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y
z2 z0
O
x
3.收敛半径与收敛圆: 由阿贝尔定理知道幂级数
①在所有点
n cn z z0） （ n 0
的收敛情况只有以下三种情况:
在复平面内处处绝对收敛
z z0
处都是收敛的.由阿贝尔定理知级数
( z z0 )2 ( z z0 )n 如： ( z z0 ) 1 2 n 2 n
c（z z ） 的收敛范围是以Z0为中
n n 0 n 0
心的圆域.在收敛圆上是否收敛,则不一定.
cn ( z z0 )n 的收敛范围是何区域? 问题1: 幂级数
n0
答案:
以Z0为中心的圆域.
问题2: 幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?
注意
在收敛圆周上是收敛还是发散, 不能作出一
n
（3） (cos in) z
n 0
n
z （1） 3 (并讨论在收敛圆周上的情形) n 1 n 3
n
解
cn 1 n 因为 lim c lim n 1 1 n n n
所以收敛半径 R = 1
原级数在圆|z|=1内收敛, 在圆周外发散. 在圆周|z|=1上, 级数
2 n
z2 当 1时,有： 2
z2 在 1 内，即|z 2 | 2 内， 上式右端绝 2 1 对收敛，和为 ; 当|z 2 | 2 时，易知级数的一 z 般项不趋于0，故级数发散。
三、小结与思考
这节课我们学习了幂级数的概念和阿贝尔定 理等内容，应掌握幂级数收敛半径的求法和幂级 数的运算性质.
解 易知，此级数的收敛圆为|z|=1
1 n1 设 S ( z) z , z 1 n 0 S ( z ) z n
n 0
1 , z 1 1 z
两边从 0 到 z (|z|<1)积分得:
1 S ( z) dz ln(1 z ), z 1 0 1 z
第二节
幂级数
一、复数列的极限 二、级数的概念 三、典型例题
四、小结与思考
一、复变函数项级数定义
1.复变函数序列
f1 ( z ), f 2 ( z ),..., f n ( z ),...
n 1
是D上的复变函数列,记作 { f n ( z )} 或 { f n ( z )} 。 称 f1 ( z ) f 2 ( z ) ... f n ( z ) ...
在收敛圆|z1|=1上, 当 z = 0 时, 原级数成为
1 当z = 2时, 原级数成为 , 发散. n 1 n
1 (1) n n 1
n
, 级数收敛;
此例表明, 在收敛圆周上既有级 数的收敛点,也有级数的发散点.
（3） (cos in) z n
n 0
1 n n 解 因为cn cos in (e e ) 2
n n 0
代换运算在把函数展开成幂级数时有 着广泛的应用
例 把函数
1 z
表成形如： cn ( z 2)
n 0
n
的幂级数。
1 1 幂级数展开：先将函数变形为 ，再把 1 g ( z) 1 z 的展开式中的 z 换成 g(z )即可。
1 1 1 1 解： z2 z 2 ( z 2) 2 1 2
几何意义：
注：在圆上及其外部的敛 散性须另行判定(除 z1外)
y
z0
z1
O
x
证:因为
cn z z 0
n 0
n
在z1收敛,所以
n
lim cn z1 z0 0
n
z0
即有正数M,使
| cn ( z1 z0 )n | M
n
(n=0,1,2,…),
n
z z0 n cn ( z z0 ) cn ( z1 z0 ) ( z z ) 1 0 z z0 n n n z z0 n | cn ( z z0 ) || cn ( z1 z0 ) ( ) | M | | Mk n z1 z0 z1 z0
n
则称 f n ( z )在 z0 处收敛，S ( z0 )是它的和，即：
n 1
f
n 1
n
( z0 ) S ( z 0 )
若级数在D 内处处收敛，则级数的和 是D 内的一个函数S ( z ), 即:
f ( z) S ( z)
n 1 n
二、幂级数
1.定义:
形如： Cn ( z z0 ) C0 C1 ( z z0 )
n n 0
C2 ( z z 0 ) C n ( z z 0 )
2 n
的复函数项级数称为幂级数, 其中 Cn 及 z0 均为复常数。
2.收敛判别: 定理一（Abel定理）
n 若 cn z z0）在点 z1 ( z1 z0 ) 收敛, （ n 0
则它在圆域 | z z0 | | z1 z0 | 内绝对收敛。
注意到|z-z0|<|z -z0|, 故级数
1
z z0 M z z n 1 1 0
n
收敛.
