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8米余下的一半全长的一半三年级奥数专题-用还原法解题专题简析：“一个数加上3,乘3,再减去3,最后除以3,结果还是3,这个数是几？”像这样已知一个数的变化过程和最后的结果,求原来的数,我们通常把它叫做“还原问题”。
解答还原问题,一般采用倒推法,简单说,就是倒过来想。
解答还原问题,我们可以根据题意,从结果出发,按它变化的相反方向一步步倒着推想,直到问题解决。
同时,可利用线段图表格帮助理解题意。
例题1 一个减24加上15,再乘8得432,求这个数。
思路导航：我们可以从最后的结果432出发倒着推想。
最后是乘8得432,如果不乘8,那应该是432÷8=54；如果不加上15,应该是54－15=39；如果不减去24,那应该是39＋24=63。
因此,这个数是63。
练 习 一1,一个数加上3,乘3,再减去3,最后除以3,结果还是3。
这个数是几？2,一个数的4倍加上6减去10,再乘2得88,求这个数。
3,一个数缩小2倍,再缩小2倍得80,求这个数。
例题2 一段布,第一次剪去一半,第二次又剪去余下的一半,还剩8米。
这段布原来长多少米？ 思路导航：根据题意,画出线段图。
从上面的线段图可以看出：剩下的8米和余下的一半同样多,那么原长的一半是：8×2=16米,原来长：16×2=32米。
练 习 二1,某水果店卖西瓜,第一次卖掉总数的一半,第二次卖掉剩下的一半,这时还剩10只西瓜。
原有西瓜多少只？2,某人乘船从甲地到乙地,行了全程的一半时开始睡觉,当他睡醒时发现船又行了睡前剩下的一半,这时离乙地还有40千米。
甲、乙两地相距多少千米？3,有一箱苹果,第一次取出全部的一半多1个,第二次取出余下的一半多1个,箱里还剩下10个。
箱里原有多少个苹果？例题3 甲、乙、丙三人各有一些连环画,甲给乙3本,乙给丙5本后,三人的本数同样多。
乙原来比丙多多少本？思路导航：因为乙给丙5本后,两人同样多,可知乙比丙多5×2=10本,而这10本中又有3本是甲给的,所以原来乙比丙多10－3=7本。
三年级奥数举一反三第293031周年龄问题还原法解题假设法解题第二十九周年龄问题专题简析：年龄问题可以说是前面所讲的和差问题及差倍问题的综合，要正确解答这类题，首先要弄清：两个不同年龄的人，年龄之差始终不变，但两个人年龄的倍数关系却在不断地变化。
年龄问题的主要特征是：大小年龄差是一个不变的量。
我们可以抓住差不变这个特点，利用和差、差倍等知识来分析解答这类应用题。
例题1 三年前爸爸年龄是女儿的4倍，爸爸今年43岁，女儿今年多少岁？思路导航：由题意可知爸爸今年43岁，则三年前爸爸的年龄是43－3=40岁，40岁正好是女儿年龄的4倍，女儿三年前的年龄是40÷4=10岁，今年女儿的年龄是10＋3=13岁。
练习一1，四年前小林年龄是小丽的2倍，小林今年12岁，小丽今年多少岁？2，五年前爷爷年龄是孙子的7倍，孙子今年14岁，爷爷今年多少岁？3，儿子今年10岁，爸爸今年34岁。
几年前，爸爸的年龄是儿子的4倍？例题2 明明4岁时，妈妈年龄是明明的8倍。
今年明明12岁，妈妈今年多少岁？思路导航：妈妈的年龄是明明的8倍，那么妈妈与明明的年龄相差4×8－4=28岁。
妈妈与明明的年龄差是不变的，今年明明12岁，那么妈妈的年龄是12＋28=40岁。
练习二1，玲玲7岁时，爸爸年龄是玲玲的5倍。
今年爸爸40岁，玲玲今年多少岁？2，爷爷63岁时，他的年龄是小青的9倍。
今年小青12岁，爷爷今年多少岁？3，两年前妈妈年龄是儿子的5倍，儿子今年9岁，妈妈今年多少岁？例题3 女儿今年3岁，妈妈今年33岁。
几年后，妈妈的年龄是女儿的7倍？思路导航：女儿今年3岁，妈妈今年33岁，她们的年龄差是33－3=30岁。
她们年龄差不变，几年后，妈妈的年龄是女儿的3倍，把女儿的年龄看作1份，妈妈的年龄就有7份，相差7－1=6份，6份是30岁，所以几年后女儿的年龄是30÷6=5岁。
也就是说，5－3=2年后，妈妈的年龄是女儿的7倍。
还原问题一、知识要点一些应用题，如果从条件分析解答不太容易，但如果从题目所求的问题入手进行思考分析，利用已知条件一步步倒着推理，就比较容易解决问题，这种倒过来思考问题的方法，就是还原法。
用还原法解题，关键是从最后一步结果出发，依照题意顺次逐步向前推理，每一步运算都是原来运算的逆运算，即变加为减，变减为加，变乘为除，变除为乘，同时列式时要注意运算顺序，并正确使用括号。
二、经典例题例1、某数加上5，乘以5，减去5，除以5，其结果等于5，这个数是多少？皮皮鲁不想再做小孩子，想快快长大，这时出现了一位白胡子老爷爷，他说可以帮助皮皮鲁实现愿望，而皮皮鲁不太相信。
他就问老爷爷多大年纪了？例2、老爷爷回答他说：“我的岁数加上5，然后除以6，接着乘以7，最后减去5，不多不少刚好100岁。
”你能帮皮皮鲁算出老爷爷今年多少岁吗?皮皮鲁终于如愿以藏长大了，来到一家百货公司上班，他负责销售电视机。
当他上了两天班之后，经理来巡视了。
例3、皮皮鲁第一天卖出总数的一半少6台，第二天卖出余下的一半多10台，这时还剩18台。
经理问她这批彩电原本一共有多少台？体验训练1一个数减24加上15，再乘以8得432。
求这个数。
例4、妈给家里买了一些水果，第一天他们一家三口吃了全部的一半，第二天又吃了剩下的一半，第三天吃了剩下的一半还多一个，这时只剩下2个桃子。
问：小明妈妈买了多少个桃子。
例5、做一道加法算式题时，由于粗心，将个位上的５看作９，把十位上的８看作３，结果所得的和是123，正确的答案是多少？例6、小红、小青都喜欢画片。
