2017届二轮复习 直线与圆、圆与圆的位置关系 专题卷(江苏专用)

高考数学专题复习：直线与圆、圆与圆的位置关系一、单选题1．已知圆22:2440A x y x y +---=，圆22:2220B x y x y +++-=，则两圆的公切线的条数是（ ） A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条2．已知点(,)P x y 是直线l ：40kx y -+=(0k >)上的动点，过点P 作圆C ：2220x y y =++的切线PA ，A 为切点，若||PA 最小为2时，圆M ：220x y my +-=与圆C 外切，且与直线l 相切，则m 的值为（ ）A ．2-B ．2C ．4D 23．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是（ ） A ．23-B ．13C ．43D ．24．已知直线10x my m -+-=被圆O ：224x y +=所截得的弦长为m =（ ）A ．1-B ．1C ．2D ．5．已知直线():10l mx y m R +-=∈是圆22:4210C x y x y +-++=的对称轴，过点()2,A m -作圆C 的一条切线，切点为B ，则AB 等于（ ）A ．4B ．C ．D ．36．设a ，b 为正数，若圆224210x y x y ++-+=关于直线10ax by -+=对称，则2a bab+的最小值为（ ） A ．9B ．8C ．6D ．107．已知圆221:4240C x y x y ++--=，2223311:222C x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则这两圆的公共弦长为（ ）A ．2B ．C ．2D ．18．设0r >，圆()()22213x y r -++=与圆2216x y +=的位置关系不可能是（ ） A ．相切B ．相交C ．内切或内含D ．外切或相离9．已知圆C ：()()22cos sin 3x y θθ-+-=交直线1y =-于A ，B 两点，则对于θ∈R ，线段AB 长度的最小值为（ ）A ．1B C D ．210．在同一平面直角坐标系下，直线ax by ab +=和圆222()()x a y b r -+-=（0ab ≠，0r >）的图象可能是（ ）．A ．B ．C ．D ．11．圆1C ：221x y +=与圆2C ：()224310x y k x y +++-=（k ∈R ，0k ≠）的位置关系为（ ）A ．相交B ．相离C ．相切D ．无法确定12．若直线:1l y kx =-与圆()()22:212C x y -+-=相切，则直线l 与圆()22:23D x y -+=的位置关系是（ ） A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定二、填空题13．圆22230x y y ++-=被直线0x y k +-=分成两段圆弧，且较短弧长与较长弧长之比为1：3，则k =________.14．过原点且倾斜角为60︒的直线与圆2240x y y +-=相交，则直线被圆截得的弦长为_____.15．过点()2,0与圆22 A: 230x y x +--+=相切的直线方程为__________.16．若直线mx ＋2ny －4＝0（m ，n ∈R ）始终平分圆22420x y x y +--=的周长，则mn 的取值范围是________． 三、解答题17．已知以点()1,1A 为圆心的圆与直线1:220l x y ++=相切，过点()2,0B 的动直线l 与圆A 相交于M ､N 两点. （1）求圆A 的方程；（2）当4MN =时，求直线l 的方程.18．已知圆C ：222430x y x y ++-+=．（1）若直线l 过点(2,0)-且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程；（2）从圆C 外一点P 向圆C 引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且PM PO =，求PM 的最小值．19．直线l ：y x =与圆C ：()()221316x y -+-=相交于A 、B 两点．（1）求平行于l 且与圆C 相切的直线方程； （2）求ABC 面积．20．已知圆C 过点()2,0R 、()4,2S -，且圆心C 在直线280x y --=上． （1）求圆C 的方程；（2）若点P 在圆C 上，O 为原点，()(),00A t t >，求tan POA ∠的最大值．21．已知圆C 的方程为226440x y x y ++-+=.（1）若直线:10l x y -+=与圆C 相交于M 、N 两点，求||MN 的长; （2）已知点()1,5P ，点Q 为圆C 上的动点，求||PQ 的最大值和最小值.22．已知直线:20l mx y m -+-=，C 的方程为22240x y x y +--=. （1）求证：l 与C 相交；（2）若l 与C 的交点为A 、B 两点，求OAB 的面积最大值.（O 为坐标原点）参考答案1．B 【分析】分别求得两圆的圆心坐标和半径，结合两圆的位置关系的判定方法，求得两圆的位置关系，即可求解. 【详解】由圆22:2440A x y x y +---=可化为22(1)(2)9x y -+-=， 可得圆心坐标为(1,2)A ，半径为3R =，由圆22:2220B x y x y +++-=可化为22(1)(1)4x y +++=， 可得圆心坐标为(1,1)B --，半径为2r，则圆心距为d AB == 又由5,1R r R r +=-=，所以R r AB R r -<<+， 可得圆A 与圆B 相交，所以两圆公共切线的条数为2条. 故选：B. 2．B 【分析】根据题意当CP 与l 垂直时，||PA 的值最小，进而可得2k =，再根据圆M 与圆C 外切可得0m >，根据圆M 与直线l 相切，利用圆心到直线的距离等于圆的半径，即可求出. m 的值.【详解】圆C 的圆心为(0,1)C -，半径为1，当CP 与l 垂直时，||PA 的值最小，此时点C 到直线l 的距离为d =，由勾股定理得22212+=，又0k >，解得2k =， 圆M 的圆心为(0,)2mM ，半径为||2m ， ∵圆M 与圆C 外切，∴||1|(1)|22m m+=--，∴0m >，∵圆M 与直线l 相切，∴|4|2m m -+=2m =， 故选:B 3．C 【分析】根据直线与圆的位置关系和点到直线的距离公式建立不等式，解之可得选项. 【详解】圆C 的标准方程为22(4)1x y -+=，半径1r =，当圆心(4,0)到直线2y kx =-的距离1d r ≤+时，满足题意，圆心在直线上的射影点即满足题意，故有2d =≤，解得403k ≤≤，即k 的最大值为43， 故选：C. 4．A 【分析】由于直线过定点(1,1)--P，而||OP =OP 垂直，从而由斜率的关系列方程可求出m 【详解】∵直线10x my m -+-=过定点(1,1)--P ，连接OP，则||OP ∴直线10x my m -+-=与OP 垂直，11m=-， ∴1m =-， 故选：A. 5．A 【分析】根据直线():10l mx y m R +-=∈是圆22:4210C x y x y +-++=的对称轴，则圆心在直线l 上，求得m ，由过点()2,A m -作圆C 的一条切线，切点为B ，利用勾股定理即可求得AB . 【详解】由方程224210x y x y +-++=得()()22214x y -++=，圆心为()2,1C -，因为直线l 是圆C 的对称轴，所以圆心在直线l 上，所以1m =，所以A 点坐标为()2,1-，则AC =4AB =.故选：A ． 6．A 【分析】求出圆的圆心坐标，得到,a b 的关系，然后利用基本不等式求解不等式的最值即可． 【详解】解：圆224210x y x y ++-+=，即()()22214x y ++-=，所以圆心为(2,1)-， 所以210a b --+=，即21a b +=，因为0a >、0b >，则2222(2)(2)2252229a b a b a b a b ab a ab ab abab+++++⋅===，当且仅当13b a ==时，取等号． 故选：A ． 7．C 【分析】先求出两圆的公共弦所在直线的方程，用垂径定理求弦长. 【详解】由题意知221:4240C x y x y ++--=，222:3310C x y x y ++--=，将两圆的方程相减，得30x y +-=，所以两圆的公共弦所在直线的方程为30x y +-=.又因为圆1C 的圆心为(2,1)-，半径3r =，所以圆1C 的圆心到直线30x y +-=的距离d ==所以这两圆的公共弦的弦长为222223222d .故选：C. 8．D 【分析】计算出两圆圆心距d ，并与两圆半径和作大小比较，由此可得出结论. 【详解】两圆的圆心距d 4r +，4r +，所以两圆不可能外切或相离．9．C 【分析】由题意圆C 的圆心C 在单位圆上，求出点C到直线1y =-的距离的最大值，根据圆的弦长AB =. 【详解】解：由圆C ：()()22cos sin 3x y θθ-+-=，知该圆的半径r =()cos ,sin C θθ在单位圆221x y +=上，∵原点O到直线1y =-12=，则点C 到直线1y =-的距离d 的最大值为13122+=，由AB =d 取最大值32时，线段AB故选：C ．10．D 【分析】根据直线的位置及圆心所在的象限判断参数a 、b 的符号，进而确定正确选项. 【详解】直线ax by ab +=在x ，y 轴上的截距分别为b 和a ，圆心横坐标为a ，纵坐标为b ． A ：由直线位置可得0b <，而由圆的位置可得0b >，不正确． B ：由直线位置可得0a >，而由圆的位置可得0a <，不正确． C ：由直线位置可得0a >，而由圆的位置可得0a <，不正确．D ：由直线位置可得0a >，0b <，而由圆的位置可得0a >，0b <，正确.11．A 【分析】求出两圆的圆心和半径，再求出两圆的圆心距，与两圆的半径和差比较可得结论 【详解】解：圆1C ：221x y +=的圆心1(0,0)C ，半径为11r =，由()224310x y k x y +++-=，得222325(2)()124x k y k k +++=+，所以圆2C 的圆心为23(2,)2C k k --，半径2r所以12121C C r r +=1>0k ≠）1，所以1221C C r r >-所以两圆相交． 故选：A 12．A 【分析】由直线l 与圆C 相切可构造方程求得k；分别在2k =2k =过比较圆心到直线距离与圆的半径之间大小关系可得位置关系. 【详解】由圆C 方程知其圆心()2,1C直线l 与圆C相切，=2k =由圆D 方程知其圆心()2,0D，半径r =∴圆心D 到直线l距离d =当2k =(()222233021d r+-=-=<+，即d r <，此时圆D 与直线l 相交；当2k =(()222233021d r --=-=<+，即d r <，此时圆D 与直线l 相交； 综上所述：圆D 与直线l 相交. 故选：A. 13．1或3- 【分析】由题意可知较短弧所对圆心角是90︒，此时圆心到直线0x y k +-==，再由点到直线的距离公式求解即可 【详解】由题意知，圆的标准方程为()2214x y ++=，较短弧所对圆心角是90︒，所以圆心()0,1-到直线0x y k +-==1k =或3k =-.故答案为：1或3- 14．【分析】由已知求出直线方程，将圆方程化为标准方程求出圆心和半径，然后求出圆心到直线的距离，再利用弦长、弦心距和半径的关系求出弦长 【详解】解：由题意得直线方程为tan60y x =︒0y -=， 由2240x y y +-=，得22(2)4x y +-=，则圆心为(0,2)，半径为2， 所以圆心(0,2)0y -=的距离为1d ==，所以所求弦长为=故答案为：15．x =2或)2y x =-. 【分析】 分斜率不存在和斜率存在两种情况讨论：斜率不存在时，直线l ：x =2与圆相切；斜率存在时，设其为k ，则直线l ：()2y k x =-，利用圆心到直线的距离等于半径，列方程求出k ，即可求出直线方程.【详解】圆22 A: 230x y x +--+=化为标准方程：()(22 11x y -+=，所以当过点()2,0的直线斜率不存在时，直线l ：x =2与圆相切；过点()2,0的直线斜率存在时，设其为k ，则直线l ：()2y k x =-，因为l 与圆A 相切，所以圆心到直线的距离等于半径，1=，解得：k =，此时l：)2y x =-. 故答案为：x =2或)2y x =-. 16．(,1]-∞【分析】 由题意得直线过圆心，进而得到2240m n +-=，所以mn 可转化为()2n n -，结合二次函数的值域即可求解.【详解】因为直线mx ＋2ny －4＝0（m ，n ∈R ）始终平分圆22420x y x y +--=的周长，所以直线经过圆心，又因为圆心为()2,1，则2240m n +-=，即2m n +=，因此2m n =-，所以()()2222111mn n n n n n =-=-+=--+≤，所以mn 的取值范围是(,1]-∞，故答案为：(,1]-∞.17．（1）()()22115x y -+-=；（2）2x =或0y =.【分析】（1）利用圆心到直线的距离求半径，即可得圆的方程；（2）首先考查直线斜率不存在的直线，判断是否满足4MN =，当直线的斜率存在时，设直线20kx y k --=，利用弦长公式求得斜率k ，即可得直线方程.【详解】解：（1）由题意可知，点A 到直线1l 的距离d =因为圆A 与直线1l 相切，则圆A 的半径r d ==所以，圆A 的标准方程为()()22115x y -+-=（2）①当直线l 的斜率不存在时因为直线l 的方程为2x =.所以圆心A 到直线l 的距离11d =.由（1）知圆的半径为r 4MN ==. 故2x =是符合题意的一条直线.②当直线l 的斜率存在时设直线l 的斜率为k ，则直线20kx y k --=圆心A 到直线l 的距离1d =因为22212MN d r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以245+=，即()2211k k +=+，解得0k = 因此，直线l 的方程为0y =综上所述，直线l 的方程为2x =或0y =.18．（1）2x =-或3460x y -+=；（2． 【分析】（1）根据题意，由圆的方程分析圆的圆心与半径，分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论，求出直线的方程，综合即可得答案；（2）根据题意，连接MC ，PC ，分析可得PMC △为直角三角形，即222||||||PM PC MC =-，设(,)P x y ，分析可得||MC ||||PM PO =，分析可得2222(1)(2)2x y x y ++--=+，变形可得P 的轨迹方程，据此结合直线与圆的方程分析可得答案．【详解】解：（1）222430x y x y ++-+=可化为22(1)(2)2x y ++-=．当直线l 的斜率不存在时，其方程为2x =-，易求得直线l 与圆C 的交点为(2,1)A -，()23B -，，2AB =，符合题意；当直线l 的斜率存在时，设其方程为(2)y k x =+，即20kx y k -+=，则圆心C 到直线l 的距离1d ，解得34k =． 所以直线l 的方程为3460x y -+=，综上，直线l 的方程为2x =-或3460x y -+=．（2）如图，PM 为圆C 的切线，连接MC ，PC ，则CM PM ⊥．所以PMC △为直角三角形．所以222PM PC MC =-．设点P 为(,)x y ，由（1）知点C 为(1,2)-，MC =PM PO =，P 的轨迹方程为2430x y -+=． 求PM 的最小值，即求PO 的最小值，也即求原点O 到直线2430x y -+=的距离，代入点到直线的距离公式可求得PM 的最小值d =19．（1）20x y -++或20x y -+-=；（2）【分析】（1）设切线方程为y x b =+，由切线定义求得b ，进而求得结果；（2）作CD AB ⊥，由点到直线距离公式求得CD ，再由弦长公式求得AB ，进而求得面积.【详解】（1）设切线方程为y x b =+，则圆心(1,3)C 到切线的距离4d r ==，解得2b =±所以切线方程为20x y -++或20x y -+-=；（2）作CD AB ⊥，垂足为D ，CD ==，∴AB ==∴1122ABC S AB CD =⋅=⨯△20．（1）()2244x y -+=；（2 【分析】 （1）根据垂径定理的逆定理可得弦RS 的垂直平分线过原点，又圆心C 在直线280x y --=上，联立直线方程即可得解；（2）根据题意知当OP 与圆相切时，tan POA ∠值最大，计算即可得解.【详解】（1）由20142RS k --==--，线段RS 中点坐标为(3,1)-， 所以线段RS 的垂直平分线为4y x =-，即40x y --=，由28040x y x y --=⎧⎨--=⎩可得圆C 的圆心为(4,0)，易得半径2r ，所以圆C 的方程为22(4)4x y -+=；（2）由圆心在x 轴正半轴上，由()(),00A t t >，所以OA 在正半轴上，由090POA <∠<，故当OP 和圆相切时，即P 为切点时POA ∠最大，此时tan POA ∠最大，tanPOA ∠=. 21．（1）2；（2）最大值为8，最小值为3.【分析】（1）先将圆的方程化为标准方程，得出圆心坐标和半径，求出圆心到直线l 的距离，由勾股定理可得答案.（2）先求出PC 的长度，由圆的性质可得PC r PQ PC r -≤≤+，从而得到答案.【详解】解：（1）圆C 的一般式方程为()()22329x y ++-=，即圆心()C 3,2-，半径3r =，所以圆心C 到直线l ：10x y -+=的距离d ==所以弦长 2MN ==；（2）5PC ，又3r =，所以max 8PQ PC r =+=，min 2PQ PC r =-=，即PQ 的最大值为8，最小值为3.22．（1）证明见解析；（2）5【分析】 （1）由题知直线l 过定点1,2，且为C 的圆心，故l 与C 相交；（2）由题知2AB r ==l 与直线OC 垂直时，O 到直线l 的距离最大，最大值为OC =.【详解】解：（1）由题知直线():21l y m x -=-，C 的标准方程为()()22125x y -+-=， 所以直线l 过定点1,2，为圆的圆心，所以直线过C 的圆心，故l 与C 相交；（2）由（1）知直线:20l mx y m -+-=过圆C 的圆心，C 的半径为r =所以2AB r ==所以当O 到直线l 的距离最大时，OAB 的面积取最大值，故当直线l 与直线OC 垂直时，O 到直线l 的距离最大，最大值为OC =所以OAB 的面积最大值为11522AB OC =。

