(完整版)三角模糊数

三角模糊数互补判断矩阵的一种排序方法
三角模糊数互补判断矩阵的一种排序方法
研究决策信息以三角模糊数互补判断矩阵形式给出的多属性决策问题. 给出了三角模糊数一致性互补判断矩阵与其权重向量之间的关系,建立了一个目标规划模型.通过求解该模型得到三角模糊数互补判断矩阵的权重向量,并利用已有的三角模糊数排序公式求得决策方案的排序.最后,给出了一个算例.
作者：龚艳冰陈森发 GONG Yan-bing CHEN Sen-fa 作者单位：东南大学,经管学院,江苏,南京,210018 刊名：模糊系统与数学ISTIC PKU英文刊名：FUZZY SYSTEMS AND MATHEMATICS 年，卷(期)：2008 22(1) 分类号：O1 关键词：互补判断矩阵三角模糊数排序。

模糊隶属度计算公式模糊隶属度计算公式是模糊集理论中的一种重要工具，在处理模糊信息、不确定性信息和模糊关系时具有广泛的应用。

模糊隶属度可以用于描述事物或概念的模糊程度和隶属关系。

下面将介绍几种常见的模糊隶属度计算公式。

1. 三角隶属度函数三角隶属度函数是最简单也是最常用的隶属度函数之一。

它通常用于描述对称的模糊集。

三角隶属度函数的计算公式为：```μ(x) = (x - a) / (b - a), a <= x <= bμ(x) = (d - x) / (d - c), b <= x <= dμ(x) = 0, x < a 或者 x > d```其中，a和d分别是模糊集的起始点和终止点，b和c是模糊集两个相对应的峰值。

2. 梯形隶属度函数梯形隶属度函数也是一种常见的隶属度函数。

它通常用于描述模糊集的模糊边界不对称的情况。

梯形隶属度函数的计算公式为：```μ(x) = (x - a) / (b - a), a <= x <= bμ(x) = 1, b < x <= cμ(x) = (d - x) / (d - c), c < x <= dμ(x) = 0, x < a 或者 x > d```其中，a和d分别是模糊集的起始点和终止点，b和c是梯形隶属度函数中的峰值点。

3. 高斯隶属度函数高斯隶属度函数是一种钟形曲线，在某个点呈现出单峰、对称的特点。

高斯隶属度函数的计算公式为：```μ(x) = e^(-0.5((x - c) / σ)^2)```其中，c是高斯函数的均值，σ是标准差。

4. 基于模糊逻辑的隶属度计算公式在模糊逻辑中，还有一些其他的隶属度计算公式，如S形隶属度函数、Z形隶属度函数等。

这些计算公式可以根据具体的应用场景进行选择和调整。

模糊隶属度计算公式在模糊集理论中扮演着重要的角色。

通过选择恰当的隶属度计算公式，我们可以更加准确地反映事物的模糊程度和隶属关系。

基于三角模糊数的判断矩阵的改进及其应用
肖钰;李华
【期刊名称】《模糊系统与数学》
【年(卷),期】2003(17)2
【摘要】利用模糊概率及期望值将基于三角模糊数的专家判断矩阵转化为非模糊数判断矩阵 ,使得新矩阵可以进行一致性检验 ,并通过实例分析验证该方法的有效性和实用性。

【总页数】6页(P59-64)
【关键词】三角模糊数;判断矩阵;一致性检验;模糊概率;模糊期望
【作者】肖钰;李华
【作者单位】西安电子科技大学经济管理学院
【正文语种】中文
【中图分类】O151.21;C934
【相关文献】
1.基于改进小生境遗传算法的三角模糊数互补判断矩阵排序方法 [J], 杨雪康;匡兵;林瑞;周峰
2.改进的三角模糊数互反判断矩阵排序算法研究 [J], 王金燕;陈卫兵;周颖;郭德彪
3.基于FOWA算子的三角模糊数互补判断矩阵排序法在承包商选择中的应用 [J], 宋巧娜;石永奎
4.基于FOWA算子的三角模糊数互补判断矩阵排序法在承包商选择中的应用 [J],
宋巧娜;石永奎
5.一种改进的三角模糊数互补判断矩阵的排序方法 [J], 黄卫来;黄松
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三角模糊数互补判断矩阵的一种排序方法
徐泽水
【期刊名称】《模糊系统与数学》
【年(卷),期】2002(16)1
【摘要】给出三角模糊数互补判断矩阵的概念及三角模糊数相互比较的可能度公式 ,提出一种基于可能度的三角模糊数互补判断矩阵排序方法 ,通过算例说明该方法的可行性和有效性。

