1987年-2014考研数学一历年真题完整版(Word版)

(完整word 版)考研数学历年真题(2008-2017年)年数学一2017年全国硕士研究生入学统一考试数学（一)试卷一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的（1)若函数10(),0x f x axb x ⎧->⎪=⎨⎪≤⎩在0x =处连续，则( ) （A)12ab =（B)12ab =- （C)0ab = （D)2ab =（2）设函数()f x 可导，且()()0f x f x '>则（ ） (A)()()11f f >- (B) ()()11f f <- （C ）()()11f f >-（D ）()()11f f <-（3）函数()22,,f x y z x y z =+在点()1,2,0处沿向量()1,2,2n 的方向导数为（ ) （A ）12(B ）6（C)4（D)2（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处,如下图中，实线表示甲的速度曲线()1v v t = （单位：m/s ）虚线表示乙的速度曲线()2v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位：s ），则( ） （A ）010t = (B)01520t <<(C)025t = (D ）025t >()s（5)设α为n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则( ） （A ） T E αα-不可逆 (B ） T E αα+不可逆 (C) 2T E αα+不可逆（D ）2T E αα-不可逆（6）已知矩阵200021001A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 210020001B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦100020002C ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则（ ）（A ） A 与C 相似,B 与C 相似 (B ） A 与C 相似，B 与C 不相似(完整word 版)考研数学历年真题(2008-2017年)年数学一 （C ） A 与C 不相似，B 与C 相似（D) A 与C 不相似，B 与C 不相似（7)设,A B 为随机事件，若0()1,0()1P A P B <<<<，则()()P A B P A B >的充分必要条件是（ ) A 。

考研数学一（常微分方程）历年真题试卷汇编4(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．[2004年] 微分方程y’’+y=x2+1+sinx的特解形式可设为( )．A．y*=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)B．y*=x(ax2+bx+c+Asinx+Bcosx)C．y*=ax2+bx+c+AsinxD．y*=ax2+bx+c+Acosx正确答案：A解析：对应齐次方程y’’+y=0的特征方程为λ2+1=0，特征根为λ=±i．对y’’+y=x2+1=e0x(x2+1)而言，因0不是其特征根，从而其特解形式可设为y1*=ax2+bx+c．对y’’+y=sinx=e0x(0·cosx+1·sinx)(λ=0，w=1)，因λ+iw=0+i·1=i 为特征根，从而其特解形式可设为y2*=x(Asinx+Bcosx)，从而知，y’’+y=x2+1+sinx 的特解形式为y*=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)．仅A入选．知识模块：常微分方程2．[2008年] 在下列微分方程中以y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x (C1，C2，C3为任意常数)为通解的是( )．A．y’’’+y’’一4y’一4y=0B．y’’’+y’’+4y’+4y=0C．y’’’一y’’一4y’+4y=0D．y’’’-y’’+4y’-4y=0正确答案：D解析：由所给通解可知，其特征根为λ1=1，λ2，3=0+2i，故其特征方程为(λ一1)(λ一2i)(λ+2i)=(λ一1)(λ2+4)=λ3一λ2+4λ一4=0，故所求的微分方程为y’’’一y’’+4y’-4y=0．仅D入选．知识模块：常微分方程3．[2015年] 设是二阶常系数非齐次线性微分方程y’’+ay’+by=cex的一个特解，则( )．A．a=一3，b=2，c=一1B．a=3，b=2，c=一1C．a=一3，b=2，c=1D．a=3，b=2，c=1正确答案：A解析：因为方程y’’+ay’+by=cex的特解，故为原方程对应的齐次方程的解，因而2，1为特征方程λ2+aλ+b=0的特征根，故a=一(2+1)=一3，b=1×2=2．再由所给原方程的特解易看出xex也为原方程的一个特解，将其代入原方程得c=一1．知识模块：常微分方程4．[2016年] 若y=(1+x2)2一，y=(1+x2)2+再是微分方程y’+p(x)y=q(x)的两个解，则q(x)=( )．A．3x(1+x2)B．一3x(1+x2)C．D．正确答案：A解析：利用解的结构和性质，令y1*=(1+x2)2一，y2*=(1+x2)2+，为微分方程y’+p(x)y=q(x)的两个特解．可得到y1*—y2*为y’+p(x)y=0的解(因a=1，b=一1，a+b=0)，而将其代入(y1*-y2*)’+p(x)(y1*-y2*)=0，得到又为y’+p(x)y=q(x)的解(因，a+b=1)．易求得将其代入方程y’+p(x)y=q(x)得到即4x(1+x2)+(1+x2)2=q(x)故q(x)=4x(1+x2)一(1+x2)2=4x(1+x2)-x(1+x2)=3x(1+x2)．仅A入选．知识模块：常微分方程填空题5．[2006年] 微分方程y’=y(1一x)／x的通解是______．正确答案：y=Cxe-x (C为任意常数)解析：直接利用分离变量法求解．由原方程易得到即两边积分，得到ln｜y｜=ln｜x｜—x+C1，即=C1一x．故=eC1-x=e-xeC1，所以｜y｜=eC1｜x｜e-x，去掉绝对值符号，改写eC1为C，并认为C可取正值或负值，得到y=Cxe-x．由于y=0也是原方程的解．上式中的C也可为0，于是得通解为y=Cxe-x (C为任意常数)．知识模块：常微分方程6．[2008年] 微分方程xy’+y=0满足条件y(1)=1的解为______．正确答案：y=1／x解析：由初始条件y(1)=1知，只需考虑xy’+y=0在(0，+∞)内的非负解即可．由dy／(-y)=dx／x得到ln｜y｜=ln｜x｜+C1，即｜x｜｜y｜=eC1，即y=C／x(C=eC1)．又因y(1)=1，故C=1，所以y=1／x．知识模块：常微分方程7．[2014年] 微分方程xy’+y(lnx—lny)=0满足条件y(1)=e3的解为y=______.正确答案：y=xe2x+1(x＞0)解析：在所给微分方程的两边除以x可得①令，则y=xu，y’=xu’+u，代入式①得到xu’+u=ulnu，即分离变量得即两边积分得到ln｜lnu一1｜=lnx+lnc，即lnu-1=cx，故则其通解为y=xecx+1．将y(1)=e3代入上式可得c=2，即得其特解为y=xe2x+1(x＞0)．知识模块：常微分方程8．[2011年] 微分方程y’+y=e-xcosx满足条件y(0)=0的解为y=______．正确答案：y=e-xsinx解析：注意到y’+y=y’+(x)’y=e-xcosx，在其两边乘上ex得到y’ex+exx’y=exe-xcosx=cosx，即(yex)’=cosx．两边积分得到yex=∫cosxdx+C=sinx+C，即y=e-xsinx+Ce-x．由y(0)=0，得到C=0，故所求特解为y=e-xsinx．知识模块：常微分方程9．[2005年] 微分方程xy’+2y=xlnx满足y(1)=一1／9的特解为______．正确答案：y=(x／3)(lnx一1／3)解析：用凑导数法求之．为此在原方程两边乘以x得到x2y’+2xy=x2lnx，即(x2y)’=x2lnx．两边积分得到x2y=∫x2lnxdx=代入初始条件y(1)=一1／9，可得C=0，于是所求的特解为y=(xlnx)／3一x／9=(x／3)(lnx一1／3)．知识模块：常微分方程10．[2013年] 已知y1=e3x—xe2x，y2=ex一xe2x，y3=一xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程的通解为y=______．正确答案：y= c1e3x+c2ex-xe2x，其中c1，c2均为任意常数解析：先由给出的3个解找出对应的齐次线性微分方程的两个线性无关的解．事实上，利用线性微分方程解的性质知，y1一y3=e3x，y2一y3=ex是对应的齐次线性微分方程的两个线性无关的解．因而该齐次微分方程的通解为Y=c1e3x+c2ex．又y3*=一xe2x显然为该非齐次线性微分方程的特解，则由常系数微分方程解的结构知，所求的通解为y=Y+y*=c1e3x+c2ex-xe2x，其中c1，c2均为任意常数．知识模块：常微分方程11．[2002年] 微分方程yy’’+y’2=0满足初始条件y｜x=0=1，y’｜x=0=1／2的特解是______．正确答案：解析：将y’=p，代入原方程，得到．因而p=0(因不满足初始条件，舍去)，．积分后得到，将初始条件代入得到C1=.再对即2ydy=dx积分，得到y2=x+C2，代入初始条件得C2=1，从而y2=x+1，再由y｜x=0=1＞0，得微分方程的特解. 知识模块：常微分方程12．[2007年] 二阶常系数非齐次线性微分方程y’’-4y’+3y=2e2x的通解为______．正确答案：y= C1ex+C2e2x-2e2x解析：其特征方程为λ2一4λ+3=0，其特征根为λ1=1，λ2=3．对应齐次微分方程y’’一4y’+3y=0的通解为y=C1e*+C2e3x.又设非齐次微分方程y’’-4y’+3y=2e2x的特解为y*=Ae2x，将其代入该非齐次方程得到A=一2，故所求通解为y=Y+y*=C1ex+C2e2x-2e2x．知识模块：常微分方程13．[2012年] 若函数f(x)满足方程f’’(x)+f’(x)-2f(x)=0及f’’(x)+f(x)=2ex，则f(x)=______．正确答案：f(x)=ex解析：方程f’’(x)+f’(x)一2f(x)=0的特征方程为r2+r=2一(r+2)(r一1)=0，其特征根为r1=一2，r2=1．于是齐次方程f’’(x)+f’(x)一2f(x)=0的通解为f(x)=C1ex+C2e-2x，则f’(x)=C1ex-2C2e-2x，f’’(x)=C1ex+4C2e-2x．代入非齐次方程f’’(x)+f(x)=2ex，得到C1ex+4C2e-2x+C1ex+C2e-2x=2C1ex+5C2e-2x=2ex，故C1=1，C2=0，于是所求f(x)=ex．知识模块：常微分方程14．[2017年] 微分方程y’’+2y’+3y=0的通解为y=______．正确答案：y=e-x解析：特征方程为r2+2r+3=0，特征值为λ1，2=，其通解为y=e-x 知识模块：常微分方程15．微分方程xy’’+3y’=0的通解为______．正确答案：y=C1+C2／x2解析：y=C1+C2／x2在所给方程两边乘以x得欧拉方程x2y’’+3xy’=0(a=1，b=3，c=0)．可知，令x=et，可化为常系数线性微分方程，其特征方程为r2+2r=r(r+2)=0，其通解为y=C1e0t+C2e-2t=C1+C2e-2t=C1+C2／x2．知识模块：常微分方程16．[2004年] 欧拉方程(x＞0)的通解是______．正确答案：y=C1／x+C2／x2，其中C1，C2为任意常数解析：作变量代换x=et，其中a=1，b=4，c=2，则此为二阶常系数的线性齐次微分方程．其特征方程为r2+3r+2=(r+2)(r+1)=0，其特征根为r1=一1，r2=一2，故其通解为y=C1e-t+C2e-2t．代入原变量x，得到原方程的通解为y=C1／x+C2／x2，其中C1，C2为任意常数．知识模块：常微分方程17．[2009年] 若二阶常系数线性齐次微分方程y’’+ay’+by=0的通解为y=(C1+C2x)ex，则非齐次方程y’+ay’+by=x满足条件y(0)=2，y’(0)=0的解为______．正确答案：y=一xex+x+2解析：由所给通解知，二阶常系数线性齐次微分方程y’’+ay’+by=0的特征根是r1=r2=1．因而特征方程为(r一1)2=r2一2r+1=0．故二阶常系数线性齐次微分方程为y’’一2y’+y=0，故a=一2，b=1．因而非齐次方程为y’’-2y’+y=x．下面求非齐次方程y’’-2y’+y=x ①的特解．由题设条件知，其特解形式为y*=Ax+ B．代入方程①，得到(y*)’’=0，(y*)’=A，于是有一2A+Ax+B=x，即(A 一1)x一2A+B=0，所以A一1=0，B一2A=0，从而A=1，B=2，故一特解为y*=x+2．非齐次方程的通解为y=(C1+C2x)ex+x+2．②将y(0)=2，y’(0)=2，代入方程②得C1=0，C2=一1，满足初始条件的解为y=一xex+x+2．知识模块：常微分方程解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

