x
y
-1 1
O
1
历届中考二次函数试题精选
一、填空题
1．（2012?烟台）已知二次函数y=2（x ﹣3）2
+1．下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x=﹣3；③其图象顶点坐标为（3，﹣1）；④当x ＜3时，y 随x 的增大而减小．则其中说法正确的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
2．（2012泰安）设A 1(2)y -，，B 2(1)y ，，C 3(2)y ，是抛物线2
(1)y x a =-++上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（ ）
A ．213y y y >>
B ．312y y y >>
C ．321y y y >>
D ．312y y y >> 3．（2012潜江）已知二次函数y=ax 2
+bx+c 的图象如图所示，它与x 轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：①b﹣2a=0；②abc＜0；③a﹣2b+4c ＜0； ④8a+c＞0．其中正确的有（ ） A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个
4. （2011湖北襄阳）已知函数12)3(2++-=x x k y 的图象与x 轴有交点，则k 的取值
范围是（ ） A.4 B.4≤k C.4 D.4≤k 且3≠k 5．(2010年北京崇文区) 函数y=x 2-2x-2的图象如右图所示，根据其中提供的信息，可求得使y ≥1成立的x 的取值范围是（ ） A ．31≤≤-x B ．31<<-x C ．31>- D ．31≥-≤x x 或 6. （2011山东菏泽）如图为抛物线2 y ax bx c =++的图像，A 、B 、C 为抛物线与坐标 轴的交点，且OA =OC =1，则下列关系中正确的是 A ．a ＋b =－1 B ． a －b =－1 C ． b <2a D ． ac <0 7. （2011甘肃兰州）如图所示的二次函数2 y ax bx c =++的图象中，刘星同学观察得出了下面 四条信息：（1）2 40b ac ->；（2）c >1；（3）2a －b <0；（4）a +b +c <0。你认为其中错误．．的有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．1个 8. （2011江苏宿迁）已知二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c （a ≠0）的图象如图，则下列结 论中正确的是（ ） （第12题） x y A A ．a ＞0 B ．当x ＞1时，y 随x 的增大而增大 C ．c ＜0 D ．3是方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0的一个根 9．（2012?德阳）设二次函数y=x 2 +bx+c ，当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，那么c 的取值范围是（ ） A ．c=3 B ．c≥3 C ．1≤c≤3 D ．c≤3 10．（2012?杭州）已知抛物线y=k （x+1）（x ﹣）与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，则能使△ABC 为等腰三角形的抛物线的条数是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 11．（2012菏泽）已知二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，那么一次函数y bx c =+和反比例函数a y x =在同一平面直角坐标系中的图像大致是（ ） A B C D 12. （2011江苏无锡）如图，抛物线y = x 2 + 1与双曲线y = k x 的交点A 的横坐标是1，则关于x 的不等 式 k x + x 2 + 1 < 0的解集是 ( ) A ．x > 1 B ．x < ?1 C ．0 < x < 1 D ．?1 < x < 0 13．（2010 河北）已知抛物线c bx x y ++=2的对称轴为2=x ，点A ，B 均在 抛物线上，且AB 与x 轴平行，其中点A 的坐标为（0，3），则点B 的坐标为（ ） A ．（2，3） B ．（3，2） C ．（3，3） D ．（4，3） 14．（2010四川乐山）.设a 、b 是常数，且b ＞0，抛物线y=ax 2 +bx +a 2 -5a -6为下图中四个图象之一，则a 的值为（ ） y x O y x O y x O 1 －1 y x O 1 －1 P y x y x = 2y O · y x O （第15题） D C B (4,4) A (1,4) A. 6或－1 B. －6或1 C. 6 D. －1 15．（2010 浙江台州市）如图，点A ，B 的坐标分别为（1, 4）和（4, 4）,抛物线n m x a y +-=2 )(的顶点在线段AB 上运动，与x 轴交于C 、D 两点（C 在D 的左侧），点C 的横坐标最小值为3-，则点D 的横坐标最大值为( ) A ．－3 B ．1 C ．5 D ．8 二、选择题 1．（2012苏州）已知点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）在二次函数y=（x ﹣1）2 +1的图象上，若x 1＞x 2＞1，则y 1 y 2（填“＞”、“＜”或“=”）． 2、（2009年内蒙古包头）已知二次函数2 y ax bx c =++的图象与x 轴交于点(2-，、1(0)x ， ，且112x <<，与y 轴的正半轴的交点在(02)，的下方．下列结论：①420a b c -+=；②0a b <<；③20a c +>；④210a b -+>．其中正确结论的个数是 个． 3、（2009年娄底）如图7，⊙O 的半径为2，C 1是函数y =12x 2的图象，C 2是函数y =-12 x 2 的图象，则阴影部分的面积是 . 4．（2010江苏 镇江）已知实数y x y x x y x +=-++则满足,033,2 的最大值 为 . 5．(2012?扬州)如图，线段AB 的长为2，C 为AB 上一个动点，分别以AC 、BC 为斜边 在AB 的同侧作两个等腰直角三角形△ACD 和△BCE ，那么DE 长的最小值是 ． 6．（2010 浙江义乌）（1）将抛物线y 1＝2x 2 向右平移2个单位，得到抛物线y 2的图象， 则y 2= ； （2）如图，P 是抛物线y 2对称轴上的一个动点，直线x ＝t 平行于y 轴，分别与直线y ＝x 、抛物线y 2交于点A 、B ．若△ABP 是以点A 或点B 为直角顶点的等腰直角三角形，求满足条件的t 的值，则t ＝ ． 7. (2009年本溪)如图所示，抛物线2 y ax bx c =++（0a ≠）与x 轴的两个交点分别为(1 0)A -，和(20)B ，，当0y <时，x 的取值范围是 ． 8.(2010年浙江省金华) 已知二次函数y =ax 2 ＋bx －3的图象经过点A （2，－3）， B （－1，0）．要使该二次函数的图象与x 轴只有一个交点，应把图象沿y 轴向上平移 个 单位． O B C D 9．（2012广安）如图，把抛物线y=x 2 平移得到抛物线m ，抛物线m 经过 点A （﹣6，0）和原点O （0，0），它的顶点为P ，它的对称轴与抛物线y=x 2 交于点Q ，则图中阴影部分的面积为 ． 10. （2011浙江义乌，16，4分）如图，一次函数y =－2x 的图象与二次函数y =－x 2 +3x 图象的对称轴交于点B . （1）写出点B 的坐标 ； （2）已知点P 是二次函数y =－x 2 +3x 图象在y 轴右侧．．部分上的一个动点，将 直线y =－2x 沿y 轴向上平移，分别交x 轴、y 轴于C 、D 两点. 若以CD 为直角边 的△PCD 与△OCD 相似，则点P 的坐标为 . 三、解答题 1．【14. 2012?扬州】已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A (－1，0)、B (3，0)、C (0，3)三点，直线l 是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的函数关系式； (2)设点P 是直线l 上的一个动点，当△PAC 的周长最小时，求点P 的坐标； (3)在直线l 上是否存在点M ，使△MAC 为等腰三角形若存在，直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2012?