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摘要：犹豫模糊数是一种常用的模糊数，它将模糊数中模糊的程度量化为悔恨度，并且可以描述决策者的不确定性和矛盾情况。
本文介绍了三角模糊数的定义和特性，并详细阐述了三角模糊数在多属性决策中的应用。
同时，本文还探讨了犹豫模糊数在多属性决策中的应用，并介绍了基于犹豫模糊数的决策方法。
最后，本文还对该方法的优点与不足进行了分析与总结。
关键词：三角模糊数；犹豫模糊数；多属性决策；决策方法一、绪论多属性决策是一种涉及到多个因素的决策方法，既要关注每一个因素的权重，也要注意它们之间的联系和影响。
在实际应用中，很多决策问题都是模糊不确定的，因此需要用到模糊数进行描述。
犹豫模糊数是一种常用的模糊数，它不仅考虑了每个因素的模糊程度，还量化了决策者的犹豫程度，能够更贴近实际应用中的情况。
本文将介绍三角模糊数的定义与特性，以及犹豫模糊数在多属性决策中的应用和决策方法。
二、三角模糊数的定义与特性三角模糊数是一种常用的模糊数，它是指在[,]上所有值等可能的模糊数，记为(,,)。
三角模糊数可以用于表示模糊化的决策信息，其中̃，̃和̃表示决策信息的下限、中心值和上限。
三角模糊数通过组合下限、中心值和上限来描述决策者对一个变量的模糊程度。
三角模糊数的特性有以下几个方面：( 1)非负性：三角模糊数的下限、中心值和上限都应该是非负数，即̃,,̃≥0。
( 2)归一性：三角模糊数的下限、中心值和上限之和应该等于1，即̃++=1。
( 3)具有对称性：对于任意的三角模糊数(,,)，其对称三角模糊数为(,,)。
三角模糊数的定义与特性为犹豫模糊数的研究提供了基础，犹豫模糊数可以视为是三角模糊数的扩展。
接下来将介绍犹豫模糊数在多属性决策中的应用。
三、犹豫模糊数在多属性决策中的应用犹豫模糊数是一种将模糊程度和犹豫程度两者结合起来的模糊数。
它可以用于描述决策者的不确定性和矛盾情况，更贴近实际应用中的情况。
在多属性决策中，犹豫模糊数可以用于对决策变量进行建模，例如对于风险评估问题，可以使用犹豫模糊数对不同方案的风险程度进行度量。
三角模糊数型模糊多属性群决策方法顾翠伶;梁艳艳;张茜【摘要】针对决策属性值为三角模糊数的模糊多属性群决策问题,给出一种新的解决方案.将专家群体的语言值模糊权重信息转化为三角模糊数形式,利用三角模糊数的模,求出决策群体中专家的权重.综合考虑方案的熵与散度面积,融合方案与正、负理想解的贴近度,构造一种新的综合评价指标,进而对方案进行排序择优.数值例子验证该方法的可行性与有效性.【期刊名称】《周口师范学院学报》【年(卷),期】2015(032)005【总页数】6页(P36-41)【关键词】三角模糊数;散度;贴近度;模糊熵;模糊多属性决策【作者】顾翠伶;梁艳艳;张茜【作者单位】周口师范学院数学与统计学院,河南周口466001;周口师范学院数学与统计学院,河南周口466001;周口师范学院数学与统计学院,河南周口466001【正文语种】中文【中图分类】C934多属性决策问题的实质是利用已有的决策信息通过一定的方式对一组有限个备选方案进行排序并择优.多属性决策是现代决策科学的核心内容之一，它广泛应用于社会、经济、管理等多个领域中.群决策可以弥补单个决策者知识结构和经验水平的局限性，在管理决策中能更好地处理决策问题，提升决策质量，近年来，已有大量关于模糊多属性（群）决策分析方法的研究［1－9］.其中文献［1］针对只有部分属性权重信息且属性值以区间数形式给出的不确定多属性决策问题，提出一种逼近理想关联度的决策分析方法.文献［3］针对方案的属性评估信息和属性权重是模糊语言形式的多属性群决策问题，将语言信息转化为三角模糊数，利用三角模糊数的性质，构造集结决策者权威性和意见一致性的组合一致性指标，并给出一种模糊多属性群决策算法.曾三云［6］针对属性值为模糊变量，属性权重完全未知但已知方案优先序的模糊多属性决策问题给出新的决策方法.该方法通过建立一个线性目标规划模型来确定属性的权重，再基于简单加权平均法则来计算各方案的模糊综合属性值，然后根据比较模糊变量大小的期望值方法对方案进行排序.胡丽芳［9］对模糊群体多属性决策问题，依据一般的灰色关联分析方法的基本思路，将灰色关联度和欧氏距离结合，构造平均相似度对方案进行评价，提出一种新的灰色多属性决策方法.在决策过程中，由于决策时间、专家知识结构等的限制，决策专家对于方案或者属性的认识的不深刻等，这样就要求给决策专家一个权重以区别专家的重要性.笔者给出一种确定专家权重的方法，将语言值模糊信息化为三角模糊数形式，利用三角模糊数的模，将决策群体中每个专家的权重精确化.熵度量方案的模糊性，方案的熵越大，模糊性越强，方案就越劣.方案的散度面积越大，可行域也越大，方案越优.贴近度度量两个模糊数之间的贴近程度，贴近度越大，说明两个模糊数越接近.决策方案与正理想方案的贴近度越大，与负理想方案的贴近度越小，方案越优.本文融合模糊熵、散度面积以及方案与正、负理想方案之间的海明贴近度，给出排序方案的综合指标值，该综合指标值越大，方案越优.最后给出一个具体的算例分析，验证该方法的合理性和有效性.1 预备知识定义1［10］一个模糊数A定义为fA：R→I＝［0，ω］的模糊集，满足（1）fA是上半连续的；（2）存在一个区间［a，d］，当x∉［a，d］时，有fA（x）＝0；（3）存在实数b，c满足a≤b≤c≤d ，fA（x）在［a，b］单调递增；fA（x）在［c，d］上单调递减；fA（x）＝1在［b，c］上.即隶属函数可以表示为：其中ω为实数，且是模糊数A 的左右隶属函数.定义2［11］一个模糊数A的参数形式为分别为的反函数（0≤r≤1）.且（r）与（r）满足下列要求：（1）（r）有界单调递增的右连续函数；（2）（r）有界单调递减的左连续函数；（3）（r）≤0≤r≤1.定义3 称为模糊数A的权重面积，且有S（A）越大越好.这里将此权重面积作为模糊数散度的一个衡量指标.可见模糊数的权重面积越大，散度越大，可行域也就越大.对一组模糊数｛A1，A2，…，An｝，定义则s（Ai）越大，模糊数越优.定义4［12］假设A为连续模糊变量，则其熵定义为模糊变量的熵值越大，模糊性就越强，模糊变量就越劣.对于一组模糊变量｛A1，A2，…，An｝，定义e（Ai）越大，模糊变量越劣.定义5［13］令A、B和C为论域X 中的模糊集合，若映射σ：F（X）×F（X）→ ［0，1］具有性质：（1）σ（1，1）＝1；（2）σ（A，B）＝σ（B，A）；（3）由A⊇B⊇C或A ⊆B⊆C可得σ（A，B）≥σ（A，C），则称σ（A，B）为A与B的贴近度.贴近度的性质（1）说明两个相同的模糊集合的贴近度最大，性质（2）要求贴近度具有对称性，而性质（3）描述了两个接近的模糊集合的贴近度也较大.