【优化方案】高中数学 第1章1.2.2第一课时知能优化训练 新人教A版必修1

【优化方案】数学人教A版必修1第1章第二课时知能优化训练1．(2020年高考辽宁卷)已知会集U＝{1,3,5,7,9} ，A＝{1,5,7} ，则?UA＝( ) A．{1,3} B．{3,7,9}C．{3,5,9} D ．{3,9}剖析：选D.?UA＝{3,9}，应选D.2．(2020年高考陕西卷)会集A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x＜1}，则A∩(?RB)＝( )A．{x|x＞1} B ．{x|x≥1}C．{x|1＜x≤2}D．{x|1≤x≤2}剖析：选D.∵B＝{x|x＜1}，∴?RB＝{x|x≥1}，A∩?RB＝{x|1≤x≤2}．3. 已知全集 U＝Z，会集A＝{x|x2＝x}，B＝{－1,0,1,2} ，则图中的阴影部分所表示的会集等于( )A．{－1,2}B ．{－1,0}C．{0,1} D ．{1,2}剖析：选A.依题意知A＝{0,1}，(?UA)∩B表示全集U中不在会集A中，但在会集B中的所有元素，故图中的阴影部分所表示的会集等于 {－1,2}．选A.4．已知全集U＝{x|1≤x≤5}，A＝{x|1≤x＜a}，若?UA＝{x|2≤x≤5}，则a＝________.剖析：∵A∪?UA＝U，∴A＝{x|1≤x＜2}．∴a＝2.答案：21．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，且A＝{2,3,4}，B＝{1,2}，则A∩(?UB)等于()A．{2}B．{5}C．{3,4}D ．{2,3,4, 5}剖析：选C.?＝{3,4,5}，BUU∴A∩(?B)＝{3,4}．，且?A＝{2}，则A＝()2．已知全集U＝{0,1,2}UA．{0}B ．{1}C．? D ．{0,1}剖析：选D.∵?UA＝{2}，2?A，又U＝{0,1,2}，∴A＝{0,1}．3．(2020年高考全国卷Ⅰ)设会集A＝{4,5,7,9}，B＝{3,4，7,8,9}，全集U＝A∪B，则会集?(A∩B)中的元素共有()UA．3个B．4个C．5个D．6个剖析：选A.U＝A∪B＝{3,4,5,7,8,9}，∩＝{4,7,9}，∴?(∩)＝{3,5,8}．ABUAB4．已知会集U＝{2,3,4,5,6,7}，M＝{3,4,5,7}，N＝{2,4,5,6}，则() A．M∩N＝{4,6}B．M∪N＝UC．(?N)∪M＝UD．(?M)∩N＝NU U剖析：选B.由U＝{2,3,4,5,6,7}，M＝{3,4,5,7}，N＝{2,4,5,6}，得M∩N＝{4,5}，(?N)∪M＝{3,4,5,7}，(?M)∩N＝{2,6}，M∪N＝{2,3,4,5,6,7}＝U，选B.U U5．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，会集A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x＝2a，a∈A}，则会集?U(∪)中元素个数为()ABA．1B．2C．3D．4剖析：选B.∵A＝{1,2} ，∴B＝{2,4}，A∪B＝{1,2,4}，?U(A∪B)＝{3,5}．6．已知全集U＝A∪B中有m个元素，(?UA)∪(?UB)中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B 的元素个数为( )A．mn B ．m＋nC．n－mD．m－n剖析：选D.U＝A∪B中有m个元素，∵(?UA)∪(?UB)＝?U(A∩B)中有n个元素，∴A∩B中有m－n个元素，应选 D.7．设会集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{2,4}，B＝{3,4,5}，C＝{3,4}，则(A∪B)∩(?UC)＝________.剖析：∵A∪B＝{2,3,4,5} ，?UC＝{1,2,5}，∴(A∪B)∩(?UC)＝{2,3,4,5}∩{1,2,5}＝{2,5}．答案：{2,5}8．已知全集U＝{2,3，a2－a－1}，A＝{2,3}，若?UA＝{1}，则实数a的值是________．剖析：∵U＝{2,3，a2－a－1}，A＝{2,3}，?UA＝{1}，a2－a－1＝1，即a2－a－2＝0，解得a＝－1或a＝2.答案：－1或29．设会集A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2＜x＜4}，全集U＝R，且(?UA)∩B＝?，求实数m的取值范围为________．剖析：由已知A＝{x|x≥－m}，?UA＝{x|x＜－m}，B＝{x|－2＜x＜4}，(?UA)∩B＝?，∴－m≤－2，即m≥2，∴m的取值范围是m≥2.答案：{m|m≥2}510．已知全集U＝R，A＝{x|－4≤x＜2}，B＝{x|－1＜x≤3}，P＝{x|x≤0或x≥2}，求A∩B，(?UB)∪P，(A∩B)∩(?UP)．解：将会集A、B、P表示在数轴上，如图．A＝{x|－4≤x＜2}，B＝{x|－1＜x≤3}，∴A∩B＝{x|－1＜x＜2}．?UB＝{x|x≤－1或x＞3}，5∴(?UB)∪P＝{x|x≤0或x≥}，25(A∩B)∩(?UP)＝{x|－1＜x＜2}∩{x|0＜x＜2}{x|0＜x＜2}．11．已知会集A＝{x|x2＋ax＋12b＝0}和B＝{x|x2－ax＋b＝0}，满足B∩(?UA)＝{2}，A∩(?UB)＝{4}，U＝R，求实数a，b的值．解：∵B∩(?UA)＝{2}，[2∈B，但2?A.A∩(?UB)＝{4}，∴4∈A，但4?B.∴42＋4a＋12b＝0，解得a＝78. 22－2a＋b＝012b＝7812∴a，b的值为7，－7.12．已知会集A＝{x|2a－2<x<a}，B＝{x|1<x<2}，且A?B，求实数a的取值范围．R解：?RB＝{x|x≤1或x≥2}≠?，∵A ?R，B∴分A＝?和A≠?两种情况谈论．①若＝?，此时有2a －2≥，A aa≥2.②若A≠?，则有2a－2<a2a－2<a或.a≤12a－2≥2∴a≤1.综上所述，a≤1或a≥2.。

第一章　1.2　A级——基础过关练1．已知{a，b，c}是空间的一个基底，则可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是( )A．2a B．2bC．2a＋3b D．2a＋5c【答案】D【解析】由于{a，b，c}是空间的一个基底，所以a，b，c不共面，在四个选项中，只有2a＋5c与p，q不共面，因此，2a＋5c与p，q能构成一组基底．故选D．2．如图，设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若OG＝xOA＋yOB＋zOC，则(x，y，z)为( )A．B．C．D．【答案】A【解析】由已知OG＝OG1＝(OA＋AG1)＝[OA＋(AB＋AC)]＝OA＋[(OB－OA)＋(OC－OA)]＝OA＋OB＋OC，从而x＝y＝z＝．3．已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cos〈a，a＋b〉＝( ) A．－　B．－　C．　D．【答案】D【解析】∵|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，∴a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝52－6＝19．|a＋b|＝＝＝＝7，因此cos〈a，a＋b〉＝＝＝．4．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N．设AB＝a，AC＝b，AA1＝c，用a，b，c表示向量MN为( )A．a＋b－c B．a＋b＋cC．a－b＋c D．a＋b＋c【答案】D【解析】MN＝BN－BM＝BB1＋B1N－BM，因为BM＝2A1M，C1N＝2B1N，BB1＝AA1，所以MN＝AA1＋B1C1－BA1＝AA1＋BC－(AA1－AB)＝AA1＋(AC－AB)－(AA1－AB)＝AA1＋AC＋AB＝a＋b＋c．5．已知{e1，e2，e3}为空间向量的一个基底，若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，且d＝αa＋βb＋γc，则α，β，γ的值为( )A．α＝，β＝－1，γ＝－B．α＝－1，β＝，γ＝－C．α＝－，β＝，γ＝－1D．α＝－1，β＝－，γ＝【答案】A【解析】由题意得a，b，c为三个不共面的向量，∴由空间向量基本定理可知必然存在唯一的有序实数组(α，β，γ)，使得d＝αa＋βb＋γc，∴d＝α(e1＋e2＋e3)＋β(e1＋e2－e3)＋γ(e1－e2＋e3)＝(α＋β＋γ)e1＋(α＋β－γ)e2＋(α－β＋γ)e3．