高考文科数学练习题基本不等式

课时跟踪检测（三十八） 基本不等式

[A级 基础题——基稳才能楼高]

1．函数f(x)＝xx＋1的最大值为(

)

A.25 B．12

C.22 D．1

解析：选B 显然x≥0.当x＝0时，f(x)＝0；当x>0时，x＋1≥2x，∴f(x)≤12，当且仅当x＝1时取等号，f(x)max＝12.

2，若a，b∈R，则下列恒成立的不等式是( )

A.|a＋b|2≥|ab| B．ba＋ab≥2

C.a2＋b22≥a＋b22 D．(a＋b)1a＋1b≥4

解析：选C 由于a，b∈R，所以A、B、D项不能直接运用基本不等式考察，先考虑C项．

∵a2＋b22－a＋b22＝2a2＋b2－a2＋2ab＋b24＝a2－2ab＋b24＝a－b24≥0，∴a2＋b22≥a＋b22.

3．(2018·东北三省四市一模)已知x>0，y>0，且4x＋y＝xy，则x＋y的最小值为( )

A．8 B．9

C．12 D．16

解析：选B 由题意可得4y＋1x＝1，则x＋y＝(x＋y)·4y＋1x＝5＋4xy＋yx≥5＋24xy×yx＝9，当且仅当4xy＝yx，即x＝3，y＝6时等号成立，故x＋y的最小值为9.

4．已知x，y都为正实数，且x＋y＋1x＋1y＝5，则x＋y的最大值是( )

A．3 B．3.5

C．4 D．4.5

解析：选C 因为x＋y＋1x＋1y＝x＋y＋x＋yxy≥x＋y＋x＋yx＋y22＝x＋y＋4x＋y，所以x＋y＋4x＋y≤5.令x＋y＝t.则t2－5t＋4≤0，解得1≤t≤4. 5．(2019·西藏林芝期中)若x，y均为正数，则3xy＋12yx＋13的最小值是( )

A．24 B．28

C．25 D．26

解析：选C 因为x，y均为正数，所以由基本不等式得3xy＋12yx＋13≥23xy·12yx＋13＝25，当且仅当x＝2y时等号成立，故3xy＋12yx＋13的最小值是25，故选C.

[B级 保分题——准做快做达标]

1．(2019·郑州外国语学校月考)若a>b>1，P＝lg a·lg b，Q＝12(lg a＋lg b)，R＝lg a＋b2，则( )

A．R

C．P

解析：选C ∵a>b>1，∴lg a>lg b>0，12(lg a＋lg b)>lg a·lg b，即Q>P.∵a＋b2>ab，∴lg a＋b2>lg ab＝12(lg a＋lg b)，即R>Q，∴P

2．(2019·湖北稳派教育联考)若x>0，y>0，则“x＋2y＝22xy”的一个充分不必要条件是( )

A．x＝y B．x＝2y

C．x＝2且y＝1 D．x＝y或y＝1

解析：选C ∵x>0，y>0，∴x＋2y≥22xy，当且仅当x＝2y时取等号．故“x＝2且y＝1”是“x＋2y＝22xy”的充分不必要条件，故选C.

3．(2019·豫西南联考)已知正项等比数列{an}的公比为2，若aman＝4a22，则2m＋12n的最小值为(

)

A．1

B．12

C.34 D．32

解析：选C 由题意知aman＝a212m＋n－2＝4a2122＝a2124，∴m＋n＝6，则2m＋12n＝162m＋12n(m＋n)＝16( 52＋2nm＋m2n )≥16×52＋2＝34，当且仅当m＝2n时取等号，∴2m＋12n的最小值为34，故选C.

4．(2019·岳阳一中模拟)已知a>b>0，则2a＋4a＋b＋1a－b的最小值为( ) A．6 B．4

C．23 D．32

解析：选A 因为4a＋b＋1a－b＝12a( 4a＋b＋1a－b )·[]a＋b＋a－b＝12a[ 5＋a＋ba－b＋4a－ba＋b ]≥12a(5＋4)＝92a(当且仅当a＝3b时取等号)，所以2a＋4a＋b＋1a－b≥2a＋92a≥6(当且仅当a＝32时后一个不等式取等号)，故选A.

5．(2019·甘肃诊断)已知向量a＝(3，－2)，b＝(x，y－1)，且a∥b，若x，y均为正数，则3x＋2y的最小值是( )

A.53 B．83

C．8 D．24

解析：选C 因为a∥b，故3(y－1)＝－2x，整理得2x＋3y＝3，所以3x＋2y＝13(2x＋3y)3x＋2y＝13( 12＋9yx＋4xy )≥1312＋2 9yx·4xy＝8，当且仅当x＝34，y＝12时等号成立，所以3x＋2y的最小值为8，故选C.

6．若实数a，b，c满足a2＋b2＋c2＝8，则a＋b＋c的最大值为(

)

A．9 B．23

C．32 D．26

解析：选D (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝8＋2ab＋2ac＋2bc.

∵a2＋b2≥2ab，a2＋c2≥2ac，b2＋c2≥2bc，

∴8＋2ab＋2ac＋2bc≤2(a2＋b2＋c2)＋8＝24，当且仅当a＝b＝c时取等号，∴a＋b＋c≤26.

7．(2019·林州一中模拟)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S8－2S4＝5，则a9＋a10＋a11＋a12的最小值为( )

A．10 B．15

C．20 D．25

解析：选C 由题意可得a9＋a10＋a11＋a12＝S12－S8，由S8－2S4＝5可得S8－S4＝S4＋5，由等比数列的性质可得S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，则S4(S12－S8)＝(S8－S4)2，综上可得：a9＋a10＋a11＋a12＝S12－S8＝S4＋52S4＝S4＋25S4＋10≥2S4×25S4＋10＝20，当且仅当S4＝5时等号成立．故a9＋a10＋a11＋a12的最小值为20.

