配套K122019高中数学 第3章 数系的扩充与复数 3.1.3 复数的几何意义学案 新人教B版选修

小学+初中+高中+努力=大学

小学+初中+高中+努力=大学 3.1.3 复数的几何意义

1．掌握复数的几何意义，即能够掌握复数与复平面内的点的对应关系，掌握向量、复数及复平面上点的坐标之间的转化关系．

2．能够利用复数的几何意义解决一些较简单的题目．

1．复数的几何表示

根据复数相等的定义，复数z＝a＋bi被一个有序实数对(a，b)所______确定，而每一个有序实数对(a，b)，在平面直角坐标系中有唯一确定一点Z(a，b)(或一个向量OZ)．这就是说，每一个复数，对应着平面直角坐标系中唯一的______(或一个向量)；反过来，平面直角坐标系中每一个点(或每一个向量)，也对应着唯一的一个有序实数对．这样我们通过有序实数对，可以建立复数z＝a＋bi和点Z(a，b)(或向量OZ)之间的一一对应关系．点Z(a，b)或向量OZ是复数z的______表示(如图)．

复数z＝a＋bi一一对应有序实数对(a，b)一一对应点Z(a，b)．

【做一做1－1】对于复平面，下列命题中是真命题的是( )．

A．虚数集和各个象限内的点的集合是一一对应的

B．实、虚部都是负数的虚数的集合与第二象限内的点的集合是一一对应的

C．实部是负数的复数的集合与第二、三象限的点的集合是一一对应的

D．实轴上方的点的集合与虚部为正数的复数的集合是一一对应的

【做一做1－2】设z＝(2a2＋5a－3)＋(a2－2a＋3)i(a∈R)，则下列命题中正确的是( )．

A．z的对应点Z在第一象限

B．z的对应点Z在第四象限

C．z不是纯虚数

D．z是虚数

2．复平面

建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做______．在复平面内，x轴叫做______，y轴叫做______．x轴的单位是1，y轴的单位是i.实轴与虚轴的交点叫做原点，原点(0,0)对应复数0.

(1)复数与向量建立一一对应关系的前提是起点都是原点．

(2)复数z的几何表示为我们用向量方法解决复数问题或用复数方法解决向量问题创造了条件．

(3)为了方便起见，我们常把复数z＝a＋bi(a，b∈R)说成点Z或说成向量OZ，并规定：相等向量表示同一个复数．

【做一做2】下面有关复平面的命题，其中正确的有________．

①实轴与虚轴无交点；

②实轴上的点对应的复数为实数，虚轴上的点对应的复数为虚数； 小学+初中+高中+努力=大学

小学+初中+高中+努力=大学 ③实轴与虚轴的单位都是1；

④实数对应的点在实轴上，纯虚数对应的点在虚轴上．

3．复数的模、共轭复数

(1)设OZ＝a＋bi(a，b∈R)，则向量OZ的长度叫做复数a＋bi的____(或绝对值)，记作|a＋bi|，|a＋bi|＝________.

(2)如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为______复数．复数z的共轭复数用z表示．

说明：①复数z的模即有向线段的长度或两点间的距离．在数轴(一元坐标)上我们叫实数的绝对值，在直角坐标系(二元坐标)上我们叫向量的模，但叫绝对值也可以．其本质都是线段的长．②由|z|＝a2＋b2，得|z|2＝a2＋b2，而由a2＋b2＝(a＋bi)(a－bi)，可得公式z·z＝|z|2＝|z|2，这一公式在分解因式、复数与实数的互化、模及共轭复数的运算中都应用很广泛．

【做一做3－1】复数i＋2i2的共轭复数是( )．

A．2＋i B．2－i

C．－2＋i D．－2－i

【做一做3－2】满足条件|z|＝|3＋4i|的复数z在复平面上对应的点的轨迹是( )．

A．一条直线 B．两条直线

C．圆 D．椭圆

1．如何理解复数的两种几何形式？

剖析：

这种对应关系架起了联系复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法)，增加了解决复数问题的途径．

复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的点的坐标是(a，b)，而不是(a，bi)．复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的向量OZ是以原点O为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与OZ相等的向量有无数个．

2．复数的模、共轭复数有什么联系？

剖析：(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模用|z|表示，其公式为|z|＝a2＋b2，它既是z对应的向量OZ的长度又是其对应的点Z(a，b)到原点的距离．

(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数为z＝a－bi，它们对应的点关于实轴对称．当b＝0时，z＝z，此时z与z对应的点是实轴上的同一个点．如果z＝z，可以推得z为实数．由此可得z＝z⇔z为实数．|z|2＝z·z.

题型一 复数的几何表示

【例题1】已知a∈R，则z＝(a2－2a＋4)－(a2－2a＋2)i所对应的点在第几象限？复数z所对应的点的轨迹是什么？

分析：根据复数与复平面上点的对应关系知，复数z对应的点在第几象限与复数z的实部和虚部的符号有关；求复数z对应的点的轨迹问题，首先把z表示成为z＝x＋yi(x，y∈R)的形式，然后寻求x，y之间的关系，但要注意参数限定的条件． 小学+初中+高中+努力=大学

小学+初中+高中+努力=大学 题型二 共轭复数

【例题2】已知x－1＋yi与i－3x是共轭复数，求实数x与y的值．

分析：根据共轭复数及复数相等的概念列方程组求x，y.

