为严格对角占优阵

大规模稀疏矩阵求解严格对角占优矩阵1. 简介大规模稀疏矩阵求解是计算数学领域中的一个重要问题，涉及到各种领域的应用，如工程、科学计算、机器学习等。

在许多实际问题中，待求解的矩阵往往是稀疏的，而且具有严格对角占优的性质。

本文将重点讨论如何有效地求解严格对角占优的稀疏矩阵，包括其特点、求解方法以及相关算法优化技巧。

2. 稀疏矩阵的特点稀疏矩阵是指矩阵中绝大部分元素为0，只有少数非零元素的矩阵。

它在实际问题中的应用非常广泛，比如有限元法中的刚度矩阵、图像处理中的图像采样矩阵等。

稀疏矩阵的特点是存储和计算效率低下，因为大部分元素都是0，而且通常会导致内存访问的不连续性。

3. 严格对角占优矩阵严格对角占优矩阵是一类重要的矩阵，具有良好的性质，对于稀疏矩阵求解也有很大的帮助。

严格对角占优矩阵是指矩阵的每一行对应的绝对值最大的元素都在对角线上，这保证了矩阵的对角线元素对整个矩阵的影响最大。

严格对角占优矩阵在实际问题中也很常见，比如常用的有限差分方法就会生成严格对角占优的矩阵。

4. 求解方法对于严格对角占优的稀疏矩阵，通常可以采用迭代法来求解。

其中最经典的算法包括雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法和预条件共轭梯度法。

这些算法都充分利用了矩阵的特殊性质，尤其是对角占优性质，从而能够有效地收敛到精确解。

5. 算法优化技巧考虑到稀疏矩阵的存储和计算效率问题，我们还可以采用一些算法优化技巧，来进一步提高求解速度。

比如可以采用稀疏矩阵存储格式来降低内存占用和提高计算效率，还可以利用并行计算来加速迭代过程。

针对特定的实际问题，还可以设计一些特定的加速算法，比如多重网格方法、预处理技术等。

6. 结论大规模稀疏矩阵求解严格对角占优矩阵是一个具有挑战性的问题，但是通过充分利用特殊的矩阵结构和采用适当的求解方法，我们可以有效地解决这一问题。

未来，随着计算机硬件和算法技术的不断发展，相信在大规模稀疏矩阵求解领域一定会有更多的创新和突破。

严格对角占优矩阵定义矩阵是线性代数中的基本概念之一，它是由若干个数排成的矩形阵列。

在实际应用中，矩阵广泛应用于各种数学、物理、工程和计算机科学等领域。

其中，严格对角占优矩阵是一类特殊的矩阵，它在数值计算和科学计算中具有重要的作用。

本文将详细介绍严格对角占优矩阵的定义、性质和应用。

一、严格对角占优矩阵的定义严格对角占优矩阵是一类具有特殊性质的矩阵。

它的定义如下：对于一个n阶矩阵A=(aij)，如果存在一个正整数p，使得对于任意的i∈[1,n]，都有|aii|>∑|aij|，其中j∈[1,n]，j≠i且j≠p，则称矩阵A是严格对角占优的。

其中，|aij|表示aij的绝对值，∑|aij|表示矩阵A第i行除去aii元素后，其余元素绝对值之和。

举个例子，下面是一个3阶的严格对角占优矩阵：A = [ 4 -1 0-1 4 -10 -1 4 ]可以看到，对于任意一个元素aii，都有|aii|>∑|aij|，其中j ≠i。