如果小红给小青11张画片，小青给皮皮鲁20张画片，皮皮鲁给小红5张画片，那么他们三人的画片张数同样多。
已知他们三人共用画片150张，他们三人原来各有画片多少张？*例7、三堆棋子共96枚，小华先从第一堆里拿出和第二堆棋子数相等的棋子放入第二堆；再从第二堆棋子数相等的棋子放入第二堆；再从第二堆中拿出与第三堆棋子数相等的棋子放入第三堆；最后又从第三堆拿出与第一堆棋子数相等的棋子放入第一堆，这时，三堆棋子数正好相等，问三堆棋子数原来各有多少枚？三、课后作业1、一个数加上3，乘以4，减去2，除以9，结果等于2，这个数是多少？2、一根电线，第一次用去全长的一半，第二次再用去余下的一半，这时还剩6米，这根电线原来长多少米？3、妈妈去商店购物，买第一件商品时用去所带钱数的一半，买第二件商品用去余下钱数的一半，这时妈妈身上还剩120元，妈妈原来身上一共带有多少钱？4、小红在做一道减法算式时，将减数十位上的8看成3，个位上的0看成6，这样减出的差是61，正确的差应是多少？5、3只笼子里共养鸡18只，如果从第1只笼子里取4只放进第2只笼子里，再从第2只笼子里取3只放到第3只笼子里，最后从第3只笼子里取2只放回第一只笼子里，三只笼子里的鸡就一样多了，求3只笼子里原来各养鸡多少只？三年级奥林匹克数学专题讲解——植树问题理论A 篇同学们，你们有没有注意学校道路旁边的树？它们是每隔几米植一棵？下面有这样一个问题：植树节那天，王老师出了这样一道题：“一条路长1000米，在路的一边从头到尾每隔5米种一棵树，一共可以种多少棵树？如果这条路是一条环湖大道呢？”像上面这样研究总长度、树距、段数、树的棵数等之间的关系的问题，通常称之为“植树问题”。
本讲主要学习还原问题．通过本节课的学习,可以使学生掌握倒推法的解题思路以及方法,并会运用倒推法解决问题．1. 掌握用倒推法解单个变量的还原问题．2. 了解用倒推法解多个变量的还原问题．3. 培养学生“倒推”的思想．一、还原问题已知一个数,经过某些运算之后,得到了一个新数,求原来的数是多少的应用问题,它的解法常常是以新数为基础,按运算顺序倒推回去,解出原数,这种方法叫做逆推法或还原法,这种问题就是还原问题．还原问题又叫做逆推运算问题．解这类问题利用加减互为逆运算和乘除互为逆运算的道理,根据题意的叙述顺序由后向前逆推计算．在计算过程中采用相反的运算,逐步逆推．二、解还原问题的方法在解题过程中注意两个相反：一是运算次序与原来相反；二是运算方法与原来相反． 方法：倒推法.口诀：加减互逆,乘除互逆,要求原数,逆推新数．关键：从最后结果出发,逐步向前一步一步推理,每一步运算都是原来运算的逆运算,即变加为减,变减为加,变乘为除,变除为乘．列式时还要注意运算顺序,正确使用括号.模块一、计算中的还原问题【例 1】 一个数的四分之一减去5,结果等于5,则这个数等于_____. 【考点】计算中的还原问题 【难度】1星 【题型】填空 【关键词】希望杯,五年级,二试,第3题 【解析】 方法一：倒推计算知道,一个数的四分之一是10,所以这个数是104=40⨯.方法二：令这个数为x ,则1554-=x ,所以40=x .【答案】40【例 2】 某数先加上3,再乘以3,然后除以2,最后减去2,结果是10,问：原数是多少？例题精讲知识点拨教学目标6-1-2.还原问题（一）【考点】计算中的还原问题 【难度】1星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】 分析时可以从最后的结果是10逐步倒着推.这个数没减去2时应该是多少？没除以2时应该是多少？没乘以3时应该是多少？没加上3时应该是多少？这样依次逆推,就可以推出某数.如果没减去2,此数是：10212+=,如果没除以2,此数是：12224⨯=,如果没乘以3,此数是：2438÷=,如果没加上3,此数是：835-=,综合算式()1022335+⨯÷-=,原数是5. 【答案】5【巩固】 (2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛)有一个数,如果用它加上6,然后乘以6,再减去6,最后除以6,所得的商还是6,那么这个数是 .【考点】计算中的还原问题 【难度】1星 【题型】填空 【关键词】可逆思想方法 【解析】 将最终结果进行逆推,得： 666661（）⨯+÷-= 【答案】1【巩固】 一个数减16加上24,再除以7得36,求这个数．你知道这个数是几吗? 【考点】计算中的还原问题 【难度】1星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】 3672416244⨯-+=. 【答案】244【巩固】 少先队员采集树种子,采得的个数是一个有趣的数．把这个数除以5,再减去25,还剩25,你算一算,共采集了多少个树种子?【考点】计算中的还原问题 【难度】1星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】 25255250（）+⨯=(个),即共采集了250个树种子. 【答案】250【例 3】 学学做了这样一道题：某数加上10,乘以10,减去10,除以10,其结果等于10,求这个数．小朋友,你知道答案吗？【考点】计算中的还原问题 【难度】1星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】 根据题意,一个数,经过加法、乘法、减法、除法的变化,得到结果10,应用逆推法,由结果10,根据加、减法与乘、除法的互逆运算,倒着往前计算．1010100⨯=,10010110+=,1101011÷=,11101-=综合算式为： 1010101010100101010110101011101（）（）⨯+÷-=+÷-=÷-=-=所以这个数为1.