠b ，且f(a)=f(b)，则a +b 的取值范围是( )A. (1,52]B. (2,52]C. (2,+∞)D. [1,2]10. 已知max{a,b}表示a ，b 两数中的最大值，若f(x)=max{e |x|,e |x+2|}，则f(x)的最小值为( )A. eB. 1C. e 2D. 211. 给出下列命题，其中正确的命题的个数( )①函数y =log 12(x 2−2x +3)图象恒在x 轴的下方； ②将y =2x 的图象经过先关于y 轴对称，再向右平移1个单位的变化后为y =21−x 的图象；③若函数f(x)=log 2(x 2−2ax +1)的值域为R ，则实数a 的取值范围是(−1,1)； ④函数f(x)=e x 的图象关于y =x 对称的函数解析式为y =lnx ．A. 1B. 2C. 3D. 412. 若函数f(x)=log 9(9x +1)−x2，则使不等式f(x)−m ≤0有解时，实数m 的最小值为( )A. 0B. −log 32C. log 32D. log 3√2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 函数y =log a (2x −5)−1恒过定点的坐标为______． 14. 若f(2x −1)=x 5+2x ，则f(−3)=______．15. 若函数f(x)=m−2xn+2x+1是奇函数．则实数m +n =______．16. 已知函数f(x)={x 3,x ≤a8log a x,x >a若存在实数x 1，x 2，且x 1≠x 2使得函数f(x 1)=f(x 2)成立，则实数a 的取值范围为______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知全集U =R ，集合A ={x|2x +a >0}，集合B 是f(x)=√log 12(2x +1)的定义域．(Ⅰ)当a =2时，求集合A ∩B ；(Ⅱ)若B ∩(∁U A)=B ，求实数a 的取值范围．18. 求下列各式的值(Ⅰ)(214)−12−3[(1−√2)2]12+log (2+√3)(√3−2)2+√32+log 32；(Ⅱ)已知a 12+a −12=3，求a 32+a−32a 2+a −2值．19. 设函数g(x)=3x ，ℎ(x)=9x ．(Ⅰ)解关于x 的方程ℎ(x)−11g(x)+2ℎ(1)=0；(Ⅱ)令F(x)=g(x)+√3，求F(12020)+F(22020)+⋯+F(20182020)+F(20192020)的值．20.已知函数f(x)=x−m2+2m+2(m∈Z)为偶函数，且f(3)>f(2)．(Ⅰ)求m的值，并确定f(x)的解析式；(Ⅱ)若g(x)=log a[f(x)−ax+5](a>0，且a≠1)，是否存在实数a，使得g(x)在区间[1,2]上为减函数．21.已知f(x)是定义在[−1,1]上的奇函数，且f(1)=1，若对于任意的a，b∈[−1,1]且a+b≠0，有f(a)+f(b)>0恒成立．a+b(Ⅰ)判断f(x)在[−1,1]上的单调性，并证明你的结论；(Ⅱ)若函数F(x)=f[a⋅2x+4x]+1有零点，求实数a的取值范围．22.已知函数f(x)=a2x+t(a>0,a≠1)是奇函数．a x(Ⅰ)求实数t的值；−a恒成立，求实数k取值(Ⅱ)若f(1)<0，对任意x∈[0,1]有f(2x2−kx−k)>1a范围；(Ⅲ)设g(x)=log m[a2x+a−2x−mf(x)],(m>0,m≠1)，若f(1)=3，问是否存2在实数m使函数g(x)在[1,log23]上的最大值为0？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查集合的交集及元素与集合的关系，属于基础题．由交集的定义，可得1∈A且1∈B，代入一元二次方程，求得m，再解方程可得集合B．【解答】解：因为集合A={1,2，4}，B={x|x2−4x+m=0}，若A∩B={1}，则1∈A且1∈B，可得1−4+m=0，解得m=3，即有B={x|x2−4x+3=0}={1,3}，此时符合A∩B={1}．故选C．2.【答案】D【解析】解：由1x+1>0得x+1>0得x>−1，即函数的定义域为(−1,+∞)，排除A，B，当x=1时，f(1)=log1212=1>0，排除C，故选：D．先求出函数的定义域，结合函数值的对应性进行排除即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用定义域和函数值的对应性结合排除法是解决本题的关键．3.【答案】C【解析】解：∵函数f(x)=lnx+13x−2是x>0时的连续增函数，函数f(e)=1+13e−2<0，f(3)=ln3+1−2>0，f(e)⋅f(3)<0，∴函数f(x)=lnx+13x−2的零点所在区间为(e,3)；故选：C．判断函数的连续性，通过求解f(e)，f(3)的值，利用零点判断定理，从而得出结论．本题考察了函数的零点问题，函数零点判断定理的应用，本题是一道基础题．4.【答案】A【解析】解：由甲，乙图得进水速度1，出水速度2，结合丙图中直线的斜率解答∴只进水不出水时，蓄水量增加是2，故①对；∴不进水只出水时，蓄水量减少是2，故②不对；∴二个进水一个出水时，蓄水量减少也是0，故③不对；只有①满足题意．故选A．由甲，乙图得进水速度1，出水速度2，图中直线的斜率即为蓄水量的变化率，比如，0点到3点时的蓄水量的变化率为2.根据进水出水的情况，结合丙图中直线的斜率解答．数形结合是解决此题的关键，本题容易错选成①③，其实二个进水一个出水时，蓄水量减少也是0，这是个动态中的零增量．5.【答案】D【解析】解：∵x=log35>1，y=log52<log5√5=12，1>z=3−12=1√3=√33>12，∴x>z>y．故选：D．利用有理指数幂的运算性质与对数的运算性质分别比较x，y，z与1与12的大小得答案．本题考查对数值的大小比较，考查对数的运算性质，是基础题．6.【答案】C【解析】解：函数f(x)=x2−(32)x的零点的个数为x2−(32)x=0的解的个数，也就是y=x2，与y=(32)x交点的个数，两个函数的图象如图：交点有3个．故选：C．函数的零点个数转化为两个函数的图象交点的个数，利用数形结合求解即可．本题考查函数的零点个数的判断，数形结合的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．7.【答案】B【解析】解：∵方程4x 2+(m −2)x +m −5=0的一根在区间(−1,0)内，另一根在区间(0,2)内，∴函数f(x)=4x 2+(m −2)x +m −5的两个零点一个在区间(−1,0)内，另一个在区间(0,2)内，则{f(−1)=4−(m −2)+m −5>0f(0)=m −5<0f(2)=16+2(m −2)+m −5>0，解得−73<m <5．∴m 的取值范围是(−73,5)． 故选：B ．由题意可得函数f(x)=4x 2+(m −2)x +m −5的两个零点一个在区间(−1,0)内，另一个在区间(0,2)内，由此可得关于m 的不等式组求解．本题考查一元二次方程根的分布，考查函数零点与方程根的关系，是中档题．8.【答案】D【解析】解：令g(x)=f(x)−3，则g(x)+g(−x)=ln(√1+4x 2+2x)+ln(√1+4x 2−2x)， =ln(1+4x 2−4x 2)=0， ∴g(−x)=−g(x)，∴f(−x)−3=−f(x)+3，即f(x)+f(−x)=6， ∵f(log a 2019)=5，则f(log a 12019)=f(−log a 2019)=6−f(log a 2019)=1． 故选：D ．令g(x)=f(x)−3，则g(x)+g(−x)=0，进而可得f(x)+f(−x)=6，代入即可求解． 本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数值，解题的关键是通过奇函数g(x)寻求发现f(−x)与f(x)的关系．9.【答案】B【解析】解：因为f(a)=f(b)，所以|log 2a|=|log 2b|，不妨设0<a <b ，则0<a <1<b ≤2，∴log 2a =−log 2b ，log 2a +log 2b =0，∴log 2(ab)=0， ∴ab =1，又a >0，b >0，且a ≠b ， ∴(a +b)2>4ab =4， ∴a +b >2，a +b =b +1b ，因为函数y =x +1x ，x ∈(1,2]是增函数，函数的最大值为：f(2)=52，所以a +b ≤52， 所以a +b ∈(2,52]． 故选：B ．由已知条件a ≠b ，不妨令a <b ，又y =log 2x 是一个增函数，且f(a)=f(b)，故可得，0<a <1<b ≤2，则log 2a =−log 2b ，再化简整理即可求解．本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a 的取值范围，根据条件a >0，b >0，且a ≠b 可以利用重要不等式(a 2+b 2≥2ab ，当且仅当a =b 时取等号)列出关系式(a +b)2>4ab =4，以及函数的单调性的最值的求法，是中档题．10.【答案】A【解析】解：由于f(x)=max{e |x|,e|x+2|}={e |x+2|,x ≥−1e |x|,x <−1当x ≥−1时，f(x)≥e ，且当x =−1时，取得最小值e ； 当x <−1时，f(x)>e 故f(x)的最小值为f(−1)=e 故选：A ．化简函数的解析式，讨论x 的取值范围，由指数函数的单调性，可得最小值． 本题需要先根据定义，写出函数f(x)解析式，最后求最值，属于新定义题11.【答案】C【解析】解：对于①，因为x 2−2x +3=(x −1)2+2>2，根据对数性质可知log 12(x 2−2x +3)<log 122=−1，所以对应函数的图象恒在x 轴的下方，故①对；对于②，函数y =2x 图象关于y 轴对称后得到的函数解析式为y =(12)x =2−x ，向右移动一个单位后得到y =2−(x−1)=21−x ，故②对；对于③，若函数值域为R，令f(x)=x2−2ax+1，则可得f(x)可以取所有的正数，∴△= 4a2−4≥0∴a≥1或a≤−1，故③错；对于④，令y=x，得x=e y，所以y=lnx，故④对；综上正确的个数为3个，故选：C．对于①，这是一个复合函数，可判断出x2−2x+3>2，再结合对数函数的单调性可得图象；对于②，利用对称和平移的基本结论可得移动后图象；对于③，因为值域为R，所以x2−2ax+1取遍所有的正数，所以△=4a2−4≥0，解出a的取值范围即可；对于④，交换x，y位置即可得新函数解析式．本题考查命题真假性判断，涉及基本初等函数的图象及性质，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：∵3x>0，∴函数f(x)=log9(9x+1)−x2=log9(9x+1)−log99x2=log9(32x+1)−log93x=log9(3x+13x )≥log92√3x⋅13x=log92=log3√2，当且仅当3x=13x即x=0时上式取等号，f(x)min=log3√2要使不等式f(x)−m≤0有解，则f(x)min≤m，∴log3√2≤m故实数m的最小值为log3√2．故选：D．利用对数的有关法则和基本不等式对函数f(x)=log9(9x+1)−x2进行整理化简，求出函数的最小值，要使不等式f(x)−m≤0有解，等价于f(x)min≤m，从而求出实数m的最小值．本题考查了对数的运算法则、基本不等式，考查了不等式有解的解法，以及学生的运算化简能力，属于中档题．13.【答案】(3,−1)【解析】解：由2x −5=1得2x =6，x =3，此时y =log a 1−1=0−1=−1， 即函数过定点(3,−1)， 故答案为：(3,−1)，根据对数函数的性质，令2x −5=1，求出x ，y 的值即可．本题主要考查对数函数过定点的性质，利用1的对数恒等于0是解决本题的关键．比较基础．14.【答案】−12【解析】解：∵f(2x −1)=x 5+2x ，∴f(−3)=f[2×(−1)−1]=(−1)5+2−1=−12．故答案为：−12．由f(2x −1)=x 5+2x ，f(−3)=f[2×(−1)−1]，能求出f(−3)的值．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.【答案】3或−3【解析】解：根据题意，函数f(x)=m−2x n+2x+1是奇函数，则f(−x)=−f(x)，即m−2−xn+2=m⋅2x −1n⋅2+2=−(m−2x n+2)，则有{m =1n =2或{m =−1n =−2．故m +n =3或−3； 故答案为：3或−3．根据题意，由奇函数的定义可得f(−x)=−f(x)，即m−2−x n+2−x+1=m⋅2x −1n⋅2x +2=−(m−2x n+2x+1)，分析可得m 、n 的值，相加即可得答案．本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，注意奇函数的定义，属于基础题．16.【答案】0<a <1或a >2【解析】解：若a>1，则当x≤a时，f(x)=x3≤a3，当x>a时，f(x)=8log a x>8log a a=8，若存在实数x1，x2，且x1≠x2使得函数f(x1)=f(x2)成立，则a3>8，此时a>2，若0<a<1，x≤a时，f(x)=x3≤a3，当x>a时，f(x)=8log a x<8log a a=8，此时存在实数x1，x2，且x1≠x2使得函数f(x1)=f(x2)恒成立，综上0<a<1或a>2，故答案为：0<a<1或a>2结合三次函数以及对数函数的单调性，转化为分段函数的最值关系，进行转化求解即可．本题主要考查函数与方程的应用，结合分段函数的表达式，利用分类讨论以及数形结合是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．17.【答案】解：(Ⅰ)∵全集U=R，集合A={x|2x+a>0}={x|x>−a2}，集合B是f(x)=√log12(2x+1)的定义域．