初一数学竞赛系列讲座容斥原理

初中数学竞赛《容斥原理》练习题
1.一年级共有87名学生，其中58名是三好学生，63名是少先队员，49名既是三好学生又
是少先队员．那么，不是少先队员又不是三好学生的人数是15．
【分析】可以首先求出是三好学生而不是少先队员的人数与是少先队员而不是三好学生的人数，即可得到两项中只有一项的人数，即可求解．
【解答】解：是三好学生而不是少先队员的人数是：58﹣49＝9人；
是少先队员而不是三好学生的人数是：63﹣49＝14人；
则只是三好学生和只是少先队员的人数是：9+14＝23人．
∴既不是少先队员又不是三好学生的人数有：87﹣49﹣23＝15人．
故答案为：15．
【点评】本题主要考查了容斥原理，正确理解“既不是少先队员又不是三好学生的人数＝总人数﹣既是三好学生又是少先队员的人数﹣两项中只有一项的人数的和”是解题的关键．。

初中数学竞赛《容斥原理》练习题
1.已知6个数：3，3×2，3×22，3×23，3×24，3×25，其中最多能选出3个数，使得
被选出的数中任意两个数的比都不是2或者．
【分析】因为这几个数相邻两个数的比是2或者，要使被选出的数中任意两个数的比都不是2或者，那么选出的数中任意两个数只要不相邻就符合题意，由此解决问题．【解答】解：容易看出，相邻两个数的比是2或者，
不妨先取3，间隔一个数，可取3×22，3×24，符合题意；
也可取3×2，3×23，3×25，也符合题意；
因此最多能选出3个数，使得被选出的数中任意两个数的比都不是2或者．
故答案为：3．
【点评】此题主要抓住数的特点，利用相邻两个数之间的比值固定，找到问题的解决方案．。

第十一讲 容斥问题 【专题导引】 容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。 容斥原理：对n个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a分类与性质b分类（如图），那么具有性质a或性质b的事物的个数=Na

＋Nb－Nab。

NabNbNa

【典型例题】 【例1】三（1）班订《数学报》的有32人，订《阅读报》的有30人，两份报纸都订的有10人，全班每人至少订一种报纸。三（1）班有学生多少人？ 【思路导航】根据题意，画出下图：

从上图可以看出，中间重叠部分表示两份报纸都订的10人，这10人既被包括在订《数学报》的32人内，又被包括在订《阅读报》的30人内，重复算了一次，所以要算出全班人数，必须从32＋30=62人中去掉被重复算过的10人。所以全班人数应是62－10=52人。 【试一试】 1.某班上体育课，全班排成4行（每行的人数相等），小芳排的位置是：从前面数第6个，从后面数第7个。这个班共有多少名学生？ 2.有一个班每人都参加了一种课外兴趣小组，参加舞蹈队的有21人，参加合唱团的有32人，既参加舞蹈队又参加合唱团的有9人，全班共有多少人？ 【例2】一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。求这个班语文、数学作业都完成的人数。 【思路导航】完成语文作业的有37人，完成数学作业的有42人，一共有37＋42=79人，多于全班人数。这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次。所以，这个班语文、数作业都完成的有：79－48=31人。 【试一试】 1.一次数学测试，全班36人中，做对第一道聪明题的有21人，做对第二道聪明题的有18人，每人至少做对一道。问两道聪明题都做对的有几人？ 2.四（1）班有学生55人，每人至少参加赛跑和跳绳比赛中的一种。已知参加赛跑的有36人，参加跳绳的有38人。两项比赛都参加的有几人？ 【例3】某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答