定义6［13］海明贴近度：2 模糊多属性决策方法与经典多属性决策相类似，模糊多属性决策基本模型可以描述为：给定一个方案集A＝｛A1，A2，…，Am｝，和相应于每个方案的属性集C＝｛C1，C2，…，Cn｝，以及说明每种属性相对重要程度的权集ω＝｛ω1，ω2，…，ωn｝，决策专家群体为Z＝｛Z1，Z2，…，Zl｝.其中，关于属性指标和权值大小的表示方式可以是数字的，也可以是语言的；涉及的数据结构可以是精确的，也可以是语言的；涉及的数据结构可以是精确的，也可以是不精确的.而所有语言的或不精确的属性指标，权值大小和数据结构等都被相应地表示成决策空间中的模糊子集或模糊数. Step1 决策矩阵标准化假设每个专家Zk对方案的评价矩阵由于不同的评价属性通常具有不同的物理量纲和量纲单位，且不同的量纲和量纲单位会带来不可公度性，因此在决策之前应将属性进行无量纲和规范化处理［9］.设S＋为效益型指标，S－为成本型指标，可以按照下列公式将属性决策矩阵Qk转化为规范化矩阵Rk所以有Step2 求群体决策矩阵在专家组成的团队里，有些专家的意见很重要，而另外一些专家的意见相对来说不是那么重要，这样就要求给各专家一个权重.每个专家的意见我们以语言形式给出，将语言形式转化为三角模糊数，对应表如下：表1 语言评估标度与三角模糊数语言值三角模糊数形式特别重要（0.8，0.9，1）很重要（0.6，0.7，0.8）一般重要（0.4，0.5，0.6）不太重要（0.2，0.3，0.4）不重要（0，0.1，0.2）若有l个专家，每个专家的权重以模糊语言值的形式给出，根据模糊语言值与模糊数的对应表（表1），则专家模糊权重信息值.将模糊权重去模糊化，得到专家的精确权重.定义第k个专家对应的精确权重为其中为三角模糊数的模.越大，说明第k个专家做决策时其意见也就越重要.求出每个专家的权重，根据各个专家对不同方案关于属性值的决策矩阵，得到群体决策矩阵其中Step3 确定正理想方案和负理想方案求专家群体决策矩阵的正、负理想方案.正理想方案：其中负理想方案：其中Step 4 求方案与正、负理想方案间的贴近度根据公式（5）可以求得各个方案属性值与正、负理想方案属性值之间的海明贴近度与从而第i个方案与正理想方案的贴近度为αj为第j个属性的权重值，并且第i个方案与负正理想方案的贴近度.因为方案与正理想方案的贴近度越大，同时方案与负理想方案的贴近度越小，方案越优.所以综合方案与正、负理想方案之间的贴近度信息，给出如下的指标：其中ρ为决策者群体偏好，代表决策专家对正负理想方案的偏好程度.φi越大，方案越优.Step5 计算各个方案的模糊熵与散度指标根据属性权重信息及专家群体决策矩阵可以得到每个方案的综合评价值：其中根据公式（1）、（3）得第i个方案的散度值S（gi）、熵值E（gi），根据公式（2）、（4）求得各个s（gi）与e（gi）.Step6 求各个方案的综合排序指标值结合方案的熵信息、散度指标以及各方案与正、负理想方案之间的贴近度，得到每个方案的综合排序指标φi越大，方案越优.3 实例分析某生产公司进行新厂址选址，有四种可供选择的方案X1，X2，X3，X4，属性指标值有三个ζ1，ζ2，ζ3，假设三个指标均为效益型指标.专家群组为Z1，Z2，Z3，每个专家关于决策方案的属性评价值由三角模糊数给出.确定模糊决策矩阵：将模糊决策矩阵标准化：三位专家Z1，Z2，Z3分别为特别重要，很重要，一般重要，根据表1，三位决策专家的模糊权重用三角模糊数表示为：由公式（6）则三位专家的权重为：结合专家的权重，求出群体决策矩阵：求正负理想方案：确定各个方案与正负理想方案的贴近度，假设这里三个属性指标的权重分别为0.43，0.36，0.21.根据公式（7）可以求得根据三个属性的权重值与专家群体决策矩阵可以得到每个方案的评价值：G ＝［g1，g2，g3，g4］T ＝［（0.14，0.29，0.63）（0.16，0.30，0.69）（0.15，0.31，0.67）（0.13，0.31，0.72）］T.根据公式（1）、（2）、（3）、（4）计算得到利用公式（8）得到每个方案的综合评价值φ1 ＝0.780 2，φ2 ＝0.778 0，φ3 ＝0.769 3，φ4 ＝0.759 2，因而最优的方案为X1.4 总结笔者针对决策信息、属性权重为三角模糊数的模糊多属性群决策问题，利用方案与正、负理想方案之间的贴近度，融合方案的熵值信息、散度信息，提出一种新的排序方案的综合指标；同时，依据语言评价信息，将专家的语言权重信息转化为三角模糊数形式.给出一种新的解决模糊多属性群决策问题的方法.实例分析，验证了所述方法的合理与有效性，但是对于模糊多属性决策问题仍存在需要深入研究的问题，比如各种求解模糊多属性决策方法的比较等问题.参考文献：［1］冯向前，魏翠萍，李宗植.基于理想关联度的不确定多属性决策方法［J］.运筹与管理，2007，16（2）：24－29.［2］周晓光，张强.基于 Vague集的群决策方法研究［J］.数学的实践与认识，2007，37（19）：12－18.［3］陈晓红，阳曦.一种基于三角模糊数的多属性群决策方法［J］.系统工程与电子技术，2008，30（2）：278－288.［4］戴厚平.基于模糊数直觉模糊集的多属性决策方法［J］.模糊系统与数学，2013，27（2）：149－154.［5］郭欣.基于改进的信息熵为权重的模糊多属性决策［J］.中国科教创新导刊，2013，26：22－24.［6］曾三云.带有方案优先序的模糊多属性决策方法［J］.模糊系统与数学，2013，27（1）：132－136.［7］何霞，刘卫锋.一种有方案偏好的直觉模糊多属性决策方法［J］.运筹与管理，2013，22（1）：36－40.［8］彭展声，农秀丽.模糊多属性决策的最小偏差法［J］.统计与决策，2009，6：156－157.［9］胡丽芳，关欣，何友.一种新的灰色多属性决策方法［J］.控制与决策，2012，27（6）：895－898.［10］Abbasbandy S，Asady B.Ranking of fuzzy numbers by sign distance ［J］.Information Sciences，2006，16：2045－2416.［11］Ma M，Friedman M，AKandel.A new fuzzy arithmetic［J］.Fuzzy Set and Systems，1999，108：83－90.［12］Liu B D.Uncertainty theory：an introduction to its axiomatic foundations［M］.Berlin：Springer，2004.［13］蒋泽军.模糊数学教程［M］.北京：国防工业出版社，2010.。
毕达哥拉斯定理是几何学中著名的定理之一，而与之相关的三角模糊数更是一个深奥而有趣的概念。
在本文中，我将通过深度和广度的双重考量，全面评估三角模糊数与毕达哥拉斯定理，并撰写一篇有价值的文章，帮助您更全面、深入地理解这一主题。
1. 三角模糊数的概念三角模糊数是指由三个实数构成的数，这三个实数分别构成一个三角形的边长，而这样的数被称为三角模糊数。
