名师预测1．设01a b <<<，则下列不等式成立的是( )A ．33a b >B ．11a b <C ．1ba >D ．lg 0b a -<()2、如果0a b <<,那么下列不等式成立的是（ ）A ．11a b < B ．2ab b < C ．2ab a -<-D ．11ab -<-3、若直线20ax by -+=(a ＞0，b ＞0)被圆222410x y x y ++-+=截得的弦长为4，则11a b +的最小值为（）A. 14B.C. 32+D. 32+4、已知一元二次不等式()<0f x 的解集为{}1|<-1>2x x x 或,则(10)>0xf 的解集为（ ）A ．{}|<-1>lg2x x x 或B ．{}|-1<<lg2x xC ．{}|>-lg2x x D ．{}|<-lg2x x5、若变量,x y 满足约束条件211y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩,2x y +则的最大值是（ ）A ．5-2 B ．0C ．53D ．526、已知实数x y ，满足2203x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，，，则2z x y =-的最小值是（）A. 7B. -5C. 4D. -77、如果实数,x y 满足不等式组1,10,220,x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩则22x y +的最小值是A ．25B ．5C ．4D ．18、已知点),(n m A 在直线022=-+y x 上，则nm42+的最小值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．89、某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克;生产乙产品1桶需耗A 原料2千克,B 原料1千克.每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是（ ）A ．1800元 B ．2400元 C ．2800元 D ．3100元10、若直线2=+by ax 经过点)sin ,(cos ααM ，则 …………………（）（A ）422≤+b a ．（B ）422≥+b a ．（C ）41122≤+b a ．（D ）41122≥+b a ．11．制作一个面积为1 m 2，形状为直角三角形的铁架框，有下列四种长度的铁管供选择，较经济的(够用，又耗材最少)是()A ．4.6 mB ．4.8 m C ．5 mD ．5.2 m12．设,,,,,a b c x y z 是正数,且22210a b c ++=,22240x y z ++=,20ax by cz ++=,则a b cx y z ++=++（ ）A ．14B ．13C ．12D ．3413、不等式220x x +-<的解集为___________.14．若10x +>，则11x x ++的最小值为．15、对于R x ∈，不等式aa x x 2122-≥++-恒成立，则实数a 的取值范围是．16已知222,,,236,49a b c a b c a b c ∈++=++则的最小值为. 17．已知函数f （x ）=x 2+2x+a （共10分）（1）当a=21时，求不等式f （x ）>1的解集；（4分）（2）若对于任意x ∈[1，+∞），f （x ）>0恒成立，求实数a 的取值范围；（6分） 18、某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比，比例系数为k .轮船的最大速度为15海里/小时.当船速为10海里/小时，它的燃料费是每小时96元，其余航行运作费用（不论速度如何）总计是每小时150元.假定运行过程中轮船以速度v 匀速航行．（1）求k 的值；（2）求该轮船航行100海里的总费用W （燃料费+航行运作费用）的最小值. 19．甲厂以x 千克/小时的速度运输生产某种产品(生产条件要求110x ≤≤),每小时可获得利润是3100(51)x x +-元. (1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元,求x 的取值范围;(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?并求最大利润.20．已知()|1||1|,()4f x x x f x =++-<不等式的解集为M 。
