上海高中数学-复数讲义

上海高考数学复数知识点复数，作为高考数学中的一个重要概念，广泛应用于各个数学分支中。

对于上海高考来说，对复数的理解和应用是考生必备的数学知识之一。

本文将全面介绍上海高考数学中的复数知识点，帮助考生更好地掌握这一内容。

一、复数的引入1. 实数的不完备性在高中数学中，我们知道实数是由有理数与无理数构成的。

然而，即便是把这两类数合并在一起，仍然有些问题无法解决。

例如，方程x²=-1在实数范围内无解，这就引出了复数的概念。

2. 复数的定义复数由实部和虚部构成，形如a+bi。

其中，a为实数部分，bi为虚数部分，i为虚数单位，满足i²=-1。

复数可以用平面上的点表示，实部对应的是点在实轴上的投影，虚部对应的是点在虚轴上的投影。

二、复数的运算1. 加法和减法复数的加法就是实部相加，虚部相加。

例如，(3+2i)+(5+4i)=8+6i。

减法同理，即实部相减，虚部相减。

2. 乘法和除法复数的乘法则是根据分配律展开进行计算。

例如，(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。

复数的除法可以通过有理化的方法进行，具体推导与实数的除法类似。

3. 共轭复数一个复数的共轭复数由实部保持不变，虚部变号得到。

例如，对于复数a+bi，它的共轭复数为a-bi。

共轭复数的应用十分广泛，例如求复数的模、求复数的平方等等。

三、复数的性质和定理1. 关于复数的模复数的模是指复数到原点的距离，记作|z|。

对于复数a+bi，它的模为√(a²+b²)。

复数的模具有非负性、三角不等式和模的性质等特点。

2. 欧拉公式欧拉公式是数学中一条重要的公式，被广泛应用于各个领域。

它的表达形式为e^(ix)=cos(x)+isin(x)，其中e表示自然对数的底，i为虚数单位，x为实数。

3. 复数根的性质对于复数z的n次方根，一共有n个解。

这些解在平面上均匀分布在一个圆周上，称为复数单位圆。

复数根的求解可以利用欧拉公式和三角函数理论来处理。

复数一、知识点梳理： 1、i 的周期性：44n+14n+24n+34ni =1，所以，i =i, i =-1, i =-i, i =1 n Z4n 4n 1 4n 2 4n 3IIIiC a bi | a,b R 叫做复数集。

3、 复数相等：a bi cdi a c 且b=d ； a bi 0 a 0且b=0实数(b=0)4、 复数的分类：复数Za bi 七—一般虚数(b 0,a 0)虚数(b 0)纯虚数(b 0,a 0)虚数不能比较大小，只有等与不等。

即使是3 i,6 2i 也没有大小。

uu uu r ------- r5、 复数的模：若向量OZ 表示复数 乙则称OZ 的模r 为复数z 的模，z |a bi | ,a 2 b 2 ；积或商的模可利用模的性质(1) z 1 L z nZ 1 Z 2 L Z n ,(2)引Z 2Z 2Z 26、 复数的几何意义：复数z a bi a,b R一一对应复平面内的点Z(a,b)一一对应uu复数Z a bi a,b R平面向量OZ , 7y 轴叫做虚轴.，实轴上的点都表示实数;除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数&复数代数形式的加减运算 复数 Z 1 与 Z 2 的和：z 1+z 2=(a +bi )+( c +di )=( a +c )+( b +d ) i . a, b, c, d R 复数 Z 1 与 Z 2 的差：z 1- z 2=( a +bi )-( c +di )=( a - c )+( b - d ) i . a, b, c, d R 复数的加法运算满足交换律和结合律数加法的几何意义： 复数乙=a +bi ，Z 2=c +di a,b,c,d R ； OZ = OZ 1 +OZ 2 =(a ，b )+( c ,d )=( a +c , b +d ) = (a +c )+( b +d ) iuu u uuur ujur复数减法的几何意义：复数Z 1-Z 2的差(a - c )+( b - d )i 对应•由于Z 2Z 1 OZ 1 OZ 2,两个复数的差Z — Z 1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应 9.特别地，z ABz B —Z A , z AB AB z B z A 为两点间的距离。

