云南省红河州泸西一中2017─2018学年上学期期末考试高二理科数学试卷(解析版)

云南省2017—2018学年高二上学期期末模拟考试卷（一）（理科）（考试时间120分钟满分150分）一、单项选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是（）A．若α≠，则tanα≠1 B．若α=，则tanα≠1C．若tanα≠1，则α≠D．若tanα≠1，则α=2．“a＞1”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．在等比数列{a n}中，a2010=8a2007，则公比q的值为（）A．2 B．3 C．4 D．84．已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离（）A．2 B．3 C．5 D．75．向量=（1，2，﹣2），=（﹣2，﹣4，4），则与（）A．相交 B．垂直 C．平行 D．以上都不对6．如图，空间四边形ABCD中，M、G分别是BC、CD的中点，则等（）A．B．C．D．7．如果等差数列{a n}中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+…+a7=（）A．14 B．21 C．28 D．358．椭圆+=1的离心率是（）A．B． C．D．9．抛物线x2=﹣8y的准线方程是（）A．x=B．y=2 C．y=D．y=﹣210．在△ABC中，若a2=b2+c2﹣bc，则角A的度数为（）A．30°B．150°C．60°D．120°11．与椭圆共焦点且过点P（2，1）的双曲线方程是（）A．B．C．D．12．已知P点是双曲线上一点，F1、F2是它的左、右焦点，若|PF2|=3|PF1|，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．（1，2） B．（2，+∞）C．（1，2]D．[2，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．已知双曲线﹣=﹣1，则它的渐近线方程为．14．阅读图所示的程序框图，运行相应地程序，输出的s值等于．15．已知正数x，y满足x+2y=1，则的最小值为．16．已知x、y满足约束条件，则z=2x+4y的最小值是．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知双曲线中心在原点，离心率等于2，且一个焦点坐标为（4，0），求此双曲线方程．18．已知等差数列{a n}中，a2+a4=10，a5=9，数列{b n}中，b1=a1，b n+1=b n+a n．（I）求数列{a n}的通项公式，写出它的前n项和S n；（II）求数列{b n}的通项公式；（III）若，求数列{c n}的前n项和T n．19．某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]后，画出如下部分频率分布直方图．观察图形，回答下列问题：（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）估计这次考试的及格率（60分以上为及格）；（3）估计这次考试的平均分．20．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点（1）证明：AD⊥D1F；（2）求AE与D1F所成的角；（3）证明：面AED⊥面A1FD1．21．如图，棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=．（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）求二面角P﹣CD﹣B余弦值的大小．22．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（2，0），离心率为．直线y=x﹣1与椭圆C交于不同的两点M，N．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求线段MN的长度．参考答案一、单项选择题1．解：命题：“若α=，则tanα=1”的逆否命题为：若tanα≠1，则α≠．故选C．2．解：由得：当a＞0时，有1＜a，即a＞1；当a＜0时，不等式恒成立．所以⇔a＞1或a＜0从而a＞1是的充分不必要条件．故应选：A3．解：∴q=2故选A4．解：设所求距离为d，由题得：a=5．根据椭圆的定义得：2a=3+d⇒d=2a﹣3=7．故选D．5．解：∵向量=（1，2，﹣2），=（﹣2，﹣4，4）=﹣2（1，2，﹣2）=﹣2，则与平行，故选：C．6．解：∵M、G分别是BC、CD的中点，∴=，=∴=++=+=故选C7．解：a3+a4+a5=3a4=12，a4=4，∴a1+a2+…+a7==7a4=28故选C8．解：∵椭圆+=1，∴a=5，b=4∴c=3∴e==故选：D．9．解：由抛物线x2=﹣8y可得：2p=8，∴=2，其准线方程是y=2．故选：B．10．解：∵a2=b2+c2﹣bc，∴cosA===，A∈（0°，180°）．∴A=30°，故选：A．11．解：由题设知：焦点为a=，c=，b=1∴与椭圆共焦点且过点P（2，1）的双曲线方程是故选B．12．解：根据双曲线定义可知|PF2|﹣|PF1|=2a，即3|PF1|﹣|PF1|=2a．∴a=|PF1|．|PF2|=3a在△PF1F2中，|F1F2|＜|PF1|+|PF2|，2c＜4|PF1||，c＜2|PF1|=2a，∴＜2，当p为双曲线顶点时，=2又∵双曲线e＞1，∴1＜e≤2故选C二、填空题13．解：∵双曲线方程为﹣=﹣1，∴a=2，b=3，∴双曲线的渐近线方程为y=±x，即y=±x．故答案为：y=±x．14．解：由题意可知第1次判断后，s=1，k=2，第2次判断循环，s=0，k=3，第3次判断循环，s=﹣3，k=4，不满足判断框的条件，退出循环，输出S．故答案为：﹣3．15．解：∵正数x，y满足x+2y=1，∴==3=，当且仅当，x+2y=1，x＞0，y＞0即，时取等号．因此的最小值为．故答案为．16．解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+4y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+，由图象可知当直线y=﹣x+经过点A时，直线y=﹣x+的截距最小，此时z最小，由，解得，即A（3，﹣3），此时z=2×3+4×（﹣3）=﹣6，故答案为：﹣6．三、解答题17．解：双曲线中心在原点，且一个焦点坐标为（4，0），即c=4，又双曲线的离心率等于2，即=2，∴a=2．∴b2=12．故所求双曲线方程为=1．18．解：（I）设a n=a1+（n﹣1）d，由题意得2a1+4d=10，a1+4d=9，a1=1，d=2，所以a n=2n﹣1，．…（II）b1=a1=1，b n+1=b n+a n=b n+2n﹣1，所以b2=b1+1，b3=b2+3=b1+1+3，…（n≥2），又n=1时n2﹣2n+2=1=a1，所以数列{b n}的通项；…（III）∴=．…19．解：（1）因为各组的频率和为1，所以第四组的频率f4=1﹣（0.025+0.015*2+0.01+0.005）×10=0.3 （2）依题意，60分及以上的分数所在的第三，四，五，六组的频率和为0.75所以抽样学生的考试及格率为75%．（3）平均分为45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=7120．