考研数学一（高等数学）模拟试卷140(题后含答案及解析)全部题型 3. 解答题解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1．求(x＋1)ln2(x＋1)dx．正确答案：涉及知识点：高等数学2．求定积分：(I)J＝min｛2，x2｝dx；(II)J＝(1一｜t｜)dt，x≥一1．正确答案：(Ⅰ)min｛2，x2｝＝于是涉及知识点：高等数学3．设n为正整数，利用已知公式，其中，求下列积分：(I)Jn＝sinxndx；(II)Jn ＝(x2－1)ndx．正确答案：涉及知识点：高等数学4．设函数f(x)在(一∞，＋∞)内满足f(x)＝f(x一π)＋sinx且f(x)＝x，x∈[0，π)，求f(x)dx．正确答案：解析：由于题目只给出了f(x)在区间[0，π)上的具体表达式，为计算在[π，3一π]上的积，就应该通过换元法使其积分区间落到[0，π)上．另外，也可以通过f(x)＝f(x—π)＋sinx及f(x)在[0，π)上的表达式，求出f(x)在[π，3π)上的表达式，然后再求积．这里所采用的是第一种方法，读者可采用第二种方法计算．知识模块：高等数学5．求无穷积分．正确答案：J＝[ln(1＋x)—lnx—]dx，而∫[ln(1＋x)—lnx＝]dx＝∫[ln(1＋x)—lnx]dx—＝x[ln(1＋x)—lnx]—dx—＝xln＋C，因此涉及知识点：高等数学6．设f(x)＝求f(x)的不定积分．正确答案：当x＜0时，f(x)＝∫sin2xdx＝cos2x＋C1当x＞0时，f(x)＝∫ln(2x ＋1)dx＝xln(2x＋1)—＝xln(2x＋1)—∫dx＋＝xln(2x＋1)—x＋ln(2x＋1)＋C2，为了保证F(x)在x＝0点连续，必须C2＝＋C1 (*)特别，若取C1＝0，C2＝就是f(x)的一个原函数．因此∫f(x)dx＝F(x)＋C＝解析：本题的被积函数是分段定义的连续函数，则f(x)存在原函数，相应的原函数也应该分段定义．然而按照原函数的定义，F’(x)＝f(x)，即F(x)必须是可导的，而且导数是f(x)．这样，F(x)首先就应该连续，下面就是按照这一要求，利用连续拼接法把分段定义的原函数黏合在一起，构成一个整体的原函数．知识模块：高等数学7．设f’(x)＝arcsin(x一1)2，f(0)＝0，求．正确答案：∫01f(x)dx＝∫01f(x)d(x—1)＝(x—1)f(x)｜01-∫01(x—1)f’(x)dx ＝f(0)—∫01(x—1)f’(x)dx＝-∫01(x—1)arcsin(x—1)2dx＝arcsin(x—1)2d(x—12) 涉及知识点：高等数学8．设a＞0，f(x)在(－∞，＋∞)上有连续导数，求极限[f(t＋a)－f(t－a)]．正确答案：【解法一】记I(a)＝[f(t＋a)—f(t—a)]dt，由积分中值定理可得I(a)＝[f(ξ＋a)—f(ξ—a)]·2a＝[f(ξ＋a)—f(ξ—a)]，—a＜ξ＜a．因为f(x)有连续导数，应用拉格朗日中值定理可得I(a)＝f’(η)·2a＝f’(η)，ξ—a＜η＜ξ＋a．于是＝f’(0)．【解法二】涉及知识点：高等数学9．求[φ(x)－1]f(t)dt，其中f(t)为已知的连续函数，φ(x)为已知的可微函数．正确答案：＝φ’(x)f(t)dt＋φ(x)f[φ(x)]φ’(x)—φ(x)f[φ(x)]φ’(x)＝φ’(x)f(t)dt 涉及知识点：高等数学10．设f(x)在(一∞，＋∞)连续，在点x＝0处可导，且f(0)＝0，令(I)试求A的值，使F(x)在(一∞，＋∞)上连续；(II)求F’(x)并讨论其连续性．正确答案：(I)由变上限积分性质知F(x)在x≠0时连续．为使其在x＝0处连续，只要F(x)＝A．而故令A＝0即可．(Ⅱ)当x≠0时F’(x)＝在x＝0处，由导数定义和洛必达法则可得故F’(x)在(一∞，＋∞)上连续．涉及知识点：高等数学11．设x∈[0，a]时f(x)连续且f(x)＞0(x∈(0，a])，又满足f(x)＝，求f(x)．正确答案：因f(x)＝f2(x)＝dt，(*)由f(x)连续及x2可导知f2(x)可导，又f(x)＞0，从而f(x)可导，且[f2(x)]’＝2f(x)f’(x)，故将上式两边对x求导，得2f(x)f’(x)＝f(x)·2xf’(x)＝x．在(*)式中令x＝0可得f(0)＝0．于是(*)式两边积分得涉及知识点：高等数学12．求函数f(x)＝在区间[e，e2]上的最大值．正确答案：若f(x)在[a，b]上连续，其最大(小)值的求法是：求出f(x)在(a，b)内的驻点及不可导点处的函数值，再求出f(a)与f(b)，上述各值中最大(小)者即最大(小)值；若f(x)单调，则最大(小)值必在端点处取得．由可知f(x)在[e，e2]上单调增加，故涉及知识点：高等数学13．求星形线(a＞0)所围区域的面积A．正确答案：图形关于x，y轴均对称，第一象限部分：0≤x≤x，0≤y≤，涉及知识点：高等数学14．求下列旋转体的体积V：(I)由曲线y＝x2，x＝y2所围图形绕x轴旋转所成旋转体：(II)由曲线x＝a(t—sint)，y＝a(1一cost)(O≤t≤2π)，y＝0所围图形绕y轴旋转的旋转体．