倍数问题☜知识要点倍数问题分为两大类:和倍问题、差倍问题。
一、和倍问题：1.概念：已知两个数的和以及这两个数之间的倍数关系，求这两个数。
2.四个基本量：和、倍数、大数、小数3.基本公式：小数＝和÷（倍数＋1）大数＝小数×倍数或者大数＝和－小数二、差倍问题：1.概念：已知两个数的差以及这两个数之间的倍数关系，求这两个数。
2.四个基本量：差、倍数、大数、小数3.基本公式：小数＝差÷（倍数－1）大数＝小数×倍数或者大数＝小数＋差☜精选例题【例1】：一个长方形木板，长是宽的2倍，周长是54厘米，这个长方形木板的长和宽分别是多少厘米？☝思路点拨：根据题目可以直接看出长和宽的倍数关系，而需要注意的是，这里的54厘米并不是长与宽的和，因为，长方形的周长＝（长＋宽）×2，所以本题中的54厘米里面包含了两个长与宽的和，所以长与宽的和：54÷2＝27（厘米），然后就可以利用和差关系求解。
☝标准答案：和：54÷2＝27（厘米）宽：27÷（2＋1）＝9（厘米）长：9×2＝18（厘米）答：长是18厘米、宽是9厘米。
活学巧用1.四年级甲班和乙班共为“希望工程”捐书120册，甲班的册数是乙班的3倍，那么甲班和乙班各捐书多少册？2.果园种植的苹果树比梨树共249棵，种的苹果树是梨树的2倍，苹果树和梨树各有多少棵？3.牧场里有马、羊、奶牛共1200只，其中马的数量是羊的3倍，奶牛的数量是羊的2倍。
求马、羊、奶牛各有多少只？【例2】：两个仓库，共有存粮153吨，第二个仓库的粮食是第一个仓库的2倍还多6吨，那第一个仓库和第二个仓库原来分别有多少吨粮食？☝思路点拨：知道和为153吨，知道倍数为2倍还有多出的量为6吨，用和倍关系计算。
小数=（和—多出的量）÷（倍数+1）。
☝标准答案：和：153－6＝147（吨）第一个仓库：147÷（2＋1）＝49（吨）第二个仓库：153－49＝104（吨）答：第一个仓库有49吨，第二个仓库有104吨。
和差倍问题是指已知几个数的和、差或它们的倍数关系（其中的两项），求这1几个数的应用题。
包括和倍问题、差倍问题、和差问题这三类应用题，及可以转2化为这三类应用题的比较复杂的倍数问题。
这几类应用题有比较相似的数量关系3和解题思路，列方程来解非常简单，但四年级孩子没有学过方程法解题，需要根4据数量关系逆向推理，列综合算式解答。
教学中常常采用画线段图的方法来分析5各种数量间的关系，帮助孩子理解题意，寻找解题途径。
6解题关键是，要在题目中确定一个数量为标准（常以最小数为标准，即1倍量），7把标准量看作一份，再根据其它数量与标准量的倍数关系，找出几个数量的和、8差或（和+差）、（和-差）对应的份数，通过除法计算先求出标准量，再算出其9它相关数量。
10涉及两个数的和差倍问题，最基本数量关系有以下3组：11①和倍问题：已知大小两个数的和及它们的倍数关系，求这两个数。
12和÷（倍数+1）=小数；小数×倍数=大数。
13②差倍问题：已知大小两个数的差和它们的倍数关系，求这两个数。
14差÷（倍数-1）=小数；小数×倍数=大数。
15③和差问题：已知大小两个数的和与两个数的差，求这两个数。
16（和+差）÷2=大数；（和-差）÷2=小数。
17在二、三年级奥数课堂已经学过简单的和差倍问题，本册教材《奥赛天天练》18用四讲内容来分类讲述复杂一点的和差倍问题：第7讲《和倍问题》、第8讲《差19倍问题》、第9讲《和差问题》、第10讲《复杂的倍数问题》。
20《奥赛天天练》第7讲，模仿训练，练习121【题目】：22一个长方形的周长是36厘米，长是宽的2倍，这个长方形的面积是多少平方23厘米？24【解析】：25先求出长方形长和宽的和：36÷2=18（厘米）；26把长方形的宽看作1份，长就是2份，长和宽的和对应的就是3份，所以长方27形的宽是：18÷（2+1）=6（厘米）；28长是：6×2=12（厘米）；29这个长方形的面积是：12×6=72（平方厘米）。