又∵d＝e1＋2e2＋3e3，∴解得故选A．6．如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC与BD交于点O，G为BD上一点，BG＝2GD，PA＝a，PB＝b，PC＝c，用基底{a，b，c}表示向量PG＝( )A．a－b＋c B．a＋b－cC．－a＋b＋c D．a＋b＋c【答案】A【解析】PG＝PB＋BG＝PB＋BD＝PB＋(BA＋BC)＝PB＋(PA－PB＋PC－PB)＝PA －PB＋PC＝a－b＋c．故选A．7．(多选)(2021年张家口期中)下列说法中正确的是( )A．空间向量的一个基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3一定都是非零向量B．在空间向量基本定理中，若a＝0，则λ1＝λ2＝λ3＝0C．若单位向量e1，e2的夹角为，则e1在e2方向上的投影向量是－e2D．空间的基底是唯一的【答案】ABC【解析】选项A，作为基底的向量一定不共线，零向量与任意向量共线，因此e1，e2，e3一定都是非零向量，故A正确；选项B，a＝0＝0·e1＋0·e2＋0·e3，由在同一基底下向量分解的唯一性，有λ1＝λ2＝λ3＝0，故B正确；选项C，e1在e2方向上的投影向量为e2＝－e2，故C正确；选项D，空间中任何不共面的三个向量都可作为基底，因此基底不是唯一的，故D错误．故选ABC．8．从空间一点P引出三条射线PA，PB，PC，在PA，PB，PC上分别取PQ＝a，PR ＝b，PS＝c，点G在PQ上，且PG＝2GQ，H为RS的中点，则GH＝________(用a，b，c表示)．【答案】－a＋b＋c【解析】GH＝PH－PG＝(b＋c)－a＝－a＋b＋c．9．已知在四面体ABCD中，AB＝a－2c，CD＝5a＋6b－8c，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则EF＝________．【答案】3a＋3b－5c【解析】取BC的中点G，连接EG，FG，则EF＝GF－GE＝CD－BA＝CD＋AB＝(5a＋6b－8c)＋(a－2c)＝3a＋3b－5c．10．如图，已知四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，M是PC的中点，问向量PA，MB，MD是否可以组成一个基底，并说明理由．解：PA，MB，MD不可以组成一个基底．理由如下：如图，连接AC，BD相交于点O，连接OM．因为ABCD是平行四边形，所以O是AC，BD的中点．在△BDM中，MO＝(MD＋MB)，在△PAC中，M是PC的中点，O是AC的中点，则MO＝PA，即PA＝MD＋MB，即PA与MD，MB共面．所以PA，MB，MD不可以组成一个基底．B级——能力提升练11．(多选)(2021年青岛月考)已知M，A，B，C四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使成为空间的一个基底的是( )A．OM＝OA＋OB＋OC B．MA＝MB＋MCC．OM＝OA＋OB＋OC D．6OM＝OA＋2OB＋3OC【答案】AC【解析】对于选项ACD，由OM＝xOA＋yOB＋zOC(x＋y＋z＝1)，可得M，A，B，C四点共面，即MA，MB，MC共面，所以选项A中，MA，MB，MC不共面，可以构成基底，选项C中，MA，MB，MC不共面，可以构成基底；选项D中，因为6OM ＝OA＋2OB＋3OC，所以OM＝OA＋OB＋OC，可得M，A，B，C四点共面，即MA，MB，MC共面，无法构成基底，故选项D错误；对于选项B，根据平面向量基本定理，因为MA＝MB＋MC，得MA，MB，MC共面，无法构成基底，故选项B错误．故选AC．12．已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(8，6，4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c ＝k＋i，则点A在基底{i，j，k}下的坐标是( )A．(12，14，10)B．(14，12，10)C．(10，12，14)D．(12，10，14)【答案】A【解析】设点A在基底{a，b，c}下对应的向量为p，则p＝8a＋6b＋4c＝8i＋8j ＋6j＋6k＋4k＋4i＝12i＋14j＋10k，故点A在基底{i，j，k}下的坐标为(12，14，10)．故选A．13．若{a，b，c}是空间向量的一个基底，且存在实数x，y，z使得x a＋y b＋z c＝0，则x，y，z满足的条件是________．【答案】x＝y＝z＝0【解析】若x≠0，则a＝－b－c，即a与b，c共面．由{a，b，c}是空间向量的一个基底，知a，b，c不共面，故x＝0，同理y＝z＝0．14．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若向量AE在以{AA1，AB，AD}为单位正交基底下的坐标为(1，x，y)，则x＝________，y＝________．【答案】　【解析】AE＝AA1＋A1E＝AA1＋A1C1＝AA1＋(A1B1＋B1C1)＝AA1＋(AB＋AD)＝AA1＋AB＋AD．15．如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，E，F分别是AD1，BD的中点．(1)用向量a，b，c表示D1B，EF；(2)若D1F＝x a＋y b＋z c，求实数x，y，z的值．解：(1)D1B＝D1D＋DB＝－AA1＋AB－AD＝a－b－c，EF＝EA＋AF＝D1A＋AC＝－(AA1＋AD)＋(AB＋AD)＝(a－c)．(2)D1F＝(D1D＋D1B)＝D1D＋DB＝A1A＋(AB－AD)＝－AA1＋AB－AD＝－c＋a－b，所以x＝，y＝－，z＝－1．。

【优化方案】数学人教A版必修1第1章第二课时知能优化训练1．对会合{1,5,9,13,17} 用描绘法来表示，此中正确的一A．{x|x是小于18的正奇数}个是()B．{x|x＝4k＋1，k∈Z，且k＜5}C．{x|x＝4t－3，t∈N，且t≤5}D．{x|x＝4s－3，s∈N*，且s≤5}分析：选中小于18的正奇数除给定集合中的元素外，还有3,7,11,15 ；B中k取负数，多了若干元素；C中t＝0时多了－3这个元素，只有D 是正确的．．会合P＝{x|x＝2k，k∈Z}，M＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，S＝{x|x＝4k＋1，k∈Z}，a∈，∈，设c ＝＋，则有()Pb M ab∴A．c∈PB．c∈M∴C．c∈SD．以上都不对∴分析：选B.∵a∈P，b∈M，c＝a＋b，∴设a＝2k1，k1∈Z，b＝2k2＋1，k2∈Z，∴c＝2k1＋2k2＋1＝2(k1＋k2)＋1，又k1＋k2∈Z，∴c∈M.3．定义会合运算：*＝{|z ＝xy，∈，∈}，设＝{1,2}，＝{0,2}，则会合AB z x Ay B A B A*B的全部元素之和为()A．0B．2C．3D．6分析：选D.∵z＝xy，x∈A，y∈B，z的取值有：1×0＝0,1×2＝2,2×0＝0,2×2＝4，故A*B＝{0,2,4}，∴会合A*B的全部元素之和为：0＋2＋4＝6.4．已知会合A＝{1,2,3}，B＝{1,2}，C＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，则用列举法表示会合C＝____________.分析：∵C＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，∴知足条件的点为：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)．答案：{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)}1．会合{(x，y)|y＝2x－1}表示( )A．方程y＝2x－1B．点(x，y)C．平面直角坐标系中的全部点构成的会合D．函数y＝2x－1图象上的全部点构成的会合答案：D2．设会合＝{∈R|x ≤33}，＝26，则()M x aA．a?M B．a∈M C．{a}∈M D．{a|a＝26}∈M 分析：选B.(26)2－(33)2＝24－27<0，故26<33.因此∈.a Mx＋y＝1的解集是() 3．方程组x－y＝9A．(－5,4)B．(5，－4)C．{(－5,4)}D．{(5，－4)}分析：选D.由x＋y＝1x＝5(5，－4)，解集为{(5，x－y＝9，得，该方程组有一组解y＝－4－4)}．4．以下命题正确的有()很小的实数能够构成会合；会合{y|y＝x2－1}与会合{(x，y)|y＝x2－1}是同一个会合；361(3)1，2，4，|－2这些数构成的会合有5个元素；会合{(x，y)|xy≤0，x，y∈R}是指第二和第四象限内的点集．