解：（1）∵AC1是正方体∴AD⊥面DC1，又D1F⊂面DC1，∴AD⊥D1F（2）取AB中点G，连接A1G，FG，∵F是CD中点∴∴则∠AHA1是AE与D1F所成的角∵E是BB1的中点∴Rt△A1AG≌Rt△ABE∴∠GA1A=∠GAH∴∠A1HA=90°即直线AE与D1F所成角是直角（3）∵AD⊥D1F（（1）中已证）AE⊥D1F，又AD∩AE=A，∴D1F⊥面AED，又∵D1F⊂面A1FD1，∴面AED⊥面A1FD121．（1）证明：∵∠BAD=90°，AD=2，BD=．∴=2．∴矩形ABCD是正方形，∴BD⊥AC．∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD，又PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．（2）解：∵PA⊥平面ABCD，CD⊥AD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥PD，∴∠PDA是二面角P﹣CD﹣B的平面角．在Rt△PAD中，tan∠PDA==1，∴∠PDA=45°．∴二面角P﹣CD﹣B的余弦值为．22．解：（1）∵椭圆一个顶点A（2，0），离心率为，∴，解得．∴椭圆C的方程为；（2）联立，消去y得3x2﹣4x﹣2=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，∴==．。

2017—2018学年度第一学期期末考试高二理科数学试卷（答题时间：120分钟 满分：150分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）每小题只有一个．．．．正确选项,请将正确选项填到答题卡处1。

设集合{|(1)(2)0}A x x x =+-<， {|13}B x x =<<，则A B = A ．{|13}x x -<< B ．{|11}x x -<<C ．{|12}x x <<D ．{|23}x x <<2.已知抛物线y 2＝2px （p >0）的准线经过点(－1,1),则该抛物线的焦点坐标为A ．(－1，0)B ．（1,0）C ．（0，－1)D ．（0,1）3．设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知等差数列｛a n }的公差为d （d ≠0）,且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 为A ．12B ．8C ．6D ．45．执行如图所示的程序框图,若输入的n ＝10，则输出的S 等于A .错误!B .错误!C 。

错误!D .错误!6．某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为［20,40),[40,60)，［60,80），［80，100]．若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是A ．45B ．50C ．55D ．607。

若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的表面积为A .318B 。

315C .3824+D 。

31624+8．已知a ＋b ＋c ＝0,｜a |＝2，|b |＝3，｜c ｜＝4，则向量a 与b 之间的夹角<a ,b 〉为A ．30°B ．45°C ．60°D ．以上都不对9．在长为10厘米的线段AB 上任取一点G ，用AG 为半径作圆,则圆的面积介于36π平方厘米到64π平方厘米的概率是A .错误!B 。

高二（上）数学期末试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，均为单选题，每小题5分，共60分）1．抛物线y2=4x上一点M到准线的距离为3，则点M的横坐标x为（）A．1 B．2 C．3 D．42．已知向量，，若与平行，则m的值为（）A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣63．在正项等比数列{a n}中，a1和a19为方程x2﹣10x+16=0的两根，则a8•a10•a12等于（）A．16 B．32 C．64 D．2564．已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（）A．x=±B．y=C．x=D．y=5．已知一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的四个侧面中，直角三角形的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．16．为了得到函数y=3cos2x的图象，只需将函数的图象上每一点（）A．横坐标向左平动个单位长度B．横坐标向右平移个单位长度C．横坐标向左平移个单位长度D．横坐标向右平移个单位长度7．执行如图所示的程序框图，若输入n=10，则输出的S=（）A．B．C．D．8．抛掷一枚均匀的硬币4次，出现正面次数多余反面次数的概率是（）A．B．C．D．9．已知l是双曲线的一条渐近线，P是l上的一点，F1，F2是C 的两个焦点，若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为（）A．12 B．C．D．10．已知直线y=﹣2x+1与椭圆+=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，且线段AB的中点在直线x﹣4y=0上，则此椭圆的离心率为（）A．B．C．D．11．已知直线l过点（﹣1，0），l与圆C：（x﹣1）2+y2=3相交于A，B两点，则弦长的概率为（）A．B．C．D．12．设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，已知点F1的直线交椭圆E于A，B两点，若|AF1|=2|BF1|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知椭圆+=1的长轴在x轴上，若焦距为4，则m等于．14．函数f（x），x∈R，满足如下性质：f（x）+f（﹣x）=0，f（+x）=f（﹣x），f（1）=3，则f（2）=．15．函数给出下列说法，其中正确命题的序号为．（1）命题“若α=，则cosα=”的逆否命题；（2）命题p：∃x0∈R，使sinx0＞1，则￢p：∀x∈R，sinx≤1；（3）“φ=+2kπ（k∈Z）”是“函数若y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件；（4）命题p：“，使”，命题q：“在△ABC中，若使sinA＞sinB，则A＞B”，那么命题（¬p）∧q为真命题．16．抛物线C：y2=4x的交点为F，准线为l，p为抛物线C上一点，且P在第一象限，PM⊥l交C于点M，线段MF为抛物线C交于点N，若PF的斜率为，则=．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知数列{a n}是公差为正数的等差数列，其前n项和为S n，a1=1，且3a2，S3，a5成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．18．如图是某市有关部门根据对某地干部的月收入情况调查后画出的样本频率分布直方图，已知图中第一组的频数为4000．