四年级奥数：倍数应用题某超市进货,进了一些白糖与红糖.已知白糖比红糖多220袋,当天卖出白糖60袋,红糖没人买,这时白糖的总袋数是红糖的3倍,求白糖和红糖各进货多少袋？【解析】从图3-3中可以看出,卖出60袋白糖后,白糖比红糖多的袋数正好是红糖的2份.可以先求出红糖.知识概述倍数问题就是已知两个数或几个数的和或差以及它们之间的倍数关系,求这两个数或几个数的问题.而解题的关键就是要确定1倍的量,其次要弄清具体数量之间的倍数关系,并确定这些倍数关系相对应的数量之间的和与差的大小,从而找到解题思路倍数关系基本常用公式如下： ①总和÷(几倍+1)= 较小数； ②两数差÷(几倍－1)= 较小数； ③(和+差)÷2＝ 较大数； ④(和－差)÷2＝较小数.例1掌握基本的和倍、差倍、和差的基本解法,学会处理多个量之间的和差倍问题,学会分析较为隐藏的和差倍问题,进一步掌握画线段图的方法,学会利用不变量进行分析的方法,根据数量关系逆向推理,列综合算式解答,找出几个数量的和、差或（和+差）、（和-差）对应的份数,通过除法计算先求出标准量,再算出其它相关数量.名师点题红糖：（220－60）÷（3－1）＝80（袋）白糖：80＋220＝300（袋）答：白糖进货300袋,红糖进货80袋.把一个减法算式里的被减数,减数与差相加,得数是592,已知减数比差的2倍还大2,问减数是多少？【解析】已知减数比差的2倍还大2,根据减法的运算关系我们又知：被减数＝减数+差,因此被减数必定比差的3倍还大2.根据三者的关系我们作图如图3-5,可以看出592包含了6份差和2个2,由此从592中减去2个2可以得到6份差,可以先求出差,那么减数也就迎刃而解了.差：(592－2－2)÷(1＋2＋3)＝98.减数：98×2＋2＝198.答：减数是198.在书架上摆放着三层书共275本,第三层比第二层的书的3倍多2本,第一层比第二层的2倍少3本,问：第三层摆放着多少本书？【解析】画线段图帮助讲解第二层：（275-2+3）÷（3+2+1）=46（本）第三层：46×3+2=140（本）答：第三层摆放着140本书【巩固拓展】1、在一个减法算式里,被减数、减数与差的和等于120,而减数是差的3倍,那么差等于多少？例2例3【解析】这是一个和倍问题.减数是差的3倍,那么被减数就是差的4倍,所以被减数、减数与差的和就是差的8倍,应该等于120,所以差＝120÷8＝15.120÷（1＋3＋1＋2）＝152、甲、乙、丙3数之和是183,乙比丙的2倍少4,甲比丙的3倍多7,求甲、乙、丙三数各是多少？我们把丙数看作一份,画出线段图如下：【解析】三个数的总和为：183+4-7=180,和对应的份数为：1+2+3=6.所以,一份数即丙数为：180÷6=30；乙数为：30×2-4=56；甲数为：30×3+7=97.3、两组学生参加义务劳动,甲组学生人数是乙组的3倍,而乙组的学生人数比甲组的3倍少40人,求参加义务劳动的学生共有多少人？【解析】甲=3×乙而乙=3×甲-40人,通过线段图很容易看出,40人对应的为“9×乙-乙”因此乙：40÷（9-1）=40÷8=5人甲：5×3=15人甲、乙、丙三所小学的学生人数的总和为1999.已知甲校学生人数的2倍等于乙校学生人数减去3人也等于丙校学生人数加上4人都相等.问甲、乙、丙各校学生人数是多少？【解析】把甲校学生人数作为标准,画出线段图：把甲校人数看作1份,乙校人数就是2份多3,丙校就是2份少4.我们把乙校人数减去3,丙校人数加上4,都凑成2份,则总人数变成：1999-3+4=2000（人）.所以甲校人数为：2000÷（1+2+2）=400（人）；乙校人数为：400×2+3=803（人）；丙校人数为：400×2-4=796（人）.