A．0个B．1个C．2个D．3个分析：选 A.(1)错的原由是元素不确立；(2)前者是数集，尔后者是点集，种类不一样；361(3)2＝4，|－2|＝，有重复的元素，应当是3个元素；(4)本会合还包含坐标轴．5．以下会合中，不一样于此外三个会合的是()A．{0}B．{y|y2＝0}C．{x|x＝0}D．{x＝0}y，故与A，C 分析：选是列举法，C是描绘法，对于B要注意会合的代表元素是同样，而D表示该会合含有一个元素，即“x＝0”．6．设P＝{1,2,3,4}，Q＝{4,5,6,7,8}，定义P*Q＝{(a，b)|a∈P，b∈Q，a≠b}，则P*Q中元素的个数为()A．4B．5C．19D．20分析：选C.易得P*Q中元素的个数为4×5－1＝19.应选C项．7．由实数x，－x，x2，－3x3所构成的会合里面元素最多有________个．分析：x2＝|x|，而－3x3＝－x，故会合里面元素最多有2个．答案：28．已知会合A＝x∈N|4∈Z，试用列举法表示会合A＝________.x－34分析：要使x－3∈Z，一定x－3是4的约数．而4的约数有－4，－2，－1,1,2,4六个，则x＝－1,1,2,4,5,7，要注意到元素x应为自然数，故A＝{1,2,4,5,7}答案：{1,2,4,5,7}9．会合{x|x2－2x＋m＝0}含有两个元素，则实数m知足的条件为________．分析：该会合是对于x的一元二次方程的解集，则＝4－4m>0，因此m<1.答案：<1m用适合的方法表示以下会合：(1)全部被3整除的整数；(2)图中暗影部分点(含界限)的坐标的会合(不含虚线)；(3)知足方程x＝|x|，x∈Z的全部x的值构成的会合 B.解：(1){x|x＝3n，n∈Z}；1(2){( x，y)|－1≤x≤2，－≤y≤1，且xy≥0}；2(3)B＝{x|x＝|x|，x∈Z}．11．已知会合A＝{x∈R|ax2＋2x＋1＝0}，此中a∈R.若1是会合A中的一个元素，请用列举法表示会合A.解：∵1是会合A中的一个元素，∴1是对于x的方程ax2＋2x＋1＝0的一个根，2∴a·1＋2×1＋1＝0，即a＝－3.方程即为－3x2＋2x＋1＝0，1解这个方程，得x1＝1，x2＝－3，1∴会合A＝－3，1.12．已知会合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}，若A中元素至多只有一个，务实数a的取值范围．2解：①a＝0时，原方程为－3x＋2＝0，x＝3，切合题意．29由＝9－8a≤0，得a≥.8∴当9a≥8时，方程2ax－3x＋2＝0无实数根或有两个相等的实数根9综合①②，知a＝0或a≥.8。

【优化方案】数学人教A版必修1第1章第一课时知能优化训练1．(2020年高考广东卷)若会集A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|0＜x＜2}，则会集A∩B＝()A．{x|－1＜x＜1}B．{x|－2＜x＜1}C．{x|－2＜x＜2}D．{x|0＜x＜1}剖析：选D.因为A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|0＜x＜2}，所以A∩B＝{x|0＜x＜1}．2．(2020年高考湖南卷)已知会集M＝{1,2,3}，N＝{2,3,4}则()A．M?N B．N?MC．M∩N＝{2,3}D．M∪N＝{1,4}剖析：选C.∵＝{1,2,3}，＝{2,3,4}．M N∴选项A、B显然不对．M∪N＝{1,2,3,4}，∴选项D错误．又∩＝{2,3}，应选C.MN22) 3．已知会集M＝{y|y＝x}，N＝{y|x＝y}，则M∩N＝( A．{(0,0，B．{0,1})(1,1)}C．{y|y≥0}D．{y|0≤y≤1}剖析：选C.M＝{y|y≥0}，N＝R，∴M∩N＝M＝{y|y≥0}．4．已知会集＝{|x ≥2}，＝{x|x≥}，且∪＝，则实数的取值范围是________．Ax B m ABA m剖析：A∪B＝A，即B?A，∴m≥2.答案：≥2m1．以下关系Q∩R＝R∩Q；Z∪N＝N；Q∪R＝R∪Q；Q∩N＝N中，正确的个数是() A．1B．2C．3D．4剖析：选C.只有Z∪N＝N是错误的，应是Z∪N＝Z.2．(2020年高考四川卷)设会集A＝{3,5,6,8} ，会集B＝{4,5,7,8}，则A∩B等于()A．{3,4,5,6,7,8}B．{3,6}C．{4,7}D．{5,8}剖析：选3．(2020D.∵A＝{3,5,6,8} ，B＝{4,5,7, 8}，∴A∩B＝{5,8}．2年高考山东卷)会集A＝{0,2，a}，B＝{1，a}．若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为()A．0 B．1C．2D．4剖析：选D.依照元素特点，a≠0，a≠2，a≠1.∴a＝4.4．已知会集P＝{x∈N|1≤x≤10}，会集Q＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则P∩Q等于() A．{2}B．{1,2}C．{2,3}D．{1,2,3}剖析：选A.Q＝{x∈R|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}．∴∩＝{2}．PQ5．(2020年高考福建卷)若会集A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x＞2}，则A∩B等于()A．{x|2＜x≤3}B．{x|x≥1}C．{x|2≤x＜3}D．{x|x＞2}剖析：选A.∵A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x＞2}，∴∩＝{x |2＜≤3}．AB x6．设会集S＝{x|x＞5或x＜－1}，T＝{x|a＜x＜a＋8}，S∪T＝R，则a的取值范围是()A．－3＜a＜－1B．－3≤a≤－1C．a≤－3或a≥－1D．a＜－3或a＞－1剖析：选A.S∪T＝R，＋8＞5，a∴－3＜a＜－1.∴a＜－1.7．(2020年高考湖南卷)已知会集＝{1,2,3}，＝{2，4}，∩＝{2,3}，则＝A B m,AB m________.剖析：∵∩＝{2,3}，∴3∈，∴＝3.AB B m答案：38．满足条件{1,3}∪M＝{1,3,5}的会集M的个数是________．剖析：∵{1,3}∪M＝{1,3,5}，∴M中必定含有5，∴M可以是{5}，{5,1}，{5,3}，{1,3,5}，共4个．答案：49．若会集A＝{x|x≤2}，B＝{x|x≥a}，且满足A∩B＝{2}，则实数a＝________.剖析：当a ＞2时，∩＝?；AB当a＜2时，A∩B＝{x|a≤x≤2}；当a＝2时，A∩B＝{2}．综上：a＝2.答案：210．已知A＝{x|x2＋ax＋b＝0}，B＝{x|x2＋cx＋15＝0}，A∪B＝{3,5}，A∩B＝{3}，求实数a，b，c的值．解：∵A∩B＝{3}，∴由9＋3c＋15＝0，解得c＝－8.由x2－8x＋15＝0，解得B＝{3,5}，故A＝{3}．又a2－4b＝0，解得a＝－6，b＝9.综上知，a＝－6，b＝9，c＝－8.11．已知会集A＝{x|x－2＞3}，B＝{x|2x－3＞3x－a}，求A∪B.解：A＝{x|x－2＞3}＝{x|x＞5}，B＝{x|2x－3＞3x－a}＝{x|x＜a－3}．借助数轴如图：①当a －3≤5，即a ≤8时，A ∪B ＝{x|x ＜a －3或x ＞5}．②当a －3＞5，即a ＞8时，A ∪B ＝{x|x ＞5}∪{x|x ＜a －3}＝{x|x ∈R}＝R.综上可知当a ≤8时，A ∪B ＝{x|x ＜a －3或x ＞5}；当a ＞8时，A ∪B ＝R.212．设会集＝{(x ， )|2 x＋ ＝1， ， ∈R}，＝{(x ， )| ＋2＝ ， ， ∈R}，若Ayyx yB yaxyax yA ∩B ＝?，求a 的值．解：会集、的元素都是点，∩ 的元素是两直线的公共点．∩＝?，则两直线无ABABAB交点，即方程组无解．2＋ y＝1x列方程组，a 2x ＋2y ＝a解得(4－a 2)x ＝2－a ，4－a 2＝0 ，即a ＝－2.则2－a ≠0。