初中数学竞赛《容斥原理》练习题
1.某班学生共有50人，会游泳的有27人，会体操的有18人，游泳、体操都不会的有15
人，那么既会游泳又会体操的有10人．
【分析】设既会游泳又会体操的有x人，结合图形，利用只会游泳人数+两项都会的人数+只会体操的人数+两者都不会的人数＝总人数列出关于x的方程，解之可得答案．【解答】解：如图，设既会游泳又会体操的有x人，
则27﹣x+x+18﹣x+15＝50，
解得x＝10，
∴既会游泳又会体操的有10人．
故答案为：10．
【点评】本题主要考查了容斥原理公式之一：A类、B类元素个数总和＝属于A类元素个数+属于B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数．。

第十二讲容斥原理在很多计数问题中常用到数学上的一个包含与排除原理，也称为容斥原理.为了说明这个原理，我们先介绍一些集合的初步知识。

在讨论问题时，常常需要把具有某种性质的同类事物放在一起考虑.如：A=｛五（1）班全体同学｝.我们称一些事物的全体为一个集合.A＝{五（1）班全体同学}就是一个集合。

例1 B＝｛全体自然数｝=｛1，2，3，4，…｝是一个具体有无限多个元素的集合。

例2 C=｛在1，2，3，…，100中能被3整除的数｝＝（3，6，9，12，…，99｝是一个具有有限多个元素的集合。

集合通常用大写的英文字母A、B、C、…表示.构成这个集合的事物称为这个集合的元素.如上面例子中五（1）班的每一位同学均是集合A的一个元素.又如在例1中任何一个自然数都是集合B的元素.像集合B这种含有无限多个元素的集合称为无限集.像集合C这样含有有限多个元素的集合称为有限集.有限集合所含元素的个数常用符号|A|、|B|、|C|、…表示。

记号A∪B表示所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合.就是右边示意图中两个圆所覆盖的部分.集合A∪B叫做集合A与集合B 的并集.“∪”读作“并”，“A∪B”读作“A并B”。

例3 设集合A=｛1，2，3，4｝，集合B=｛2，4，6，8｝，则A∪B=｛1，2，3，4，6，8｝.元素2、4在集合A、B中都有，在并集中只写一个。

记号A∩B表示所有既属于集合A也属于集合B中的元素的全体.就是上页图中阴影部分所表示的集合.即是由集合A、B的公共元素所组成的集合.它称为集合A、B的交集.符号“∩”读作“交”，“A∩B”读作“A交B”.如例3中的集合A、B，则A∩B=｛2，4｝。

下面再举例介绍补集的概念。

例4 设集合I=｛1，3，5，7，9｝，集合A=｛3，5，7｝。

补集（或余集），如右图中阴影部分表示的集合（整个长方形表示集合I）.对于两个没有公共元素的集合A和B，显然有|A∪B|=|A|+|B|。

初中数学竞赛《容斥原理》练习题
1. 50名学生面向老师站成一行，老师先让大家从左到右按1，2，3，…依次报数，再让报数
是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数同学向后转，问此时还有多少同学面向老师？
【分析】首先没有转的同学仍面向老师，即报数既不是4的倍数，也不是6的倍数的同学仍面向老师，其次，报数既是4的倍数，也是6的倍数，即是12的倍数同学连续转了两次，仍面向老师．
【解答】解：报数是4的倍数的同学有12个，报数是6的倍数的同学有8个，报数是12的倍数的同学有4个，
所以根据容斥原理得：报数既不是4的倍数，也不是6的倍数的同学有50﹣12﹣8+4＝34个．
报数既是4的倍数，也是6的倍数，即是12的倍数同学有4个．
所以此时还应有34+4＝38个同学面向老师．
答：此时还有38名同学面向老师．
【点评】本题考查容斥定理．同学们继续思考若将同学数50改成n，问此时还有多少同学面向老师？因而可以得出一个一般的结论：．。

noi容斥原理
容斥原理，也称为包含-排除原理，是一种在组合数学和概率论中常用的计数方法。

它主要用于计算多个集合的交、并等运算的结果，尤其在处理有重叠部分的集合时非常有用。

NOI（全国青少年信息学奥林匹克竞赛）中，容斥原理也经常被用作解题的关键。

容斥原理的基本思想是通过两个或多个集合各自的元素个数和它们的交集个数来计算它们的并集个数。

具体地，如果有n个集合，那么这n个集合的并集中的元素个数等于这n个集合的元素个数之和，减去任意两个集合的交集的元素个数之和，再加上任意三个集合的交集的元素个数之和，以此类推，直到加上或减去所有n个集合的交集的元素个数。

