2-3-4平面向量共线的坐标表示一、选择题1．已知向量a ＝(x,5)，b ＝(5，x )，两向量方向相反，则x ＝( ) A ．－5 B ．5 C ．－1 D ．1 [答案] A2．若A (3，－6)，B (－5,2)，C (6，y )三点共线，则y ＝( ) A ．13 B ．－13 C ．9 D ．－9 [答案] D3．(2011～2012·重庆高一检测)已知向量a ＝(x,2)，b ＝(1，x )，若a ∥b ，则x ＝( )A. 2 B ．－ 2 C ．±2 D ．2 [答案] C4．(2011～2012·北京西城高三第一学期期末)已知点A (－1,1)，点B (2，y )，向量a ＝(1,2)，若AB →∥a ，则实数y 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8 [答案] C[解析] AB →＝(3，y －1)，又AB →∥a ， 所以(y －1)－2×3＝0，解得y ＝7.5．若点M (3，－2)，点N (－5，－1)，且MP →＝12MN →，则点P 的坐标为( )A ．(－8,1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－32 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 D ．(8，－1)[答案] B[解析] 设P (x ，y )，则MP →＝(x －3，y ＋2)，MN →＝(－8,1)， ∵MP →＝12MN →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝12×(－8)，y ＋2＝12×1，解得x ＝－1，y ＝－32.6．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与4b －2a 平行，则实数x 的值为( )A ．－2B ．0C ．1D ．2 [答案] D[解析] a ＋b ＝(3,1＋x )，4b －2a ＝(6,4x －2)， 由于a ＋b 与4b －2a 平行， 则3(4x －2)－6(1＋x )＝0，解得x ＝2.7．已知向量a ＝(1,3)，b ＝(2,1)，若a ＋2b 与3a ＋λb 平行，则λ的值等于( )A ．－6B ．6C ．2D ．－2 [答案] B[解析] a ＋2b ＝(5,5)，3a ＋λb ＝(3＋2λ，9＋λ)， 由条件知，5×(9＋λ)－5×(3＋2λ)＝0， ∴λ＝6.8．(09·北京文)已知向量a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b ，如果c ∥d ，那么( )A ．k ＝1且c 与d 同向B ．k ＝1且c 与d 反向C ．k ＝－1且c 与d 同向D ．k ＝－1且c 与d 反向 [答案] D[解析] c ＝(k,0)＋(0,1)＝(k,1)， d ＝(1,0)－(0,1)＝(1，－1)，c ∥d ⇒k ×(－1)－1×1＝0，∴k ＝－1. ∴c ＝(－1,1)与d 反向，∴选D.9．已知点A 、B 的坐标分别为(2，－2)、(4,3)，向量p 的坐标为(2k －1,7)，且p ∥AB →，则k 的值为( )A ．－910 B.910 C ．－1910 D.1910[答案] D[解析] 由A (2，－2)，B (4,3)得，AB →＝(2,5)， 而p ＝(2k －1,7)，由平行的条件x 1y 2－x 2y 1＝0得， 2×7－(2k －1)×5＝0，∴k ＝1910，选D.10．(2011～2012·湖南长沙)已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈[0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．外心B ．垂心C ．内心D ．重心 [答案] D[解析] 设AB →＋AC →＝AD →，则可知四边形BACD 是平行四边形，而AP →＝λAD →表明A 、P 、D 三点共线．又D 在BC 的中线所在直线上，于是点P 的轨迹一定通过△ABC 的重心．二、填空题11．(2011·北京高考)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)．若a －2b 与c 共线，则k ＝________. [答案] 1[解析] a －2b ＝(3，3)．因为a －2b 与c 共线， 所以k 3＝33，解得k ＝1.12．已知向量a ＝(3,4)，b ＝(sin α，cos α)，且a ∥b ，则tan α等于( )A.34 B ．－34 C.43 D ．－43 [答案] A[解析] ∵a ∥b ，∴3cos α－4sin α＝0. ∴4sin α＝3cos α.∴tan α＝34.13．设向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)．若向量λa ＋b 与向量c ＝(－4，－7)共线，则λ＝________.[答案] 2[解析] λa ＋b ＝(λ＋2,2λ＋3)，∵(λa ＋b )∥c ，∴－7(λ＋2)＝－4(2λ＋3)． ∴λ＝2.14．若三点P (1,1)，A (2，－4)，B (x ，－9)共线，则x 等于________． [答案] 3[解析] PA →＝(1，－5)，PB →＝(x －1，－10)，因为PA →与PB →共线，所以1×(－10)－(－5)(x －1)＝0，解得x ＝3.三、解答题15．已知向量AB →＝(6,1)，BC →＝(x ，y )，CD →＝(－2，－3)，当BC →∥DA →时，求实数x ，y 应满足的关系．[解析] 由题意，得DA →＝－AD →＝－(AB →＋BC →＋CD →)＝－[(6,1)＋(x ，y )＋(－2，－3)]＝(－x －4，－y ＋2)，BC →＝(x ，y )．又∵BC →∥DA →，∴x (－y ＋2)－y (－x －4)＝0.解得x ＋2y ＝0， 即x ，y 应满足的关系为x ＋2y ＝0.16．平面内给定三个向量：a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)． (1)求3a ＋b －2c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m 和n ； (3)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k .[分析] 根据向量的坐标运算法则及两个向量平行的充要条件，建立方程组求解．