第一章 1.3 1.3.1A级——基础过关练1．已知点A(－3,1,4),则点A关于x轴对称的点的坐标为( )A．(－3,－1,－4) B．(－3,－1,4)C．(3,1,4) D．(3,－1,－4)【答案】A【解析】关于x轴对称的点,横坐标相同,纵坐标、竖坐标均互为相反数,所以A(－3,1,4)关于x轴的对称点坐标为(－3,－1,－4)．2．在空间直角坐标系中,已知点P(1,2,3),过点P作平面Oyz的垂线PQ,则垂足Q 的坐标为( )A．(0,2,0) B．(0,2,3)C．(1,0,3) D．(1,2,0)【答案】B【解析】由于垂足Q在Oyz平面内,可设Q(0,y,z),因为直线PQ⊥Oyz平面,所以P,Q两点的纵坐标、竖坐标都相等．因为点P的坐标为(1,2,3),所以y＝2,z＝3,可得Q(0,2,3)．3．在如图所示的长方体ABCD－A1B1C1D1中,已知点B1(1,0,3),D(0,2,0),则点C1的坐标为( )A．(1,2,3) B．(1,3,2)C．(2,3,1) D．(3,2,1)【答案】A【解析】观察图形可知点C1的坐标为(1,2,3)．4．在如图所示的空间直角坐标系中,单位正方体顶点A的坐标是( )A ．(－1,－1,－1)B ．(1,－1,1)C ．(1,－1,－1)D ．(－1,1,－1)【答案】C【解析】依据空间点的坐标定义可知,点A 的坐标是(1,－1,－1)．5．如图,在正方体OABC －O 1A 1B 1C 1中,棱长为2,E 是B 1B 上的点,且|EB |＝2|EB 1|,则点E 的坐标为( )A ．(2,2,1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2，23C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2，13D ．⎝⎛⎭⎪⎫2，2，43 【答案】D【解析】因为EB ⊥Oxy 平面,而B (2,2,0),故设E (2,2,z )．又因为|EB |＝2|EB 1|,所以|BE |＝23|BB 1|＝43,故点E 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，2，43．6．(2021年绵阳月考)在空间直角坐标系中,已知点A (－1,1,3),则点A 关于xOz 平面的对称点的坐标为( )A ．(1,1,－3)B ．(－1,－1,－3)C ．(－1,1,－3)D ．(－1,－1,3)【答案】D【解析】根据空间直角坐标系的对称性可得点A (－1,1,3)关于xOz 平面的对称点的坐标为(－1,－1,3)．故选D ．7．(多选)如图,在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,AB ＝5,AD ＝4,AA 1＝3,以直线DA ,DC ,DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系,则( )A ．点B 1的坐标为(4,5,3)B ．点C 1关于点B 对称的点为(5,8,－3) C ．点A 关于直线BD 1对称的点为(0,5,3) D ．点C 关于平面ABB 1A 1对称的点为(8,5,0) 【答案】ACD【解析】根据题意知,点B 1(4,5,3),A 正确；B (4,5,0),C 1(0,5,3),故点C 1关于点B 对称的点为(8,5,－3),B 错误；点A 关于直线BD 1对称的点为C 1(0,5,3),C 正确；点C (0,5,0)关于平面ABB 1A 1对称的点为(8,5,0),D 正确．故选ACD ．8．如图,在长方体OABC －O 1A 1B 1C 1中,OA ＝2,AB ＝3,AA 1＝2,M 是OB 1与BO 1的交点,则点M 的坐标是________．【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，1 【解析】因为OA ＝2,AB ＝3,AA 1＝2,所以A (2,0,0),A 1(2,0,2),B (2,3,0),故B 1(2,3,2)．所以点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，32，22,即点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，32，1． 9．在空间直角坐标系中,点M (－2,4,－3)在Ozx 平面上的射影为点M ′,则点M ′关于原点对称点的坐标是________．【答案】(2,0,3)【解析】点M 在Oxz 平面上的射影为点M ′(－2,0,－3),所以点M ′关于原点对称点的坐标为(2,0,3)．10．已知点P 的坐标为(3,4,5),试在空间直角坐标系中作出点P ,并写出求解过程． 解：如图,由P (3,4,5)可知点P 在x 轴上的射影为点A (3,0,0),在y 轴上的射影为点B (0,4,0),以OA ,OB 为邻边的矩形OACB 的顶点C 是点P 在Oxy 坐标平面上的射影C (3,4,0)．过点C 作直线垂直于Oxy 坐标平面,并在此直线的Oxy 平面上方截取5个单位长度,得到的点就是P．B级——能力提升练11．在空间直角坐标系中,点M的坐标是(4,7,6),则点M关于y轴对称的点在Ozx平面上的射影的坐标为( )A．(4,0,6) B．(－4,7,－6)C．(－4,0,－6) D．(－4,7,0)【答案】C【解析】点M关于y轴对称的点是M′(－4,7,－6),点M′在Ozx平面上的射影的坐标为(－4,0,－6)．12．(多选)已知点M(x,y,z)是空间直角坐标系Oxyz中的一点,则( )A．与点M关于x轴对称的点是(x,－y,－z)B．与点M关于原点对称的点是(－x,－y,－z)C．与点M关于xOy平面对称的点是(x,y,－z)D．与点M关于yOz平面对称的点是(x,－y,z)【答案】ABC【解析】与点M关于yOz平面对称的点是(－x,y,z),D错误,A,B,C均正确．故选ABC．13．直三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都是2,以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则顶点B1关于平面xAz对称的点的坐标是________．【答案】(3,－1,2)【解析】∵直三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都是2,∴B(3,1,0),∴顶点B1的坐标是(3,1,2),则其关于平面xAz的对称点为(3,－1,2)．14．在空间直角坐标系Oxyz中,z＝1的所有点构成的图形是________________；点P(2,3,5)到平面xOy的距离为________．【答案】过点(0,0,1)且与z轴垂直的平面 5【解析】z ＝1表示一个平面,其与平面Oxy 平行且距离为1,故z ＝1的所有点构成的图形是过点(0,0,1)且与z 轴垂直的平面．点P (2,3,5)到平面Oxy 的距离与其横纵坐标无关,只与其竖坐标有关．由于平面Oxy 的方程为z ＝0,故点P (2,3,5)到平面Oxy 的距离为|5－0|＝5．15．在空间直角坐标系中有一个点P (1,3,－2),求： (1)点P 关于坐标原点O 的对称点P 1的坐标； (2)点P 关于x 轴的对称点P 2的坐标； (3)点P 关于坐标平面Oyz 的对称点P 3的坐标．解：(1)设点P 1的坐标为(x 1,y 1,z 1),因为点P 和P 1关于坐标原点O 对称, 所以O 为线段PP 1的中点．由中点坐标公式,得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1，y 1＝－3，z 1＝2，所以点P 1的坐标为(－1,－3,2)． (2)设点P 2的坐标为(x 2,y 2,z 2), 因为点P 和P 2关于x 轴对称,所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1，3＋y 22＝0，－2＋z 22＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1，y 2＝－3，z 2＝2，则点P 2的坐标为(1,－3,2)． (3)设点P 3的坐标为(x 3,y 3,z 3), 因为点P 和P 3关于平面yOz 对称,所以⎩⎪⎨⎪⎧x 3＋12＝0，y 3＝3，z 3＝－2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝－1，y 3＝3，z 3＝－2，故点P 3的坐标为(－1,3,－2)．。

