【全国百强校】吉林省东北师范大学附属中学2013届高考数学第二轮复习导学案：第2讲++函数及性质

第2讲 函数及性质

一. 【复习目标】

1.理解函数单调性的概念,理解函数的周期性.

2.会利用函数的性质描绘函数的图象,讨论函数、方程、不等式相关问题.

3. 体会数形结合及函数与方程的数学思想方法.

二、【课前热身】

1．函数y=2xxee的反函数 ( )

A. 是奇函数，它在（0，+）上是减函数。

B. 是偶函数，它在（0，+）上是减函数。

C. 是奇函数，它在（0，+)上是增函数。

D. 是偶函数，它在（0，+)上是增函数。

2．若定义在R上的偶函数f（x）在（-，0）上是减函数，且)31(f=2。那么不等式2)(log81xf的解集为 ( )

（A）（0.5，1）),2( （B）（0，0.5）),2(。

（C）（0，0.5） （D）（2，+）

3．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且对一切xR，总有f（x+4）=f（x），

若f（63）=2，则f（5）与f（7）的大小关系是 -------------------

4．已知f（x）=8+2x-x2，如果g（x）=f（2-x2），那么g（x）( ）

（A）在区间（-2，0）上是增函数。 （B）在区间（0，2）上是增函数。

（C）在区间（-1，0）上是减函数。 （D）在区间（0，1）上是减函数。

三. 【例题探究】

例1．设函数12(1)()lgxxxnnafxn，其中a是实数，n是自然数，且n2，若f（x）当x]1,(时有意义，求a的取值范围。

例2．设函数2()log(1)fxx，当点（x，y）在y=f（x）的反函数图象上运动时，对应的点（3,2yx）在y=g（x）的图象上。

(1).求()gx的表达式。 (2).当1()()0gxfx时，求1()()()uxgxfx的最小值。

例3．定义在R上的单调函数f(x)满足2(3)log3f且对任意x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)．

(1)求证f(x)为奇函数；

(2)若f(k·3x)+f(3x-9x-2)＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

四、【方法点拨】

1.函数不等式的求解要注意结合函数的单调性,特别要重视定义域的作用

2.不等式恒成立问题要注意等价转化.

冲刺强化训练(2)

班级 姓名 学号 日期 月 日

1.函数)(xfy与xxg21)(的图象关于直线xy对称，则)4(2xf的单调递增区间是（ ）

,0.A 0,.B 2,0.C 0,2.D

2．方程3log3xx的解所在区间是（ ）

A．（0，2） B。（1，2） C.（2，3） D.（3，4） 3．设函数xxxf121)(的反函数为)(xh，又函数)1(),(xhxg的图象关于直线xy对称，，那么)2(g的值为 ( ）

A．-1 B.-2 C.54 D.52

4.设偶函数)(xf是定义在实数集上的周期为2的周期函数，当3,2x时，xxf)(

则当0,2x时，)(xf的解析式是（ ）

xxfA)(. xxfB2)(.

13)(.xxfC 12)(.xxfD

5.函数y)14(log221xx的单调递增区间是:

6．设定义在R上的函数)(xf的最小正周期为2，且在区间5,3内单调递减，则

)(),4(),2log(21fff的大小关系是：________________________.

7.已知函数21),(12)(aaxaxxxf

（1） 求函数)(xf的反函数。

（2） 如果)()(1xfxf，求a的值，并画出)(1xfy的图象。

8．给出函数)1(,4loglog)(2xxxfx

（1）对任意的实数1x都有axf)(，求实数a的范围。

（2）试判断)(xf在,4上的增减性，并给予证明

9 .设函数122()log(0).2xbfxbxb

(1) 求函数()fx的定义域；

(2) 判断函数()fx的奇偶性，并说明理由；

(3) 指出()fx在区间(,)b上的单调性，并予以证明.

第2讲 函数及性质答案

一、[课前热身]

1． C 2． B 3． )7()5(ff 4． C

二、[例题探究]

例1．分析：使函数f（x）=lgnannxxx)1(21有意义的x的集合满足：

0)1(21annxxx

即 )(121xgnnnnaxxx 。。。。。。①

因)(xf的定义域是]1,(，故对于一切1,x，①式恒成立。由函数

),,2,1(,1)(ninixhx在1,x上是减函数知函数)(xg在1,x

上是增函数。故)(xg在1,x上的最大值是

21)121()1(nnnnng。故所求范围是（),21n。

说明：利用函数的单调性求函数的值域或最值是一种重要的方法。

例2． 分析：(1)易求12)(1xxf。)14(31)(xxg。

（1） 由g（x）—f—1（x）0得：2,12x。121)232(31)(2xxu

故x2.121)(,2,123xu即121)(,23logmin2xux。

说明：二次函数nmxcbxaxxf,,)(2的最值不一定在顶点取得，当nmab,2时，)(xf的最值为)(),(nfmf。

例3． 分析：欲证f(x)为奇函数即要证对任意x都有f(-x)=-f(x)成立．在式子f(x+y)=f(x)+f(y)中，令y=-x可得f(0)=f(x)+f(-x)于是又提出新的问题，求f(0)的值．令x=y=0可得f(0)=f(0)+f(0)即f(0)=0，f(x)是奇函数得到证明．

(1)证明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x，y∈R)， ①

令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0．

令y=-x，代入①式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，则有

0=f(x)+f(-x)．即f(-x)=-f(x)对任意x∈R成立，所以f(x)是奇函数．

(2)解：f(3)=log23＞0，即f(3)＞f(0)，又f(x)在R上是单调函数，所以f(x)在R上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数．

f(k·3x)＜-f(3x-9x-2)=f(-3x+9x+2)， k·3x＜-3x+9x+2，

32x-(1+k)·3x+2＞0对任意x∈R成立．

令t=3x＞0，问题等价于t2-(1+k)t+2＞0对任意t＞0恒成立．

R恒成立．

说明：问题(2)的上述解法是根据函数的性质．f(x)是奇函数且在x∈R上是增函数，把问题转化成二次函数f(t)=t2-(1+k)t+2对于任意t＞0恒成立．对二次函数f(t)进行研究求解．本题还有更简捷的解法：分离系数由k·3x＜-3x+9x+2得

上述解法是将k分离出来，然后用平均值定理求解，简捷、新颖．

冲刺强化训练(2)

1. C 2、C 3．B 4.C 5. 32, 6． )4()()2log(21fff

7.（1）反函数)2(21xxaxy。（2）2a。图象略。

8 （1）22,a。（2）增函数。 9 .证明：（I）),1(,11]1,0(,11|11|)(xxxxxxf

故f(x)在（0，1]上是减函数，而在（1，+∞）上是增函数，由0

（II）0

曲线y=f(x)在点P（x0，y0）处的切线方程为：0002200021(),xxyyxxyxxx即

∴切线与x轴、y轴正向的交点为)2(1,0()0),2((0000xxxx和

故所求三角形面积听表达式为：2000000)2(21)2(1)2(21)(xxxxxxA