乐山）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（m ，m ），点B 的坐标为（n ，﹣n ），抛物线经过A 、O 、B 三点，连接OA 、OB 、AB ，线段AB 交y 轴于点C ．已知实数m 、n （m ＜n ）分别是方程x 2 ﹣2x ﹣3=0的两根． （1）求抛物线的解析式； （2）若点P 为线段OB 上的一个动点（不与点O 、B 重合），直线PC 与抛物线交于D 、E 两点（点D 在y 轴右侧），连接OD 、BD ． ①当△OPC 为等腰三角形时，求点P 的坐标； ②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D 的坐标． 3．（2012铜仁）如图，已知：直线3+-=x y 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，抛物线y=ax 2 +bx+c 经过A 、B 、C （1，0）三点. （1）求抛物线的解析式; （2）若点D 的坐标为（-1，0），在直线3+-=x y 上有一点P,使ΔABO 与ΔADP 相似，求出点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，在x 轴下方的抛物线上，是否存在点E ，使ΔADE 的面积等于四边形APCE 的面积如果存在，请求出点E 的坐标；如果不存在，请说明理由． 4.（2010年山东省济南市）如图，已知抛物线2 y x bx c =++经过点（1，-5）和（-2，4） （1）求这条抛物线的解析式． （2）设此抛物线与直线y x =相交于点A ，B （点B 在点A 的右侧），平行于y 轴的直线 () 051x m m =<<+与抛物线交于点M ，与直线y x =交于点N ，交x 轴于点P ，求线段MN 的长（用 含m 的代数式表示）． （3）在条件（2）的情况下，连接OM 、BM ，是否存在m 的值，使△BOM 的面积S 最大若存在，请求出m 的值，若不存在，请说明理由． 5. (2010年兰州市)（本题满分11分）如图1，已知矩形ABCD 的顶点A 与点O 重合，AD 、AB 分别在x 轴、 y 轴上，且AD=2，AB=3；抛物线 c bx x y ++-=2 经过坐标原点O 和x 轴上另一点E （4,0） （1）当x 取何值时，该抛物线的最大值是多少 （2）将矩形ABCD 以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x 轴的正方向匀速平行移动，同时一 动点P 也以相同的速度从点A 出发向B 匀速移动.设它们运动的时间为t 秒（0≤t ≤3），直线AB 与该抛物线的交点为N （如图2所示）. ① 当 411 = t 时，判断点P 是否在直线ME 上，并说明理由； ② 以P 、N 、C 、D 为顶点的多边形面积是否可能为5，若有可能，求出此时N 点的坐标；若无可能，请说明理由． x O P N M B A y y =x x =m 《二次函数的应用》中考题集锦 10题已知抛物线222(0)y x mx m m =+-≠． （1）求证：该抛物线与x 轴有两个不同的交点； （2）过点(0)P n ，作y 轴的垂线交该抛物线于点A 和点B （点A 在点P 的左边），是否存在实数m n ，，使得2AP PB =若存在，则求出m n ，满足的条件；若不存在，请说明理由． 答案：解：（1）证法1： 2 2229224m y x mx m x m ? ?=+-=+- ?? ?， 当0m ≠时，抛物线顶点的纵坐标为2 904 m - <， ∴顶点总在x 轴的下方． 而该抛物线的开口向上， ∴该抛物线与x 轴有两个不同的交点． （或者，当0m ≠时，抛物线与y 轴的交点2 (02)m -， 在x 轴下方，而该抛物线的开口向上，∴该抛物线与x 轴有两个不同的交点．） 证法2 ： 22241(2)9m m m ?=-??-=， 当0m ≠时，2 90m >， ∴该抛物线与x 轴有两个不同的交点． （2）存在实数m n ，，使得2AP PB =． 设点B 的坐标为()t n ，，由2AP PB =知， ①当点B 在点P 的右边时，0t >，点A 的坐标为(2)t n -，， 且2t t -， 是关于x 的方程22 2x mx m n +-=的两个实数根． 2224(2)940m m n m n ∴?=---=+>，即29 4 n m >-． 且(2)t t m +-=-（I ），2 (2)t t m n -=--（II ） 由（I ）得，t m =，即0m >． 将t m =代入（II ）得，0n =． ∴当0m >且0n =时，有2AP PB =． ②当点B 在点P 的左边时，0t <，点A 的坐标为(2)t n ，， 且2t t ，是关于x 的方程2 2 2x mx m n +-=的两个实数根． 2224(2)940m m n m n ∴?=---=+>，即 294 n m >-． 且2t t m +=-（I ），2 22t t m n =--（II ） 由（I ）得，3 m t =-，即0m >． 将3m t =-代入（II ）得，2209n m =-且满足29 4 n m >-． ∴当0m >且220 9 n m =-时，有2AP PB = 第11题一人乘雪橇沿如图所示的斜坡笔直滑下，滑下的距离S （米）与时间 t （秒）间的关系式为210S t t =+，若滑到坡底的时间为2秒，则此人下滑的 高度为（ ） Ａ．24米 Ｂ．12米 Ｃ．123米 Ｄ．6米 答案：Ｂ 第12题我市英山县某茶厂种植“春蕊牌”绿茶，由历年来市场销售行情知道，从每年的3月25日起的180 天内，绿茶市场销售单价y （元）与上市时间t （天）的关系可以近似地用如图（1）中的一条折线表示．绿茶的种植除了与气候、种植技术有关外，其种植的成本单价z （元）与上市时间t （天）的关系可以近似地用如图（2）的抛物线表示． A B x y P O 20 40 60 80 100 120 180 20 40 60 80 100 120 140 160 O t (天) y (天) 20 40 60 80 110 180 60 O z (元) 150 140 160 50 40 20 10 853 图(1) 图(2) （180，92） 140 160 100 120 t (天) （1）直接写出图（1）中表示的市场销售单价y （元）与上市时间t （天）（0t >）的函数关系式； （2）求出图（2）中表示的种植成本单价z （元）与上市时间t （天）（0t >）的函数关系式； （3）认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价，问何时上市的绿茶纯收益单价最大 （说明：市场销售单价和种植成本单价的单位：元／500克．） 答案：解：（1）依题意，可建立的函数关系式为： 2 160(0120)380(120150)2 20(150180)5 t t y t t t ?-+< = ． ≤ ≤≤ （2）由题目已知条件可设2 (110)20z a t =-+． 图象过点85(60)3 ，， 2851 (60110)203300 a a ∴ =-+∴= ．． 21(110)20300z t ∴=-+ (0)t >． （3）设纯收益单价为W 元，则W =销售单价-成本单价． 故2 22 21160(110)20(0120)3300180(110)20(120150)3002120(110)20(150180)5300t t t W t t t t t ?-+---< ? =--- ?+---?? ，， ． ≤ ≤≤ 化简得 2221(10)100(0120)3001(110)60(120150)3001(170)56(150180)300t t W t t t t ?--+< ，，． ≤ ≤≤ ①当21 (10)100(0120)300W t t =- -+<<时，有10t =时，W 最大，最大值为100； ②当21(110)60(120150)300W t t =--+<≤时，由图象知，有120t =时，W 最大，最大值为2 593 ； ③当21 (170)56(150180)300 W t t =- -+≤≤时，有170t =时，W 最大，最大值为56． 综上所述，在10t =时，纯收益单价有最大值，最大值为100元． 