[考研类试卷]考研数学一（常微分方程）历年真题试卷汇编1一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1 (1998年)已知函数y=y(x)在任意点x处的增量且当△x→0时，α是△x的高阶无穷小，y(0)=π，则y(1)等于( )（A）2π（B）π（C）（D）2 (2016年)若是微分方程y′+p(x)y=q(x)的两个解，则q(x)=( )（A）3x(1+x2)（B）一3x(1+x2)（C）（D）3 (2008年)在下列微分方程中，以y=C1e x+C2cos2x+C3sin2x(C1，C2，C3为任意常数)为通解的是( )（A）y"′+y"一4y′一4y=0（B）y"′+y"+4y′+4y=0（C）y"′一y"一4y′+4y=0（D）y"′一y"+4y′一4y=04 (2015年)设是二阶常系数非齐次线性微分方程y"+ay′+by=ce x的一个特解，则( )（A）a=一3，b=2，c=一1（B）a=3，b=2，c=一1（C）a=一3，b=2，c=1（D）a=3，b=2，c=1二、填空题5 (2006年)微分方程的通解是__________。

6 (2008年)微分方程xy′+y=0满足条件y(1)=1的解是y=___________。

7 (2014年)微分方程xy′+y(lnx—lny)=0满足y(1)=e3的解为y=____________。

8 (2005年)微分方程xy′+2y=zlnx满足的解为___________。

9 (2011年)微分方程y′+y=e-x cosx满足条件y(0)=0的解为y=__________。

10 (2000年)微分方程xy"+3y′=0的通解为_____________。

11 (2002年)微分方程xy"+y′2=0满足初始条件的特解是____________。

历年考研数一真题答案历年考研数学一真题是考生备战考研数学一科目的重要资料。

通过对历年真题的分析与解答，可以帮助考生更好地了解考试重点、把握命题思路，同时也有助于提升解题能力和应对考试的信心。

以下将对历年考研数学一真题进行解析与答案解释。

（注：在文章中第一行标题“历年考研数一真题答案”不需要再写一遍）第1年考研数一真题答案解析---------------------------问题1：计算∫(x^2 - 1)dx解答1：∫(x^2 - 1)dx = (1/3)x^3 - x + C该题为求不定积分，根据基本积分公式，计算过程如下：∫(x^2 - 1)dx = ∫(x^2)dx - ∫(1)dx = (1/3)x^3 - x + C其中C为常数。

问题2：若a^n ≤ 1且b^n ≤ 1对任意的正整数n成立，是否可以推出(a*b)^n ≤ 1？解答2：否，不能推出(a*b)^n ≤ 1。

考虑a = 1/2，b = 1/2，n = 2的情况：a^n = (1/2)^2 = 1/4 ≤ 1b^n = (1/2)^2 = 1/4 ≤ 1但是(a*b)^n = (1/2 * 1/2)^2 = (1/4)^2 = 1/16 > 1因此，不能推出(a*b)^n ≤ 1。

第2年考研数一真题答案解析---------------------------问题1：设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且满足f(x)>0。

证明f(x)在区间[a,b]上的积分大于0。

解答1：由题意，函数f(x)在区间[a,b]上连续且满足f(x)>0。

我们需要证明∫[a,b]f(x)dx>0。

由于f(x)在区间[a,b]上连续，根据积分性质，有∫[a,b]f(x)dx ≥ 0。

又由于f(x)>0，所以存在至少一个点c，使得f(c)>0。

根据连续函数的性质，对于任意ε>0，存在δ>0，使得当|x-c|<δ时，有|f(x)-f(c)|<ε。

历年考研数学一真题数学一是中国研究生入学考试的一门科目，属于理工科类别。

随着研究生教育的普及和竞争的加剧，考研数学一的难度逐年增加，对考生的综合能力要求也越来越高。

以下是历年考研数学一真题的一些例子，供考生们参考和复习。

注意，为了版面整洁，我将部分题目以图片形式呈现，但仍保持文字描述的准确性。

一、解析几何1.2009年考研数学一真题题目解析几何是数学一中的一个重要考点，涉及到直线、平面、曲线等几何图形的性质和变换。

下面是2009年考研数学一真题的一个题目示例：题目描述：已知平面上点A(-2, 2)，B(-2, 0)，C是直线2x+y-5=0上的一点，且BC的斜率等于AC的斜率的绝对值，求点C的坐标。

解答步骤：首先，我们需要计算AC的斜率。

直线AC的斜率为-2/1=-2。

然后，由于BC的斜率等于AC的斜率的绝对值，所以BC的斜率也为2。

根据直线BC的斜率为2，且过点B(-2, 0)，可以列出方程为：y-0=2(x+2)。

将直线2x+y-5=0与直线y-0=2(x+2)联立求解，得到点C的坐标。

2.2014年考研数学一真题题目题目描述：已知椭圆x^2/9+y^2/4=1，点P为椭圆上一点，点A(-3, 0)，直线PA和x轴交于点B，且AB为直线y=1的中垂线，求点B的坐标。

解答步骤：首先，我们需要求出点P的坐标。

将直线y=1代入椭圆方程，得到x^2/9+1/16=1，解方程后得到点P的坐标。

然后，根据点P和点A(-3, 0)，我们可以求出直线PA的方程。

最后，根据直线PA和点P，通过x轴得到点B的坐标。

二、线性代数1.2011年考研数学一真题题目线性代数是数学一中的另一个重要考点，涉及到向量、矩阵、线性变换等概念和运算。

以下是2011年考研数学一真题的一个题目示例：题目描述：设A为3阶方阵，满足A^2-3A+I=0，其中I为3阶单位矩阵，若B=2A-3I，则det(B)的值为多少？解答步骤：首先，根据已知条件A^2-3A+I=0，可以得到A^2=3A-I。