【总页数】4页(P47-50)
【关键词】三角模糊数;互补判别矩阵;可能度;排序方法;模糊决策理论
【作者】徐泽水
【作者单位】解放军理工大学理学院
【正文语种】中文
【中图分类】O223;O157
【相关文献】
1.带概率三角模糊数互补判断矩阵的一种简化排序方法 [J], 马晓燕
2.基于改进小生境遗传算法的三角模糊数互补判断矩阵排序方法 [J], 杨雪康;匡兵;林瑞;周峰
3.一种改进的三角模糊数互补判断矩阵的排序方法 [J], 黄卫来;黄松
4.一种三角模糊数互补判断矩阵的排序方法 [J], 姜艳萍;樊治平
5.三角模糊数互补判断矩阵的一种排序方法 [J], 龚艳冰;陈森发
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短　文三角模糊数互补判断矩阵排序方法研究①徐泽水(中国人民解放军理工大学理学院,江苏南京210007)摘要:研究了决策信息以三角模糊数互补判断矩阵形式给出的多属性决策问题.提出了三角模糊数一致性互补判断矩阵等概念,建立了一个线性目标规划模型.通过求解该模型得到三角模糊数互补判断矩阵的权重向量,并利用已有的三角模糊数排序公式求得决策方案的排序.最后给出了一个算例.关键词:三角模糊数互补判断矩阵;线性目标规划模型;排序中图分类号:C934;O223 文献标识码:A 文章编号:1000-5781(2004)01-0085-04On priority method of triangular fuzzy numbercomplementary judgement matrixXU Ze-shui(Institute of Sciences,PLA University of Science and Technology,Nanjing210007,China)Abstract:This paper studies the multi-attribute decision making pr oblem,in which the decision infor ma-tion takes the form of triangular fuzzy number c omplementar y judgement matrix.Some concepts such as triangular fuzzy number consistent complementary judgement matrix,etc.,are given and a linear objec-tive programming model is established.The weight vector of triangular fuzzy complementary judgement matrix is obtained by solving the model.By using a existing priority formula of triangular fuzzy numbers, the decision alternatives are ranked.Finally,a numerical example is given.Key words:triangular fuzzy co mplementar y judgement matrix;linear objective program ming model;priority0　引　言多属性决策的实质是利用可获得的决策信息对给定的有限个备选决策方案进行排序或择优.决策者(专家)在决策过程中往往需对决策方案进行两两比较,并构造判断矩阵.目前人们所研究的判断矩阵的形式一般有两种:互反判断矩阵[1,2]和互补判断矩阵[2～5].关于互反判断矩阵的理论研究已基本成熟[6～9],有关互补判断矩阵的排序理论与方法也取得了较大进展[2,10～13].文献[2]还详细研究了互反判断矩阵和互补判断矩阵之间的关系.然而,由于客观事物的复杂性,当人们在构造互补判断矩阵时,其所得到的判断值有时不是确定的数值点,而是以三角模糊数等模糊形式给出.因此,如何处理这类问题,是一个具有重要实际应用价值的研究课题.本文给出了三角模糊数互补判断矩阵、三角模糊数一致性互补判断矩阵等概念,建立了一个线性目标规划模型,通过求解该模型得到三角模糊数互补判断矩阵的权重向量,并利用已有的三角模糊数排序公式求得决策第19卷第1期2004年2月 系　统　工　程　学　报J OURNAL OF SYSTE MS ENGINEERING Vol.19No.1Feb.2004①收稿日期:2001-09-14;修订日期:2003-10-24.基金项目:国防科技预研基金资助项目(00J6.4.2.JB3804);解放军理工大学理学院青年科研基金资助项目(Q02Y01).方案的排序.1　预备知识本节考虑互补判断矩阵的元素为确定数值时的情形.设X ={x 1,x 2,…,x n }为方案集,且记N ={1,2,…,n }.