反思：复数z的共轭复数用z来表示，即若z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi(a，b∈R)．在复平面内，点Z(a，b)对应复数z＝a＋bi(a，b∈R)；点Z(a，－b)对应复数z＝a－bi(a，b∈R)，点Z和Z关于实轴对称．

题型三 复数的模【例题3】

已知复数z1＝3－i，z2＝－12＋32i.

(1)求|z1|及|z2|的值并比较大小；

(2)设z∈C，满足条件|z2|≤|z|≤|z1|的点Z的集合是什么图形？

分析：根据模的定义及几何意义来求解．

反思：复数的模表示复数在复平面内对应的点到原点的距离．计算复数的模时，应先找出复数的实部与虚部，然后再利用公式进行计算，复数的模可以比较大小．

题型四 易错辨析

易错点：复数的模是实数的绝对值概念的扩充，但在求解有关问题时，不能当成实数的“绝对值”加以求解，否则易丢解、漏解，造成答案不完整或错误．

【例题4】求方程－5|x|＋6＝0在复数集上解的个数．

错解：∵－5|x|＋6＝0，∴5|x|＝6，即|x|＝65，

∴x＝±65，故原方程在复数集上有两个解．

1如果复数a＋bi在复平面内对应的点在第二象限，则( )．

A．a＞0，b＜0

B．a＞0，b＞0

C．a＜0，b＜0

D．a＜0，b＞0

2复数z＝3a－6i的模为40，则实数a的值为( )．

A．23 B．－23

C．±23 D．43

3若a，b∈R，z＝a＋bi，我们称复数－a－bi为z的相反复数，则( )．

A．复平面上表示z和它的相反复数的点关于虚轴对称

B．复平面上表示z的共轭复数z的点与表示z的相反复数的点关于虚轴对称

C．z的共轭复数z的相反复数是z

D．z的相反复数与z不相等

4复数z＝1＋itan 200°的模是________．

5已知θ∈0，π4，复数z＝2cos θ＋isin θ，则|z|的取值范围是________．

答案：

基础知识·梳理

1．唯一 一个点 几何 小学+初中+高中+努力=大学

小学+初中+高中+努力=大学 【做一做1－1】D 当虚数为纯虚数时，所对应的点位于虚轴上，不属于任何象限，因此选项A不正确；实、虚部都是负数的虚数的集合与第三象限内的点的集合是一一对应的，因此选项B不正确；实部是负数的实数所对应的点位于实轴上，不属于第二、三象限，因此选项C不正确；选项D正确．

【做一做1－2】D 由2a2＋5a－3＝(2a－1)(a＋3)，得其实部可正，可负也可以是零，而虚部a2－2a＋3＝(a－1)2＋2＞0，故z是虚数．

2．复平面 实轴 虚轴

【做一做2】④ 由于实轴与虚轴相交于原点，故①错；由于原点也在虚轴上，它与复数0对应，故②不正确；虚轴的单位为i，所以③错；④正确．

3．(1)模 a2＋b2 (2)共轭

【做一做3－1】D i＋2i2＝－2＋i，其共轭复数是－2－i.

【做一做3－2】C |3＋4i|＝32＋42＝5.故复数z的模为5，即点Z到原点的距离等于5，因此满足条件|z|＝5的点Z的集合是以原点为圆心，以5为半径的圆．

典型例题·领悟

【例题1】解：由于a2－2a＋4＝(a－1)2＋3＞0，

a2－2a＋2＝(a－1)2＋1＞0，

∴复数z的实部为正，虚部为负，即复数z对应的点在第四象限．

设z＝x＋yi(x，yR)，则

 x＝a2－2a＋4，y＝－a2－2a＋

上述两式相加，得x＋y＝2.

又x＝a2－2a＋4＝(a－1)2＋3≥3，

∴复数z对应的点的轨迹是一条射线，其方程为x＋y－2＝0(x≥3)．

【例题2】解：i－3x的共轭复数为－3x－i，所以

x－1＋yi＝－3x－i，从而 －3x＝x－1，y＝－1，解得 x＝14，y＝－1.

【例题3】解：(1)|z1|＝|3＋i|＝32＋12＝2.

|z2|＝|－12－32i|＝－122＋－322＝1.

所以|z1|＞|z2|.

(2)由|z2|≤|z|≤|z1|，得1≤|z|≤2.

因为|z|≥1表示圆|z|＝1上及其外部所有点组成的集合，|z|≤2表示圆|z|＝2上及其内部所有点组成的集合，故符合题设条件的点的集合是以O为圆心，以1和2为半径的圆所夹的圆环(包括边界)，如图． 小学+初中+高中+努力=大学

小学+初中+高中+努力=大学

【例题4】错因分析：错解中将|x|看成了实数的绝对值，忽略在复数集上解方程而导致错误．

正解：设x＝a＋bi(a，bR)，原方程可化为a2＋b2＝65，即a2＋b2＝3625，在复平面上满足此条件的点有无数个，所以原方程在复数集上有无数个解．

随堂练习·巩固

1．D

2．C ∵(3a)2＋(－6)2＝40，∴a＝±23.

3．B 选项A中应关于原点对称；选项C中因为z＝a－bi，则z的相反复数为－a＋bi，并非等于z；选项D中若z为纯虚数，则z的相反复数与z相等．

4．1cos 20° |z|＝12＋tan2200°＝1＋tan220°＝1cos220°＝1cos 20°.

5．102，2 ∵|z|＝θ2＋θ2＝4cos2θ＋sin2θ＝1＋3cos2θ，

又θ0，π4，∴22≤cos θ≤1，∴52≤1＋3cos2θ≤4，

故102≤|z|≤2.