在NOI中，容斥原理常常被应用于一些需要计算不同条件下的方案数的题目。

例如，给定一些限制条件，需要计算满足这些条件的整数对的个数。

这时，可以将每个限制条件看作一个集合，然后利用容斥原理计算满足所有条件的整数对的个数。

此外，容斥原理还可以用于计算一些组合数学中的问题，如计算一个集合的子集的个数、计算一个图的边的个数等。

需要注意的是，在使用容斥原理时，需要注意集合之间的关系和顺序，以避免重复计算或遗漏计算。

同时，也需要灵活运用容斥原理，根据题目的具体情况进行调整和变形。

总之，容斥原理是一种非常有用的计数方法，在NOI等数学竞赛中经常被应用。

通过熟练掌握容斥原理的思想和应用方法，可以更好地解决一些复杂的计数问题。

第一讲容斥原理容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。

即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。

容斥原理：对n个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a 分类与性质b分类（如图），那么具有性质a或性质b的事物的个数=N a＋N b－N ab。

例1：一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。

又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。

最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。

求这个班语文、数学作业都完成的人数。

分析完成语文作业的有37人，完成数学作业的有42人，一共有37＋42=79人，多于全班人数。

这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次。

所以，这个班语文、数作业都完成的有：79－48=31人。

练习一1，五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。

其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人。

语文、数学都优秀的有多少人？2，四年级一班有54人，订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人，订《小学生优秀作文》的有45人，每人至少订一种读物，订《数学大世界》的有多少人？3，学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两种乐器都会演奏的有8人。

这个文艺组一共有多少人？例2：某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。

问多少个同学两题都答得不对？分析与解答：已知答对第一题的有25人，两题都答对的有15人，可以求出只答对第一题的有25－15=10人。

又已知答对第二题的有23人，用只答对第一题的人数，加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数：10＋23=33人。