专家对决策方案进行两两比较并作出判断.若专家按互反型标度[2]进行赋值,给出互反判断矩阵:A =(êij )n ×n ,它具有如下性质:êij >0,êji =1/êi j ,êii =1,i ,j ∈N .当êij =êik êkj , i ,j ,k ∈N 成立时,A =(êij )n ×n 是一致性互反判断矩阵[1].若专家按互补型标度[2]进行赋值,给出互补判断矩阵B =(b ij )n ×n ,它具有如下性质:b ij ≥0,b ij +b ji =1,b ii =0.5,i ,j ∈N .当b i k b k j b ji =b ki b jk b ij , i ,j ,k ∈N 成立时,B =(b ij )n ×n 是一致性互补判断矩阵[4].设A =(êij )n ×n 是互反判断矩阵,则通过转换公式[2]b i j =êijêij +1可得互补判断矩阵B =(b ij )n ×n .A =(êij )n ×n 是一致性互反判断矩阵,则通过b ij =êi j êi j +1转换而得到的判断矩阵B =(b ij )n ×n 是一致性互补判断矩阵.设w =(w 1,w 2,…,w n )T是互反判断矩阵A =(êij )n ×n 的权重向量,其中,w i >0,i ∈N ,∑n i =1w i=1,则当A =(êi j )n ×n 是一致性互反判断矩阵时,有êij =w iw j,i ,j ∈N .把它代入b ij =êij êij +1,易知b ij =w iw i +w j ,i ,j ∈N .把该式代入b ik b kj b ji =b ki b jk b i j ,i ,j ,k ∈N ,则等式成立,即B 是一致性互补判断矩阵.因此,若设v =(v 1,v 2,…,v n )T是互补判断矩阵B 的权重向量,其中,v i ≥0,i ∈N ,∑ni =1v i =1,则当B 是一致性互补判断矩阵时,有b ij =v iv i +v j,i ,j ∈N .2　主要结果定义1　若ê=(êl ,êm ,êu ),其中,0<êl ≤êm ≤êu ,且êl 和êu 分别为ê所支撑的上界和下界,而êm 为ê的中值,则称ê为一个三角模糊数,其特征函数(隶属函数)可表示为[14]μê(x )=x -êlêm -êl ,êl ≤x ≤êmx -êu êm -êu ,êm ≤x ≤êu　0, 其它为了方便,首先给出下列有关三角模糊数的运算[15]:设ê=(êl ,êm ,êu ),b =(b l ,b m ,b u ),则1)ê⊕b =(êl ,êm ,êu )⊕(b l ,b m ,b u )=(êl +b l ,êm +b m ,êu +b u ).2)1ê≈(1êu ,1êm ,1êl ).3)ê b =(êl ,êm ,êu ) (b l ,b m ,b u )≈(êl b l ,êm b m ,êu b u ).4)ê=b 当且仅当êl =b l ,êm =b m ,êu =b u .定义2　设判断矩阵B =(b ij )n ×n ,其中,b i j =(b li j ,b mi j ,b ui j ),b ji =(b l ji ,b m ji ,b u ji ),若b l ij +b uj i =b m ij +b m ji =b ui j +b lj i =1,b u ij ≥b m i j ≥b li j ≥0,i ,j ∈N 则称矩阵B 是三角模糊数互补判断矩阵.定义3　设B =(b ij )n ×n 三角模糊数互补判断矩阵,称B =(b ij )n ×n 是三角模糊数一致性互补判断矩阵,若b i k b kj b ji =b ki b j k b ij , i ,j ,k ∈N .对于三角模糊数互补判断矩阵B =(b ij )n ×n ,其中,b ij =(b li j ,b mi j ,b ui j ),设v =(v 1,v 2,…,v n )T是B 的权重向量,其中,v i =(v li ,v mi ,v ui ),i ∈N ,则当B 是三角模糊数一致性互补判断矩阵时,有b ij =v iv i +v j,i ,j ∈N ,即(b lij ,b m ij ,b uij )=(v l i ,v m i ,v ui )(v li ,v mi ,v ui )+(v lj ,v m j ,v uj )= (v li ,v mi ,v ui )(v l i +v l j ,v mi +v mj ,v ui +v uj )= (v li v ui +v uj ,v mi v m i +v mj ,v uiv li +v l j ),i ,j ∈N也即b li j =v l i v ui +v uj ,b mij =v miv mi +vmj b uij =v uiv li +v lj,i ,j ∈N化简得—86—系　统　工　程　学　报 第19卷v li =b li j v ui +b li j v uj ,v mi =b m ij v mi +b m ij v mj ,v ui =b uij v li +b uij v lj ,　i ,j ∈N(1)由于决策者在实际决策时所给出的三角模糊互补判断矩阵往往是非一致性的,式(1)一般不成立.