例如，当i=1时，|4|>|(-1)|+|0|=1，当i=2时，|4|>|(-1)|+|(-1)|=2，当i=3时，|4|>|(-1)|+|0|=1。

因此，矩阵A是严格对角占优的。

二、严格对角占优矩阵的性质严格对角占优矩阵具有以下性质：1.唯一性：严格对角占优矩阵是唯一的。

也就是说，如果一个矩阵A是严格对角占优的，那么它一定是唯一的。

2.可逆性：严格对角占优矩阵是可逆的。

也就是说，如果一个矩阵A是严格对角占优的，那么它一定是可逆的。

3.正定性：严格对角占优矩阵是正定的。

也就是说，如果一个矩阵A是严格对角占优的，那么它的所有特征值都是正实数。

4.稳定性：严格对角占优矩阵在数值计算中具有很好的稳定性。

也就是说，对于一个严格对角占优矩阵A，如果对其进行一些数值计算，得到的结果也是非常稳定的，不会受到舍入误差的影响。

三、严格对角占优矩阵的应用严格对角占优矩阵在数值计算和科学计算中具有广泛的应用。

（一）一、判断题（40分）（对者打∨，错者打⨯）1、设,n n A B C ⨯∈的奇异值分别为120n σσσ≥≥≥> ，'''120n σσσ≥≥≥> ，如果'(1,2,,)i i i n σσ>= ，则22||||||||A B ++>. ( ⨯ ) 2、设n n A C ⨯∈为正规矩阵，则矩阵的谱半径2()||||r A A =. ( ∨ ) 3、设n n C A ⨯∈可逆，n n C B ⨯∈，若对算子范数有1||||||||1A B -⋅<，则B A +可逆.( ∨ )4、设32312100a a A a a aa -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭为一非零实矩阵，则2221123()a a a A --++为A 的一个广义逆矩阵 ( ∨ )5、设A 为m n ⨯矩阵，P 为m 阶酉矩阵, 则PA 与A 有相同的奇异值. ( ∨ )6、设n n A C ⨯∈，且A 的所有列和都相等，则()r A A∞=. ( ⨯ )7、如果12(,,,) T nn x x x x C =∈，则1||||m in i i nx x ≤≤=是向量范数. ( ⨯ )8、0010140110620118A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦至少有2个实特征值. ( ∨ ) 9、设,n nA C ⨯∈则矩阵范数m A ∞与向量的1-范数相容. ( ∨ )10、设n n A C ⨯∈是不可逆矩阵，则对任一自相容矩阵范数 有1I A -≥, 其中I 为单位矩阵. ( ∨ )（二）1、设m nA R⨯∈的奇异值为12n σσσ≥≥≥ ，则2221||||ni i A σ==∑. ( ⨯ )2、设n n A C ⨯∈，且有某种算子范数||||⋅，使得||||1A <，则11||()||1||||E A A -->-,其中E 为n 阶单位矩阵. ( ⨯ )111()()()()E E A E A E A A E A ---=--=---⇒11()()E A E A E A ---=+-⇒11||()||||()||E A E A E A ---=+-1||||||||||()||E A E A -≤+-⇒1||||1||()||1||||1||||E E A A A --≤=--3、设2H A E uu =-(其中，E 为n 阶单位矩阵，2||||1n u C u ∈=且)，则2||||m A =( ∨ )(2)H H H A E u u =- (2)H H E uu =-2HE uu =-A =(2)(2)H H H A A E u u E u u =--224H H H H E u u u u u u u u E=--+=2||||mA n∴4、设12342468111A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A 的M -P 广义逆A +的秩()1rank A +=. ( ⨯ ) 5、设矩阵n n A C ⨯∈，0A ≠且，2||()||1H HA A A A +=则.( ∨ )()H HB A A A A+=⇒HBB =⇒2||||()B B ρ=则；2B B =⇒01B ⇒的特征值为或者0A ≠⇒1B ⇒是的特征值()1H r B B =6、若A 为列满秩矩阵，则H H A A A 1)(-既是A 的左逆又是A 的M -P 广义逆A +.( ∨ )7、设n εεε,,,21 线性空间n V 的一组基，n n n V x x x x ∈++=εεε 2211，则. )0(||||||||||2222211≥++=i n n k x k x k x k x 是n V 上向量x 的范数. ( ⨯ )8、设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=01821022330A ，则A 有三个实特征值. ( ∨ ) 9、设G 为矩阵()m n r A C r n ⨯∈<的广义逆A -，A BD =为A 的最大秩分解，则r DGB =2||||. ( ⨯ )10、设)1()(>∈=⨯n C a A n n ij 为严格对角占优矩阵，),,,(22nn ii a a a diag D =，A DE B 1--=(E 为n 阶单位矩阵)，则B 的谱半径1)(≥B