高考数学北师大版二轮复习课件X4-1-1 相似三角形的判定及有关性质

解析：由∠B＝∠D，AE⊥BC 及∠ACD＝90° 可推得 Rt△ABE 6×4 AE AB ∽Rt△ADC，则AC＝AD，∴AE＝ ＝2. 12 答案：2
四、直角三角形的射影定理 直角三角形斜边上的高是 两直角边 在斜边上射影的比例中项； 两直角边分别是它们在 斜边 上射影与 斜边 的比例中项． 如图，在 Rt△ABC 中，CD 是斜边 AB 上的高， 则有 CD2＝ AD·BD ， AC2＝ AD·AB ，BC2＝ BD·AB .
A． b ＝ a ＋ c C．b2＝a2＋c2
B．b2＝ac D．b＝2a＝2c
a－b b－c 解析：由三角形相似知， ＝ ，得 ac－bc＝b2－bc， b c ∴b2＝ac.故选 B. 答案：B
5．(2011 陕西高考)如图，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90° ， 且 AB＝6，AC＝4，AD＝12，则 AE＝________.
6．在 Rt△ABC 中，∠C＝90° ，CD⊥AB 于 D，已知 AC＝4， AD＝2，则(1)BD＝________；(2)若 BC＝4 3，则 CD＝________. 解析：(1)由直角三角形的射影定理得 AC2＝AD· AB， AC2 42 ∴AB＝ AD ＝ ＝8， 2 ∴BD＝AB－AD＝8－2＝6.
(2)AB＝ AC2＋BC2＝ 42＋4 32＝8，
2 2 AC 4 ∵AC2＝AD· AB，∴AD＝ ＝ ＝2. AB 8
∴BD＝AB－AD＝8－2＝6. ∵CD2＝AD· DB， ∴CD＝ AD· DB＝ 2×6＝2 3. 答案：(1)6 (2)2 3
考点一
平行线分线段成比例定理的应用
如图，已知 AB∥CD∥EF，AB＝a， CD＝b(0＜a＜b)，AE∶EC＝m∶n(0＜m＜n)， 求 EF. 【思路点拨】 本题中有三条平行线，故应考虑利用平行截割定 理，对于具体的图形，应适当平移，使之成为常见图形．
3．(2011 广东高考)如图，在梯形 ABCD 中， AB∥CD，AB＝4，CD＝2.E，F 分别为 AD，BC 上点，且 EF＝3，EF∥AB，则梯形 ABFE 与梯 形 EFCD 的面积比为________． 解析：如图，延长 AD，BC 交于一点 O，作 OH⊥AB 于点 H.
x＋h1 x 2 3 ∴ ＝ ，得 x＝2h1， ＝ ，得 h＝h2. x＋h1 3 x＋h1＋h2 4 1 7 ∴S△梯形 ABFE＝ ×(3＋4)×h1＝ h1， 2 2 1 5 S 梯形 EFCD＝ ×(2＋3)×h1＝ h1， 2 2 ∴S 梯形 ABFE∶S 梯形 EFCD＝7∶5.
三、相似三角形的判定及性质 1．相似三角形的判定 定义 对应角相等 ，对应边成比例的两个三角形叫作相似三角 形．相似三角形对应边的比值叫作相似比(或相似系数)． 预备定理 平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长
线)相交 ，所构成的三角形与原三角形相似． 判定定理 1 对于任意两个三角形， 如果一个三角形的两个角与 另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为： 两角对应相等，两三角形相似．
第一节
相似三角形的判定及有关性质
目标定位
学习指向 1.利用平行线等分线段定理和平行线
1.了解平行线分线段
成比例定理． 2.会证明并应用直角 三角形射影定理.
分线段成比例定理进行相关推理和计 算． 2.相似三角形的判定及有关性质，直 角三角形的射影定理的应用.
一、平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，截得的对应线段 成比例 ． 推论 1 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线 ) 所得的对应线段 成比例 ． 推论 2 用平行于三角形一边且和其他两边 相交 的直线截三
【自主试解】
如图，过点 F 作 FH∥EC，分别交 BA，DC 的
角形，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应 成比例 ．
二、平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直 线上截得的线段也相等． 推论 1 经过三角形一边的 中点 与另一边平行的直线必平分第 三边． 推论 2 腰． 经过梯形一腰的中点 ，且与底边平行的直线平分 另一
1．已知：如图，l1∥l2∥l3，若 AB＝1，BC＝2，DE＝1.5，则 EF 的长为________．
AB DE 1 1.5 解析：∵l1∥l2∥l3，∴BC＝EF ，即 ＝EF，∴EF＝3. 2 答案：3
AD 1 DE 2． 如图， 已知在△ABC 中， DE∥BC， ＝ ， 则 DB 3 BC ＝________. AD 1 AD 1 解析：∵ ＝ ，∴ ＝ . DB 3 AB 4 DE AD 1 ∴DE∥BC，∵BC＝AB＝ . 4 1 答案： 4
平分线的比都等于 相似比 ； (2)相似三角形周长的比等于 相似比 ； (3)相似三角形面积的比等于 相似比的平方 外接圆(或内切圆)的面积比等于 相似比的平方 ． ；
(4)相似三角形外接圆(或内切圆)的直径比、周长比等于相似比，
4．如图，在 Rt△ABC 内画有边长依次为 a、b、c 的三个正方 形，则 a，b，c 之间的关系是( )
判定定理 2 对于任意两个三角形， 如果一个三角形的两边和另 一个三角形的两边对应 成比例 ，并且夹角相等，那么这两个三角 形相似．简述为：两边对应 成比例 且夹角相等，两三角形相似． 判定定理 3 对于任意两个三角形的三条边和另一个三角形的
三条边对应 成比例 ，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应 成比例，两三角形相似．

2．两个直角三角形相似的判定 定理 们相似． (2)如果两个直角三角形的两条直角边对应 成比例 ， 那么它们 相似． (3)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角 形的斜边和一条直角边对应 成比例 ，那么这两个直角三角形相似． (1)如果两个直角三角形的一个锐角对应 相等 ，那么它
3．相似三角形的性质 性质定理 (1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角