一、填空1.【江苏省苏州市2017物线的准线及y轴都相切的圆的标准方程为▲ ．2.【江苏省泰州中学2017届高三摸底考试】已知圆O：222x y r+=（0r>）及圆上的点(0,)A r-，过点A的直线交圆于另一点B，交轴于点C，若OC BC=，则直线的斜率为．【解析】试题分析：设直线的斜率为,则直线:l y kx r=-，与222x y r+=联立解得，而，由OC BC=得3.【南京市2017届高三年级学情调研】在平面直角坐标系xOy中，若直线20ax y+-=与圆心为C 的圆22(1)()16x y a -+-=相交于,A B 两点，且ABC ∆为直角三角形，则实数的值是 . 【答案】－1 【解析】试题分析：由题意得C 到直线20ax y +-=距离为4. 【2017届高三七校联考期中考试】已知直线1:=-y x l 与圆M ：012222=-+-+y x y x 相交于A ，C 两点，点B ，D 分别在圆M 上运动，且位于直线AC 两侧，则四边形ABCD 面积的最大值为 ▲ ．二、解答1. 【苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中】（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:40C x y x +-=及点(1,0)A -，(1,2)B ． （1）若直线平行于AB ，与圆C 相交于M ，N 两点，MN AB =，求直线的方程； （2）在圆C 上是否存在点P ，使得2212PA PB +=？若存在，求点P 的个数；若不存在，说明理由．【答案】（1）0x y -=或40x y --=．（2）． 【解析】试题分析：（1）本题实质为直线被圆截得弦长问题，一般方法为利用垂径定理进行转化解决：先根据AB ，设直线方程0x y m -+=，再根据AB 长得弦长，根据圆心C 到直线的距，解得0m =或4m =-，（2）P 点既在圆C 上，又满足2212PA PB +=，因此研究点P 的个数，实质研究两曲线位置关系，先确定满足2212PA PB +=的轨迹方程 ，利用直接法得22(1)4x y +-=，也为圆，所以根据两圆位置关系可得点P 的个数试题解析：（1）圆C 的标准方程为22(2)4x y -+=，所以圆心(2,0)C ，半径为．因为l AB ∥，(1,0)A -，(1,2)B ，所以直线的斜率为设直线的方程为0x y m -+=， ……………………………………………2分 则圆心C 到直线的距离为4分……………………………6分 解得0m =或4m =-，故直线的方程为0x y -=或40x y --=．…………………………………8分2. 【江苏省如东高级中学2017届高三上学期第二次学情调研】（本小题满分16分）如图所示，已知圆A 的圆心在直线2y x =-上，且该圆存在两点关于直线10x y +-=对称，又圆A 与直线1:270l x y ++=相切，过点()2,0B -的动直线与圆A 相交于,M N 两点，Q 是MN 的中点，直线与相交于点P ．（1）求圆A 的方程；（2（3）()BM BN BP +是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)()()221220x y ++-=；(2)2x =-或3460x y -+=；(3)是，20-.（1）由圆存在两点关于直线10x y +-=对称知圆心A 在直线10x y +-=上，由210y xx y =-⎧⎨+-=⎩得()1,2A -．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分设圆A 的半径为R ，因为圆A 与直线1:270l x y ++=相切，．．．．．．．．．．．．．．．．4分 所以圆A 的方程为()()221220x y ++-=．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）当直线与轴垂直时，易知2x =-符合题意．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 当直线与轴不垂直时，设直线的方程为()2y k x =+， 即20kx y k -+=连接AQ ，则AQ MN ⊥，．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 ∴直线的方程为3460x y -+=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 ∴所求直线的方程为2x =-或3460x y -+=．．．．．．．．．．．．．．10分 （3）∵AQ BP ⊥，∴0AQ BP =，∴()()()2222BM BN BP BQ BP BA AQ BP BA BP AQ BP BA BP +==+=+=， ，则50,BP ⎡=⎢，又()1,2BA =，∴()2210BM BN BP BQ BP BA BP +===-．．．．．．．．．．．13分 当直线的斜率存在时，设直线的方程为()2y k x =+，由2270y kx x y =+⎧⎨++=⎩，解得，∴BP -⎡=⎢ ()522212BM BN BP BQ BP BA BP k -⎛+===+⎝综上所述，()BM BN BP +是定值，且为-10．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．16分3. 【江苏省如东高级中学2017届高三上学期第二次学情调研】已知点P 是直线230x y -+=上的一个动点，定点()1,2,M Q -，是线段PM 延长线上的一点，且PM MQ =，求点Q 的轨迹方程． 【答案】250x y -+=.4. 【江苏省如东高级中学2017届高三上学期第二次学情调研】设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线过点()1,0B 且与轴不重合，交圆A 与,C D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ，求点E 的轨迹方程．()2103y y =≠.又圆A 的标准方程为()22116x y ++=，．．．．．．．．．．．5分由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为：．．．．．．．．．．．．．．．．10分。