所以，两题都答得不对的有36－33=3人。

容斥原理容斥原理教学目标1.了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2.掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用.知识要点一、两量重叠问题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算•求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：AUB A B AI B（其中符号“ U ”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“ I ”读作“交”，相当于中文“且”的意思.）则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理•图示如下：A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：AI B，即阴影面积•图示如下：A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：AI B，即阴影面积.包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合 A B的并集AUB的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合 A B的元素个数，然后加起来，即先求 A B（意思是把 A B的一切元素都“包含”进来，加在一起）；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去 C AI B（意思是“排除” 了重复计算的元素个数）•、三量重叠问题A类、B类与C类元素个数的总和A类元素的个数B类元素个数C类元素个数既是A 类又是B类的元素个数既是B类又是C类的元素个数既是A 类又是C类的元素个数同时是A类、B类、C类的元素个数•用符号表示为：AU BU C A B C AI B BI C AI C AI BI C •图示如下：图中小圆表示A的元素的个数，中圆表示B的元素的个数，大圆表示C的元素的个数.总 --------------------------1.先包含：ABC重叠部分AI B、BI C、C I A重叠了2次，多加了 1 次.再排除:在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图（韦恩图）来帮助分析思考.例题精讲模块一、两量重叠问题【例1】实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小组都参加.这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？（2级）【巩固】芳草地小学四年级有58人学钢琴，43人学画画，37人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画画的分别有多少人？（2级）【巩固】四（二）班有48名学生，在一节自习课上，写完语文作业的有30人，写完数学作业的有20人，语文数学都没写完的有6人.【巩固】⑴问语文数学都写完的有多少人？【巩固】⑵只写完语文作业的有多少人？（2级）【例2】某班共有46人，参加美术小组的有12人，参加音乐小组的有23人，有5人两个小组都参加了•这个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有多少人？（2级）【巩固】四年级一班有45人，其中26人参加了数学竞赛，22人参加了作文比赛，12人两项比赛都参加了•一班有多少人两项比赛都没有参加？（2级）【巩固】实验二校一个歌舞表演队里，能表演独唱的有10人，能表演跳舞的有18人，两种都能表演的有7人•这个表演队共有多少人能登台表演歌舞？（2级）【例3】某次英语考试由两部分组成，结果全班有12人得满分，第一部分有25人做对，第二部分有19人有错，问两部分都有错的有多少人？（4级）【例4】对全班同学调查发现，会游泳的有20人，会打篮球的有25人.两项都会的有10人，两项都不会的有9人.这个班一共有多少人？（4级）【巩固】某班组织象棋和军棋比赛，参加象棋比赛的有32人，参加军棋比赛的有28人，有18人两项比赛都参加了，这个班参加棋类比赛的共有多少人？（4级）【例5】在46人参加的采摘活动中，只采了樱桃的有18人，既采了樱桃又采了杏的有7人，既没采樱桃又没采杏的有6人，问：只采了杏的有多少人？