正确答案：(I)如图3．2，交点(0，0)，(1，1)，则所求体积为(Ⅱ)如图3．3，所求体积为V＝2π∫02πayxdx＝2π∫02πaa(1＝cost)a(t—sint)a(1—cost)dt＝2πa3∫02π(1—cost)2(t—sint)dt＝2πa3∫02π(1—cost)2tdt—2πa3∫-ππ(1—cost)2sintdt＝2πa3∫02π(1—cost)2tdt[1—cos(u＋π)]2(u＋π)du＝2πa3∫-ππ(1＋cosu)2udu＋2π2a3∫-ππ(1＋cosu)2du＝4π2a3∫0π(1＋cosu)2du＝4π2a3∫0π(1＋2cosu＋cos2u)du＝4π2a3(π＋)＝6π3a3．涉及知识点：高等数学15．设两点A(1，0，0)与B(0，1，1)的连线绕z轴旋转一周而成的旋转面为S，求曲面S与z＝0，z＝1围成的立体的体积．正确答案：直线方程：上任意点(x，y，z)与z轴的距离的平方为：x2＋y2＝(1一t)2＋t2＝z2＋(1一z)2，则S(z)＝π[z2＋(1—z)2]，从而V＝S(z)dz＝π[z2＋(1—z)2]dz＝π．解析：这是截面积已知的立体．与z轴垂直的平面截此旋转体所得截面即此平面与的交点绕z轴旋转所得的圆，其面积记为S(x)，则V＝S(z)dz．关键求方程，再求上点与z轴的距离．知识模块：高等数学16．求双纽线，r2＝a2cos2θ(a＞0)绕极轴旋转所成的旋转面的面积．正确答案：双纽线如图3．4所示．由对称性，只需考察θ∈[0，]．面积由r2＝a2cos2θ涉及知识点：高等数学17．求功：(I)设半径为1的球正好有一半沉入水中，球的比重为1，现将球从水中取出，问要做多少功?(II)半径为R的半球形水池，其中充满了水，要把池内的水全部取尽需做多少功?正确答案：(I)方法1 (微元法)．以球心为原点，x轴垂直向上，建立坐标系．取下半球中的微元薄片，即取小区间[x，x＋dx][一1，0]，相应的球体小薄片，其重量(即体积)为π(1一x2)dx，在水中浮力与重力相符，当球从水中移出时，此薄片移动距离为(1＋x)，故需做功dw1＝(1＋x)π(1一x2)dx．因此，对下半球做的功w1＝∫-10π(1＋x)(1—x2)dx取上半球中的微元薄片，即取小区间[x，x＋dx][0，1]，相应的小薄片，其重量为π(1一x2)dx，当球从水中移出时，此薄片移动距离为1．所受力为重力，故需做功dw2＝π(1一x2)dx．因此，对上半球做的功w2＝∫01π(1—x2)dx．于是，对整个球做的功为w＝w1＋w2＝∫-10π(1＋x)(1—x2)dx＋∫01π(1—x2)dx＝∫-1-1π(1—x2)dx＋∫-10πx(1—x2)dx方法2 把球的质量集中于球心．球从水中取出作的功可以看成质量为的质点向上移动距离为1时变力的做功．问题归结为求变力F．(重力与浮力的合力)球受的重力＝球的体积，球受的浮力＝沉在水中的球的体积，它们的合力＝球露出水面部分的体积．当球心向上移距离h(0≤h≤1)时，球露出水面部分的体积：因此，取出球时需做功(Ⅱ)建立坐标系如图3．6．取x为积分变量，x∈[0，R]．[x，x ＋dx]相应的水薄层，看成圆柱体，其体积为π(R2—x2)dx，又比重ρ＝1，于是把这层水抽出需做功dw＝πx(R2一x2)dx．因此，所求的功涉及知识点：高等数学18．求引力：(I)在x轴上有一线密度为常数μ，长度为l的细杆，在杆的延长线上离杆右端为口处有一质量为m的质点P，求证：质点与杆间的引力为F ＝(M为杆的质量)．(II)设有以O为心，r为半径，质量为M的均匀圆环，垂直圆面，＝b，质点P的质量为m，试导出圆环对P点的引力公式．正确答案：(I)如图3．7建立坐标系，取杆的右端为原点，x轴正向指向质点P．任取杆的一段[x，x＋dx]，它对质点P的引力为因此，杆与质点P间的引力大小为其中M是杆的质量．(Ⅱ)如图3．8，由对称性，引力沿方向．取环上某点为计算弧长的起点，任取弧长为s到s＋d5的一段微元，它的质量为，到P点的距离为与的夹角为θ，cosθ＝，则微元对P点的引力沿方向的分力为dF ＝k，于是整个圆环对P点的引力为涉及知识点：高等数学19．过曲线y＝x2(x≥0)上某点A作一切线，使之与曲线及x轴围成图形面积为，求：(I)切点A的坐标；(II)过切点A的切线方程；(III)由上述图形绕x 轴旋转的旋转体的体积．正确答案：如图3．9．(I)设点A(x0，x02)，点A处的切线方程y＝x02＋2x0(x —x0)，即y＝2x0x—x02．令y＝0截距x＝．按题意解得x0＝1A(1，1)．(Ⅱ)过A点的切线y＝2x一1．(Ⅲ)旋转体体积涉及知识点：高等数学20．设常数a≤α＜β≤b，曲线P：y＝(x∈[α，β])的弧长为1．(Ⅰ)求证：；(Ⅱ)求定积分．