∴B={x|{2x+1>00<2x+1≤1}={x|−12<x≤0}.当a=2时，A={x|x>−1}，∴集合A∩B={x|−12<x≤0}.(Ⅱ)集合A={x|2x+a>0}={x|x>−a2}，B={x|−12<x≤0}，∴C U A={x|x≤−a2}，∵B∩(∁U A)=B，∴C U A⊇B，∴−a2≥0，解得a≤0．∴实数a的取值范围是(−∞,0]．【解析】(Ⅰ)分别求出集合A，B，由此能求出集合A∩B．(Ⅱ)集合A={x|2x+a>0}={x|x>−a2}，B={x|−12<x≤0}.从而C U A={x|x≤−a2}，由B∩(∁U A)=B，得C U A⊇B，由此能求出实数a的取值范围．本题考查交集、补集、实数的取值范围的求法，考查交集、补集、子集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.【答案】(Ⅰ)(214)−12−3[(1−√2)2]12+log(2+√3)(√3−2)2+√32+log32=[(32)2]−12−3(√2−1)+log(2+√3)(2+√3)−2+3⋅√3log32=23−3√2+3−2+3√2=53；(Ⅱ)由a12+a−12=3，得a+2+a−1=9，∴a+a−1=7，则a2+2+a−2=49，∴a2+a−2=47．a32+a−32=(a12+a−12)(a+a−1−1)=18，∴a 32+a−32a2+a−2=1847．【解析】(Ⅰ)直接利用有理指数幂的运算性质与对数的运算性质化简求值；(Ⅱ)由已知分别求得a32+a−32与a2+a−2的值，则答案可求．本题考查有理指数幂的运算性质，考查对数的运算性质，是基础的计算题．19.【答案】解：(Ⅰ)根据题意，函数g(x)=3x，ℎ(x)=9x，即9x−11×3x+18=0，设t=3x，则有t2−11t+18=0，解可得：t=2或t=9，若3x=2，则x=log32，若3x=9，则x=2，故方程的解为2和log32；(Ⅱ)根据题意，F(x)=g(x)+√3=x3x+√3，则F(1−x)=1−x31−x+√3=√3√3+3x，则F(x)+F(1−x)=1，故F(12020)+F(22020)+⋯+F(20182020)+F(20192020)=F(12020)+F(20192020)+F(22020)+F(20182020)+⋯…=1009.5．【解析】(1)根据题意，原方程即9x−11×3x+18=0，设t=3x，由换元法可得t2−11t+18=0，解可得t的值，进而可得x的值，即可得答案；(2)根据题意，由函数的解析式可得F(1−x)的值，进而可得F(x)+F(1−x)=1，据此分析可得答案．本题考查函数值的计算，涉及指数幂的计算，属于基础题．20.【答案】解：(Ⅰ)由函数f(x)=x−m2+2m+2(m∈Z)，且f(3)>f(2)．则函数f(x)=x−m2+2m+2(m∈Z)在(0,+∞)上单调递增，∴−m2+2m+2>0，即m2−2m−2<0，∴1−√3<m<1+√3，又m∈Z，∴m=0或1或2，当m=0时，−m2+2m+2=2；当m=1时，−m2+2m+2=3；当m=2时，−m2+2m+2=2；又函数f(x)=x−m2+2m+2(m∈Z)为偶函数，−m2+2m+2必为偶数，∴当m=0或2时，f(x)=x2；故m=0或2，f(x)的解析式为f(x)=x2；(Ⅱ)由(Ⅰ)知g(x)=log a[x2−ax+5](a>0，且a≠1)，设y=log a u，u(x)=x2−ax+5，x∈[1,2]当0<a<1时，y=log a u为减函数，只有u(x)=x2−ax+5在[1,2]为增函数时，且u(1)>0时，g(x)在区间[1,2]上为减函数．∴{0<a<1a2≤1u(1)=1−a+5>0，∴0<a<1．当a>1时，y=log a u为增函数，只有u(x)=x2−ax+5在[1,2]为减函数时，且u(2)>0时，g(x)在区间[1,2]上为减函数．∴{a>1a2≥2u(2)=4−2a+5>0，∴4≤a<92．综上，当0<a<1或4≤a<92时，g(x)在区间[1,2]上为减函数．故存在实数a ∈(0,1)∪[4，92)，使得g(x)在区间[1,2]上为减函数．【解析】(Ⅰ)由题知，∴−m 2+2m +2>0且−m 2+2m +2必为偶数，确定m 的值，求出f(x)的解析式；(Ⅱ)由(Ⅰ)知g(x)=log a [x 2−ax +5](a >0，且a ≠1)，由复合函数单调性，据a 的值分类讨论使得g(x)在区间[1,2]上为减函数时a 成立的条件．本题考查了幂函数的性质，考查了函数的奇偶性的性质，考查了分类讨论的数学思想，训练了利用函数单调性求函数的最值，考查了计算能力，属于中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)根据题意，f(x)在[−1,1]上为增函数，证明如下：f(x)为奇函数，则f(−x)=−f(x)， 设−1≤x 1<x 2≤1，则f(x 1)−f(x 2)=f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2(x 1−x 2)=f(x 1)+f(−x 2)x 1+(−x 2)(x 1−x 2)<0，则函数f(x)在[−1,1]上为增函数，(Ⅱ)根据题意，若函数F(x)=f[a ⋅2x +4x ]+1有零点，即f[a ⋅2x +4x ]=−1有解， 又由f(x)为奇函数且f(1)=1，则f(−1)=−1，f(x)在[−1,1]上为增函数，则a ⋅2x +4x =−1，即4x +a ⋅2x +1=0①有解， 设t =2x ，则①等价于t 2+at +1=0有正根，则有{a 2≥4−a >0，解可得a ≤−2，即a 的取值范围为(−∞,−2]．【解析】(Ⅰ)根据题意，设−1≤x 1<x 2≤1，则f(x 1)−f(x 2)=f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2(x 1−x 2)，结合函数的奇偶性分析可得结论；(Ⅱ)根据题意，原问题转化为f[a ⋅2x +4x ]=−1有解，结合函数的奇偶性与单调性分析可得4x +a ⋅2x +1=0有解，设t =2x ，由换元法结合一元二次函数的性质分析可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及函数与方程的关系，属于综合题． 22.【答案】解：(Ⅰ)f(x)为奇函数，则f(0)=0，a 0+t a 0=0， 则t =−1；(Ⅱ)由f(1)<0，有f(1)=a 2−1a<0，得0<a <1；则f(x)=a 2x −1a x=a x −1a x在R 上单调递减；任意x ∈[0,1]有f(2x 2−kx −k)>1a −a 恒成立；即任意x ∈[0,1]有f(2x 2−kx −k)>1a −a =f(−1)恒成立； 所以2x 2−kx −k <−1在x ∈[0,1]上恒成立； 即k >2x 2+1x+1=2(x 2−1)+3x+1=2(x +1)+3x+1−4∵当时，2(x +1)+3x+1−4≤32 所以实数k 取值范围k >32；(Ⅲ)由f(1)=32，得a =2，假设存在满足条件的m ，g(x)=log m [22x +2−2x −m(2x −2x )]=log m [(2x −2−x )−m(2x −2−x )+2] 设t =2x −2−x ，t ∈[32,83] 设ℎ(t)=t 2−mt +2，当0<m <1 时，y =log m ℎ(t)是单调递减函数， ∵函数ℎ(t)=t 2−mt +2，在t ∈[32,83] 有最小值1； ∵对称轴方程为t =m2 <12；函数在t ∈[32,83] 上单调递增， ∴ℎ(t)min =ℎ(32)=174−32m =1，解得：m =136(不满足，舍去)当m >1时，ℎ(t)>0在[32,83]上恒成立，且最大值为1； 所以函数ℎ(t)=t 2−mt +2，在t ∈[32,83] 有最大值为1； ∵对称轴方程为：t =m2， 当m2<2512 时，即m <256，当t =83 时，有ℎ(t)最大值； ∴ℎ(83)=829−8m 3=1，即m =7324；∵m 2=7348∈[32,83]，当t =7348时，ℎ(t)取得最小值ℎ(7348)<0，所以此时不满足条件； 当m2≥2512时，即m ≥256，ℎ(t)在t =32 时取得最大值； 即ℎ(32)=174−3m 2=1，则m =136(不符合条件)故不存在正实数m ，满足条件．【解析】(Ⅰ)利用奇函数的性质，f(0)=0，即可求出t的值；(Ⅱ)由f(1)<0，得0<a<1，f(x)单调递减，有f(2x2−kx−k)>1a−a=f(−1)，利用单调性脱去函数符号，再分离参数求解；(Ⅲ)由f(1)=32，得a=2，设t=2x−2−x，t∈[32,83]，设ℎ(t)=t2−mt+2，然后对m进行分类讨论；本题考察函数奇偶性的性质，恒成立问题，函数最值，二次函数再闭区间上的最值，恒成立问题一般选用参变量分离法，最值法，数形结合法求解．属于难题．。

2017-2018学年四川省成都外国语学校高一（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．函数的最小值为（）A．2 B．C．1 D．不存在2．数列{a n}中，a1=﹣1，a n+1=a n﹣3，则a8等于（）A．﹣7 B．﹣8 C．﹣22 D．273．若△ABC外接圆的面积为25π，则=（）A．5 B．10 C．15 D．204．若△ABC是边长为a的正三角形，则•=（）A．a2B．﹣a2C．a2D．﹣a25．若等差数列{a n}的前15项和为5π，则cos（a4+a12）=（）A．﹣B．C．D．±6．已知cos（α﹣）=，则sin2α的值为（）A．B．﹣C．﹣D．7．已知O为△ABC内一点，若对任意k∈R有|+（k﹣1）﹣k|≥|﹣|，则△ABC一定是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．以上均有可能8．在三视图如图的多面体中，最大的一个面的面积为（）A．2B．C．3 D．29．已知向量=（3，﹣2），=（x，y﹣1）且∥，若x，y均为正数，则+的最小值是（）A．B．C．8 D．2410．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD是边长为2的为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC，则点M 在正方形ABCD内的轨迹的长度为（）A．B．2C．πD．11．给定正数p，q，a，b，c，其中p≠q，若p，a，q是等比数列，p，b，c，q是等差数列，则一元二次方程bx2﹣2ax+c=0（）A．无实根B．有两个相等实根C．有两个同号相异实根D．有两个异号实根12．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点，点P在对角线BD1上，给出以下：①当P在BD1上运动时，恒有MN∥面APC；②若A，P，M三点共线，则=；③若=，则C1Q∥面APC；④若过点P且与正方体的十二条棱所成的角都相等的直线有m条；过点P且与直线AB1和A1C1所成的角都为60°的直线有n条，则m+n=7．其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：（本大题5个小题，每小题5分，共20分）13．cos140°+2sin130°sin10°=______．14．如图，动物园要围成四间相同面积的长方形虎笼，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成，设每间虎笼的长为xm，宽为ym，现有36m长的钢筋网材料，为使每间虎笼面积最大，则=______．15．如图，正四棱锥P﹣ABCD的体积为2，底面积为6，E为侧棱PC的中点，则直线BE 与平面PAC所成的角为______．16．已知a，b，c为正实数，给出以下结论：①若a﹣2b+3c=0，则的最小值是3；②若a+2b+2ab=8，则a+2b的最小值是4；③若a（a+b+c）+bc=4，则2a+b+c的最小是2；④若a2+b2+c2=4，则ab+bc的最大值是2．其中正确结论的序号是______．三、解答题（本大题共6个小题，共70分）17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量=（a+c，b）与向量=（a﹣c，b﹣a）互相垂直．（1）求角C；（2）求sinA+sinB的取值范围．18．如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是平行四边形，（1）求证：BD∥截面PQMN；（2）若截面PQMN是正方形，求异面直线PM与BD所成的角．19．已知数列{a n}的前项和为S n．若a1=1，a n=3S n+4（n≥2）．﹣1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=log2，c n=，其中n∈N+，记数列{c n}的前项和为T n．求T n+的值．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中点．（1）证明：CD⊥平面PAE；（2）若直线PB与平面PAE所成的角和直线PB与平面ABCD所成的角相等，求二面角P ﹣CD﹣A的正切值．21．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．（1）若f（x）＞0的解集为{x|﹣3＜x＜4}，解关于x的不等式bx2+2ax﹣（c+3b）＜0．（2）若对任意x∈R，不等式f（x）≥2ax+b恒成立，求的最大值．22．函数f（x）满足：对任意α，β∈R，都有f（αβ）=αf（β）+βf（α），且f（2）=2，数列{a n}满足a n=f（2n）（n∈N+）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=（﹣1），c n=，记T n=（c1+c2+…+c n）（n∈N+）．