α—严格对角占优矩阵与迭代法的收敛性定理

关于牛顿迭代法的课程设计实验指导非线性方程（或方程组）问题可以描述为求 x 使得f (x ) = 0。

在求解非线性方程的方法中，牛顿迭代法是求非线性方程（非线性方程组）数值解的一种重要的方法。

牛顿是微积分创立者之一，微积分理论本质上是立足于对世界的这种认识：很多物理规律在微观上是线性的。

近几百年来，这种局部线性化方法取得了辉煌成功，大到行星轨道计算，小到机械部件设计。

牛顿迭代法正是将局部线性化的方法用于求解方程。

一、牛顿迭代法及其收敛速度牛顿迭代法又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method ），是一种在实数域和复数域上通过迭代计算求出非线性方程的数值解方法。

方法的基本思路是利用一个根的猜测值x 0做初始近似值，使用函数f (x )在x 0处的泰勒级数展式的前两项做为函数f (x )的近似表达式。

由于该表达式是一个线性函数，通过线性表达式替代方程中的求得近似解x 1。

即将方程f (x ) = 0在x 0处局部线性化计算出近似解x 1，重复这一过程，将方程f (x ) = 0在x 1处局部线性化计算出x 2，求得近似解x 2，……。

详细叙述如下：假设方程的解x *在x 0附近（x 0是方程解x *的近似），函数f (x )在点x 0处的局部线化表达式为)()()()(000x f x x x f x f '-+≈由此得一次方程 0)()()(000='-+x f x x x f求解，得 )()(0001x f x f x x '-= 如图1所示，x 1比x 0更接近于x *。

该方法的几何意义是：用曲线上某点（x 0，y 0）的切线代替曲线，以该切线与x 轴的交点（x 1，0）作为曲线与x 轴的交点（x *，0）的近似（所以牛顿迭代法又称为切线法）。

设x n 是方程解x *的近似，迭代格式)()(1n n n n x f x f x x '-=+ ( n = 0，1，2，……) 就是著名的牛顿迭代公式，通过迭代计算实现逐次逼近方程的解。

线性方程组的4种迭代方法雍龙泉【摘要】研究了线性方程组的4种迭代方法———Jacobi迭代、Gauss-Seidel 迭代、HSS迭代、Richardson迭代，给出了4种迭代方法收敛的充分条件。

数值实验进一步表明，在大规模线性方程求解时，迭代矩阵谱半径的大小决定算法的收敛速度；在谱半径小于1的前提下，谱半径越小，则收敛速度越快。

%Four iterative methods to linear systems , such as Jacobi , Gauss-Seidel, HSS, and Richard-son iterative , are studied , and sufficient conditions for the convergence of these iterative methods are given . Numerical experiments further show that the size of spectral radius of iterative matrix determines convergence rate in solving large-scale linear systems .Under the premise of spectral radius of iterative matrix less than 1, the smaller the spectral radius , the faster convergence speed .【期刊名称】《陕西理工学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(032)005【总页数】5页(P80-84)【关键词】线性方程组;Jacobi迭代;Gauss-Seidel迭代;HSS迭代;Richardson迭代;谱半径【作者】雍龙泉【作者单位】陕西理工大学数学与计算机科学学院，陕西汉中723000【正文语种】中文【中图分类】O151.2考虑如下线性方程组记当矩阵A∈Rn×n非奇异时，方程组Ax=b具有唯一解。

改进的高斯-赛德尔迭代法的收敛性分析黄湧辉【摘要】本文讨论了改进的高斯-赛德尔迭代法的收敛性。

在严格对角占优的L-矩阵条件下,该预条件加快了高斯-赛德尔迭代法的收敛速度,而且在该预条件下高斯-赛德尔迭代法的谱半径是单调下降的。

最后用数值例子说明本文得出的结论。

%In this papert,he convergence analysis for a new preconditioned Gauss-Seidel iterative method was discussed.If the matrix is the strictly dominant L-matrixt,he convergence rate of the preconditioned Gauss-Seidel iterative method is faster than one of the【期刊名称】《西昌学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2011(025)001【总页数】3页(P15-17)【关键词】严格对角占优L-矩阵;预条件迭代法;谱半径;弱正则分裂;收敛速度【作者】黄湧辉【作者单位】华南师范大学数学科学学院,广东广州510631【正文语种】中文【中图分类】O241.6引言本文考虑实线性方程组其中A=（aij）n×n∈Rn×n为n阶方阵，x∈Rn和b∈Rn是n维向量。

对系数矩阵A作A=M-N的分裂，M为非奇异矩阵，则对应方程组（1）的基本迭代形式为：其中称M-1为方程（1）的迭代矩阵，迭代形式（2）是否收敛取决于迭代矩阵M-1N。

当k→∞，M-1N→0，即k→∞时，谱半径ρ（M-1N）<1，并且其收敛速度随谱半径ρ（M-1N）的减小而加快。

一般地，对线性方程组（1）的系数矩阵A做如下的分裂其中D为非奇异对角矩阵，L为严格下三角矩阵，U为严格上三角矩阵。

为讨论方便，当A可逆时，总可以通过初等变换把A的对角元都化简为1，因此对于形如（3）的系数矩阵，Gauss-Seidel迭代法的迭代矩阵为：G=（I-L）-1U。