【巩固拓展】商店运来橘子、苹果、香蕉共53千克,橘子的重量是苹果的3倍少3千克,香蕉的重量是苹果的2倍多2千克,橘子重多少千克？【解析】苹果：（53+3-2）÷（1+3+2）=54÷6=9千克橘子：9×3-3=24千克(第五届“中环杯”四年级)甲筐中有苹果400个,乙筐中有苹果240个,现在从两筐中取出数目相等的苹果,剩下苹果的个数,例1例2甲筐恰好是乙筐的5倍,甲筐剩下的苹果是_____个.【解析】根据差不变原理,之前的差与取出后的差相同,400-240=160这时再来做差倍问题160÷（5-1）=40个乙还剩40个,甲还剩：40×5=200个【巩固拓展】（第12届中环杯初赛）有A、B、C三辆货车,C车装的货物是B车的一半,B车装的货物比A车少180千克,A车装的货物是C车的4倍.A、B两辆车共装货物_____千克.【解析】不难发现,在本题中,设C车货物为标准量比较合适.由于A车是C车的4倍,B车是C车的2倍,而A车比B车多180千克,可知C车为：180÷（4-2）=90（千克）A、B两车共为：90×（2+4）=540（千克）亚洲杯决赛中,中国记者的数量是外国记者数量的3倍.比赛结束后中国记者有180人离场,外国记者有40人离场,剩下的中、外记者数量相等.原来中、外记者各有多少人？【解析】选外国记者数量为“1”,用一条小线段表示,如图：例3由线段图知,原来中国记者比外国记者多：18040140-=人,由两条小线段表示那么每条小线段表示：140270÷=人即外国记者原有70人,那么中国记者原有：703210⨯=人【巩固拓展】甲、乙两个数,如果甲数加上320就等于乙数,如果乙数加上460就等于甲数的3倍.求两个数各是多少？分析：用一条小线段表示甲数,如图根据线段图可以看出：320460780+=由两条小线段表示那么每条小线段表示：7802390÷=即甲为390,那么乙为：390320710+=例4有一堆黑白棋子,黑子个数是白子个数的2倍.现在从这堆棋子中,每次取出黑子4个、白子3个.若干次后白子取尽,而黑子还剩16个,原来黑、白棋子各有多少个？【解析】假设每次取出黑子4个、白子2个,由于黑子和白子原来是2倍关系,所以按照2倍关系取子最后剩下的子也必定是2倍关系.这样当黑子剩下16个时,白子剩下16÷2=8（个）,由于白子实际是每次拿3个且没有剩余的,所以剩下的8个白子实际经过8÷（4-3）=8（次）拿完.那么显而易见黑子和白子共拿了8次.黑子：16+8×4=48（个）,白子：48÷2=24（个）.答：原来黑棋子有48个,白棋子有24个.【巩固拓展】(第六届“中环杯”四年级复赛)某果园工人带一筐苹果和一筐梨去慰问住院病人,已知梨的个数是苹果的3倍,每次取出5个梨和2个苹果分给一个病人,最后还剩11个梨,苹果正好分完.那么,苹果有________个,梨有_________个.【解析】 11÷（2×3-5）=11（次）苹果：11×2=22（个）梨：22×3=66（个）四年级有4个班,不算甲班其余三个班的总人数是131人；不算丁班其余三个班的总人数是134人；乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1人,问这四个班共有多少人？ 【解析】用131＋134＝265,这是1个甲、丁和2个乙、丙的总和,因为乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1人,所以用265－1＝264就刚好是3个乙、丙的和,264÷3＝88,就是说乙丙的和是88,那么甲丁和是88＋1＝89,所以四个班的和是88＋89＝177人.（第13届中环杯初赛）养兔场有一些大兔子和小兔子,小兔子的数量是大兔子的4倍.过了一段时间后,一些小兔子长成了大兔子.结果有60只小兔子长成了大兔子,且这时大兔子和小兔子一样多.