第13题如图，足球场上守门员在O 处开出一高球，球从离地面1米的A 处飞出（A 在y 轴上），运动员乙 在距O 点6米的B 处发现球在自己头的正上方达到最高点M ，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半． （1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式． （2）足球第一次落地点C 距守门员多少米（取7=） （3）运动员乙要抢到第二个落点D ，他应再向前跑多少米（取5=） 答案：解：（1）（3分）如图，设第一次落地时， 抛物线的表达式为2 (6)4y a x =-+． 由已知：当0x =时1y =． 即1 136412 a a =+∴=- ，． ∴表达式为21 (6)412 y x =- -+． （或2 1112 y x x =- ++） （2）（3分）令21 0(6)4012 y x =--+=，． 212(6)4861360x x x ∴-===-<．≈，（舍去） ． ∴足球第一次落地距守门员约13米． （3）（4分）解法一：如图，第二次足球弹出后的距离为CD 根据题意：CD EF =（即相当于将抛物线AEMFC 向下平移了2个单位） 21 2(6)412 x ∴=- -+ 解得1266x x =-=+ 1210CD x x ∴=-=． 1361017BD ∴=-+=（米）． 解法二：令21 (6)4012 x - -+=． 解得16x =-（舍），2613x =+． ∴点C 坐标为（13，0）． 设抛物线CND 为21 ()212y x k =- -+． 将C 点坐标代入得：2 1(13)2012 k --+=． 解得：11313k =-<（舍去）， 2667518k =+++=． 21 (18)212 y x =- -+ 令2 10(18)212y x ==--+，0． 118x =-，21823x =+． 23617BD ∴=-=（米）． 解法三：由解法二知，18k =， 所以2(1813)10CD =-=， 所以(136)1017BD =-+=． 答：他应再向前跑17米． 第14题荆州市“建设社会主义新农村”工作组到某县大棚蔬菜生产基地指导菜农修建大棚种植蔬菜．通过 调查得知：平均修建每公顷大棚要用支架、农膜等材料费2.7万元；购置滴灌设备，这项费用（万元）与大棚面积（公顷）的平方成正比，比例系数为0.9；另外每公顷种植蔬菜需种子、化肥、农药等开支0.3万元．每公顷蔬菜年均可卖7.5万元． （1）基地的菜农共修建大棚x （公顷），当年收益（扣除修建和种植成本后）为y （万元），写出y 关于x 的函数关系式． （2）若某菜农期望通过种植大棚蔬菜当年获得5万元收益，工作组应建议他修建多少公项大棚．（用分数表示即可） （3）除种子、化肥、农药投资只能当年受益外，其它设施3年内不需增加投资仍可继续使用．如果按3年计算，是否修建大棚面积越大收益越大修建面积为多少时可以得到最大收益请帮工作组为基地修建大棚提一项合理化建议． 答案：（1）() 227.5 2.70.90.30.9 4.5y x x x x x x =-++=-+． （2）当2 0.9 4.55x x -+=时，即2 945500x x -+=，15 3 x =，2103x = 从投入、占地与当年收益三方面权衡，应建议修建5 3 公顷大棚． （3）设3年内每年的平均收益为Z （万元） ()()2 227.50.90.30.30.3 6.30.310.533.075Z x x x x x x x =-++=-+=--+（10分） 不是面积越大收益越大．当大棚面积为10.5公顷时可以得到最大收益． 建议：①在大棚面积不超过10.5公顷时，可以扩大修建面积，这样会增加收益． ②大棚面积超过10.5公顷时，扩大面积会使收益下降．修建面积不宜盲目扩大． ③当2 0.3 6.30x x -+=时，10x =，221x =．大棚面积超过21公顷时，不但不能收益，反而会亏本．（说 其中一条即可） 第15题一家用电器开发公司研制出一种新型电子产品，每件的生产成本为18元，按定价40元出售，每月 可销售20万件．为了增加销量，公司决定采取降价的办法，经市场调研，每降价1元，月销售量可增加2万件． （1）求出月销售量y （万件）与销售单价x （元）之间的函数关系式（不必写x 的取值范围）； （2）求出月销售利润z （万元）（利润＝售价－成本价）与销售单价x （元）之间的函数关系式（不必写x 的取值范围）； （3）请你通过（2）中的函数关系式及其大致图象帮助公司确定产品的销售单价范围，使月销售利润不低于 480万元． 答案：略． 第16题一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m ，宽为2m ，隧道最高点P 位于AB 的 中央且距地面6m ，建立如图所示的坐标系 （1）求抛物线的解析式； （2）一辆货车高4m，宽2m，能否从该隧道内通过，为什么（3 答案：（1）由题意可知抛物线经过点()( )() 024682 A P B ，，，，， 设抛物线的方程为2 y ax bx c =++ 将A P D ，，三点的坐标代入抛物线方程． 解得抛物线方程为2 1 22 4 y x x =-++ （2）令4 y=，则有2 1 224 4 x x -++= 解得 12 44 x x =+=- 21 2 x x -=> ∴货车可以通过． （3）由（2）可知 21 1 2 2 x x -=> ∴货车可以通过． 第17题如图，在矩形ABCD中，2 AB AD =，线段10 EF=．在EF上取一点M，分别以EM MF ，为一边作矩形EMNH、矩形MFGN，使矩形MFGN∽矩形ABCD．令MN x =，当x为何值时，矩形EMNH的面积S有最大值最大值是多少 答案：解：矩形MFGN∽矩形ABCD， B A D E M F MN MF AD AB ∴ = ． 2AB AD MN x ==，， 2MF x ∴=． 102EM EF MF x ∴=-=-． (102)S x x ∴=- 2210x x =-+ 2 525222x ? ?=--+ ???． ∴当52x = 时，S 有最大值为252 ． 第18题某企业信息部进行市场调研发现： 信息一：如果单独投资A 种产品，则所获利润A y （万元）与投资金额x （万元）之间存在正比例函数关系： A y kx =，并且当投资5万元时，可获利润2万元． 信息二：如果单独投资B 种产品，则所获利润B y （万元）与投资金额x （万元）之间存在二次函数关系： 2B y ax bx =+，并且当投资2万元时，可获利润万元；当投资4万元时，可获利润万元． （1）请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式； （2）如果企业同时对A B ，两种产品共投资10万元，请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少 答案：解：（1）当5x =时，12250.4y k k ===，，， 0.4A y x ∴=，当2x =时， 2.4B y =；当4x =时， 3.2B y =． 2.442 3.2164a b a b =+?∴? =+? 解得0.2 1.6a b =-?? =? ∴20.2 1.6B y x x =-+． （2）设投资B 种商品x 万元，则投资A 种商品(10)x -万元，获得利润W 万元，根据题意可得 220.2 1.60.4(10)0.2 1.24W x x x x x =-++-=-++ 20.2(3) 5.8W x ∴=--+ 当投资B 种商品3万元时，可以获得最大利润万元，所以投资A 种商品7万元，B 种商品3万元，这样投资可以获得最大利润万元． 第19题如图所示，图（1）是一座抛物线型拱桥在建造过程中装模时的设计示意图，拱高为30m ，支柱 3350m A B =，5根支柱1122334455A B A B A B A B A B ，，，，之间的距离均为15m ，1515B B A A ∥，将抛物线放在图（2） 所示的直角坐标系中． （1）直接写出图（2）中点135B B B ，，的坐标； （2）求图（2）中抛物线的函数表达式； （3）求图（1）中支柱2244A B A B ，的长度． 答案：（1）1(30)B -，0，3(030)B ， ，5(300)B ，； （2）设抛物线的表达式为(30)(30)y a x x =-+， 把3(030)B ， 代入得(030)(030)30y a =-+=． 1 30 a =- ∴． ∵所求抛物线的表达式为：1 (30)(30)30 y x x =--+． （3）4B ∵点的横坐标为15， 4B ∴的纵坐标4145(1530)(1530)302 y =- -+=． 3350A B =∵，拱高为30， ∴立柱444585 20(m)22 A B =+ =． 由对称性知：224485 (m)2 A B A B ==。 