问：是否存在正整数M，使得当n＞M时，不等式|T n﹣|＜恒成立？若存在，写出一个满足条件的M；若不存在，请说明理由．2015-2016学年四川省成都外国语学校高一（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．函数的最小值为（）A．2 B．C．1 D．不存在【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】要求函数的最小值，本题形式可以变为用基本不等式求函数最值，用此法时要注意验证等号成立的条件是不是具备．【解答】解：由于==令t=，则t≥2，f（t）=t在（2，+∞）上单调递增，∴的最小值为：故选B．2．数列{a n}中，a1=﹣1，a n+1=a n﹣3，则a8等于（）A．﹣7 B．﹣8 C．﹣22 D．27【考点】等差数列；等差数列的通项公式．【分析】数列{a n}中，a1=﹣1，a n+1=a n﹣3，可得a n+1﹣a n=﹣3，利用递推式求出a8，从而求解；【解答】解：∵数列{a n}中，a1=﹣1，a n+1=a n﹣3，∴a n+1﹣a n=﹣3，∴a2﹣a1=﹣3，a3﹣a2=﹣3，…a8﹣a7=﹣3，进行叠加：a8﹣a1=﹣3×7，∴a8=﹣21+1=﹣22，故选C；3．若△ABC外接圆的面积为25π，则=（）A．5 B．10 C．15 D．20【考点】正弦定理；运用诱导公式化简求值．【分析】由已知及圆的面积公式可求三角形的外接圆的半径为R，由正弦定理可得AB=10sinC，BC=10sinA，从而利用三角形内角和定理化简所求即可得解．【解答】解：∵△ABC外接圆的面积为25π，∴设三角形的外接圆的半径为R，则πR2=25π，解得：R=5，∴由正弦定理可得：=2R=10，∴AB=10sinC，BC=10sinA，∴===10．故选：B．4．若△ABC是边长为a的正三角形，则•=（）A．a2B．﹣a2C．a2D．﹣a2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据、的夹角为120°，再利用两个向量的数量积的定义，求得要求式子的值．【解答】解：∵△ABC是边长为a的正三角形，则•=a•a•cos=﹣，故选：B．5．若等差数列{a n}的前15项和为5π，则cos（a4+a12）=（）A．﹣B．C．D．±【考点】等差数列的通项公式．【分析】由=5π，求出，由此能求出cos（a4+a12）的值．【解答】解：∵等差数列{a n}的前15项和为5π，∴=5π，∴，∴cos（a4+a12）=cos=cos（）=﹣cos=﹣．故选：A．6．已知cos（α﹣）=，则sin2α的值为（）A．B．﹣C．﹣D．【考点】二倍角的余弦；运用诱导公式化简求值．【分析】先利用余弦的二倍角公式求得cos[2（α﹣）]的值，进而利用诱导公式求得答案．【解答】解：cos[2（α﹣）]=2cos2（α﹣）﹣1=2×（）2﹣1=﹣=cos（2α﹣）=sin2α．∴sin2α=cos（2α﹣）=﹣故选C7．已知O为△ABC内一点，若对任意k∈R有|+（k﹣1）﹣k|≥|﹣|，则△ABC一定是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．以上均有可能【考点】三角形的形状判断．【分析】根据题意画出图形，在边BC上任取一点E，连接AE，根据已知不等式左边绝对值里的几何意义可得k=，再利用向量的减法运算法则化简，根据垂线段最短可得AC 与EC垂直，进而确定出三角形为直角三角形．【解答】解：从几何图形考虑：|﹣k|≥||的几何意义表示：在BC上任取一点E，可得k=，∴|﹣k|=|﹣|=||≥||，又点E不论在任何位置都有不等式成立，∴由垂线段最短可得AC⊥EC，即∠C=90°，则△ABC一定是直角三角形．故选A8．在三视图如图的多面体中，最大的一个面的面积为（）A．2B．C．3 D．2【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是三棱锥，由三视图和勾股定理求出棱长，由棱长的大小判断出面积最大的面，由余弦定理、三角形的面积公式求出最大面的面积．【解答】解：由三视图可知几何体是三棱锥，如图所示，且PD⊥平面ABC，D是AC的中点，PD=2，底面是等腰直角三角形，AC=BC=2、AC⊥BC，∴PA=PC=BD==，AB=2则PB===3，∴棱长PB最大，其次AB，则△PAB的面积是各个面中面积最大的一个面，在△PAB中，由余弦定理得cos∠ABP===，∵0＜∠ABP＜π，∴∠ABP=，则△PAB的面积S===3，故选：C．9．已知向量=（3，﹣2），=（x，y﹣1）且∥，若x，y均为正数，则+的最小值是（）A．B．C．8 D．24【考点】基本不等式；平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】利用向量共线定理可得2x+3y=3，再利用“乘1法”和基本不等式即可得出．【解答】解：∵，∴﹣2x﹣3（y﹣1）=0，化为2x+3y=3，∴+===8，当且仅当2x=3y=时取等号．∴+的最小值是8．故选：C．10．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD是边长为2的为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC，则点M 在正方形ABCD内的轨迹的长度为（）A．B．2C．πD．【考点】棱锥的结构特征．【分析】先找符合条件的特殊位置，然后根据符号条件的轨迹为线段PC的垂直平分面与平面AC的交线得到M的轨迹，再由勾股定理求得答案．【解答】解：根据题意可知PD=DC，则点D符合“M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC”设AB的中点为E，根据题目条件可知△PAE≌△CBE，∴PE=CE，点E也符合“M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC”故动点M的轨迹肯定过点D和点E，而到点P与到点C的距离相等的点为线段PC的垂直平分面，线段PC的垂直平分面与平面AC的交线是一直线，∴M的轨迹为线段DE．∵AD=2，AE=1，∴DE=．故选：A．11．给定正数p，q，a，b，c，其中p≠q，若p，a，q是等比数列，p，b，c，q是等差数列，则一元二次方程bx2﹣2ax+c=0（）A．无实根B．有两个相等实根C．有两个同号相异实根D．有两个异号实根【考点】等比数列的性质；等差数列的性质．【分析】先由p，a，q是等比数列，p，b，c，q是等差数列，确定a、b、c与p、q的关系，再判断一元二次方程bx2﹣2ax+c=0判别式△=4a2﹣4bc的符号，决定根的情况即可得答案．【解答】解：∵p，a，q是等比数列，p，b，c，q是等差数列∴a2=pq，b+c=p+q．解得b=，c=；∴△=（﹣2a）2﹣4bc=4a2﹣4bc=4pq﹣（2p+q）（p+2q）===﹣（p﹣q）2又∵p≠q，∴﹣（p﹣q）2＜0，即△＜0，原方程无实根．故选A．12．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点，点P在对角线BD1上，给出以下：①当P在BD1上运动时，恒有MN∥面APC；②若A，P，M三点共线，则=；③若=，则C1Q∥面APC；④若过点P且与正方体的十二条棱所成的角都相等的直线有m条；过点P且与直线AB1和A1C1所成的角都为60°的直线有n条，则m+n=7．其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】棱柱的结构特征．【分析】①利用三角形中位线定理、正方体的性质可得MN∥AC，再利用线面平行的判定定理即可判断出正误；②若A，P，M三点共线，由D1M∥AB，由平行线的性质可得，==，即可判断出正误；③若=，由②可得：A，P，M三点共线，设对角线BD∩AC=O，可得四边形OQC1M是平行四边形，于是C1Q∥OM，即可判断出正误．④若过点P且与正方体的十二条棱所成的角都相等的直线有A1C，D1B，AC1，DB1，4条．过点P且与直线AB1和A1C1所成的角都为60°的直线有且只有2条，即可判断出正误．【解答】解：①∵M，N，分别是棱D1C1，A1D1的中点，∴MN∥A1C1∥AC，MN⊄平面APC，AC⊂平面APC，∴当P在BD1上运动时，恒有MN∥面APC，正确；②若A，P，M三点共线，②若A，P，M三点共线，由D1M∥AB，∴==，则=，正确；③若=，由②可得：A，P，M三点共线，设对角线BD∩AC=O，连接OM，OQ，则四边形OQC1M是平行四边形，∴C1Q∥OM，而M点在平面APC内，∴C1Q∥平面APC相交，因此正确；④若过点P且与正方体的十二条棱所成的角都相等的直线有A1C，D1B，AC1，DB1，4条．连接B1C，A1C1∥AC，由正方体的性质可得△AB1C是等边三角形，则点P取点D1，则直线AD1，CD1满足条件，∴过点P且与直线AB1和A1C1所成的角都为60°的直线有且只有2条，过P且与直线AB1和A1C1所成的角都为60°的直线有n条，则m+n=6条，因此不正确．其中正确为①②③，其个数为3．故选：C．二、填空题：（本大题5个小题，每小题5分，共20分）13．cos140°+2sin130°sin10°=．【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用诱导公式，积化和差公式，特殊角的三角函数值化简即可得解．【解答】解：cos140°+2sin130°sin10°=cos（90°+50°）+2sin（90°+40°）sin（90°﹣80°）=﹣sin50°+2cos40°cos80°=﹣cos40°+2× [cos120°+cos（﹣40°）]=﹣cos40°+（﹣）+cos40°=﹣．故答案为：．14．如图，动物园要围成四间相同面积的长方形虎笼，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成，设每间虎笼的长为xm，宽为ym，现有36m长的钢筋网材料，为使每间虎笼面积最大，则=．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】设出每间虎笼的长和宽，利用周长为定值，根据基本不等式，求出面积最大时的长与宽的值．【解答】解：设每间虎笼的长、宽各设计为xm，ym时，可使每间虎笼的面积最大，则4x+6y=36，S=xy．∵4x+6y=36，∴2x+3y=18，由基本不等式，得18≥2，∴xy≤，当且仅当2x=3y=9，即x=4.5m，y=3m时，S取得最大值，∴=．故答案为：．15．如图，正四棱锥P﹣ABCD的体积为2，底面积为6，E为侧棱PC的中点，则直线BE 与平面PAC所成的角为600．【考点】直线与平面所成的角．【分析】在正四棱锥中，连接AC，BD，交于O，连接PO，则PO⊥平面ABCD得到∠BEO 是直线BE与平面PAC所成的角，根据条件结合三角形的边角关系进行求解即可．【解答】解：在正四棱锥P﹣ABCD中，连接AC，BD，交于O连接PO，则PO⊥平面ABCD，则在正四棱锥中，BO⊥平面PAC，则连接OE，DE，则∠BEO是直线BE与平面PAC所成的角，∵正四棱锥P﹣ABCD的体积为2，底面积为6，∴V=•PO=2，则高PO=1，∵底面积为6，∴BC=，OC=OB=，则侧棱PB=PC==2，∵E为侧棱PC的中点，∴取OC的中点H，则EH⊥OC，则EH=PO=，OH==，则OE===1，在直角三角形BOE中，tan∠BEO==，则∠BEO=60°，故答案为：60016．已知a，b，c为正实数，给出以下结论：①若a﹣2b+3c=0，则的最小值是3；②若a+2b+2ab=8，则a+2b的最小值是4；③若a（a+b+c）+bc=4，则2a+b+c的最小是2；④若a2+b2+c2=4，则ab+bc的最大值是2．其中正确结论的序号是①②④．【考点】基本不等式．【分析】变形，利用基本不等式，分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：①若a﹣2b+3c=0，则2b=a+3c≥2，∴b2≥3ac，∴≥3，∴的最小值是3，正确；②设t=a+2b，则t＞0，由a+2b+2ab=8得2ab=8﹣（a+2b）≤，即8﹣t≤，整理得t2+4t﹣32≥0，解得t≥4或t≤﹣8（舍去），即a+2b≥4，所以a+2b的最小值是4．正确；③∵a，b，c＞0，∴a+c＞0，a+b＞0，∵a（a+b+c）+bc=a（a+b）+ac+bc=a（a+b）+c（a+b）=（a+c）（a+b）=4，∴2a+b+c=（a+b）+（a+c）≥2=4，∴2a+b+c的最小值为4，不正确；④若a2+b2+c2=4，则4=a2+b2+b2+c2≥2ab+2bc，∴ab+bc≤2，∴ab+bc的最大值是2，正确综上所述，正确结论的序号是①②④．故答案为：①②④．三、解答题（本大题共6个小题，共70分）17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量=（a+c，b）与向量=（a﹣c，b﹣a）互相垂直．（1）求角C；（2）求sinA+sinB的取值范围．【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）由⊥，得（a+c）（a﹣c）+b（b﹣a）=0化简整理得a2+b2﹣c2=ab代入余弦定理即可求得cosC，结合C的范围进而求得C．（2）由第二问得到的A与B的关系式，用A表示出B，代入所求的式子中，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据A的范围，求出此时正弦函数的值域，可得出所求式子的范围．【解答】解：，∴，∵0＜C＜π，∴．，∴，∴=，∵，∴，∴＜sinA+sinB=sin（A+）≤．则sinA+sinB的取值范围是（，]．