Jacobi方法是一种用于解线性方程组的迭代法，通常用于大型稀疏矩阵的求解。

该方法通过将系数矩阵分解为对角线矩阵和剩余部分，然后利用迭代过程逐步逼近方程组的解。

然而，Jacobi方法并非对所有的线性方程组都能有效收敛，其收敛性与系数矩阵的特性密切相关。

本文将探讨Jacobi方法收敛的取值范围。

1. Jacobi方法的收敛性我们需要明确Jacobi方法的收敛条件。

对于线性方程组Ax=b，其中A为系数矩阵，b为常数向量，如果系数矩阵A满足严格对角占优条件或者对角占优条件，那么Jacobi方法就能保证收敛。

2. 严格对角占优条件严格对角占优条件指的是对于系数矩阵A的每一行，其对角线元素的绝对值大于该行其他元素的绝对值之和。

具体而言，对于系数矩阵A的第i行，如果存在一个k不等于i，使得|本人i|<|本人k|，那么系数矩阵A就不满足严格对角占优条件。

在这种情况下，Jacobi方法可能不收敛。

3. 对角占优条件对于对角占优条件而言，要求系数矩阵A的每一行都是弱对角占优的。

即对于系数矩阵A的第i行，其对角线元素的绝对值大于等于该行其他元素的绝对值之和。

此时，Jacobi方法能够收敛，但并不保证迭代过程的速度。

4. Jacobi方法的取值范围Jacobi方法的收敛性与系数矩阵A的特性密切相关。

一般来说，当系数矩阵A满足严格对角占优条件时，Jacobi方法是收敛的。

而对于不满足严格对角占优条件但满足对角占优条件的系数矩阵A，Jacobi方法可能也能收敛，但需要谨慎选择迭代过程的初始值。

5. 迭代过程的初始值选取在实际应用中，为了确保Jacobi方法的收敛性，需要合理选择迭代过程的初始值。

一般来说，可以通过对系数矩阵A进行预处理，使其满足严格对角占优条件，从而确保Jacobi方法的收敛性。

另外，还可以通过其他方法如高斯-赛德尔方法、超松弛方法等来改善迭代过程的收敛性。

Jacobi方法的收敛性取决于系数矩阵A的特性，当系数矩阵A满足严格对角占优条件时，Jacobi方法是收敛的。

α-严格对角占优矩阵与SOR迭代法的收敛性定理
田秋菊;宋岱才;郭小明
【期刊名称】《科学技术与工程》
【年(卷),期】2009(009)023
【摘要】针对线性方程组的系数矩阵为α-严格对角占优矩阵和双α-链严格对角占优矩阵的情况,讨论了线性方程组求解时常用到的SOR迭代方法的收敛性,给出了迭代法收敛性定理,解决了以往估计迭代矩阵谱半径的问题.结果不仅适用于这两类矩阵,还适用于广义α-严格对角占优矩阵类.最后举例说明了所给结果的优越性.【总页数】4页(P6956-6959)
【作者】田秋菊;宋岱才;郭小明
【作者单位】辽宁石油化工大学理学院,抚顺,113001;辽宁石油化工大学理学院,抚顺,113001;辽宁石油化工大学理学院,抚顺,113001
【正文语种】中文
【中图分类】O241.6;O151.2
【相关文献】
1.SOR迭代法的一个收敛性定理 [J], 宋岱才;田秋菊;赵晓颖
2.α-严格对角占优矩阵与迭代法的收敛性定理 [J], 宋岱才;魏晓丽;赵晓颖
3.基于预条件处理的双分裂SOR迭代法收敛性 [J], 雷刚;王慧勤
4.严格对角占优矩阵与SOR迭代法的收敛性定理 [J], 宋岱才;敬长红;陈德艳
5.严格对角占优矩阵的SOR法收敛性和误差估计式 [J], 陈恒新
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二单项选择题1. 已知近似值1x ,2x ，则()12,x x ()=A. ()()2112x x x x + B 。

()()12x x +C. ()()1122x x x x + D 。

()()12x x2. 已知求积公式()()211211()(2)636f x dx f Af f ≈++⎰，则A ＝（ ） A ． 16 B 。

13 C 。

12 D. 233. 已知2112A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则化为A 为对角阵的平面旋转变换角θ＝（ ) A ．6π B 。

4π C 。

3π D. 2π 4. 设求方程()0f x =的根的切线法收敛，则它具有( ）敛速。

A ． 线性 B. 超越性 C 。

平方 D 。

三次5。

改进欧拉法的局部截断误差为( ）A ． ()5O h B. ()4O h C. ()3O h D 。

()2O h填空题1。

π的近似值3.1428是准确到 近似值。

2. 满足()a a f x x =，()b b f x x =,()c c f x x =的拉格朗日插值余项为 。

3。

用列主元法解方程组时，已知第2列主元为()142a 则()142a ＝ 。

4．乘幂法师求实方阵 的一种迭代方法。

5. 欧拉法的绝对稳定实区间为 。

计算题1. 用已知函数表求抛物插值多项式,并求1()2f 的近似值。

2. 用紧凑格式解方程组123410114130141x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦3. 已知方程组123210113110121x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（1） 证明高斯－塞德尔法收敛；（2） 写出高斯－塞德尔法迭代公式; （3） 取初始值()()00,0,0TX=,求出()1X 。

4. 用4n =复化辛卜公式计算积分1011dx x +⎰，并估计误差。

5. 用一般迭代法求方程[]0,0.5内的根。