（4级）【例6】甲、乙、丙三个小组学雷锋，为学校擦玻璃，其中68块玻璃不是甲组擦的，52块玻璃不是乙组擦的，且甲组与乙组一共擦了60块玻璃.那么，甲、乙、丙三个小组各擦了多少块玻璃？（4级）【例7】育才小学画展上展出了许多幅画，其中有16幅画不是六年级的，有15幅画不是五年级的，五、六年级共展出25幅画，其他年级的画共有多少幅？（4级）【例8】47名学生参加数学和语文考试，其中语文得分95分以上的14人，数学得分95分以上的21人，两门都不在95分以上的有22人.问：两门都在95分以上的有多少人？（4级）【巩固】（第二届小学迎春杯数学竞赛）有100位旅客，其中有10人既不懂英语又不懂俄语，有75人懂英语，83人懂俄语•问既懂英语又懂俄语的有多少人？（4级）【例9】一个班48人，完成作业的情况有三种：一种是完成语文作业没完成数学作业；一种是完成数学作业没完成语文作业；一种是语文、数学作业都完成了•已知做完语文作业的有37人；做完数学作业的有42 人•这些人中语文、数学作业都完成的有多少人？（4级）【巩固】四年级科技活动组共有63人•在一次剪贴汽车模型和装配飞机模型的定时科技活动比赛中，老师到时清点发现：剪贴好一辆汽车模型的同学有42人，装配好一架飞机模型的同学有34人•每个同学都至少完成了一项活动•问：同时完成这两项活动的同学有多少人？（4级）【巩固】科技活动小组有55人.在一次制作飞机模型和制作舰艇模型的定时科技活动比赛中，老师到时清点发现：制作好一架飞机模型的同学有40人，制作好一艘舰艇的同学有32人•每个同学都至少完成了一项制作•问两项制作都完成的同学有多少人？（4级）【例10】一次数学测验，甲答错题目总数的1，乙答错3道题，两人都答错的4题目是题目总数的1•求甲、乙都答对的题目数.（6级）【例11】小赵、小钱、小孙、小李、小周、小吴、小郑、小王，这8名同学站成一排•其中小孙和小周不能相邻，小钱和小吴也不能相邻，小李必须在小郑和小王之间（可相邻也可不相邻）•则不同的排列方法共有_______ 中•（6级）模块二、三量重叠问题【例12】某班学生手中分别拿红、黄、蓝三种颜色的小旗，已知手中有红旗的共有34人，手中有黄旗的共有26人，手中有蓝旗的共有18人•其中手中有红、黄、蓝三种小旗的有6人•而手中只有红、黄两种小旗的有9人，手中只有黄、蓝两种小旗的有4人，手中只有红、蓝两种小旗的有3人，那么这个班共有多少人？（6级）【巩固】某班有42人，其中26人爱打篮球，17人爱打排球，19人爱踢足球，9人既爱打篮球又爱踢足球，4人既爱打排球又爱踢足球，没有一个人三种球都爱好，也没有一个人三种球都不爱好•问：既爱打篮球又爱打排球的有几人？（6级）【例13】四年级一班有46名学生参加3项课外活动•其中有24人参加了数学小组，20人参加了语文小组，参加文艺小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数的3. 5倍，又是3项活动都参加人数的7倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于3项都参加的人数的2倍，既参加数学小组又参加语文小组的有10人•求参加文艺小组的人数.（6级）【巩固】五年级三班学生参加课外兴趣小组，每人至少参加一项•其中有25人参加自然兴趣小组，35人参加美术兴趣小组，27人参加语文兴趣小组，参加语文同时又参加美术兴趣小组的有12人，参加自然同时又参加美术兴趣小组的有8人，参加自然同时又参加语文兴趣小组的有9人，语文、美术、自然3科兴趣小组都参加的有4 人.求这个班的学生人数.（6级）【解析】光明小学组织棋类比赛，分成围棋、中国象棋和国际象棋三个组进行，参加围棋比赛的有42人，参加中国象棋比赛的有55人，参加国际象棋比赛的有33人，同时参加了围棋和中国象棋比赛的有18人，同时参加了围棋和国际象棋比赛的有10人，同时参加了中国象棋和国际象棋比赛的有9人，其中三种棋赛都参加的有5人，问参加棋类比赛的共有多少人？（6级）【例14】新年联欢会上，共有90人参加了跳舞、合唱、演奏三种节目的演出•如果只参加跳舞的人数三倍于只参加合唱的人数；同时参加三种节目的人比只参加合唱的人少7人；只参加演奏的比同时参加演奏、跳舞但没有参加合唱的人多4人；50人没有参加演奏；10人同时参加了跳舞和合唱但没有参加演奏；40人参加了合唱；那么，同时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的有•（6级）【巩固】五年级三班有46名学生参加三项课外活动，其中24人参加了绘画小组，20人参加了合唱小组，参加朗诵小组的人数是既参加绘画小组又参加朗诵小组人数的3.5倍，又是三项活动都参加人数的7倍，既参加朗诵小组又参加合唱小组的人数相当于三项都参加人数的2倍，既参加绘画小组又参加合唱小组的有10人，求参加朗诵小组的人数•（6级）【巩固】六年级100名同学，每人至少爱好体育、文艺和科学三项中的一项•其中，爱好体育的55人，爱好文艺的56人，爱好科学的51人，三项都爱好的15人，只爱好体育和科学的4人，只爱好体育和文艺的17人•问：有多少人只爱好科学和文艺两项？