它们在数学上有着重要的地位，可以应用于计算机科学、信号处理、模式识别等领域，并且在实际生活中也有诸多应用。
在了解三角模糊数的基本概念后，我们可以进一步探讨与之相关的毕达哥拉斯定理。
2. 毕达哥拉斯定理与三角模糊数的关系毕达哥拉斯定理是指直角三角形中，直角边的平方等于另外两条边的平方和。
而在三角模糊数的概念中，我们可以将其应用于直角三角形的边长计算中，进而推导出一种基于三角模糊数的毕达哥拉斯定理。
这种推导不仅能够更加深入地理解毕达哥拉斯定理的数学本质，也为三角模糊数的应用提供了更加丰富的可能性。
3. 三角模糊数与实际应用除了数学领域外，三角模糊数还具有诸多实际应用。
在工程领域中，利用三角模糊数可以更加准确地描述和计算复杂结构的边长，同时也可以应用于模糊逻辑和控制系统中。
在此方面，三角模糊数的深度和广度应用远远超出了数学领域的范畴，具有广阔的发展前景。
4. 对三角模糊数与毕达哥拉斯定理的个人见解通过对三角模糊数和毕达哥拉斯定理的深入探讨和应用，我认为这两者不仅体现了数学中的严谨性和逻辑性，更在实际应用中展现出了强大的可塑性和灵活性。
在今后的学习和工作中，我愿意进一步深入研究三角模糊数与毕达哥拉斯定理，探索其更广泛的应用领域，并且在实际工作中灵活运用这些知识，为科学技术的发展贡献自己的力量。
结语三角模糊数与毕达哥拉斯定理作为数学中重要的概念，不仅具有深厚的数学内涵，更在实际应用中发挥出了巨大的作用。
通过本文的全面评估和深度探讨，相信您对这一主题已经有了更加全面和深入的理解，也希望本文能为您的学习和工作带来一些启发和帮助。
三角模糊数与熵权法在实际的决策与评估中，我们常常会遇到一些具有不确定性的指标，例如质量、效益等等。
在这样的情况下，我们需要使用一些数学工具来帮助我们更好地进行决策与评估。
其中，三角模糊数与熵权法就是两个常用的数学工具。
一、三角模糊数的概念与意义首先要介绍的就是三角模糊数。
所谓三角模糊数，是指一个由三个数字（a，b，c）组成的数，它代表了一个模糊的量，其中a、b、c 分别代表该量的下限值、中心值和上限值。
通常情况下，我们可以使用一个三角形图形来表示三角模糊数，如下图所示：通过上图，我们可以更好地理解三角模糊数的概念与意义。
可以看到，三角模糊数是用三个数字表示一个模糊的量，这个量的范围在a 和c之间，但是最可能的值是b。
因此，我们可以利用三角模糊数来对一些模糊的概念进行描述，例如“高、中、低”等等。
二、三角模糊数的模糊集合与模糊熵在实际的应用中，我们通常需要将多个三角模糊数组成一个模糊集合。
这个模糊集合可以用来对一些事物的特征进行描述，例如对一份产品的质量、效益、价格等等进行描述。
而这个模糊集合的熵可以帮助我们衡量这个集合的不确定性。
通常情况下，熵越大，说明这个集合越不确定。
三、熵权法的概念及其应用接下来要介绍的是熵权法。
熵权法是一种常用的多指标综合评价方法，它的原理是利用各指标的熵值来确定各指标在综合评价中的权重。
通常情况下，熵值越大的指标在综合评价中所占的权重越小，反之亦然。
具体实现时，我们需要首先计算出各个指标的熵值，然后按照比重将各指标的熵值加权平均得到总熵。
最后，我们就可以通过各指标的熵值除以总熵来确定各指标在综合评价中所占的权重。
四、三角模糊数与熵权法的联合应用三角模糊数和熵权法是两个非常实用的数学工具，它们的联合应用可以帮助我们更好地进行决策与评估。
具体来说，在使用熵权法进行多指标综合评价的时候，我们可以将各指标的值转换成三角模糊数，然后再计算各指标的熵值以及总熵，最后通过除以总熵来确定各指标在综合评价中的权重。
第25卷第3期2010年6月 系 统 工 程 学 报J OURNAL OF SYSTE M S ENG I N EER INGV o.l25N o.3Jun.2010三角模糊数上的完备度量及其在决策中的应用兰 蓉1,范九伦2(1.西安电子科技大学电子工程学院,陕西西安710071;2.西安邮电学院信息与控制系,陕西西安710061)摘要:借助三参数区间数,利用三角模糊数的截集信息定义了三角模糊数之集上一个新的距离.证明了该距离具有完备性.利用这种距离,针对三角模糊数上的多属性决策问题,给出一种基于理想点的决策方法.对属性权重的归一化!处理使得这种方法具有简单易行的优点,并且克服了属性权重对决策产生双重化影响的问题.最后以实例说明该方法的有效性.关键词:三角模糊数;距离;完备性;理想点;多属性决策中图分类号:O235;C934 文献标识码:A 文章编号:1000-5781(2010)03-0313-07Co mplete m etric on tri angular fuzzy nu m bers andits application to decision maki ngLAN R ong1,FAN Jiu l u n2(1.School of E lectr onic Eng i n eeri n g,X idian Un i v ersity,X i∀an710071,Ch i n a;2.Depart m ent of I n f o r m ation and Contr o,l X i∀an Un i v ersity o f Post and Teleco mm un icati o ns,X i∀an710061,Ch i n a)A bstract:W ith the he l p of three para m eters interval num ber,a nove l distance on the set o f triangu lar fuzzy nu m bers is defined by using the i n f o r m ation o f cut of tri a ngu lar fuzzy num bers.And the co m pleteness of the proposed d istance is proved.U si n g t h e d istance,a m ethod based on techn i q ue for order pre ference by si m ilarity to i d ea l so l u ti o n(TOPSI S)is presented to deal w ith the mu lti at tr i b ute decisi o n m aki n g prob le m on triangular fuzzy numbers.By nor m alizi n g the w e i g hts of the at tr i b ute,t h e process o f dec ision m aking beco m es si m ple.And the proposed m ethod can overco m e the prob le m that the effects ofw e i g hting on the decision m ak i n g are doub led.F i n ally,a practical exa m ple is pr ov i d ed to sho w t h at the presented m ethod is effective.K ey words:triangu lar f u zzy num ber;distance;co mp leteness;i d ea l po i n;t m u lti attribute dec ision m ak i n g0 引 言在实际的决策过程中,信息与数据往往难以用确定的数字描述,而只能给出一定的取值范围.