请根据该图提供的信息解答下列问题：（图中每组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1000，1500）（1）求样本中月收入在[2500，3500）的人数；（2）为了分析干部的收入与年龄、职业等方面的关系，必须从样本的各组中按月收入再用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[1500，2000）的这段应抽多少人？（3）试估计样本数据的中位数．19．如图，直棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB= AB．（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD（Ⅱ）求二面角D﹣A1C﹣E的正弦值．20．已知向量，，其中ω＞0，函数，其最小正周期为π．（1）求函数f（x）的表达式及单调减区间；（2）在△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S为其面积，若f（）=1，b=1，S△ABC=，求a的值．21．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）经过点M（1，），F1，F2是椭圆C的两个焦点，|F1F2|=2，P是椭圆C上的一个动点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若点P在第一象限，且•≤，求点P的横坐标的取值范围；（Ⅲ）是否存在过定点N（0，2）的直线l交椭圆C交于不同的两点A，B，使∠AOB=90°（其中O为坐标原点）？若存在，求出直线l的斜率k；若不存在，请说明理由．22．已知圆E：（x+1）2+y2=16，点F（1，0），P是圆E上任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q（1）求动点Q的轨迹Γ的方程；（2）若直线y=k（x﹣1）与（1）中的轨迹Γ交于R，S两点，问是否在x轴上存在一点T，使得当k变动时，总有∠OTS=∠OTR？说明理由．高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，均为单选题，每小题5分，共60分）1．抛物线y2=4x上一点M到准线的距离为3，则点M的横坐标x为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】抛物线的简单性质．【分析】首先求出p，准线方程，然后根据，直接求出结果．【解答】解：设M（x，y）则2P=4，P=2，准线方程为x==﹣1，解得x=2．选B．2．已知向量，，若与平行，则m的值为（）A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣6【考点】平行向量与共线向量．【分析】利用向量共线定理即可得出．【解答】解：=（﹣3，3+2m），∵与平行，∴3+2m+9=0，解得m=﹣6．故选：D．3．在正项等比数列{a n}中，a1和a19为方程x2﹣10x+16=0的两根，则a8•a10•a12等于（）A．16 B．32 C．64 D．256【考点】等比数列的性质．【分析】由a1和a19为方程x2﹣10x+16=0的两根，根据韦达定理即可求出a1和a19的积，而根据等比数列的性质得到a1和a19的积等于a102，由数列为正项数列得到a10的值，然后把所求的式子也利用等比数列的性质化简为关于a10的式子，把a10的值代入即可求出值．【解答】解：因为a1和a19为方程x2﹣10x+16=0的两根，所以a1•a19=a102=16，又此等比数列为正项数列，解得：a10=4，则a8•a10•a12=（a8•a12）•a10=a103=43=64．故选C4．已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（）A．x=±B．y=C．x=D．y=【考点】双曲线的标准方程；椭圆的标准方程．【分析】先根据椭圆方程和双曲线方程分别表示出c，令二者相等即可求得m和n的关系，进而利用双曲线的方程求得双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵椭圆和双曲线有公共焦点∴3m2﹣5n2=2m2+3n2，整理得m2=8n2，∴=2双曲线的渐近线方程为y=±=±x故选D5．已知一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的四个侧面中，直角三角形的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】直线与平面垂直的性质；简单空间图形的三视图．【分析】画出满足条件的四棱锥的直观图，可令棱锥PA⊥矩形ABCD，进而可得可得△PAB 和△PAD都是直角三角形，再由由线面垂直的判定定理可得CB⊥平面PAB，CD⊥平面PAD，又得到了两个直角三角形△PCB 和△PCD，由此可得直角三角形的个数．【解答】解：满足条件的四棱锥的底面为矩形，且一条侧棱与底面垂直，画出满足条件的直观图如图四棱锥P﹣ABCD所示，不妨令PA⊥矩形ABCD，∴PA⊥AB，PA⊥AD，PA⊥CB，PA⊥CD，故△PAB 和△PAD都是直角三角形．又矩形中CB⊥AB，CD⊥AD．这样CB垂直于平面PAB内的两条相交直线PA、AB，CD垂直于平面PAD内的两条相交直线PA、AD，由线面垂直的判定定理可得CB⊥平面PAB，CD⊥平面PAD，∴CB⊥PB，CD⊥PD，故△PCB 和△PCD都是直角三角形．故直角三角形有△PAB、△PAD、△PBC、△PCD共4个．故选A．6．为了得到函数y=3cos2x的图象，只需将函数的图象上每一个点（）A．横坐标向左平动个单位长度B．横坐标向右平移个单位长度C．横坐标向左平移个单位长度D．横坐标向右平移个单位长度【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：将函数=3cos2（x+）的图象上每一个点横坐标向右平移个单位长度，可得函数y=3cos2x的图象，故选：B．7．执行如图所示的程序框图，若输入n=10，则输出的S=（）A．B．C．D．【考点】循环结构．【分析】框图首先给累加变量S和循环变量i分别赋值0和2，在输入n的值为10后，对i的值域n的值大小加以判断，满足i≤n，执行，i=i+2，不满足则跳出循环，输出S．【解答】解：输入n的值为10，框图首先给累加变量S和循环变量i分别赋值0和2，判断2≤10成立，执行，i=2+2=4；判断4≤10成立，执行=，i=4+2=6；判断6≤10成立，执行，i=6+2=8；判断8≤10成立，执行，i=8+2=10；判断10≤10成立，执行，i=10+2=12；判断12≤10不成立，跳出循环，算法结束，输出S的值为．故选A．8．抛掷一枚均匀的硬币4次，出现正面次数多余反面次数的概率是（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】抛掷一枚均匀的硬币4次，相当于进行4次独立重复试验，利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出出现正面次数多余反面次数的概率．【解答】解：抛掷一枚均匀的硬币4次，相当于进行4次独立重复试验，∴出现正面次数多余反面次数的概率：p==．故选：D．9．已知l是双曲线的一条渐近线，P是l上的一点，F1，F2是C 的两个焦点，若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为（）A．