18．如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是平行四边形，（1）求证：BD∥截面PQMN；（2）若截面PQMN是正方形，求异面直线PM与BD所成的角．【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（1）利用线面平行的判定定理与性质定理即可证明．（2）由（1）的证明知PN∥BD，可得∠NPM（或其补角）是异面直线PM与BD所成的角．再利用正方形的性质即可得出．【解答】（1）证明：∵截面PQMN是平行四边形，∴PN∥QM，又PN⊄平面BCD，QM⊂平面BCD⇒PN∥平面BCD．∵PN⊂平面ABD，平面ABD∩平面BCD=BD⇒PN∥BD，∵PN⊂截面PQMN，BD⊄截面PQMN，∴BD∥截面PQMN．（2）解：由（1）的证明知PN∥BD，∴∠NPM（或其补角）是异面直线PM与BD所成的角．∵截面PQMN是正方形，∴∠NPM=45°．∴异面直线PM与BD所成的角是450．19．已知数列{a n}的前项和为S n．若a1=1，a n=3S n+4（n≥2）．﹣1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=log2，c n=，其中n∈N+，记数列{c n}的前项和为T n．求T n+的值．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）根据题意和，分别列出式子化简、验证后求出a n；（2）由（1）化简和对数的运算法则化简b n=log2，代入c n=化简，利用错位相减法和等比数列的前n项和公式求出前n项和T n，即可求出答案．+4（n≥2），【解答】解：（1）由题意得，a1=1，a n=3S n﹣1当n=2时，a2=3S1+4=7，+4（n≥2），得a n+1=3S n+4，当n≥2时，由a n=3S n﹣1两式相减得，a n+1=4a n（n≥2），∴数列{a n}从第二项起是以4为公比、7为首项的等比数列，则（n≥2），此时对n=1不成立，∴；（2）由（1）得，b n=log2==2n，则c n==，∴，①，②①﹣②得，=﹣=，∴，即．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中点．（1）证明：CD⊥平面PAE；（2）若直线PB与平面PAE所成的角和直线PB与平面ABCD所成的角相等，求二面角P ﹣CD﹣A的正切值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）连接AC，推导出CD⊥AE，PA⊥CD，由此能证明CD⊥平面PAE．（2）推导出∠PEA是二面角的平面角，，由此能求出，由此能求出二面角P﹣CD﹣A的正切值．【解答】证明：．，∴CD⊥AE．∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD．，∴CD⊥平面PAE．解：（2）∵CD⊥平面PAE，∴∠PEA是二面角的平面角，．由（1）知，BG⊥平面PAE，∴．．，∴Rt△PBA≌Rt△BPF，∴PA=BF．∵BCDG是平行四边形．GD=BC=3，∴AG=2．∵AB=4，BG⊥AF，∴，，∴，，∴，∴tan=，∴二面角P﹣CD﹣A的正切值是．21．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．（1）若f（x）＞0的解集为{x|﹣3＜x＜4}，解关于x的不等式bx2+2ax﹣（c+3b）＜0．（2）若对任意x∈R，不等式f（x）≥2ax+b恒成立，求的最大值．【考点】二次函数的性质．【分析】（1）利用f（x）＞0的解集为{x|﹣3＜x＜4}，得出a，b，c的关系，再解关于x 的不等式bx2+2ax﹣（c+3b）＜0．（2）若对任意x∈R，不等式f（x）≥2ax+b恒成立，得出，即可求的最大值．【解答】解：（1）∵ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣3＜x＜4}，∴a＜0，﹣3+4=﹣．∴bx2+2ax﹣（c+3b）＜0⇔﹣ax2+2ax+15a＜0（a＜0）⇔x2﹣2x﹣15＜0，∴解集为（﹣3，5）．（2）∵f（x）≥2ax+b⇔ax2+（b﹣2a）x+c﹣b≥0恒成立，∴，∴0≤b2≤4a（c﹣a），∴﹣1，∵4a （c ﹣a ）≥b 2≥0，∴c ≥a ＞0⇒≥1⇒t ≥0．∴≤=．令g （t ）=（t ≥0）．当t=0时，g （0）=0，当t ＞0时，g （t ）=≤=2﹣2，∴的最大值为2﹣2．22．函数f （x ）满足：对任意α，β∈R ，都有f （αβ）=αf （β）+βf （α），且f （2）=2，数列{a n }满足a n =f （2n ）（n ∈N +）． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）令b n =（﹣1），c n =，记T n =（c 1+c 2+…+c n ）（n ∈N +）．问：是否存在正整数M ，使得当n ＞M 时，不等式|T n ﹣|＜恒成立？若存在，写出一个满足条件的M ；若不存在，请说明理由．【考点】数列与不等式的综合；数列的应用．【分析】（1）通过代入计算可知a n+1=2a n +2n+1，进而通过构造出首项、公差均为1的等差数列{}，计算即得结论；（2）通过（1）可知c n =﹣，通过放缩可知﹣＜c 1+c 2+…+c n ＜（n ＞2），利用等价条件可n ＞=146，进而整理即得结论．【解答】解：（1）∵数列{a n }满足a n =f （2n ）（n ∈N +）， ∴a 1=f （2）=2，又∵对任意α，β∈R ，都有f （αβ）=αf （β）+βf （α）， ∴a n+1=f （2n+1）=2f （2n ）+2n f （2）=2a n +2n+1，两边同时除以2n+1得：﹣=1，∴数列{}是首项、公差均为1的等差数列，∴=n ，即a n =n •2n ；（2）由（1）可知，b n =（﹣1）=2n （2n ﹣1），c n ====﹣＜，∴c 1+c 2+…+c n ＜，∵c n =﹣=﹣=﹣，∴c n =﹣＞﹣（n ＞2），∴c 1+c 2+…+c n ＞﹣•=﹣+＞﹣（n ＞2），∴﹣＜c 1+c 2+…+c n ＜（n ＞2），∵不等式|T n ﹣|＜恒成立等价于＜，等价于n ＞=146，∴存在正整数M=146（或147，148，149，…），使得不等式|T n ﹣|＜恒成立．2016年9月19日。

2017-2018学年四川省成都外国语学校高二（上）期中数学试卷（文科）一．选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）．1．（5分）设命题p：?n∈N，n2＞2n，则￢p为（）A．?n∈N，n2＞2n B．?n∈N，n2≤2n C．?n∈N，n2≤2n D．?n∈N，n2=2n2．（5分）抛物线上一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（）A．B．C．D．03．（5分）“m=”是“直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3=0相互垂直”的（）A．充分必要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）过点A （1，﹣1）、B （﹣1，1）且圆心在直线x+y﹣2=0上的圆的方程是（）A．（x﹣3）2+（y+1）2=4B．（x+3）2+（y﹣1）2=4C．（x+1）2+（y+1）2=4D．（x﹣1）2+（y﹣1）2=45．（5分）已知曲线C上的动点M（x，y）．若向量=（x+2，y），=（x﹣2，y）满足||+||=6，则曲线C的离心率是（）A．B．C．D．6．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±2x7．（5分）已知两定点A（﹣2，0），B（1，0），如果动点P满足条件|PA|=2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于（）A．πB．4πC．8πD．9π8．（5分）已知双曲线E的中心为原点，P（3，0）是E的焦点，过P的直线l 与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（﹣12，﹣15），则E的方程式为（）A．B．C．D．9．（5分）有下列4个命题：①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆否命题；②“若a＞b，则a2＞b2”的逆命题；③“若x≤﹣3，则x2﹣x﹣6＞0”的否命题；④“若a b是无理数，则a，b是无理数”的逆命题．其中真命题的个数是（）A．0B．1C．2D．310．（5分）一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（）A．B．（4+π）C．D．11．（5分）已知两定点A（﹣2，0）和B（2，0），动点P（x，y）在直线l：y=x+3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（）A．B．C．D．12．（5分）已知P是椭圆+=1上第一象限内任一点，过点P作圆x2+y2=16的两条切线PA、PB（点A、B是切点），直线AB分别交x轴、y轴于点MN，则△MON的面积S△MON（O是坐标原点）的最小值是（）A．B．14C．D．二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷上的相应位置）.13．（5分）已知直线l经过点（7，1）且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线l的方程．14．（5分）若抛物线y2=2px的焦点与双曲线﹣y2=1的右焦点重合，则实数p=．15．（5分）若函数（a＞0）没有零点，则a的取值范围为．16．（5分）已知直线：x+y=1（a，b为给定的正常数，θ为参数，θ∈[0，2π））构成的集合为S，给出下列命题：①当θ＝时，S中直线的斜率为；②S中的所有直线可覆盖整个坐标平面．③当a=b时，存在某个定点，该定点到S中的所有直线的距离均相等；④当a＞b时，S中的两条平行直线间的距离的最小值为2b；其中正确的是（写出所有正确命题的编号）．三、解答题：（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤）．17．（10分）已知两条直线l1（3+m）x+4y=5﹣3m，l2 2x+（5+m）y=8．当m分别为何值时，l1与l2：（1）相交？（2）平行？（3）垂直？18．（12分）若m∈R，命题p：设x1和x2是方程x2﹣ax﹣3=0的两个实根，不等m2﹣2m﹣4≥|x1﹣x2|对任意实数a∈[﹣2，2]恒成立命题q：“4x+m＜0”是“ｘ2﹣x﹣2＞0”的充分不必要条件．求使p且￢q为真命题的m的取值范围．19．（12分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AD=DC=2，AD⊥DC，AC=CB，AB=4，平面ADC⊥平面ABC，M为AB的中点．（Ⅰ）求证：BC⊥平面ADC；（Ⅱ）求点A到平面DMC的距离．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），设圆C的半径为1，圆心在直线l：y=2x﹣4上．（1）若圆心C也在直线y=x﹣1上，过点B（2，4）作圆C的切线，求切线的方程；（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．21．（12分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，点P（4，0）．（1）设Q是抛物线C上的动点，求|PQ|的最小值；（2）过点P的直线l与抛物线C交于M、N两点，若△FMN的面积为6，求直线l的方程．22．（12分）已知A（x0，0），B（0，y0）两点分别在x轴和y轴上运动，且|AB|=1，若动点P（x，y）满足．（1）求出动点P的轨迹对应曲线C的标准方程；（2）一条纵截距为2的直线l1与曲线C交于P，Q两点，若以PQ直径的圆恰过原点，求出直线方程．2017-2018学年四川省成都外国语学校高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）．1．（5分）设命题p：?n∈N，n2＞2n，则￢p为（）A．?n∈N，n2＞2n B．?n∈N，n2≤2n C．?n∈N，n2≤2n D．?n∈N，n2=2n【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．【解答】解：命题的否定是：?n∈N，n2≤2n，故选：C．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．2．（5分）抛物线上一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（）A．B．C．D．0【分析】先求抛物线的准线方程，再根据抛物线的定义，将点M到焦点的距离为1转化为点M到准线的距离为1，故可求点M的纵坐标．【解答】解：抛物线的准线方程为设点M的纵坐标是y，则∵抛物线上一点M到焦点的距离为1∴根据抛物线的定义可知，点M到准线的距离为1∴∴∴点M的纵坐标是故选：B．【点评】本题以抛物线的标准方程为载体，考查抛物线的定义，解题的关键是将点M到焦点的距离为1转化为点M到准线的距离为13．（5分）“m=”是“直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3=0相互垂直”的（）A．充分必要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【分析】判断充分性只要将“m=”代入各直线方程，看是否满足（m+2）（m﹣2）+3m?