星期三 (解析几何问题) 2017年____月____日已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，一个焦点到相应的准线的距离为3，圆N 的方程为(x －c )2＋y 2＝a 2＋c 2(c 为半焦距)，直线l ：y ＝kx ＋m (k ＞0)与椭圆M 和圆N 均只有一个公共点，分别设为A ，B .(1)求椭圆方程和直线方程；(2)试在圆N 上求一点P ，使PB P A ＝2 2.解 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝12，a 2c －c ＝3，解得a ＝2，c ＝1.所以b ＝a 2－c 2＝3，所以椭圆M 的方程为x 24＋y 23＝1，圆N 的方程为(x －1)2＋y 2＝5，因为直线l ：y ＝kx ＋m (k ＞0)与椭圆M 只有一个公共点，所以由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝kx ＋m ，得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，①所以Δ＝64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＝0，整理得m 2＝3＋4k 2，②由直线l ：y ＝kx ＋m 与N 只有一个公共点， 得|k ＋m |1＋k2＝5，即k 2＋2km ＋m 2＝5＋5k 2，③ 将②代入③得km ＝1，④由②④得k ＝12，m ＝2.所以直线l ：y ＝12x ＋2.(2)将k ＝12，m ＝2代入①可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32， 又过切点B 的半径所在的直线l ′：y ＝－2x ＋2，与直线l 的方程联立得B (0，2)，设P (x 0，y 0)，由PB P A ＝22，得x 20＋（y 0－2）2（x 0＋1）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0－322＝8， 化简得7x 20＋7y 20＋16x 0－20y 0＋22＝0，⑤又P (x 0，y 0)满足x 20＋y 20－2x 0＝4，⑥将⑤－7×⑥并整理得3x 0－2y 0＋5＝0， 即y 0＝3x 0＋52，⑦将⑦代入⑥并整理得13x 20＋22x 0＋9＝0，解得x 0＝－1或x 0＝－913，所以P (－1，1)或P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－913，1913.。