正确答案：(Ⅰ)г：y2＝(x—a)(b—x)＝—x2＋(a＋b)x—ab，两边对x求导得2yy’＝—2x＋a＋b，y2(1＋y’2)＝＋y2＝x2＋y2—(a＋b)x＋(Ⅱ)曲线г：是以为圆心，半径为的半圆周．由题(Ⅰ)：α＝a，β＝，则对应的г长涉及知识点：高等数学21．设f(x)为非负连续函数，且满足f(x)f(x－t)dt＝sin4x，求f(x)在[0，]上的平均值．正确答案：令x—t＝u，则，于是两边积分，故f(x)在[0，]上的平均值为．涉及知识点：高等数学22．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点P(1，2)，且在该点与圆相切，有相同的曲率半径和凹凸性，求常数a．b．c．正确答案：圆的半径为，所以在圆上任何一点的曲率为．由于点P(1，2)是下半圆上的一点，可知曲线在点P(1，2)处为凹的，所以由确定的连续函数y＝y(x)在P(1，2)处的y’’＞0．又经过计算，可知在点P(1，2)处的y’＝1．由题设条件知，抛物线经过点P(1，2)，于是有a＋b＋c＝2．抛物线与圆在点P(1，2)相切，所以在点P(1，2)处y’＝1，即有2a＋b＝1．又抛物线与圆在点P(1，2)有相同的曲率半径及凹凸性，因此有解得a＝2，从而b＝一3，c＝2一a一b＝3．涉及知识点：高等数学23．设a＞0，f(x)在(0，＋∞) 连续，求证：正确答案：(I)按要证的等式，将等式左端改写可得(II)按题设，对左端作变换涉及知识点：高等数学24．设f(x)在[a，b]上连续，f(x)≥0且f(x)dx＝0，求证：在[a，b]上f(x)＝0．正确答案：由定积分的性质涉及知识点：高等数学25．证明，其中n为自然数．正确答案：利用被积函数的结合性，原式改写成In＝cosn—1xcosxsinnxdx，两式相加得2In＝cosnn—1(cosxsinnx一sinxcosnx)dxcosnn—1xsin(n—1)xdx＝现得递推公式令Jn＝2nIn，得．由此进一步得涉及知识点：高等数学。
2014年数学二真题及答案解析2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1 : 8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.• • •1 ________________________________________ (1)当X 0时，若In (1 2x)，(1 cosx)—均是比X咼阶的无2(A) (2, )(B) (1,2)(C)(2,1)(D)囲)⑵下列曲线中有渐近线的是()(A) y x sin x (B) 2 .y x sin x(C) y x sin 1 x (D) y 2 . 1x sinx⑶设函数f( x)具有2阶导数，g(x) f(0)(1 x) f(1)x，贝y 在区间［0,1］上( )(A)当f(x)0 时，f (x) g(x) (B)当f (x) 0时，f(x) g(x)(C)当f(x) 0 时，f (x) » g(x) (D)当f (x) 0时，f(x) g(x)⑷丄 2曲线x t2 y t27上对'4t 1应于t 1的点处的曲率半径是324(D) 5.10(D )1 (6)设函数u(x,y)在有界闭区域D 上连续，在D 的内部222具有2阶连续偏导数，且满足」0及-u -4 0，则x yx y( )(A) u(x,y)的最大值和最小值都在D 的边界上取得 (B) u(x,y)的最大值和最小值都在D 的内部上取得(C)u(x,y)的最大值在D 的内部取得，最小值在D 的边界上取得(A)10 50■ 10 100(C) 10.10(5) 设函数 f (x) arctan x ,f(x) xf (),lim 2 x 0x 2(A)1(叫 (C)1(D)u(x, y)的最小值在D的内部取得，最大值在D的边界上取得52 6(C) a 2d 2b 2e 2(D) b 2e 2a 2d 2(8)设1, 2,3均为3维向量，则对任意常数k,l ,向量 组1k 3, 2l 3线性无关是向量组无 关 的要条件非必要条件1、填空题：9： 14小题,每小题4分,共24分.请将 答案写在答题纸指定位置上.• • •dx2x 5(10)设f(x)是周期为4的可导奇函数，且f(x) 2(x 1), x [0,2]，贝V f(7)_________________.⑺行列()(A)2(ad bc)0 a b 0 式a 0 0b 0cd 0c0 0 d(A)必要非充分条件 (B)充分非必 (C)充分必要条件 (D)既非充分也((9)(B) (ad be)27(11) 设z z(x,y)是由方程e2yzx y 2 z 4确定的函数，则dz(2$ --------------------------------------------------------------.