上海市高二下学期复数的概念及其运算【学习要点】1.把形如)(R b a bi a ∈+、的数叫做双数，用字母z 表示，即=z )(R b a bi a ∈+、， 其中a 叫做双数z 的实部，记作z Re ，b 叫做双数z 的虚部，记作z Im ，i 叫 做虚数单位，规则：12-=i . 双数全体所组成的集合叫做双数集，用字母C 表 示. 双数包括实数和虚数，规则12-=i .2.双数bi a z +=，事先0=b ，双数z 为实数；事先0≠b ，双数z 为虚数；当0=a 且0≠b 时，z 叫做纯虚数.3.假设两个双数bi a z +=1和di c z +=2相等，那么c a =且d b =.4.共轭双数：实部相等虚部相反的两个双数互为共轭双数，双数z 的共轭双数用 z 来表示，假定bi a z +=，那么bi a z -=.5.关于双数bi a z +=，我们把22b a +叫做双数z 的模.记z ，即=z 22b a +. 特别地，z z =.6.双数加减法：设bi a z +=1，di c z +=2，那么i d b c a z z )()(21±+±=±.7.双数乘除法：设bi a z +=1，di c z +=2，那么i ad bc bd ac z z )()(21++-=⋅；8.双数的乘方：n m n m z z z +=⋅，mn n m z z =)(，n n n z z z z 2121)(⋅=⋅.我们规则10=z ，)0(1≠=-z zz n n ，特别地，14=n i ；i i n =+14；124-=+n i ；i i n -=+34.9.双数的开方：它是乘方的逆运算，设bi a z +=1，di c z +=2，且满足21z z n=，即di c bi a n+=+)(，那么称1z 是2z 的一个n 次方根. 特别地，i ±是1-的一个立方根，1的立方根是1、i 2321±-. 10.双数的模的运算性质：①2121z z z z ⋅=⋅；②)0(22121≠=z z z z z ；11.共轭双数运算性质：①2121z z z z +=+，2121z z z z -=-；②)0(22121≠=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛z z z z z ；【例题解说与训练】例1.双数i 43+，i 2-，i ，2π，0，i 2.(1)指出它们哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？ (2)求出上述双数的模及它们的共轭双数. 〖变式训练1〗1.请说出双数i i 31,5,32--+的实部和虚部.2.双数 72+，618.0，i 72，0，i ，2i ，85+i ，i 293-中为实数的有 ，为虚数的有 ，为纯虚数有 .3.命题：①假定C z z ∈21,，且21z z =，那么21z z ±=；②假定R b a ∈,，且b a >， 那么bi ai >；③与自身共轭的双数一定是实数.其中正确的序号为 .例2.实数m 取何值时，双数i m m m m m z )65(3222++++-+=是〔1〕实数？〔2〕虚数？〔3〕纯虚数？〖变式训练2〗1.实数m 区分取什么值时，双数()i m m z 11-++=是(1)实数？(2)虚数？(3) 纯虚数？2.假定双数()()i m m m m 36522-++-为纯虚数，试务实数m 的值. 3.R b a ∈,,指出不等式i b a b i a b a )62(5)(2-++-->--+-成立的条件. 例3.计算：〔1〕)43()2()65(i i i +---+-=〔2〕)20182017()54()43()32()21(i i i i i -++-+-+-+- = 〖变式训练3〗 1.计算：〔1〕)65()43()21(i i i +--++=〔2〕i i i i i i i i 2018201765432-+⋅⋅⋅+-+-+-=2.命题：①假定两个虚数1z 、2z 的和是实数，那么1z 、2z 是共轭双数；②假定1z 、2z 是共轭双数，那么1z -2z 是纯虚数； 假定双数0=+z z ，那么z 是纯虚数.