行程问题——环形路(教师版)

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- 1 - 行程问题——环形路（教师版）

一、【本讲知识点】

在环行道路上的行程问题本质上讲是追及问题或相遇问题。当二人（或物）同向运动就是追及问题，追及距离是二人初始距离及环形道路之长的倍数之和；当二人（或物）反向运动时就是相遇问题，相遇距离是二人从出发到相遇所行路程和。

二、【本讲经典例题】

【铺垫】如下图，两名运动员在沿湖周长为2250米的环形跑道上练习长跑。甲每分钟跑250米，乙每分钟跑200米。两人同时同地同向出发，多少分钟后甲第1次追上乙？若两人同时同地反向出发，多少分钟后甲、乙第1次相遇？

分析与解答：2250÷（250-200）=2250÷50=45（分钟），即45分钟后甲第1次追上乙；

2250÷（250+200）=2250÷450=5（分钟），即5分钟后甲、乙第1次相遇.

【例1】如下图，两名运动员在沿湖的环形跑道上练习长跑。甲每分钟跑250米，乙每分钟跑200米。两人同时同地同向出发，45分钟后甲追上了乙。如果两人同时同地反向而跑，经过多少分钟后两人相遇？

（1） （2）

分析与解答：

根据图（1）用追及问题公式求出环形跑道的长，因从同一点出发，距离差=跑道长。（250-200）×45=2250（米）。

同理，在环形跑道上，若反向而行，从同一点出发两人相遇所经过的路程和=跑道长。如图（2），2250÷（250+200）=5（分钟）即经过5分钟两人相遇。

【随堂练习1】如下图，两名运动员在沿湖的环形跑道上练习长跑。甲每分钟跑250米，乙每分钟跑200米。两人同时同地同向出发，54分钟后甲追上乙。如果两人同时同地反向而跑，经过多少分钟后两人相遇？

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- 2 - 分析与解答：具体分析见例题。

环形跑道周长：（250-200）×54=2700（米），

两人相遇时间：2700÷（250+200）=2700÷450=6（分钟），

即经过6分钟后两人相遇。

【拓展】甲、乙两运动员在周长为400米环形跑道上同向竞走，已知乙的平均速度是每分钟80米，甲的平均速度是乙的1.25倍，甲在乙前面100米处。问几分钟后，甲第一次追上乙？

分析与解答：具体分析过程略。15分钟。

【铺垫】下图是一个圆形中央花园，A、B是直径的两端，小军在A点，小勇在B点，同时出发相向而行。他俩第1次相遇时，小军走了50米，当他们第2次相遇时，小军走了多少米？

分析与解答：第1次相遇，俩人合起来走了半周长，从1次相遇开始到第2次相遇两人共走了一周长，两次共走了一周半。所以，小军从开始到第2次相遇走了50米的3倍，即走了50×3=150（米）。

【例2】如下图，是一个圆形中央花园，A、B是直径的两端，小军在A点，小勇在B点，同时出发相向而行。他俩第1次在C点相遇，C点离A点有50米；第二次在D点相遇，D离B有30米。问这个花园一周长多少米？

分析与解答：第1次相遇，俩人合起来走了半周长，从C点开始第2次在D点相遇两人共走了一周长，两次共走了一周半。小军从A→C→D走了50米的3倍，即走了50×3=150（米）。去掉BD之间的距离，就是半个圆周的长，所以一周的长度为（150-30）×2=240（米）。

【随堂练习2】如下图，A、B是圆直径的两端点，亮亮在点A，明明在点B，相向而行。他们在C点第一次相遇，C点离A点100米；在D点第二次相遇，D点离B点80米。求圆的周长。

分析与解答：具体分析过程见例题。440米。

【拓展】如下图，在一圆形跑道上。小明从A点，小强从B点同时出发，相向行走。6分钟后，小明与小强相遇，再过4分钟，小明到达B点，又再过8分钟，小明与小强再次相遇。问：小明环行一周要多长时间？

分析与解答：这是一个相遇问题，因为两人6分钟相遇，且再过4分钟小明到达B点，所以，小明走4分钟的路程相当于小强走6分钟的路程。从第一次相遇到再相遇小明走了4+8=12分钟，当然小强也走了12分钟，但他走的路程只相当于小明一问数学

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- 3 - 走8分钟的路程，再次相遇，一定是两人合走了一圈，因此小明走一圈需12+8=20分钟。

【铺垫】如下图三个环形跑道相切排列，每个环形跑道周长均为210厘米。甲、乙两只爬虫分别从A、B两地按箭头所示方向出发，甲爬虫绕1、2号环行跑道作“8”字型循环运动，乙爬虫绕3、2号环行跑道作“8”字型循环运动，已知甲、乙两只爬虫的速度都是每分钟17.5厘米。问：甲、乙两只爬虫多少分钟后第一次相遇？

分析与解答：由题意可知，甲、乙爬虫第一次相遇走的距离是一周半，即210+210÷2=315厘米。所以第一次相遇所用时间为315÷（17.5+17.5）=9（分钟）。