[解析] (1)3a ＋b －2c ＝3(3,2)＋(－1,2)－2(4,1)＝(9,6)＋(－1,2)－(8,2)＝(9－1－8,6＋2－2)＝(0,6)．(2)∵a ＝m b ＋n c ，m ，n ∈R ，∴(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)＝(－m ＋4n,2m ＋n )．∴⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝59，n ＝89.∴m ＝59，n ＝89.(3)a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)． 又∵(a ＋k c )∥(2b －a )， ∴(3＋4k )×2－(－5)×(2＋k )＝0. ∴k ＝－1613.17．已知点P 1(2，－1)，点P 2(－1,3)，点P 在线段P 1P 2上，且|P 1P →|＝23|PP 2→|.求点P 的坐标． [解析] 设点P 的坐标为(x ，y )，由于点P 在线段P 1P 2上，则有P 1P →＝23PP 2→，又P 1P →＝(x －2，y ＋1)，PP 2→＝(－1－x,3－y )， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝23(－1－x )，y ＋1＝23(3－y )，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝45，y ＝35，∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫45，35.18．已知A 、B 、C 三点的坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，并且AE →＝13AC →，BF →＝13BC →.(1)求E ，F 的坐标；(2)判断EF →与AB →是否共线． [解析] (1)设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)， 依题意得AC →＝(2,2)，BC →＝(－2,3)． 由AE →＝13AC →可知(x 1＋1，y 1)＝13(2,2)，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋1＝23y 1＝23，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－13y 1＝23，∴E (－13，23)．由BF →＝13BC →可知x 2－3，y 2＋1)＝13(－2,3)．∴⎩⎨⎧x 2－3＝－23y 2＋1＝1，解得⎩⎨⎧x 2＝73，y 2＝0.∴F (73，0)，即E 点的坐标为(－13，23)，F 点的坐标为(73，0)．(2)由(1)可知EF →＝OF →－OE →＝(73，0)－(－13，23)＝(83，－23)，(O 为坐标原点)，又AB →＝(4，－1)，∴EF →＝23(4，－1)＝23AB →，即EF →与AB →共线．。
3-2-1三角恒等变换一、选择题1．设－3π<α<－5π2，则化简1－cos (α－π)2的结果是( )A ．sin α2B ．cos α2C ．－cos α2D ．－sin α2[答案] C[解析] ∵－3π<α<－52π，∴－32π<α2<－54π，∴cos α2<0，∴原式＝1＋cos α2＝|cos α2＝－cos α2. 2．已知cos α＝－15，π2<α<π，则sin α2等于( )A ．－105B.105C ．－155D.155[答案] D[解析] ∵π2<α<π，∴π2<α2<π2，则sin α2＝1－cos α2＝155. 3.2sin 2αsin2α·2cos 2αcos2α( ) A ．tan α B ．tan2α C ．1 D.12[答案] B[解析] 原式＝(2sin αcos α)2sin2αcos2α＝sin 22αsin2αcos2α＝sin2αcos2αtan2α.4．已知钝角α满足cos α＝－13，则sin α2等于( )A.13 B.23 C.63D.16[答案] C[解析] ∵α为钝角，∴sin α2∴sin α2＝1－cos α2＝1＋132＝63. 5．化简cos2αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝( )A ．sin αB ．cos αC ．1＋sin2αD ．1－sin2α[答案] D[解析] 原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝1＋cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α ＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝1－sin2α. 6．函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋12－12cos2x ，则f (x )可化为( )A.12－32sin2x B.12＋32sin2x C ．1－3sin2x D ．－32sin2x[答案] A[解析] f (x )＝cos2x cos π3－sin2x sin π3＋12－12cos2x ＝12cos2x －32sin2x ＋12－12cos2x＝12－32sin2x . 7．函数f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x 的最大值是( ) A ．2 B.32 C.2＋12D.1＋222[答案] C[解析] f (x )＝cos x (cos x ＋sin x )＝cos x ·2(22cos x ＋22sin x )＝2cos x sin(x ＋π4)＝22[sin(2x ＋π4)＋sin π4]＝22sin(2x ＋π4)＋12∴当sin(2x ＋π4)＝1时，f (x )取得最大值即f (x )max ＝22×1＋12＝2＋12.8．若cos2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－22，则cos α＋sin α的值为( )A ．－72B ．－12C.12D.72[答案] C[解析] 法一：原式左边＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－2(sin α＋cos α)＝－22，∴sin α＋cos α＝12，故选C.法二：原式＝cos 2α－sin 2αsin α·cos π4－cos α·sinπ4＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α)22(sin α－cos α)＝－2(sin α＋cos α)＝－22，∴cos α＋sin α＝12，故选C. 9．(2012·全国高考山东卷)若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，sin2θ＝378，则sin θ＝( )A.35 B.45 C.74 D.34[答案] D[解析] 由θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2可得2θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，cos2θ＝－1－sin 22θ＝－18，sin θ＝1－cos2θ2＝34，答案应选D 。