课时跟踪检测（四十六） 直线与圆、圆与圆的位置关系一抓基础,多练小题做到眼疾手快1.(2018·扬州期末)已知直线l ：x ＋3y －2＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4交于A ,B 两点,则弦AB 的长为________.【试题解析】:圆心C (0,0)到直线l 的距离d ＝|0＋3×0－2|1＋3＝1,所以AB ＝24－1＝23,故弦AB 的长为2 3.答案：2 32.(2019·南京调研)在平面直角坐标系xOy 中,直线x ＋2y ＝0与圆(x －3)2＋(y －1)2＝25相交于A ,B 两点,则线段AB 的长为________.【试题解析】:圆(x －3)2＋(y －1)2＝25的圆心坐标为(3,1),半径为5. ∵圆心(3,1)到直线x ＋2y ＝0的距离d ＝|3＋2×1|5＝5,∴线段AB 的长为2r 2－d 2＝225－5＝4 5. 答案：4 53.设圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2(r ＞0)上有且仅有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于2,则圆半径r 的取值范围为________.【试题解析】:∵圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2(r ＞0)的圆心坐标为(3,－5),半径为r , ∴圆心(3,－5)到直线4x －3y －2＝0的距离d ＝|12＋15－2|5＝5, ∵圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2(r ＞0)上有且仅有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于2,∴|r －5|＜2,解得3＜r ＜7.答案：(3,7)4.(2018·苏锡常镇调研)若直线3x ＋4y －m ＝0与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋4＝0始终有公共点,则实数m 的取值范围是________.【试题解析】:圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝1,故圆心到直线的距离d ＝|－3＋8－m |32＋42≤1.即|m －5|≤5,解得0≤m ≤10. 答案：[0,10]5.在平面直角坐标系xOy 中,已知圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0的圆心为C ,点A ,B 在圆C 上,且AB ＝23,则S △ABC ＝________.【试题解析】:圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0化为标准方程得(x －3)2＋y 2＝4,圆心为(3,0),半径为2.∵点A ,B 在圆C 上,且AB ＝23,∴圆心(3,0)到直线AB 的距离为22－(3)2＝1, ∴S △ABC ＝12×23×1＝ 3.答案： 36.若圆x 2＋y 2＋mx －14＝0与直线y ＝－1相切,其圆心在y 轴的左侧,则m ＝________.【试题解析】:圆的标准方程为⎝⎛⎭⎫x ＋m 22＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋122,圆心到直线y ＝－1的距离m 2＋12＝|0－(－1)|,解得m ＝±3,因为圆心在y 轴的左侧,所以m ＝ 3. 答案： 3二保高考,全练题型做到高考达标1.(2019·苏北四市调研)在平面直角坐标系xOy 中,若点A 到原点的距离为2,到直线 3x ＋y －2＝0的距离为1,则满足条件的点A 的个数为________.【试题解析】:如图,作出直线3x ＋y －2＝0,作出以原点为圆心,以2为半径的圆,∵原点O 到直线3x ＋y －2＝0的距离为1,∴在直线3x ＋y －2＝0的右上方有一点满足到原点的距离为2,到直线3x ＋y －2＝0的距离为1,过原点作直线3x ＋y －2＝0的平行线,交圆于两点,则两交点满足到原点的距离为2,到直线3x ＋y －2＝0的距离为1.故满足条件的点A 共3个. 答案：32.(2018·苏州调研)两圆交于点A (1,3)和B (m,1),两圆的圆心都在直线x －y ＋c 2＝0上, 则m ＋c ＝________.【试题解析】:由题意可知线段AB 的中点⎝⎛⎭⎫m ＋12，2在直线x －y ＋c2＝0上,代入得m ＋c ＝3.答案：33.(2018·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调)在平面直角坐标系xOy 中,过点P (－2,0)的直线与圆x 2＋y 2＝1相切于点T ,与圆(x －a )2＋(y －3)2＝3相交于点R ,S ,且PT ＝RS ,则正数a 的值为________.【试题解析】:因为PT 与圆x 2＋y 2＝1相切于点T ,所以在Rt △OPT 中,OT ＝1,OP ＝2,∠OTP＝π2,从而∠OPT ＝π6,PT ＝3,故直线PT 的方程为x ±3y ＋2＝0,因为直线PT 截圆(x －a )2＋(y －3)2＝3得弦长RS ＝3,设圆心到直线的距离为d ,则d ＝|a ±3＋2|2,又3＝23－d 2,即d ＝32,即|a ±3＋2|＝3,解得a ＝－8或a ＝－2或a ＝4,因为a ＞0,所以a ＝4.答案：44.(2018·无锡模拟)已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝4,线段EF 在直线l ：y ＝x ＋1上运动,点P 为线段EF 上任意一点,若圆C 上存在两点A ,B ,使得PA ―→·PB ―→≤0,则线段EF 长度的最大值是________.【试题解析】:由PA ―→·PB ―→≤0得∠APB ≥90°,从直线上的点向圆上的点连线成角,当且仅当两条线均为切线时,∠APB 才是最大的角,不妨设切线为PM ,PN ,当∠APB ≥90°时, ∠MPN ≥90°,sin ∠MPC ＝2PC ≥sin 45°＝22,所以PC ≤2 2.另当过点P ,C 的直线与直线l ：y ＝x ＋1垂直时,PC min ＝322,以C 为圆心,CP ＝22为半径作圆交直线l 于E ,F 两点,这时的线段长即为线段EF 长度的最大值,所以EF max ＝2(22)2－⎝⎛⎭⎫3222＝14. 答案：145.(2019·镇江调研)若圆O ：x 2＋y 2＝5与圆O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A ,B 两点,且两圆在点A 处的切线互相垂直,则线段AB 的长度是________.【试题解析】:如图,因为圆O 1与圆O 在A 处的切线互相垂直,则两切线分别过另一圆的圆心,所以O 1A ⊥OA . 又因为OA ＝5,O 1A ＝25,所以OO 1＝5.又A ,B 关于OO 1对称,所以AB 为Rt △OAO 1斜边上高的2倍.由12·OA ·O 1A ＝12OO 1·AC ,得AC ＝2.所以AB ＝4.答案：46.(2018·淮阴期末)圆C 1：x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0和圆C 2：x 2＋y 2－2by ＋b 2－1＝0相内切,若a ,b ∈R ,且ab ≠0,则1a 2＋4b2的最小值为________.【试题解析】:由题意,两圆的标准方程分别为 (x ＋a )2＋y 2＝4,x 2＋(y －b )2＝1, ∴圆心分别为(－a,0),(0,b ),半径分别为2和1. ∵两圆相内切,∴a 2＋b 2＝1,∴a 2＋b 2＝1,∴1a 2＋4b 2＝⎝⎛⎭⎫1a 2＋4b 2(a 2＋b 2)＝5＋4a 2b 2＋b 2a 2≥5＋4＝9,当且仅当4a 2b 2＝b 2a 2,即a 2＝13,b 2＝23时等号成立.故1a 2＋4b 2的最小值为9. 答案：97.(2018·苏北四市期末)已知A ,B 是圆C 1：x 2＋y 2＝1上的动点,AB ＝3,P 是圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝1上的动点,则|PA ―→＋PB ―→|的取值范围为________.【试题解析】:如图,因为A ,B 是圆C 1：x 2＋y 2＝1上的动点,AB＝3,所以线段AB 的中点H 在圆O ：x 2＋y 2＝14上,且|PA ―→＋PB ―→|＝2|PH ―→|.因为点P 是圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝1上的动点,所以5－32≤|PH ―→|≤5＋32,即72≤|PH ―→|≤132,所以7≤2|PH ―→|≤13,从而|PA ―→＋PB ―→|的取值范围为[7,13].答案：[7,13]8.(2019·淮安模拟)已知圆O ：x 2＋y 2＝1.若直线y ＝kx ＋2上总存在点P ,使得过点P 的圆O 的两条切线互相垂直,则实数k 的最小值为________.【试题解析】:圆O 的圆心为O (0,0),半径r ＝1.设两个切点分别为A ,B ,则由题意可得四边形PAOB 为正方形,故有PO ＝2r ＝2,∴圆心O 到直线y ＝kx ＋2的距离小于或等于PO ＝2,即|2|1＋k≤2,即1＋k ≥2,解得k ≥1, ∴实数k 的最小值为1. 答案：19.已知圆C 经过点A (2,－1),和直线x ＋y ＝1相切,且圆心在直线y ＝－2x 上. (1)求圆C 的方程;(2)已知直线l 经过原点,并且被圆C 截得的弦长为2,求直线l 的方程. 解：(1)设圆心的坐标为C (a ,－2a ), 则(a －2)2＋(－2a ＋1)2＝|a －2a －1|2. 化简,得a 2－2a ＋1＝0,解得a ＝1.所以C (1,－2),半径r ＝|AC |＝(1－2)2＋(－2＋1)2＝ 2. 所以圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2.(2)①当直线l 的斜率不存在时,直线l 的方程为x ＝0,此时直线l 被圆C 截得的弦长为2,满足条件.②当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y ＝kx ,由题意得|k ＋2|1＋k2＝1,解得k ＝－34,所以直线l 的方程为y ＝－34x .综上所述,直线l 的方程为x ＝0或3x ＋4y ＝0.10.如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0及点A (－1,0),B (1,2).(1)若直线l ∥AB ,与圆C 相交于M ,N 两点,MN ＝AB ,求直线l 的方程; (2) 在圆C 上是否存在点P ,使得PA 2＋PB 2＝12？若存在,求点P 的个数;若不存在,请说明理由.解：(1)圆C 的标准方程为(x －2)2＋y 2＝4, 所以圆心C (2,0),半径为2. 因为l ∥AB ,A (－1,0),B (1,2), 所以直线l 的斜率为2－01－(－1)＝1,设直线l 的方程为x －y ＋m ＝0, 则圆心C 到直线l 的距离为d ＝|2＋m |2.因为MN ＝AB ＝22＋22＝22,而CM 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫MN 22,所以4＝(2＋m )22＋2, 解得m ＝0或m ＝－4,故直线l 的方程为x －y ＝0或x －y －4＝0. (2)假设圆C 上存在点P ,设P (x ,y ),则(x －2)2＋y 2＝4, PA 2＋PB 2＝(x ＋1)2＋(y －0)2＋(x －1)2＋(y －2)2＝12, 即x 2＋y 2－2y －3＝0,即x 2＋(y －1)2＝4. 因为|2－2|＜(2－0)2＋(0－1)2＜2＋2,所以圆(x －2)2＋y 2＝4与圆x 2＋(y －1)2＝4相交, 所以点P 的个数为2.三上台阶,自主选做志在冲刺名校1.(2019·苏州调研)过曲线y ＝2|x －a |＋x －a 上的点P 向圆O ：x 2＋y 2＝1作两条切线PA ,PB ,切点为A ,B ,且∠APB ＝60°,若这样的点P 有且只有两个,则实数a 的取值范围是________.【试题解析】:根据题意,若经过点P 作圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线,切点为A ,B ,且∠APB ＝60°,则∠OPA ＝30°,所以PO ＝2AO ＝2,故点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝4.y ＝2|x －a |＋x －a ＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －3a ，x ≥a ，－x ＋a ，x ＜a ，当x ≤a 时,曲线为x ＋y －a ＝0, 当x ≥a 时,曲线为3x －y －3a ＝0.故当a ＜0时,若这样的点P 有且只有两个,必有|3a |1＋9＜2,即－3a10＜2,解得a ＞－2103,即－2103＜a ＜0; 当a ＝0时,曲线为y ＝2|x |＋x ＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≥0，－x ，x ＜0，符合题意;当a ＞0时,若这样的点P 有且只有两个,必有|a |1＋1＜2,解得a ＜22,即0＜a ＜22, 综上,实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－2103，22.答案：⎝⎛⎭⎫－2103，222.(2018·苏锡常镇调研)在平面直角坐标系xOy 中,过点M (1,0)的直线l 与圆x 2＋y 2＝5交于A ,B 两点,其中点A 在第一象限,且BM ―→＝2MA ―→,则直线l 的方程为__________.【试题解析】:法一：易知直线l 的斜率存在,设l ：y ＝k (x －1).由BM ―→＝2MA ―→,可设BM ＝2t ,MA ＝t ,如图,过原点O 作OH ⊥l 于点H ,则BH ＝3t2.设OH ＝d ,在Rt △OBH 中,d 2＋⎝⎛⎭⎫3t 22＝r 2＝5,在Rt △OMH 中,d 2＋⎝⎛⎭⎫t 22＝OM 2＝1,解得d 2＝12. 所以d 2＝k 2k 2＋1＝12,解得k ＝1或k ＝－1,因为点A 在第一象限,BM ―→＝2MA ―→,由图知k ＝1,所以直线l 的方程为y ＝x －1,即x －y －1＝0.法二：设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),所以MA ―→＝(x 1－1,y 1),BM ―→＝(1－x 2,－y 2). 因为BM ―→＝2MA ―→,所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x 2＝2(x 1－1)，－y 2＝2y 1，即⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＝2x 1－3，－y 2＝2y 1.又x 22＋y 22＝5,所以(2x 1－3)2＋4y 21＝5, 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋y 21＝5，(2x 1－3)2＋4y 21＝5， 解得x 1＝2,代入可得y 1＝±1, 又点A 在第一象限,故A (2,1),所以直线l 的方程为y ＝x －1,即x －y －1＝0. 答案：x －y －1＝03.已知圆C 1：(x ＋1)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －4)2＋y 2＝4. (1)过点C 1作圆C 2的切线,求该切线方程;(2)过圆心C 1作倾斜角为θ的直线l 交圆C 2于A ,B 两点,且A 为C 1B 的中点, 求sin θ;(3)过点P (m,1)引圆C 2的两条割线l 1和l 2.直线l 1和l 2被圆C 2截得的弦的中点分别为M ,N ,试问过点P ,M ,N ,C 2的圆是否过定点(异于点C 2)？若过定点,求出该定点;若不过定点,说明理由.解：(1)显然切线的斜率存在,设切线方程为y ＝k (x ＋1), 由题意得|5k |1＋k 2＝2,解得k ＝±22121,所以所求直线方程为y ＝±22121(x ＋1),即2x ±21y ＋2＝0.(2)设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1), 则圆心C 2到直线l 的距离d ＝5k1＋k 2, 设AB 的中点为R ,则AR ＝4－d 2＝12AB ＝13C 1R ＝1325－d 2,解得d 2＝118.在Rt △C 1RC 2中,sin θ＝C 2R C 1C 2＝d 5＝2220. (3)依题意,过点P ,M ,N ,C 2的圆即为以PC 2为直径的圆, 所以(x －4)(x －m )＋(y －1)(y －0)＝0, 即x 2－(m ＋4)x ＋4m ＋y 2－y ＝0,整理成关于实数m 的等式(4－x )m ＋x 2－4x ＋y 2－y ＝0恒成立,则⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x ＝0，x 2－4x ＋y 2－y ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝0(舍去). 即存在定点(4,1).。

