利用空间向量证明平行垂直关系（讲案）【教学目标】一、方向向量与法向量概念【知识点】1.直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量。
注：（1）在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量。
（2）在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，在直线上任取两点，所形成的向量即为该直线的方向向量，可参与向量运算或向量的坐标运算。
（3）直线的方向向量是非零向量且不唯一。
⊥，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量。
2.平面的法向量：直线l a（注意：平面的法向量是非零向量且不唯一）3.确定平面的法向量的方法（1）直接法：几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量，即观察是否有垂直于平面的向量，若有，则此向量就是法向量。
（2）待定系数法：几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：（i ）设出平面的法向量为(,,)n x y z =（ii ）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标a 111(,,)a b c =，222,,)(b a b c =（iii ）根据法向量的定义建立关于,,x y z 的方程0n a n b ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ；（iv ）解方程组，取其中的一个解，即得法向量．由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量． 4. 空间位置关系的向量表示12,n n2l 1212//(n n n kn k R ⇔=∈2l ⊥12120n n n n ⊥⇔⋅=n ， 的法向量为m l α0n m n m ⊥⇔⋅=α⊥//()n m n km k R ⇔=∈的法向量分别为,n mβ //()n m n km k R ⇔=∈β⊥0n m n m ⊥⇔⋅=【例题讲解】★☆☆例题1．（2020•和平区）若(1A -，0，1)，(1B ，4，7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为( ) A ．(1，2，3) B ．(1，3，2) C ．(2，1，3) D ．(3，2，1)★☆☆练习1．已知直线1l 的方向向量(2,,1)m m =，2l 的方向向量1(1,,2)2n =，且21l l ⊥，则(m = )A ．8B ．8-C ．1D ．1-★☆☆练习2．直线1l 、2l 的方向向量分别为(1a =，2，2)-，(2b =-，3，2)，则( ) A ．12//l l B ．1l 与2l 相交，但不垂直C ．12l l ⊥D ．不能确定★☆☆练习3．若直线l 的方向向量为(2v =，1，3)，且直线l 过(0A ，y ，3)，(1B -，2-，)z 两点．则y = ，z = ．★☆☆练习4．已知点(1A ，2-，0)和向量(3,4,6)a =-，||2||AB a =，且AB 与a 方向相反，则点B 坐标为( )A ．(7-，6，12)B ．(7，10-，12)-C ．(7，6-，12)D ．(7-，10，12)★☆☆例题2．已知(2AB =，2，1)，(4AC =，5，3)，则下列向量中是平面ABC 的法向量的是( ) A ．(1，2，6)-B ．(2-，1，1)C ．(1，2-，2)D ．(4，2-，1)★☆☆练习1．（2020•聊城）若直线l 的方向向量为m ，平面α的法向量为n ，则能使//l α的是( ) A ．(1m =，2，1)，(1n =，0，1) B ．(0m =，1，0)，(0n =，3，0)C ．(1m =，2-，3)，(2n =-，2，2)D ．(0m =，2，1)，(1n =-，0，1)-★☆☆练习2．（2020秋•和平区）如图，在单位正方体1111ABCD A B C D -中，以D 为原点，DA ，DC ，1DD 为坐标向量建立空间直角坐标系，则平面11A BC 的法向量是( )A ．(1，1，1)B ．(1-，1，1)C ．(1，1-，1)D ．(1，1，1)-★★☆练习3．（2020•辽宁）已知平面α上三点(3A ，2，1)，(1B -，2，0)，(4C ，2-，1)-，则平面α的一个法向量为( )A ．(4，9-，16)-B ．(4，9，16)-C ．(16-，9，4)-D ．(16，9，4)-★☆☆例题3．直线l 的方向向量(1a =，3-，5)，平面α的法向量(1n =-，3，5)-，则有( ) A ．//l α B ．l α⊥C ．l 与α斜交D ．l α⊂或//l α★★☆练习1．（2019•杨浦区）空间直角坐标系中，两平面α与β分别以1(2n =，1，1)与2(0n =，2，1)为其法向量，若l αβ=，则直线l 的一个方向向量为 （写出一个方向向量的坐标）★☆☆练习2．若直线l 的方向向量为(4，2，)m ，平面α的法向量为(2，1，1)-，且l α⊥，则m = ． ★☆☆练习3．（2020•菏泽）设平面α的法向量为(1，2-，)λ，平面β的法向量为(2，μ，4)，若//αβ，则(λμ+= ) A ．2 B ．4C ．2-D ．4-二、利用空间向量证明平行关系【知识点】（1）线线平行：若空间不重合两条直线,a b 的方向向量分别为,a b ，则////a b a b ⇔⇔()a b R λλ=∈； （2）线面平行：若直线a 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，且a α⊄，则////a a αα⇔0a n a n ⇔⊥⇔⋅=；（3）面面平行：若空间不重合的两个平面,αβ的法向量分别为a b ,，则////a b αβ⇔⇔a b λ=.