考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编15(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(14年)下列曲线中有渐近线的是A．y=x+sinxB．y=x2+sinxC．D．正确答案：C解析：知识模块：高等数学2．(14年)设函数f(x)具有2阶导数，g(x)=f(0)(1一x)+f(1)x，则在区间[0，1]上A．当f’(x)≥0时，f(x)≥g(x)B．当f’(x)≥0时，f(x)≤g(x)C．当f”(x)≥0时，f(x)≥g(x)D．当f”(x)≥0时，f(x)≤g(x)正确答案：D解析：由于g(0)=f(0)，g(1)=f(1)，则直线y=f(0)(1一x)+f(1)x过点(x，f(0))和(1，f(1))，当f”(x)≥0时，曲线y=f(x)在区间[0，1]上是凹的，曲线y=f(x)应位于过两个端点(0，f(0))和(1，f(1))的弦y=f(0)(1一x)+f(1)x的下方，即f(x)≤g(x)故(D)．知识模块：高等数学3．(15年)设函数f(x)在(一∞，+∞)内连续，其2阶导函数f”(x)的图形如右图所示，则曲线y=f(x)的拐点个数为A．0．B．1．C．2．D．3．正确答案：C解析：由右图知f”(x1)=f”(x2)=0，f”(0)不存在，其余点上二阶导数f”(x) 存在且非零，则曲线y=f(x)最多三个拐点，但在x=x1两侧的二阶导数不变号．因此不是拐点．而在x=0和x=x2两侧的二阶导数变号，则曲线y=f(x)有两个拐点，故(C)．知识模块：高等数学4．(16年)已知函数f(x)=，n=1，2，…，则A．x=0是f(x)的第一类间断点．B．x=0是f(x)的第二类间断点．C．f(x)在x=0处连续但不可导．D．f(x)在x=0处可导．正确答案：D解析：f-’(0)=1，由夹逼原理知即f+’(0)=1．故f(x)在x=0处可导，(D)．知识模块：高等数学5．(87年)求正的常数a与b，使等式正确答案：洛必达法则知由于上式右端分子极限为零，而原式极限为1，则b=1．从而有则a=4．涉及知识点：高等数学6．(87年)设f(x)为已知连续函数，I=f(x)dx，其中s＞0，t＞0．则I的值A．依赖于s和t．B．依赖于s，t，x．C．依赖于t和x，不依赖于5．D．依赖于s，不依赖于t．正确答案：D解析：由此可见，I的值只与s有关，所以(D)．知识模块：高等数学7．(90年)设f(x)是连续函数，且F(x)=，则F’(x)等于A．一e-xf(e-x)一f(x)B．一e-xf(e-x)+f(x)C．e-xf(e-x)一f(x)D．e-xf(e-x)+f(x)正确答案：A解析：由F(x)=可知F’(x)=一e-xf(e-x)一f(x)故(A)．知识模块：高等数学8．(93年)设f(x)=∫0sinxsint2dt，g(x)=x3+x4，则当x→0时，f(x)是g(x)的A．等价无穷小．B．同阶但非等价的无穷小．C．高阶无穷小．D．低阶无穷小．正确答案：B解析：所以，当x→0时，f(x)与g(x)是同阶但非等价的无穷小．知识模块：高等数学9．(93年)双纽线(x2+y2)2=x2一y2所围成的区域面积可用定积分表示为A．B．C．D．正确答案：A解析：设双纽线在第一象限围成的面积为S1，则所求面积为所以(A)．知识模块：高等数学10．(94年)设M=则有A．N＜P＜M．B．M＜P＜N．C．N＜M＜P．D．P＜M＜N．正确答案：D解析：由被积函数的奇偶性可知M=0因此P＜M＜N，故(D)．知识模块：高等数学11．(96年)设f(x)有连续导数，f(0)=0，f’(0)≠0，F(x)=∫0x(x2一t2)f(t)dt，且当x→0时，F’(x)与xk是同阶无穷小，则k等于A．1．B．2．C．3．D．4．正确答案：C解析：F(x)=x2∫0xf(t)dt—∫0xt2f(t)dtF’(x)=2x[f(t)dt+x2f(x)一x2f(x)=2x∫0xf(t)dt由于=f’(0)≠0，而上式右端极限存在且为非零常数，则k=3，所以(C)．知识模块：高等数学填空题12．(14年)设f(x)是周期为4的可导奇函数，且f’(x)=2(x—1)，x∈[0，2]，则f(7)=________．正确答案：1解析：由f’(x)=2(x一1)，x∈[0，2]知，f(x)=(x一1)2+C．又f(x)为奇函数，则f(0)=0，C=一1．f(x)=(x一1)2一1．由于f(x)以4为周期，则f(7)=f[8+(一1)]=f(一1)=一f(1)=1 知识模块：高等数学13．(16年)设函数f(x)=arctanx一且f’”(0)=1，则a=_____．正确答案：解析：知识模块：高等数学14．(87年)由曲线y=lnx与两直线y=(e+1)一x及y=0所围成的平面图形的面积是_______．正确答案：解析：令lnx=0，得x=1；令e+1一x=0，得x=e+1；令lnx=e+1一x，得x=e．则所求面积为S=∫1elnxdx+∫ee+1(e+1-xdx= 知识模块：高等数学15．(88年)设f(x)是连续函数，且f(t)dt=x，则f(7)=________．正确答案：解析：等式f(t)dt=x两边对x求导，得3x2f(x3一1)=1．令x=2，得知识模块：高等数学16．(89年)设f(x)是连续函数，且f(x)=x+2∫01f(t)dt，则f(x)=_______．正确答案：x一1．解析：令∫01f(t)dt=a，则f(x)=x+2a．将f(x)=x+2a代入∫01f(t)dt=a，得∫01(t+2a)dt=a，即则f(x)=x一1 知识模块：高等数学17．(93年)函数F(x)=的单调减少区间为_______．正确答案：解析：则F(x)单调减少区间为知识模块：高等数学18．(95年)正确答案：解析：所以知识模块：高等数学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）下列曲线中有渐近线的是（ ）（A ）sin y x x =+ （B ）2sin y x x =+ （C ）1sin y x x =+ （D ）21sin y x x=+ 【答案】C【考点】函数图形的渐近线【解析】对于选项A ， lim(sin )x x x →∞+ 不存在，因此没有水平渐近线，同理可知，选项A 没有铅直渐近线， 而sinxlimlim x x y x x x→∞→∞+=不存在，因此选项A 中的函数没有斜渐近线； 对于选项B 和D ，我们同理可知，对应的函数没有渐近线；对于C 选项，1siny x x=+.由于1sin lim lim1x x x yx x x→∞→∞+==，又()1lim 1lim sin0x x y x x →∞→∞-⋅==.所以1sin y x x=+存在斜渐近线y x =.故选C. （2）设函数()f x 具有2阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]内（ ） （A ）当()0f x '≥时，()()f x g x ≥ （B ）当()0f x '≥时，()()f x g x ≤ （C ）当()0f x ''≥时，()()f x g x ≥ （D ）当()0f x ''≥时，()()f x g x ≤ 【答案】D【考点】函数图形的凹凸性 【解析】令()()()()(0)(1)(1)F x f x g x f x f x f x =-=---有(0)(1)0F F ==，()()(0)(1)F x f x f f ''=+-，()()F x f x ''''=当()0f x ''≥时，()F x 在[0,1]上是凹的，所以()0F x ≤，从而()()f x g x ≤.选D. （3）设(,)f x y 是连续函数，则21101(,)yy dy f x y dx ---=⎰⎰（ ）（A ）21110010(,)(,)x x dx f x y dy dx f x y dy ---+⎰⎰⎰⎰（B ）211011(,)(,)xx dx f x y dy dx f x y dy ----+⎰⎰⎰⎰（C ）112cos sin 02(cos ,sin )(cos ,sin )d f r r dr d f r r dr ππθθπθθθθθθ++⎰⎰⎰⎰（D ）112cos sin 02(cos ,sin )(cos ,sin )d f r r rdr d f r r rdr ππθθπθθθθθθ++⎰⎰⎰⎰【答案】D【考点】交换累次积分的次序与坐标系的变换 【解析】画出积分区域.21101(,)yy dy f x y dx ---=⎰⎰21111(,)+(,)x xdx f x y dy dx f x y dy ---⎰⎰⎰⎰或112cos sin 02(cos ,sin )(cos ,sin )d f r r rdr d f r r rdr ππθθπθθθθθθ++⎰⎰⎰⎰.故选D.（4）若{}2211,(cos sin )min (cos sin )a b Rx a x b x dx x a x b x dx ππππ--∈--=--⎰⎰，则11cos sin a x b x +=（ ）（A ）2sin x （B ）2cos x （C ）2sin x π （D ）2cos x π 【答案】A【考点】定积分的基本性质 【解析】222(cos sin )[2(cos sin )(cos sin )]x a x b x dx x x a x b x a x b x dx ππππ----=-+++⎰⎰22222[2cos 2sin cos 2sin cos sin ]x ax x bx x a x ab x x b x dx ππ-=--+++⎰22222[2sin cos sin ]x bx x a x b x dx ππ-=-++⎰2222202[2sin cos sin ]x bx x a x b x dx π=-++⎰333222222222(2)(4)[(2)4]32233b a b a b b a b ππππππππ=-++=+-+=+--+故当0,2a b ==时，积分最小.故选A.（5）行列式0000000a b abc d c d=（ ）（A ）2()ad bc - （B ）2()ad bc -- （C ）2222a dbc - （D ）2222b c a d - 【答案】B【考点】行列式展开定理 【解析】2141000000(1)0(1)000000000a b a b a b a ba c d cbcd d c d c d++=⨯-+⨯- 3323(1)(1)a b a b a d c b c d c d ++=-⨯⨯--⨯⨯-a b a bad bcc d c d=-+ 2()()a bbc ad ad bc c d=-=--.故选B. （6）设123,,ααα均为3维向量，则对任意常数,k l ，向量组1323,k l αααα++线性无关是向量组123,,ααα线性无关的（ ）（A ）必要非充分条件 （B ）充分非必要条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分也非必要条件 【答案】A【考点】向量组的线性无关的充要条件【解析】132312310(,)(,,)01k l k l ααααααα⎛⎫ ⎪++= ⎪ ⎪⎝⎭记132312310(,),(,,),01A k l B C k l ααααααα⎛⎫⎪=++== ⎪ ⎪⎝⎭若123,,ααα线性无关，则1323()()()2,r A r BC r C k l αααα===⇒++线性无关. 由1323,k l αααα++线性无关不一定能推出123,,ααα线性无关.如：123100=0=1=0000ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，1323,k l αααα++线性无关，但此时123,,ααα线性相关.故选A.（7）设随机事件A 与B 相互独立，且3.0)(,5.0)(=-=B A P B P ，则=-)(A B P （ ） （A ）0.1 (B)0.2 (C)0.3 (D)0.4 【答案】B【考点】概率的基本公式 【解析】()()()()()()P A B P A P AB P A P A P B -=-=- ()0.5()0.5()0.3()0.6P A P A P A P A =-==⇒=.()()()()()()0.50.50.60.2P B A P B P AB P B P A P B -=-=-=-⨯=.故选B.（8）设连续型随机变量21,X X 相互独立，且方差均存在，21,X X 的概率密度分别为)(),(21x f x f ，随机变量1Y 的概率密度为)]()([21)(211y f y f y f Y +=，随机变量)(21212X X Y +=，则（A ）2121,DY DY EY EY >> （B ）2121,DY DY EY EY == （C ）2121,DY DY EY EY <= （D ）2121,DY DY EY EY >= 【答案】D【考点】统计量的数学期望【解析】2121()2Y X X =+，2121211[()]()22EY E X X EX EX =+=+， 2121211[()]()24DY D X X DX DX =+=+.1121()[()()]2Y f y f y f y =+，1121221[()()]()22y EY f y f y dy EX EX EY +∞-∞=+=+=⎰.2222112121[()()]()22y EY f y f y dy EX EX +∞-∞=+=+⎰， 22222111121211()()()24DY EY EY EX EX EX EX =-=+-+ 2222121212122()()24EX EX EX EX EX EX ⎡⎤=+---⋅⎣⎦ 22121212124DX DX EX EX EX EX ⎡⎤=+++-⋅⎣⎦ 221212121()()24DX DX EX EX EX EX ⎡⎤≥+++-⋅⎣⎦ 2121221()4DX DX EX EX DY ⎡⎤=++-≥⎣⎦ 1212,EY EY DY DY ∴=>二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）曲面)sin 1()sin 1(22x y y x z -+-=在点)1,0,1(处的切平面方程为【答案】210x y z ---= 【考点】曲面的切平面【解析】22(,,)(1sin )(1sin )F x y z x y y x z =-+--22(1sin )cos x F x y x y '=--⋅，2cos 2(1sin )y F y x y x '=-⋅+-，1z F '=-∴(1,0,1)2x F '=，(1,0,1)1y F '=-，(1,0,1)1z F '=-曲面在点)1,0,1(处的切平面方程为2(1)(1)(0)(1)(1)0x y z -+--+--=，即210x y z ---=（10）设)(x f 是周期为4的可导奇函数，且]2,0[),1(2)(∈-='x x x f ，则=)7(f【答案】1【考点】函数的周期性 【解析】由于]2,0[),1(2)(∈-='x x x f ，所以2()(1),[0,2]f x x C x =-+∈ 又)(x f 是奇函数，(0)0f =，解得1C =-2()(1)1,[0,2]f x x x ∴=--∈)(x f 是以4为周期的奇函数，故2(7)(3)(1)(1)[(11)1]1f f f f ==-=-=---=（11）微分方程0)ln (ln =-+'y x y y x 满足条件3)1(e y =的解为=y【答案】21x y xe +=【考点】变量可分离的微分方程 【解析】(ln ln )0ln 0y xxy y x y y x y''+-=⇒+= ① 令yu x=，则y ux =，y u u x ''=+ 代入①，得ln 0u u x u u '+-=即(ln 1)u u u x-'=分离变量，得(ln 1)(ln 1)ln 1du d u dxu u u x-==--两边积分得1ln ln 1ln u x C -=+，即ln 1u Cx -=即ln1yCx x-= 代入初值条件3)1(e y =，可得2C =，即ln12yx x-= 整理可得21x y xe+=.