1-4-3正切函数的性质与图象一、选择题1．下列叙述正确的是( ) A ．函数y ＝cos x 在(0，π)上是增函数 B ．函数y ＝tan x 在(0，π)上是减函数 C ．函数y ＝cos x 在(0，π)上是减函数 D ．函数y ＝sin x 在(0，π)上是增函数 [答案] C2．函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ≠k π＋π2，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k 2π－3π8，k ∈ZC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ≠k 2π＋π8，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ≠k2π，k ∈Z[答案] C[解析] 要使函数有意义，则2x ＋π4≠k π＋π2(k ∈Z )，则x ≠k 2π＋π8(k ∈Z )．3．函数y ＝tan x ＋1tan x是( ) A ．奇函数 B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数 [答案] A[解析] 定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z ∩{x |x ≠k π，k ∈Z }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2，k ∈Z .又f (－x )＝tan(－x )＋1tan (－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫tan x ＋1tan x ＝－f (x )，即函数y ＝tan x ＋1tan x是奇函数．4．下列直线中，与函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象不相交的是( ) A ．x ＝π2B ．y ＝π2C ．x ＝π8D ．y ＝π8[答案] C[解析] 由2x ＋π4＝k π＋π2得，x ＝k π2＋π8 (k ∈Z )，令k ＝0得，x ＝π8.5．下列不等式中，正确的是( ) A ．tan 4π7>tan 3π7B ．tan 2π5<tan 3π5C ．tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π7<tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π8 D ．tan ⎝⎛⎭⎫－13π4>tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12π5 [答案] D[解析] tan 4π7＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π7<tan 3π7； tan 3π5＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π5<tan 2π5， tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π7＝tan π7，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π8＝tan π8， ∵tan π7>tan π8，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π7>tan ⎝ ⎛⎭⎫－15π8，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π－π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－tan π4， tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12π5＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π－2π5 ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π5＝－tan 2π5.又tan 2π5>tan π4，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12π5<tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4，故选D.6．(2011～2012·郑州高一检测)当－π2<x <π2时，函数y ＝tan|x |的图象( )A ．关于原点对称B ．关于x 轴对称C ．关于y 轴对称D ．不是对称图形[答案] C7．(2011～2012·荆州高一检测)在区间(－3π2，3π2)范围内，函数y＝tan x 与函数y ＝sin x 的图象交点的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 [答案] B8．函数y ＝tan(sin x )的值域是( ) A ．[－π4，π4]B ．[－22，22]C ．[－tan1，tan1]D ．[－1,1][答案] C9．已知函数y ＝tan ωx 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内是减函数，则( )A ．0<ω≤1B ．－1≤ω<0C ．ω≥1D ．