解这种还原问题的关键是从最后结果出发,逐步向前一步一步推理,每一步运算都是原来运算的逆运算,即变加为减,变减为加,变乘为除,变除为乘．列式时还要注意运算顺序,正确使用括号,这种逆向思维的方法是数学中常用的思维方法．【答案】1【巩固】 学学做了这样一道题：一个数加上3,减去5,乘以4,除以6得16,求这个数．小朋友,你知道答案吗？ 【考点】计算中的还原问题 【难度】1星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】 根据题意,一个数,经过加法、减法、乘法、除法的变化,得到结果16,应用逆推法,由结果10,根据加、减法与乘、除法的互逆运算,倒着往前计算．16÷×64-5+3某数综合算式为：16645396453245329326⨯÷+-=÷+-=+-=-=【答案】26【巩固】 一次数学竞赛颁奖会上,小刚问老师：“我得了多少分？”老师说：“你的得分减去6后,缩小2倍,再加上10后,扩大2倍,恰好是100分”．小刚这次竞赛得了多少分？【考点】计算中的还原问题 【难度】1星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】 从最后一个条件“恰好是100分”向前推算．扩大2倍是100分,没有扩大2倍之前应是100250÷= (分),加上10后是50分,没有加上10前应是501040-=(分),缩小2倍是40分,那么没有缩小2倍前应是40280⨯=(分),减去6后是80分,没有减去6前应是80686+=(分)．综合列式为：(100210)26402686÷-⨯+=⨯+=(分),所以,小刚这次竞赛得了86分．【答案】86【例 4】 牛老师带着37名同学到野外春游．休息时,小强问：“牛老师您今年多少岁啦?”牛老师有趣地回答：“我的年龄乘以2,减去16后,再除以2,加上8,结果恰好是我们今天参加活动的总人数．”小朋友们,你知道牛老师今年多少岁吗?【考点】计算中的还原问题 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】 采用倒推法,我们可以从最后的结果“参加活动的总人数”即38倒着往前推．这个数没加上8时应是多少？没除以2时应是多少？ 没减去16时应是多少？没乘以2时应是多少？这样依次逆推,就可以求出牛老师今年的岁数．没加上8时应是：38830-=；没除以2时应是：30260⨯=；没减去16时应是：601676+=；没乘以2时应是：76238÷=,即[388216] 238（）-⨯+÷=(岁).【答案】38岁【巩固】 小智问小康：“你今年几岁？”小康回答说：“用我的年龄数减去8,乘以7,加上6,除以5,正好等于4. 请你算一算,我今年几岁？”【考点】计算中的还原问题 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】 分析时可以从最后的结果是4逐步倒着推.这个数没除以5时应该是多少？没没加上6时应该是多少？没乘以7时应该是多少？没减去8时应该是多少？这样依次逆推,就可以推出某数. 如果没除以5,此数是：4520⨯= 如果没加上6,此数是：20614-= 如果没乘以7,此数是：1472÷= 如果没减去8,此数是：2810+=综合算式：()4567810⨯-÷+=（岁） 答：小康今年10岁.【答案】10岁【巩固】 在小新爷爷今年的年龄数减去15后,除以4,再减去6之后,乘以10,恰好是100,问:小新爷爷今年多少岁数?【考点】计算中的还原问题 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】 采用倒推法,(100106)41579÷+⨯+=（岁）. 【答案】79岁【巩固】 学学和思思在游玩时,遇到一位小神仙,他们问这位神仙：“你一定不到100岁吧！”谁知这位神仙摇摇头说：“你们算算吧！把我的年龄加上75,再除以5,然后减去15,再乘以10,恰好是2000岁．”小朋友,你知道这位神仙现在有多少岁吗？【考点】计算中的还原问题 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】 这就是一个还原问题,可以用倒推法解决．从结果“2000”逐步倒着推,没乘10时是多少？没减去15时是多少？没除以5时是多少？没加75时是多少？这样依次倒推,就可以知道神仙的年龄了． ⑴ “乘以10,恰好是2000”,不乘10时,应该是：200010200÷=⑵ “减去15”是200,不减15时,应该是：20015215+= ⑶ “除以5”是215,不除以5,应该是：21551075⨯=⑷ 现在的年龄加上75是1075,如果不加75,这个数是：1075751000-= 也就是神仙现在的年龄是1000岁．验算：按原题顺序进行列式计算,看最后是否等于2000,如果等于2000,则解题正确． 1000751075+=,10755215÷=,21515200-=,200102000⨯=．【答案】2000岁【例 5】 在电脑里先输入一个数,它会按给定的指令进行如下运算：如果输入的数是偶数,就把它除以2；如果输入的数是奇数,就把它加上3．同样的运算这样进行了3次,得出结果为27．原来输入的数可能是 ．【考点】计算中的还原问题 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】可逆思想方法,第七届,小数报 【解析】 本题用倒推法解．最后结果是27,上一步的结果是54,再上一步的结果是108或51,原来输入的数是216,105,102．