一、填空题1. 【2016高考冲刺卷（6）【江苏卷】】在平面直角坐标xOy 中，已知点)0,4(),0,1(B A ，若直线0=+-m y x 上存在点P 使得12PA PB =,则实数m 的取值范围是2. 【2016高考冲刺卷（5）【江苏卷】】直线21ax by +=与圆221x y +=相交于A B ，两点（其中a b ，是实数），且AOB ∆是直角三角形（O 是坐标原点），则点()P a b ，与点()00O ，之间距离的最大值为 ▲ ． 3. 【2016高考冲刺卷（1）【江苏卷】】过点(4,0)P -的直线l 与圆22:(1)5C x y -+=相交于,A B 两点，若点A 恰好是线段PB 的中点，则直线l 的方程为 .4. 【2016高考押题卷（2）【江苏卷】】已知圆O:122=+y x ，点),(00y x P 是直线0323:=-+y x l 上的动点，若在圆C 上总存在两个不同的点A 、B ，使=⋅则0x 的取值范围是5. 【南京市2016届高三年级第三次模拟考试】在平面直角坐标系xOy 中，圆M ：(x －a)2＋(y ＋a －3)2＝1(a ＞0)，点N 为圆M 上任意一点．若以N 为圆心，ON 为半径的圆与圆M 至多有一个公共点，则a 的最小值为 ▲ ．6. 【南京市、盐城市2016届高三年级第二次模拟考试】已知圆O ：x2＋y2＝1，圆M ：(x －a)2＋(y －a ＋4)2＝1．若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使得∠APB ＝60°，则实数a 的取值范围为▲________．7. 【2016高考冲刺卷（2）【江苏卷】】已知圆O ：422=+y x ，若不过原点O 的直线l 与圆O 交于P 、Q 两点，且满足直线OP 、PQ 、OQ 的斜率依次成等比数列，则直线l 的斜率为 ▲ .8. 【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】若曲线02:22=-+x y x M 与曲线0:2=+-my y mxy C 有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是 ．9. 【2016高考押题卷（1）【江苏卷】】已知圆22:2C x y +=，直线:240l x y +-=，点00(,)P x y 在直线l 上．若存在圆C 上的点Q ，使得45OPQ ∠=（O 为坐标原点），则0x 的取值范围为_______.10. 【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】 在平面直角坐标系xOy 中，圆221x y +=交x 轴于,A B 两点，且点A 在点B左边，若直线0x m +=上存在点P ，使得2PA PB =，则m的取值范围为_______.11. 【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】在平面直角坐标系xOy 中，点(3,0)A ，动点P 满足2PA PO =，动点(3,45)()Q a a a +∈R ，则线段PQ 长度的最小值为_______.12. 【盐城市2016届高三年级第三次模拟考试】已知线段AB 的长为2，动点C 满足CA CB λ⋅=（λ为常数），且点C 总不在以点B 为圆心，12为半径的圆内，则负数λ的最大值是 ▲ .13. 【南通市2016届高三下学期第三次调研考试数学试题】在平面直角坐标系xOy 中，圆()221:12C x y -+=，圆()()2221:C x m y m m -++=，若圆2C 上存在点P 满足：过点P 向圆1C 作两条切线,,PA PB 切点为,A B ，ABP ∆的面积为1，则正数m 的取值范围是 .14. 【江苏省苏北三市（徐州市、连云港市、宿迁市）2016届高三最后一次模拟考试】已知经过点3(1,)2P 的两个圆12,C C 都与直线11:2l y x =，2:2l y x =相切，则这两圆的圆心距12C C 等于 .15. 【江苏省苏锡常镇四市2016届高三教学情况调研（二）数学试题】若直线340x y m +-=与圆222440x y x y ++-+=始终有公共点，则实数m 的取值范围是 ▲ ． 16. 【江苏省南京市2016届高三年级第三次学情调研适应性测试数学】若直线l1：x ＋2y －4＝0与l2：mx ＋(2－m)y －3＝0平行，则实数m 的值为 ▲ ．。

中考数学总复习《直线与圆的位置关系》专题测试卷及答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________A组·考点过关1．如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，与AC相切于点A，连接OD.若∠AOD=80∘则∠C的度数为（）A．30∘B．40∘C．45∘D．50∘2．如图，EA，ED是⊙O的切线，切点为A，D，点B，C在⊙O上.若∠BAE+∠BCD=236∘则∠E=（）A．56∘B．60∘C．68∘D．70∘3．如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C，连接BC.若∠B=28∘，则∠P=________.4．如图，在Rt△ABC中∠C=90∘，AC=3cm，BC=4cm，点O为内切圆的圆心，点D，E，F 分别为⊙O与BC，AC，AB的切点，则△ABC内切圆的半径为____cm.5．如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，点D在AB的延长线上，且∠DCB=∠A.求证：CD是⊙O的切线.6．如图，已知AB是⊙O的直径，直线DC是⊙O的切线，切点为C，AE⊥DC，垂足为E，连接AC.（1）求证：AC平分∠BAE；，求⊙O的半径.（2）若AC=5，tan∠ACE=34B组·素养提升7．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D在BA的延长线上∠DCA=∠CBA.（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）点G是半径OB上的点，过点G作OB的垂线与BC交于点F，与DC的延长线交于点E，若sinD=4，DA=FG=2求CE的长.58．如图，AB为半圆O的直径，点F在半圆上，点P在AB的延长线上，PC与半圆相切于点C，与OF的延长线相交于点D，AC与OF相交于点E，DC=DE.（1）写出图中一个与∠DEC相等的角：__________________________；（2）求证：OD⊥AB；（3）若OA=2OE，DF=2，求PB的长.C组·创新考法9．[2024广东]如图，在△ABC中∠C=90∘.（1）【实践与操作】用尺规作图法作∠A的平分线AD交BC于点D（保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）【应用与证明】在（1）的条件下，以点D为圆心，DC长为半径作⊙D.求证：AB与⊙D相切.参考答案A组·考点过关1．D 2．C3．34∘4．15．证明:如答图，连接OC.第5题答图∵AB是⊙O的直径∴∠ACB=90∘∴∠A+∠ABC=90∘.又∵OB=OC∴∠ABC=∠OCB.又∵∠DCB=∠A∴∠A+∠ABC=∠DCB+∠OCB=∠OCD=90∘.∴OC⊥DC.又∵OC是⊙O的半径∴CD是⊙O的切线.6．（1）证明：如答图，连接OC.第6题答图∵直线DC是⊙O的切线，切点为C∴OC⊥DC.又∵AE⊥DC∴OC//AE∴∠EAC=∠ACO.∵OC=OA∴∠ACO=∠OAC∴∠EAC=∠OAC ∴AC平分∠BAE.（2）解：如答图，连接BC.∵AB是⊙O的直径∴∠ACB=90∘∴∠CAB+∠CBA=90∘.又∵AE⊥DC∠AEC=90∘.由（1）得∠EAC=∠OAC.又∵∠EAC+∠ACE=90∘∴∠ABC=∠ACE∴tan∠ABC=tan∠ACE=3 4∴ 在Rt △ABC 中 AC BC =5BC =34 ∴BC =203.在Rt △ABC 中 AB =√AC 2+BC 2=√52+(203)2=253.∴⊙O 的半径为256.B 组·素养提升7．（1） 证明：连接OC ，如答图.第7题答图 ∵OB =OC∴∠OBC =∠OCB .∵∠DCA =∠OBC∴∠DCA =∠OCB . ∵AB 是⊙O 的直径 ∴∠ACB =90∘∴∠DCA +∠OCA =∠OCB +∠OCA =90∘ ∴∠OCD =90∘ . ∵OC 是⊙O 的半径 ∴DC 是⊙O 的切线. （2） 解：设OC =OA =r .∵sinD =OC OD =45∴r r +2=45∴r =8 ∴OC =OA =8.在 Rt △OCD 中 CD =√OD 2−OC 2=√(8+2)2−82=6.∵∠DCA+∠ECF=∠BFG+∠CBA=90∘∴∠ECF=∠BFG.又∵∠BFG=∠EFC∴∠ECF=∠EFC ∴EC=EF设EC=EF=x.∵∠D=∠D∠DCO=∠DGE∴△DOC∼△DEG∴DODE =OCEG，则10x+6=8x+2，解得x=14经检验x=14是所列方程的解.∴CE的长为14.8．（1）∠DCE（答案不唯一）（2）证明：连接OC，如答图.第8题答图∵PC与半圆O相切于点C∴∠OCD=90∘即∠DCE+∠ACO=90∘.∵OA=OC∴∠OAC=∠ACO.∵∠DCE=∠DEC∠AEO=∠DEC∴∠AEO+∠CAO=90∘∴∠AOE=90∘∴OD⊥AB.（3）解：设OE=x则AO=OF=BO=2x∴EF=OF−OE=x OD=OF+DF=2x+2∴DC=DE=DF+EF=2+x.在Rt△ODC中OD2=CD2+OC2∴(2x+2)2=(x+2)2+(2x)2解得x1=4x2=0（舍去）∴OD=10CD=6OC=8.∵tanD=OPOD=OCCD∴OP10=86解得OP=403∴BP=OP−OB=403−8=163.C组·创新考法9．（1）解：如答图①，AD即为所求作.第9题答图①（2）证明：如答图②，作DE⊥AB于点E第9题答图②∵AD是∠CAD的平分线DC⊥AC DE⊥AB∴DE=DC.∵DE是⊙D的半径DE⊥AB∴AB与⊙D相切.。