B 图(1) 图(2) l 第20题某商场购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元售出，那么每月可售出500个．根据销售经 验，售价每提高1元．销售量相应减少10个． （1）假设销售单价提高x 元，那么销售每个篮球所获得的利润是________元；这种篮球每月的销售量是_________个．（用含x 的代数式表示）（4分） （2）8000元是否为每月销售这种篮球的最大利润如果是，请说明理由；如果不是，请求出最大利润，此时篮球的售价应定为多少元（8分） 答案：（1）10x +，50010x -； （2）设月销售利润为y 元， 由题意()()1050010y x x =+-， 整理，得()2 10209000y x =--+． 当20x =时，y 的最大值为9000， 205070+=． 答：8000元不是最大利润，最大利润为9000元，此时篮球的售价为70元． 初中数学二次函数中考题集锦 第1题(2006梅州课改)将抛物2(1)y x =--向左平移1个单位后，得到的抛物线的解析式是 ． 第2题(2006 泰安非课改)下列图形： 其中，阴影部分的面积相等的是（ ） Ａ．①② Ｂ．②③ Ｃ．③④ Ｄ．④① 第3题(2006 泰安非课改)抛物线2y ax bx c =++上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表： 2 ① ② ③ 1- ④ 容易看出，()20-，是它与x 轴的一个交点，则它与x 轴的另一个交点的坐标为_________． 第5题（2006芜湖课改）如图，在平面直角坐标系中，二次 函数2 (0)y ax c a =+≠的图象过正方形ABOC 的三个顶点 A B C ，，，则ac 的值是 ． 第6题（2006滨州非课改）已知抛物线 2(1)(2)y x m x m =+-+-与x 轴相交于A B ，两点，且线段2AB =，则m 的值为 ． 第7题.（2006滨州非课改）已知二次函数不经过第一象限，且与x 轴相交于不同的两点，请写出一个 满足上述条件的二次函数解析式 ． 第8题.（2006河南课改）已知二次函数222y x x c =-++的对称轴和x 轴相交于点()0m ，，则m 的值 为________． 第9题（2006临沂非课改）若()123135143A y B y C y ???? -- ? ????? ，，，，，为二次函数245y x x =--+的 图象上的三点，则123y y y ，，的大小关系是（ ） Ａ．123y y y << Ｂ．321y y y << Ｃ．312y y y < < Ｄ．213y y y << 第12题(2006广东课改)求二次函数221y x x =--的顶点坐标及它与x 轴的交点坐标。 第13题(2006河北非课改)在同一平面直角坐标系中，一次函数y ax b =+和二次函数2y ax bx =+的图 象可能为（ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 第14题(2006江西非课改)一条抛物线214y x mx n = ++经过点302?? ???，与342?? ??? ，． （1）求这条抛物线的解析式，并写出它的顶点坐标； （2）现有一半径为1，圆心P 在抛物线上运动的动圆，当 P 与坐标轴相切时，求圆心P 的坐标． 友情提示：抛物线()2 0y ax bx c a =++≠的顶点坐标是2424b ac b a a ?? -- ???，． 第17题(2006上海非课改)二次函数()2 13y x =--+图象的顶点坐标是（ ） Ａ．()13-， Ｂ．()13， Ｃ．()13--， Ｄ．()13-， 第18题(2006烟台非课改)已知抛物线2y ax bx c =++过点312A ?? ??? ，，其顶点E 的横坐标为2，此抛物线与x 轴分别交于()10B x ，，()20C x ，两点()12x x <，且22 12 16x x +=． （1）求此抛物线的解析式及顶点E 的坐标； （2）若D 是y 轴上一点，且CDE △为等腰三角形，求点D 的坐标． 第19题(2006广州课改)抛物线21y x =-的顶点坐标是（ ） A ．(01)， B ．(01)-， C ．(10)， D ．(10)-， 第22题. （2006 白银课改）二次函数2y ax bx c =++图象上部分点的对应值如下表： x 3- 2- 1- 0 1 2 3 4 y 6 4- 6- 6- 4- 6 则使0y <的x 的取值范围为 ． 第23题. （2006 海南课改）一位篮球运动员站在罚球线后投篮，球入篮得分．下列图象中，可以大致反映篮球出手后到入篮框这一时间段内，篮球的高度()h 米与时间()t 秒之间变化关系的是（ ） Ａ． Ｂ． Ｄ． Ｃ． 第24题（2006梧桐非课改）二次函数2y ax bx =+和反比例函数b y x = 在同一坐标系中的图象大致是（ ） 第25题（2006天津非课改）已知抛物线24113y x x =--． （I ）求它的对称轴； （II ）求它与x 轴、y 轴的交点坐标． 第26（2006广东非课改）抛物线226y x x c =++与x 轴的一个交点为(10)，，则这个抛物线 的顶点坐标是 ． 第27题（2006菏泽非课改）若抛物线22y x x a =++的顶点在x 轴的下方，则a 的取值范围是（ ） Ａ．1a > Ｂ．1a < Ｃ．1a ≥ Ｄ．1a ≤ 第28题（2006菏泽课改）二次函数2 y ax bx c =++的图象如图所示，则直 线y bx c =+的图象不经过（ ） Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象 限 第29题、（2006衡阳课改）抛物线2(1)3y x =-+的顶点坐标为 ． 第30题、（2006无锡课改）已知抛物线2(0)y ax bx c a =++>的顶点是(01) C ，，直线:3l y ax =-+与这条抛物线交于P Q ，两点，与x 轴，y 轴分别交于点M 和N ． （1）设点P 到x 轴的距离为2，试求直线l 的函数关系式； （2）若线段MP 与PN 的长度之比为3:1，试求抛物线的函数关系式． Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 1答案：2 y x =- 2答案：Ｃ 3答案：()30， 5答案：2- 6答案：1 5， 7答案：2 y x x =-- 答案不唯一 8答案：1 9答案：Ｃ 12答案：解：221y x x =-- 中考二次函数压轴题经典题型 1、如图，已知；边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE，其中AF=2，BF=l，在AB上的一点P，使矩形PNDM 有最大面积，求矩形PNDM的面积最大值？ 2、如图，二次函数的图象经过点D(0， 3 9 7 )，且顶点C的横坐标为4，该图象在x 轴上截得的线段AB的长为6. ⑴求二次函数的解析式； ⑵在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标； ⑶在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由． 3．如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（1 2 ， 5 2 ）和B（4，m），点P是线段AB 上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； （3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标． 4、如图，二次函数y=a+bx的图象经过点A（2，4）与B（6，0）． （1）求a，b的值； （2）点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x（2＜x＜6），写出四边形OACB 的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值。 5、如图1，对称轴x=为直线的抛物线经过B（2，0）、C（0，4）两点，抛物线与轴的另一交点为A．（1）求抛物线的解析式； （2）若点P为第一象限内抛物线上一点，设四边形COBP的面积为S，求S的最大值； （3）如图2，若M是线段BC上一动点，在轴上是否存在这样有点Q，使△MQC为等腰三角形且△MQB 为直角三角形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由． 