【新教材】人教统编版高中数学A版必修第一册第一章教案教学设计+课后练习及答案1.1 《集合的概念》教案教材分析集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础．许多重要的数学分支，都是建立在集合理论的基础上．此外，集合理论的应用也变得更加广泛．教学目标【知识与能力目标】1．通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；2．知道常用数集及其专用记号；3．了解集合中元素的确定性、互异性、无序性；4．会用集合语言表示有关数学对象；5．培养学生抽象概括的能力．【过程与方法目标】1．让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义．2．让学生归纳整理本节所学知识．【情感态度价值观目标】使学生感受学习集合的必要性和重要性，增加学生对数学学习的兴趣．教学重难点【教学重点】集合的含义与表示方法．【教学难点】对待不同问题，表示法的恰当选择．课前准备学生通过预习，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标．教学过程（一）创设情景，揭示课题请分析以下几个实例：1．正整数1，2，3，；2．中国古典四大名著；3．2018足球世界杯参赛队伍；4．《水浒》中梁山108 好汉；5．到线段两端距离相等的点．在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体．（二）研探新知1．集合的有关概念（1）一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合（set）（简称为集）．思考：上述5 个实例能否构成集合？如果是集合，那么它的元素分别是什么？练习1：下列指定的对象，是否能构成一个集合？①很小的数②不超过30 的非负实数③直角坐标平面的横坐标与纵坐标相等的点④ 的近似值⑤高一年级优秀的学生⑥所有无理数⑦大于2 的整数⑧正三角形全体（2）关于集合的元素的特征（a）确定性：设A一个给定的集合，对于一个具体对象a,则a或者是集合A 的元素，或者不是集合 A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立．（b）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素．一元素.（c）无序性：集合中的元素是没有顺序关系的，即只要构成两个集合的元素一样，我们称这两个集合是相等的，跟顺序无关．（3）思考1：列举一些集合例子和不能构成集合的例子，对学生的例子予以讨论、点评，进而讲解下面的问题．答案：（a）把3-11内的每一个偶数作为元数，这些偶数全体就构成一个集合．(b)不能组成集合，因为组成它的元素是不确定的.( 4)元素与集合的关系；(a)如果a是集合A的元素，就说a属于(belongto) A,记作a € A(b)如果a不是集合A的元素，就说a不属于(not belong to) A,记作a A例如：A表示方程x2=1的解. 2 A, 1CA( 5)集合的表示方法我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合．(a)列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号”。

1．给出以下程序：INPUT x1，x2IF x1＝x2 THENx1＝x1＋x2ENDIFy＝x1＋x2PRINT yEND若是输入x1＝2，x2＝3，那么执行此程序的结果是输出( )A．7B ．10C．5D ．8解析：选C.由于输入的两个数x1＝2，x2＝3，不满足条件x1＝x2，因此，不执行语句体x1＝x1＋x2，而直接执行y＝x1＋x2，因此y＝5，最后输出5.2．阅读以下程序：若是输入5，则该程序运行结果为()A．1B．10C．25D．26解析：选D.a＝5时，条件a>5不成立，故执行ELSE后的语句b＝a2＋1＝52＋1＝26.3．下面是判断所输入的正整数的奇偶性的程序INPUT xm＝xMOD2IF THENPRINT“x为奇数”ELSEPRINTENDIFEND将其补充完满，则横线上应填A．m＝2k＋1，x＝2k (xMOD2的意思是求x除以2的余数)(B．m＝0，“x为偶数”)C．m＝0，x为偶数D．m＝1，“x为偶数”解析：选D.第一个空是“x是奇数”的条件，应填“m＝1”；第二个空应填“x为偶数”，并加引号．4．(教材例5改编)若下面程序执行的结果是5，则输入的x值是________．INPUT xIF x>＝0THENy＝xELSEy＝－xENDIFPRINT yENDx，x≥0解析：由程序语句知，该程序的功能是输入一个x，输出函数y＝的值，－x，x<0故输出5时，应输入5或－5.答案：5或－51．以下对条件语句的描述正确的选项是()A．ELSE后边的语句不可以是条件语句B．两个条件语句可以共用一个ENDIF语句C．条件语句可以没有E LSE后的语句D．条件语句中IF—THEN和ELSE后的语句必定都有解析：选C.条件语句有两种格式：分别是IF—THEN格式和于一个分支的条件语句可以没有ELSE后的语句．IF—THEN—ELSE格式．对2．给出以下三个问题：x2－1，x≥0①输入一个数x，输出f(x)＝的函数值；x＋2，x<0②求面积为6的正方形的周长；③求三个数a、b、c中的最大数．其中可以用条件语句来描述其算法的有A．1个C．3个(B．2个D．0个)解析：选 B.在算法中需要逻辑判断的都要用到条件语句，其中①③都需要进行逻辑判断，故都要用到条件语句，②只需用序次结构就能描述其算法，故答案选 B.3.若输入x的值为3，则该程序运行后，输出变量y的值是()A．3B．6C．9D．27解析：选.执行ELSE后的语句，＝2x ＝2×3＝6.B y4．已知程序：若输入的两位数是83，则输出的结果为()A．83B．38C．3D．8解析：选 B.程序功能是输入一个两位数，交换其个位与十位的地址，则输入83，应输出38.5．已知程序以下，若输入的x值为5，则运行结果是()INPUT“x＝”；xIF x>＝0THEN y＝1ELSEy＝－1ENDIFPRINT“y＝”；y ENDA．y＝5 C．＝1B．y＝－5 D．＝－1解析：选C.由于x＝5>0，因此y＝1，因此运行结果为 1.6．阅读下面的程序：可知程序运行的结果是()A．3B．34C．345D．3456解析：选 D.本题主要观察了条件语句的叠加，程序执行条件语句的叠加的过程中对于所有的条件都要进行判断，依次考据每一个条件，直到结束．在本题中共出现四次PRINT，每一条件都成立，故输出结果为3456.7．(2020年东营高一检测)将程序补充完满：输入两个数，输出其中较大的数，则①处应填________．INPUT“a＝”；aINPUT“b＝”；bIFa>b THENPRINTaELSE①ENDIFEND解析：这个语句是比较a与b的大小，且输入其中一个较大者．答案：PRINT b8．下面的程序是求一个函数的函数值的程序：若执行此程序的结果为3，则输入的x值为________．－x，x≤0解析：此程序是求函数y＝0，0<x≤1的值．x－1，x>1若输出的结果为3，则有可能x－1＝3即x＝4，或－x＝3即x＝－3.答案：4或－39．读程序，完成以下题目：程序如图：(1)若执行程序时，没有执行语句y＝x＋1，则输入的x的范围是________；(2)若执行结果y＝3，则执行的赋值语句是解析：(1)不执行y＝x＋1语句说明不满足条件，x≥1，故有x<1________，输入的x的值是________．当x<1时，y<2×1＋1＝3只有x＋1＝3，x＝2答案：(1)x<1 (2)y＝x＋1210．输入一个数x，若是它是正数，则输出它；否则不输出．画出解决该问题的程序框图，并写出对应的程序．解：程序框图以下列图：相应的程序以下：11．(2020年吉林高一检测 )给出以下程序．(其中x满足：0<x<12)程序：(1)该程序用函数关系式怎样表达．画出这个程序的程序框图．解：(1)函数关系式为2x0<x≤4y＝84<x≤824－2x8<x<12程序框图12．到银行办理个人异地汇款(不高出100万)时，银行要收取必然的手续费．汇款额不高出100元，收取1元手续费；高出100元但不高出5000元，按汇款额的1%收取；高出5000元，一律收取50元手续费．试用条件语句描述汇款额为x元时，银行收取的手续费为y元的过程，画出程序框图并写出程序．解：依解析可知程序框图以下列图：程序以下：。