为此引入偏差函数f lij =|b l ij v ui +b l ij v uj -v li |,f mij =|b mij v mi +b mij v mj -v mi |,f ui j =|b uij v li +b uij v lj -v ui |,　i ,j ∈N 显然,为了得到合理的权重向量v =(v 1,v 2,…,v n )T,上述偏差函数值总是越小越好,即有下列多目标优化模型:　(MOM )Min f l ij =|b l ij v ui +b lij v uj -v li |,i ,j ∈N Min f m ij =|b m ij v m i +b mi j v m j -v m i |,i ,j ∈N Min f uij =|b u ij v l i +b ui j v l j -v ui |,i ,j ∈N 0≤v li ≤v mi ≤v ui ≤1,i ∈N 0≤∑ni =1v li ≤1≤∑ni =1v ui为了求解该模型(MOM ),由于每个目标函数希望达到的期望值均为0,可将模型(MOM )转化为下列线性目标规划模型:　(LOM1)Min J =∑ni =1∑nj =1[(s li j d +li j +t lij d -lij )+ (s mi j d +mij+t mij d -mi j )+(s ui j d +uij+t ui j d -uij )]s .t .b li j v ui +b lij v u j -v li -d +lij +d -li j=0,i ,j ∈Nb mij v mi +b mi j v m j -v mi -d +m ij +d -mij=0, i ,j ∈Nb ui j v li +b uij v l j -v ui -d +ui j +d -uij=0, i ,j ∈N0≤v li ≤v mi ≤v ui ≤1,i ∈N ,0≤∑ni =1v li≤1≤∑ni =1v uid +lij ≥0,d -li j ≥0,d +mij ≥0,d -mi j≥0,d +ui j≥0,d -uij≥0,i ,j ∈N 其中,d +l ij ,d +mij 和d +uij 分别是b lij v ui+b lij v uj -v li ,b mi jv mi +b mi j v mj -v mi 和b uij v li +b ui j v l j -v ui 高于期望值0的上偏差变量;d -lij ,d -mi j和d -uij分别是b li j v ui +b li j v uj -v l i ,b mi j v mi +b mi j v m j -v m i 和b uij v li +b ui j v lj -v ui 低于期望值0的下偏差变量;s lij ,s mij 和s uij 分别是d +li j ,d +mi j 和d +uij 的权系数;t lij ,t mi j 和t uij 分别是d -li j ,d -mi j 和d -uij 的权系数.考虑到所有的目标函数是公平竞争的,没有任何偏好关系,因此,可取s l ij =s mi j =s uij =t l ij =t m ij =t ui j =1,i ,j ∈N 因此,上述模型(LOM1)可转化为　(LOM2)Min J =∑ni =1∑nj =1[(d +lij +d -lij )+(d +mi j +d -mij )+(d +ui j +d -uij )]s .t .b li j v ui +b l ij v u j -v li -d +lij +d -lij =0,i ,j ∈N b m i j v m i +b m i j v m j -v m i -d +m ij +d -m ij =0,i ,j ∈N b uij v l i +b ui j v lj -v ui -d +ui j +d -uij =0,i ,j ∈N 0≤v l i ≤v mi ≤v ui ≤1,i ∈N ,0≤∑ni =1v l i≤1≤∑ni =1v uid +lij ≥0,d -lij ≥0,d +mij ≥0,d -mij ≥0,d +uij ≥0,d -uij ≥0,i ,j ∈N利用目标单纯形法程序(见文献[16])求解该模型(LOM2),即可得到三角模糊数互补判断矩阵B的权重向量v =(v 1,v 2,…,v n )T .由于v i (i ∈N )是三角模糊数,不便于直接对方案进行排序.为此,不妨利用文献[17]中给出的公式计算三角模糊数v i (i ∈N )的期望值,即v (α)i=12[(1-α)v li +v mi +αv ui ], 0≤α≤1,i ∈N(2)其中:α值的选择取决于决策者的风险态度.