初三数学二次函数经典题型 二次函数单元检测 (A) 姓名___ ____ 一、填空题： 1、函数2 1 (1)21m y m x mx +=--+是抛物线，则m ＝ . 2、抛物线2 23y x x =--+与x 轴交点为 ，与y 轴交点为 . 3、二次函数2 y ax =的图象过点（－1，2），则它的解析式是 ， 当x 时，y 随x 的增大而增大. 4．抛物线2)1(62 -+=x y 可由抛物线262 -=x y 向 平移 个单位得到． 5．抛物线342 ++=x x y 在x 轴上截得的线段长度是 ． 6．抛物线() 422 2-++=m x x y 的图象经过原点，则=m ． 7．抛物线m x x y +-=2 ，若其顶点在x 轴上，则=m ． 8. 如果抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是x ＝－2，且开口方向与形状与抛物线 相同，又过原点，那么a ＝ ，b ＝ ，c ＝ . 9、二次函数2 y x bx c =++的图象如下左图所示，则对称轴是 ，当函数值0y <时， 对应x 的取值范围是 . 10、已知二次函数2 1(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点 A （－2，4）和 B （8，2），如上右图所示，则能使1y 2y >成立的x 的取值范围 . 二、选择题： 11.下列各式中,y 是x 的二次函数的是 ( ) A ．2 1xy x += B ． 2 20x y +-= C ． 2 2y ax -=- D ．2 2 10x y -+= 2 2 3x y -= 12．在同一坐标系中，作2 2y x =、2 2y x =-、2 12 y x = 的图象，它们共同特点是 ( ) A ． 都是关于x 轴对称，抛物线开口向上 B ．都是关于y 轴对称，抛物线开口向下 B ． 都是关于原点对称，顶点都是原点 D ．都是关于y 轴对称，顶点都是原点 13．抛物线12 2+--=m mx x y 的图象过原点，则m 为（ ） A ．0 B ．1 C ．－1 D ．±1 14．把二次函数122 --=x x y 配方成为（ ） A ．2 )1(-=x y B ． 2)1(2--=x y C ．1)1(2 ++=x y D ．2)1(2 -+=x y 15．已知原点是抛物线2 (1)y m x =+的最高点，则m 的范围是( ) A ． 1- 一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，抛物线y＝x2﹣mx﹣（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0）（OA＜OB），与y轴交于点C，且满足x12+x22﹣x1x2＝13． （1）求抛物线的解析式； （2）以点B为直角顶点，BC为直角边作Rt△BCD，CD交抛物线于第四象限的点E，若EC ＝ED，求点E的坐标； （3）在抛物线上是否存在点Q，使得S△ACQ＝2S△AOC？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）E 113 +113 + 3）点Q的坐 标为（﹣3，12）或（2，﹣3）．理由见解析. 【解析】 【分析】 （1）由根与系数的关系可得x1+x2＝m，x1?x2＝﹣（m+1），代入x12+x22﹣x1x2＝13，求出m1＝2，m2＝﹣5．根据OA＜OB，得出抛物线的对称轴在y轴右侧，那么m＝2，即可确定抛物线的解析式； （2）连接BE、OE．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BE＝1 2 CD＝CE．利 用SSS证明△OBE≌△OCE，得出∠BOE＝∠COE，即点E在第四象限的角平分线上，设E点坐标为（m，﹣m），代入y＝x2﹣2x﹣3，求出m的值，即可得到E点坐标； （3）过点Q作AC的平行线交x轴于点F，连接CF，根据三角形的面积公式可得S△ACQ＝S△ACF．由S△ACQ＝2S△AOC，得出S△ACF＝2S△AOC，那么AF＝2OA＝2，F（1，0）．利用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝﹣3x﹣3．根据AC∥FQ，可设直线FQ的解析式为y＝﹣3x+b，将F（1，0）代入，利用待定系数法求出直线FQ的解析式为y＝﹣3x+3，把它与抛 物线的解析式联立，得出方程组 223 33 y x x y x ?=-- ? =-+ ? ，求解即可得出点Q的坐标． 【详解】 （1）∵抛物线y＝x2﹣mx﹣（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0）， ∴x1+x2＝m，x1?x2＝﹣（m+1）， 一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图：在平面直角坐标系中，直线l ：y=13x ﹣4 3 与x 轴交于点A ，经过点A 的抛物线 y=ax 2﹣3x+c 的对称轴是x=3 2 ． （1）求抛物线的解析式； （2）平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，点P 是直线m 上任意一点，PB ⊥x 轴于点B ，PC ⊥y 轴于点C ，若点E 在线段OB 上，点F 在线段OC 的延长线上，连接PE ，PF ，且PE=3PF ．求证：PE ⊥PF ； （3）若（2）中的点P 坐标为（6，2），点E 是x 轴上的点，点F 是y 轴上的点，当PE ⊥PF 时，抛物线上是否存在点Q ，使四边形PEQF 是矩形？如果存在，请求出点Q 的坐标，如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4；（2）证明见解析；（3）点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）． 【解析】 【分析】 （1）先求得点A 的坐标，然后依据抛物线过点A ，对称轴是x=3 2 列出关于a 、c 的方程组求解即可； （2）设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ，然后再证明∠FPC=∠EPB ，最后通过等量代换进行证明即可； （3）设E （a ，0），然后用含a 的式子表示BE 的长，从而可得到CF 的长，于是可得到点F 的坐标，然后依据中点坐标公式可得到 22x x x x Q P F E ++=，22 y y y y Q P F E ++=，从而可求得点Q 的坐标（用含a 的式子表示），最后，将点Q 的坐标代入抛物线的解析式求得a 的值即可． 【详解】 二次函数 一、二次函数概念： １.二次函数的概念:一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数. 2． 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是２． ⑵ a b c ，，是常数,a 是二次项系数，b 是一次项系数,c 是常数项. 二、二次函数的基本形式 1． 二次函数基本形式:2y ax =的性质: ａ 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3． ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。 ４. ()2 y a x h k =-+的性质： 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ， ; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ， 处，具体平移方法如下 : 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2． 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”. 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 四、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看,()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者,即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-= ，. 