r . ( ⨯ )（三）一、判断题（40分）（对者打∨，错者打⨯）1、设n x C ,U ∈为n阶酉矩阵，则22||||||||Ux x =. ( )()2222H H H ||Ux ||UxUx x U Ux x x ||x ||====2、设,n nA C⨯∈则2221||||||nm ii A λ=≥∑. ( )n nA C⨯∈→HA URU =→22222222||||||||||||||||Hm m m m A URUR R ==≥21||nii λ==∑3、如果12(,,,) T n n x x x x C =∈，则21||||||x x =为向量范数. ( )例如(0,1,0,,0)0 x =≠，但||||0x =4、1||||||||||||x x n x ∞∞≤≤. ( )11||||m a x ||||||||m a x ||||||ni ii iii x x xx n x n x ∞∞==≤=≤=∑5、设A 为n 阶酉矩阵，则.AA A A E ++== ( )因为H A A +=，故结论成立6、若m r r A C ⨯∈，则11()H HL A AA A --=. ( )11()H HL A A A A --=，故结论不成立7、若||||⋅为算子范数，则11||||||||A A --≥. ( )111||||||||||||AA A A --=≤，故结论不成立8、111i i i ii⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦和都是复对称矩阵()T A A =，故均为正规矩阵. ( )111i ii i i ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦为正规矩阵而非正规,因为1111ii ii ii i i i iii----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤≠⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦9、设()A ρ为矩阵A 的谱半径，则()||||m A A ρ∞≤. ( )01,||||1,() 1.61811m A A A ρ∞⎡⎤===⎢⎥⎣⎦则而10、设||||||||||||||||H m m m x xa ⋅=⋅为自相容矩阵范数，则是与相容的向量范数 ( )（四）一、判断题（40分）（对者打∨，错者打⨯）1、设矩阵n n A C ⨯∈，0A ≠且，2||()||1H H A A A A+=则.( )()H HB A A A A+=⇒HBB =⇒2||||()B B ρ=则；2B B =⇒01B ⇒的特征值为或者0A ≠⇒()1B ρ=2、设m nA R⨯∈的奇异值为12n σσσ≥≥≥ ，则2221||||ni i A σ==∑. ( )3、设n n A C ⨯∈，且有某种算子范数||||⋅，使得||||1A <，则11||()||1||||E A A -->-,其中E 为n 阶单位矩阵. ( )111()()()()E E A E A E A A E A ---=--=---⇒11()()E A E A E A ---=+-⇒11||()||||()||E A E A E A ---=+-1||||||||||()||E A E A -≤+-⇒1||||1||()||1||||1||||E E A A A --≤=--4、设2H A E uu =-(其中，E 为n 阶单位矩阵，2||||1n u C u ∈=且)，则2||||m A =( )(2)H H H A E u u =- (2)H H E uu =-2HE uu =-A =(2)(2)H H H A A E u u Eu u =--224H H H HE u u u u u u u u E=--+=2||||mA n∴5、设12342468111A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A 的M -P 广义逆A +的秩()1rank A +=. ( ) 6、若A 为列满秩矩阵，则H H A A A 1)(-既是A 的左逆又是A 的M -P 广义逆A +. ( )7、设n εεε,,,21 线性空间n V 的一组基，n n n V x x x x ∈++=εεε 2211，则.)0(||||||||||2222211≥++=i n n k x k x k x k x 是n V 上向量x 的范数. ( )8、设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=01821022330A ，则A 有三个实特征值. ( ) 9、设G 为矩阵()m n r A C r n ⨯∈<的广义逆A -，A BD =为A 的最大秩分解，则r DGB =2||||. ( )10、设)1()(>∈=⨯n C a A n n ij 为严格对角占优矩阵，),,,(22nn ii a a a diag D =，A DE B 1--=(E 为n 阶单位矩阵)，则B 的谱半径1)(≥B r . ( ) （五）1、A n 为阶实对称矩阵，nR x 对中的列向量，||x |Ax =定义, ||x ||x 则为向量 的范数. ( )因为非负性不成立，故结论错误。