此时,如果用模糊数进行分析,可能更符合实际情况和人们的思维习惯.目前,这方面的研究已取收稿日期:2008-05-19;修订日期:2009-04-27.基金项目:陕西省教育厅科研计划资助项目(09J K720);西安邮电学院中青年科研基金资助项目(110-0412).得相当多的成果[1-2].鉴于三角模糊数(模糊数的一种特例)表述简单,便于分析使用,基于三角模糊数的决策问题的研究受到了学者们的关注[3-5].将三角模糊数应用于实际决策环境的一个关键环节是如何定义三角模糊数之间的距离,最常用的距离定义方式是基于H ausdo rff 度量[6]的定义方式.区间数可看成是一个特殊的模糊数.近年来,由区间数推广而来的三参数区间数引起了研究者的关注[7-8].尽管三角模糊数的截集是区间数,但可将其看成三参数区间数.本文借鉴文献[9]中模糊数的距离公式,借助于三参数区间数给出三角模糊数之间一种新的距离定义方式,该公式充分考虑到三角模糊数的信息并且具有完备性.基于这种新的距离公式,依据传统TOPS I S (tech n i q ue for order preference by si m ilar ity to i d ea l so l ution)方法的基本思路,针对属性值和属性权重均为三角模糊数的多属性决策问题,本文给出一种决策方法.这种方法通过对由三角模糊数所表示的属性权重进行归一化处理,使得决策过程较之文献[5]的决策方法计算量小,简便易行.1 三角模糊数上的距离及其完备性本文在实数集R 上讨论区间数、三参数区间数和三角模糊数问题.定义1 设A ~为R 上的模糊集,若A ~的隶属函数可表示为A ~(x )=0, x <ALx -ALA C -AL ,AL #x #A C x -A RA C -A R ,A C #x #A R 0, x >AR则称A ~为一个三角模糊数,记作A ~=(A L,A C,A R).将R 上全体三角模糊数所构成的集合记作TF (R ).定义2 设A ~=(A L,A C,A R),B ~=(B L,B C,B R)为两个三角模糊数,则A ~+B ~=(A L+B L,A C+B C,A R+B R)kA ~=(kA L ,k A C ,kA R),k ∃0(kA R,kA C,kA L),k <0定义3 若a =[a 1,a 2]={x |a 1#x #a 2},则称a 为一个区间数.当用区间数表示决策者判断时,有时为了覆盖整个取值范围,区间可能会取得过大,造成决策的不确定性程度增大.为此,文献[7]提出了三参数区间数的概念.文献[8]探讨了用三参数区间数进行决策的问题.三参数区间数在保持区间取值范围的同时,突出了取值可能性最大的重心点,在一定程度上弥补了区间数的不足.定义4 若a =[a l,a c,a r],其中a l#a c#a r,则称a 为一个三参数区间数.三角模糊数和三参数区间数之间存在着密切的关系.设A ~=(A L,A C,A R )为三角模糊数,则 %[0,1],在A ~的 -截集中添加第三个参数A C后得到三参数区间数A =[A l,A c,A r],其中A l=A L+ (A C-A L),A c=A C,A r=A R+ (A C-A R).因此,本文借鉴文献[9]定义的模糊数上的积分型距离,给出一种新的三角模糊数上的距离.定义5 设A ~,B ~%TF (R ), %[0,1],A =[A l ,A c ,A r ],B =[B l ,B c ,B r]为相应的 -截集.定义映射d &∋TF (R )(TF (R ) R 为d &(A ~,B ~)=)1d (A,B)d (1)其中d (A ,B )= 1|A l-B l|+ 2|A c-B c|+ 3|A r-B r |参数a 1>0, 2>0, 3>0.通常可要求 1+ 2+ 3=1.由连续函数积分的基本性质以及三角不等式可得定理1.定理1 (TF (R ),d &)是度量空间.在式(1)中,参数 1, 2, 3满足条件 1>0, 2>0, 3>0,它们可以看作权重值.若 1+ 2+ 3=1,则 1, 2, 3可被视为归一化权重.下面以常见的归一化权重为前提,给出一个特殊的表达式.通常认为三角模糊数中左,右端点应具有相同的功效,即 1= 3= (0< <1),由 1+ 2+ 3=1可知 2=1-2,故可得∗314∗系 统 工 程 学 报 第25卷d &(A ~,B ~)=)1( |A l -B l|+(1-2 )+|A c-B c|+ |A r-B r|)d (2)在式(2)中,参数 的不同取值,即三角模糊数左,右端点与隶属度最大的点的重要性程度不同时,可得到一些更具体的表述.将左,右端点以及隶属度最大的点同等看待,即 =13,则有d &1(A ~,B ~)=13)1(|A l -B l |+|A c -B c|+|A r-B r|)d(3)在具体应用时,使用者可根据实际情况对参数进行选取,得到合适的计算公式.定理2 度量空间(TF (R ),d &)是完备的.证明 要证明(TF (R ),d &)是完备的度量空间,只需证明TF (R )中的柯西(Cauchy )序列是收敛的即可.设{A ~n |n %N ,n ∃1} TF (R )为柯西序列,下面证明该序列是收敛的.由序列{A ~n |n %N ,n ∃1} TF (R )为柯西序列可知, >0,!N %N ,使得n,m >N 时,有d &(A ~n ,A ~m )< ,故可得)1|A l n -A l m |d <1 1 )1|A c n-A c m|d <12)1|A r n-A r m|d <13由|)1A l n-A l m )d |#)10|A ln-A lm |d 可知|(A L n-A L m)+(A C n-A Cm )2|<11 (4)由)10(A c n -A c m )d =A C n -A Cm 可得|A C n -A C m |<12(5)类似可得|(A Rn-A R m)+(A C n-A C m)2|<13 (6)由|A Ln -A Lm |#|(A Ln -A Lm )+A Cn -A Cm )|+|A Cn-A C m|可得|A L n -A L m |<(2 1+1 2) (7)同理可得|A R n -A R m |<(1 2+23)(8)依据实数集的完备性,由式(7)、式(5)和式(8)可知,实数列{A Ln |n %N ,n ∃1},{A Cn |n %N ,n ∃1},{A Rn |n %N ,n ∃1}均为柯西序列,故均为收敛数列.