第1课时组合与组合数公式学习目标 1.理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系.2.理解排列数与组合数之间的联系，掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算.3.会解决一些简单的组合问题．知识点一组合的定义思考①从3,5,7,11中任取两个数相除；②从3,5,7,11中任取两个数相乘．以上两个问题中哪个是排列？①与②有何不同特点？答案①是排列，①中选取的两个数是有序的，②中选取的两个数无需排列．梳理一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．知识点二组合数与组合数公式组合数及组合数公式组合数定义及表示从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C m n表示.组合数公式乘积形式C m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)m！阶乘形式C m n＝n！m！(n－m)！性质C m n＝C n－mnC m n＋1＝C m n＋C m－1n备注规定C0n＝11．从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合是C23.( ×) 2．从1,3,5,7中任取两个数相乘可得C24个积．( √)3．C 35＝5×4×3＝60.( × ) 4．C 2 0162 017＝C 12 017＝2 017.( √ )类型一 组合概念的理解 例1 给出下列问题：(1)a ，b ，c ，d 四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？ (2)a ，b ，c ，d 四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？(3)从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？(4)从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法？ 在上述问题中，哪些是组合问题，哪些是排列问题？ 考点 组合的概念 题点 组合的判断解 (1)单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题． (2)冠、亚军是有顺序的，是排列问题．(3)3人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列问题． (4)3人参加某项相同活动，没有顺序，是组合问题．反思与感悟 区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．跟踪训练1 判断下列问题是排列问题还是组合问题，并求出相应的结果． (1)集合{0,1,2,3,4}的含三个元素的子集的个数是多少？(2)某小组有9位同学，从中选出正、副班长各一个，有多少种不同的选法？若从中选出2名代表参加一个会议，有多少种不同的选法？ 考点 组合的概念 题点 组合的判断解 (1)由于集合中的元素是不讲次序的，一个含三个元素的集合就是一个从0,1,2,3,4中取出3个数组成的集合．这是一个组合问题，组合的个数是C 35＝10.(2)选正、副班长时要考虑次序，所以是排列问题，排列数是A 29＝9×8＝72，所以选正、副班长共有72种选法；选代表参加会议是不用考虑次序的，所以是组合问题，所以不同的选法有C 29＝36(种)．类型二 组合数公式及性质的应用 命题角度1 有关组合数的计算与证明 例2 (1)计算C 410－C 37·A 33； 考点 组合数公式题点 利用组合数公式进行计算(1)解 原式＝C 410－A 37＝10×9×8×74×3×2×1－7×6×5＝210－210＝0.(2)求证：C mn ＝m ＋1n ＋1C m ＋1n ＋1. 考点 组合数公式 题点 组合数公式的应用 (2)证明 因为右边＝m ＋1n ＋1C m ＋1n ＋1＝m ＋1n ＋1·(n ＋1)！(m ＋1)！(n －m )！＝n ！m ！(n －m )！＝C mn ， 左边＝C mn ，所以左边＝右边，所以原式成立．反思与感悟 (1)涉及具体数字的可以直接用公式C m n＝A mn A m m ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！计算．(2)涉及字母的可以用阶乘式C mn ＝n ！m ！(n －m )！计算．(3)计算时应注意利用组合数的两个性质： ①C m n ＝C n －m n ；②C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n .跟踪训练2 (1)计算C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 32 017的值为( ) A ．C 42 017 B ．C 52 017 C ．C 42 018－1D ．C 52 017－1(2)计算C 98100＋C 199200＝________. 考点 组合数性质 题点 的性质计算与证明 答案 (1)C (2)5 150 解析 (1)C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 32 017 ＝C 44＋C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 32 017－C 44 ＝C 45＋C 35＋…＋C 32 017－1＝… ＝C 42 017＋C 32 017－1＝C 42 018－1. (2)C 98100＋C 199200＝C 2100＋C 1200＝100×992＋200＝5 150.命题角度2 含组合数的方程或不等式 例3 (1)已知1C m 5－1C m 6＝710C m 7，求C m 8＋C 5－m8；(2)解不等式C 4n >C 6n . 考点 组合数性质题点 含有组合数的方程或不等式的问题 解 (1)∵1C m 5－1C m 6＝710C m 7，∴m ！(5－m )！5！－m ！(6－m )！6！＝7×(7－m )！m ！10×7！，即m ！(5－m )！5！－m ！(6－m )(5－m )！6×5！＝7×m ！(7－m )(6－m )(5－m )！10×7×6×5！.∴1－6－m 6＝(7－m )(6－m )60，即m 2－23m ＋42＝0，解得m ＝2或21. ∵0≤m ≤5，∴m ＝2， ∴C m8＋C 5－m8＝C 28＋C 38＝C 39＝84.(2)由C 4n >C 6n ，得⎩⎪⎨⎪⎧n ！4！(n －4)！>n ！6！(n －6)！，n ≥6即⎩⎪⎨⎪⎧n 2－9n －10<0，n ≥6，解得⎩⎪⎨⎪⎧－1<n <10，n ≥6，又n ∈N *，∴该不等式的解集为{6,7,8,9}．反思与感悟 (1)解题过程中应避免忽略根的检验而产生增根的错误，注意不要忽略n ∈N *. (2)与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式，以及组合数的性质，求解时，要注意由C m n 中的m ∈N *，n ∈N *，且n ≥m 确定m ，n 的范围，因此求解后要验证所得结果是否适合题意．跟踪训练3 解方程3C x －7x －3＝5A 2x －4. 考点 组合数性质题点 含有组合数的方程或不等式的问题 解 原式可变形为3C 4x －3＝5A 2x －4， 即3(x －3)(x －4)(x －5)(x －6)4×3×2×1＝5(x －4)(x －5)，所以(x－3)(x－6)＝5×4×2＝8×5.所以x＝11或x＝－2(舍去)．经检验符合题意，所以方程的解为x＝11.类型三简单的组合问题例4 有10名教师，其中6名男教师，4名女教师．(1)现要从中选2名去参加会议，有________种不同的选法；(2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有________种不同的选法；(3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有________种不同的选法．考点组合的应用题点无限制条件的组合问题答案(1)45 (2)21 (3)90解析(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C210＝10×92×1＝45(种)．(2)可把问题分两类情况：第1类，选出的2名是男教师有C26种方法；第2类，选出的2名是女教师有C24种方法．根据分类加法计算原理，共有C26＋C24＝15＋6＝21(种)不同选法．(3)从6名男教师中选2名的选法有C26种，从4名女教师中选2名的选法有C24种，根据分步乘法计数原理，共有不同的选法C26×C24＝6×52×1×4×32×1＝90(种)．反思与感悟(1)解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关．(2)要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用．在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏．跟踪训练4 一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．(1)从口袋内取出的3个小球，共有多少种取法？(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？