【例题讲解】★☆☆例题1．如图，在长方体1111OAEB O A E B -中，||3OA =，||4OB =，1||2OO =，点在棱1AA 上，且12AP PA =，点S 在棱1BB 上，且12SB BS =，点Q 、R 分别是11O B 、AE 的中点，求证：//PQ RS ．★☆☆例题2．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，E 是PC 的中点，作EF PB ⊥交PB 于点F ．建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量方法解答以下问题： 求证：//PA 平面EDB .★☆☆练习1. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12AD AA ==，6AB =，E 、F 分别为11A D 、11D C 的中点．分别以DA 、DC 、1DD 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -． （1）求点E 、F 的坐标； （2）求证：1//EF ACD 平面．P★★☆练习2. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，//AB CD ，且1AB =，2AD CD ==，E 在线段PD 上．若E 是PD 的中点，试证明：//AE 平面PBC .★☆☆例题3．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，求证：平面11//AB D 平面1BDC ．★☆☆练习1. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F 分别是1BB ，1DD 的中点，求证： （1）1//FC 平面ADE ； （2）平面//ADE 平面11B C F ．★★☆练习2. 如图，已知棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N ，E ，F 分别是棱11A D ，11A B ，11D C ，11B C 的中点，求证：平面//AMN 平面EFBD ．三、利用空间向量证明垂直关系【知识点】（1）线线垂直：设直线，的方向向量分别为，，则要证明，只需证明，即。
空间向量的平行与垂直定理空间向量的平行与垂直定理是空间向量运算中的一条重要定理，它描述了空间中两个向量的平行和垂直关系。
在研究物理、几何和力学等领域时，我们经常需要判断两个向量之间的关系，这个定理就为我们提供了一个有力的工具。
我们来研究两个向量的平行性。
如果两个向量的方向相同或相反，那么它们是平行的。
也就是说，如果向量A和向量B的方向相同或相反，我们可以写成A∥B。
这种平行关系可以用向量的数量积来判断。
具体来说，如果两个向量A和B的数量积等于它们的模长的乘积，即A·B=|A||B|，那么向量A和向量B是平行的。
接下来，我们来研究两个向量的垂直性。
如果两个向量的数量积等于0，那么它们是垂直的。
也就是说，如果向量A和向量B的数量积为0，我们可以写成A⊥B。
这种垂直关系可以用向量的数量积来判断。
具体来说，如果两个向量A和B的数量积等于0，即A·B=0，那么向量A和向量B是垂直的。
空间向量的平行与垂直定理在几何和物理问题中有广泛的应用。
例如，在平面几何中，我们经常需要判断两条线段的平行性或垂直性。
根据空间向量的平行与垂直定理，我们可以通过计算两个向量的数量积来判断它们之间的关系。
这样，我们就可以得到准确的结论，避免了繁琐的几何证明过程。
在物理学中，空间向量的平行与垂直定理也具有重要的应用价值。
例如，在力学中，我们经常需要计算物体受力的情况。
如果两个力的方向相同或相反，那么它们是平行的；如果两个力的数量积为0，那么它们是垂直的。
根据空间向量的平行与垂直定理，我们可以通过计算向量的数量积来判断力的方向和性质，从而进行精确的力学分析。
除了在几何和物理中的应用，空间向量的平行与垂直定理还可以应用于其他领域。
例如，在计算机图形学中，我们经常需要计算向量的平行和垂直关系，以确定图形的方向和位置。
在工程学中，空间向量的平行与垂直定理可以应用于结构分析和力学设计等方面。
空间向量的平行与垂直定理是空间向量运算中的一条重要定理，它描述了空间中两个向量的平行和垂直关系。
第63题 空间平行关系的证明I ．题源探究·黄金母题【例1】如图，在空间四边形ABCD 中，,,E F G 分别是,,AB BC CD 的中点，求证：（1）BD P 平面EFG ； （2）AC P 平面EFG ；．【解析】（1）∵E F 、分别为BC CD 、的中点， ∴EF 为BCD ∆的中位线，∴EFBD ，∵EF ⊂平面EFG ，BD ⊄平面EFG ， ∴BD P 平面EFG ．（2）∵G F 、分别为AD CD 、的中点 ∴GF 为ACD ∆的中位线，∴GFAC ．∵GF ⊂平面EFG ，AC ⊄平面EFG ， ∴AC P 平面EFG ．II ．考场精彩·真题回放【例2】【2017课标II 文18】如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ,01,90.2AB BC AD BAD ABC ==∠=∠= （1）证明：直线//BC 平面PAD ;（2）若△PAD 面积为P ABCD -的体积.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解析】分析：（1）先由平几知识得BC ∥AD ，再利用线面平行判定定理证结论，（2）取AD 的中点M ，利用面面垂直性质定理证明PM ⊥底面ABCD ，得四棱锥的高，再通过平几计算得底面直角梯形面积，最后代入椎体体积得体积. 