一、填空题1. 【2016高考冲刺卷（6）【江苏卷】】在平面直角坐标xOy 中，已知点)0,4(),0,1(B A ，若直线0=+-m y x 上存在点P 使得12PA PB =,则实数m 的取值范围是2. 【2016高考冲刺卷（5）【江苏卷】】直线21ax by +=与圆221x y +=相交于A B ，两点（其中a b ，是实数），且AOB ∆是直角三角形（O 是坐标原点），则点()P a b ，与点()00O ，之间距离的最大值为 ▲ ．3. 【2016高考冲刺卷（1）【江苏卷】】过点(4,0)P -的直线l 与圆22:(1)5C x y -+=相交于,A B 两点，若点A 恰好是线段PB 的中点，则直线l 的方程为 .4. 【2016高考押题卷（2）【江苏卷】】已知圆O:122=+y x ，点),(00y x P 是直线0323:=-+y x l 上的动点，若在圆C 上总存在两个不同的点A 、B ，使=⋅则0x 的取值范围是5. 【南京市2016届高三年级第三次模拟考试】在平面直角坐标系xOy 中，圆M ：(x －a)2＋(y ＋a －3)2＝1(a ＞0)，点N 为圆M 上任意一点．若以N 为圆心，ON 为半径的圆与圆M 至多有一个公共点，则a 的最小值为 ▲ ．6. 【南京市、盐城市2016届高三年级第二次模拟考试】已知圆O ：x2＋y2＝1，圆M ：(x －a)2＋(y －a ＋4)2＝1．若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使得∠APB ＝60°，则实数a 的取值范围为▲________．7. 【2016高考冲刺卷（2）【江苏卷】】已知圆O ：422=+y x ，若不过原点O 的直线l 与圆O 交于P 、Q 两点，且满足直线OP 、PQ 、OQ 的斜率依次成等比数列，则直线l 的斜率为 ▲ .8. 【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】若曲线02:22=-+x y x M 与曲线0:2=+-my y mxy C 有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是 ．9. 【2016高考押题卷（1）【江苏卷】】已知圆22:2C x y +=，直线:240l x y +-=，点00(,)P x y 在直线l 上．若存在圆C 上的点Q ，使得45OPQ ∠=（O 为坐标原点），则0x 的取值范围为_______.10. 【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】 在平面直角坐标系xOy中，圆221x y +=交x 轴于,A B 两点，且点A 在点B左边，若直线0x m +=上存在点P ，使得2PA PB=，则m 的取值范围为_______.11. 【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】在平面直角坐标系xOy 中，点(3,0)A ，动点P 满足2PA PO =，动点(3,45)()Q a a a +∈R ，则线段PQ 长度的最小值为_______.12. 【盐城市2016届高三年级第三次模拟考试】已知线段AB 的长为2，动点C 满足CA CB λ⋅=（λ为常数），且点C 总不在以点B 为圆心，12为半径的圆内，则负数λ的最大值是 ▲ .13. 【南通市2016届高三下学期第三次调研考试数学试题】在平面直角坐标系xOy 中，圆()221:12C x y -+=，圆()()2221:C x m y m m -++=，若圆2C 上存在点P 满足：过点P向圆1C 作两条切线,,PA PB 切点为,A B ，ABP ∆的面积为1，则正数m 的取值范围是 .14. 【江苏省苏北三市（徐州市、连云港市、宿迁市）2016届高三最后一次模拟考试】已知经过点3(1,)2P 的两个圆12,C C 都与直线11:2l y x=，2:2l y x =相切，则这两圆的圆心距12C C 等于 .15. 【江苏省苏锡常镇四市2016届高三教学情况调研（二）数学试题】若直线340x y m +-=与圆222440x y x y ++-+=始终有公共点，则实数m 的取值范围是 ▲ ． 16. 【江苏省南京市2016届高三年级第三次学情调研适应性测试数学】若直线l1：x ＋2y －4＝0与l2：mx ＋(2－m)y －3＝0平行，则实数m 的值为 ▲ ．17. 【江苏省苏中三市（南通、扬州、泰州）2016届高三第二次调研测试数学试题】在平面直角坐标系xOy 中，过点()2,0P -的直线与圆221x y +=相切于点T ，与圆()(223x a y -+=相交于点,R S ，且PT RS =，则正数a 的值为 ▲ ．二、解答题1. 【2016高考押题卷（2）【江苏卷】】（本小题满分14分）一条形如斜L 型的铁路线MON 在经过某城市O 时转弯而改变方向，测得tan 3MON ∠=-，因市内不准建站，故考虑在郊区A 、B 处分别建设东车站与北车站，其中东车站A 建于铁路OM 上，且OA=6km ，北车站B 建于铁路ON 上,同时在两站之间建设一条货运公路，使直线AB 经过货物中转站Q ，已知Q 站与铁路线OM 、ON 的垂直距离分别为2km 、．现以点O 为坐标原点，射线OM 为x 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系．（1）若一货运汽车以236h km /的速度从车站A 开往车站B,不计途中装卸货物时间，则需要多长时间；（2）若在中转站Q 的正北方向6km 有一工厂P,为了节省开支，产品不经中转站而运至公路上C 处，让货车直接运走，试确定点C 的最佳位置．2. 【南京市、盐城市2016届高三年级第二次模拟考试】 (本题满分14分)如图，某城市有一块半径为1(单位：百米)的圆形景观，圆心为C ，有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路．最初规划在拐角处(图中阴影部分)只有一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路．规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆C 相切的小道AB.问：A ，B 两点应选在何处可使得小道AB 最短？3. 【南通市2016届高三下学期第三次调研考试数学试题】（本小题满分14分）某宾馆在装修时，为了美观，欲将客房的窗户设计成半径为1m 的圆形，并用四根木条将圆分成如图所示的9个区域，其中四边形ABCD 为中心在圆心的矩形，现计划将矩形ABCD 区域设计为可推拉的窗口.（1）若窗口ABCD 为正方形，且面积大于214m（木条宽度忽略不计），求四根木条总长的取值范围；（2）若四根木条总长为6m，求窗口ABCD面积的最大值.4. 【盐城市2016届高三年级第三次模拟考试】(本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22:143x yC+=的左顶点为A，右焦点为F，,P Q为椭圆C上两点，圆222:(0) O x y r r+=>.（1）若PF x⊥轴，且满足直线AP与圆O相切，求圆O的方程；（2）若圆O,P Q满足34OP OQk k⋅=-，求直线PQ被圆O截得弦长的最大值.。