(12) 曲线r r()的极坐标方程是r ，则L 在点(r ，)(-.-)处的切线的直角坐标方程是 _______________ .(13) 一根长为1的细棒位于x 轴的区间［0,1］上，若其 线密度 x x 22x 1 ,则该细棒的质心坐标x _________________.(14) 设二次型 f x 1,x,,x 3x ,2x,22ax ,x 4乂2冷的负惯性指数为1,则a 的取值范围为 ________ .三、解答题：15〜23小题,共94分.请将解答写在 答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过• • •程或演算步骤. (15)(本题满分10分)(16)(本题满分10分)已知函数y y x 满足微分方程x 2y 2y 1 y ，且y 2 0 ,求极限x lim1X 2 t t e ' 1 t dt1x 2ln 1丄x8求y x 的极大值与极小 值.(17) (本题满分10分) 设平面区域Dxsin 、x 2 y 2 dxdy .D x y(18) (本题满分10分)设函数f (u)具有二阶连续导数, 三乍(4z excosy)e2x，若f(0) 0'f(0) 0，(19)(本题满分10分) 设函数f(x),g(x)的区间［a,b ］上连续，且f(x)单调增加，0 g(x) 1.证明: (I) 0 ag(t)dt x a,x [a,b],(20)(本题满分11分)f 1(x) f(x), f 2(x) f(f 1(x)), L f n (x) f(f n 1(x) ),L，记 S n是由曲线 y 围成平面图形的面积，求极限x, y 1x 2 y4,x 0, y 0 ,计算z f (e x cosy)满足 f(u)的表达式.(II)g(t)dtaf(x)dx f (x)g(x)dx . 设函数 f(x) —,x 0,11 x定义函数列 f n (x)，直线x 1及x 轴所lim nS nn(21)(本题满分11分)已知函数f(x,y)满足—2(y 1),且f(y,y) (y 1)2 (2 y)ln y, y求曲线f(x,y) 0所围成的图形绕直线y 1旋转所成的旋转体的体积•(22)(本题满分11分)1 2 3 4设矩阵A 0 1 1 1 ，E为三阶单位矩阵.1 2 0 3⑴求方程组Ax 0的一个基础解系; (II)求满足AB E的所有矩阵.(23)(本题满分11分)1 1 L 1 0 L 1 1 L 1 与0 LM M M M 円M M1 1 L 1 0 L 0 10 2相似•M M0 n证明n阶矩阵92014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题:1 : 8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.• • •1 ________________________________________ (1)当X 0时，若In (1 2x)，(1 cosx「均是比X咼阶的无10(A) (2, )(B)(1,2) (C)右)(D)(0，|)【答案】B所以1 0，故1.21 —当X 0时，(1 cosx) ~ t 是比X 的咼阶无穷小，2-所以Z 1 0，即2.故选B【解析】由定义In (1 2x)xX m(2x) X戈叫2X 1 0下列曲线中有渐近线的是(A) y x sin x(B) y x 2sin x(C)y x1 sin — x(D) yx 2 sin -x【答案】 C【解析】 关于 C 选项： .1 . 1 x sin sinlim xlim1 lim x1 0 1xx xxxlimsin - 0，所以y x sin-存在斜渐近线 Xx x故选CF (x)f(0)f(1) f (x), F则F (x) 0 , F(x)在［0,1］上为凸的.⑶设函数f(x)具有 2阶导数， g(x) f (0)(1 在区间［0,1］上()(A)当 f(x) 0 时， f (x)g(x)(B) 当 f(x) g(x)(C)当 f (x) 0时，f (x) g(x)(D) 当 f(x) g(x)【答案】D【解析】令F(x)g(x)f(x)f (0)(1 x)f(1)xf(x),F(0)F(1) 0x) f(1)x，贝yf (x) 0 时,f (x) 0 时,1sin — x ］x(x) f (x). 