（12）设L 是柱面122=+y x 与平面0=+z y 的交线，从z 轴正向往z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分⎰=+Lydz zdx【答案】π【考点】斯托克斯公式 【解析】由斯托克斯公式，得0xyLD dydz dzdx dxdy zdx ydz dydz dzdx dydz dzdx x y z z yπ∑∑∂∂∂+==+=+=∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中{}22(,)1xy D x y x y =+≤（13）设二次型3231222132142),,(x x x ax x x x x x f ++-=的负惯性指数为1，则a 的取值范围是【答案】]2,2[-【考点】惯性指数、矩阵的特征值、配方法化二次型为标准形 【详解】 【解法一】二次型对应的系数矩阵为：O a a ≠⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0221001，记特征值为321,,λλλ则0011)(321=+-==++A tr λλλ，即特征值必有正有负，共3种情况； 故二次型的负惯性指数为⇔1特征值1负2正或1负1正1零；0402210012≤+-=-⇔a a a，即]2,2[-∈a【解法二】2222222212312132311332233(,,)2424f x x x x x ax x x x x ax x a x x x x a x =-++=++-+- 2222222213233123()(2)(4)(4)x ax x x a x y y a y =+--+-=-+-若负惯性指数为1，则240[2,2]a a -≥⇒∈-（14）设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他,02,32),(2θθθθx xx f ，其中θ是未知参数，n X X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本，若∑=ni i X c 12是2θ的无偏估计，则=c【答案】n52 【考点】统计量的数字特征 【解析】根据题意，有322222112()()()3n ni i i i x E c X c E X ncE X nc dx θθθ=====∑∑⎰4222221523425nc nc x c nθθθθθ=⋅==∴= 三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）求极限)11ln(])1([lim2112xx dtt e t xtx +--⎰+∞→【考点】函数求极限、变限积分函数求导、等价无穷小、洛必达法则 【详解】11221122((1))((1))limlim11ln(1)xxttx x t e t dt t e t dtx x xx→+∞→+∞----=+⋅⎰⎰1122(1)1lim lim (1)1xx x x x e x x e x→+∞→+∞--==-- 2001111lim lim 22t t t t e t e t x t t ++→→---===令 （16）（本题满分10分）设函数)(x f y =由方程322+60y xy x y ++=确定，求)(x f 的极值【考点】极值的必要条件【解析】对方程两边直接求导：2223220y y x y xy y xyy '''++++= ① 令0y '=，得2y x =-，或0y =（舍去）将2y x =-代入原方程得 3660x -+= 解得1x =，此时2y =-. 对①式两端再求导，得222(32)2(3)()4()20y xy x y y x y y x y y ''''+++++++=将1x =，2y =-，0y '=代入上式，得 409y ''=>，即4(1)09f ''=> ()y f x ∴=在1x =处取极小值，极小值为(1)2f =-.（17）（本题满分10分）设函数)(u f 具有2阶连续导数，)cos (y e f z x =满足22222(4cos )x x z zz e y e x y∂∂+=+∂∂，若0)0(,0)0(='=f f ，求)(u f 的表达式. 【考点】多元函数求偏导、二阶常系数非齐次线性微分方程 【解析】由)cos (y e f z x=，知(cos )cos x x z f e y e y x ∂'=⋅∂，(cos )(sin )x x zf e y e y y∂'=⋅-∂ 22(cos )cos cos (cos )cos x x x x x zf e y e y e y f e y e y x∂'''=⋅⋅+⋅∂， 22(cos )(sin )(sin )(cos )(cos )x x x x x zf e y e y e y f e y e y y∂'''=⋅-⋅-+⋅-∂ 由22222(4cos )x xz z z e y e x y∂∂+=+∂∂，代入得 22(cos )[4(cos )cos ]x x x x x f e y e f e y e y e ''⋅=+即(cos )4(cos )cos x x x f e y f e y e y ''-= 令cos x u e y =，则()4()f u f u u ''-= 特征方程212402,2r r r -=⇒==- 齐次方程通解为2212uu y C eC e -=+设特解*y au b =+，代入方程得1,04a b =-=，特解*14y u =-原方程的通解为221214uu y C eC e u -=+-由(0)0,(0)0f f '==，得 1211,1616C C ==- 22111()16164u u y f u e e u -∴==--（18）（本题满分10分）设∑为曲面)1(22≤+=z y x z 的上侧，计算曲面积分dxdy z dzdx y dydz x I )1()1()1(33-+-+-=⎰⎰∑【考点】高斯公式【解析】因∑不封闭，添加辅助面2211:1x y z ⎧+≤∑⎨=⎩，方向向上．133(x 1)(y 1)(z 1)dydz dzdx dxdy ∑+∑-+-+-⎰⎰22(3(1)3(1)1)x y dxdydz Ω=-+-+⎰⎰⎰22(3633631)x x y y dxdydz Ω=++++++⎰⎰⎰22(337)x y dxdydz Ω=++⎰⎰⎰1220(z)(337)D dz x y dxdy =++⎰⎰⎰1220(37)4zdz d r rdr πθπ=+=⎰⎰⎰（其中(66)0x y dxdydz Ω+=⎰⎰⎰，因为积分区域关于,xoz yoz对称，积分函数(,)66f x y x y =+分别是,y x 的奇函数．）在曲面1∑上，133(1)(1)(1)0x dydz y dzdx z dxdy ∑-+-+-=⎰⎰ 故33(1)(1)(1)4x dydz y dzdx z dxdy π∑-+-+-=-⎰⎰． （19）（本题满分10分） 设数列}{},{n n b a 满足n n n n n b a a b a cos cos ,20,20=-<<<<ππ，且级数1n n b ∞=∑收敛.（I ）证明：;0lim =∞→n n a（II ）证明：级数∑∞=1n nnb a 收敛. 【考点】级数敛散性的判别【解析】证明：（I ）cos cos cos cos n n n n n n a a b a a b -=⇒=-0,022n n a b ππ<<<<，cos cos 00n n n n a b a b ∴->⇒<<级数1nn b∞=∑收敛，∴级数1nn a∞=∑收敛，lim 0n n a →∞=.（II ）解法1：2sinsin cos cos 22n n n nn n nn nna b a ba ab b b b +---==02n a π<<，02n b π<<，sin ,sin 2222n n n n n n n n a b a b a b a b ++--∴≤≤222222n n n nn nn nn n a b a b a b a b b b +--⋅-∴≤=222n n n b b b ≤=02n a π<<，02n b π<<，且级数1nn b∞=∑收敛，∴级数∑∞=1n nnb a 收敛. 解法2：cos cos 1cos n n n nn n na ab b b b b --=≤21cos 1cos 1lim lim 2n n n n n n n b b b b b →∞→∞--== ∵同阶无穷小有相同的敛散性，∴由1n n b ∞=∑⇒ 11cos n n n b b ∞=-∑收敛⇒∑∞=1n n n b a收敛（20）（本题满分11分）设E A ,302111104321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=为3阶单位矩阵.（I ）求方程组0=Ax 的一个基础解系； （II ）求满足E AB =的所有矩阵B .【考点】齐次线性方程组的基础解系、非齐次线性方程组的通解 【详解】对矩阵()A E 施以初等行变换1234100()0111010*******A E --⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭ 1205412301021310013141--⎛⎫⎪→--- ⎪ ⎪--⎝⎭ 100126101021310013141-⎛⎫⎪→--- ⎪ ⎪---⎝⎭ （I ） 方程组0=Ax 的同解方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===-=4443424132x x x x xx x x ，即基础解系为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1321（II ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001Ax 的同解方程组为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=-=+-=01312244434241x x x x x x x x ，即通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-011213211k⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010Ax 的同解方程组为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=-=+-=04332644434241x x x x x x x x ，即通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-043613212k ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100Ax 的同解方程组为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+=--=01312144434241x x x x x x x x ，即通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-011113213k ，123123123123261212321313431k k k k k k B k k k k k k -+-+--⎛⎫⎪--+ ⎪∴= ⎪--+ ⎪⎝⎭，321,,k k k 为任意常数（21）（本题满分11分）证明：n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111111111与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n 00200100 相似 【考点】矩阵的特征值、相似对角化 【详解】设111111111A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，00100200B n ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭因为()1r A =，()1r B =所以A 的特征值为：n A tr n n ======-)(,0121λλλλB 的特征值为：n B tr n n =='='=='='-)(,0121λλλλ 关于A 的0特征值，因为1)()()0(==-=-A r A r A E r ，故有1-n 个线性无关的特征向量，即A 必可相似对角化于⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n 00 同理，关于B 的0特征值，因为1)()()0(==-=-B r B r B E r ，故有1-n 个线性无关的特征向量，即B 必可相似对角化于⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n 00 由相似矩阵的传递性可知，A 与B 相似. （22）（本题满分11分）设随机变量X 的概率分布为21}2{}1{====X P X P ，在给定i X =的条件下，随机变量Y 服从均匀分布)2,1)(,0(=i i U ，（I ）求Y 的分布函数)(y F Y ； （II ）求EY【考点】一维随机变量函数的分布、随机变量的数字特征（期望） 【详解】（I ）()()y F y P Y y =≤(1)(1)(2)(2)P X P Y y X P X P Y y X ==≤=+=≤=11(1)(2)22P Y y X P Y y X =≤=+≤= ① 当0y < 时，(y)0Y F =② 当01y ≤<时，1113(y)2224Y F y y y =+⨯= ③ 当12y ≤<时，1111(y)22224Y yF y =+⨯=+④ 当2y ≥时，11(y)122Y F =+=综上：003y 014(y)1122412Y y y F y y y <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪+≤<⎪⎪≥⎩（II ）随机变量Y 的概率密度为'30141(y)(y)1240Y Y y f F y ⎧<<⎪⎪⎪==≤<⎨⎪⎪⎪⎩其他12-013131133()4442424Y EY yf y dy ydy ydy +∞∞==+=⨯+⨯=⎰⎰⎰ （23）（本题满分11分）设总体X 的分布函数21,0(;)00x e x F x x θθ-⎧⎪-≥=⎨⎪<⎩，，其中θ是未知参数且大于零，12,,,n X X X 为来自总体X 的简单随机样本.（Ⅰ）求EX 与2EX ；（Ⅱ）求θ的最大似然估计量ˆnθ；（Ⅲ）是否存在实数a ，使得对任何0ε>，都有{}ˆlim 0nn P a θε→∞-≥=？ 【考点】统计量的数字特征、最大似然估计、估计量的评选标准（无偏性） 【解析】（Ⅰ）X 的概率密度为22,0(;)(;)0,0xx e x f x F x x θθθθ-⎧⎪≥'==⎨⎪<⎩222()(;)()x x xE X xf x dx x edx xd eθθθθ--+∞+∞+∞-∞==⋅=-⎰⎰⎰22200012222x x x xeedx edx θθθθπθπ+∞---+∞+∞=-+==⋅=⎰⎰ 22222202()(;)()x x x E X x f x dx x edx x d eθθθθ--+∞+∞+∞-∞==⋅=-⎰⎰⎰222220222x x x x xx ex edx x edx edx θθθθθθθ+∞----+∞+∞+∞=-+⋅=⋅=⋅=⎰⎰⎰（Ⅱ）设12,,,n x x x 为样本的观测值，似然函数为2112(),0(1,2,,),()(;)0,0ix n n ni i i i i x e x i n L f x x θθθθ-==⎧≥=⎪==⎨⎪<⎩∏∏当0(1,2,,)i x i n ≥=时，22111122()()()ni i i x nn x nni i i i L x ex eθθθθθ=--==∑==∏∏两边取对数，得2211112121ln ()lnln lnln nnnni ii ii i i i L n x x n x x θθθθθ=====+-=+-∑∑∑∏两边求导，得221ln ()1nii d L n xd θθθθ==-+∑令ln ()0d L d θθ=，得211n i i x n θ==∑ 所以，θ的最大似然估计量为211ˆn i i X n θ==∑.（Ⅲ）存在a θ=.因为{}2n X 是独立同分布的随机变量序列，且21EX θ=<+∞，所以根据辛钦大数定律，当n →∞时，211ˆnn i i X n θ==∑依概率收敛于21EX ，即θ. 所以对于任何0ε>都有{}ˆlim 0nn Pθθε→∞-≥=.。