严格对角占优矩阵定义矩阵是数学中的一种重要工具，被广泛应用于各个领域，如物理、工程、计算机科学等。

其中，严格对角占优矩阵是一种非常特殊的矩阵，具有很多重要的性质和应用。

本文将介绍严格对角占优矩阵的定义、性质和应用，并提供一些实例来帮助读者更好地理解和应用这种矩阵。

一、严格对角占优矩阵的定义严格对角占优矩阵是指矩阵的对角线元素绝对值大于非对角线元素绝对值之和的矩阵。

具体来说，设矩阵A的大小为n×n，即A=[aij]n×n，其中i和j分别表示行和列的下标，那么A是严格对角占优的，当且仅当：|aii| > ∑|aij| (j≠i)其中，∑|aij|表示对于每个i，将aij的绝对值相加得到的总和。

如果A是对角占优矩阵，即|aii| ≥∑|aij| (j≠i)，则A不是严格对角占优矩阵。

二、严格对角占优矩阵的性质严格对角占优矩阵具有很多重要的性质，这些性质使得它在数学和应用中都有着广泛的应用。

下面我们将介绍一些重要的性质。

1.严格对角占优矩阵的逆矩阵存在且唯一。

如果A是严格对角占优矩阵，那么它的逆矩阵A-1也存在且唯一。

证明如下：由于A是严格对角占优矩阵，所以|aii| > ∑|aij| (j≠i)，即：|aii| > |ai1| + |ai2| + ... + |ai(i-1)| + |ai(i+1)| + ... + |ain|将上式移项并除以|aii|，得到：1 > |ai1|/|aii| + |ai2|/|aii| + ... + |ai(i-1)|/|aii| + |ai(i+1)|/|aii| + ... + |ain|/|aii|因为|aij|/|aii| < 1，所以|ai1|/|aii| + |ai2|/|aii| + ... + |ai(i-1)|/|aii| +|ai(i+1)|/|aii| + ... + |ain|/|aii| < n-1因此，1/(n-1) < 1/|aii|，即|aii| < n-1。