解析：（1）在平面ABCD 内，因为∠BAD=∠ABC=90°，所以BC ∥AD.又BC PAD ⊄平面，AD PAD ⊂平面，故BC ∥平面PAD.（2）取AD 的中点M ，连结PM ，CM ，由12AB BC AD ==及BC ∥AD ，∠ABC=90°得四边形ABCM 为正方形，则CM ⊥AD.因为侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，平面PAD∩平面ABCD=AD ，所以PM ⊥AD ，PM ⊥底面ABCD ，因为CM ABCD ⊂底面，所以PM ⊥CM.，设BC=x ，则CM=x ，CD=，PM=，PC=PD=2x.取CD 的中点N ，连结PN ，则PN ⊥CD ，所以因为△PCD 的面积为，所以，解得x=-2（舍去），x=2，于是AB=BC=2，AD=4，PM=，所以四棱锥P-ABCD 的体积.【点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.【例3】【2016年全国Ⅲ卷】如图，四棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABCD ，AD BC ，3AB AD AC ===，4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N为PC 的中点．（1）证明MN P 平面PAB ；（2）求四面体N BCM -的体积. 【解析】（1）由已知得232==AD AM ，取BP 的中点T ，连接TN AT ,，由N 为PC 中点知BC TN //，221==BC TN ．又BC AD //，故TN AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是MNAT ．因为⊂AT 平面PAB ，⊄MN 平面PAB ，所以//MN 平面PAB ．（2）因为⊥PA 平面ABCD ，N 为PC 的中点，所以N 到平面ABCD 的距离为PA 21． 取BC 的中点E ，连结AE . 由3==AC AB 得BCAE ⊥，522=-=BE AB AE ．由BC AM ∥得M 到BC 的距离为5，故525421=⨯⨯=∆B C M S ， 所以四面体B C M N -的体积354231=⨯⨯=∆-PA S V BCM BCM N ． 【例4】【2016年江苏高考】如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D E ，分别为AB BC ，的中点，点F 在侧棱1B B 上，且11B D A F ⊥ ，1111AC A B ⊥.求证：（1）直线DE P 平面11AC F ； （2）平面1B DE ⊥平面11AC F ．【解析】1）在直三棱柱111ABC A B C -中，11ACAC ．在三角形ABC 中，因为,D E 分别为,AB BC 的中点，所以//DE AC ，于是11DEAC ．又因为DE ⊄平面1111,AC F AC ⊂平面11AC F ， 所以直线DE平面11AC F ．（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1111AA ⊥平面A B C ． 因为11AC ⊂平面111A B C ，所以111AA ⊥A C ． 又因为1111111AC A B AA ABB A ⊥⊂，平面，1111A B ABB A ⊂平面，1111A B AA A =，所以11AC ⊥平面11ABB A ，因为1B D ⊂平面11ABB A ，所以111A C B D ⊥． 又因为111111B D A F AC AC F ⊥⊂，平面，111A F AC F ⊂平面，1111AC A F A =，所以111C F B D A ⊥平面．因为直线11B D B DE ⊂平面， 所以1B DE 平面11AC F ⊥平面． 精彩解读【试题来源】人教版A 版必修二第79页复习参考题B 组第2题．【母题评析】本题是以正方体为载体考查空间直线与平面的垂直关系，这种题型能充分考查学生的逻辑思维能力与空间想象能力，以及综合分析与解决问题的能力．这在高考中常常出现在解答题的第1小题位置．【思路方法】两平面平行（或垂直）问题常转化为直线与直线平行（或垂直），而直线与平面平行（或垂直）又可转化为直线与直线平行（或垂直），所以在解题时应注意“转化思想”的运用。
专题十二空间直线、平面的平行知识精讲一知识结构图二.学法指导1．空间两条直线平行的证明一是定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；二是利用平面图形的有关平行的性质，如三角形中位线，梯形，平行四边形等关于平行的性质；三是利用基本事实4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．2．求证角相等一是用等角定理；二是用三角形全等或相似．3．利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行，关键是寻找平面内与已知直线平行的直线．4．证线线平行的方法常用三角形中位线定理、平行四边形性质、平行线分线段成比例定理、基本事实4等．5.线面平行的性质和判定经常交替使用，也就是通过线线平行得到线面平行，再通过线面平行得线线平行．利用线面平行的性质定理解题的具体步骤：(1)确定(或寻找)一条直线平行于一个平面；(2)确定(或寻找)过这条直线且与这个平行平面相交的平面；(3)确定交线；(4)由性质定理得出线线平行的结论．6.平面与平面平行的判定方法：(1)定义法：两个平面没有公共点．(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面．