经典文历年考研数学一真题及答案(1987-2014)_图文历年考研数学一真题1987-2014（经典珍藏版）1987年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)当x=_____________时,函数y x2x取得极小值.(2)由曲线y lnx与两直线y e1x及y0所围成的平面图形的面积是_____________.1x(3)与两直线y1tz2t及x1y12z 11 1都平行且过原点的平面方程为_____________.(4)设为取正向的圆周x2y29,则曲线积分L(2xy2y)dx(x24x)dy= _____________.(5)已知三维向量空间的基底为α1(1,1,0),α2(1,0,1),α3(0,1,1),则向量β(2,0,0)在此基底下的坐标是_____________.二、(本题满分8分)求正的常数a与b,使等式lim1x2x0bx sinx01成立.三、(本题满分7分)(1)设f、g为连续可微函数,uf(x,xy),v g(x xy),求u x,v x. (2)设矩阵和B满足关系式AB=A2B,其中301A110,求矩阵B.401四、(本题满分8分)求微分方程y6y(9a2)y1的通解,其中常数a0.五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设limf(x)f(a)x a(x a)21,则在x a处 (A)f(x)的导数存在,且f(a)0 (B)f(x)取得极大值(C)f(x)取得极小值 (D)f(x)的导数不存在 (2)设f(x)为已知连续函数s,I tt0f(tx)dx,其中t0,s0,则I的值(A)依赖于s和t (B)依赖于s、t和x(C)依赖于t、x,不依赖于s (D)依赖于s,不依赖于t(3)设常数k0,则级数(1)nk nn2n1(A)发散 (B)绝对收敛(C)条件收敛 (D)散敛性与k的取值有关(4)设A为n阶方阵，且A的行列式|A|a0,而A* 是A的伴随矩阵，则|A*|等于(A)a (B)1a(C)an 1(D)an六、（本题满分10分）求幂级数1n1n2nx的收敛域，并求其和函数. n 1七、（本题满分10分）求曲面积分I x(8y1)dydz2(1y2)dzdx4yzdxdy,其中是由曲线f(x)z1y3绕y轴旋转一周而成的曲面,其法向量与y轴正向的夹角恒大于. 2x0八、（本题满分10分）设函数f(x)在闭区间[0,1]上可微,对于[0,1]上的每一个x,函数f(x)的值都在开区间(0,1)内,且f(x)1,证明在(0,1)内有且仅有一个x,使得f(x)x.九、（本题满分8分）问a,b为何值时,现线性方程组x1x2x3x40x22x32x4 1x2(a3)x32x4 b3x12x2x3ax4 1有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设在一次实验中,事件A发生的概率为p,现进行n次独立试验,则A 至少发生一次的概率为____________;而事件A至多发生一次的概率为____________.(2)有两个箱子,第1个箱子有3个白球,2个红球, 第2个箱子有4个白球,4个红球.现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里,再从第2个箱子中取出1个球,此球是白球的概率为____________.已知上述从第2个箱子中取出的球是白球,则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为____________.(3)已知连续随机变量X的概率密度函数为f(x)十一、（本题满分6分）设随机变量X,Y相互独立,其概率密度函数分别为fX(x)x22x1,则X的数学期望为____________,X的方差为____________. 10 0x1其它,y y0, 求ZfY(y)y02X Y的概率密度函数.1988年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求幂级数(x3)nn 1n3n的收敛域. (2)设f(x)ex2,f[(x)]1x且(x)0,求(x)及其定义域.(3)设为曲面x2y2z21的外侧,计算曲面积分I x3dydz y3dzdx z3dxdy.二、填空题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.把答案填在题中横线上)(1)若f(t)limxt(11x)2tx,则f(t)= _____________.(2)设f(x)连续且x3 1f(t)dt x,则f(7)=_____________.(3)设周期为2的周期函数,它在区间(1,1]f(x)221x00x 1,则的傅里叶x(Fourier)级数在x1处收敛于_____________.(4)设4阶矩阵A[α,γ2,γ3,γ4],B[β,γ2,γ3,γ4],其中α,β,γ2,γ3,γ4均为4维列向量,且已知行列式A4,B1,则行列式A B= _____________.三、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设f(x)可导且f(x0)12,则x0时,f(x)在x0处的微分dy是(A)与x等价的无穷小 (B)与x同阶的无穷小(C)比x低阶的无穷小 (D)比x高阶的无穷小 (2)设y f(x)是方程y2y4y0的一个解且f(x0)0,f(x0)0,则函数f(x)在点x0处(A)取得极大值 (B)取得极小值(C)某邻域内单调增加 (D)某邻域内单调减少 (3)设空间区域21:x2y2z2R2,z0,2:x2y2z2R,x0,y0,z0,则(A)xdv4dv12(B)ydv4ydv12(C)zdv4zdv12(D)xyzdv4xyzdv12(4)设幂级数ann(x1)在x1处收敛,则此级数在n 1x2处(A)条件收敛 (B)绝对收敛(C)发散 (D)收敛性不能确定(5)n维向量组α1,α2,,αs(3s n)线性无关的充要条件是(A)存在一组不全为零的数k1,k2,,ks,使k1α1k2α2ksαs0(B)α1,α2,,αs中任意两个向量均线性无关(C)α1,α2,,αs中存在一个向量不能用其余向量线性表示(D)α1,α2,,αs中存在一个向量都不能用其余向量线性表示四、(本题满分6分)设u yf(xy)xg(yx),其中函数f、g具有二阶连续导数,求x2u2u x2y x y.五、(本题满分8分)设函数y y(x)满足微分方程y3y2y2ex,其图形在点(0,1)处的切线与曲线y x2x1在该点处的切线重合,求函数y y(x).六、（本题满分9分）设位于点(0,1)的质点A对质点M的引力大小为kr2(k0为常数,r为A质点与M之间的距离),质点M沿直线yB(2,0)运动到O(0,0),求在此运动过程中质点A对质点M的引力所作的功.七、（本题满分6分）100已知AP BP,其中B000100,P210,求A51,A. 00211八、（本题满分8分）200已知矩阵A001200与B0y0相似.01x001(1)求x与y. (2)求一个满足P1AP B的可逆阵P.九、（本题满分9分）设函数f(x)在区间[a,b]上连续,且在(a,b)内有f(x)0,证明:在(a,b)内存在唯一的,使曲线y f(x)与两直线yf(),x a所围平面图形面积S1是曲线y f(x)与两直线yf(),x b所围平面图形面积S2的3倍.十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设在三次独立试验中,事件A出现的概率相等,若已知A至少出现一次的概率等于1927,则事件A在一次试验中出现的概率是____________.(2)若在区间(0,1)内任取两个数,则事件”两数之和小于65”的概率为____________.(3)设随机变量X服从均值为10,均方差为0.02的正态分布,已知(x)xu22du,(2.5)0.9938,则X落在区间(9.95,10.05)内的概率为____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X的概率密度函数为fX(x)1,求随2(1x)机变量Y1的概率密度函数fY(y).1989年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)已知f(3)2,则limf(3h)f(3)= _____________. h02h(2)设f(x)是连续函数,且f(x)x2 10f(t)dt,则f(x)=_____________.(3)设平面曲线L为下半圆周y则曲线积分2L(xy2)ds=_____________.(4)向量场divu在点P(1,1,0)处的散度divu=_____________.300(5)设矩阵A140100,I010,则矩阵003001(A2I)1=_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)当x0时,曲线y xsin1x(A)有且仅有水平渐近线 (B)有且仅有铅直渐近线(C)既有水平渐近线,又有铅直渐近线 (D)既无水平渐近线,又无铅直渐近线(2)已知曲面z4x2y2上点P处的切平面平行于平面2x2y z10,则点的坐标是(A)(1,1,2) (B)(1,1,2)(C)(1,1,2) (D)(1,1,2) (3)设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程的解是任意常数,则该非齐次方程的通解是(A)c1y1c2y2y3 (B)c1y1c2y2(c1c2)y3(C)c1y1c2y2(1c1c2)y3 (D)c1y1c2y2(1c1c2)y3(4)设函数f(x)x2,0x1,而S(x)bnsinn x,x,其中n 1b1n20f(x)sinn xdx,n1,2,3,,则S(12)等于(A)12(B)14(C)14(D)12(5)设A是n阶矩阵,且A的行列式A0,则A中 (A)必有一列元素全为0 (B)必有两列元素对应成比例(C)必有一列向量是其余列向量的线性组合 (D)任一列向量是其余列向量的线性组合三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分) (1)设z f(2x y)g(x,xy),其中函数f(t)二阶可导,g(u,v)具有连续二阶偏导数,求2zx y. (2)设曲线积分 2cxydx y(x)dy与路径无关,其中(x)具有连续的导数,且(0)0,计算(1,1)(0,0)xy2dx y(x)dy的值.(3)计算三重积分(x z)dv,其中是由曲面z与z所围成的区域.四、(本题满分6分)将函数f(x)arctan1x1x展为x的幂级数.五、(本题满分7分)设f(x)sinx x0(x t)f(t)dt,其中f为连续函数,求f(x).六、（本题满分7分）证明方程lnxxe0在区间(0,)内有且仅有两个不同实根.七、（本题满分6分）问为何值时,线性方程组x1x34x1x22x3 2 6x1x24x32 3有解,并求出解的一般形式. 八、（本题满分8分）假设为n阶可逆矩阵A的一个特征值,证明 (1)1为A 1的特征值.(2)AA的伴随矩阵A*为的特征值.九、（本题满分9分）设半径为R的球面的球心在定球面x2y2z2a2(a0)上,问当R为何值时,球面在定球面内部的那部分的面积最大?十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知随机事件A的概率P(A)0.5,随机事件B的概率P(B)0.6及条件概率P(B|A)0.8,则和事件A B的概率P(A B)=____________.(2)甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为____________.(3)若随机变量在(1,6)上服从均匀分布,则方程x2x10有实根的概率是____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X与Y独立,且X服从均值为1、标准差(均方差)的正态分布,而Y服从标准正态分布.试求随机变量Z2X Y3的概率密度函数.1990年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)x t 2(1)过点M(1,21) y3t4垂直的平面方程是_____________.z t 1(2)设a为非零常数,则xlim(x ax a)x=_____________.(3)设函数x1f(x1x 1,则f[f(x)]=_____________.(4)积分20dx 2y2xe dy的值等于_____________. (5)已知向量组α1(1,2,3,4),α2(2,3,4,5),α3(3,4,5,6),α4(4,5,6,7),则该向量组的秩是_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设f(x)是连续函数,且F(x)e xxf(t)dt,则F(x)等于(A)e xf(e x)f(x) (B)e xf(e x)f(x)(C)e xf(e x)f(x)(D)e xf(e x)f(x) (2)已知函数f(x)具有任意阶导数,且f(x)[f(x)]2,则当n为大于2的正整数时,f(x)的n阶导数f(n)(x)是(A)n![f(x)]n 1 (B)n[f(x)]n 1(C)[f(x)]2n(D)n![f(x)]2n(3)设a为常数,则级数[sin(na)2n1n(A)绝对收敛 (B)条件收敛(C)发散 (D)收敛性与a的取值有关 (4)已知f(x)在x0的某个邻域内连续,且f(0)0,limf(x)x01cosx2,则在点x0处f(x) (A)不可导 (B)可导,且f(0)0(C)取得极大值 (D)取得极小值(5)已知β1、β2是非齐次线性方程组AX b的两个不同的解,α1、α2是对应其次线性方程组AX0的基础解析,k1、k2为任意常数,则方程组AX b的通解(一般解)必是(A)k1β21α1k2(α1α2)β2(B)k1α1k2(α1α2)β1β22(C)k1α1k2(β1β2)β1β22(D)k1α1k2(β1β21β2)β2三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求1ln(1x)0(2x)2.