（m+2）=0，判断必要性看（m+2）（m﹣2）+3m?（m+2）=0的根是否只有．【解答】解：当m=时，直线（m+2）x+3my+1=0的斜率是，直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3=0的斜率是，∴满足k1?k2=﹣1，∴“m=”是“直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3=0相互垂直”的充分条件，而当（m+2）（m﹣2）+3m?（m+2）=0得：m=或m=﹣2．∴“m=”是“直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3=0相互垂直”充分而不必要条件．故选：B．【点评】本题是通过常用逻辑用语考查两直线垂直的判定．4．（5分）过点A （1，﹣1）、B （﹣1，1）且圆心在直线x+y﹣2=0上的圆的方程是（）A．（x﹣3）2+（y+1）2=4B．（x+3）2+（y﹣1）2=4C．（x+1）2+（y+1）2=4D．（x﹣1）2+（y﹣1）2=4【分析】先求AB的中垂线方程，它和直线x+y﹣2=0的交点是圆心坐标，再求半径，可得方程．【解答】解：圆心一定在AB的中垂线上，AB的中垂线方程是y=x，排除A，B 选项；圆心在直线x+y﹣2=0上验证D选项，不成立．故选：D．【点评】本题解答灵活，符合选择题的解法，本题考查了求圆的方程的方法．是基础题目．5．（5分）已知曲线C上的动点M（x，y）．若向量=（x+2，y），=（x﹣2，y）满足||+||=6，则曲线C的离心率是（）A．B．C．D．【分析】由已知结合模的定义，可得曲线C为椭圆，且2a=6，c=2，进而得到答案．【解答】解：∵=（x+2，y），=（x﹣2，y）满足||+||=6，∴+=6，故动点M（x，y）到（﹣2，0）和（2，0）的距离和为6，故曲线C为椭圆，且2a=6，c=2，故曲线C的离心率e==，故选：A．【点评】本题考查的知识点是向量的模，椭圆的定义，椭圆的简单性质，难度中档．6．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±2x【分析】运用双曲线的离心率公式可得c2=a2，由a，b，c的关系和双曲线的渐近线方程，计算即可得到所求方程．【解答】解：由题意可得e==，即为c2=a2，由c2=a2+b2，可得b2=a2，即a=2b，双曲线的渐近线方程为y=±x，即为y=±2x．故选：D．【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用离心率公式和双曲线的方程，考查运算能力，属于基础题．7．（5分）已知两定点A（﹣2，0），B（1，0），如果动点P满足条件|PA|=2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于（）A．πB．4πC．8πD．9π【分析】设P点的坐标为（x，y），用坐标表示|PA|、|PB|，代入等式|PA|=2|PB|，整理即得点P的轨迹方程，然后根据轨迹确定面积．【解答】解：已知两定点A（﹣2，0），B（1，0），如果动点P满足|PA|=2|PB|，设P点的坐标为（x，y），则（x+2）2+y2=4[（x﹣1）2+y2]，即（x﹣2）2+y2=4，所以点的轨迹是以（2，0）为圆心，2为半径的圆，所以点P的轨迹所包围的图形的面积等于4π，故选：B．【点评】考查两点间距离公式及圆的性质．是训练基础知识的好题．8．（5分）已知双曲线E的中心为原点，P（3，0）是E的焦点，过P的直线l 与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（﹣12，﹣15），则E的方程式为（）A．B．C．D．【分析】已知条件易得直线l的斜率为1，设双曲线方程，及A，B点坐标代入方程联立相减得x1+x2=﹣24，根据=，可求得a和b的关系，再根据c=3，求得a和b，进而可得答案．【解答】解：由已知条件易得直线l的斜率为k=k PN=1，设双曲线方程为，A（x1，y1），B（x2，y2），则有，两式相减并结合x1+x2=﹣24，y1+y2=﹣30得=，从而k==1即4b2=5a2，又a2+b2=9，解得a2=4，b2=5，故选：B．【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．9．（5分）有下列4个命题：①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆否命题；②“若a＞b，则a2＞b2”的逆命题；③“若x≤﹣3，则x2﹣x﹣6＞0”的否命题；④“若a b是无理数，则a，b是无理数”的逆命题．其中真命题的个数是（）A．0B．1C．2D．3【分析】根据四种命题之间的关系进行判断即可．【解答】解：①若x+y=0，则x，y互为相反数，为真命题．则逆否命题也为真命题，故①正确，②“若a＞b，则a2＞b2”的逆命题为若a2＞b2，则a＞b，若a=﹣2，b=0．满足a2＞b2，但a＞b不出来了，故②为假命题；③“若x≤﹣3，则x2﹣x﹣6＞0”的否命题为若x＞﹣3，则x2﹣x﹣6≤0，当x=4时，x2﹣x﹣6≤0不成立，故③为假命题．④若a b是无理数，则a，b是无理数”的逆命题为：若a，b是无理数，则a b是无理数．该命题是假命题．取a=，b=，则a b===2．为有理数．所以该命题是假命题．故真命题的个数为1个，故选：B．【点评】本题主要考查命题的真假判断，利用四种命题真假的关系以及逆否命题的等价性是解决本题的关键．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（）第11页（共24页）A ．B ．（4+π）C ．D ．【分析】几何体是一个组合体，是由半个圆锥和一个四棱锥组合成的几何体，圆柱的底面直径和母线长都是2，四棱锥的底面是一个边长是2的正方形，做出圆锥的高，根据圆锥和圆柱的体积公式得到结果．【解答】解：由三视图知，几何体是一个组合体，是由半个圆锥和一个四棱锥组合成的几何体，圆柱的底面直径和母线长都是2，四棱锥的底面是一个边长是2的正方形，四棱锥的高与圆锥的高相同，高是=，∴几何体的体积是=，故选：D ．【点评】本题考查由三视图求组合体的体积，考查由三视图还原直观图，本题的三视图比较特殊，不容易看出直观图，需要仔细观察．11．（5分）已知两定点A （﹣2，0）和B （2，0），动点P （x ，y ）在直线l ：y=x +3上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为（）A ．B ．C ．D ．【分析】由题意知，要使椭圆C 的离心率取最大值，则a 取最小值．即|PA |+|PB |取最小值．利用点的对称性求出|PA |+|PB |的最小值即可求解．【解答】解：由题意得，2c=|AB|=4，得c=2．。

2017-2018学年度上期期末高一年级调研考试数 学 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}20|<<=x x P ，{}11|<<-=x x Q ，则=⋂Q P ( )A ．{}1|<x xB ．{}10|<<x xC ．{}11|<<-x xD ．{}0 2.已知平面向量()()3,3,2,1-=-+=m .若//，则实数m 的值为( ) A ．0 B ．-3 C ．1 D ．-13.函数33-=+x a y （0>a ，且1≠a ）的图象一定经过的点是( ) A ．()20-， B ．()3,1-- C ．()30-， D ．()2,1--4.已知21cos 2sin cos sin =θ-θθ+θ，则θtan 的值为( )A ．-4B ．41- C. 41D ．45.函数()2log 3-=x x f 的大致图象是( )A ．B ．C.D ．6.函数()⎪⎭⎫⎝⎛π+π=42tan 31x x f 单调递增区间为( ) A ．Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+-212,232 B ．Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+-,212,212 C. Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+-,214,214 D ．Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+-,214,2347.函数()()231ln ---=x x x f 的零点所在区间为( ) A ．()3,4-- B ．()e --,3 C.()2,--e D ．()1,2-- 8.将函数()x x f sin =的图象上所有点的横坐标缩短为原来的21倍（纵坐标不变），再向右平移6π个单位，得到函数()x g 的图象，则函数()x g 的图象的一条对称轴为（ ) A ．12π=x B ．6π=x C.12π-=x D ．6π-=x9.已知()2275lg 2lg ,5log ,28log +===c b a ，则c b a ,,的大小关系为( )A ．b a c <<B ．a b c << C. b c a << D ．c a b << 10.如图，在ABC ∆中，已知P DC BD ，21=为AD 上一点，且满足CB CA m CP 94+=，则实数m 的值为( )A ．32 B ．31 C.95 D ．2111.当()π∈θ，0时，若5365cos -=⎪⎭⎫⎝⎛θ-π,则⎪⎭⎫ ⎝⎛π+θ6tan 的值为( )A ．43 B ．34 C. 34- D ．43- 12.定义在R 上的函数()x f 满足()()22-=x f x f ，且当(]1,1-∈x 时，()xx f ⎪⎭⎫⎝⎛=21.若关于x 的方程()()23+-=x a x f 在()50，上至少有两个实数解，则实数a 的取值范围为( )A ．[]20，B ．[)∞+，0 C.(]20， D ．[)∞+，2 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设角a 的顶点与坐标原点重合，始变与x 轴的非负半轴重合，若角a 的终边上一点P 的坐标为()3,1-，则a cos 的值为 ．14.已知函数()⎩⎨⎧<<<=-0,210,log 2x x x x f x，则=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛31f f ． 15.若函数()32231-+⎪⎭⎫ ⎝⎛=mx x x f 在区间()1,1-上单调递减，则实数m 的取值范围是 ．16.已知P 是ABC ∆内一点，()+=2,记PBC ∆的面积为1S ,ABC ∆的面积为2S ，则=21S S ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知平面向量()()0,5,3,4=-=b a . (Ⅰ)求a 与b 的夹角的余弦值；(Ⅱ)若向量kb a +与kb a -互相垂直，求实数k 的值. 18.已知定义域为R 的奇函数()R a ax f x ∈+-=,131. (Ⅰ)求a 的值；(Ⅱ)用函数单调性的定义证明函数()x f 在R 上是增函数.19.大西洋蛙鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，研究蛙鱼的科学家发现蛙鱼的游速u （单位:s m /）与其耗氧量单位数Q 之间的关系可以表示为函数b Qk u +=100log 3，其中b k ,为常数.已知一条蛙鱼在静止时的耗氧量为100个单位；而当它的游速为1.5s m /时，其耗氧量为2700个单位.(Ⅰ)求出游速u 与其耗氧量单位数Q 之间的函数解析式；(Ⅱ)求当一条蛙鱼的游速不高于2.5s m /时，其耗氧量至多需要多少个单位？ 20.已知函数()()()0,0sin >ω>ϕ+ω=A x A x f 的部分图象如图所示. (Ⅰ)求函数()x f 的解析式；(Ⅱ)若函数()x f 在[]π，0上取得最小值时对应的角度为θ.求半径为2，圆心角为θ的扇形的面积.21.设函数()R a ax x x f ∈++=,122.(Ⅰ)当[]1,1-∈x 时，求函数()x f 的最小值()a g ；(Ⅱ)若函数()x f 的零点都在区间[]0,2-内，求a 的取值范围. 22.已知函数()()R m mx mx x f ∈+-=,12log 22. (Ⅰ)若函数()x f 的定义域为R ，求m 的取值范围；(Ⅱ)设函数()()x x f x g 4log 2-=.若对任意[]1,0∈x ，总有()02≤-x g x ，求m 的取值范围.2017-2018学年度上期期末高一年级调研考试数学参考答案及评分标准一、选择题1-5:BCDAD 6-10: ABCAB 11、12：BC 二、填空题 13.21 14.3 15.[)+∞,4 16.41 三、解答题17.解：(Ⅰ)∵向量()()0,5,3,4=-=b a ， ∴545520,cos =⨯=⋅>=<b a b a b a . ∴向量a 与b 的夹角的余弦值为54. (Ⅱ)∵向量kb a +与kb a -互相垂直， ∴()()0222=-=-⋅+b k a kb a kb a .又02525,25222=-∴==k b a . ∴1±=k .18.解：(Ⅰ)∵()x f 是定义域为R 的奇函数， ∴()()x f x f -=-，即⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+--131131xx a a . ∴21313=+++-x x a a ，即⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+⋅131133x x x a a .解得2=a .(Ⅱ)由(Ⅰ)，知()1321+-=x x f . 