推论 若 cn z z0）在点 z2 发散, 则满足： （
n n 0
| z z0 | | z2 z0 | 的点都使得此级数发散。
几何意义： 注：在圆上及其内部的敛 散性须另行判定(除 z2外)
n 1
z 1 3 是收敛的 3 n n 1 n n
因为这是一个 p 级数, p = 3 >1, 所以原级数在收敛圆上处处收敛.
( z 1) (并讨论 z = 0,2时的情形) （2） n n 1
n
cn 1 n 解 lim lim 1 ,则收敛半径 R=1, n c n n 1 n
般的结论, 要对具体级数进行具体分析.
例如, 级数:
R 均为 1, 收敛圆周 z 1
zn
n 0
收敛圆周上无收敛点;
zn 0 n n zn 0 n2 n
在点z 1发散, 在其它点都收敛 ;
在收敛圆周上处处收敛.
4.收敛半径的求法：
cn 1 0 (1)比值法：如果 lim c n n
则收敛半径 R
1
lim n | cn | 0 (2)根值法：如果 n
则收敛半径 R
1
注:当 0时,R ;当 时,R 0
例 求下列幂级数的收敛半径
z （1） 3 (并讨论在收敛圆周上的情形) n 1 n
n
( z 1) (并讨论 z = 0,2时的情形) （2） n n 1
n 0
| z - z0 | < R内的解析函数。 (ii) 幂级数在其收敛圆内可逐项求导或逐项积分: cn ( z z0 ) n [cn ( z z0 ) n ] ncn (z z0 ) n 1, n 0 n 0 n 0
z
.
5、更为重要的是代换(复合)运算
如果当 | z | r时, f ( z ) an z n , 又设在
n 0
| z | R 内 g ( z ) 解析且满足 | g ( z ) | r , 则当 | z | R 时, f [ g ( z )] an [ g ( z )] .
1 1 ( z 2) ( z 2) n ( z 2) 故： 2 (1) 3 n 1 z 2 2 2 2
2 n
1 z2 z2 z2 1 z2 2 2 2 1 2
思考题
幂级数在收敛圆周上的敛散性如何断定?
作业：
P 习题四 4.2 101 4.4 4.5 1 （）
是定义在点集D上的复变函数项级数，记为
f
n1
n
( z )或 f n ( z )，
它的前 n 项和Sn ( z ) f1 ( z ) f 2 ( z ) f n ( z ) 称为级数的部分和。
设 z0为D 内一点，若 lim S n ( z0 ) S ( z0 )存在,
将收敛域染成红色, 发散域染成蓝 色
y CR R C1 C2
z2
z0
0
z1
x
当|Z1 - Z0 |由小逐渐变大时,C1必定逐渐接近 一个以Z0为中心,R为半径的圆周CR ,在CR的内部都
是红色,外部都是蓝色. 这个红蓝两色的分界圆周CR称为幂级数的收敛圆.在收
敛圆外部,级数发散.收敛圆内部,级数绝对收敛. 收敛圆的半径R 称为收敛半径. 所以幂级数
n n 0 n 0
(anb0 an 1b1 an 2b2 a0bn ) z n， z R ) (
n 0
cn ( z z0 )n 2、设幂级数
n 0
的收敛半径为R,那么
(i) 它的和函数 f ( z ) cn ( z z0 ) n 是收敛圆
cn cn ( z z0 ) dz cn ( z z0 ) dz ( z z0 ) n1 0 0 n 0 n 0 n 0 n 1
n z n z
且逐项求导或逐项积分后的新级数 与原级数具有相同的收敛半径.
1 n1 例、求幂级数 z 在收敛圆内的和函数。 n 0 n 1
n 0 n 0
的收敛半径为R 2 ，则在 z R min( R1 , R2 )内。
f ( z ) g ( z ) an z n bn z n (an bn ) z n