思路如下： 21610810554271025148(24()不合意)不合意⎧⎧⎧⎪⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎨⎪⎨⎪⎪⎩⎩⎪⎪⎩【答案】216或105或102,答案不唯一【例 6】 假设有一种计算器,它由A 、B 、C 、D 四种装置组成,将一个数输入一种装置后会自动输出另一个数.各装置的运算程序如下： 装置A ：将输入的数加上6之后输出；装置B ：将输入的数除以2之后输出；装置C ：将输入的数减去5之后输出；装置D ：将输入的数乘以3之后输出.这些装置可以连接,如在装置A 后连接装置B ,就记作：A →B .例如：输人1后,经过A →B ,输出3．5.(1)若经过A →B →C →D ,输出120,则输入的数是多少?(2)若经过B →D →A →C ,输出13,则输入的数是多少?【考点】计算中的还原问题 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯,五年级,二试,第16题,可逆思想方法 【解析】 方法一：逆向考虑.（1）输入到D 的数为120÷3=40,输入到C 的数为40+5=45,输入到B 的数为45×2=90,所以输入到A 的数是90-6=84.（2）输入到C 的数是13+5=18,输入到A 的数是18-6=12,输入到D 的数是12÷3=4,所以输入到B 的数是4×2=8.方法二：(1)设输入的数是x ,则(653=1202x +⎛⎫-⨯⎪⎝⎭解得,x =84.(2)设输入的数是y ,则365=132y ⨯+-,解得y =8【答案】（1）84；（2）8【例 7】 哪吒是个小马虎,他在做一道减法题时,把被减数十位上的6错写成9,减数个位上的9错写成6,最后所得的差是577,那么这道题的正确答案应该是多少呢？【考点】计算中的还原问题 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】 被减数十位上的6变成9,使被减数增加906030-=,差也增加了30；减数个位上的9错写成6,使减数减少了963-=,这样又使差增加了3,这道题可以说成：正确的差加上30后又加上3得577,求正确的差．所以列式得：577969060544（）（）----=．这题的正确答案应该是544．【答案】544【巩固】 小马虎在做一道加法题时,把一个加数个位上的9看作6,十位上的6看作9,结果和是174,那么正确的结果应该是多少呢？【考点】计算中的还原问题 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法【解析】我们可以这样理解这道题的意思：一个数(正确答案),由于小马虎两次错误的计算,变成了另一个数(错误结果),我们知道引起这种变化的原因是：①把个位上的9看作6,这就相当于把正确答案减少了963-=②把十位上的6看作9,这就相当于把正确答案增加了：109630⨯-=（）这样原题就变成了“一个数减去3,再加上30,所得结果是174,求这个数．”我们只要把少加的加上,多加的减去,就可以求出正确的结果：174961096174330147+--⨯-=+-=（）（）【答案】147【巩固】淘气在做一道减法时,把减数个位上的9看成了3,把十位上的4看成了7,得到的结果是164,请你帮淘气算算正确的答案应该是多少呢?【考点】计算中的还原问题【难度】2星【题型】解答【关键词】可逆思想方法【解析】164(7349) 188-+=.+-=或164630188【答案】188【巩固】小新在做一道加法题,由于粗心,将个位上的5看作9,把十位上的8看作3,结果所得的和是123．正确的答案是多少？【考点】计算中的还原问题【难度】2星【题型】解答【关键词】可逆思想方法【解析】倒推法,把个位上的5看作9,相当于把正确的和多算了4,求正确的和,应把4减去；把十位上的8看作3,相当于把正确的和少算了50,求正确的和,应把50加上去．所以正确的和是：12350 4169+-=.即：+---=.123(8030)(95)169【答案】169模块二、单个变量的还原问题【例 8】一只猴吃63只桃,第一天吃了一半加半只,以后每天吃前一天剩下的一半再加半只,则_________ 天后桃子被吃完.【考点】单个变量的还原问题【难度】2星【题型】填空【关键词】希望杯,4年级,1试【解析】通过画表格的方式,可知答案是6.【答案】6天【例 9】乒乓球从高空落下,到达地面后弹起的高度是落下高度的一半,如果乒乓球从8米的高度落下,那么弹起后再落下,则弹起第_______次时它的弹起高度不足1米.【考点】单个变量的还原问题【难度】2星【题型】填空【关键词】走美杯,三年级,初赛,可逆思想方法【解析】弹起第一次时变为4米,弹起第二次时变为2米,弹起第三次时变化为1米,第4次弹起时不足1米,所以弹起第4次时不足1米.【答案】4次【例 10】李奶奶卖一筐鸡蛋,第一位客人买走了一半少2个,第二位客人又买走了剩下的一半多2个,第三位客人把剩下的5个鸡蛋全部买走了．老婆婆的篮子里原来有个鸡蛋．【考点】单个变量的还原问题【难度】2星【题型】填空【关键词】学而思杯,1年级,第12题,可逆思想方法【解析】用倒堆的方法,第二位客人没有买走之前共有7714+=（个）,第一位客人没买走之前就是14212-=（个）,121224+=（个）．<考点> 数学方法倒退法【答案】24个【巩固】小红看一本故事书,第一天看了这本书的一半又10页,第二天看了余下的一半又10页,第三天看了10页正好看完.这本故事书共有页.