令li m n ,A Ln =A L,li m n ,A Cn =A C,li m n ,A Rn =A R可得一个三角模糊数A ~=(A L ,A C ,A R).下面证明{A ~n |n %N ,n ∃1}的极限为A ~=(A L,A C,A R).>0,由li m n ,A Ln =A L可知,!N 1%N ,使得n >N 1时有|A Ln -A L |< ;由li m n ,A Cn =A C 可知,!N 2%N ,使得n >N 2时有|A Cn -A C |< ;由li m n ,A Rn =A R可知,!N 3%N ,使得n >N 3时有|A Rn -A R|<.取N =m ax {N 1,N 2,N 3},当n >N 时,有 1)1|Al n -A l|d # 1)1|A L n -A L|d +1)1|(A Cn-A C)-(A Ln -A L)|d= 1|A L n -A L |+ 12|(A C n -A C )-(A L n -A L )| # 1|A L n -A L |+ 12|A C n -A C|+12|A L n -A L |<(3 12+ 12)=2 1 同理可得3)1|A rn -A r|d <2 3又2)1|A cn -A c|d < 2 故可知d &(A ~n ,A ~)<(2 1+ 2+2 3)∗315∗第3期 兰 蓉等:三角模糊数上的完备度量及其在决策中的应用由 的任意性可知,li m n ,A ~n =A ~,故(TF (R ),d &)是完备的.证毕.2 基于三角模糊数距离的TOPSIS 多属性决策由于模糊数在描述不确定信息方面更符合人们的思维和实际,模糊数,尤其是三角模糊数,在决策领域的应用受到学者们的普遍关注,并取得了大量的研究成果[3-5].本文针对属性值与属性权重均由三角模糊数表示的多属性决策问题,给出基于理想点的决策方法.令A ={A 1,A 2,−,A m }为备选方案集,C ={C 1,C 2,−,C n }为属性集(或指标集).假设备选方案A i (1#i #m )在各属性的特性由三角模糊数来描述A i ={A ~ij |1#j #n},1#i #m其中A ~ij =(A Lij ,A Cij ,A Rij ).另外,由于客观事物的复杂性和人类思维的模糊性,属性的权重也以三角模糊数的形式给出.设W =(W ~1,W ~2,−,W ~n )为属性权重向量,其中W ~j =(W L j ,W C j ,W Rj )(1#j #n)为属性C j 的权重.针对此决策问题,本文给出基于三角模糊数的TOPSIS 决策方法如下.首先得到决策矩阵D =(A ~ij )m (n ,其中A ~ij =(A Lij ,A Cij ,A Rij ),1#i #m,1#j #n;对D =(A ~ij )m (n 进行规范化处理[5]得到规范化决策矩阵R =(R ~ij )m (n ,其中R ~ij =(R Lij ,R Cij ,R Rij ),1#i #m,1#j #n.确定三角模糊数多属性决策问题的正、负理想点分别为E +={E ~j |1#j #n}={(m ax 1#i #m R Lij ,m ax 1#i #m R Cij ,m ax 1#i #m R Rij )|1#j #n}F -={F ~j |1#j #n }={(m in 1#i #m R Lij,m in 1#i #m R C ij,m in 1#i #m R R ij)|1#j #n}其次,对属性权重进行 归一化!处理.具体过程分2步进行.1)采用 均值面积法[2]!对W ~j =(W L j ,W Cj ,W Rj )(1#j #n )进行解模糊处理,即w &j ∀W Lj +2W Cj +W R j4,1#j #n (9)得到W &=(w &1,w &2,−,w &n );2)对W &=(w &1,w &2,−,w &n )进行 归一化!,即w j =w &j.n i=1w &i ,1#j #n(10)从而得到归一化属性权重向量W N=(w 1,w 2,−,w n )再次,方案A i (1#i #m )与正理想点E +的距离为D+i=.nj=1w j d &(A ~ij ,E ~j );与负理想点F -的距离为D -i=.n j=1w jd &(A ~ij,F ~j).最后依据相对贴近度S i =D -i(D +i +D -i )的大小进行排序,使S i 的值最大的A i 为最优方案.3 实例分析考核选拔干部是一个多因素的决策问题,决策者一方面要把德才优秀的人才选拔到领导岗位;另一方面,也希望在条件相当的情况下任用自己所偏爱的人才.某单位在对干部进行考核选拔时,首先制定了6项考核指标(即决策属性):思想品德(u 1)、工作态度(u 2)、工作作风(u 3)、文化水平和知识结构(u 4)、领导能力(u 5)和开拓能力(u 6),然后由群众推荐、评议,对各项指标分别打分,再进行统计处理,并从中确定了5名候选人:A 1,A 2,A 3,A 4和A 5.由于群众对同一候选人所给出的指标值(属性值)并不完全相同,因此经过统计处理后的每个候选人在各指标(属性)下的属性值是以三角模糊数形式给出的,具体的属性值如表1所示[5].∗316∗系 统 工 程 学 报 第25卷表1 各方案的属性值Tab le1Th e attr i bu te val u es of a lternati ves属性方案A1A2A3A4A5u1(0.80,0.85,0.90)(0.90,0.95,1.00)(0.88,0.91,0.95)(0.85,0.87,0.90)(0.86,0.89,0.95)u2(0.90,0.92,0.95)(0.89,0.90,0.93)(0.84,0.86,0.90)(0.91,0.93,0.95)(0.90,0.92,0.95)u3(0.91,0.94,0.95)(0.90,0.92,0.95)(0.91,0.94,0.97)(0.85,0.88,0.90)(0.90,0.95,0.97)u4(0.93,0.96,0.99)(0.90,0.92,0.95)(0.91,0.94,0.96)(0.86,0.89,0.93)(0.91,0.93,0.95)u5(0.90,0.91,0.92)(0.94,0.97,0.98)(0.86,0.89,0.93)(0.87,0.90,0.94)(0.90,0.92,0.96)u6(0.95,0.97,0.99)(0.90,0.93,0.95)(0.91,0.92,0.94)(0.92,0.93,0.96)(0.85,0.87,0.90) 假设决策者给出的各属性权重均由三角模糊数来刻画,即,属性权重向量为W=((0#10,0#15,0#20),(0#05,0#10,0#15),(0#20,0#25,0#30),(0#05,0#10,0#15)(0#15,0#20,0#25),(0#10,0#15,0#20))试用本文的方法对5名候选人进行排序.