任取R x x ∈21,且21x x <，则()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-132113212121x x x f x f()()()1313332132132212112++-=+-+=x x x x x x . 由21x x <，可知03312>>x x .∴()()()()()01313332212121<++-=-x x x x x f x f ，即()()21x f x f <. ∴函数()1321+-=x x f 在R 上是增函数. 19.解：(Ⅰ)由题意，得⎪⎩⎪⎨⎧+=+=bk b k 1002700log 5.1100100log 033.解得0,21==b k .∴游速u 与其耗氧量单位数Q 之间的函数解析式为100log 213Q u =. (Ⅱ)由题意，有5.2100log 213≤Q ，即5100log 3≤Q. ∴5333log 100log ≤Q. 由对数函数的单调性，有531000≤<Q.解得243000≤<Q . ∴当一条蛙鱼的游速不高于s m /2.5时，其耗氧量至多需要24300个单位. 20.解：(Ⅰ)∵0>A ，∴根据函数图象，得2=A . 又周期T 满足0,41264>ωπ=⎪⎭⎫ ⎝⎛π--π=T ， ∴ωπ=π=2T .解得2=ω. 当6π=x 时，2)62sin(2=ϕ+π⨯. ∴Z k k ∈π+π=ϕ+π,223.∴Z k k ∈π+π=ϕ,26.故()⎪⎭⎫ ⎝⎛π+=62sin 2x x f . (Ⅱ)∵函数()x f 的周期为π，∴()x f 在[]π，0上的最小值为-2.由题意，角()π≤θ≤θ0满足()2-=θf ，即162sin -=⎪⎭⎫⎝⎛π+θ. 解得32π=θ. ∴半径为2，圆心角为θ的扇形面积为3443221212π=⨯π⨯=θ=r S . 21.解：(Ⅰ)∵函数()()R a a a x ax x x f ∈-++=++=,112222. 当1-≤-a ，即1≥a 时，()()a f a g 221-=-=； 当11<-<-a ，即11<<-a 时，()()21a a f a g -=-=； 当1≥-a ，即1-≤a 时，()()a f a g 221+==.综上，()⎪⎩⎪⎨⎧-≤+<<--≥-=1,2211,11,222a a a a a a a g(Ⅱ)∵函数()x f 的零点都在区间[)0,2-内，等价于函数()x f 的图象与x 轴的交点都在区间[)0,2-内.∴()()4510201004520442≤≤⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-≤->=≥-=-≥-=∆a a f a f a 故a 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡451，22.解：(Ⅰ)函数()x f 的定义域为R ，即0122>+-mx mx 在R 上恒成立.当0=m 时，01>恒成立，符合题意； 当0≠m 时，必有100440002<<⇒⎩⎨⎧<->⇒⎩⎨⎧<∆>m m m m m .综上，m 的取值范围是[)10，. (Ⅱ)∵()()()x x f x x f x g 24log log 2-=-=， ∴()()()x m m x f x g x xx x 21222log 22222-+-⋅=-=-.对任意[]1,0∈x ，总有()02≤-x g x ，等价于()x x x x m m 22222log 21222log =≤+⋅-⋅在[]1,0∈x 上恒成立⎩⎨⎧≤+⋅-⋅>+⋅-⋅⇔xx x x x m m m m 2222122201222在[]1,0∈x 上恒成立.()* 设xt 2=，则[]02,2,12≤-∈t t t （当且仅当2=t 时取等号）.()()()⎩⎨⎧≤+->+-⇔22212012*tt t m t t m ，在[]2,1∈t 上恒成立. 当2=t 时，()**显然成立.当[)21，∈t 时，()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--≥--<⇔⎩⎨⎧≤+->+-t t t m t t m t t t m t t m 212112012222222在[)21，∈t 上恒成立. 令()tt t u 212--=，[)21，∈t .只需()min t u m <.∵()()1112122---=--=t t t t u 在区间[]21，上单调递增， ∴()()11min ==<u t u m .令(),2122tt t t h --=[)21，∈t .只需()min t h m ≥.而02,0122<--t t t f ，且(),01=h ∴02122≤--tt t .故0≥m . 综上，m 的取值范围是[)10，.。

2017-2018学年四川成都外国语学院高一下学期期中考试题 数学理科试题满分：150分， 时间：120分钟 命题人:全鑫 审题人:全鑫一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如果0a b <<,那么下列不等式成立的是（ ）A ．11a b< B ．2ab b < C ．2ab a -<- D ．11a b-<- 2. 若等比数列{}n a 的前n 项和123n n S a -=⨯+,则a 等于 ( )A.3B.2C.23-D. 13- 3. 计算o o o ocos20cos80+sin160cos10= ( )4.设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为( ) A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 不确定5. 在等比数列}{n a 中，若1a 和4033a 是函数5()+,(0)f x x k k x=+<的两个零点，则201620172018a a a 的值为（ ）A ．55±B ．55C ． 55-D ．25 6.已知一元二次不等式()<0f x 的解集为{}1|<-1>2x x x 或,则(10)>0x f 的解集为（）A ．{}|<-1>lg2x x x 或 B ．{}|-1<<lg2x x C ．{}|<-lg2x x D ． {}|>-lg2x x7.已知某等比数列前12项的和为21，前18项的和为49，则该等比数列前6项的和为（ ）A 、7或63B 、9C 、63D 、7 8. 已知正项数列{}n a 单调递增，则使得2(1)1(1,2,3,)i a x i k -<=都成立的x 取值范围为( )A. 11(0,)a B. 12(0,)a C. 1(0,)k a D. 2(0,)k a9. 在ABC △中，π4B =，BC边上的高等于13BC ,则cos A = （） （A（B （C ）- （D ）-10. 已知ABC ∆的一个内角为23π，并且三边的长构成一个公差为4的等差数列，则ABC ∆的面积为（ ）A. 15B.11. 数列{}n a 满足11,a =1(1)(1)n n na n a n n +=+++，且2cos3n n n b a π=，记n S 为数列{}n b 的前n 项和，则30S = ( )A. 294B. 174C. 470D. 30412. 已知数列}{n a 中的前n 项和为n S ，对任意*∈N n ，6221)1(-++-=n a S nn nn ，且0))((1<--+p a p a n n 恒成立，则实数p 的取值范围是（ ）A ．)423,47(-B ．)423,(-∞ C ．)6,47(- D ．)423,2(-第Ⅱ卷二、填空题：本大概题共4小题，每小题5分。

2019-2020学年四川省成都外国语学校高一（上）期中数学试卷一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2﹣4x+m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝（）A．{1，﹣3}B．{1，0}C．{1，3}D．{1，5}2．函数的图象大致是（）A．B．C．D．3．函数的零点所在区间为（）A．（2，e）B．（3，4）C．（e，3）D．（1，2）4．一水池有两个进水口，一个出水口，每个进水口的进水速度如图甲所示．出水口的出水速度如图乙所示，某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水，则一定正确的是（）A．①B．①②C．①③D．①②③5．已知，，，则下列关系正确的是（）A．x＞y＞z B．y＞x＞z C．z＞y＞x D．x＞z＞y6．函数的零点的个数为（）A．1B．2C．3D．47．方程4x2+（m﹣2）x+m﹣5＝0的一根在区间（﹣1，0）内，另一根在区间（0，2）内，则m的取值范围是（）A．（，5）B．（，5）C．（﹣∞，）∪（5，+∞）D．（﹣∞，）8．若数，且f（log a2019）＝5，则（）A．﹣5B．4C．3D．19．已知函数f（x）＝|log2x|，（x≤2），若a≠b，且f（a）＝f（b），则a+b的取值范围是（）A．，B．，C．（2，+∞）D．[1，2]10．已知max{a，b}表示a，b两数中的最大值，若f（x）＝max{e|x|，e|x+2|}，则f（x）的最小值为（）A．e B．1C．e2D．211．给出下列命题，其中正确的命题的个数（）①函数图象恒在x轴的下方；②将y＝2x的图象经过先关于y轴对称，再向右平移1个单位的变化后为y＝21﹣x的图象；③若函数的值域为R，则实数a的取值范围是（﹣1，1）；④函数f（x）＝e x的图象关于y＝x对称的函数解析式为y＝lnx．A．1B．2C．3D．412．若函数，则使不等式f（x）﹣m≤0有解时，实数m的最小值为（）A．0B．﹣log32C．log32D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数y＝log a（2x﹣5）﹣1恒过定点的坐标为．14．若f（2x﹣1）＝x5+2x，则f（﹣3）＝．15．若函数是奇函数．则实数m+n＝．16．已知函数，，＞若存在实数x1，x2，且x1≠x2使得函数f（x1）＝f（x2）成立，则实数a的取值范围为．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知全集U＝R，集合A＝{x|2x+a＞0}，集合B是的定义域．（Ⅰ）当a＝2时，求集合A∩B；（Ⅱ）若B∩（∁U A）＝B，求实数a的取值范围．18．求下列各式的值（Ⅰ）；（Ⅱ）已知，求值．19．设函数g（x）＝3x，h（x）＝9x．（Ⅰ）解关于x的方程h（x）﹣11g（x）+2h（1）＝0；（Ⅱ）令，求的值．20．已知函数为偶函数，且f（3）＞f（2）．（Ⅰ）求m的值，并确定f（x）的解析式；（Ⅱ）若g（x）＝log a[f（x）﹣ax+5]（a＞0，且a≠1），是否存在实数a，使得g（x）在区间[1，2]上为减函数．21．已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）＝1，若对于任意的a，b[﹣1，1]且a+b≠0，有＞恒成立．（Ⅰ）判断f（x）在[﹣1，1]上的单调性，并证明你的结论；（Ⅱ）若函数F（x）＝f[a•2x+4x]+1有零点，求实数a的取值范围．22．已知函数＞，是奇函数．（Ⅰ）求实数t的值；（Ⅱ）若f（1）＜0，对任意x[0，1]有＞恒成立，求实数k取值范围；（Ⅲ）设，＞，，若，问是否存在实数m使函数g（x）在[1，log23]上的最大值为0？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．2019-2020学年四川省成都外国语学校高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2﹣4x+m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝（）A．{1，﹣3}B．{1，0}C．{1，3}D．{1，5}【解答】解：集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2﹣4x+m＝0}．若A∩B＝{1}，则1A且1B，可得1﹣4+m＝0，解得m＝3，即有B＝{x|x2﹣4x+3＝0}＝{1，3}．故选：C．2．函数的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：由＞0得x+1＞0得x＞﹣1，即函数的定义域为（﹣1，+∞），排除A，B，当x＝1时，f（1）＝log1＞0，排除C，故选：D．3．函数的零点所在区间为（）A．（2，e）B．（3，4）C．（e，3）D．（1，2）【解答】解：∵函数是x＞0时的连续增函数，函数f（e）＝12＜0，f（3）＝ln3+1﹣2＞0，f（e）•f（3）＜0，∴函数的零点所在区间为（e，3）；故选：C．4．一水池有两个进水口，一个出水口，每个进水口的进水速度如图甲所示．出水口的出水速度如图乙所示，某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水，则一定正确的是（）A．①B．①②C．①③D．①②③【解答】解：由甲，乙图得进水速度1，出水速度2，结合丙图中直线的斜率解答∴只进水不出水时，蓄水量增加是2，故①对；∴不进水只出水时，蓄水量减少是2，故②不对；∴二个进水一个出水时，蓄水量减少也是0，故③不对；只有①满足题意．故选：A．5．已知，，，则下列关系正确的是（）A．x＞y＞z B．y＞x＞z C．z＞y＞x D．x＞z＞y【解答】解：∵x＝log35＞1，y＝log52＜，1＞z＞，∴x＞z＞y．故选：D．6．函数的零点的个数为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：函数的零点的个数为0的解的个数，也就是y＝x2，与y交点的个数，两个函数的图象如图：交点有3个．