【考点】单个变量的还原问题【难度】2星【题型】填空【关键词】希望杯,五年级,一试,第13题,可逆思想方法【解析】第三天看的10页等于第一天看了余下的一半少10页,所以第一天看了余下了（10+10）×2=40页,所以原来有（40+10）×2=100页.【答案】100页【例 11】学学看到太上老君正在用一根绳子拴宝葫芦,第一次用去全长的一半还多2米,第二次用去余下的一半少10米,第三次用去15米,最后还剩9米,那么这根绳子原来有多少米呢？【考点】单个变量的还原问题【难度】3星【题型】解答【关键词】可逆思想方法【解析】根据题意,画图倒推分析：15924+=(米)-⨯=(米)（）2410228+⨯=(米)282260（）所以,这根绳子全长60米．【答案】60米【巩固】一个人沿着公园马路走了全长的一半后,又走了剩下路程的一班,还剩下1千米,问：公园马路全长多少千米？【考点】单个变量的还原问题【难度】3星【题型】解答【关键词】可逆思想方法【解析】如图：采取倒推的方法,1千米是第一次剩下的路程的一半,所以第一次剩下路程就是122⨯=（千米）.而第一次剩下的路程2千米又是全程长的一半,所以全程长为224⨯=（千米）.答：公园马路全长为4千米.【答案】4千米【巩固】一捆电线,第一次用去全长的一半多3米,第二次用去余下的一半少10米,第三次用去15米,最后还剩7米.这捆电线原来有多少米？【考点】单个变量的还原问题【难度】3星【题型】解答【关键词】可逆思想方法【解析】为了帮助同学们分析数量关系,可依照题意画出右图.从线段图上可以看出：（1）7151012+-=（米）,就是第一次用去后余下的一半. （2）12224⨯=（米）,就是余下的电线长度. （3）24327+=（米）,就是全长的一半. （4）27254⨯=（米）,就是原来电线的长度.综合列式计算：()71510232⎡⎤+-⨯+⨯⎣⎦(1223)2=⨯+⨯272=⨯54=（米）答：这捆电线原来有54米.【答案】54米【巩固】 甲在加工一堆零件,第一天加工了这堆零件的一半又10个,第二天又加工了剩下的一半又10个,还剩下25个没有加工,问：这批零件有多少个？【考点】单个变量的还原问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】 如右图所示,按照图与题目的条件,可以有如下算式：251035+=（个）,35270⨯=（个）,701080+=（个）,802160⨯=（个）列综合算式：[](2510)2102160+⨯+⨯=,答：这批零件共有160个.【答案】160个【巩固】 食堂买进一批大米,第一天吃了全部的一半少28千克,第二天吃了余下的一半少8千克,最后剩下122千克．这批大米共有多少千克？【考点】单个变量的还原问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】 列式为：[1228228]22002400（）-⨯-⨯=⨯=(千克) 【答案】400千克【巩固】 山顶上有棵桃数,一只猴子偷吃桃子,第一天偷吃了总数的一半多2个,第二天又偷吃了剩下的一半多2个,这时还剩1个,问：树上原来有多少个桃子？【考点】单个变量的还原问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】 2[1222]16（）⨯+⨯+=(个). 【答案】16个【例 12】 盒子里有若干个球.小明每次拿出盒中的一半再放回一个球.这样共操作了7次,袋中还有3个球.袋中原有（ ）个球.【考点】单个变量的还原问题 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】走美杯,3年级,初赛 【解析】 倒退法：如,第7次操作前,还剩()3124-⨯=个球.10066341810643第1次第2次第3次第4次第5次第6次第7次【答案】4个球【例 13】 有一个培养某种微生物的容器,这个容器的特点是：往里面放入微生物,再把容器封住,每过一个夜晚,容器里的微生物就会增加一倍,但是,若在白天揭开盖子,容器内的微生物就会正好减少16个.小丽在实验的当天往容器里放入一些微生物,心急的她在第二、三、四天斗开封看了看,到第五天,当她又启封查看时,惊讶地发现微生物都没了.请问：小丽开始往容器里放了 个微生物？【考点】单个变量的还原问题 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯,四年级,二试,第15题 【解析】 还原倒推：0←16←8←24←12←28←14←30←15所以原来容器内放了15个微生物. 【答案】15个【例 14】 小丽用4元买了一本《童话大王》,又用剩下的钱的一半买了一本《儿童时代》,买钢笔又用去第二次剩下的钱的一半多1元,最后还剩4元,问：小丽原有多少钱？【考点】单个变量的还原问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法【解析】 用倒推法,第二次剩下的一半是415+=（元）,第二次剩下5210⨯=（元）,第一次剩下10220⨯=（元）,原来有20424+=（元）.列综合算式：()4122424+⨯⨯+= 答：小丽原有24元.【答案】24元【巩固】 有一筐苹果,甲取出一半又1个；乙取出余下的一半又1个；丙取出再余下的一半又1个,这时筐里只剩下1个苹果.这筐苹果共值6元6角,问每个苹果平均值多少钱？