若 f (x) 0，又 F(0)故选D. ⑷曲线F(1) 0，所以当 x [0,1]时，F(x) 0，从而 g(x) f(x).74t 上对应于t 1的点处的曲率半径是1(A)) 50(B)卫100(D) 5.10 【答案】 【解析】 dy dxd 2y dx 2 2t 42t dx2石2t10.10故选C(5) 设函数f(x) arcta n x,若 f(x) xf (),(A)1(B)3(C )2(D)i( )(A) u(x,y)的最大值和最小值都在D 的边界上取得 (B) u(x,y)的最大值和最小值都在D 的内部上取得(C)u(x, y)的最大值在D 的内部取得，最小值在D 的边界上取得 (D)u(x,y)的最小值在D 的内部取得，最大值在D 的边界上取得 【答案】A222【解析】记A0,代C 相反数xx yy则=AC-B 20,所以u(x, y)在D 内无极值，则极值在边界处 取得•故选A【答案】D 【解析】因为凹f '( ) 7^-2，所以x11 lim2 lim -x 0x arctanxx 0x f(x) f(x)1 1 X2 3x 22lim 2 lim x 0 x X故选D.(6)设函数u(x,y)在有界闭区域D 上连续, 具有2阶连续偏导数，且满足 x f (x) .. x arctanx 0 x 2f(x)在D 的内部 丄0及厶j 0，贝Vx y x y()(A) (ad be)2(C) a 2d 2b 2e 2(D) b 2e 2a 2d 2【答案】B【解析】由行列式的展开定理展开第一列ad (ad be) be(ad be)2(ad be).(8)设a i,a 2,a 3均为三维向量，则对任意常数k,l,向量组a ika 3, a ?玄线性无关是向量组 印包舄线性无关的 ()(A)必要非充分条件 要条件 (C)充分必要条件 也非必要条件a b 0a b 0 a ed0 e 0 0 b0 de d 0 0 a b 0 a 0 0 b 0 e d 0行列0 a b 0 a 0 0 b 0 e d 0 e0 0 d(B) (ad be)2(B)充分非必(D)既非充分【答案】A1 0【解析】1k3 213 1 230 1.k 1性无关.）举反例.令 3，^ V 1‘ 2线性无关，但此时却线性相关.综上所述，对任意常数k,1 ,向量 1k 3, 2 1 3线性无关是向量1, 2,3线性无关的必要非充分条件故选A1、填空题：9： 14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. • • •11 dxx 2x 5【答案】I 【解析】)!己A 1k 3213, B1 01 2 3, C 0 1 .若k 11, 2,3线性无关，则 r(A) r(BC) r(C) 2，故 1k 3, 21 3线(9)(10)设f(x)是周期为4的可导奇函数，且 f (x) 2(x 1), x [0,2]，贝V f(7)________________.【答案】1【解析】f 'X 2 x 1 , x 0,2且为偶函数贝y f 'x 2 x 1 , x 2,0又f x x 22x c 且为奇函数，故c=02f x x 2x , x 2,0又Q f x 的周期为4, f 7 f 1 1 (11)设z z(x,y)是由方程e2yzx y 2 z 4确定的函数，则【答案】冷呦2yzz ze 2y 1一xe 2yz (2z 2^z ) 2yy=dxx 2x 5-dx 4larctan x 1 2 2dz(2,2)【解析】对e2yzx彳方程两边同时对x,y 求偏导4x181当 x2，y(舅)， 112y (2,2)12(dx dy)(12)曲线艸n&的极坐标方程是r ，则L 在点故dz(1,1)11 dx ( )dy2 2(r, )(2,2)处的切线的直角坐标方程是【答案】 【解析】 由直角坐标和极坐标的关系x r cos cos y rsi nsin于是r,2,2,对应于x,ydy 切线斜率乎先 dx dx d所以切线方程为 cos sin cos sindy dx即『=2x -2(13) 一根长为 线密度x 轴的区间［0,1］上，若其 ,则该细棒的质心坐标1的细棒位于 2x x 2x 12014 年全国硕士研究生入学统一考试数学二i19【答案】101112 = 11 5 =20 3(13)设二次型 f X 1,X 2,X 3xj X； 2aX j X 3 4X 2X 3的负惯性指数是1 ,则a 的取值范围 _________ . 【答案】2,222 2 22x 1 ax 3 a x 3 x 2 2x 3 4x 3由于二次型负惯性指数为1，所以4 a 20，故2 a 2. 三、解答题：15〜23小题,共94分.请将解答写在 答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过• • •程或演算步骤. (15)(本题满分10分)X 21t 2 e t 1 t dt【解析】质心横坐标x1x x dx 0x dx1 x dx=2x 2x 1 dx1 x dx= x2x 1 dx4X 2 3 2X 1 11 — -X — 0— 4 3212【解析】配方法:f X 1,X 2,X 33 x21§ X X 02014 年全国硕士研究生入学统一考试数学二求极限讪------- 1—X x2ln 1 丄2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学二i21x 1 【解析】lim 亠*:X21x 2 ln(1 -)x2 —lim[ x (e x 1) x]xtt t..e 1 t . e 1 lim 2 lim t o t t o 2t(16)(本题满分10分)已知函数y y X 满足微分方程x 2y 2y 1 y ，且y 2 0， 求y x 的极大值与极小 值.