六、二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <-时,y 随x 的增大而减小; 当2b x a >- 时,y 随x 的增大而增大; 当2b x a =-时，y 有最小值244ac b a -． 1 / 17 中考数学真题汇编:二次函数 一、选择题 1.给出下列函数：①y=﹣3x+2；②y= ；③y=2x2；④y=3x，上述函数中符合条作“当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大“的是（） A. ①③ B. ③④ C. ②④ D. ②③ 【答案】B 2.如图,函数和( 是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是（） A. B. C. D. 【答案】B 3.关于二次函数，下列说法正确的是（） A. 图像与轴的交点坐标为 B. 图像的对称轴在轴的右侧 C. 当时，的值随值的增大而减小 D. 的最小值为-3 【答案】D 4.二次函数的图像如图所示，下列结论正确是 ( ) A. B. C. D. 有两个不相等的实数根 【答案】C 5.若抛物线与轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点( ) A. B. C. D. 2 / 17 【答案】B 6.若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线。已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点（） A. （-3，-6） B. （-3，0） C. （-3，-5） D. （-3，-1） 【答案】B 7.已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h＝﹣t2＋24t＋1．则下列说法中正确的是（） A. 点火后9s和点火后13s的升空高度相同 B. 点火后24s火箭落于地面 C. 点火后10s的升空高度为139m D. 火箭升空的最大高度为145m 【答案】D 8.如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac 二 次函数知识点 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 )2 h k +方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到 前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、 对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、 与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ， ，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 六、二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值2 44ac b a -． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，．当2b x a <- 时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时，y 有最大值 244ac b a -． 七、二次函数解析式的表示方法 1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）； 3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点 历届中考二次函数试题精选 一、填空题 1．（2012?烟台）已知二次函数y=2（x ﹣3）2+1．下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x=﹣3；③其图象顶点坐标为（3，﹣1）；④当x ＜3时，y 随x 的增大而减小．则其中说法正确的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．（2012泰安）设A 1(2)y -，，B 2(1)y ，，C 3(2)y ，是抛物线2(1)y x a =-++上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（ ） A ．213y y y >> B ．312y y y >> C ．321y y y >> D ．312y y y >> 3．（2012潜江）已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，它与x 轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：①b﹣2a=0；②abc＜0；③a﹣2b+4c ＜0； ④8a+c＞0．其中正确的有（ ） A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个 4. （2011湖北襄阳）已知函数12)3(2 ++-=x x k y 的图象与x 轴有交 点，则k 的取值范围是（ ） A.4 A ．31≤≤-x B ．31<<-x C ．31>- 初三数学二次函数综合练习 卷 二次函数单元检测 (A) 姓名___ ____ 一、填空题： 1、函数2 1 (1)21m y m x mx +=--+是抛物线，则m ＝ . 2、抛物线2 23y x x =--+与x 轴交点为 ，与y 轴交点为 . 3、二次函数2 y ax =的图象过点（－1，2），则它的解析式是 ， 当x 时，y 随x 的增大而增大. 4．抛物线2)1(62 -+=x y 可由抛物线262 -=x y 向 平移 个单位得到． 5．抛物线342 ++=x x y 在x 轴上截得的线段长度是 ． 6．抛物线() 422 2-++=m x x y 的图象经过原点，则=m ． 7．抛物线m x x y +-=2 ，若其顶点在x 轴上，则=m ． 8. 如果抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是x ＝－2，且开口方向与形状与抛物线 相同，又过原点，那么a ＝ ，b ＝ ，c ＝ . 9、二次函数2 y x bx c =++的图象如下左图所示，则对称轴是 ，当函数值0y <时， 对应x 的取值范围是 . 10、已知二次函数2 1(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点 A （－2，4）和 B （8，2），如上右图所示，则能使1y 2y >成立的x 的取值范围 . 二、选择题： 2 2 3x y -= 11.下列各式中,y 是x 的二次函数的是 ( ) A ．2 1xy x += B ． 2 20x y +-= C ． 2 2y ax -=- D ．2 2 10x y -+= 12．在同一坐标系中，作2 2y x =、2 2y x =-、2 12 y x = 的图象，它们共同特点是 ( ) A ． 都是关于x 轴对称，抛物线开口向上 B ．都是关于y 轴对称，抛物线开口向下 B ． 都是关于原点对称，顶点都是原点 D ．都是关于y 轴对称，顶点都是原点 13．抛物线12 2+--=m mx x y 的图象过原点，则m 为（ ） A ．0 B ．1 C ．－1 D ．±1 14．把二次函数122 --=x x y 配方成为（ ） A ．2 )1(-=x y B ． 2)1(2--=x y C ．1)1(2 ++=x y D ．2)1(2 -+=x y 15．已知原点是抛物线2 (1)y m x =+的最高点，则m 的范围是( ) A ． 1- 全国各地中考数学试卷试题分类汇编 第13章 二次函数 一、选择题 1. （2011山东滨州，7，3分）抛物线()2 23y x =+-可以由抛物线2 y x =平移得到,则下 列平移过程正确的是( ) A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位 B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位 C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位 D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位 【答案】B 2. （2011广东广州市，5，3分）下列函数中,当x >0时y 值随x 值增大而减小的是（ ）． A ．