一、填空题1. 【2016高考冲刺卷（6）【江苏卷】】在平面直角坐标xOy 中，已知点)0,4(),0,1(B A ，若直线0=+-m y x 上存在点P 使得12PA PB =,则实数m 的取值范围是2. 【2016高考冲刺卷（5）【江苏卷】】直线21ax by +=与圆221x y +=相交于A B ，两点（其中a b ，是实数），且AOB ∆是直角三角形（O 是坐标原点），则点()P a b ，与点()00O ，之间距离的最大值为 ▲ ．【解析】∵△AOB 是直角三角形（O 是坐标原点），∴圆心到直线21ax by +=的距离2d =，即2d ==， 整理得2242a b +=，则点P （a ，b ）与点Q （0，0）之间距离d∴当b=0时，点P （a ，b ）与点Q （0，03. 【2016高考冲刺卷（1）【江苏卷】】过点(4,0)P -的直线l 与圆22:(1)5C x y -+=相交于,A B 两点，若点A 恰好是线段PB 的中点，则直线l 的方程为 .【答案】340x y ±+=【解析】如果直线l 与x 轴平行，则(1(1A B ,A 不是PB 中点，则直线l 与x 轴不平行；设:4l x my =-，圆心C 到直线l 的距离d =AB 中点为Q ，则3AQ PQ AQ ===Rt CPQ ∆中222PQ CQ PC +=,得2252521d m==+，解得3m =±，则直线l 的方程为340x y ±+=． 4. 【2016高考押题卷（2）【江苏卷】】已知圆O:122=+y x ，点),(00y x P 是直线0323:=-+y x l 上的动点，若在圆C 上总存在两个不同的点A 、B ，使PB PA =⋅则0x 的取值范围是5. 【南京市2016届高三年级第三次模拟考试】在平面直角坐标系xOy 中，圆M ：(x －a )2＋(y ＋a －3)2＝1(a ＞0)，点N 为圆M 上任意一点．若以N 为圆心，ON 为半径的圆与圆M 至多有一个公共点，则a 的最小值为 ▲ ． 【答案】3 【解析】试题分析：由题意得圆N 与圆M 内切或内含，即12MN ON ON ≤-⇒≥，又1ON OM ≥-，所以3OM ≥330a a ⇒≥≤或（舍），因此a 的最小值为3 6. 【南京市、盐城市2016届高三年级第二次模拟考试】已知圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x －a )2＋(y －a ＋4)2＝1．若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使得∠APB ＝60°，则实数a 的取值范围为▲________．【答案】[2+ 【解析】试题分析：由题意得：2=OP ，所以P 在以O 为圆心2为半径的圆上，即此圆与圆M 有公共点，因此有：2221211(4)922OM a a a -<<+⇒≤+-≤⇒≤≤+．7. 【2016高考冲刺卷（2）【江苏卷】】已知圆O ：422=+y x ，若不过原点O 的直线l 与圆O 交于P 、Q 两点，且满足直线OP 、PQ 、OQ 的斜率依次成等比数列，则直线l 的斜率为 ▲ .8. 【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】若曲线02:22=-+x y x M 与曲线0:2=+-my y mxy C 有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是 ．【答案】]33,0()0,33[ -． 【解析】由题意知曲线M 圆心为)0,1(M ，半径为1的圆，曲线0:2=+-my y mxy C 可化为0)(=+-m y mx y ，即0=y 或0=+-m y mx ，当0=y 时，圆02:22=-+x y x M 与其相交，且有两个不同的交点；则所求问题转化为圆02:22=-+x y x M 与直线0=+-m y mx 也有两个交点．所以圆心)0,1(M 到直线0=+-m y mx 的距离小于半径1，1<，解之可得33m -<<，注意到当0=m 时，圆02:22=-+x y x M 与曲线0:2=+-my y mxy C 只有两个不同的交点，不合题意，所以0≠m ，故实数m 的取值范围是(U ． 9. 【2016高考押题卷（1）【江苏卷】】已知圆22:2C x y +=，直线:240l x y +-=，点00(,)P x y 在直线l 上．若存在圆C 上的点Q ，使得45OPQ ∠=（O 为坐标原点），则0x 的取值范围为_______.10. 【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】 在平面直角坐标系xOy 中，圆221x y +=交x 轴于,A B 两点，且点A 在点B 左边，若直线0x m +=上存在点P ，使得2PA PB =，则m 的取值范围为_______. 【答案】13[,1]3-【解析】由题意得：(1,0),(1,0)A B -，设(,)P x y ，则由2PA PB=得22516()39x y =-+=，因此圆22516()39x y -+=与直线0x m +=有交点，即5||4133 1.233m m +≤⇒-≤≤11. 【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】在平面直角坐标系xOy 中，点(3,0)A ，动点P 满足2PA PO =，动点(3,45)()Q a a a +∈R ，则线段PQ 长度的最小值为_______. 【答案】15【解析】设(,)P x y ，则由2PA PO =得222222(3)4()(1)4x y x y x y -+=+⇒++=，即动点P 在圆上运动，因为(3,45)()Q a a a +∈R ，因此动点Q 在直线43150x y -+=上运动，所以线段PQ长度的最小值为|415|12.55-+-= 12. 【盐城市2016届高三年级第三次模拟考试】已知线段AB 的长为2，动点C 满足CA CB λ⋅=（λ为常数），且点C 总不在以点B 为圆心，12为半径的圆内，则负数λ的最大值是 ▲.13. 【南通市2016届高三下学期第三次调研考试数学试题】在平面直角坐标系xOy 中，圆()221:12C x y -+=，圆()()2221:C x m y m m -++=，若圆2C 上存在点P 满足：过点P 向圆1C 作两条切线,,PA PB 切点为,A B ，ABP ∆的面积为1，则正数m 的取值范围是 .【答案】1,3⎡+⎣【解析】试题分析：设()P x y ，，设PA ，PB 的夹角为2θ． △ABP 的面积S=22111sin 212PA PA PA PC θ==．32212PC PA ==+，解得PA所以12PC =，所以点P 在圆22(1)4x y -+=上．所以22m m -+，解得13m +≤≤．14. 【江苏省苏北三市（徐州市、连云港市、宿迁市）2016届高三最后一次模拟考试】已知经过点3(1,)2P 的两个圆12,C C 都与直线11:2l y x =，2:2l y x =相切，则这两圆的圆心距12C C 等于 .15. 【江苏省苏锡常镇四市2016届高三教学情况调研（二）数学试题】若直线340x y m +-=与圆222440x y x y ++-+=始终有公共点，则实数m 的取值范围是▲ ． 【答案】[010]，【解析】试题分析：因为22(1)(2)1x y ++-=，所以由题意得：|342|1|5|5010.5m m m -+⨯-≤⇒-≤⇒≤≤16. 【江苏省南京市2016届高三年级第三次学情调研适应性测试数学】若直线l 1：x ＋2y －4＝0与l 2：mx ＋(2－m )y －3＝0平行，则实数m 的值为 ▲ ． 【答案】2.3【解析】试题分析：由题意得：232.1243m m m --=≠⇒=- 17. 【江苏省苏中三市（南通、扬州、泰州）2016届高三第二次调研测试数学试题】在平面直角坐标系xOy 中，过点()2,0P -的直线与圆221x y +=相切于点T ，与圆()(223x a y -+=相交于点,R S ，且PT RS =，则正数a 的值为 ▲ ．【答案】4二、解答题1. 【2016高考押题卷（2）【江苏卷】】（本小题满分14分）一条形如斜L 型的铁路线MON 在经过某城市O 时转弯而改变方向，测得tan 3MON ∠=-，因市内不准建站，故考虑在郊区A 、B 处分别建设东车站与北车站，其中东车站A 建于铁路OM 上，且OA=6km ，北车站B 建于铁路ON 上,同时在两站之间建设一条货运公路，使直线AB 经过货物中转站Q ，已知Q 站与铁路线OM 、ON 的垂直距离分别为2km． 现以点O 为坐标原点，射线OM 为x 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系．（1）若一货运汽车以236h km /的速度从车站A 开往车站B,不计途中装卸货物时间，则需要多长时间；（2）若在中转站Q 的正北方向6km 有一工厂P,为了节省开支，产品不经中转站而运至公路M上C 处，让货车直接运走，试确定点C 的最佳位置． 【答案】（1）15分钟 （2）C （1，5）【解析】（1）由已知得(6,0)A ，直线ON 的方程为3y x =-，设00(,2)(0)Q x x >及图00x >得04x =，(4,2)Q ∴ ∴直线AQ 的方程为(6)y x =--，即60x y +-=，2. 【南京市、盐城市2016届高三年级第二次模拟考试】 (本题满分14分)如图，某城市有一块半径为1(单位：百米)的圆形景观，圆心为C ，有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路．最初规划在拐角处(图中阴影部分)只有一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路．规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆C 相切的小道AB.问：A ，B 两点应选在何处可使得小道AB 最短？【答案】当A ，B 两点离道路的交点都为2－2(百米)时，小道AB 最短． 【解析】解法一：如图，分别由两条道路所在直线建立直角坐标系xOy.答：当A ，B 两点离道路的交点都为2－2(百米)时，小道AB 最短．…………14分 3. 【南通市2016届高三下学期第三次调研考试数学试题】（本小题满分14分）某宾馆在装修时，为了美观，欲将客房的窗户设计成半径为1m 的圆形，并用四根木条将圆分成如图所示的9个区域，其中四边形ABCD 为中心在圆心的矩形，现计划将矩形ABCD 区域设计为可推拉的窗口.（1）若窗口ABCD 为正方形，且面积大于214m （木条宽度忽略不计），求四根木条总长的取值范围；（2）若四根木条总长为6m ，求窗口ABCD 面积的最大值.【答案】（1）x <2）274m 【解析】试题分析：（1）长度与面积关系问题，可以考虑利用解不等式求范围，先根据直线与圆位置关系得弦长与圆心到直线距离（即正方形边长一半）关系，再根据面积大于214m 得一根木条长范围，注意四根木条将圆列表如下：所以当32a=时，()max349216f x f⎛⎫==⎪⎝⎭，即max74S=4. 【盐城市2016届高三年级第三次模拟考试】(本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y C +=的左顶点为A ，右焦点为F ，,P Q 为椭圆C 上两点，圆222:(0)O x y r r +=>.（1）若PF x ⊥轴，且满足直线AP 与圆O 相切，求圆O 的方程；（2）若圆O ,P Q 满足34OP OQ k k ⋅=-，求直线PQ 被圆O 截得弦长的最大值.【答案】（1）2245x y +=（2【解析】试题分析：（1）确定圆O 的方程，就是确定半径的值，因为直线AP 与圆O 相切，所以先确定直线方程，即确定点P 坐标：因为PF x ⊥轴，所以3(1,)2P ±，根据对称性，可取3(1,)2P ，则直线AP 的方程为1(2)2y x =+，根据圆心到切线距离等于半径得r =（2）根据垂径定理，求直线PQ 被圆O 截得弦长的最大值，就是求圆心O 到直线PQ 的距离的最小值. 设直线PQ 的方程为y kx b =+，则圆心O 到直线PQ 的距离d =，利用34OP OQ k k ⋅=-得1212340x x y y +=，化简得221212(34)4()40k x x kb x x b ++++=，利用直线方程与椭圆方程联立方程组并结合韦达定理得（2）易知，圆O 的方程为223x y +=. ① 当PQ x ⊥轴时，234OP OQ OP k k k ⋅=-=-，。