只爱好体育的有多少人？（6级）【例15】在某个风和日丽的日子，10个同学相约去野餐，每个人都带了吃的，其中6个人带了汉堡，6个人带了鸡腿，4个人带了芝士蛋糕，有3个人既带了汉堡又带了鸡腿，1个人既带了鸡腿又带了芝士蛋糕.2个人既带了汉堡又带了芝土蛋糕•问：⑴ 三种都带了的有几人？⑵ 只带了一种的有几个？（8级）【巩固】盛夏的一天，有10个同学去冷饮店，向服务员交了一份需要冷饮的统计表：要可乐、雪碧、橙汁的各有5人；可乐、雪碧都要的有3人；可乐、橙汁都要的有2人；雪碧、橙汁都要的有2人；三样都要的只有1 人，证明其中一定有1人这三种饮料都没有要•（8级）【例16】全班有25个学生，其中17人会骑自行车，13人会游泳，8人会滑冰, 这三个运动项目没有人全会，至少会这三项运动之一的学生数学成绩都及格了，但又都不是优秀•若全班有6个人数学不及格，那么，【例17】⑴ 数学成绩优秀的有几个学生？【例18】⑵ 有几个人既会游泳，又会滑冰？（8级）【巩固】五年级一班共有36人，每人参加一个兴趣小组，共有A、B、C、D、E五个小组，若参加A组的有15人，参加B组的人数仅次于A组，参加C组、D组的人数相同，参加E组的人数最少，只有4人.那么，参加B组的有________ . （8级）【例19】五一班有28位同学，每人至少参加数学、语文、自然课外小组中的一个.其中仅参加数学与语文小组的人数等于仅参加数学小组的人数，没有同学仅参加语文或仅参加自然小组，恰有6个同学参加数学与自然小组但不参加语文小组，仅参加语文与自然小组的人数是3个小组全参加的人数的5倍，并且知道3个小组全参加的人数是一个不为0的偶数，那么仅参加数学和语文小组的人有多少人？（8级）【例20】在一个自助果园里，只摘山莓者两倍于只摘李子者；摘了草莓、山莓和李子的人数比只摘李子的人数多3个；只摘草莓者比摘了山莓和草莓但没有摘李子者多4人；50个人没有摘草莓；11个人摘了山莓和李子但没有摘草莓；总共有60人摘了李子•如果参与采摘水果的总人数是100，你能回答下列问题吗？【例21】①有_____ 人摘了山莓；【例22】② 有____ 人同时摘了三种水果；【例23】③有_____ 人只摘了山莓；【例24】④ 有____ 人摘了李子和草莓，而没有摘山莓；【例25】⑤有_____ 人只摘了草莓•（6级）【例26】某学校派出若干名学生参加体育竞技比赛，比赛一共只有三个项目，已知参加长跑、跳高、标枪三个项目的人数分别为10、15、20人，长跑、跳高、标枪每一项的的参加选手中人中都有五分之一的人还参加了别的比赛项目，求这所学校一共派出多少人参加比赛?8级）模块三、图形中的重叠问题【例27】把长38厘米和53厘米的两根铁条焊接成一根铁条•已知焊接部分长4厘米，焊接后这根铁条有多长？（2级）【巩固】把长23厘米和37厘米的两根铁条焊接成一根铁条•已知焊接部分长3厘米，焊接后这根铁条有多长？（2级）【例28】两张长4厘米，宽2厘米的长方形纸摆放成如图所示形状•把它放在桌面上，覆盖面积有多少平方厘米？（2级）图3【巩固】 如图3，一张长8厘米，宽6厘米，另一个正方形边长为6厘米，它们中间重叠的部分是一个边长为4厘米的正方形，求这个组合图形的面 积•（ 2级）【巩固】 一个长方形长12厘米，宽8厘米，另一个长方形长10厘米，宽6厘米，它们中间重叠的部分是一个边长 4厘米的正方形，求这个组合图形 的面积.（2级）【例29】三个面积均为50平方厘米的圆纸片放在桌面上（如图），三个纸片共同重叠的面积是10平方厘米.三个纸片盖住桌面的总面积是100厘 米.问：图中阴影部分面积之和是多少？ （ 4级）【巩固】如图，已知甲、乙、丙3个圆的面积均为30,甲与乙、乙与丙、甲与 丙重合部分的面积分别为6, 8, 5,而3个圆覆盖的总面积为73•求阴影部分的面12积•（4级）【例30】如图，三角形纸板、正方形纸板、圆形纸板的面积相等，都等于60平方厘米•阴影部分的面积总和是40平方厘米，3张板盖住的总面积是100平方厘米，3张纸板重叠部分的面积是多少平方厘米？（6级）【巩固】如图所示，A、B、C分别是面积为12、28、16的三张不同形状的纸片，它们重叠在一起，露在外面的总面积为38 .若A与B、B与C的公共部分的面积分别为8、7，A、B、C这三张纸片的公共部分为3 .求A与C公共部分的面积是多少？（6级）。