其中正确的序号是 .3.两个双数1z 和2z ，它们之和是i )21()12(-++，它们之差是+-)12( i )21(+，求1z 、2z .例4.双数1z 、2z 满足121==z z ，且i z z 232121+=+.求1z 、2z 的值. 〖变式训练4〗1.双数i z +=21，i z 212+=，那么双数12z z z -=在复平面内所表示的点位于〔 〕(A)第一象限 (B)第二象限 (C )第三象限 (D)第四象限2.复平面上三点C B A 、、区分对应双数i i 25,2,1+ ，那么由C B A 、、所构成的 三角形是〔 〕(A)直角三角形 (B)等腰三角形 (C)锐角三角形 (D)钝角三角形 3.设双数z 满足2=z ，求i z -的最大值及此时的双数z . 例5.1z 、2z 是双数，1)31(z i +为纯虚数，iz z +=212，且252=z ，求2z . 〖变式训练5〗1.双数z 满足i z i 34)21(+=+，那么z = .2.双数21iz i-=+在复平面内对应的点位于 ( ) 〔A 〕第一象限 〔B 〕第二象限 〔C 〕第三象限 〔D 〕第四象限3.假定将双数2i i +表示为a bi +(,a b R ∈)的方式，那么ab的值为( )（A ）2- 〔B 〕21- 〔C 〕2 〔D 〕21例6.设z 是虚数，zz 1+=ω是实数，且21<<-ω. （1）求z 的值及z 的实部的取值范围； （2）设zzu +-=11，求证：u 为纯虚数； （3）求2u -ω的最小值.〖变式训练6〗1.假定双数z 同时满足条件：①6101≤+<zz ；②z 的实部、虚部都是整数.求z . 2.假定双数z 满足1=z ，求证：R zz∈+21. 3.设C z ∈，求满足R zz∈+1且22=-z 的双数z . 例7.〔1〕201832ii i i +⋅⋅⋅+++= .〔2〕i 24143-的平方根是 . 〖变式训练7〗1.100432100432ii i i i +⋅⋅⋅++++= .2.i 247-的平方根是 .3.计算：n 为奇数时，求nn i i i i 22)11()11(+-+-+的值. 例8.设ω是1的立方虚根. (1)求ω；(2)求证：ωω=2； (3)求证：012=++ωω. 〖变式训练8〗1.ω是1的立方虚根，那么2018321ωωωω+⋅⋅⋅++++= . 2.ω为13=x 的一个虚根，那么)1)(1)(1)(1(842ωωωω++++= . 3.012=++x x ，那么504030x x x ++的值为= .例9.〔1〕双数4523213)23()()43(-++=i i z 的模为= .〔2〕设双数z 满足1=z ，求22+-z z 的最大值和最小值，并求相应的z .〖变式训练9〗1.双数2105)31()21()247()43(i i i i i z +--+---=的模为= . 2.假定C z z ∈21,，2121z z z z +是〔 〕（A ）纯虚数 〔B 〕实数 〔C)虚数 〔D 〕不能确定3.假定双数21,z z 满足31=z ，52=z ，721=-z z ，求21z z .例10.设双数21,z z 满足关系式02121=++z A z A z z ，其中A 为不等于0的双数. 求证：〔1〕221A A z A z =++；〔2〕Az Az A z A z ++=++2121. 〖变式训练10〗1.〔1〕C z z ∈21,，11=z ，求21211z z z z ⋅--的值；〔2〕假定双数321,,z z z 的模均为3，求321321111z z z z z z ++++的值. 2.21,z z 为非零双数，且满足2121z z z z -=+，求证：221⎪⎪⎭⎫⎝⎛z z 一定为正数.3.设双数21,z z 满足01222121=+-+⋅iz iz z z . 〔1〕假定i z z 212=-，求1z 和2z ； 〔2〕假定31=z ，求证：i z 42-为常数.。