12 B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设P的坐标，利用PF1⊥PF2，建立方程，求出P的坐标，则△PF1F2的面积可求．【解答】解：由题意，设P（y，y），∵PF1⊥PF2，∴（﹣y，﹣y）•（y，﹣y）=0，∴2y2﹣6+y2=0，∴|y|=，∴△PF1F2的面积为=2．故选D．10．已知直线y=﹣2x+1与椭圆+=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，且线段AB的中点在直线x﹣4y=0上，则此椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】将直线y=﹣2x+1与直线x﹣4y=0联立，求得中点坐标，由A，B在椭圆上，两式相减可知=﹣×=﹣，则=2，求得a2=2b2，椭圆的离心率e===．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意可知：，解得：，则线段AB的中点（，），则x1+x2=，y1+y2=，由A，B在椭圆上，+=1， +=1，两式相减，得+=0，=﹣×=﹣，∴=2，即a2=2b2，椭圆的离心率e===，故选D．11．已知直线l过点（﹣1，0），l与圆C：（x﹣1）2+y2=3相交于A，B两点，则弦长的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】先找出使弦长|AB|=2时的情况，再求直线与圆相切时的情形，根据几何概型的概率公式求解即可【解答】解：圆心C是（1，0）半径是，可知（﹣1，0）在圆外要使得弦长|AB|≥2，设过圆心垂直于AB的直线垂足为D，由半径是，可得出圆心到AB的距离是1，此时直线的斜率为，倾斜角为30°，当直线与圆相切时，过（﹣1，0）的直线与x轴成60°，斜率为，所以使得弦长的概率为：P==，故选：C．12．设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，已知点F1的直线交椭圆E于A，B两点，若|AF1|=2|BF1|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用椭圆的性质求出A，B的坐标，代入椭圆方程，结合1=b2+c2，即可求出椭圆的方程．【解答】解：由题意椭圆，a=1，F1（﹣c，0），F2（c，0），AF2⊥x轴，∴|AF2|=b2，∴A点坐标为（c，b2），设B（x，y），则∵|AF1|=2|F1B|，∴（﹣c﹣c，﹣b2）=2（x+c，y）∴B（﹣2c，﹣b2），代入椭圆方程可得：4c2+b2=1，∵1=b2+c2，∴b2=，∴x2+=1．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知椭圆+=1的长轴在x轴上，若焦距为4，则m等于4．【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据椭圆+=1的长轴在x轴上，焦距为4，可得10﹣m﹣m+2=4，即可求出m的值．【解答】解：∵椭圆+=1的长轴在x轴上，焦距为4，∴10﹣m﹣m+2=4，解得m=4故答案为：4．14．函数f（x），x∈R，满足如下性质：f（x）+f（﹣x）=0，f（+x）=f（﹣x），f（1）=3，则f（2）=﹣3．【考点】函数的值．【分析】推导出f（x+3）=﹣f（x+）=f（x），由f（1）=3，得f（2）=f（﹣1）=﹣f（1），由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x），x∈R，满足如下性质：f（x）+f（﹣x）=0，f（+x）=f（﹣x），∴f（x+3）=﹣f（x+）=f（x）∵f（1）=3，f（2）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣3．故答案为：﹣3．15．函数给出下列说法，其中正确命题的序号为①②④．（1）命题“若α=，则cosα=”的逆否命题；（2）命题p：∃x0∈R，使sinx0＞1，则￢p：∀x∈R，sinx≤1；（3）“φ=+2kπ（k∈Z）”是“函数若y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件；（4）命题p：“，使”，命题q：“在△ABC中，若使sinA＞sinB，则A＞B”，那么命题（¬p）∧q为真命题．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】（1），原命题为真，逆否命题为真命题；（2），命题p：∃x0∈R，使sinx0＞1，则￢p：∀x∈R，sinx≤1，；（3），“φ=+2kπ（k∈Z）”是“函数若y=sin（2x+φ）为偶函数”的充分不必要条件；（4），判断命题p、命题q的真假即可【解答】解：对于（1），∵cos=，∴原命题为真，故逆否命题为真命题；对于（2），命题p：∃x0∈R，使sinx0＞1，则￢p：∀x∈R，sinx≤1，为真命题；对于（3），“φ=+2kπ（k∈Z）”是“函数若y=sin（2x+φ）为偶函数”的充分不必要条件，故为假命题；对于（4），x∈（0，）时，sinx+cosx=，故命题p为假命题；在△ABC中，若sinA＞sinB⇒2RsinA＞2RsinB⇒a＞b⇒A＞B，故命题q为真命题那么命题（¬p）∧q为真命题，正确．故答案为：①②④16．抛物线C：y2=4x的交点为F，准线为l，p为抛物线C上一点，且P在第一象限，PM⊥l交C于点M，线段MF为抛物线C交于点N，若PF的斜率为，则=．【考点】抛物线的简单性质．【分析】过N作l的垂线，垂足为Q，则|NF|=|NQ|，|PF|=|PM|，求出P的坐标，可得cos∠MNQ=，即可得到．【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），过N作l的垂线，垂足为Q，则|NF|=|NQ|，∵PF的斜率为，∴可得P（4，4）．∴M（﹣1，4），∴cos∠MFO=∴cos∠MNQ=∴=故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知数列{a n}是公差为正数的等差数列，其前n项和为S n，a1=1，且3a2，S3，a5成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）设出等差数列的公差，由3a2，S3，a5成等比数列列式求得公差，代入等差数列的通项公式得答案；（2）求出等差数列的前n项和，代入，利用裂项相消法求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）设数列{a n}的公差为d（d＞0），则a2=1+d，S3=3+3d，a5=1+4d，∵3a2，S3，a5成等比数列，∴，即（3+3d）2=（3+3d）•（1+4d），解得d=2．∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1；（2）由（1）得：，∴=，∴=．18．如图是某市有关部门根据对某地干部的月收入情况调查后画出的样本频率分布直方图，已知图中第一组的频数为4000．