奥数容斥问题奥数容斥问题是数学竞赛中一个经典的计数原理问题。

通过运用容斥原理，我们可以解决集合之间的重复计数问题。

本文将介绍奥数容斥问题的定义、原理和应用，并通过具体的例题进行说明。

首先，让我们来了解奥数容斥问题的定义。

在组合数学中，容斥原理用于计算多个集合的交集和并集的元素个数。

具体而言，在包含多个集合的问题中，容斥原理帮助我们消除了重复计数的问题。

接下来，我们将详细介绍奥数容斥问题的原理。

假设有n个集合A_1, A_2, ..., A_n，我们的目标是计算它们的并集以及交集中元素的个数。

利用容斥原理，我们可以先计算每个集合的元素个数，再根据交集的元素个数进行加减运算，以消除重复计数的影响。

具体而言，假设A表示所有集合的并集，A_1, A_2, ..., A_n 分别表示这些集合。

根据容斥原理，我们可以得出以下公式：|A_1 ∪ A_2 ∪ ... ∪ A_n| = |A_1| + |A_2| + ... + |A_n| - |A_1 ∩ A_2| - |A_1 ∩ A_3| - ... - |A_(n-1) ∩ A_n| + ... + (-1)^(n-1) |A_1 ∩ A_2 ∩ ... ∩A_n|其中，|X| 表示集合 X 的元素个数。

上述公式中，第一项表示每个集合的元素个数之和，第二项表示两个集合的交集元素个数之和，第三项表示三个集合的交集元素个数之和，以此类推。

交替的符号(-1)^(n-1) 用于保证加减运算的正确性。

了解了奥数容斥问题的定义和原理之后，下面我们将通过一个具体的例题来说明其应用。

例题：某班级共有60名学生，其中30人会打乒乓球，40人会弹钢琴，20人既会打乒乓球又会弹钢琴。

请问至少会其中一项技能的学生有多少人？解析：我们可以定义集合 A 表示会打乒乓球的学生，集合 B 表示会弹钢琴的学生。

根据题目给出的信息，我们有 |A| = 30，|B| = 40，|A ∩ B| = 20。

初中数学竞赛《容斥原理》练习题
1.数学课外兴趣小组最近三天里每天来的人数分别是9，7，15，但细心的老师发现：实际
上在这三天里来过的人一共也就18个，则这三天都来的人数最多为6人．
【分析】根据已知三天里每天来的人数分别是9，7，15，假设当这三天都来的人数为7人，进行分析得出总人数最大值不合题意，进而分析当这三天都来的人数为6人，得出答案即可．
【解答】解：∵三天里每天来的人数分别是9，7，15，
∴这三天都来的人数最多为7人．
如果这三天都来的人数为7人，
则第1天有2人来了一次或2次，第3天有8人来了一次或2次，
∴实际上在这三天里来过的人最多是：8+2+7＝17人，小于18人不合题意，
如果这三天都来的人数为6人，
则第1天有3人来了一次或2次，第3天有9人来了一次或2次，
∴实际上在这三天里来过的人最多是：9+3+6＝18人，等于18人符合题意，
故这三天都来的人数最多为6人．
故答案为：6．
【点评】此题主要考查了容斥原理，根据已知利用极值法假设这三天都来的人数进而得出符合要求的答案是解题关键．。