y = x 2 B ．y = x －１ C ． y = 34 x D ．y = 1 x 【答案】D 3. （2011湖北鄂州，15，3分）已知函数()()()() 2 2 113513x x y x x ?--? =?--??≤＞，则使y=k 成立的x 值恰 好有三个，则k 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 4. （2011山东德州6,3分）已知函数))((b x a x y --=（其中a b >）的图象 如下面右图所示，则函数b ax y +=的图象可能正确的是 【答案】D 第6题图 5. （2011山东菏泽，8，3分）如图为抛物线2 y ax bx c =++的图像，A 、B 、C 为抛物线 与坐标轴的交点，且OA =OC =1，则下列关系中正确的是 A ．a ＋b =－1 B ． a －b =－1 C ． b <2a D ． ac <0 【答案】B 6. （2011山东泰安，20 ，3分）若二次函数y=ax 2 +bx+c 的x 与y 的部分对应值如下表： X -7 -6 -5 -4 -3 -2 y -27 -13 -3 3 5 3 则当x =1时，y 的值为 A.5 B.-3 C.-13 D.-27 【答案】D 7. （2011山东威海，7，3分）二次函数2 23y x x =--的图象如图所示．当y ＜0时，自变量x 的取值范围是（ ）． A ．－1＜x ＜3 B ．x ＜－1 C ． x ＞3 D ．x ＜－1或x ＞3 【答案】A 8. （2011山东烟台，10,4分）如图，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是（ ） A ．m ＝n ，k ＞h B ．m ＝n ，k ＜h C ．m ＞n ，k ＝h D ．m ＜n ，k ＝h 1．如图1，已知二次函数y=ax2+x+c（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC． （1）请直接写出二次函数y=ax2+x+c的表达式； （2）判断△ABC的形状，并说明理由； （3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标； （4）如图2，若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标． 2．对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离“，记作d（M，N）． 已知点A（﹣2，6），B（﹣2，﹣2），C（6，﹣2）． （1）求d（点O，△ABC）； （2）记函数y=kx（﹣1≤x≤1，k≠0）的图象为图形G．若d（G，△ABC）=1，直接写出k的取值范围； （3）⊙T的圆心为T（t，0），半径为1．若d（⊙T，△ABC）=1，直接写出t 的取值范围． 3．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=﹣x2+4x上，且横坐标为1，点B与点A关于抛物线的对称轴对称，直线AB与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，点E的坐标为（1，1）． （1）求线段AB的长； （2）点P为线段AB上方抛物线上的任意一点，过点P作AB的垂线交AB于点 H，点F为y轴上一点，当△PBE的面积最大时，求PH+HF+FO的最小值； （3）在（2）中，PH+HF+FO取得最小值时，将△CFH绕点C顺时针旋转60°后得到△CF′H′，过点F'作CF′的垂线与直线AB交于点Q，点R为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点S，使以点D，Q，R，S为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点S的坐标，若不存在，请说明理由． 4．如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x﹣5经过点B，C． （1）求抛物线的解析式； （2）过点A的直线交直线BC于点M． ①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标； ②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M 的坐标． 二次函数知识点 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2 y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2 y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2 y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2 y ax c =+的性质： 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2 y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ， 处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴ c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵ c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数()2 y a x h k =-+与2 y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2 y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得 到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2 y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2 y ax bx c =++化为顶点式2 ()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与 y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若 与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 六、二次函数2 y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 二次函数经典中考试题（含答案） —、解答题（共30小题） 1. （2013?武汉）科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节：科学家把一种珍奇的植物 分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况（如下表） ： 温度 x/C … -4 - 2 0 2 4 4.5 … 植物每天高度增长量 y/mm … 41 49 49 41 25 19.75 … 由这些数据，科学家推测出植物每天高度增长量 y 是温度x 的函数，且这种函数是反比例函 数、一次函数和二次函数中的一种. （1） 请你选择一种适当的函数，求出它的函数关系式，并简要说明不选择另外两种函数的理 由； （2） 温度为多少时，这种植物每天高度增长量最大？ （3） 如果实验室温度保持不变，在10天内要使该植物高度增长量的总和超过 250mm ，那么 实验室的温度x 应该在哪个范围内选择？请直接写出结果. 2. （2013?莆田）如图所示，某学校拟建一个含内接矩形的菱形花坛 （花坛为轴对称图形）.矩 形的四个顶点分别在菱形四条边上，菱形 ABCD 的边长AB=4米，/ ABC=60 °设AE=x 米 （0v x V 4），矩形EFGH 的面积为S 米2. （1） 求S 与x 的函数关系式； （2） 学校准备在矩形内种植红色花草，四个三角形内种植黄色花草?已知红色花草的价格为 20元咪2,黄色花草的价格为40元咪2?当x 为何值时，购买花草所需的总费用最低，并求 出最低总费用（结果保留根号）？ y 的二元一次方程组 （1） 若a=3.求方程组的解； （2） 若S=a （3x+y ），当a 为何值时，S 有最值. 4. （2013?