那么原来共有大兔子（ ）只 【解析】一段时间后,小兔子少了60只,大兔子多了60只;差为120,这120对应了原来大兔子的413-=倍;故原来大兔子的数目为120340÷=(只)例1例2有两个炮兵营参加军事演习,它们各准备了若干枚炮弹．开始一营比二营多准备了5 枚炮弹．后来因为演习需要,一营给了二营20 枚炮弹．这时二营炮弹数量就比一营的3 倍还多3 枚．一营最开始准备了几枚炮弹？【解析】根据线段图知,一营给二营20枚后,二营比一营多()2020535+-=枚又此时二营比一营的3倍还多3枚,如图根据线段图知,此时一营的两倍为：35332-=枚,那么一营的数量为：32216÷=枚,那么一营最开始有：162036+=枚（第11届中环杯决赛）有一笔奖金,要把它分成一等奖、二等奖和三等奖来颁发.每个一等奖的奖金是每个二等奖奖金的2倍,每个二等奖的奖金是每个三等奖奖金的2倍.如果一、二、三等奖各设置两人,那么,每个一等奖的奖金是616元.如果设置一个一等奖、两个二等奖、三个三等奖, 那么每个一等奖奖金是多少元？【解析】若一二三等奖各设置两人,设三等奖奖金是1份,那么二等奖奖金是2份,一等奖奖金为4份.所以1份是616÷4=154元,总奖金：154×（1+2+4）×2=2156元例3例4若设置一个一等奖,两个二等奖,三个三等奖,那么共4+2×2+3=11份, 1份是2156÷11=197元,那么一等奖的奖金为：196×4=784元小琪问陈老师今年多少岁,陈老师说：“当我像你这么大时,你才4岁；当你像我这么大时,我已经43岁了.”你能算出陈老师、小琪今年的年龄各是多少吗？【解析】两人的年龄差：（43-4）÷3=13（岁）小琪的年龄：13+4=17（岁）陈老师年龄：17+13=30（岁）答：陈老师今年的年龄是30岁,小琪17岁.甲乙两个书架,甲书架上书的册数是乙书架上的7倍,如果从甲书架上取出19册,而往乙书架上放15册,这时甲书架上的书的册数是乙书架上的3倍.甲乙两书架上原来各有书多少册？例5例6【解析】根据线段图,书架上的书调整后不难看出甲书架现有的书是乙书架的3倍,而乙书架上的书实际是原有书加上15册书后组成的.因此甲书架现在上面的书实际包含了3份乙书架原有的书和3×15=45（册）书,如果这些书再加上之前拿走的19册书就和甲书架原有的书册数相等了,从中不难看出3×15+19=64（册）书正好是4份乙书架原有的书.乙书架原有书：（3×15+19）÷（7-3）=16（册）甲书架原有书：16×7=112（册）答：甲书架原有书112册,乙书架原有书16册.1、用中国象棋的车,马,炮分别表示不同的自然数.如果：车÷马＝2,炮÷车＝4,炮－马＝56,那么“车＋马＋炮”等于多少？【解析】这是一个差倍问题.依题有,马是1倍,车是马的2倍,炮是车的4倍,所以炮与马的倍数差是（2×4－1）7倍,而炮与马的两数差是56,根据差倍问题的公式就可分别求出车、马、炮的值.56÷（8－1）＝8——马；8×2＝16——车16×4＝64——炮8＋16＋64＝88——车＋马＋炮车、马、炮的和是882、三个小组共有180人,一、二两个小组人数之和比第三小组多20人,第一小组比第二小组少2人,求第一小组的人数.【解析】要点：先把一,二小组看成一个整体！把第三小组看成一个整体,我们把这种方法叫“化三为二”即把三个问题转换成二个问题,先求出第一,二小组的人数,再求出第一小组的人数.这也是一个和差问题.解：（180＋20）÷2＝100（人）——第一,二小组的人数（100－2）÷2＝49（人）——第一小组的人数答：第一小组的人数是49人.3、两个自然数相除,商是4,余数是1.如果被除数、除数、商及余数的和是56,那么被除数等于多少？