ω≤－1[答案] B[解析] 若ω使函数y ＝tan ωx 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内是减函数，则有ω<0，并且周期T ＝π|ω|≥π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝π.则－1≤ω<0.10．函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3在一个周期内的图象是( )[答案] A[解析] f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－33，则f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，－33，排除选项C ，D ； f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π3＝tan0＝0，则f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0，排除选项B.故选A.二、填空题11．函数y ＝tan x －3的定义域是________．[答案] ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪π3＋k π≤x <π2＋k π，k ∈Z[解析] 要使函数有意义，自变量x 的取值应满足tan x －3≥0，即tan x ≥ 3.解得π3＋k π≤x <π2＋k π，k ∈Z .12．函数y ＝－2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的单调递减区间是________． [答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π3－π4，k π3＋π12(k ∈Z )[解析] 求此函数的递减区间，也就是求y ＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的递增区间，由k π－π2<3x ＋π4<k π＋π2，k ∈Z 得：k π3－π4<x <k π3＋π12，∴减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π3－π4，k π3＋π12，k ∈Z .13．三个数cos10°，tan58°，sin168°的大小关系是________． [答案] sin168°<cos10°<tan58°[解析] ∵sin168°＝sin12°<sin80°＝cos10°<1＝tan45°<tan58°，∴sin168°<cos10°<tan58°.14．若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，则x 的取值范围是__________． [答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋k π2，5π24＋k π2(k ∈Z )[解析] 令z ＝2x －π6，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上满足tan z ≤1的z 的值是－π2<z ≤π4，在整个定义域上有－π2＋k π<z ≤π4＋k π，解不等式－π2＋k π<2x－π6≤π4＋k π，得－π6＋k π2<x ≤5π24＋k π2，k ∈Z . 三、解答题15．求下列函数的单调区间：(1)y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4； (2)y ＝13tan2x ＋1；(3)y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4.[解析] (1)由k π－π2<x －π4<k π＋π2得k π－π4<x <k π＋3π4(k ∈Z )，所以函数的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z . (2)由k π－π2<2x <k π＋π2得k π2－π4<x <k π2＋π4(k ∈Z )，所以函数的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π4，k π2＋π4(k ∈Z )．(3)y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4＝－3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6，由k π－π2<x 4－π6<k π＋π2得4k π－4π3<x <4k π＋8π3，所以函数的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫4k π－4π3，4k π＋8π3(k ∈Z )．16．求函数y ＝－tan 2x ＋10tan x －1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3的值域．[解析] 由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3，得tan x ∈[]1，3，∴y ＝－tan 2x ＋10tan x －1＝－(tan x －5)2＋24. 由于1≤tan x ≤3，∴8≤y ≤103－4，∴函数的值域是[8,103－4]．17．已知函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，求f (π4)的值．[解析] ∵ω>0，∴函数f (x )＝tan ωx 的周期为πω，且在每个独立区间内都是单调函数， ∴两交点之间的距离为πω＝π4，∴ω＝4，f (x )＝tan4x ， ∴f (π4)＝tanπ＝0.18．已知函数f (x )＝3tan(12x －π3)．(1)求f (x )的定义域、值域；(2)讨论f (x )的周期性，奇偶性和单调性． [解析] (1)由12x －π3≠π2＋k π，k ∈Z ，解得x ≠5π3＋2k π，k ∈Z .∴定义域为{x |x ≠5π3＋2k π，k ∈Z }，值域为R .(2)f (x )为周期函数，周期T ＝π12＝2π.f (x )为非奇非偶函数．由－π2＋k π<12x －π3<π2＋k π，k ∈Z ，解得－π3＋2k π<x <5π3＋2k π，k ∈Z .∴函数的单调递增区间为(－π3＋2k π，5π3＋2k π)(k ∈Z )．。