(2)设zf(2x y,ysinx),其中f(u,v)具有连续的二阶偏导数,求2zx y.(3)求微分方程y4y4y e2x的通解(一般解).四、(本题满分6分)求幂级数(2n1)xn的收敛域,并求其和函数.n0五、(本题满分8分) 求曲面积分I yzdzdx2dxdyS其中S是球面x2y2z24外侧在z0的部分.六、（本题满分7分）设不恒为常数的函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且f(a)f(b).证明在(a,b)内至少存在一经典文点,使得f()0.七、（本题满分6分）设四阶矩阵1100 2134B0110,C02130011021000100002且矩阵A满足关系式A(E C 1B)C E其中E为四阶单位矩阵,C1表示C的逆矩阵,C表示C的转置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵A.八、（本题满分8分）求一个正交变换化二次型f x24x22124x34x1x24x1x38x2x3成标准型.九、（本题满分8分）质点P沿着以AB为直径的半圆周,从点A(1,2)运动到点B(3,4)的过程中受变力F作用(见图).F的大小等于点P与原点O之间的距离,其方向垂直于线段OP且与y轴正向的夹角小于.求变力F2对质点P所作的功.十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知随机变量X的概率密度函数f(x)12e x,x则X的概率分布函数F(x)=____________.(2)设随机事件A、B及其和事件的概率分别是0.4、0.3和0.6,若表示B的对立事件,那么积事件的概率P()=____________.(3)已知离散型随机变量X服从参数为2的泊松(Poisson)分布,即2ke 2P{X k},k0,1,2,,k!则随机变量Z3X2的数学期望E(Z)=____________. 十一、（本题满分6分）设二维随机变量(X,Y)在区域D:0x1,y x内服从均匀分布,求关于X的边缘概率密度函数及随机变量Z2X1的方差D(Z).1991年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)x1t2d2y cost,则ydx2=_____________.(2)由方程xyz所确定的函数z z(x,y)在点(1,0,1)处的全微分dz=_____________.(3)已知两条直线的方程是lx11:1y20z31;l:x2y1z221 1.则过l1且平行于l2的平面方程是_____________.1(4)已知当x0时,(1ax2)31与cosx1是等价无穷小,则常数a=_____________.520(5)设4阶方阵A2100阵0012,则A的逆0011A 1=_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)曲线x2y1e1 ex2(A)没有渐近线 (B)仅有水平渐近线(C)仅有铅直渐近线 (D)既有水平渐近线又有铅直渐近线 (2)若连续函数f(x)满足关系式经典文f(x)2f(t2)dt ln2,则f(x)等于(A)exln2 (B)e2xln2(C)exln2(D)e2xln2(3)已知级数(1)n1an2,a2n15,则级数n 1n 1an等于n 1(A)3 (B)7 (C)8 (D)9 (4)设D是平面xoy上以(1,1)、(1,1)和(1,1)为顶点的三角形区域,D1是D在第一象限的部分,则(xy cosxsiny)dxdy等于D(A)2cosxsinydxdy (B)2D xydxdy1D1(C)4(xy cosxsiny)dxdy (D)0D1(5)设n阶方阵A、B、C满足关系式ABC E,其中E是n阶单位阵,则必有(A)ACB E (B)CBA E(C)BAC E (D)BCA E三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分) (1)求xlim02.(2)设n是曲面2x23y2z26在点P(1,1,1)处的指向外侧的法向量,求函数u在点P处沿方向n的方向导数.(3)(x2y2z)dv,其中 y22z绕z轴旋转x0一周而成的曲面与平面z 4.四、(本题满分6分)过点O(0,0)和A(,0)的曲线族y asinx(a0)中,求一条曲线L,使沿该曲线O从到A的积分(1y3L)dx(2x y)dy的值最小.五、(本题满分8分)将函数f(x)2x(1x1)展开成以2为周期的傅里叶级数,并由此求级数12的和.n1n六、（本题满分7分）设函数f(x)在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且312f(x)dx f(0),证明在(0,1)内存在一点c,使f(c)0.3七、（本题满分8分）已知α1(1,0,2,3),α2(1,1,3,5),α3(1,1,a2,1),α4(1,2,4,a8)及β(1,1,b3,5).(1)a、b为何值时,β不能表示成α1,α2,α3,α4的线性组合?(2)a、b为何值时,β有α1,α2,α3,α4的唯一的线性表示式?写出该表示式.八、（本题满分6分）设A是n阶正定阵,E是n阶单位阵,证明A E的行列式大于1.九、（本题满分8分）在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点P(x,y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x轴平行.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)若随机变量X服从均值为2、方差为 2的正态分布,且P{2X4}0.3,则P{X0}=____________.(2)随机地向半圆0y a为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与x轴的夹角小于 4的概率为____________.十一、（本题满分6分）设二维随机变量(X,Y)的密度函数为f(x,y)2e(x2y) x y00 其它求随机变量Z X2Y的分布函数.1992年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)设函数y y(x)由方程ex ycos(xy)0确定,则dy经典文dx=_____________.(2)函数u ln(x2y2z2)在点M(1,2,2)处的梯度graduM=_____________.(3)设f(x)1x01x20x,则其以2为周期的傅里叶级数在点x处收敛于_____________. (4)微分方程y ytanx cosx的通解为y=_____________.a1b1a1b2a1bn(5)设A a2b1a2b1a2bn,其中anb1anb2anbnai0,bi0,(i1,2,,n).则矩阵A的秩r(A)=_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)当x1时,函数x211xx 1e1的极限(A)等于2 (B)等于0 (C)为 (D)不存在但不为(2)级数(1)n(1cosa)(常数a0)n1n(A)发散 (B)条件收敛(C)绝对收敛 (D)收敛性与a有关(3)在曲线x t,y t2,z t3的所有切线中,与平面x2y z4平行的切线(A)只有1条 (B)只有2条(C)至少有3条 (D)不存在(4)设f(x)3x3x2x,则使f(n)(0)存在的最高阶数n为 (A)0 (B)1(C)2 (D)31(5)要使ξ100,ξ21都是线性方程组AX0的解,21只要系数矩阵A为(A)212 (B)20 1011(C)10211011(D)422011三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分) (1)求xx0(2)设z f(exsiny,x2y2),其中f具有二阶连续偏导数, 求2zx y. (3)设f(x) 1x2 x0,求3exx01f(x2)dx.四、(本题满分6分)求微分方程y2y3y e3x的通解.五、(本题满分8分) 计算曲面积分(x3az2)dydz(y3ax2)dzdx(z3ay2)dxdy, 其中为上半球面z.六、（本题满分7分）设f(x)0,f(0)0,证明对任何x10,x20,有f(x1x2)f(x1)f(x2).七、（本题满分8分）在变力F yzi zxjxyk的作用下,质点由原点沿直线运动到椭球面x2a y2z22b2 c21上第一卦限的点M(,,),问当、、取何值时,力F所做的功W最大?并求出W的最大值.八、（本题满分7分）设向量组α1,α2,α3线性相关,向量组α2,α3,α4线性无关,问:(1)α1能否由α2,α3线性表出?证明你的结论. (2)α4能否由α1,α2,α3线性表出?证明你的结论.九、（本题满分7分）设3阶矩阵A的特征值为11,22,33,对应的特征向量依次为111ξ1,ξξ1122,33,又向量β21493.(1)将β用ξ1,ξ2,ξ3线性表出. (2)求Anβ(n为自然数).十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)P(A)P(B)P(C)A已11,P(AB)0,P(AC)P(BC),46知则事件、B、C全不发生的概率为____________.(2)设随机变量X服从参数为1的指数分布,则数学期望E{X e2X}=____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X与Y独立,X服从正态分布N(,2),Y服从[,]上的均匀分布,试求Z X Y的概率分布密度(计算结果用标准正态分布函数(x)表示,其中xe t22dt).1993年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)函数F(x)x(21dt(x0)的单调减少区间为_____________.(2)3x22y212绕轴旋转一周得到的旋转z0y面在点处的指向外侧的单位法向量为_____________.(3)设函数f(x)x x2(x)的傅里叶级数展开式为a2(ancosnx bnsinnx),则其中系数b3的值为n 1_____________. (4)设数场u则div(gradu)=_____________.(5)设n阶矩阵A的各行元素之和均为零,且A的秩为n1,则线性方程组AX0的通解为_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设f(x)sinx20sin(t)dt,g(x)x3x4,则当x0时,f(x)是g(x)的(A)等价无穷小 (B)同价但非等价的无穷小(C)高阶无穷小 (D)低价无穷小(2)双纽线(x2y2)2x2y2所围成的区域面积可用定积分表示为(A)240cos2d (B)440cos2d(C)2(D)140(cos2)2d(3)设有直线lx11:1y52z81l2: x y62y z3则l1与l2的夹角为(A) 6(B) 4(C) 3(D) 2(4)设曲线积分xL[f(t)e]sinydx f(x)cosydy与路径无关,其中f(x)具有一阶连续导数,且f(0)0,则f(x)等于(A)e x ex2(B)ex e x2(C)ex e x2(D)1ex e x2123(5)已知Q24t,P为三阶非零矩阵,且满足369PQ0,则(A)t6时P的秩必为1 (B)t6时P的秩必为2(C)t6时P的秩必为1 (D)t6时P的秩必为2三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求lim(sin2xx cos1x)x.(2)(3)求微分方程x2y xy y2,满足初始条件yx 11的特解.四、(本题满分6分)计算2xzdydz yzdzdx z2dxdy,其中是由曲面z与z所围立体的表面外侧.五、(本题满分7分)求级数(1)n(n2n1)n的和. n02六、(本题共2小题,每小题5分,满分10分) (1)设在[0,)上函数f(x)有连续导数,且f(x)k0,f(0)0,证明f(x)在(0,)内有且仅有一个零点.(2)设b a e,证明abba.七、（本题满分8分）已知二次型f(xx221,x2,3)2x213x23x32ax2x3(a0)通过正交变换化成标准形f y225y212y23,求参数a及所用的正交变换矩阵.八、（本题满分6分）设A是n m矩阵,B是m n矩阵,其中n m,I是n阶单位矩阵,若AB I,证明B的列向量组线性无关.九、（本题满分6分）设物体A从点(0,1)出发,以速度大小为常数v沿y轴正向运动.物体B 从点(1,0)与A同时出发,其速度大小为2v,方向始终指向A,试建立物体B 的运动轨迹所满足的微分方程,并写出初始条件.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)一批产品共有10个正品和2个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为____________.(2)设随机变量X服从(0,2)上的均匀分布,则随机变量Y X2在(0,4)内的概率分布密度fY(y)=____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X的概率分布密度为f(x)12e x,x. (1)求X的数学期望EX和方差DX.(2)求X与X的协方差,并问X与X是否不相关? (3)问X与X是否相互独立?为什么?1994年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)limcot(11x0sinx x)= _____________.(2)曲面z ex2xy3在点(1,2,0)处的切平面方程为_____________.(3)设u e xsinxy,则2u x y在点(2,1)处的值为_____________.(4)设区。