【考点】单个变量的还原问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】从上面的线段图可以看出：最后剩下的1个再加上丙取出的1个就是再余下的一半,即2个是再余下的一半,因此,再余下的就是224⨯=（个）；4个再加上乙取出的1个就是余下的一半,所以,甲取出后余下的就是5210⨯=（个）；10个再加上甲取出的1个就是全筐的一半,所以,全筐苹果的总数是11222⨯=（个）.22个苹果共值6元6角,于是可求出每个苹果平均值多少钱？先求有多少个苹果：[]{}21222（1+1）2+1⨯⨯+⨯=（个）再求每个苹果平均值多少钱：66223÷=（角）,每个苹果平均值3角钱.【答案】3角【例 15】 思思看到织女在织布,她把一段五彩布第一次剪去一半,第二次又剪去余下的一半,这时还剩下8米,你知道这段五彩布原来长多少米吗？【考点】单个变量的还原问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】 根据题意,画出线段图,倒推分析．8216⨯=(米)16232⨯=(米)所以这段五彩布原来长32米． 【答案】32米【巩固】 一群蚂蚁搬家,原存一堆食物．第一天运出总数的一半少12克．第二天运出剩下的一半少12克,结果窝里还剩下43克．问蚂蚁家原有食物多少克?【考点】单个变量的还原问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】 采用倒推法,教师可画线段图帮助学生理解.如果第二天再多运出12克,就是剩下的一半,所以第一天运出后,剩下的一半重量是431231-=(克)；这样,第一天运出后剩下的重31262⨯=(克).那么同理,一半的重量是621250-=(克),原有食物502100⨯=(克).即 [4312212]2100（）-⨯-⨯=(克).【答案】100克【巩固】 一捆电线,第一次用去全长的一半多3米,第二次用去余下的一半少10米,第三次用去15米,最后还剩7米,这捆电线原有多少米？【考点】单个变量的还原问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】 由逆推法知,第二次用完还剩下15+722=(米),第一次用完还剩下(2210)224-⨯=(米),原来电线长(243)254+⨯=(米),(15710)23254+-⨯+=⨯=(米).【答案】54米【例 16】 工程队要修一条小路,第一天修了全长的一半多6米,第二天修了余下的一半少20米,第三天修了30米,此时还剩下14米没有修,则这条小路长 米.【考点】单个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】填空 【关键词】可逆思想方法,2008年,陈省身杯 【解析】 如图1所示,先根据线段图理清数量关系,可得全长为：()143020262108⎡⎤+-⨯+⨯=⎣⎦（米）.【答案】108米【巩固】 修建一条下水道,第一周修了全长的一半多12米,第二周修了剩下的一半少12米,第三周修了30米,最后还剩18米,这条下水道长多少米？【考点】单个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】 如下图,从图中可知30181236+-=是第一周修后余下的一半,3621284⨯-=米是下水道全长的一半．列式为：[301812212]2842168+-⨯+⨯=⨯=(米),所以,这条下水道长168米．画图法的关键：标好（）有倍数关系的位置.【答案】168米【例 17】货场原有煤若干吨.第一次运出原有煤的一半,第二次运进450吨,第三次又运出现有煤的一半又50吨,结果剩余煤的2倍是1200吨.货场原有煤多少吨？【考点】单个变量的还原问题【难度】4星【题型】解答【关键词】可逆思想方法【解析】这道题由于原有煤的总吨数是未知的,所以要想顺解是很不容易的,我们先看图4,然后再分析.结合上面的线段图,用倒推法进行分析,题中的数量关系就可以跃然纸上,使学生们一目了然.根据“剩余煤的2倍是1200吨”,就可以求剩余煤的吨数；根据“第三次运出现有煤的一半又50吨”和剩余煤的吨数,就可以求出现有煤的一半是多少吨,进而可求出现有煤的吨数；用现有煤的吨数减去第二次运进的450吨,就可以求出原有煤的一半是多少,最后再求出原有煤多少吨.÷=（吨）（1）剩余煤的吨数是：12002600+=（吨）（2）现有煤的一半是：60050650⨯=（吨）（3）现有煤的吨数是：65021300-=（吨）（4）原有煤的一半是：1300450850⨯=（吨）（5）原有煤的吨数是：85021700答：货场原来有煤1700吨.【答案】1700吨【例 18】从前,有一位樵夫,整天幻想着遇见神仙,求得一种不花气力就能发财的窍门．一天,有一位老人突然来到樵夫面前,对他说：“你不是想见到神仙吗？”樵夫苦苦哀求：“我在山里砍了三天柴,累的要死要活,才卖的这么几个钱．您老人家神通广大,恳求您指点,使我可以不费力气就能得到钱吧！”老人指着东边的一座石头桥说：“好吧！从现在开始,你只要从那座桥上每走一个来回,口袋里的钱都会增长一倍,但是每次回来都要付给我24个钱作为报酬．”樵夫高兴的在桥上走了一个来回,他数一数口袋里的钱,果然增长了一倍．他拿出24个钱交给神仙,然后又向桥上走去,等到他第三次回来,把24个钱交给神仙后,摸一摸口袋,里面竟然一个钱都没有了．正当他焦急不安的时候,神仙按原数把钱留下飘然而去,并留下一句话：“年轻人,不劳而获可不行啊！”故事读完了,小朋友们,你能不能算出,樵夫原来有多少钱呢？【考点】单个变量的还原问题【难度】3星【题型】解答【关键词】可逆思想方法【解析】这个故事里包含的算题是：樵夫每次在桥上走一个来回,口袋里面的钱会增长1倍,樵夫第三次回来,6-1-2.还原问题（一）.题库 教师版 page 11 of 13交付24个钱给神仙后,他的口袋里就一无所有了．