对表1的决策矩阵D进行规范化处理,得到规范化决策矩阵R.R=(0#17,0#19,0#21)(0#19,0#20,0#21)(0#19,0#20,0#21)(0#19,0#21,0#22)(0#19,0#20,0#21)(0#20,0#21,0#22) (0#19,0#21,0#23)(0#19,0#20,0#21)(0#19,0#20,0#21)(0#19,0#20,0#21)(0#20,0#21,0#22)(0#19,0#20,0#21) (0#19,0#20,0#22)(0#18,0#19,0#20)(0#19,0#20,0#22)(0#19,0#20,0#21)(0#18,0#19,0#21)(0#19,0#20,0#21) (0#18,0#19,0#21)(0#19,0#21,0#21)(0#18,0#19,0#20)(0#18,0#19,0#21)(0#18,0#20,0#21)(0#19,0#20,0#21) (0#18,0#20,0#22)(0#19,0#20,0#21)(0#19,0#20,0#22)(0#19,0#20,0#21)(0#19,0#20,0#21)(0#18,0#19,0#20)由R确定正、负理想点E+={(0#19,0#21,0#23)(0#19,0#21,0#21)(0#19,0#20,0#22)(0#19,0#21,0#22)(0#20,0#21,0#22)(0#20,0#21,0#22)} F-={(0#17,0#19,0#21)(0#18,0#19,0#20)(0#18,0#19,0#20)(0#18,0#19,0#21)(0#18,0#19,0#21)(0#18,0#19,0#20)}利用式(9)和式(10)得归一化!权重W N=(0#158,0#105,0#263,0#105,0#211,0#158)设决策者将三角模糊数的左、右端点以及隶属度最大的点同等看待,即d&采用式(3)计算.各方案的相对贴近度见表2,从而候选人的排序为A4∃A3∃A5∃A1∃A2,故A2为最优候选人.结果分析 使用文献[5]的决策方法对本节实例进行决策,各方案的相对贴近度见表2,可知候选人排序为A4∃A1∃A3∃A5∃A2,故A2为最优候选人.从选择最佳候选人的角度来看,本文的方法与文献[5]的方法所得结果一致;若从方案排序的角度来看,本文的方法与文献[5]的方法主要分歧在于对候选人A1的评价上.下面对产生这种分歧的原因进行分析与探讨,进而比较两种决策方法的优缺点.将本文的方法与文献[5]的方法对比,其差别主要体现在:1)采用的三角模糊数之间的距离公式不同;2)对属性权重的处理不同.文献[5]的方法采用先加权,后处理的过程进行决策,这使得文献[5]的方法与传统的TOPS IS方法同样面临着属性权重对决策产生双重化影响的问题[10].而本文的方法采用先处理,后加权的过程进行决策,能够有效地避免这种问题.为了明确产生分歧的原因,从距离和权重处理这两个方面进行分析,具体如下.在文献[5]的方法中也使用本文的距离公式(式(3))计算三角模糊数之间的距离.换句话说,本文的决策过程与文献[5]的方法相同,但计算各方案到理想点的距离由下式给出d+i(A i,t+)=.n i=1(d+ij)2d-i(A i,f-)=.n i=1(d-ij)2其中d+ij=d&(R~wij,(tLj,tCj,tRj))d-ij=d&(R~wij,(fLj,fCj,fRj))且∗317∗第3期 兰 蓉等:三角模糊数上的完备度量及其在决策中的应用t +={(t Lj ,t Cj ,t Rj )|1#j #n }和f -={(f Lj ,f Cj ,f Rj )|1#j #n }分别为正,负理想点[5];R w =(R ~wij)m (n 为加权规范化决策矩阵[5].以下称该方法为决策方法1.另外,若在文[5]的方法中对权重进行 归一化!处理,其它步骤与文献[5]的方法一致,可得到决策方法2,即,先求出归一化权重向量W N=(w 1,w 2,−,w n ),进而得到R w =(w j R ~ij )m (n .由此确定正、负理想点t +={t ~j |1#j #n }={w j E ~j |1#j #n }f -={f ~j |1#j #n }={w j F ~j |1#j #n }以上两式表明理想点可直接由规范化决策矩阵R 得到,而不需要对R 进行加权处理.各方案到理想方案的距离分别为d +i(A i ,t +)=.nj=1(d +ij)2=.nj=1(w j d +ij )2d -i (A i ,f -)=.nj=1(d -ij )2=.nj=1(w j d -ij )2其中d +ij=d (R ~ij ,E ~j )和d -ij=d (R ~ij ,F ~j )按文献[5]中三角模糊数之间的距离公式计算.紧接着,在本文的方法中放弃对属性权重的 归一化!处理,直接使用三角模糊数型权重向量,得到决策方法3.首先按文献[5]中的方法求出R w =(R ~wij )m (n ,并确定正、负理想点.由于针对加权规范化决策矩阵进行处理,各方案与理想点之间的距离按dis &(A,B )=.nj=1d &(A ~j,B~j)计算,其中A ={A ~j |1#j #n },B ={B ~j |1#j #n }.下面分别采用决策方法1,决策方法2和决策方法3对本节实例进行分析.鉴于篇幅有限,只将这些方法所得各方案的相对贴近度/列于表2.由表2可知决策方法1所得相对贴近度排序为S 4∃S 3∃S 5∃S 1∃S 2.这与本文的方法的排序结果一致;决策方法2所得相对贴近度排序为S 4∃S 1∃S 3∃S 5∃S 2.这与文献[5]的方法的排序结果一致;决策方法3所得相对贴近度排序为S 4∃S 3∃S 5∃S 1∃S 2.这与本文的方法的排序结果一致.表2 各方案的相对贴近度(采用式(3)计算距离)Tab le 2 Th e rel ative cl osen es s of alternati ves (calcu lating d istan ce by (3))相对贴近度方案A 1A 2A 3A 4A 5S i (本文的方法)0.617570.785560.439630.298390.49722S i (文献[5]的方法)0.511120.632780.549480.302680.55861S i (决策方法1)0.556340.743810.457680.334210.49046S i (决策方法2)0.524400.648110.546910.320340.58107S i (决策方法3)0.612570.774870.434550.293190.49215上述结果在一定程度上反映出本文的方法与文献[5]的方法产生分歧的主要原因是两种方法采用不同的公式计算三角模糊数的距离,而与是否采用权重的 归一化!