第42卷第8期 西南师范大学学报（自然科学版）Vol.42 No.8 Journal of Southwest China Normal University(Natural Science Edition)2017年8月Aug.2017DOI: 10. 13718/1. cnki. xsxb. 2017. 08. 008最终严格对角占优矩阵A+||A- 1 ||z的上界序列^赵建兴贵州民族大学数据科学与信息工程学院，贵阳550025摘要：针对逆矩阵的无穷大范数的上界估计问题，利用已有严格对角占优矩阵的逆矩阵的无穷大范数的上界，给出最终严格对角占优矩阵A M ||A1 ||b的上界序列，改进了某些已有结果.数值算例显示所得上界序列是单调递 减的，且在某些情况下能达到真值.关键词：对角占优；逆矩阵（范数（上界（序列中图分类号：O151.21 文献标志码：A 文章编号：1000 - 5471(2017)08 -0042 -04系数矩阵A的条件数C〇n d(A) -||A IU •||A-1I U对线性方程组A x -fc的迭代解法的稳定性有重 要影响.在求解线性方程组之前，若能对C〇n d(A)进行计算或估计，将对选择应用什么算法有重要意义[1%2].确定I I A I U是容易的，但是确定|| A%1I U往往很困难.自文献[3]给出|| A%1I U的第一个上界 估计式以来，关于严格（双）对角占优矩阵[3%6]、弱链对角占优矩阵[7%8]、严格a-对角占优矩阵[9%10]JN e kra so v矩阵[11%12]等非奇异H-矩阵类的逆的无穷大范数的估计已有很多结果，但在实际问题中，有时需 要计算或估计的矩阵A往往不是非奇异矩阵.就目前资料看，对该类矩阵逆的无穷大范数估计的研究 才刚刚开始，仅有文献[3]对此问题进行了初步的探索，这些不足造成了矩阵理论的不完备，从而使其应 用受到了限制.本文研究最终严格对角占优矩阵A的|| A%1I U的估计问题，并给出其新的上界估计式.1 预备知识用 #"><"(!"><")表示 … 阶复（实）矩阵集（… =2)，令 N- .，2,…，r a}•设 A- [,] " #"x"，n(A) -B1av1，* "E1 (A) —H1(A)，ht(A)—B j a，>j h,(A) =B11，D — 2，…，w.j,i,-11an1j-i+1定义1[12]设A- [a,] " #"x"，如果对任意i"N，均有1a… |>h(A)，则称A为严格对角占优矩阵；如果对任意i "N，均有1a…|>h i(A)，则称A e N e k r a s o v矩阵；如果存在正对角矩阵X，使得A X为严 格对角占优矩阵，则称A为非奇异矩阵.定义2[13]设A -J—B，其中^为复数，J为单位矩阵，B为复矩阵.如果存在正整数々使得A—砍为严格对角占优矩阵，则称A称为最终严格对角占优矩阵（S D D3)，简记为A "S D D3.注1由文献[3]知，严格对角占优矩阵为N e kra so v矩阵，N e kra so v矩阵为非奇异W-矩阵；最终严 格对角占优矩阵不属于非奇异H-矩阵.对于严格对角占优矩阵义的|| A%1I U的上界估计，文献[]给出如下结果：设A为严格对角占优矩 "则①收稿日期：2016 - 09 - 25基金项目：国家自然科学基金项目（11501141)贵州省科学技术基金项目（黔科合J字[2015]2073号）（贵州省教育厅科技拔尖人才支持项目（黔教合K Y字[2016]066号）作者简介：赵建兴（1981-)，男，山东济宁人，副教授，博士，主要从事数值代数的研究.第#期赵建兴：最终严格对角占优矩阵A D || A 一>的上界序列43A > b ； m in { | \ — rl (A ')]i"N(1)对于N e k ra s o v 矩阵A 的|| A -1 || b 的上界估计，文献[12]给出如下结果：设A 为N e k ra s o v 矩阵，则A；maxtt (A )"N || — hz (A )(2)i—i其中 21 (A ) — 1，2D (A ) — B I ay ZJ (A ) = 1，i — 2，dpW —1 i 反力i对于（1)式和（2)式，文献）2]给出如下比较定理：定理1[12]设A 为严格对角占优矩阵，则m ax 1 ^Z：(A))(.)^1一^^i "N \ a d | % hD A )m in { | a d 1% r (A ；；的上界 计，[%3*给出 如 ：11 sk —1I +sk —2B =----=Bk —1m in { 7 —(逆'卜 r (皮）.i"N 1 '对于最终严格对角占优矩阵A 的|| A -1定理2[13]如果存在正整数k 使得A —I — B " S D D 3，则|| A —1 l U ;2 主要结果下面利用严格对角占优矩阵逆的无穷大范数的上界，给出最终严格对角占优矩阵A M I I A -1界序列.