问樵夫原来有多少钱？我们可以倒着想,最后樵夫从桥上回来后,口袋里面只有24个钱,第二次交给神仙后有24212÷=（个）钱,从桥上回来后有：122436+=（个）钱,也就是第一次交给神仙后还剩：36218÷=（个）钱,第一次从桥上回来后有：182442+=（个）钱,所以樵夫一开始有：42221÷=（个）钱．【答案】21个【巩固】 有一个财迷总想使自己的钱成倍增长,一天他在一座桥上碰见一个老人,老人对他说：“你只要走过这座桥再回来,你身上的钱就会增加一倍,但作为报酬,你每走一个来回要给我32个铜板．”财迷算了算挺合算,就同意了．他走过桥去又走回来,身上的钱果然增加了一倍,他很高兴地给了老人32个铜板．这样走完第五个来回,身上的最后32个铜板都给了老人,一个铜板也没剩下．问：财迷身上原有多少个铜板？【考点】单个变量的还原问题 【难度】3星 【题型】解答【关键词】可逆思想方法【解析】 第五次回来时有32个铜板,表明第五次走时有16个铜板（因为走到桥对面钱数要增加一倍）,又表明第四次回来时有48个铜板（因为要给老人32个铜板）……依次类推即可．推算过程可列表如下：所以原来有31个铜板．【答案】31个【巩固】 某人发现了一条魔道,下面有一个存钱的小箱子,当他从魔道走过去的时候,箱子里的一些钱会飞到人的身上使人身上的钱增加一倍,这人很高兴；当他从魔道走回来时,身上的钱会飞到箱子里,使箱子里的钱增加一倍；这人一连走了3个来回后,箱子里的钱和人身上的钱都是64枚一元的硬币,那么原来这人身上有多少元？箱子里有多少元？【考点】单个变量的还原问题 【难度】3星 【题型】解答【关键词】可逆思想方法【解析】 已知这个人和钱箱里最后都有64元,采用倒推法解题,列表如下：所以最开始这个人身上有43元,箱子里有85元．【答案】85元【例 19】 学学和思思见到一种神奇的虫子,它每小时就长一倍,1天能长到20厘米,聪明的小朋友,你知道小虫长到5厘米时需要多少小时吗？【考点】单个变量的还原问题 【难度】3星 【题型】解答【关键词】可逆思想方法【解析】 小虫每小时长一倍的意思是：第二个小时的身长是第一个小时的2倍,第三个小时的身长是第二个小时的2倍,第四个小时的身长是第三个小时的2倍,……1天是24个小时,从24小时能长到20厘米开始,往前倒推,当长到20210÷=(厘米)时,就是第23个小时,以此倒推．(方法一)用倒推法解：20225÷÷=(厘米),241122--=(小时)(方法二)用列表倒推法解：。
还原问题还原问题，指的是给出一个数的运算过程及结果，再求这个数的问题。
例一、按要求填数。
练习1.2.例二、某数加上5, 乘以5, 减去5,除以5,其结果等于5。
求这个数。
练习1、某数加上6,乘以6, 减去6, 除以6, 最后结果等于6。
问这个数是几？2、一次数学考试后，李军问于昆数学考试得多少分。
于昆说：“用我得的分数减去8加上10，再除以7，最后乘以4，得56。
”小朋友，你知道于昆得多少分吗？例三、贝贝、欢欢和迎迎三人各有一些连环画，贝贝给欢欢3本，欢欢给迎迎5本后，三人的本数都是10本。
那么贝贝、欢欢和迎迎原来各有多少本？ 例四、例五、练习1、小松、小明、小航各有玻璃球若干个，如果小松给小明10个，小明给小航6个后，三人的个数都是25个，三人原来各有玻璃球多少个？432 －24 ＋15 ×8 88 ＋6 －10 ×2 ×4 40 －6 ÷2 ＋7 ÷62、甲、乙、丙三个组各有一些图书，如果甲组借给乙组13本后，乙组又送给丙组6本，这时三个组的图书本数同样多，都是45本。
原来乙组和丙组哪组的图书多，多几本？例四、甲乙丙三个小朋友各有年历卡若干张，如果甲给乙13张，乙给丙23张，丙给甲3张，那么他们每人各有30张。
原来3人各有年历卡多少张？例五、练习1、甲、乙、丙三人各有一些连环画，如果甲给乙9本，乙给丙11本，丙给甲16本，那么这时三人各有连环画25本。
他们原来各有连环画多少本？2、甲、乙、丙三辆载重量不同的货车拉运一批货物，如果甲车拉的货物给乙车6吨，乙车拉的货物给丙车11吨，丙车拉的货物给甲车7吨，则三辆车所拉的货物都是20吨。
问：甲、乙、丙三辆货车的载重量分别是多少吨？例六、小红、小青、小宁都喜爱画片。
如果小红给小青11张西片，小青给小宁20张画片，小宁给小红5张画片，那么他们三人的画片张数同样多。
已知他们三人共有画片150张，他们三人原来各有画片多少张？例七、练习1、三年级三个班共有学生156人，若从一班调5人到二班，从二班调8人到三班，从三班调4人到一班，这时每个班的人数正好相同。
还原问题知识结构一、还原问题已知一个数，经过某些运算之后，得到了一个新数，求原来的数是多少的应用问题，它的解法常常是以新数为基础，按运算顺序倒推回去，解出原数，这种方法叫做逆推法或还原法，这种问题就是还原问题．还原问题又叫做逆推运算问题．解这类问题利用加减互为逆运算和乘除互为逆运算的道理，根据题意的叙述顺序由后向前逆推计算．在计算过程中采用相反的运算，逐步逆推．二、解还原问题的方法在解题过程中注意两个相反：一是运算次序与原来相反；二是运算方法与原来相反．方法：倒推法。
口诀：加减互逆，乘除互逆，要求原数，逆推新数．关键：从最后结果出发，逐步向前一步一步推理，每一步运算都是原来运算的逆运算，即变加为减，变减为加，变乘为除，变除为乘．列式时还要注意运算顺序，正确使用括号.重难点（1）还原法的知识点（2）画图在解题过程中的应用例题精讲【例 1】某数先加上3，再乘以3，然后除以2，最后减去2，结果是10，问：原数是多少？【巩固】(2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛)有一个数，如果用它加上6，然后乘以6，再减去6，最后除以6，所得的商还是6，那么这个数是。