专题检测（十六） 直线与圆（高考题型全能练）一、选择题1．(2016·福建厦门联考)“C ＝5”是“点(2，1)到直线3x ＋4y ＋C ＝0的距离为3”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件2．(2016·全国甲卷)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )A ．－43B ．－34C. 3 D ．23．(2016·山西运城二模)已知圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝16的一条直径通过直线x －2y ＋3＝0被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为( )A ．3x ＋y －5＝0B ．x －2y ＝0C ．x －2y ＋4＝0D ．2x ＋y －3＝04．圆心在曲线y ＝2x (x >0)上，与直线2x ＋y ＋1＝0相切，且面积最小的圆的方程为( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝25B ．(x －2)2＋(y －1)2＝5C ．(x －1)2＋(y －2)2＝25D ．(x －1)2＋(y －2)2＝55．(2016·福州模拟)已知圆O ：x 2＋y 2＝4上到直线l ：x ＋y ＝a 的距离等于1的点至少有2个，则a 的取值范围为( )A ．(－32，32)B ．(－∞，－32)∪(32，＋∞)C ．(－22，22)D ．[－32，3 2 ]6．(2016·河北五校联考)已知点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，过点P 的直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值是( )A ．2 6B ．4 C. 6 D ．2 二、填空题7．(2016·山西五校联考)过原点且与直线6x －3y ＋1＝0平行的直线l 被圆x 2＋(y －3)2＝7所截得的弦长为________．8．已知f (x )＝x 3＋ax －2b ，如果f (x )的图象在切点P (1，－2) 处的切线与圆(x －2)2＋(y ＋4)2＝5相切，那么3a ＋2b ＝________．9．(2016·河南焦作一模)著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：（x －a ）2＋（y －b ）2可以转化为平面上点M (x ，y )与点N (a ，b )的距离．结合上述观点，可得f (x )＝x 2＋4x ＋20＋x 2＋2x ＋10的最小值为________． 三、解答题10．(2015·全国卷Ⅰ)已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围； (2)若＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |.11．已知点P (2，2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．12．(2016·湖南东部六校联考)已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方．(1)求圆C 的方程；(2)过点M (1，0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．答 案一、选择题1．解析：选B 点(2，1)到直线3x ＋4y ＋C ＝0的距离为3等价于|3×2＋4×1＋C |32＋42＝3，解得C ＝5或C ＝－25，所以“C ＝5”是“点(2，1)到直线3x ＋4y ＋C ＝0的距离为3”的充分不必要条件，故选B.2．解析：选A 因为圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心坐标为(1，4)，所以圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离d ＝|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43.3．解析：选D 直线x －2y ＋3＝0的斜率为12，已知圆的圆心坐标为(2，－1)，该直径所在直线的斜率为－2，所以该直径所在的直线方程为y ＋1＝－2(x －2)，即2x ＋y －3＝0，故选D.4．解析：选D 设圆心坐标为C ⎝⎛⎭⎫a ，2a (a >0)，则半径r ＝2a ＋2a ＋15≥22a ×2a＋15＝5，当且仅当2a ＝2a ，即a ＝1时取等号．所以当a ＝1时圆的半径最小，此时r ＝5，C (1，2)，所以面积最小的圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5.5．解析：选A 由圆的方程可知圆心为O (0，0)，半径为2，因为圆上的点到直线l 的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线l 的距离d <2＋1＝3，即d ＝|－a |12＋12＝|a |2<3，解得a ∈(－32，32)，故选A.6．解析：选B 根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，设点P 到圆心的距离为d ，则求最短弦长，等价于求到圆心的距离最大的点，即为图中的P 点，其坐标为(1，3)，则d ＝1＋32＝10，此时|AB |min ＝214－10＝4，故选B.二、填空题7．解析：由题意可得l 的方程为2x －y ＝0，∵圆心(0，3)到l 的距离为d ＝1，∴所求弦长＝2R 2－d 2＝27－1＝2 6.答案：2 68．解析：由题意得f (1)＝－2⇒a －2b ＝－3，又∵f ′(x )＝3x 2＋a ，∴f (x )的图象在点P (1， －2)处的切线方程为y ＋2＝(3＋a )(x －1)，即(3＋a )x －y －a －5＝0，∴|（3＋a ）×2＋4－a －5|（3＋a ）2＋12＝5⇒a ＝－52，∴b ＝14，∴3a ＋2b ＝－7.答案：－79．解析：∵f (x )＝x 2＋4x ＋20＋x 2＋2x ＋10＝（x ＋2）2＋（0－4）2＋（x ＋1）2＋（0－3）2，∴f (x )的几何意义为点M (x ，0)到两定点A (－2，4)与B (－1，3)的距离之和，设点A (－2，4)关于x 轴的对称点为A ′，则A ′为(－2，－4)．要求f (x )的最小值，可转化为|MA |＋|MB |的最小值，利用对称思想可知|MA |＋|MB |≥|A ′B |＝（－1＋2）2＋（3＋4）2＝52，即f (x )＝x 2＋4x ＋20＋x 2＋2x ＋10的最小值为5 2.答案：5 2 三、解答题10．解：(1)由题设可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1. 因为直线l 与圆C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k 2<1，解得4－73<k <4＋73.所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1， 整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0. 所以x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2.＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k （1＋k ）1＋k 2＋8.由题设可得4k （1＋k ）1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1，所以直线l 的方程为y ＝x ＋1. 故圆心C 在直线l 上，所以|MN |＝2.11．解：(1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16， 所以圆心为C (0，4)，半径为4. 设M (x ，y )，则＝(x ，y －4)，＝(2－x ，2－y )．由题设知·＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝2. 由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1，3)为圆心，2为半径的圆．由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM . 因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13，故l 的方程为y ＝－13x ＋83.又|OM |＝|OP |＝22，O 到l 的距离d 为4105，所以|PM |＝2|OP |2－d 2＝4105，所以△POM 的面积为S △POM ＝12|PM |d ＝165.12．解：(1)设圆心C (a ，0)⎝⎛⎫a >－52，则|4a ＋10|5＝2⇒a ＝0或a ＝－5(舍)． 所以圆C ：x 2＋y 2＝4.(2)当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB .当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，N (t ，0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝k （x －1），得(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0. 所以x 1＋x 2＝2k 2k 2＋1，x 1x 2＝k 2－4k 2＋1.若x 轴平分∠ANB ，则k AN ＝－k BN ⇒y 1x 1－t ＋y 2x 2－t ＝0⇒k （x 1－1）x 1－t ＋k （x 2－1）x 2－t ＝0⇒2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0⇒2（k 2－4）k 2＋1－2k 2（t ＋1）k 2＋1＋2t ＝0⇒t ＝4，所以当点N 为(4，0)时，能使得∠ANM ＝∠BNM 总成立．。

五年级下册语文第六单元作文道理在我的记忆中，有一件小事，如同夜空中的一颗小星星，虽然不太起眼，但却让我明白了一个深刻的道理。

那是一个周末的下午，阳光透过窗户洒在我的书桌上。

我正为一道数学题绞尽脑汁，草稿纸用了一张又一张，可还是没有头绪。

“这题怎么这么难啊！”我忍不住抱怨起来。

就在我心烦意乱的时候，妈妈走了进来，手里拿着一个苹果，笑着说：“别着急，先吃个苹果休息一下。

”我不耐烦地接过苹果，咬了一口，继续盯着题目发呆。

妈妈在旁边看了一会儿，轻声说：“要不我们出去走走，换个心情？”我心里虽然一百个不愿意，但又觉得一直这么坐着也不是办法，就跟着妈妈出了门。

小区里的花开得正艳，红的、粉的、黄的，五彩斑斓，争奇斗艳。

可我哪有心思欣赏这些，满脑子都是那道解不出来的数学题。

妈妈似乎看出了我的心思，拉着我在小区的长椅上坐了下来。

“你看，那棵小树苗。

”妈妈指着不远处的一棵小树苗说。

我顺着妈妈手指的方向看去，那是一棵细细的、弱弱的小树苗，在微风中轻轻摇晃着。

“它有什么好看的？”我嘟囔着。

妈妈笑了笑说：“你别看它现在又小又弱，只要给它时间，给它阳光雨露，它就能长成参天大树。

做题也是一样啊，别着急，一步一步来，总会找到答案的。

”我心里一动，好像明白了点什么。

我们又在小区里逛了一会儿，回到家的时候，我的心情已经平静了许多。

再次坐到书桌前，我重新审视那道数学题，突然发现了一个之前被我忽略的关键点。

顺着这个思路，我一步一步地计算，终于算出了答案。

“我做出来啦！”我兴奋地喊起来。

妈妈走进房间，微笑着看着我：“看吧，只要不放弃，总会成功的。

”这件小事让我明白了，做任何事情都不能急于求成，要有耐心，要一步一个脚印。

就像那棵小树苗，只要坚持不懈地努力生长，总有一天能成为栋梁之材。

如今，每当我遇到难题想要放弃的时候，就会想起那个周末的下午，想起那棵小树苗，想起妈妈的话。

然后，我就会告诉自己，别着急，慢慢来，一定能行！这就是我从这件小事中明白的道理，它虽然简单，却一直激励着我，让我在成长的道路上勇往直前。