当α>0.5时,称决策者是追求风险的;当α=0.5时,表示决策者是风险中立的;当α<0.5时,表示决策者是厌恶风险的.利用v (α)i (i ∈N )值可得到相应的方案排序.3　算例分析例　设对于某一多属性决策问题,有三个备选方案x 1,x 2,x 3.专家对方案进行两两比较,并给出下列三角模糊数互补判断矩阵:　B =(0.5,0.5,0.5)　(0.3,0.4,0.6)　(0.5,0.7,0.9)(0.4,0.6,0.7)　(0.5,0.5,0.5)　(0.4,0.6,0.7)(0.1,0.3,0.5)　(0.3,0.4,0.6)　(0.5,0.5,0.5)根据模型(LOM2),解得—87—第1期 徐泽水:三角模糊数互补判断矩阵排序方法研究v l 1=0.252,v m 1=0.361,v u 1=0.536,v l 2=0.252,v m 2=0.389,v u 2=0.505,v l 3=0.148,v m 3=0.250,v u 3=0.412,d +l 11=0.284,d -l 11=0,d +m 11=0,d -m 11=0,d +u 11=0,d -u 11=0.284,d +l 12=0.061,d -l 12=0,d +m 12=0,d -m 12=0.061,d +u 12=0,d -u 12=0.234,d +l 13=0.222,d -l 13=0,d +m 13=0.067,d -m 13=0,d +u 13=0,d -u 13=0.176d +l 21=0,d -l 21=0.089,d +m 21=0.061,d -m 21=0,d +u 21=0.101,d -u 21=0,d +l 22=0.253,d -l 22=0,d +m 22=0,d -m 22=0,d +u 22=0.253,d -u 22=0,d +l 23=0.115,d -l 23=0,d +m 23=0,d -m 23=0.006,d +u 23=0,d -u 23=0.225,d +l 31=0,d -l 31=0,d +m 31=0d -m 31=0.067,d +u 31=0,d -u 31=0.212,d +l 32=0.127,d -l 32=0,d +m 32=0.006,d -m 32=0,d +u 32=0,d -u 32=0.172,d +l 33=0.264,d -l 33=0,d +m 33=0,d -m 33=0,d +u 33=0,d -u 33=0.264.因此v =((0.252,0.361,0.536),(0.252,0.389,0.505),(0.148,0.250,0.412))T利用公式(2)解得v (α)1=0.306+0.142α,　v (α)2=0.320+0.127α,　v (α)3=0.199+0.132α当0.880≤α≤1时,有v (α)1≥v (α)2,而对任意0≤α≤1,均有v (α)1>v (α)3及v (α)2>v (α)3.因此(1)若0≤α<0.880,则v (α)2>v (α)1>v (α)3,相应的方案排序为x 2 x 1 x 3.(2)若α=0.880,则v (α)2=v (α)1>v (α)3,相应的方案排序为x 2～x 1 x 3.(3)若0.880<α≤1,则v (α)1>v (α)2>v (α)3,相应的方案排序为x 1 x 2 x 3.从上述结果可以看出:决策方案的排序受决策者风险态度的影响.参考文献:[1]Saaty T L .The Analytic Hierarchy Process [M ].New York :McGraw -Hill ,1980.[2]徐泽水.AHP 中两类标度的关系研究[J ].系统工程理论与实践,1999,19(7):97—101.[3]Orlovsky S A .Decision -making with a fuzzy preference relation [J ].Fuzzy Sets and Systems ,1978,1:155—167.[4]Tanino T .Fuzzy preference orderings in group decis ion making [J ].Fuzzy Sets and Systems ,1984,12:117—131.[5]Kacprz yk J .Group decision makin g with a fuzz y linguistic majority [J ].Fuzzy Sets and Systems ,1986,18:105—118.[6]王莲芬,许树柏.层次分析法引论[M 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,1992,50:247—255.作者简介:徐泽水(1968—),男,安徽南陵人,副教授,东南大学博士后,研究方向:决策分析及运筹学等.—88—系　统　工　程　学　报 第19卷。