定理3 如果存在正整数k 使得A — I —B " S D D 3，则；|| sk —1I +sk —2B =----h B t —z i (sk I — B k)m 0x | 7k —(B 4) h h d —BO的上3)证由A " S D D 3知存在正整数k 使得7I — B *为严格对角占优矩阵，因此7I — B *非奇异.又因为sk I B - — ( sI — B )( sk —1I = sk —2B =----=5B k —2 +Bk所以此(I — B )(sk I — Bk )—1( sk —11 = sk —2 B =----= sBk —2 = Bk —1)A —对s I — B *应用（2)式得;|| (I —B O -H /-I + sk -2B =----=5B k —2 +B t —1) || b ；|| ( sk I — B k )—1 | b || sk —1I =sk —2B =-----= sBk —2 = B —1 | b(k r Dk、—i ii z z D (sk I — B k)(s I B ) 11 b ; m0X | sk — B )D 卜 h (I — B 4)4)(5)由（4)式和（5)式可得（3)式成立.下面给出定理2与定理3的比较定理：定理4 若存在正整数k 使得A — I — B " S D D 3，则z i( sk I — B k)lI + sk —2B =----=Bk:a x;1I + sk —2B =----h B t —i"N | sk — (B *)D | —h d — B *) \ m in { | sk — (B *)D | —rD (B k)证 由A " SDD 3知存在某个正整数k 使得s I — B 4为严格对角占优矩阵.对s I —B 4*用定理1得Zi (k I —B k;1m e N X s—B )—h s —B ) ； m i n {| sk — (B t )D 卜 Hi (B O :i"N又|| sk —I +s *—2B =…+B t —1 lU =0,显然结论成立.注2 由定理4知，当A " SGD 3时，由定理3得到的3数值算例下面给出两个数值算例来验证第二部分的结果.的上界 于由 理2的上界.44西南师范大学学报（自然科学版)h ttp：//第42卷例1设「3 —1一1一11一1*1 —一1一1 3 —115一1一1一1一1一1易知A1不是严格(双）对角占优矩阵、弱链对角占优矩阵、严格a-对角占优矩阵及N e k ra s o v矩阵，故不能用文献[3—12]的相关结果估计HA11I U.令*1 =5.—51，取々= 1，…，15,利用M A T L A B(R2009a)软件计算知对任意々 = 2,…，15, 5.—坎均是严格对角占优矩阵，故*1 "S_D_D3.由定理3得到的数值结果见表1.事实上，I I A11I I b= 0. 666 7.表1 11*/ I Z的上界序列々I*^I b;々I*11I b;々=20. 908 5々=80. 667 8々=30. 758 1々=90.667 1々=40. 707 7々=100. 666 8々=50. 683 5々=110.666 7々=60. 673 5々=150.666 7々=70. 669 4例2 设3.9 一1一1一11 5.9 11一1*2 =一1一13. 9—11 5.9 一1一1 一1 一1 一1 C.9易知*2不是严格(双）对角占优矩阵、弱链对角占优矩阵、严格a-对角占优矩阵及N e k ra s o v矩阵，故不能用文献[3 —12]的相关结果估计||*r || _令*2 = 5. —战，取々=1，…，10,利用M A T L A B(R2009a)软件计算知对任意々 = 2,…，10, 5.—氏々均是严格对角占优矩阵.由定理3得到的数值结果见表2.事实上，||A71 ||b— 0.465 7$表2 l U^I U的上界序列々々=2々=3々=4々=5々=6*2 1|b ;々11*一1lib 0. 520 9々=70.465 8 0. 477 2々=80.465 7 0. 468 2々=90.465 7 0. 466 3々=100.465 7 0. 465 8注3 由表1和表2知()由定理3分别得到的|| AT1 ||b，z = 1，2的上界序列是单调递减的，且在某些情况下可以达到 真值.(ii)由文献）3]知*1不是H-矩阵，故由例1知定理3可以对某些非H-矩阵的逆矩阵的无穷大范数 进行估计，因此定理3的适用范围更广.参考文献：[1] VARGA R S. 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