处理没有直接关系.分别使用这两种方法针对本节实例进行决策时,对于权重的 归一化!处理不会引起评价结果的改变.比较本文的方法与文献[5]的方法,可以看到本文的方法由于对三角模糊数型权重进行了 归一化!处理,使得具体的计算过程得到一定程度的简化,且没有影响排序结果.与文献[5]中三角模糊数之间的距离公式比较,本文方法中使用的积分型距离公式在计算上较为复杂,但却充分地利用了三角模糊数的截集信息.文献[5]的方法采用的三角模糊数之间的距离公式相对简洁,但是由于直接使用三角模糊数型权重,使得计算过程相对复杂.如果在文献[5]的方法中采用权重的 归一化!处理方法(即决策方法2),可以有效地克服这一不足.∗318∗系 统 工 程 学 报 第25卷/在决策方法1和决策方法3中,d &采用式(3).需要指出,在上述计算中,是将三角模糊数左,右端点以及隶属度最大的点同等看待的(即使用式(3)).若更看重左,右端点,或更看重隶属度最大的点,如取 =25或 =14进行以上分析时,可得到与式(3)相同的结果.4 结束语在实际应用中,如何定义三角模糊数上的距离是一个关键问题.文献[5]中的公式只用到了三角模糊数的底层(即支撑集)信息.而本文借助于三参数区间数给出三角模糊数上的积分型距离,能够充分考虑三角模糊数的整体信息.针对属性值与属性权重均为三角模糊数的多属性决策问题,本文给出基于TOPS IS 的决策方法.通过对三角模糊数型属性权重的 归一化!处理,与文献[5]中直接使用三角模糊数型权重的方法相比,本文的方法在计算上更加简单.参考文献:[1]Hw ang C L,Y oon K.M ultiple A ttri bute D ec i s i on M ak i ng :M ethods and A ppli cations [M ].N ew Y ork :Spri ngerV erlag ,1981.[2]李登峰.模糊多目标多人决策与对策[M ].北京:国防工业出版社,2003.L iD eng feng .Fuzzy M u lti objecti ve M any P erson Dec isi on M ak i ngs and G a m es [M ].Be ijing :N ati ona l D efence IndustryP ress ,2003.(i n Ch i nese)[3]陈业华,邱菀华.群决策群体意见的一致性模糊分析[J].系统工程学报,2007,22(5):492-497.Chen Y ehua ,Q i u W anhua .Compati b ility fuzzy analysis on g roup dec i s i on m ak i ng [J].Journa l o f Syste m s Eng i neer i ng ,2007,22(5):492-497.(i n Ch i 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三角模糊多属性群决策的GRA扩展方法张市芳【摘要】针对属性权重信息和决策者权重信息完全已知,且属性值以三角模糊数形式表示的多属性群决策问题,提出了一种基于灰色关联分析(Grey Relational Analysis,GRA)拓展的决策分析方法.文中给出了三角模糊数的相关定义,利用三角模糊加权平均(Triangular Fuzzy Weighted Averaging,TFWA)算子集结所有的个体决策信息以获得群决策信息,依据传统GRA方法的基本思想建立了三角模糊多属性群决策问题的决策步骤.并对投资决策问题实例进行了决策和分析,表明了文中方法的实用性和可行性.【期刊名称】《西安工业大学学报》【年(卷),期】2018(038)006【总页数】5页(P652-656)【关键词】多属性群决策;三角模糊数;GRA方法;可能度【作者】张市芳【作者单位】西安工业大学计算机科学与工程学院/新型网络检测与控制工程国家地方联合实验室,西安 710021【正文语种】中文【中图分类】TP182;C934多属性决策是利用已有的决策信息，通过一定的方式对具有多个属性的有限个备选方案进行排序并且择优[1].其理论和方法在多个领域应用，如：人员选择、项目评估和故障诊断等.在现实生活中，由于人们思维的模糊性以及客观事物的不确定性和复杂性，在决策过程中属性值(决策信息)通常不能以精确的数值表示，而是以三角模糊数的形式给出.由于三角模糊数不仅可以有效地表示模糊信息的取值范围，还能突出取值可能性最大的重心点，从而表示模糊信息的精度很高，能客观确切地反映所研究的问题.为此，对属性值以三角模糊数形式表示的多属性决策问题的研究已经引起广泛关注并取得了一些研究成果.文献[2]针对三角模糊数多属性决策问题，提出一种新的规范三角模糊数与决策方案的相对相似度定义与三角模糊数相对相似度关系理论，利用相对相似度值的大小选取最优对象并排序，以此给出三角模糊数多属性决策的相对相似度关系的算法.文献[3]借鉴集对分析理论的思想，把三角模糊数转换成同异型二元联系数形式，依据传统的逼近理想解的排序方法，构建属性值的绝对正理想联系数和绝对负理想联系数，基于联系数距离提出了一种集对分析的三角模糊多属性决策方法.文献[4]针对属性权重完全未知且属性值为三角模糊数的多属性决策问题，提出了一种基于线性规划和模糊向量投影的决策方法.文献[5]借鉴区间DEA交叉效率思想，提出了三参数区间交叉效率DEA评价方法，提高了效率评价的有效性.文献[6]以前景理论为基础，将MULTIMOORA扩展到三角模糊数中，结合占优理论对备选方法进行比优，提出了一种新的决策分析方法.以上文献是各学者做出的理论方面的研究成果.另外有一些学者对三角模糊数多属性决策方法进行了应用研究.文献[7]对既有房屋结构安全管理进行了评价分析.文献[8]为了提高数控机床经典危害性分析的准确性，对多台XK7132型数控机床的故障现象利用三角模糊TOPSIS方法进行了分析.但是，众多文献考虑的都是单一决策者来进行决策的情况.然而在实际生活中，为了体现决策的科学合理，需要多个决策者一起参与来进行决策，也就是进行群决策.为此，文中将对其进行探讨，提出一种基于灰色关联分析(GRA)的三角模糊多属性群决策方法，并通过实例表明该方法的实用性和可行性.1 预备知识1.1 三角模糊数定义[9] 若其中0<aL≤aM≤aU，则称为一个三角模糊数，其特征函数(隶属函数)可表示为(1)式中：aL和aU分别为所支撑的下界和上界；aM为的中值.