请根据该图提供的信息解答下列问题：（图中每组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1000，1500）（1）求样本中月收入在[2500，3500）的人数；（2）为了分析干部的收入与年龄、职业等方面的关系，必须从样本的各组中按月收入再用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[1500，2000）的这段应抽多少人？（3）试估计样本数据的中位数．【考点】众数、中位数、平均数；频率分布直方图．【分析】（1）根据频率分布直方图，求出各段的频率，然后再求[2500，3500）的人数；（2）根据抽样方法，选取抽样的人数，（3）根据求中位数的方法即可．【解答】解：（1）∵月收入在[1000，1500]的频率为0.0008×500=0.4，且有4000人，∴样本的容量n=，月收入在[1500，2000）的频率为0.0004×500=0.2，月收入在[2000，2500）的频率为0.0003×500=0.15，月收入在[3500，4000）的频率为0.0001×500=0.05，∴月收入在[2500，3500）的频率为；1﹣（0.4+0.2+0.15+0.05）=0.2，∴样本中月收入在[2500，3500）的人数为：0.2×10000=2000．（2）∵月收入在[1500，2000）的人数为：0.2×10000=2000，∴再从10000人用分层抽样方法抽出100人，则月收入在[1500，2000）的这段应抽取（人）．（3）由（1）知月收入在[1000，2000）的频率为：0.4+0.2=0.6＞0.5，∴样本数据的中位数为：=1500+250=1750（元）．19．如图，直棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB= AB．（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD（Ⅱ）求二面角D﹣A1C﹣E的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）通过证明BC1平行平面A1CD内的直线DF，利用直线与平面平行的判定定理证明BC1∥平面A1CD（Ⅱ）证明DE⊥平面A1DC，作出二面角D﹣A1C﹣E的平面角，然后求解二面角平面角的正弦值即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：连结AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点，又D是AB中点，连结DF，则BC1∥DF，因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD．（Ⅱ）因为直棱柱ABC﹣A1B1C1，所以AA1⊥CD，由已知AC=CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB，又AA1∩AB=A，于是，CD⊥平面ABB1A1，设AB=2，则AA1=AC=CB=2，得∠ACB=90°，CD=，A1D=，DE=，A1E=3故A1D2+DE2=A1E2，即DE⊥A1D，所以DE⊥平面A1DC，又A1C=2，过D作DF⊥A1C于F，∠DFE为二面角D﹣A1C﹣E的平面角，在△A1DC中，DF==，EF==，所以二面角D﹣A1C﹣E的正弦值．sin∠DFE=．20．已知向量，，其中ω＞0，函数，其最小正周期为π．（1）求函数f（x）的表达式及单调减区间；（2）在△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S为其面积，若f（）=1，b=1，S△ABC=，求a的值．【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算．【分析】（1）利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和单调性，得出结论．=，求得c=4，再利用余弦定理求（2）由f（）=1，求得A=，根据S△ABC得a=的值．【解答】解：（1）函数=cos2ωx+sinωxcosωx﹣=cos2ωx+sin2ωx=sin（2ωx+），其最小正周期为=π，∴ω=1，f（x）=sin（2x+）．令2kπ+≤2x+≤2kπ+，求得kπ+≤x≤kπ+，故函数的减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．（2）在△ABC中，∵f（）=sin（A+）=1，=bc•sinA=•1•c•=，∴A=，又b=1，S△ABC∴c=4，∴a===．21．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）经过点M（1，），F1，F2是椭圆C 的两个焦点，|F1F2|=2，P是椭圆C上的一个动点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若点P在第一象限，且•≤，求点P的横坐标的取值范围；（Ⅲ）是否存在过定点N（0，2）的直线l交椭圆C交于不同的两点A，B，使∠AOB=90°（其中O为坐标原点）？若存在，求出直线l的斜率k；若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由椭圆经过点M（1，），|F1F2|=2，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的标准方程．（Ⅱ）设P（x，y），则=（3x2﹣8），由此能求出点P的横坐标的取值范围．（Ⅲ）设直线l的方程为y=kx+2，联立，得（1+4k2）x2+16kx+12=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积，结合已知条件能求出直线的斜率．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）经过点M（1，），F1，F2是椭圆C的两个焦点，|F1F2|=2，∴，解得a=2，b=1，∴椭圆C的标准方程为．（Ⅱ）∵c=，F1（﹣，0），F2（），设P（x，y），则=（﹣）•（）=x2+y2﹣3，∵，∴=x2+y2﹣3==（3x2﹣8），解得﹣，∵点P在第一象限，∴x＞0，∴0＜x＜，∴点P的横坐标的取值范围是（0，]．（Ⅲ）当直线l的斜率不存在时，直线l即为y轴，A、B、O三点共线，不符合题意，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+2，联立，得（1+4k2）x2+16kx+12=0，由△=（16k）2﹣48（1+4k2）＞0，解得，，，∵∠AOB=90°，∴=0，∵=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+2）（kx2+2）==0，解得k2=4，满足k2＞，解得k=2或k=﹣2，∴直线l的斜率k的值为﹣2或2．22．已知圆E：（x+1）2+y2=16，点F（1，0），P是圆E上任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q（1）求动点Q的轨迹Γ的方程；（2）若直线y=k（x﹣1）与（1）中的轨迹Γ交于R，S两点，问是否在x轴上存在一点T，使得当k变动时，总有∠OTS=∠OTR？说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）连结QF，运用垂直平分线定理可得，|QP|=|QF|，可得|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4＞|EF|=2，由椭圆的定义即可得到所求轨迹方程；（2）假设存在T（t，0）满足∠OTS=∠OTR．