【例 2】学学做了这样一道题：某数加上10，乘以10，减去10，除以10，其结果等于10，求这个数．小朋友，你知道答案吗？【巩固】学学做了这样一道题：一个数加上3，减去5，乘以4，除以6得16，求这个数．小朋友，你知道答案吗？【例 3】牛老师带着37名同学到野外春游．休息时，小强问：“牛老师您今年多少岁啦?”牛老师有趣地回答：“我的年龄乘以2，减去16后，再除以2，加上8，结果恰好是我们今天参加活动的总人数．”小朋友们，你知道牛老师今年多少岁吗?【巩固】学学和思思在游玩时，遇到一位小神仙，他们问这位神仙：“你一定不到100岁吧！”谁知这位神仙摇摇头说：“你们算算吧！把我的年龄加上75，再除以5，然后减去15，再乘以10，恰好是2000岁．”小朋友，你知道这位神仙现在有多少岁吗？【例 4】在电脑里先输入一个数，它会按给定的指令进行如下运算：如果输入的数是偶数，就把它除以2；如果输入的数是奇数，就把它加上3．同样的运算这样进行了3次，得出结果为27．原来输入的数可能是．【巩固】假设有一种计算器，它由A、B、C、D四种装置组成，将一个数输入一种装置后会自动输出另一个数。
知识结构一、还原问题已知一个数，经过某些运算之后，得到了一个新数，求原来的数是多少的应用问题，它的解法常常是以新数为基础，按运算顺序倒推回去，解出原数，这种方法叫做逆推法或还原法，这种问题就是还原问题．还原问题又叫做逆推运算问题．解这类问题利用加减互为逆运算和乘除互为逆运算的道理，根据题意的叙述顺序由后向前逆推计算．在计算过程中采用相反的运算，逐步逆推．二、解还原问题的方法在解题过程中注意两个相反：一是运算次序与原来相反；二是运算方法与原来相反．方法：倒推法。
口诀：加减互逆，乘除互逆，要求原数，逆推新数．关键：从最后结果出发，逐步向前一步一步推理，每一步运算都是原来运算的逆运算，即变加为减，变减为加，变乘为除，变除为乘．列式时还要注意运算顺序，正确使用括号.重难点（1）还原法的知识点（2）画图在解题过程中的应用还原问题例题精讲【例1】从前，有一位樵夫，整天幻想着遇见神仙，求得一种不花气力就能发财的窍门．一天，有一位老人突然来到樵夫面前，对他说：“你不是想见到神仙吗？”樵夫苦苦哀求：“我在山里砍了三天柴，累的要死要活，才卖的这么几个钱．您老人家神通广大，恳求您指点，使我可以不费力气就能得到钱吧！”老人指着东边的一座石头桥说：“好吧！从现在开始，你只要从那座桥上每走一个来回，口袋里的钱都会增长一倍，但是每次回来都要付给我24个钱作为报酬．”樵夫高兴的在桥上走了一个来回，他数一数口袋里的钱，果然增长了一倍．他拿出24个钱交给神仙，然后又向桥上走去，等到他第三次回来，把24个钱交给神仙后，摸一摸口袋，里面竟然一个钱都没有了．正当他焦急不安的时候，神仙按原数把钱留下飘然而去，并留下一句话：“年轻人，不劳而获可不行啊！”故事读完了，小朋友们，你能不能算出，樵夫原来有多少钱呢？【巩固】有一个财迷总想使自己的钱成倍增长，一天他在一座桥上碰见一个老人，老人对他说：“你只要走过这座桥再回来，你身上的钱就会增加一倍，但作为报酬，你每走一个来回要给我32个铜板．”财迷算了算挺合算，就同意了．他走过桥去又走回来，身上的钱果然增加了一倍，他很高兴地给了老人32个铜板．这样走完第五个来回，身上的最后32个铜板都给了老人，一个铜板也没剩下．问：财迷身上原有多少个铜板？欢迎关注：奥数轻松学余老师薇芯：69039270【例2】货场原有煤若干吨。
三年级 第八讲 还原问题 知识点总结1. 什么还原问题：已知一个数（未知），经过某些运算之后，得到了一个新数，求原来的数是多少的应用问题，它的解法常常是以新数为基础，按运算顺序倒推回去，解出原数，这种问题就是还原问题．2. 解题方法（画图法）（1）一个量变化：火车图（口诀：+变- -变+ 乘变除 除变乘加减互逆，乘除互逆）（2）多个量变化：示意图， 标上箭头（有序号标示顺序）；逆推的画虚线方法解读：【例 1】 某数先加上3，再乘以3，然后除以2，最后减去2，结果是10，问：原数是多少？【类型】一个量变化：火车图读题过程就能画出以下图来：先别着急去写，从最后一步看，几-2=10，知道12，怎么来的？10+2=12，所以“—变+” 这个时候先变符号：逆着顺序就能很快知道原数是几了！（这里回来箭头需要和原来箭头区分开，所以画虚线箭头比较合适，因为电脑编辑我不会，所以这里书写时尽量用虚线箭头）【例 2】 李奶奶卖一筐鸡蛋，第一位客人买走了一半少2个，第二位客人又买走了剩下的一半多2个，第三位客人把剩下的5个鸡蛋全部买走了．老婆婆的篮子里原来有 个鸡蛋．【类型】一个量变化：火车图第一位客人买走了一半少2个：分成2步去理解 先买走一半（÷2），少2（因为不足一半，所以+2，方框都表示剩下的）【例 3】 小巧、小亚、小红共有90个玻璃球，小巧给小亚6个，小亚给小红5个，小红给小巧8个，他们的玻璃球个数正好相等．小巧、小亚、小红原来各有多少个玻璃球？3表示第3次，从最后往前还原即可！不多说了！【例 4】一班、二班、三班各有不同数目的图书．如果一班拿出本班的一部分图书分给二班、三班，使这两个班的图书各增加一倍；然后二班也拿出一部分图书分给一班、三班，使这两个班的图书各增加一倍；接着三班也拿出一部分图书分给一班、二班，使这两个班的图书各增加一倍．这时，三个班的图书数目都是48本．求三个班原来各有图书多少本？(讲义的例6)先还原第3步：（绿色线）再还原第2步：（红色线）最后还原第1步（黑色线）就得到最开始的了！这个题一定要理解：增加1倍，现在就是原来的2倍，还原就除以2。