定义 [10] 设和为两个任意的三角模糊数，k为任意的正实数，则其运算法则有①[aL,aM,aU]+[bL,bM,bU]=[aL+bL,aM+bM,aU+bU]；②[aL,aM,aU]×[bL,bM,bU]=[aL×bL,aM×bM,aU×bU]；③④1.2 三角模糊多属性群决策问题描述对于某一多属性群决策问题，设X={x1,x2,…,xm}为方案集，D={d1,d2,…,dt}为决策者集，C={c1,c2,…,cn}为属性集，w={w1,w2,…,wn}T为属性的权重信息，其中为决策者的权重信息，其中假设决策者dk(k=1,2,…,t)给出方案xi(i=1,2,…,m)在属性cj(j=1,2,…,n)下的属性值为三角模糊数那么三角模糊多属性群决策问题的决策矩阵为k=1,2,…,t(2)1.3 三角模糊加权平均(TFWA)算子设为一组三角模糊数，ω=(ω1,ω2,…,ωn)T为的权重向量，则称(3)为三角模糊加权平均(TFWA)算子.2 三角模糊多属性群决策的GRA扩展方法基于三角模糊数的运算法则、三角模糊数大小比较的可能度公式以及TFWA算子，文中在传统GRA法[11]原理的基础上，提出一种三角模糊多属性群决策的GRA扩展方法.以三角模糊多属性群决策问题为基础，该算法的具体步骤如下：① 构造规范化的三角模糊决策矩(4)(5)式中：∀∀i}.类似地，可获得表示取小运算，Ωb，Ωc分别为效益型属性集合和成本型属性集合.② 利用TFWA算子将个体决策信息集成为群决策信息，构建集成的三角模糊决策矩阵(6)③ 确定参考数列([1,1,1],[1,1,1],…,[1,1,1])(7)④ 利用三角模糊数的距离公式[12]计算参考数列和属性值数列对应元素之间的Hamming距离Δij.(8)与此同时，能够得到所有距离的最大值Δmax和最小值Δmin.其中i=1,2,…,m,j=1,2,…,n.⑤ 计算各方案属性值数列和参考数列之间的灰色关联系数ξij.j=1,2,…,n(9)ρ称为分辨系数，ρ越小，分辨能力就越大.一般地，取ρ=0.5.⑥ 计算各方案属性值数列和参考数列之间的灰色关联度γi.(10)⑦ 根据灰色关联度γi(i=1,2,…,m)值的大小对方案进行排序并且择优.关联度值γi 越大，对应的方案就越优.3 实例分析某一风险投资公司计划进行项目投资，拟定的备选企业有4个xi(i=1,2,3,4)，制订了经济效益(c1)、社会效益(c2)和环境污染程度(c3)等3项评估属性.这里，c1和c2是效益型属性，c3是成本型属性.现有3个决策者dk(k=1,2,3)对备选企业的各项属性进行评价，得到的评价结果以三角模糊决策矩阵表示如下.设决策者的权重向量为ω(k)=[0.25,0.35,0.40]，属性的权重向量为w=[0.40,0.35,0.25]，试确定最佳的投资企业.公司起初使用原方法对投资方案进行选择，其步骤如下(i=1,2,3,4,j=1,2,3,k=1,2,3).① 利用计算各决策者对各投资方案的评价值；② 利用计算各决策者对各投资方案的加权总分；③ 利用计算各方案的总得分，并按其从大到小对方案进行排序.运用该步骤进行计算，结果为：G=[0.73 0.74 0.72 0.78]T.由于0.78>0.74>0.73>0.72，故原方法的排序结果为：x4>x2>x1>x3.利用文中提出的决策分析方法进行求解.式(4)、(5)对决策矩阵进行规范化处理，得规范化决策矩阵如下：利用式(6)构造集成的三角模糊决策矩阵.确定参考数列为利用式(8)计算Hamming距离，并利用式(10)计算各方案属性值数列和参考数列之间的灰色关联系数,从而获得灰色关联系数矩阵为利用式(10)计算灰色关联度，得到：γ1=0.832 7,γ2=0.791 6,γ3=0.7629,γ4=0.519 9.由于γ1>γ2>γ3>γ4，因此企业优劣顺序为x1>x2>x3>x4.从而最佳的投资企业为x1.从上述决策过程可以看出，两种决策方法的评价结果不一致，主要原因是原方法存在以下不足：① 消除了三角模糊数的计算，忽略了三角模糊数的内在含义；② 未对属性值进行无量纲化处理.文中给出的方法对这两方面都做了弥补，增加了决策结果的可靠性，具有一定的优越性.4 结论文中针对决策者权重和属性权重均已知且属性值以三角模糊数形式表示的多属性群决策问题，基于传统GRA方法的基本思想，提出了一种新的拓展分析方法.文中讨论了其实现的原理和步骤，通过对风险投资公司进行投资决策问题的案例分析，表明了所提出的决策方法的实用性和可行性.该方法具有结构清晰、计算简单、可操作性强、易于实现等优点，为三角模糊数多属性群决策问题的研究提供了一种新的解决思路.该方法可用于人员评估、医疗诊断、供应商选择等相关决策问题中，这是今后研究的一个内容.另一方面，文中所提出的决策方法考虑的仅仅是属性权重信息完全已知的情况，对属性权重信息部分未知和完全未知的情况尚未涉及，这是今后研究的又一内容.参考文献：【相关文献】[1] 徐泽水.不确定多属性决策方法及应用[M].北京：清华大学出版社，2004.XU Zeshui.Uncertain Multiple Attribute Decision-making Mehtod and ItsApplications[M].Beijing: Tsinghua University Press,2004.(in Chinese)[2] 陈雪,黄智力,罗键.基于相对相似度关系的三角模糊数型不确定多属性决策法[J].控制与决策,2016,31(12): 2232.CHEN Xue,HUANG Zhili,LUO Jian.Triangular Fuzzy Number-based Uncertain Multi-attribute Decision Making Method Based on Relative Similarity Degree Relation[J].Control and Decision,2016,31(12):2232.(in Chinese)[3] 胡凌云,袁宏俊,吴庆鹏.基于集对分析的三角模糊数多属性决策方法[J].武汉理工大学学报，2015,37(1):108.HU Lingyun,YUAN Hongjun,WU Qingpeng.Multiple Attribute Decision-making of Triangular Fuzzy Number Based on Set Pair Analysis[J].Journal of Wuhan University of Technology,2015,37(1):108.(in Chinese)[4] 杨静,邱菀华.基于投影技术的三角模糊数型多属性决策方法研究[J].控制与决策,2009,24(4):637. 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