设R（x1，y1），S（x2，y2），联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，由直线的斜率之和为0，化简整理，即可得到存在T（4，0）．【解答】解：（1）连结QF，根据题意，|QP|=|QF|，则|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4＞|EF|=2，故动点Q的轨迹Γ是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆．设其方程为，可知a=2，c=1，∴，所以点Q的轨迹Γ的方程为；（2）假设存在T（t，0）满足∠OTS=∠OTR．设R（x1，y1），S（x2，y2）联立，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，由韦达定理有①，其中△＞0恒成立，由∠OTS=∠OTR（显然TS，TR的斜率存在），故k TS+k TR=0即②，由R，S两点在直线y=k（x﹣1）上，故y1=k（x1﹣1），y2=k（x2﹣1）代入②得，即有2x1x2﹣（t+1）（x1+x2）+2t=0③，将①代入③，即有：④，要使得④与k的取值无关，当且仅当“t=4“时成立，综上所述存在T（4，0），使得当k变化时，总有∠OTS=∠OTR．2017年2月24日。

2017~2018学年度高二年级第一学期期末考试理科数学一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.与向量(13,2)=--a ，平行的一个向量的坐标是A.1(,1,1)3-B.(1,3,2)-C.13(1)22-，，D.(224)--，， 2.在ABC ∆中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若1a =，b =c =B =A.π6B.5π6C.5π6或π6D.π33.若命题20,0p x x x ∀>+>：，则命题 :p ⌝A.20000,0x x x ∃>+>B.20000,0x x x ∃>+≤C.20,0x x x ∀>+≤D.20,0x x x ∀≤+>4.在等比数列{}n a 中，3467···81a a a a ＝，则19·a a 等于 A.3B.3±C.9D.9±5.以双曲线22149x y-=的渐近线方程是 A.23y x =±B.32y x =±C.49y x =±D.94y x =±6.已知,a b R ∈, 则“0a b ==”是“0ab =”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.已知数列{}n a 中，32a =，71a =，若1{}1n a +为等差数列，则11a 等于 A.0B.12C.23D.1-8.设x y ,满足约束条件10103x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩错误！未找到引用源。

，则23z x y =-的最小值是A.7-B.6-C.5-错误！未找到引用源。

D.9-9.如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，E F ，分别在1A D AC ，上，且1123A E A D ＝，13AF AC ＝，则A.EF 至多与1A D ，AC 之一垂直B.EF 是1A D ，AC 的公垂线C.EF 与1BD 相交D.EF 与1BD 异面10.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点为12F F ,，若P 为其上一点，且12||2||PF PF =，则双曲线离心率e 的取值范围为A.(1,3]B.(1,3)C.(3,)+∞D.[3,)+∞11.已知0c >，设命题:p 函数x y c =为减函数.命题:q 当1[2]2x ∈，时，函数11()f x x x c=+>恒成立.如果p q ∨为真命题，p q ∧为假命题.则c 的取值范围是A.1(0,2]B. [1,)+∞C.1(,1)2D.1(0,][1,)2+∞12.如下图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边（色括两个端点）有*1,n n n N >∈（）个点，相应的图案中总的点数记为n a ，则233445201320149999...a a a a a a a a ++++=2n = 3n = 4n = 5n =A.20122013B.20132012C.20102011D.20112012二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分）13.已知ABC ∆外接圆半径是2cm ，60A ∠=︒，则BC 边的长为 ．14.已知正实数,a b 满足123a b +=,则ab 的最小值是 . 15.关于x 的不等式2112x x-≥-+ 的解集是 ． 16.已知点P 是抛物线24y x =上一点，设P 到此抛物线准线的距离为1d ，到直线2120x y +-=的距离为2d ，则12d d +的最小值是 ．三、解答题（本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.在ABC ∆中，内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，已知cos A =23，sin B=cos C .（1）求tan C 的值； （2）若a =ABC ∆的面积．18.已知函数2()1()f x ax ax a R =--∈.（1）若对任意实数x ，()0f x <恒成立，求实数a 的取值范围；. （2）当0a >时，解关于x 的不等式()23f x x <-.19.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足112,(1)n n a na S n n +==++． （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）设n T 为数列{}2nn a 的前n 项和，求证：14n T ≤<.20.如图，四边形ABCD 为正方形，QA ⊥平面ABCD ，//PD QA ，12QA AB PD ==. (1)证明：平面PQC ⊥平面DCQ ； (2)求二面角Q BP C --的余弦值．21.已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A B ,两点(A B ,不是左右顶点)，且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点．求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．选做题：请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.在平面直角坐标系xoy 中，直线l 经过点)4,2(πP ，倾斜角3πα=，在以坐标原点极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的方程为2cos 4sin ρθθ=+. （1）求直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程;（2）设l 与曲线C 相交于两点A B ,，求点P 到A B ,两点的距离之积.23.