(3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？考点组合的应用题点有限制条件的组合问题解(1)从口袋内的8个球中取出3个球，取法种数是C38＝8×7×63×2×1＝56.(2)从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是C27＝7×62×1＝21.(3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是C37＝7×6×53×2×1＝35.1．给出下列问题：①从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加2个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法？②有4张电影票，要在7人中选出4人去观看，有多少种不同的选法？③某人射击8枪，击中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，则不同的结果有多少种？其中组合问题的个数是( )A．3 B．2 C．1 D．0考点组合的概念题点组合的判断答案 B解析①与顺序有关，是排列问题，②③均与顺序无关，是组合问题，故选B.2．集合M＝{x|x＝C n4，n≥0且n∈N}，集合Q＝{1,2,3,4}，则下列结论正确的是 ( ) A．M∪Q＝{0,1,2,3,4} B．Q⊆MC．M⊆Q D．M∩Q＝{1,4}考点组合数公式题点利用组合数公式进行计算答案 D解析由C n4知n＝0,1,2,3,4，因为C04＝1，C14＝4，C24＝4×32＝6，C34＝C14＝4，C44＝1，所以M＝{1,4,6}．故M∩Q＝{1,4}．3．若C n12＝C2n－312，则n等于( )A．3 B．5 C．3或5 D．15考点组合数性质题点含有组合数的方程或不等式的问题答案 C解析由组合数的性质得n＝2n－3或n＋2n－3＝12，解得n＝3或n＝5，故选C.4．某校开设A类选修课3门，B类选修课5门，一位同学要从中选3门，若要求两类课程中至少各选1门，则不同的选法共有( )A ．15种B ．30种C ．45种D ．90种 考点 组合的应用题点 有限制条件的组合问题 答案 C解析 分两类，A 类选修课选1门，B 类选修课选2门，或者A 类选修课选2门，B 类选修课选1门，因此，共有C 13·C 25＋C 23·C 15＝45(种)选法．5．五个点中任何三点都不共线，则这五个点可以连成________条线段；如果是有向线段，共有________条． 考点 组合的概念 题点 组合的判断 答案 10 20解析 从五个点中任取两个点恰好连成一条线段，这两个点没有顺序，所以是组合问题，连成的线段共有C 25＝10(条) .再考虑有向线段的问题，这时两个点的先后排列次序不同则对应不同的有向线段，所以是排列问题，排列数是A 25＝20.所以有向线段共有20条．1．排列与组合的联系与区别(1)联系：二者都是从n 个不同的元素中取m (m ≤n )个元素． (2)区别：排列问题中元素有序，组合问题中元素无序． 2．关于组合数的计算(1)涉及具体数字的可以直接用公式C m n＝A mn A m m ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！计算；(2)涉及字母的可以用阶乘式C mn ＝n ！m ！(n －m )！计算．(3)组合数的两个性质： 性质1：C mn ＝C n －mn ； 性质2：C mn ＋1＝C mn ＋C m －1n .一、选择题1．以下四个问题，属于组合问题的是( ) A ．从3个不同的小球中，取出2个排成一列 B ．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌C ．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星D ．从13位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地考点 组合的概念 题点 组合的判断 答案 C解析 只有从100位幸运观众中选出2名幸运之星，与顺序无关，是组合问题． 2.A 3101C 2100＋C 97100等于( ) A.16 B ．101 C.1107D ．6考点 组合数公式题点 利用组合数公式进行计算 答案 D解析 A 3101C 2100＋C 97100＝A 3101C 2100＋C 3100＝A 3101C 3101＝A 33＝6.3．下列等式不正确的是( ) A ．C mn ＝n ！m ！(n －m )！B ．C m n ＝C n －mn C ．C m n ＋1＝C mn ＋C m －1n D ．C mn ＝C m ＋1n ＋1考点 组合数公式 题点 组合数公式的应用 答案 D解析 A 是组合数公式；B ，C 是组合数性质；C mn ＝n ！m ！(n －m )！，C m ＋1n ＋1＝(n ＋1)！(m ＋1)！(n －m )！，两者不相等，故D 错误．4．若A 3n ＝6C 4n ，则n 的值为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 考点 组合数性质题点 含有组合数的方程或不等式的问题 答案 B解析 由题意知n (n －1)(n －2)＝6·n (n －1)(n －2)(n －3)4×3×2×1，化简得n －34＝1，所以n ＝7.5．把三张游园票分给10个人中的3人，则分法有( ) A ．A 310种B ．C 310种C．C310A310种D．30种考点组合的应用题点无限制条件的组合问题答案 B解析三张票没区别，从10人中选3人即可，即C310.6．将2名女教师，4名男教师分成2个小组，分别安排到甲、乙两所学校轮岗支教，每个小组由1名女教师和2名男教师组成，则不同的安排方案共有( )A．24种B．10种C．12种D．9种考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案 C解析第一步，为甲地选1名女教师，有C12＝2(种)选法；第二步，为甲地选2名男教师，有C24＝6(种)选法；第三步，剩下的3名教师到乙地，故不同的安排方案共有2×6×1＝12(种)，故选C.7．现有6个白球，4个黑球，任取4个，则至少有两个黑球的取法种数是( )A．115 B．90 C．210 D．385考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案 A解析依题意根据取法可分为三类：两个黑球，有C24C26＝90(种)；三个黑球，有C34C16＝24(种)；四个黑球，有C44＝1(种)．根据分类加法计数原理可得，至少有两个黑球的取法种数是90＋24＋1＝115，故选A.8．对于所有满足1≤m≤n≤5的自然数m，n，方程x2＋C m n y2＝1所表示的不同椭圆的个数为( )A．15 B．7 C．6 D．0考点组合数性质题点利用组合数的性质进行计算与证明答案 C解析因为1≤m≤n≤5，且方程表示椭圆，所以C m n可能为C12，C13，C23，C14，C24，C34，C15，C25， C35，C45，其中C13＝C23，C14＝C34，C15＝C45，C25＝C35，所以x2＋C m n y2＝1能表示的不同椭圆有6个．二、填空题9．从2,3,5,7四个数中任取两个不同的数相乘，有m个不同的积；任取两个不同的数相除，有n个不同的商，则m∶n＝________.考点 组合的概念题点 组合的判断答案 1∶2解析 ∵m ＝C 24，n ＝A 24，∴m ∶n ＝1∶2.10．从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖、2名二等奖、3名三等奖，则可能的决赛结果共有________种．考点 组合的应用题点 有限制条件的组合问题答案 60解析 根据题意，所有可能的决赛结果有C 16C 25C 33＝6×5×42×1＝60(种)． 11．不等式C 2n －n <5的解集为________．考点 组合数性质题点 含有组合数的方程或不等式的问题答案 {2,3,4}解析 由C 2n －n <5，得n (n －1)2－n <5，即n 2－3n －10<0，解得－2<n <5.由题意知n ≥2，且n ∈N *，则n ＝2,3,4，故原不等式的解集为{2,3,4}．三、解答题12．已知C 4n ，C 5n ，C 6n 成等差数列，求C 12n 的值．考点 组合数公式题点 组合数公式的应用解 由已知得2C 5n ＝C 4n ＋C 6n ， 所以2×n ！5！(n －5)！＝n ！4！(n －4)！＋n ！6！(n －6)！， 整理得n 2－21n ＋98＝0，解得n ＝7或n ＝14，要求C 12n 的值，故n ≥12，所以n ＝14，于是C 1214＝C 214＝14×132×1＝91. 