【解由 x 2y 2y 1 y ，得(y 2 1)y 1 x 2 ................................................................................................................. ①此时上面方程为变量可分离方程，解的通解为由y(2) 0得c彳当y (x) 0时，x 1，且有:limxx 1it 2(& 1) t dtlim 丄丄又由①可得y(x)1 x 2y 2 1x 1,y (x) 0 1 x 1,y (x) 0x 1,y (x) 0所以y(x)在x1处取得极小值，在x 1处取得极大y( 1) 0, y(1) 1即：y(x)的极大值为1,极小值为0.(17)(本题满分10分)设平面区域D x,y|1/ 2 2xsin - x y dxdy.D x y 【解析】D 关于y x 对称，满足轮换对称性，则:xsin( x 2 y 2) yI xsi n( x 2 y 2)D2 2亠dxdyX 2 y 2 4,x 0, y 0 ,计算ysin( .x 2 y 2),,dxdy x y」」1 xsin( Jx 2y 2) dxdyx y2 D x yysin(x ysin(1 2 4(14 14 sin r rdr rd cos r2.2r r 1cos rdr11 .■2sin r 1dcos2 1 244233 4（18）（本题满分10分）设函数f （u ）具有二阶连续导数,f (e x cosy) e x cosy^z f (e x cosy)y2z ~2 y(4z e x cosy)e 2x ， 若 f(0) 0, f '(0) 0，求 f(u) 的表达式.2z~2xf (e xcos y) xe cosy xe cos yf (e x cosy) e x cosy，2z ~2y2 2z z~~2 + 2 x yf (e x cos y)xe sin yxe sin yf (e x cosy)e x cosy4z x e cosy 2xexf e cosy，代入得，2xe[4 f e xcosyx 2xe cosy]exe cosy4f xe cosyxe cosy，y=t ，得f 特征方程xe cos 4f t t0, 2得齐次方程通解2tGe2tc 2e设特解y*at b， 代入方程得a-J ，b 0，特解4则原方程通解为 y=f t&e 2t c 2e 2tz f (e x cosy)满足z e cosy ,xxe sin y由 f 0 0, f '0 0，得 C i— ,C2丄，贝y16 16 11 2u 1 2u 1y=f u —e —e-u 16 164 '(19)(本题满分10分)设函数f (x), g(x)在区间[a,b]上连续，且f(x)单调增 加，0g(x) 1，证明:(I ) 0ag(t)dt x a ,x [a,b],ba g(t)dtb(II ) af (x)d x f(x)g(x)dx .aa【解析】(I )由积分中值定理：g t dt g x a , [a,x]Q 0 g x 1，0 g x a x axa g t dt X a(II )直接由g x 1,得到xx 0 g t dt 1dt= x aa au(II ) 令 F u :fxgxdxI ag t dtf x dx'uF u f u g u f a g t dt g u au g u f u f a g t dta由(I )矢口 0 ag t dt u a a a a g t dt u又由于 f x单增，所以f U f a： g t dt 0F ' u 0, F u单调不减， F u F a 0取u b，得Fb 0，即(II )成立.(20)(本题满分11分)设函数f(x)亠,x 0,1，定义函数列1 xf 1(x) f(x), f 2(x) f(f 1(x))丄，f n(x) f(fn1(X )),L ， 记 S n 是 由曲线 y f n (x)，直线x 1及x 轴所围成平面图形的面积，求极 限 lim nS n.nf(y, y) (y 1)2(2 y)ln y,求曲线f(x,y) 0所围成的图形绕直 线y 1旋转所成的旋转体的体积. 【解析】因为—2(y 1),所以f (x,y) y 22y (x),其中(x)为 y待定函数. 