设函数()|1||4|f x x x a =++--. （1）当1a =时，求函数()f x 的最小值； （2）若4()1f x a≥+对任意的实数x 恒成立，求实数a 的取值范围.2017~2018学年度高二年级第一学期期末考试理科数学答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.C 【解析】向量的共线和平行是一样的，可利用空间向量共线定理写成数乘的形式．即0//b a b ≠，a λb ⇔=，13(1,3,2)2(1)22a =-=---，，， 2.B【解析】由余弦定理得cos 2B ==，所以5π.6B =3.B 【解析】x ∀的否定为0x ∃，>的否定为≤，所以命题 p ⌝为20000,0x x x ∃>+≤.4.C 【解析】234673737()81.9a a a a a a a a ∴ ＝＝＝1937,a a a a 与,都是奇数项所以符号都相同.19379.a a a a ∴＝＝5.B 【解析】由22049x y -=，得32y x =±.6.A 【解析】0a b ==⇒0ab =但是0ab =⇒00a b ==或.7.B 【解析】∵31113a =+，71112a =+，∵1{}1n a +为等差数列，∴311a +，711a +，1111a +也为等差数列． ∴1111131a +=+，∴111213a =+，∴1112a =. 8.B 【解析】由23z x y =－得233zy x =+，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分ABC ）： 平移直线233z y x =+，由图象可知当直线233zy x =+，过点C 时，直线233zy x =+，截距最大，此时z 最小，由310x x y =⎧⎨-+=⎩，解得34x y =⎧⎨=⎩，即34C （，）．代入目标函数23z x y =-，得23346126z =⨯-⨯=-=-．∴目标函数23z x y =-的最小值是6-．9.B 【解析】如上图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则求得111()333EF =- ，，， 1(1,0,1),(11,0)A D AC =--=- ，．11·0?0EF A D EF AC EF A D EF AC ==∴⊥⊥ ，，且.∴EF 是1A DAC ，的公垂线． 10.A 【解析】由题意知在双曲线上存在一点P ，使得12||2||PF PF =，如图.又∵12||||2PF PF a -=，∴2||2PF a =，即在双曲线右支上恒存在点P 使得2||2PF a =，即2||2PF a ≤. ∴2||||2.3OF OA c a a c a -=-≤∴≤.又∵c a >，∴3.a c a <≤ ∴13ca<≤，即13e <≤. 11.D 【解析】由命题p 知：01c <<.要使此式恒成立，则12c >，即12c >. 又由p 或q 为真，p 且q 为假 ∴p ，q 必有一真一假， 当p 为真，q 为假时，c 的取值范围为102c <≤；当p 为假，q 为真时，1c ≥. 综上，c 的取值范围为1{|01}2c c c <≤≥或. 12.A 【解析】由已知，23453321,63319341,12351,31n a a a a a n ==⨯-==⨯-==⨯-==⨯-⋯=-（）（),（）（）,（），数列{}n a 是首项为3，公差为3的等差数列，通项为31)(2n a n n =-≥（）；所以1111113(1)391n n a a n n n n +==--⋅-（），则233445201320149999...a a a a a a a a ++++=1111111201291192232012201320132013⨯⨯-+-+⋯+-=-=（）．故答案为A ． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分）13.【解析】∵2sin BCR A=,∴24sin60BC RsinA ==︒=． 14.89【解析】因为0,0a b >>,所以128339ab a b =+≥⇒⇒≥. 当且仅当12123a b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即2343a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时等号成立，所以ab 的最小值是89.15.11,,)23-∞-+∞ （）[【解析】因为2112x x -≥-+可化为31012x x -≥+,即等价于(31)(12)0120x x x -+≥⎧⎨+≠⎩解得12x <-或13x ≥．16.5如图，根据定义，1d 即为P 到焦点(1,0)的距离，∴12d d +的最小值也就是焦点到直线的距离．∴12min ()d d +==. 三、解答题（本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.在ABC ∆中，内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，已知cos A =23，sin B=cos C .(1)求tan C 的值；(2)若a =ABC ∆的面积．17.【解析】(1)由2cos 3A =，得s i n A =.2sin sin()sin 3C B A C C C ==+=+，∴tan C =.(2)由tan C =，得sin cos sin 666C C B C ==∴==由正弦定理，得sin sin a Cc A===∴ABC ∆的面积11sin 2262S ac B ===. 18. 已知函数2()1()f x ax ax a R =--∈.（1）若对任意实数x ，()0f x <恒成立，求实数a 的取值范围；. （2）当0a >时，解关于x 的不等式()23f x x <-.18.【解析】（1）当0a =时，()10f x =-<恒成立；当0a ≠时傲对任意实数,()0x f x <恒成立需满足2()4(1)0a a a <⎧⎨∆=---<⎩解得40a -<< 故实数的取值范围为40a -<≤ （2）由不等式()23f x x <-得2(2)20ax a x -++<即(2)(1)0ax x --<，方程(2)(1)0ax x --=的两根是1221,(0)x x a a==> ①当02a <<时，21a <，不等式的解集为21x a <<；②当2a =时，21a =，不等式无解；③当2a >时，21a >，不等式的解集为21x a<<.综上所述，当02a <<时，不等式的解集为2{|1}x x a<<当2a =时，不等式无解 当2a >时，不等式的解集为2{|1}x x a<< 19.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足112,(1)n n a na S n n +==++．(1)求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)设n T 为数列{}2nn a 的前n 项和，求证：14n T ≤<.19.【解析】(1) 由题意，当2n ≥时，有 1(1)n n na S n n +=++ ①1(1)(1)n n n a S n n --=+- ②两式相减得1(1)2n n n na n a a n +--=+, 即12n n a a +-=.