13．在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下，有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必须参加；(3)甲、乙、丙三人不能参加．考点 组合的应用题点 有限制条件的组合问题解 (1)从中任取5人是组合问题，共有C 512＝792(种)不同的选法．(2)甲、乙、丙三人必须参加，则只需要从另外9人中选2人，是组合问题，共有C 29＝36(种)不同的选法．(3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有C 59＝126(种)不同的选法．四、探究与拓展14．以下三个式子：①C mn ＝A m n m ！；②A m n ＝n A m －1n －1；③C m n ÷C m ＋1n ＝m ＋1n －m .其中正确的个数是____． 考点 组合数公式题点 组合数公式的应用答案 3解析 ①式显然成立；②式中A m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)，A m －1n －1＝(n －1)(n －2)…(n －m ＋1)，所以A m n ＝n A m －1n －1，故②式成立；对于③式C mn ÷C m ＋1n ＝C m n C m ＋1n ＝A mn ·(m ＋1)！m ！·A m ＋1n ＝m ＋1n －m ，故③式成立． 15．某届世界杯举办期间，共32支球队参加比赛，它们先分成8个小组进行循环赛，决出16强(每队均与本组其他队赛1场，各组第一、二名晋级16强)，这16支球队按确定的程序进行淘汰赛，即八分之一淘汰赛，四分之一淘汰赛，半决赛，决赛，最后决出冠、亚军，此外还要决出第三、四名，问这届世界杯总共将进行多少场比赛？考点 组合的应用题点 有限制条件的组合问题解 可分为如下几类比赛：(1)小组循环赛，每组有C 24＝6(场)，8个小组共有48场；(2)八分之一淘汰赛，8个小组的第一、二名组成16强，根据赛制规则，每2支球队一组，每组比赛1场，可以决出8强，共有8场；(3)四分之一淘汰赛，根据赛制规则，8强中每2支球队一组，每组比赛1场，可以决出4强，共有4场；(4)半决赛，根据赛制规则，4强每2支球队一组，每组比赛1场，可以决出2强，共有2场；(5)决赛，2强比赛1场确定冠、亚军，4强中的另2支球队比赛1场决出第三、四名，共有2场．综上，由分类加法计数原理知，总共将进行48＋8＋4＋2＋2＝64(场)比赛．。

1．函数y ＝x3cosx 的导数是()A ．3x2cosx ＋x3sinxB ．3x2cosx －x3sinx2 3C ．3xcosxD ．－xsinx分析：选B.y ′＝(x 3cosx )′＝3x 2cosx ＋x 3(－sinx)＝3x 2cosx －x 3sinx ，应选B.2．已知 f ( )＝ ax3 ＋32＋2，若f′(－1)＝4，则 a的值是( )xx1916A. B.3 313 10C.3D.3210分析：选D.∵f ′(x)＝3ax ＋6x ，∴f ′(－1)＝3a －6＝4.∴a ＝ 3.3．曲线y ＝xlnx 在x ＝1处的切线方程为________．分析：∵＝ ln x，y xk ＝y ′|＝1.∴y ′＝lnx ＋1，则切线斜率x ＝1∴切线方程为y ＝x －1.答案：y＝x－14．求以下函数的导数：(1)y＝3x2＋xcosx；(2)y＝x；(3)y＝lgx－e x；1＋x(4)y＝sin2x－cos2x.解：(1)y′＝6x＋cosx－xsinx.(2)y′＝1＋x－x2＝1 2.1＋x 1＋xx 1 xy′＝(lgx)′－(e)′＝xln10－e.法一：y′＝(sin2x－cos2x)′(sin2x)′－(cos2x)′＝2cos2x＋2sin2xπ＝22sin(2x＋4)．π法二：∵y＝2sin(2x－4)，∴′＝2cos(2－π2sin(2xπ)·2＝2＋)．y x44一、选择题1．以下求导运算正确的选项是( )1 1x＋x′＝1＋x21B．(log2x)′＝xln2x xC．(3)′＝3·log3eD．(x 2cosx)′＝－2sinxx11x xln3，分析：选B.x＋x′＝1－x2，(3)′＝3(x2cos x)′＝2xcos x－x2sinx.2．曲线y＝x3－3x2＋1在点(1，－1)处的切线方程为() A．y＝3x－4B．y＝－3x＋2C．y＝－4x＋32－6D．y＝4x－5分析：选B.由y ′＝3x在点(1，－1)的值为－3，故切线方程为y＋1＝－3(x－1)．即xy＝－3x＋2.sinx1π3．(2020年高考湖南卷)曲线y＝sinx＋cosx－2在点M(4，0)处的切线的斜率为() 11A．－2 B.222C．－2 D.2cosx sinx＋cosx－cosx－sinx sinx12.xπ分析：选B.y′＝sinx＋cosx 2＝sinx＋cosx故y′|＝41＝，2π1∴曲线在点M(4，0)处的切线的斜率为2. 4．函数＝x 2cos2x的导数为()yA．y′＝2xcos2x－x2sin2xB．y ′＝2cos2x－22sin2x x xC．y′＝x2cos2x－2xsin2xD ．y ′＝2xcos2x ＋2x 2sin2x分析：选B.y ′＝(x 2cos2x )′＝(x 2)′·cos2x ＋x 2·(cos2x )′＝2xcos2x －2x 2sin2x.5．若函数f(x)＝ax 4＋bx 2＋c 知足f ′(1) ＝2，则f ′(－1)＝( )A ．－1B ．－2C ．2D ．0分析：选 B.由题意知f ′(x)＝4ax 3＋2bx ，若f ′(1)＝2，即f ′(1)＝4a ＋2b ＝2，从题中可知f ′(x)为奇函数，故 f ′(－ 1)＝－f ′(1)＝－4a －2b ＝－2，应选B.6．若函数 f ( x )＝1′(－1)x 2－2 x ＋3，则 f′(－1)的值为()2fA ．0B ．－1C ．1D ．212分析：选B.∵f(x)＝2f ′(－ 1)x －2x ＋3，f ′(x)＝f ′(－1)x －2.f ′(－1)＝f ′(－1)×(－1)－2. f ′(－1)＝－1. 二、填空题7．令()＝x′()等于________．f xx2·e，则f x2x 2x x 2xx 2分析：f ′(x)＝(x )′·e＋x ·(e )′＝2x ·e＋x ·e＝e (2x ＋x)．答案：e x(2x ＋x 2)2π 18．设f (x)＝ax －bsinx ，且f ′(0) ＝1，f ′(3)＝2，则a ＝________，b ＝________.分析：∵f ′(x)＝2ax －bcosx ，∴f′(0)＝－b＝1，得b＝－1，π211f′(3)＝3πa＋2＝2，得a＝0.答案：0－1e x9．若函数f(x)＝在x＝c处的导数值与函数值互为相反数，则c的值为________．xx ce e分析：∵f(x)＝x，∴f(c)＝c，e x·x－e x e x x－1e c c－1又f′(x)＝x2＝x2，∴f′(c)＝c2.e c e c c－1依题意知f(c)＋f′(c)＝0，∴c＋c2＝0，12c－1＝0得c＝2.1答案：2三、解答题10．求以下函数的导数：(1)f(x)＝ln(8x)；(2)f(x)＝(x＋1)(1－1)；x(3)y＝5log2(2x＋1)．解：(1)由于f(x)＝ln(8x)＝ln8＋lnx，1因此f′(x)＝(ln8)′＋(ln x)′＝x.(2)由于f(x)＝(x＋1)(1－1)x 111－x＋－1x21－x＝－x＋＝，x1－1·x－1－x ·2x 因此f′(x)＝1x21(3)＝－2x(1＋x)．(4)设y＝5log2u，u＝2x＋1，则y′＝5(log1010ln2. 2u)′(2x＋1)′＝uln2＝2x＋1x111．设f(x)＝a·e＋blnx，且f′(1)＝e，f′(－1)＝e.求a，b的值．x解：由f(x)＝a·e＋blnx，x bf′(x)＝a·e＋x，f′1＝ae＋b＝e依据题意有a1f′－1＝e－b＝ea＝1解得，b＝0因此a，b的值分别是1,0.212．已知f′(x)是一次函数，xf′(x)－(2x－1)f(x)＝1.求f(x)的分析式．设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b.把f(x)，f′(x)代入方程x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1得：x2(2ax＋b)－(2x－1)(ax2＋bx＋c)＝1，即(a－b)x2＋(b－2c)x＋c－1＝0.要使方程对随意x恒建立，则需有a＝b，b＝2c，c－1＝0，解得a＝2，b＝2，c＝1，因此f(x)＝2x2＋2x＋1.。