南宁）如图，抛物线 y=ax 2+c （a 旳）经过C （2，0），D （0，- 1）两点，并与直 线y=kx 交于A 、B 两点，直线I 过点E （0，- 2）且平行于x 轴，过A 、B 两点分别作直线 l 的垂线，垂足分别为点M 、N . （1） 求此抛物线的解析式； （2） 求证：AO=AM ； （3） 探究： ①当k=0时，直线y=kx 与x 轴重合，求出此时 的值； 3. （2013?资阳）在关于 x ， 二次函数压轴题精讲 1．二次函数综合题 （1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项． （2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义． 例1. 已知：如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴的交点分 别为A、B，将∠对折，使点O的对应点H落在直线上，折痕交x轴于点C．（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式； （2）若抛物线的顶点为D，在直线上是否存在点P，使得四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； （3）设抛物线的对称轴与直线的交点为T，Q为线段上一点，直接写出﹣的取值范围． 2．如图，直线2与抛物线26（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线 段上异于A、B的动点，过点P作⊥x轴于点D，交抛物线于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在这样的P点，使线段的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； （3）求△为直角三角形时点P的坐标． 1．（2016·山东省滨州市·3分）抛物线y=2x2﹣2x+1与坐标轴的交点个数是（） A．0 B．1 C．2 D．3 【解答】解：抛物线y=2x2﹣2x+1，令y=0，得到2x2﹣2x+1=0，即（x﹣1）2=0，解得：x1=x2=，故选C 2、（2016贵州毕节3分）一次函数y=ax+b（a≠0）与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）故选C． A．B．C．D． 【解答】解：A、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，故本选项错误； B、由抛物线可知，a＞0，x=﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误； C、由抛物线可知，a＜0，x=﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确； D、由抛物线可知，a＜0，x=﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＞0故本选项错误． 3、2016·四川泸州）已知二次函数y=ax2﹣bx﹣2（a≠0）的图象的顶点在第四象限，且过点（﹣1，0），当a﹣b为整数时，ab的值为（） A．或1 B．或1 C．或D．或 【解答】解：依题意知a＞0，＞0，a+b﹣2=0，故b＞0，且b=2﹣a，a﹣b=a﹣（2﹣a）=2a﹣2，于是0＜a＜2，﹣2＜2a﹣2＜2，又a﹣b为整数， ∴2a﹣2=﹣1，0，1，故a=，1，，b=，1，，∴ab=或1，故选A． 4、（2016·四川攀枝花）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1和3，则下列结论正确的是（） A．2a﹣b=0 B．a+b+c＞0 C．3a﹣c=0 D．当a=时△ABD是等腰直角三角形 【分析】由于抛物线与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1，3，得到对称轴为直线 x=1，则﹣=1，即2a+b=0，得出，选项A错误； 当x=1时，y＜0，得出a+b+c＜0，得出选项B错误； 当x=﹣1时，y=0，即a﹣b+c=0，而b=﹣2a，可得到a与c的关系，得出选项C错误； 当a=，则b=﹣1，c=﹣，对称轴x=1与x轴的交点为E，抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣，把x=1代入得y=﹣1﹣=﹣2，∴D点坐标为（1，﹣2），∴AE=2，BE=2，DE=2， ∴△ADE和△BDE都为等腰直角三角形，∴△ADB为等腰直角三角形，∴选项D正确． 函数综合应用题 题目分析及题目对学生的要求 1.求解析式：要求学生能够根据题意建立相应坐标系，将实际问题转化成数学问题。 需要注意的是： (1) 不能忘记写自变量的取值范围 (2) 在考虑自变量的取值范围时要结合它所代表的实际意义。 2. 求最值：实际生活中的最值能够指导人们进行决策，这一问要求学生能够熟练地对二次三项式进行配方，利用解析式探讨实际问题中的最值问题。 最值的求法： (1) 一次函数和反比例函数中求最值是根据函数在自变量取值范围内的增减性来确定的。 (2) 二次函数求最值是将解析式配方后，结合自变量取值范围来确定的。 3. 求范围，要求学生利用解析式求实际问题中的范围问题，主要是将函数与不等式结合起来。 推荐思路：画出不等式左右两边的图象，结合函数图象求出x的取值范围。 备选思路一：先将不等号看做等号，求出x的取值，再结合图象考虑将等号还原为不等号后x的取值范围； 备选思路二：通过分类讨论或者其它方法，直接解出这个不等式。这一问里需要注意的是在注意：最后下结论时一定要结合它的实际意义和前面所求得的自变量取值范围进行判断。 一、求利润的最值 （2010·武汉）23. (本题满分10分) 某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为 每天180元时，房间会全部住满。当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间 空闲。宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用。根据规定，每个房间每天 的房价不得高于340元。设每个房间的房价每天增加x 元(x 为10的正整数倍)。 (1) 设一天订住的房间数为y ，直接写出y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围； (2) 设宾馆一天的利润为w 元，求w 与x 的函数关系式； (3) 一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大最大利润是多少元 解：(1) y=5010 1x (0x160，且x 是10的整数倍)。 (2) W=(50101x)(180x20)= 10 1x 234x8000； (3) W= 101x 234x8000= 10 1(x170)210890，当x<170时，W 随x 增大而增大，但0x160， ∴当x=160时，W 最大=10880，当x=160时，y=5010 1x=34。答：一天订住34个房间时，宾馆每天利润最大，最大利润是10880元。 （2009武汉）23．（本题满分10分）某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个 月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高 于65元）．设每件商品的售价上涨x 元（x 为正整数），每个月的销售利润为y 元． （1）求y 与x 的函数关系式并直接写出自变量x 的取值范围； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润最大的月利润是多少元 （3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元根据以上结论，请你直接写 出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元 解：（1）2 (21010)(5040)101102100y x x x x =-+-=-++（015x <≤且x 为整数）； （2）210( 5.5)2402.5y x =--+． 100a =-中考二次函数压轴题经典题型
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