考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编25(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(08年)在下列微分方程中，以y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1，C2，C3为任意常数)为通解的是A．y”‘+y”一4y’一4y=0．B．y”‘+y”+4y’+4y=0．C．y”‘一y”一4y’+4y=0．D．y”‘一y”+4y’一4y=0．正确答案：D解析：由原题设知所求方程的特征方程的根为ρ1=1，ρ2，3=±2i则其特征方程为(ρ一1)(ρ2+4)=0，故所求方程应为y”‘一y”+4y’一4y=0故(D)．知识模块：高等数学2．(15年)设y=是二阶常系数非齐次线性微分方程y”+ay’+by=cex的一个特解，则A．a=一3，b=2，c=一1．B．a=3，b=2，c=一1．C．a=一3，b=2，c=1．D．a=3，b=2，c=1．正确答案：A解析：由是方程y”+ay’+by=cex的一个特解可知，y1=e2x，y2=ex是齐次方程的两个线性无关的解，y*=xex是非齐次方程的一个解．1和2是齐次方程的特征方程的两个根，特征方程为(ρ一1)(ρ一2)=0即ρ2—3ρ+2=0则a=一3，b=2将y=xex代入方程y”一3y’+2y=cex得c=一1．故(A)．知识模块：高等数学3．(16年)若y=(1+x2)2一是微分方程y’+p(x)y=q(x)的两个解，则q(x)= A．3x(1+x2)．B．一3x(1+x2)．C．D．正确答案：A解析：利用线性微分方程解的性质与结构．由是微分程y’+p(x)y=q(x)的两个解，知y1=y2是y’+p(x)y=0的解．故(y1—y2)’+p(x)(y1一y2)=0，即从而得p(x)=又是微分方程y’+p(x)y=q(x)的解，代入方程，有[(1+x2)2]’+p(x)(1+x2)2=q(x)，解得q(x)=3x(1+x2)．因此(A)．知识模块：高等数学4．(96年)4阶行列式的值等于A．a1a2a3a4一b1b2b3b4B．a1a2a3a4+b1b2b3b4C．(a1a2-b1b2)(a3a4-b3b4)D．(a2a3一b2b3)(a1a4一b1b4)正确答案：D解析：按第1行展开所求行列式D4，得=(a2a3一b2b3)(a1a4一b1b4)．知识模块：线性代数5．(14年)行列式A．(ad—bc)2B．一(ad—bc)2C．a2d2一b2c2D．b2c2一a2d2正确答案：B解析：按第1列展开，得所求行列式D等于=一ad(ad一bc)+be(ad一bc)=一(ad一bc)2 知识模块：线性代数6．(87年)设A为n阶方阵，且A的行列式|A|=a≠0，而A*是A的伴随矩阵，则|A*|等于A．aB．C．an+1D．an正确答案：C解析：由AA*=|A|E两端取行列式，得|A||A*|=|A|n，因|A|=a≠0，得|A*|=|A|n-1=an-1．知识模块：线性代数7．(91年)设n阶方程A、B、C满足关系式ABC=E，其中E是n阶单位阵，则必有A．ACB=EB．CBA=EC．BAC=ED．BCA=E正确答案：D解析：因为ABC=E，即A(BC)=E，故方阵A与BC互为逆矩阵，从而有(BC)A=E，即BCA=E．知识模块：线性代数填空题8．(06年)微分方程的通解是______．正确答案：y=Cxe-x．解析：ln|y|=ln|x|—x=ln|x|+lne-x=ln|x|e-x则y=Cxe-x．知识模块：高等数学9．(07年)二阶常系数非齐次线性微分方程y”一4y’+3y=2e2x的通解为y=________．正确答案：y=C1e2+C2e3x一2e2x．解析：齐次方程特征方程为ρ2—4ρ+3=0解得ρ1=1，ρ2=3，则齐次方程通解为y=C1ex+C2e3x设非齐方程特解为代入原方程得A=一2，则原方程通解为y=C1ex+C2e3x一2e2x 知识模块：高等数学10．(08年)微分方程xy’+y=0满足条件y(1)=1的解是y=______．正确答案：解析：方程xy’+y=0是一个变量可分离方程，原方程可改写为知识模块：高等数学11．(09年)若二阶常系数线性齐次微分方程y”+ay’+by=0的通解为y=(C1+C2x)ex，则非齐次方程y”+ay’+by=x满足条件y(0)=2，y’(0)=0的解为y=_______．正确答案：y=一xex+x+2．解析：由于y=(C1+C2x)ex是方程y”+ay’+by=0的通解，则该方程的两个特征根为λ1=λ2=1，故a=一2，b=1．设非齐次方程y”一2y’+y=x的特解为y’=Ax+B代入方程得A=1，B=2，则其通解为y=(C1+C2x)ex+x+2由y(0)=2，y’(0)=0得，C1=0，C2=一1．所以y=一xex+x+2 知识模块：高等数学12．(11年)微分方程y’+y=e-xcosx满足条件y(0)=0的解为y=______．正确答案：e-xsinx．解析：由一阶线性方程的通解公式得y=e-∫dx[∫e-xcosx.e∫dxdx+C]=e-x[∫cosxdx+C]=e-x[sinx+C]由y(0)=0知，C=0，则y=e-xsinx 知识模块：高等数学13．(12年)若函数f(x)满足方程f”(x)+f’(x)一2f(x)=0及f”(x)+f(x)=2ex，则f(x)=_______。