故选：C．7．方程4x2+（m﹣2）x+m﹣5＝0的一根在区间（﹣1，0）内，另一根在区间（0，2）内，则m的取值范围是（）A．（，5）B．（，5）C．（﹣∞，）∪（5，+∞）D．（﹣∞，）【解答】解：∵方程4x2+（m﹣2）x+m﹣5＝0的一根在区间（﹣1，0）内，另一根在区间（0，2）内，∴函数f（x）＝4x2+（m﹣2）x+m﹣5的两个零点一个在区间（﹣1，0）内，另一个在区间（0，2）内，则＞＜＞，解得＜m＜5．∴m的取值范围是（，5）．故选：B．8．若数，且f（log a2019）＝5，则（）A．﹣5B．4C．3D．1【解答】解：令g（x）＝f（x）﹣3，则g（x）+g（﹣x），＝ln（1+4x2﹣4x2）＝0，∴g（﹣x）＝﹣g（x），∴f（﹣x）﹣3＝﹣f（x）+3，即f（x）+f（﹣x）＝6，∵f（log a2019）＝5，则f（﹣log a2019）＝6﹣f（log a2019）＝1．故选：D．9．已知函数f（x）＝|log2x|，（x≤2），若a≠b，且f（a）＝f（b），则a+b的取值范围是（）A．，B．，C．（2，+∞）D．[1，2]【解答】解：因为f（a）＝f（b），所以|log2a|＝|log2b|，不妨设0＜a＜b，则0＜a＜1＜b≤2，∴log2a＝﹣log2b，log2a+log2b＝0，∴log2（ab）＝0，∴ab＝1，又a＞0，b＞0，且a≠b，∴（a+b）2＞4ab＝4，∴a+b＞2，a+b＝b，因为函数y＝x，x（1，2]是增函数，函数的最大值为：f（2），所以a+b，所以a+b，．故选：B．10．已知max{a，b}表示a，b两数中的最大值，若f（x）＝max{e|x|，e|x+2|}，则f（x）的最小值为（）A．e B．1C．e2D．2【解答】解：由于f（x）＝max{e|x|，e|x+2|}，，＜当x≥﹣1时，f（x）≥e，且当x＝﹣1时，取得最小值e；当x＜﹣1时，f（x）＞e故f（x）的最小值为f（﹣1）＝e故选：A．11．给出下列命题，其中正确的命题的个数（）①函数图象恒在x轴的下方；②将y＝2x的图象经过先关于y轴对称，再向右平移1个单位的变化后为y＝21﹣x的图象；③若函数的值域为R，则实数a的取值范围是（﹣1，1）；④函数f（x）＝e x的图象关于y＝x对称的函数解析式为y＝lnx．A．1B．2C．3D．4【解答】解：对于①，因为x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2＞2，根据对数性质可知＜1，所以对应函数的图象恒在x轴的下方，故①对；对于②，函数y＝2x图象关于y轴对称后得到的函数解析式为2﹣x，向右移动一个单位后得到y＝2﹣（x﹣1）＝21﹣x，故②对；对于③，若函数值域为R，令f（x）＝x2﹣2ax+1，则可得f（x）可以取所有的正数，∴△＝4a2﹣4≥0∴a≥1或a≤﹣1，故③错；对于④，令y＝x，得x＝e y，所以y＝lnx，故④对；综上正确的个数为3个，故选：C．12．若函数，则使不等式f（x）﹣m≤0有解时，实数m的最小值为（）A．0B．﹣log32C．log32D．【解答】解：∵3x＞0，∴函数log9（9x+1）﹣log9＝log9（32x+1）﹣log93x＝log9（3x）≥log92log92＝log3，当且仅当3x即x＝0时上式取等号，f（x）min＝log3要使不等式f（x）﹣m≤0有解，则f（x）min≤m，∴log3m故实数m的最小值为log3．故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数y＝log a（2x﹣5）﹣1恒过定点的坐标为（3，﹣1）．【解答】解：由2x﹣5＝1得2x＝6，x＝3，此时y＝log a1﹣1＝0﹣1＝﹣1，即函数过定点（3，﹣1），故答案为：（3，﹣1），14．若f（2x﹣1）＝x5+2x，则f（﹣3）＝．【解答】解：∵f（2x﹣1）＝x5+2x，∴f（﹣3）＝f[2×（﹣1）﹣1]＝（﹣1）5+2﹣1．故答案为：．15．若函数是奇函数．则实数m+n＝3或﹣3．【解答】解：根据题意，函数是奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），即（），则有或．故m+n＝3或﹣3；故答案为：3或﹣3．16．已知函数，，＞若存在实数x1，x2，且x1≠x2使得函数f（x1）＝f（x2）成立，则实数a的取值范围为0＜a＜1或a＞2．【解答】解：若a＞1，则当x≤a时，f（x）＝x3≤a3，当x＞a时，f（x）＝8log a x＞8log a a＝8，若存在实数x1，x2，且x1≠x2使得函数f（x1）＝f（x2）成立，则a3＞8，此时a＞2，若0＜a＜1，x≤a时，f（x）＝x3≤a3，当x＞a时，f（x）＝8log a x＜8log a a＝8，此时存在实数x1，x2，且x1≠x2使得函数f（x1）＝f（x2）恒成立，综上0＜a＜1或a＞2，故答案为：0＜a＜1或a＞2三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知全集U＝R，集合A＝{x|2x+a＞0}，集合B是的定义域．（Ⅰ）当a＝2时，求集合A∩B；（Ⅱ）若B∩（∁U A）＝B，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵全集U＝R，集合A＝{x|2x+a＞0}＝{x|x＞}，集合B是的定义域．∴B＝{x|＞＜}＝{x|＜}．当a＝2时，A＝{x|x＞﹣1}，∴集合A∩B＝{x|＜}．（Ⅱ）集合A＝{x|2x+a＞0}＝{x|x＞}，B＝{x|＜}，∴∁U A＝{x|x}，∵B∩（∁U A）＝B，∴∁U A⊇B，∴0，解得a≤0．∴实数a的取值范围是（﹣∞，0]．18．求下列各式的值（Ⅰ）；（Ⅱ）已知，求值．【解答】（Ⅰ）；（Ⅱ）由，得a+2+a﹣1＝9，∴a+a﹣1＝7，则a2+2+a﹣2＝49，∴a2+a﹣2＝47．18，∴．19．设函数g（x）＝3x，h（x）＝9x．（Ⅰ）解关于x的方程h（x）﹣11g（x）+2h（1）＝0；（Ⅱ）令，求的值．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，函数g（x）＝3x，h（x）＝9x，即9x﹣11×3x+18＝0，设t＝3x，则有t2﹣11t+18＝0，解可得：t＝2或t＝9，若3x＝2，则x＝log32，若3x＝9，则x＝2，故方程的解为2和log32；（Ⅱ）根据题意，，则F（1﹣x），则F（x）+F（1﹣x）＝1，故F（）+F（）+F（）+F （）+……＝1009.5．20．已知函数为偶函数，且f（3）＞f（2）．（Ⅰ）求m的值，并确定f（x）的解析式；（Ⅱ）若g（x）＝log a[f（x）﹣ax+5]（a＞0，且a≠1），是否存在实数a，使得g（x）在区间[1，2]上为减函数．【解答】解：（Ⅰ）由函数，且f（3）＞f（2）．则函数在（0，+∞）上单调递增，∴﹣m2+2m+2＞0，即m2﹣2m﹣2＜0，∴1＜m＜1，又m Z，∴m＝0或1或2，当m＝0时，﹣m2+2m+2＝2；当m＝1时，﹣m2+2m+2＝3；当m＝2时，﹣m2+2m+2＝2；又函数为偶函数，﹣m2+2m+2必为偶数，∴当m＝0或2时，f（x）＝x2；故m＝0或2，f（x）的解析式为f（x）＝x2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知g（x）＝log a[x2﹣ax+5]（a＞0，且a≠1），设y＝log a u，u（x）＝x2﹣ax+5，x[1，2]当0＜a＜1时，y＝log a u为减函数，只有u（x）＝x2﹣ax+5在[1，2]为增函数时，且u（1）＞0时，g（x）在区间[1，2]上为减函数．＜＜∴，∴0＜a＜1．＞当a＞1时，y＝log a u为增函数，只有u（x）＝x2﹣ax+5在[1，2]为减函数时，且u（2）＞0时，g（x）在区间[1，2]上为减函数．＞，∴4≤a＜．∴＞综上，当0＜a＜1或4≤a＜时，g（x）在区间[1，2]上为减函数．故存在实数a（0，1）∪[4，），使得g（x）在区间[1，2]上为减函数．21．已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）＝1，若对于任意的a，b[﹣1，1]且a+b≠0，有＞恒成立．（Ⅰ）判断f（x）在[﹣1，1]上的单调性，并证明你的结论；（Ⅱ）若函数F（x）＝f[a•2x+4x]+1有零点，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，f（x）在[﹣1，1]上为增函数，证明如下：f（x）为奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），设﹣1≤x1＜x2≤1，则f（x1）﹣f（x2）（x1﹣x2）（x1﹣x2）＜0，则函数f（x）在[﹣1，1]上为增函数，（Ⅱ）根据题意，若函数F（x）＝f[a•2x+4x]+1有零点，即f[a•2x+4x]＝﹣1有解，又由f（x）为奇函数且f（1）＝1，则f（﹣1）＝﹣1，f（x）在[﹣1，1]上为增函数，则a•2x+4x＝﹣1，即4x+a•2x+1＝0①有解，设t＝2x，则①等价于t2+at+1＝0有正根，则有＞，解可得a≤﹣2，即a的取值范围为（﹣∞，﹣2]．22．已知函数＞，是奇函数．（Ⅰ）求实数t的值；（Ⅱ）若f（1）＜0，对任意x[0，1]有＞恒成立，求实数k取值范围；（Ⅲ）设，＞，，若，问是否存在实数m使函数g（x）在[1，log23]上的最大值为0？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）f（x）为奇函数，则f（0）＝0，，则t＝﹣1；（Ⅱ）由f（1）＜0，有＜，得0＜a＜1；则在R上单调递减；任意x[0，1]有＞恒成立；即任意x[0，1]有＞f（﹣1）恒成立；所以2x2﹣kx﹣k＜﹣1在x[0，1]上恒成立；即＞2（x+1）∵当时，2（x+1）所以实数k取值范围＞；（Ⅲ）由，得a＝2，假设存在满足条件的m，设t＝2x﹣2﹣x，t，设h（t）＝t2﹣mt+2，当0＜m＜1 时，y＝log m h（t）是单调递减函数，∵函数h（t）＝t2﹣mt+2，在t，有最小值1；∵对称轴方程为＜；函数在t，上单调递增，∴，解得：（不满足，舍去）当m＞1时，h（t）＞0在，上恒成立，且最大值为1；所以函数h（t）＝t2﹣mt+2，在t，有最大值为1；∵对称轴方程为：，当＜时，即＜，当t时，有h（t）最大值；∴，即；∵，，当时，h（t）取得最小值＜，所以此时不满足条件；当时，即，h（t）在时取得最大值；即，则m（不符合条件）故不存在正实数m，满足条件．。

四川省成都市2017-2018学年下学期期中考试高一数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.sin15cos15的值是A ．12B 3C ．14D 3 2．不等式23520x x +->的解集为 A.1(3,)2- B. 1(,3)2- C. 1(,3)(,)2-∞-⋃+∞ D. 1(,)(3,)2-∞-⋃+∞ 3．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若4910a a +=，则12S 等于A ．30B ．45C ．60D ．1204.已知3sin()25πα-=，则cos()πα+的值为 A ．45 B ．45- C ．35 D ．35- 5．若0,0a b c d >><<则一定有 A.a b c d > B. a b c d < C. a b d c > D. a b d c< 6．在ABC ∆中， 2cos a b C =，则这个三角形一定是A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形7．如图，要测出山坡上石油钻井的井架BC 的高，从山脚A 测得60AC m =，塔顶B 的仰角45，塔底C 的仰角15，则井架的高BC 为A ．202mB ．302mC ．203mD ．303m8．已知,(0,)x y ∈+∞,且满足1112x y+=，那么4x y +的最小值为 A.3232+322+ D. 429.已知{}n a 是等比数列，且5371,422a a a =+=，则9a = A ．2± B ．8 C ．18 D ．2 10．已知sin 2cos αα-=tan 2α= A. 34 B. 34- C. 43 D. 43- 11．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且BC 边上的高为2a ，则c b b c +最大值为A ．2 BC．．412.给出以下三个结论：①若数列{}n a 的前n 项和为*31()n n S n N =+∈，则其通项公式为123n n a -=⋅；②已知a b >，一元二次不等式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，又存在0x R ∈，使2020ax x b ++=成立，则22a b a b +-的最小值为 ③若正实数y x ，满足xy y x 442=++，且不等式03422)2(2≥-+++xy a a y x 恒成立，则实数a 的取值范围是),25[]3,(+∞--∞ . 其中正确的个数为A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，，且3,c 1a ==，3B π=，则b 的值为 ； 14.数列{}n a 中，1121,2n n n a a a a +==+，则其通项公式n a = ；15.已知304πα<<,且3sin()45πα-=，则cos2α= ； 16．函数()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数，对于任意实数,x y 满足：(2)2,()()()f f xy xf y yf x ==+,(2)(2n n n f a n =∈*)N ,*(2)()n n f b n N n =∈ 考查下列结论：①(1)1f = ；②()f x 为奇函数；③数列{}n a 为等差数列；④数列{}n b 为等比数列.