8．(2019·赣州月考)半圆的直径AB＝4，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(PA―→＋PB―→)·PC―→的最小值是( )

A．2 B．0

C．－1 D．－2

解析：选D ∵O为AB的中点，∴PA―→＋PB―→＝2PO―→，从而(PA―→＋PB―→)·PC―→＝2PO―→·PC―→＝－2|PO―→ |·|PC―→|.又|PO―→|＋|PC―→|＝|OC―→|＝12AB＝2≥2|PO―→|·|PC―→|，∴|PO―→|·|PC―→|≤1，∴－2|PO―→|·|PC―→|≥－2，∴当且仅当|PO―→|＝|PC―→|＝1，即P为OC的中点时，(PA―→＋PB―→)·PC―→取得最小值－2，故选D.

9．(2019·玉溪月考)在△ABC中，若a2＋b2＝2c2，则内角C的最大值为( )

A.π6 B．π4

C.π3 D．2π3

解析：选C ∵a2＋b2＝2c2，∴由余弦定理得cos C＝a2＋b2－c22ab≥a2＋b2－c2a2＋b2＝2c2－c22c2＝12，当且仅当a＝b时取等号．∵C是三角形的内角，∴角C的最大值为π3，故选C.

10．(2019·淮安学情调研)已知正数x，y满足x＋2y＝3，则yx＋1y的最小值为________．

解析：∵x>0，y>0，x＋2y＝3，∴yx＋1y＝yx＋x＋2y3y＝yx＋x3y＋23≥2yx·x3y＋23＝23＋23，当且仅当yx＝x3y即x＝63－9，y＝6－33时等号成立，∴yx＋1y的最小值为23＋23.

答案：23＋23

11．(2019·嘉兴基础测试)若正实数m，n满足2m＋n＋6＝mn，则mn的最小值是________．

解析：由2m＋n＋6＝mn，m>0，n>0，得22mn＋6≤2m＋n＋6＝mn，令2mn＝t(t>0)，则2t＋6≤t22，即t2－4t－12≥0，解得t≤－2(舍)或t≥6，即2mn≥6，mn≥18，则mn的最小值是18.

答案：18

12．(2019·张掖月考)设a>0，b>1，若a＋b＝2，则3a＋1b－1的最小值为________．

解析：∵a>0，b>1，a＋b＝2，

∴3a＋1b－1＝3a＋1b－1(a＋b－1) ＝3＋3b－1a＋ab－1＋1

＝4＋3b－1a＋ab－1≥4＋23，

当3b－1a＝ab－1，

即a＝3－32，b＝3＋12时取等号，

故最小值为4＋23.

答案：4＋23

13．(2019·石家庄高三一检)已知直线l：ax＋by－ab＝0(a>0，b>0)经过点(2,3)，则a＋b的最小值为________．

解析：因为直线l经过点(2,3)，所以2a＋3b－ab＝0，所以b＝2aa－3>0，所以a－3>0，所以a＋b＝a＋2aa－3＝a－3＋6a－3＋5≥5＋2a－3·6a－3＝5＋26，当且仅当a－3＝6a－3，即a＝3＋6，b＝2＋6时等号成立．

答案：5＋26

14．(2018·唐山二模)已知a>0，b>0，c>0，d>0，a2＋b2＝ab＋1，cd>1.

(1)求证：a＋b≤2；

(2)判断等式ac＋bd＝c＋d能否成立，并说明理由．

解：(1)证明：由题意得(a＋b)2＝3ab＋1≤3a＋b22＋1，当且仅当a＝b时取等号．

解得(a＋b)2≤4，又a，b>0，

所以a＋b≤2.

(2)不能成立．

理由：由均值不等式得ac＋bd≤a＋c2＋b＋d2，当且仅当a＝c且b＝d时等号成立．

因为a＋b≤2，

所以ac＋bd≤1＋c＋d2.

因为c>0，d>0，cd>1，

所以c＋d＝c＋d2＋c＋d2≥c＋d2＋cd>c＋d2＋1≥ac＋bd，故ac＋bd＝c＋d不能成立．

15．(2019·孝感模拟)经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y(L)与速度x(km/h)(50≤x≤120)的关系可近似表示为y＝ 175x2－130x＋4 900，x∈[50，80，12－x60，x∈[80，120].

(1)该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最少？

(2)已知A，B两地相距120 km，假定该型号汽车匀速从A地驶向B地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？

解：(1)当x∈[50,80)时，y＝175(x2－130x＋4 900)＝175[(x－65)2＋675]，

所以当x＝65时，y取得最小值，最小值为175×675＝9.

当x∈[80,120]时，函数y＝12－x60单调递减，

故当x＝120时，y取得最小值，最小值为12－12060＝10.

因为9<10，所以当x＝65，

即该型号汽车的速度为65 km/h时，可使得每小时耗油量最少．

(2)设总耗油量为l L，由题意可知l＝y·120x，

①当x∈[50,80)时，l＝y·120x＝85x＋4 900x－130≥852 x×4 900x－130＝16，

当且仅当x＝4 900x，即x＝70时，l取得最小值，最小值为16；

②当x∈[80,120]时，l＝y·120x＝1 440x－2为减函数，

所以当x＝120时，l取得最小值，最小值为10.

因为10<16，所以当速度为120 km/h时，总耗油量最少．