【解析】被除数＝除数×商＋余数,根据题意知被除数比除数的4倍还多1,且被除数与除数的和为：--=,画出线段图：5641515条小线段共为：51150-=每条小线段表示：50510÷=即除数为10,那么被除数为：511041-=4、如下图,4个一样大的长方形和1个小正方形拼成了1个大正方形.大正方形的面积是64平方分米,小正方形的面积是4平方分米,问长方形的宽是几分米？【解析】对64和4分解因数：64=8×8；4=2×2.所以,大正方形的边长为8,即长方形长与宽的和为8；小正方形的边长为2,即长方形长和宽的差为2.所以,长方形的宽为：（8-2）÷2=3（分米）.5、550是甲、乙、丙、丁4个数的和.如果甲数加上2,乙数减少2,丙数除以2以后,则4个数相等.求4个数各是多少？【解析】这四个数经过变化后都与丁相等,那么选取丁为“1”,用一条小线段表示,甲加上2与丁相等则甲原来比丁少2,乙减少2与丁相等则乙原来比丁多2,丙除以2与丁相等则丙原来是丁的2倍.如图：根据线段图可以看出,图中共有11125-+=+++=条小线段,共表示55022550那么每条小线段表示：5505110÷=即丁原来是110,那么甲为1102108⨯=+=,丙为：1102220-=,乙为11021126、某镇上有东西两个公交车站,东站有客车84辆,西站有客车56辆,每天从东站到西站有7辆车,从西站到东站有11辆车,几天后,东站车辆是西站的4倍？【解析】“每天从东站到西站有7辆车,从西站到东站有11辆车”,则每天东站增加（11-7=）4辆车,西站减少4辆车,但两站车辆总数不变为：84+56=140（辆）.要使东站车辆是西站车辆的4倍,西站只能有车辆：140÷（4+1）=28（辆）.用西站需要减少的总车辆数除以每天减少的车辆数,可以得出所求天数：（56-28）÷4=7（天）.所以,7天后,东站车辆是西站的4倍.。
和倍问题和倍问题是已知大小两个数的和与它们的倍数关系，求大小两个数的应用题.为了帮助我们理解题意，弄清两种量彼此间的关系，常采用画线段图的方法来表示两种量间的这种关系，以便于找到解题的途径。
方法：和÷（倍数+1）=1倍数（较小数）1倍数（较小数）×倍数=几倍数（较大数）或和—1倍数（较小数）=几倍数（较大数）例题精讲例1 甲班和乙班共有图书160本.甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本例2 甲班有图书120本，乙班有图书30本，甲班给乙班多少本，甲班的图书是乙班图书的2倍例3 果园里有桃树、梨树、苹果树共552棵.桃树比梨树的2倍多12棵，苹果树比梨树少20棵，求桃树、梨树和苹果树各有多少棵例4. 549是甲、乙、丙、丁4个数的和.如果甲数加上2，乙数减少2，丙数乘以2，丁数除以2以后，则4个数相等.求4个数各是多少差倍问题差倍问题就是已知大小两数的差，以及大小两数的倍数关系，求大小两数的问题．差倍问题的特点与和倍问题类似。
解答差倍问题的关键是要确定两个数量的差及相对应的倍数差，一般情况下，在题目中不直接给出，需要经过调整和计算才能得到。
解题思路：首先要在题目中找到1倍量，然后画图确定解题方法.被除数的数量和除数的倍数关系要相对应，相除后得到的结果是一倍量差倍问题的基本关系式：差÷(倍数－1)=1倍数(较小数)1倍数×几倍=几倍数(较大数)或较小数+差=较大数解决差倍问题，关键是学会画线段图，这样可以帮助我们更好的弄清各数量之间的关系．例题精讲例1.李爷爷家养的鸭比鹅多18只，鸭的只数是鹅的3倍，你知道李爷爷家养的鸭和鹅各有多少只吗例2.某小学原来参加室外活动的人数比参加室内活动的人数多480人，现在把室内活动的50人改为室外活动，这样室外活动的人数正好是室内人数的5倍，则参加室内、室外活动的共有多少人例3. 有甲、乙两艘货船，甲船所载货物是乙船的3倍．若甲船增加货物1200吨，乙船增加货物900吨，则甲船所载货物是乙船的2倍．甲船原载货物多少吨。