(3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β.(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.7.应用平面与平面平行性质定理的基本步骤：8.证明直线与直线平行的方法(1)平面几何中证明直线平行的方法．如同位角相等，两直线平行；三角形中位线的性质；平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行等．(2)基本事实4.(3)线面平行的性质定理． (4)面面平行的性质定理． 9. 证明直线与平面平行的方法：(1)线面平行的判定定理．(2)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．三.知识点贯通知识点1 基本事实4、等角定理的应用1．基本事实4文字表述：平行于同一条直线的两条直线平行．这一性质叫做空间平行线的传递性． 符号表述：⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b b ∥c ⇒a ∥c . 2．等角定理如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 例题1.如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，M 1分别是棱AD 和A 1D 1的中点．(1)求证：四边形BB 1M 1M 为平行四边形； (2)求证：∠BMC ＝∠B 1M 1C 1.【解析】 (1)∵ABCD A 1B 1C 1D 1为正方体．∴AD ＝A 1D 1，且AD ∥A 1D 1，又M，M1分别为棱AD，A1D1的中点，∴AM＝A1M1且AM∥A1M1，∴四边形AMM1A1为平行四边形，∴MM1＝AA1且MM1∥AA1.又AA1＝BB1且AA1∥BB1，∴MM1＝BB1且MM1∥BB1，∴四边形BB1M1M为平行四边形．(2)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1∥BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1∥CM.∵∠BMC和∠B1M1C1方向相同，∴∠BMC＝∠B1M1C1.知识点二直线与平面平行的判定直线与平面平行的判定例题2：如图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：(1)EH∥平面BCD；(2)BD∥平面EFGH.【解析】(1)∵EH为△ABD的中位线，∴EH∥BD.∵EH⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，∴EH∥平面BCD.(2)∵BD∥EH，BD⊄平面EFGH，EH⊂平面EFGH，∴BD∥平面EFGH.知识点三直线与平面平行的判定与性质直线与平面平行的判定及性质例题3已知直线a，l，平面α，β满足α∩β＝l，a∥α，a∥β.求证：a∥l.【证明】如图所示，过a作平面γ交平面α于b，∵a∥α，∴a∥b.同样过a作平面δ交平面β于c，∵a∥β，∴a∥c.则b∥c.又∵b⊄β，c⊂β，∴b∥β.又∵b⊂α，α∩β＝l，∴b∥l.又∵a∥b，∴a∥l.知识点四平面与平面平行的判定1．平面与平面平行的判定(1)文字语言：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．(2)符号语言：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α.(3)图形语言：如图所示．例题4．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、E、F、N分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点．求证：(1)E、F、B、D四点共面；(2)平面MAN∥平面EFDB.【解析】(1)连接B1D1，∵E、F分别是边B1C1、C1D1的中点，∴EF∥B1D1.而BD∥B1D1，∴BD∥EF.∴E、F、B、D四点共面．(2)易知MN∥B1D1，B1D1∥BD，∴MN∥BD.又MN⊄平面EFDB，BD⊂平面EFDB.∴MN∥平面EFDB.连接MF.∵M、F分别是A1B1、C1D1的中点，∴MF∥A1D1，MF＝A1D1.∴MF∥AD且MF＝AD.∴四边形ADFM是平行四边形，∴AM∥DF.又AM⊄平面BDFE，DF⊄平面BDFE，∴AM∥平面BDFE.又∵AM∩MN＝M，∴平面MAN∥平面EFDB.知识点五平面与平面平行的性质1．平面与平面平行的性质定理(1)文字语言：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行．(2)符号语言：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.(3)图形语言：如图所示．(4)作用：证明两直线平行．例题5 如图，已知平面α∥平面β，P ∉α且P ∉β，过点P 的直线m 与α、β分别交于A 、C ，过点P 的直线n 与α、β分别交于B 、D ，且P A ＝6，AC ＝9，PD ＝8，求BD 的长．【解析】 因为AC ∩BD ＝P ，所以经过直线AC 与BD 可确定平面PCD ，因为α∥β，α∩平面PCD ＝AB ，β∩平面PCD ＝CD ，所以AB ∥CD .所以P A AC ＝PB BD ，即69＝8－BDBD . 所以BD ＝245.五 易错点分析易错一 等角定理的运用例题5.已知角α和角β的两边分别平行且一组边方向相同，另一组边的方向相反，若α＝45°，则β＝ . 【答案】135°【解析】由等角定理可知β＝135°. 误区警示利用等角定理求角的大小，应注意两角的边的方向之间的关系。