【例3】如下图三个环形跑道相切排列，每个环形跑道周长均为210厘米。甲、乙两只爬虫分别从A、B两地按箭头所示方向出发，甲爬虫绕1、2号环行跑道作“8”字型循环运动，乙爬虫绕3、2号环行跑道作“8”字型循环运动，已知甲、乙两只爬虫的速度都是每分钟17.5厘米。问：甲、乙两爬虫多少分钟后第二次相遇？

分析与解答：

解法一：由“铺垫”知，甲、乙两爬虫第一次相遇用9分钟。又知甲、乙两爬虫从第一次相遇到第二次相遇又走了一个圆周。所以第一次相遇到第二次再相遇所用时间为：210÷（17.5+17.5）=210÷35=6（分钟）。即甲、乙两爬虫用15（9+6=15）分钟后第二次相遇。

解法二：因为甲、乙两爬虫的速度一样，所以，甲、乙两爬虫第二次相遇时，甲、乙爬虫分别爬了45周，即210×45=262.5厘米。262.5÷17.5=15（分钟），即甲、乙两爬虫15分钟后第二次相遇。

注：这种解法用到了小数和分数的乘除法知识，超出了五年级学生的认知水平。

【随堂练习3】如下图，三个环形跑道相切排列。甲、乙两只爬虫分别从A、B两地按箭头所示方向出发，甲爬虫绕1、2号环行跑道作“8”字型循环运动，乙爬虫绕3、2号环行跑道作“8”字型循环运动，已知甲、乙两只爬虫的速度都是每分钟20厘米，甲、乙两只爬虫爬行20分钟后第二次相遇，问每个环形跑道的周长为多少厘米？

分析与解答：甲、乙两爬虫第二次相遇总爬行的距离为：（20+20）×20=800（厘米）

由题意及图可知：甲、乙两爬虫第二次相遇时，共爬行的距离为5个半周长。

所以每个环形跑道的周长为：800÷5×2=320（厘米）。

【拓展】如下图，三个环行跑道相切排列，每个环行跑道周长均为210厘米。甲、乙两只爬虫分别从A、B两地按箭头所示方向出发，甲爬虫绕1、2号环行跑道作“8”字型循环运动，一问数学 让每个学生接受最优质的课外教育

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- 4 - 乙爬虫绕3、2号环行跑道作“8”字型循环运动，已知甲、乙两只爬虫的速度分别是每分钟20、15厘米。问甲、乙两爬虫第二次相遇时，甲爬虫爬了多少厘米？

分析与解答：具体分析过程略。300厘米。

【铺垫】有一条长500米的环形跑道，小军从跑道上某一点出发逆时针跑步，他总共跑了5525米。问：小军是在离起点多少米处停下来的？

分析与解答：因为5525÷500=11…25（米），所以5525米相当于11圈余25米，即小军是在离起点25米处停下来的。

【例4】甲、乙从360米的环行跑道上的同一地点同向跑步。甲每分钟跑305米，乙每分钟跑275米。两人起跑后，第一次相遇在离起点多少米处？

分析与解答：甲第一次追上乙需用时间360÷（305-275）=360÷30=12（分），

第一次相遇甲跑的路程305×12=3660（米），

3660米相当于10圈60米（3660÷360=10…60），所以第一次相遇在离起点60米处。

【随堂练习4】甲、乙从1740米的环行跑道上的同一地点反向跑步。甲每分钟跑300米，乙每分钟跑280米。两人同时起跑后，第一次相遇在离起点多少米处？

分析与解答：甲、乙第一次相遇用时间1740÷（300+280）=1740÷580=3（分钟），相遇时乙跑的路程280×3=840（米）。（注：椭圆上两点间的距离是短弧的长）所以第一次相遇离起点840米。

【拓展】如下图，沿着长为70米的正方形，按逆时针方向，甲从A出发，每分钟走65米，乙从B出发，每分钟走72米。当乙第一次追上甲时是在正方形的哪一条边上？

分析与解答：由题意可知，这是乙追甲的追及问题。因此甲在乙前方70×3=210米。乙第一次追上甲时用时间：210÷（72-65）=210÷7=30（分钟）。乙追上甲时形的路程：72×30=2160（米）。2160=（4×7+2）×70+60（米），即，乙走了4圈后又跑了两条边BC、CD，在AD距D点60米处追上甲。故，乙第一次追上甲时是在AD边上。

【铺垫】甲、乙两名运动员的速度和是800米/分，速度差是100米/分，且已知甲运动员比乙运动员跑得快，问甲、乙两名运动员的速度各是多少？

分析与解答：甲运动员的速度：（800+100）÷2=450米/分，

乙运动员的速度：（800-100）÷2=350米/分。

【例5】有一条长500米的环行跑道。甲、乙两人同时从跑道上某一点出发，反向而跑，1分钟后相遇；如果两人同向而跑，则10分钟后相遇。已知甲跑的比乙快。问甲、乙两人每分钟各跑多少米？

分析与解答：甲、乙的速度和为500÷1=500米/分。甲、乙的速度差为500÷10=50米/分，所以甲的速度为（500+50）÷2=275米/分，乙的速度为500-275=225米/分。