由1211122a a S S a=⎧⎪=+⎨⎪=⎩得 212a a -=. 所以对一切正整数n ，有12n n a a +-=，故12(1)2n a a n n =-+=，即*2()n a n n N =∈．(2) 由(1)，得12222n n n n a n n -==，所以21231222n n nT -=+++⋯+，① ①两边同乘以12，得23111231222222n n n n nT --=+++⋯++， ②①－②，得231111*********n n n nT -=++++⋯+-，所以111212212nn n n T -=--， 故1242n n n T -+=-13 42n nn T ++∴=-. 11321 0222n n n n n n n n T T +-+++∴-=-=-<即1242n n n T -+=-单调递减.1min 1[]12n a T == 又 12442nn n T -+=-< 所以，综上 14n T ≤<20.如图，四边形ABCD 为正方形，QA ⊥平面ABCD ，//PD QA ，12QA AB PD ==. (1)证明：平面PQC ⊥平面DCQ ；(2)求二面角Q BP C --的余弦值．20.【解析】如图，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D xyz -.(1)证明：依题意有(1,1,0)Q ，(0,0,1)C ，(0,2,0)P ，则(1,1,0)DQ = ，(0,0,1)DC =，(1,1,0)PQ =- ． 所以0PQ DQ ⋅= ，0PQ DC ⋅= . 即PQ DQ PQ DC ⊥⊥，.故PQ ⊥平面DCQ . 又PQ ⊂平面PQDC ， 所以平面PQC ⊥平面DCQ .(2)依题意有(1,0,1)B ，1,0,0CB =()，(1,2,1)BP =--． 设(,,)n x y z =是平面PBC 的法向量，则 0n CB n BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即 020x x y z =⎧⎨-+-=⎩ 因此可取(0,1,2)n =--．设m 是平面PBQ 的法向量，则0m BP m PQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可取(1,1,1)m =，所以cos ,5m n <>=- 故二面角Q BP C --的余弦值为21.已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A B ,两点(A B ,不是左右顶点)，且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点．求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．21.【解析】(1)由题意设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b +=>>，由已知得：3a c +=，1a c -=，∴21a c ==，.∴2223b a c =-=. ∴椭圆的标准方程为22143x y +=.(2)设1122()()A x y B x y ,,,，联立22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=，2222Δ6416(34)(3)0m k k m =-+->即22340k m +->，则12221228344(3)34mk x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩又1212()()y y kx m kx m =++2222121223(4)()34m k k x x mk x x m k-=+++=+， ∵以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0)D ，∴·1AD BD k k =-，即1212·122y y x x =---. ∴1212122()40y y x x x x +--+=. ∴2222223(4)4(3)1640343434m k m mkk k k--+++=+++.整理，得 2271640m mk k ++＝. 解得1222,7km k m =-=-，且均满足22340k m +->. 当12m k =-时，l 的方程为(2)y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾．当227k m =-时，l 的方程为2()7y k x =-，直线过定点2(,0)7． ∴直线l 过定点，定点坐标为2(,0)7．选做题：请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.在平面直角坐标系xoy 中，直线l 经过点)4,2(πP ，倾斜角3πα=，在以坐标原点极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的方程为2cos 4sin ρθθ=+.（1）求直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程;（2）设l 与曲线C 相交于两点A B ,，求点P 到A B ,两点的距离之积.22.【解析】（1）因为直线l经过点)4πP 即点P 直角坐标为(1,1)P ，又倾斜角3πα=，所以 l 的参数方程为1cos 3()1sin 3πx t t πy t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数化简整理，得112()12x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数 再化为普通方程为:l 10y -=曲线:C 2cos 4sin ρθθ=+可化为22cos 4sin ρρθρθ=+由cos ,sin ρθx ρθy ==和222ρx y =+得 22(1)(2)5x y -+-=（2）将直线l 的参数方程112()12x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数代入:C ， 整理得240t -=，∴12t t +=124t t =- ∴所以，点P 到A B 、两点的距离之积12||||||4PA PB t t ⋅=⋅=23.设函数()|1||4|f x x x a =++--. （1）当1a =时，求函数()f x 的最小值； （2）若4()1f x a≥+对任意的实数x 恒成立，求实数a 的取值范围. 23.【解析】（1）当1a =时，()|1||4|1|(1)(4)|1514f x x x x x =++--≥+---=-=（2）由4()1f x a ≥+对任意的实数x 恒成立，得4|1||4|1x x a a++--≥+（0a ≠） 即4|1||4|1x x a a++-≥++对任意的实数x 恒成立而由|1||4||(1)(4)|5x x x x ++-≥+--= 所以，451a a≥++①当0a >时，解得2a =②当0a <时，解得a R ∈，所以 0a <综上，a 的取值范围是(,0){2}-∞2017-2018学年度高二第一学期期末试题理科数学座位号：班姓考………………………………………密…………………………………封…………………………………………。