以上结论正确的是 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17. （10分）已知不等式20ax x c ++>的解集为{}|13x x <<．（1）求,a c 的值；（2）若不等式2240ax x c ++>的解集为A ，不等式30ax cm +<的解集为B ，且A B ⊆，求实数m 的取值范围.18.（10分）已知A B C 、、为ABC ∆的三内角，且其对边分别为a b c 、、，若1cos cos sin sin 2B C B C -=. （1）求A ；（2）若a =4b c +=，求ABC ∆的面积.19．（12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足4724,63S S ==．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2n a n b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．20.（12分）已知向量2(3sin ,1),(cos ,cos )444x x x m n ==，若()f x m n =⋅,（1）求()f x 递增区间；（2）ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,且(2)cos cos a c B b C -=，求()f A 的取值范围．21.（12分）设数列{}n a 的前n 项和为1,1n S a =，且对任意正整数n ，满足1220n n a S ++-=．（1）求数列{}n a 的通项公式;（2）设n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T .22.（14分）已知数列{},{}n n a b 满足：1,n n a b += 1(1)(1)n n n n b b a a +=-+，且11,a b 是函数2()16163f x x x =-+的零点11()a b <． （1）求112,,a b b ；（2）设11n n c b =-，求证：数列{}n c 是等差数列，并求数列{}n b 的通项公式； （3）设1223341n n n S a a a a a a a a +=++++，不等式4n n aS b <恒成立时，求实数a 的取值范围．四川省成都市2017-2018学年高一下学期期中考试数学试题参考答案一、选择题1~5 CBCDD 6~10ABCDA 11~12 CC二、填空题13；14.21n +;15.2425-;16.②③④ 三、解答题 17.解：（1）由题意：1 和3是方程20ax x c ++=的两根，且0a <，．．．．．1分 所以，011313a a c a ⎧⎪<⎪⎪+=-⎨⎪⎪⨯=⎪⎩．．．．．．．．．．．．． 3分；解得1434a c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩；．．．．．．．．．．．．． 5分 （2）由（1）得13,44a c =-=-，所以2240ax x c ++>即为212304x x -+->， 解得，26x <<，∴{}|26A x x =<<，又30ax cm +<，即为0x m +>解得x m >-，∴{}|B x x m =>-．．．．．．．．8分 ∵A B ⊂，∴2m -≤，即2m ≥-，∴m 的取值范围是[)2,-+∞．．．．．．．．．．．．．．．10分18.解：（1）∵1cos cos sin sin 2B C B C -=，∴1cos()2B C +=， 又∵0B C π<+<，∴3B C π+=. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 ∵A B C π++=，∴23A π=.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-⋅，得222()22cos3b c bc bc π=+--⋅，即1121622()2bc bc =--⋅-， ∴4bc =， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分∴11sin 422ABC S bc A ∆=⋅=⋅=. ．．．．．．．．．．．．．．．10分 19.解：（1）因为{}n a 为等差数列，所以4171434242767632S a d S a d ⨯⎧=+=⎪⎪⎨⨯⎪=+=⎪⎩ ， 解得132a d =⎧⎨=⎩ ，21n a n ∴=+ ； ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）212224n a n n nb +===⋅ ， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分128(41)2(444)3n nn T -∴=+++= . ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 20.解：（1）()f x m n =⋅2cos cos 444x x x +1cos 222x x +=+1sin()262x π=++， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 由22,2262x k k k Z πππππ-≤+≤+∈得：4244,33k x k k Z ππππ-≤≤+∈， ()f x ∴的递增区间为42[4,4],33k k k Z ππππ-+∈ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）(2)cos cos a c B b C -=，由正弦定理得(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=， 2sin cos sin cos sin cos A B C B B C ∴-=，2sin cos sin()A B B C ∴=+，,sin()sin 0A B C B C A π++=∴+=≠，1cos 2B ∴=．．．．．．．．．．．．．．8分 0B π<<，2,033B A ππ∴=∴<<，6262A πππ∴<+<，1sin()(,1)262A π+∈， 又1()sin()262x f x π=++，1()sin()262A f A π∴=++， 故函数()f A 的取值范围是3(1,)2 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 21. 解：（1）1220n n a S ++-=,∴ 当2n ≥时，1220n n a S -+-=，.．．．1分 两式相减得11220n n n n a a S S +--+-=，1220,n n n a a a +-+=112n n a a +∴=；．3分 又当1n =时，212112202a S a a +-=⇒=，即11()2n n a a n N +=∈+．．．．．．．4分 {}n a ∴是以首项11a =，公比12q =的等比数列， ∴ 数列{}n a 的通项公式为112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）由（1）知，12n n n n b na -==，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 则22123112222n n n n n T ---=+++++，① 23111231222222n n n n n T --=+++++，②．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 ①-②得211111122222n n n n T -=++++-，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分1(1)1122(1)2(2)1222212n n n n n n n n -=-=--=-+- ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分 所以，数列{}n b 的前n 项和为114(2)2n n T n -=-+ .．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 22. 解：由2161630x x -+=解得：1213,44x x ==，1113,44a b ∴==………1分 由11,(1)(1)n n n n n n b a b b a a ++==-+得11(2)2n n n n n b b b b b +==--…………2分 将134b =代入得245b = ……………………………………………………3分 (2)因为11112n n b b +-=--，所以12111111n n n n b b b b +-==---- ………………4分 即11n n c c +=-，又111143114c b ===--- ∴ 数列{}n c 是以4-为首项，1-为公差的等差数列． ………………5分 4(1)(1)3n c n n ∴=-+-⨯-=-- ……………………………………6分 由11n n c b =-得1121133n n n b c n n +=+=-=++ ……………………………7分 （3）由题意及（2）知：113n n a b n =-=+……………………………………8分 12233411114556(3)(4)11111111()()()()4556673411444(4)n n n S a a a a a a a a n n n n n n n +∴=++++=+++⨯⨯++=-+-+-++-++=-=++………………………9分 （法一）由22(1)(36)84043(3)(4)n n an n a n a n aS b n n n n +-+---=-=<++++恒成立 即2(1)(36)80a n a n -+--<恒成立，…………………………………10分 设2()(1)(36)8f n a n a n =-+--①当1a =时，()380f n n =--<恒成立②当1a >时，由二次函数的性质2()(1)(36)80f n a n a n =-+--<不可能恒成立 ③当1a <时，由于3631(1)02(1)21a a a --=--<-- 所以2()(1)(36)8f n a n a n =-+--在[)1,+∞上单调递减 由2(1)(1)(36)84150f a n a n a =-+--=-<得154a < 1a ∴<，4n n aS b <恒成立综上所述：所求a 的取值范围是(,1]-∞．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分版权所有：高考资源网()。

四川成都外国语学院2017-2018学年高一数学下学期期中试题 文满分：150分， 时间：120分钟一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.如果0a b <<,那么下列不等式成立的是（ ）A ．11a b< B ．2ab b < C ．2ab a -<- D ．11a b-<- 2.已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N *)，则a 2018等于( ) A ．0 B ．－ 3 C. 3 D.323. 计算o o o o cos 20cos80+sin160cos10= ( )（A ）12 （B ）32 （C ）12- （D ）32-4.若等比数列{}n a 的前n 项和123n n S a -=⨯+,则a 等于 ( )A.3B.2C.23-D. 13- 5. 设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC的形状为( )A 锐角三角形B 直角三角形C 钝角三角形D 不确定6. 数列{}n a 中，若对所有的正整数n 都有2123n a a a a n ⋅⋅=，则35a a += （ ）A.6116 B. 259 C. 2519 D. 31157.已知一元二次不等式()<0f x 的解集为{}1|<-1>2x x x 或,则(10)>0x f 的解集为（ ） A ．{}|<-1>lg2x x x 或 B ．{}|-1<<lg2x x C ．{}|>-lg2x x D ．{}|<-lg2x x8．在等比数列}{n a 中，若1a 和4033a 是二次方程 250(0)x kx k ++=< 的两个根，则201620172018a a a 的值为（ ）A ．55±B ．55C ． 55-D ．259.已知正项数列{}n a 单调递增，则使得2(1)1(1,2,3,)i a x i k -<=都成立的x 取值范围为( )A. 11(0,)aB. 12(0,)aC. 1(0,)k aD. 2(0,)ka10.若某等比数列前12项的和为21，前18项的和为49，则该等比数列前6项的和为 （ ）A 、7B 、9C 、63D 、7或63 11.已知ABC ∆的一个内角为23π，并且三边的长构成一个公差为4的等差数列，则ABC ∆的面积为（ ）A. 15B. 14C. 153D. 14312.数列{}n a 满足11,a =1(1)(1)n n na n a n n +=+++，且2cos3n n n b a π=，记n S 为数列{}n b 的前n 项和，则30S = ( )A. 294B. 174C. 470D. 304第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大概题共4小题，每小题5分。