又因为 f(y,y) (y 1)22 y l ny,则(y) 1 2 y l ny ，从而【解析】f 1(x) xr?f 2(x)S n1 n 1 n 10 f n (x)dx1 1dx -n 1P ln(1 n 10 I 1 01 n)..ln(1 n) lim n nx1x—dx — 1 nx1 1 dx2ln(1 nx)nx n nx x ,f3(X )1 2x1 3x1 nx 1 0丄，f n (X )x 1 nxlim nS n 1n(21)(本题满分已知函1 lim也山Xx11分)数 f(x,y)1 lim —十2(y 1)，2 In xd1(22)(本题满分11分)341 13(I) 求方程组Ax 0的一个基础解系; (II) 求满足AB E 的所有矩阵B . 【解析】1 2 34 1 0 0 1 2 3 4 10 0 A E0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 01 2 0 3 0 0 1 0 43 1 1 0 11 234 10 0 1 0 0 1 2 6 10 11 1 0 1 0 0 1 02 13 10 0 1 314 10 0 13141(I)Ax的 基础解系为1,2,3,1 T(II) e1,0,0 T,e 2 0,1,0T ,e s 0,0,1Tf(x,y) y 2 2y 12 x 令 f(x,y) 0,可得(y 而所求的体积为In x 1)2(y 1)2 2In xx In x.当y1时，x 1或x2dxIn xdxIn x(2x2ln 222(2x£)2ln 2dx2In21E为三阶单位矩阵.设矩阵Ax e i 的通解为x kiAx e的通解为x k 2Ax e 3的通解为xk32 k 1 6 k 2 1 k 3B 1 2k 1 3 2k 2 1 2k 3B1 3k 14 3k 21 3k 3k1k2k3(23)( 本题满分 11 分)1 1 L 11 1 L 1 M M M M1 1 L 11 M1 L L 1， M1， 0( n 1重).n的特征向量为(1,1L ,1)T； r(A) 1,故Ax 0基T2 k 1, 1 2k 1, 1 3k 1,k 1 T6 k 2, 3 2k 2, 4 3k 2,k 2 T1 k 3,1 2k 3,1 3k 3, k 3 T2, 1, 1,0 6, 3, 4,0 T1,1,1,0 T0L与0 LMM 0L01 0 2相似 .MM0n1 2 B= 0 0 L 1， Mnk 1,k 2,k 3为任意常数）证明n 阶矩阵0有A 相似于对角阵解析】已知A则 A 的特征值为A属于础解系有n 1个线性无关的解向量，即A属于n 1个线性无关的特征向量；故n 0.■ OB的特征值为n，0（n 1重），同理B属于0有n 12014 年全国硕士研究生入学统一考试数学二个线性无关的特征向量，故 B 相似于对角阵由相似关系的传递性， A 相似于B.30。
2004—2014年考研数学真题“极限”题型精选解析注：1）本篇试题选自2004年—2014年数学一、二、三的考研真题，共35题； 2）本篇真题题型：选择题，填空题，解答题； 3）本篇试题包括两部分，第一部分是精选极限真题解析，第二部分是补充极限真题解析(P9)；第一部分（精选“极限”真题解析）（共20题）一、选择题1、设lim ,0n n a a a →∞=≠且，则当n 充分大时有（ ）（A ）n a >||2a （B ）||||2n a a <(C) 1n a a n>-(D) 1n a a n<+答案：(A)，注：2014年数三（1） 解析：方法1：lim 0,lim 0,=2n n n n aa a a a ε→∞→∞=≠∴=>取，则当n 充分大时，3,,22n n n a a a a a a a εεε-<-<-<<<即，故（A ）正确。
方法2：lim n n a a →∞=N N n N ε+∴∀>∃∈∀>使，有||n a a ε-<即 ||||||.0,222n n a a a a a a a a a a εεε-<<+≠∴=<<+可取，则- 不论a >0或a <0，都有||2n a a >，选A2、设1230(1,2,3),n n n a n S a a a a >==++++，则数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的( )(A) 充分必要条件 (B) 充分非必要条件 (C) 必要非充分条件 (D) 非充分也非必要 答案：(B)，注：2012年数二（3）解析：由于0n a >，{}n s 是单调递增的，可知当数列{}n s 有界时，{}n s 收敛，也即lim n n s →∞是存在的，此时有()11lim lim lim lim 0n n n n n n n n n a s s s s --→∞→∞→∞→∞=-=-=，也即{}n a 收敛。