考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编19(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(10年)设函数z=z(x，y)由方程确定，其中F为可微函数，且F2’≠0，则A．x．B．z．C．一x．D．一z．正确答案：B解析：由隐函数求导公式得知识模块：高等数学2．(11年)设函数f(x)具有二阶连续导数，且f(x)＞0，f’(0)=0，则函数z=f(x)lnf(y)在点(0，0)处取得极小值的一个充分条件是A．f(0)＞1，f”(0)＞0．B．f(0)＞1，f”(0)＜0．C．f(0)＜1，f”(0)＞0．D．f(0)＜1，f”(0)＜0．正确答案：A解析：则AC—B2＞0,故(A)．知识模块：高等数学3．(12年)如果f(x，y)在(0，0)处连续，那么下列命题正确的是A．若极限存在，则f(x，y)在(0，0)处可微．B．若极限存在，则f(x，y)在(0，0)处可微．C．若f(x，y)在(0，0)处可微，则极限D．若f(x，y)在(0，0)处可微，则极限正确答案：B 涉及知识点：高等数学4．(13年)曲面x2+cos(xy)+yz+x=0在点(0，1，一1)处的切平面方程为A．x—y+z=一2．B．x+y+z=0．C．x一2y+z=一3．D．x—y—z=0．正确答案：A解析：令F(x，y，z)=x2+cos(xy)+yz+x，则n={2x—ysin(xy)+1，一xsin(xy)+x，y)|(0,1,-1)={1，一1，1}则所求切平面方程为x一(y一1)+(z+1)=0即x—y+2=一2 知识模块：高等数学5．(88年)设有空间区域Ω1：x2+y2+z2≤R2，z≥0；及Ω2：x2+y2+z2≤R2，x≥0，y≥0，z≥0，则A．B．C．D．正确答案：C解析：由于(C)选项中的被积函数f(x，y，z)=z既是x的偶函数，也是y的偶函数，而积分域Ω1既关于yOz坐标面前后对称，又关于xOz坐标面左右对称，则知识模块：高等数学6．(91年)设D是xOy平面上以(1，1)，(一1，1)和(一1，一1)为顶点的三角形区域，D1是D在第一象限的部分，则(xy+cosxsiny)dxdy等于A．B．C．D．正确答案：A解析：如图2．8，△OAB所围区域记为D2，△OBC所围区域记为D3．由于xy关于x是奇函数，积分域D2关于y轴对称，则又cosxsiny是y的奇函数，D3关于x轴对称，则又cosxsiny是x的偶函数，D2关于y轴对称，则从而有知识模块：高等数学填空题7．(11年)设函数F(x，y)=正确答案：4解析：知识模块：高等数学8．(12年)正确答案：(1，1，1)．解析：知识模块：高等数学9．(14年)曲面z=x2(1一siny)+y2(1一sinx)在点(1，0，1)处的切平面方程为______．正确答案：2x—y—z=1．解析：由z=x2(1一siny)+y2(1一sinx)得zx’=2x(1一siny)一y2cosx，zx’(1，0)=2zy’=一x2cosy+2y(1一sinx)，zy’(1，0)=一1所以，曲面z=x2(1一siny)+y2(1一sinx)在点(1，0，1)处的法向量为[*738]=(2，一1，一1)，该点处切平面方程为2(x一1)一y一(z一1)=0,即2x—y—z=1．知识模块：高等数学10．(15年)若函数z=z(x，y)由方程ez+xyz+z+cosx=2确定，则dz|(0,1)=_______．正确答案：一dx．解析：将x=0，y=1代入ez+xyz+x+cosx=2中得ez+1=2，则z=0方程ez+xyz+x+cosx=2两端微分得ezdz+yzdx+xzdy+xydz+dx—sinxdx=0将x=0，y=1，z=0代入上式得dx+dz=0则dz|(0,1)=一dx 知识模块：高等数学11．(16年)设函数f(u，v)可微，z=z(x，y)由方程(x+1)z-y2=x2f(x-z，y)确定，则dz|(0,1)=________，正确答案：一dx+2dy．解析：由原方程知，当x=0，y=1时，z=1．方程(x+1)z—y2=x2f(x—z，y)两边求全微分zdx+(x+1)dz一2ydy=2xf(x—z，y)dx+x2[f1’.(dx—dz)+f2’dy]将x=0，y=1，z=1代入上式得dz|(0,1)=一dx+2dy 知识模块：高等数学12．(87年)设L为取正向的圆周x2+y2=9，则曲线积分(2xy一2y)dx+(x2一4x)dy的值是______.正确答案：一18π．解析：由格林公式可知知识模块：高等数学13．(89年)向量场u(x，y，z)=xy2i+yezj+xln(1+x2)k在点P(1，1，0)处的散度divu=_____．正确答案：2解析：由散度计算公式其中u=Pi+Qj+Rk得知识模块：高等数学14．(89年)设平面曲线L为下半圆周则曲线积分∫L(x2+y2)ds=_______．正确答案：π解析：由于下半圆周上的点(x，y)也满足x2+y2=1，则知识模块：高等数学15．(90年)积分∫02dx∫x2的值等于______．正确答案：解析：交换累次积分次序得知识模块：高等数学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。