第八讲：容斥原理之重叠问题一、导入文氏图文氏图，也叫“维恩图”，是由英国著名数学家 Venn 发明的．维恩（公元 1834 年 8 月 4 日─公元 1923 年 4 月 4 日）十九世纪英国著名的数学家和哲学家，生于英国赫尔．他 1883 年获得理学博士学位，同年被选为英国皇家学会会员．维恩最主要的成就是系统解释并发展了几何表示的方法，也就是发明了文氏图．他作出一系列简单闭曲线（圆或更复杂的图形），将平面分为许多间隔．利用这种图表，维恩阐明了演绎推理的基本原理．为了进一步明确起见，他还引入了一些数学难题作为实例．虽然在维恩之前，莱布尼茨（Leibniz）已系统地运用过这类逻辑图，但今天这种逻辑图仍称作“维恩图”另外，维恩在概率论和逻辑学方面也有很大贡献，他的著作——《机会逻辑》和《符号逻辑》，在 19 世纪末 20 世纪初曾享有很高的声誉．除了数学以外，维恩还有一项较为特别的技能——制作机器．他曾制作过一部板球发球机，当澳洲板球队在 1909 年到访剑桥大学时，维恩的机器依然运作正常，并使他们其中一位成员打空四次．什么是容斥原理？这一讲我们主要学习和“包含”与“排除”有关的问题，这样的问题在生活中就有不少，比如吃瓜子．我们说吃掉了一斤瓜子，指的是带壳的瓜子，并非真的吃到肚子里一斤，因为这一斤中还“包含”着瓜子壳．如果要计算到底吃了多少，最简单的方法就是称一称瓜子壳，用原来的一斤“排除”掉瓜子壳的重量．瓜子的例子相对简单，一斤瓜子里一部分是瓜子仁，另一部分就是瓜子壳，两者各不相关．但本讲要学习的包含与排除问题要复杂一些，各部分之间会有重叠．比如一个办公室中每个人都至少爱喝茶或咖啡中的一种，已知有 7 个人爱喝茶，10 个人爱喝咖啡，那能不能就说办公室里有 17 个人呢？显然不能，因为可能有一些人既爱喝茶也爱喝咖啡，如果直接将喝茶的人数和喝咖啡的人数相加，会把既爱喝茶又爱喝咖啡的人计算 2 次，计算人数的时候要把这一部分减去才行．比如，如果有 3 个人既爱喝茶又爱喝咖啡，那总的人数就应该是 7 + 10 − 3 = 14 人．这就是我们今天要来研究的问题——有重叠的计数问题，即包含与排除问题．研究这种问题通常需要画出示意图，这样的示意图又叫做文氏图，下面我们就用文氏图推导两个对象的容斥原理公式．两个量之间的重叠例1、某班有34名同学参加了学校的运动会，其中有17名参加了跳绳，有20 名参加了拔河，问：及参加了跳绳又参加了拔河的又多少人？如右图所示，如果要计算三个部分的总数，直接计算 A+B就会算多了，而多算的正好是共同部分，只要把多算的减掉就可以了．上述分析总结成公式就是：这个公式就是两个对象的容斥原理．17+20-34=37-34=3（人）答：即参加跳绳又参加拔河的同学有3人。

初中数学竞赛《容斥原理》练习题
1.．某班的全体学生进行了短跑、游泳、篮球三个项目的测试，有4名学生在这三个项目
都没有达到优秀，其余每人至少有一个项目达到优秀，这部分学生达到优秀的项目、人数如下表
求这个班的学生数．
【分析】首先令短跑测试人数为A、游泳测试人数为B、篮球测试人数为C．根据题目说明及表将原题改写为：
A＝17，B＝18，C＝15，A∪B＝6，B∪C＝6，A∪C＝5，A∩B∩C＝2，求A∪B∪C的值．再利用容斥定理加以解决．
【解答】解：有4名学生在这三个项目都没有达到优秀，在每个单项上达到优秀的人数分别是17，18，15，
因而，总人数是17+18+15+4＝54，
但其中有人获得两项优秀，所以上面的计数产生了重复，重复人数应当减去，
即总人数变为：54﹣6﹣6﹣5＝37，
又考虑到获得三项优秀的人，他们一开始被重复计算了三次，但在后来又被重复减去了三次，
所以最后还要将他们加进去．
即这个班学生数为：37+2＝39．
【点评】本题考查容斥定理，如用常规的方法作合并运算时会把重复的部分多算，需要减去；作排除运算时会把重复部分多减，采用容斥原理加以解决就避免了这些问题，因而同学们一定要灵活掌握容斥定理的定义及公式．。